View source for दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ

गणित में, विशेष रूप से [[साहचर्य]] में, दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्या (या स्टर्लिंग विभाजन संख्या) ''n'' ऑब्जेक्ट के एक समुच्चय को ''k'' अरिक्‍त उपसमुच्चय में विभाजित करने के तरीकों की संख्या है और इसे <math>S(n,k)</math> या <math>\textstyle \left\{{n\atop k}\right\}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''[[Concrete Mathematics]]'', Addison–Wesley, Reading MA. {{isbn|0-201-14236-8}}, p.&nbsp;244.</ref> दूसरी प्रकार की [[स्टर्लिंग संख्या]] गणितीय क्षेत्र में होती है जिसे साहचर्य कहा जाता है तथा जो [[विभाजन (संख्या सिद्धांत)]] का अध्ययन करता है। इनका नाम [[जेम्स स्टर्लिंग (गणितज्ञ)]] के नाम पर रखा गया है।

[[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] के रूप में देखे जाने पर प्रथम और द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्या को एक दूसरे के व्युत्क्रम के रूप में समझा जा सकता है। यह लेख द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं की विशेषताओं के लिए समर्पित है। यह लेख स्टर्लिंग संख्याओं के दो प्रकारों को जोड़ने वाली सर्वसमिका प्रतीत होती है।

== परिभाषा ==
दूसरे प्रकार की लिखी गईं <math>S(n,k)</math> या <math>\lbrace\textstyle{n\atop k}\rbrace</math> या अन्य अंकन के साथ स्टर्लिंग संख्या <math>n</math> चिह्नित ऑब्जेक्ट्स के एक [[सेट (गणित)|समुच्चय(गणित)]] को <math>k</math> अरिक्त तथा अचिह्नित उपसमुच्चय में विभाजित करने के तरीकों की संख्या की गणना करती है। तुल्यांकतः वे विभिन्न [[तुल्यता संबंध|तुल्यता संबंधों]] की संख्या की गणना शुद्ध रुप से <math>k</math> समकक्ष वर्गों के साथ करते हैं जिन्हें <math>n</math> तत्व समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है। वस्तुतः विभाजन के समुच्चय और दिए गए समुच्चय पर तुल्यता संबंधों के समुच्चय के मध्य एक द्विअंतथक्षेपण है। स्पष्ट रुप से,
:<math>\left\{ {n \atop n} \right\} = 1</math> के लिए n ≥ 0, और  <math>\left\{ {n \atop 1}\right\} = 1</math>  के लिए n ≥ 1 
n-तत्व समुच्चय को n भागों में विभाजित करने का एकमात्र तरीका समुच्चय के प्रत्येक तत्व को अपने क्षेत्र में रखना है और एक अरिक्‍त समुच्चय को एक क्षेत्र में विभाजित करने का एकमात्र तरीका सभी तत्वों को एक ही क्षेत्र में रखना है। निम्नलिखित स्पष्ट सूत्र का उपयोग करके उनकी गणना की जा सकती है:<ref>{{Cite web|url=https://discrete.openmathbooks.org/more/mdm/sec_adv-stirling.html|title=Stirling Numbers of the Second Kind, Theorem 3.4.1|last=|first=|date=|website=|publisher=|access-date=}}</ref>
:<math>\left\{ {n \atop k}\right\} = \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom{k}{i} i^n = \sum_{i=1}^k \frac{(-1)^{k-i} i^{n-1}}{(i-1)!(k-i)!}.</math>
द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं को उन संख्याओं के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो तब उत्पन्न होती हैं जब घटते क्रमगुणों के संदर्भ में अनिश्चित X की शक्तियों को व्यक्त किया जाता है।<ref>Confusingly, the notation that combinatorialists use for ''falling'' factorials coincides with the notation used in [[special function]]s for ''rising'' factorials; see [[Pochhammer symbol]].</ref>
:<math>(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) .</math>
(विशेष रूप से, (''x'')<sub>0</sub> = 1 क्योंकि यह एक [[खाली उत्पाद|रिक्‍त परिणाम]] है।)सामान्यतः किसी के पास होता है

:<math>\sum_{k=0}^n \left\{ {n \atop k} \right\}(x)_k=x^n.</math>


== संकेतन ==
द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया गया है। वर्ष 1962 में इन संख्याओं के परिवर्त्य के लिए ब्रेस नोटेशन <math>\textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace</math> का प्रयोग इमानुएल मार्क्स और एंटोनियो सालमेरी द्वारा किया गया था।<ref>Transformation of Series by a Variant of Stirling's Numbers, Imanuel Marx, ''The American Mathematical Monthly'' '''69''', #6 (June–July 1962), pp. 530–532, {{JSTOR|2311194}}.</ref><ref>Antonio Salmeri, Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, ''Giornale di Matematiche di Battaglini '''90''' (1962), pp. 44–54.</ref> इसने [[डोनाल्ड एर्विन नुथ]] को इसका उपयोग करने के लिए प्रेरित किया, जैसा कि [[कंप्यूटर प्रोग्रामिंग की कला|द आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग]] (वर्ष 1968) के प्रथम खंड में दिखाया गया है।<ref name=tnn>{{citation |author-link=Donald Knuth|first=D.E.|last=Knuth| journal = Amer. Math. Monthly | title=Two notes on notation| year=1992 | volume=99 |issue=5| pages=403–422 | arxiv=math/9205211 | doi=10.2307/2325085 | jstor= 2325085|bibcode=1992math......5211K|s2cid=119584305 }}</ref><ref>Donald E. Knuth, ''Fundamental Algorithms'', Reading, Mass.: Addison–Wesley, 1968.</ref> द आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग के तृतीय संस्करण के अनुसार इस संकेतन का प्रथम उपयोग वर्ष 1935 में [[जोवन करामाता]] द्वारा भी किया गया था।<ref>p. 66, Donald E. Knuth, ''Fundamental Algorithms'', 3rd ed., Reading, Mass.: Addison–Wesley, 1997.</ref><ref>Jovan Karamata, Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d'autres sommabilités s'y rattachant, ''Mathematica'' (Cluj) '''9''' (1935), pp, 164–178.</ref> संकेतन S(n, k) का उपयोग रिचर्ड पी. स्टेनली ने अपनी पुस्तक [[गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स|एन्युमरेटिव कॉम्बिनेटरिक्स]] में और बहुत पहले, कई अन्य लेखकों द्वारा भी किया था।<ref name=tnn />

स्टर्लिंग नंबरों के लिए इस पृष्ठ पर उपयोग किए गए अंकन सार्वभौमिक नहीं हैं और अन्य स्रोतों में संकेतन के साथ विरोध कर सकते हैं।

==बेल संख्या से संबंध==
{{main|बेल संख्या}}

चूँकि स्टर्लिंग संख्या <math>\left\{ {n \atop k} \right\}</math> किसी n-तत्व समुच्चय के विभाजन को k भागों में गिनता है, जिसका योग

:<math>B_n=\sum_{k=0}^n \left\{ {n \atop k} \right\}</math>
k के सभी मानों में n सदस्यों वाले समुच्चय के विभाजनों की कुल संख्या है। इस संख्या को nवें [[बेल नंबर|बेल संख्या]] के रूप में जाना जाता है।

तुलनात्मक रूप से, क्रमित बेल संख्याओं की गणना दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं से की जा सकती है
:<math>a_n = \sum_{k=0}^n k! \left\{ {n \atop k}\right\}.</math><ref>{{citation
 | last = Sprugnoli | first = Renzo
 | doi = 10.1016/0012-365X(92)00570-H
 | issue = 1–3
 | journal = Discrete Mathematics
 | mr = 1297386
 | pages = 267–290
 | title = Riordan arrays and combinatorial sums
 | volume = 132
 | year = 1994| url = http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/143149/CommentatMathUnivCarolRetro_54-2013-1_2.pdf
 | doi-access = free
 }}</ref>


== तालिका मान ==
नीचे दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं के लिए मानों की त्रिकोणीय सारणी दी गई है :
{| style="text-align:right;" class="wikitable"
|-
! {{diagonal split header|''n''|''k''}}
! {{rh|align=right}} | 0
! {{rh|align=right}} | 1
! {{rh|align=right}} | 2
! {{rh|align=right}} | 3
! {{rh|align=right}} | 4
! {{rh|align=right}} | 5
! {{rh|align=right}} | 6
! {{rh|align=right}} | 7
! {{rh|align=right}} | 8
! {{rh|align=right}} | 9
! {{rh|align=right}} | 10
|-
! {{rh|align=right}} | 0
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 1
| 0
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 2
| 0
| 1
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 3
| 0
| 1
| 3
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 4
| 0
| 1
| 7
| 6
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 5
| 0
| 1
| 15
| 25
| 10
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 6
| 0
| 1
| 31
| 90
| 65
| 15
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 7
| 0
| 1
| 63
| 301
| 350
| 140
| 21
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 8
| 0
| 1
| 127
| 966
| 1701
| 1050
| 266
| 28
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 9
| 0
| 1
| 255
| 3025
| 7770
| 6951
| 2646
| 462
| 36
| 1
|-
! {{rh|align=right}} | 10
| 0
| 1
| 511
| 9330
| 34105
| 42525
| 22827
| 5880
| 750
| 45
| 1
|}
[[द्विपद गुणांक|द्विपद गुणांकों]] के साथ इस तालिका को {{math|''k'' > ''n''}} तक बढ़ाया जा सकता है, किन्तु सभी प्रविष्टियां 0 होंगी।

== गुणधर्म ==

===पुनरावृत्ति संबंध===
दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध का पालन करती हैं

:<math>\left\{{n+1\atop k}\right\} = k \left\{{ n \atop k }\right\} + \left\{{n\atop k-1}\right\}
\quad \mbox{for} \; 0<k<n </math>
प्रारंभिक शर्तों के साथ
:<math>\left\{{ n \atop n }\right\} = 1 \quad  \mbox{ for} \; n \geq 0 \quad \text{ and } \quad
\left\{{ n \atop 0 }\right\} = \left\{{ 0 \atop n }\right\} = 0 \quad \text{ for } n>0 \text{.} </math>
उदाहरण के लिए संख्या 25 में कॉलम k=3 और 25 = 7 + (3×6) द्वारा पंक्ति n = 5 दी गई है जहां ऊपर की संख्या 7 है और 25 के बाईं ओर है तथा 25 से ऊपर की संख्या 6 है और जिसमें 6 है, वह कॉलम 3 है।

इस पुनरावृत्ति को सिद्ध करने के लिए देखें कि {{tmath|n-1}} ऑब्जेक्ट्स के k अरिक्त उपसमुच्चय विभाजन में या तो {{tmath|(n+1)}}-वें ऑब्जेक्ट एकल के रूप में होता है या नहीं। एकल उपसमुच्चयों में से एक होने के तरीकों की संख्या द्वारा दी गई है

:<math>\left\{{ n \atop k-1 }\right\}</math>
चूँकि हमें शेष {{mvar|n}} ऑब्जेक्ट को उपलब्ध {{tmath|k-1}} उपसमुच्चय में विभाजित करना होगा। दूसरी स्थिति में {{tmath|(n+1)}}-वें ऑब्जेक्ट अन्य उपसमुच्चय के ऑब्जेक्ट्स से संबंधित है। तरीकों की संख्या द्वारा दिया गया है

:<math>k \left\{{ n \atop k }\right\}</math>
चूंकि हम {{tmath|(n+1)}} -वें के अतिरिक्त अन्य सभी ऑब्जेक्ट्स को k उपसमुच्चय में विभाजित करते हैं और फिर हमारे पास ऑब्जेक्ट {{tmath|n+1}} प्रविष्ट करने के लिए k विकल्पों के साथ छोड़ दिया जाता है। इन दो मानों का योग वांछित परिणाम देता है।

विविक्त गणित के खंड 6.1 की तालिका स्टर्लिंग संख्याओं को सम्मिलित करने वाले परिमित योगों के सामान्यीकृत रूपों की अधिकता प्रदान करती है। इस लेख के लिए प्रासंगिक कई विशेष परिमित राशियों में सम्मिलित हैं।

:<math>
\begin{align}
\left\{{n+1\atop k+1}\right\} &= \sum_{j=k}^n {n \choose j} \left\{{ j \atop k }\right\}\\
\left\{{n+1\atop k+1}\right\} &= \sum_{j=k}^n (k+1)^{n-j} \left\{{j \atop k}\right\}\\
\left\{{n+k+1 \atop k}\right\} &= \sum_{j=0}^k j \left\{{ n+j \atop j }\right\} \\
\left\{{n \atop \ell+m } \right\} \binom{\ell+m}{\ell} &= \sum_k \left\{{k \atop \ell} \right\} \left\{{n-k \atop m } \right\} \binom{n}{k}
\end{align}
</math>
:
=== निचला और ऊपरी सीमा ===
अगर <math>n \geq 2</math> और <math>1 \leq k \leq n-1</math>, तब

:<math>\frac{1}{2}(k^2+k+2)k^{n-k-1}-1 \leq \left\{{n \atop k}\right\} \leq \frac{1}{2}{n \choose k} k^{n-k} </math> <ref name="RennieDobson1969">{{cite journal|last1=Rennie|first1=B.C.|last2=Dobson|first2=A.J.|title=दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या पर|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|volume=7|issue=2|year=1969|pages=116–121|issn=0021-9800|doi=10.1016/S0021-9800(69)80045-1|doi-access=free}}</ref>
=== अधिकतम ===
निर्धारित <math>n</math>, <math>\left\{{n \atop k}\right\}</math> के लिए एकल अधिकतम है, जो k के अधिकतम दो निरंतर मानों के लिए प्राप्त किया जाता है। अर्थात् एक पूर्णांक <math>K_n</math> ऐसा है कि

:<math>\left\{{n \atop 1}\right\} < \left\{{n \atop 2}\right\} < \cdots < \left\{{n \atop K_n}\right\},</math>
:<math>\left\{{n \atop K_n}\right\} \geq \left\{{n \atop K_n+1}\right\} > \cdots > \left\{{n \atop n}\right\}.</math>
जब <math>n</math> बड़ी है

:<math>K_n \sim \frac{n}{\log n},</math>
और दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या का अधिकतम मान है
:<math>\log \left\{{n \atop K_n}\right\} = n\log n - n \log\log n - n + O(n \log\log n / \log n).</math> <ref name="RennieDobson1969"/>
=== समता ===
दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या की [[समता (गणित)]] संबंधित [[द्विपद गुणांक]] की समता के समान होती है:
:<math>\left\{ {n\atop k}\right\}\equiv \binom{z}{w}\ \pmod{2},</math> कहाँ <math>z = n - \left\lceil\displaystyle\frac{k + 1}{2}\right\rceil,\ w = \left\lfloor\displaystyle\frac{k - 1}{2}\right\rfloor.</math>
यह संबंध सियरपिंस्की त्रिभुज पर मानचित्रण n और k निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया गया है।

अधिकतम प्रत्यक्ष रूप से, दो समुच्चयों में संबंधित व्यंजकों के परिणामों के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1 की स्थिति होती है:

:<math>
\begin{align}
\mathbb{A}:\ \sum_{i\in\mathbb{A}} 2^i &= n-k,\\
\mathbb{B}:\ \sum_{j\in\mathbb{B}} 2^j &= \left\lfloor\dfrac{k - 1}{2}\right\rfloor.\\
\end{align}
</math>
इन दो समुच्चयों को प्रतिच्छेद करके एक [[बिटवाइज़ AND|बिटवाइज़ एंड]] ऑपरेशन की नकल की जा सकती है:

:<math>
\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\,\bmod\,2 =
\begin{cases}
 0, & \mathbb{A}\cap\mathbb{B}\ne\empty;\\
 1, & \mathbb{A}\cap\mathbb{B}=\empty;
\end{cases}
</math>
O(1) समय में दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्या की समता प्राप्त करने के लिए। [[स्यूडोकोड]] में:

:<math>
\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\,\bmod\,2 := \left[\left( \left(n-k\right)\ \And\ \left( \left(k-1\right)\,\mathrm{div}\,2 \right)\right) = 0\right];
</math>
जहाँ <math>
\left[b\right]
</math> [[आइवरसन ब्रैकेट|आइवरसन कोष्ठक]] है।

दूसरे प्रकार के<math>\textstyle \left\{{2n\atop n}\right\}</math> की केंद्रीय स्टर्लिंग संख्या की समता विषम होती है यदि <math>n</math> एक फ़िबिनरी संख्या है जिसका द्विआधारी प्रतिनिधित्व कोई दो निरंतर 1s नहीं हैं।<ref>{{citation
 | last1 = Chan | first1 = O-Yeat
 | last2 = Manna | first2 = Dante
 | contribution = Congruences for Stirling numbers of the second kind
 | contribution-url = http://www.oyeat.com/papers/stirling_final.pdf
 | doi = 10.1090/conm/517/10135
 | mr = 2731094
 | pages = 97–111
 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, Rhode Island
 | series = Contemporary Mathematics
 | title = Gems in Experimental Mathematics
 | volume = 517
 | year = 2010}}</ref>
=== सरल सर्वसमिका ===
कुछ साधारण सर्वसमिका सम्मिलित हैं

:<math>\left\{ {n \atop n-1}\right\} = \binom{n}{2}. </math>
ऐसा इसलिए है क्योंकि n तत्वों को {{math|''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1}} समुच्चय में विभाजित करने का अर्थ है कि इसे आकार 2 के एक समुच्चय और आकार 1 के {{math|''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2}} समुच्चय में विभाजित करना। इसलिए हमें केवल उन दो तत्वों का चयन करने की आवश्यकता है;

और

:<math>\left\{ {n \atop 2}\right\} = 2^{n-1}-1.</math>
इसे देखने के लिए, सर्वप्रथम ध्यान दें कि पूरक उपसमुच्चय  A और B के 2{{sup|''n''}} क्रमित युग्म हैं। प्रथम स्थिति में A रिक्त तथा द्वितीय स्थिति में B रिक्त है, इसलिए {{math|2{{sup|''n''}}&nbsp;&minus;&nbsp;2}} उपसमुच्चय के क्रमित युग्म बने रहते हैं। अंत में, चूंकि हमें क्रमित युग्म के स्थान पर अव्यवस्थित युग्म आवश्यकता होती हैं, इसलिए हम ऊपर दिए गए परिणाम को देते हुए इस अंतिम संख्या को 2 से विभाजित करते हैं।

पुनरावृत्ति-संबंध का एक और स्पष्ट विस्तार उपर्युक्त उदाहरण की भावना में सर्वसमिका देता है।

=== अन्य पहचान ===

:<math>
\begin{align}
\left\{ {n \atop 2} \right\} & = \frac{ \frac11 (2^{n-1}-1^{n-1}) }{0!} \\[8pt]
\left\{ {n \atop 3} \right\} & = \frac{ \frac11 (3^{n-1}-2^{n-1})- \frac12 (3^{n-1}-1^{n-1}) }{1!} \\[8pt]
\left\{ {n \atop 4} \right\} & = \frac{ \frac11 (4^{n-1}-3^{n-1})- \frac22 (4^{n-1}-2^{n-1}) +  \frac13 (4^{n-1}-1^{n-1})}{2!} \\[8pt]
\left\{ {n \atop 5} \right\} & = \frac{ \frac11 (5^{n-1}-4^{n-1})- \frac32 (5^{n-1}-3^{n-1}) + \frac33 (5^{n-1}-2^{n-1}) -  \frac14 (5^{n-1}-1^{n-1}) }{3!} \\[8pt]
& {}\ \  \vdots
\end{align}
</math>
इन उदाहरणों को पुनरावृत्ति द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है

:<math> \left\lbrace\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\rbrace =
\frac{k^n}{k!}-\sum_{r=1}^{k-1} \frac{\left\lbrace\begin{matrix} n \\ r\end{matrix}\right\rbrace}{(k-r)!}.
</math>

=== स्पष्ट सूत्र ===
दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ स्पष्ट सूत्र द्वारा दी गई हैं:

:<math>\left\{ {n \atop k} \right\}
=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j} j^n
=\sum_{j=1}^k \frac{(-1)^{k-j} j^{n-1}}{(j-1)!(k-j)!}
.</math>
इसे n से k तक के अनुमानों की संख्या की गणना करने के लिए समावेशन-निष्‍कासन तथा इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि ऐसे अनुमानों की संख्या <math display="inline"> k! \left\{ {n \atop k} \right\} </math> है।

इसके अतिरिक्त यह सूत्र x = 0 पर मूल्यांकन किए गए [[ एकपद |एकपद]] <math>x^n</math> के kवें अग्रगामी अंतर की एक विशेष स्थिति है:

:<math> \Delta^k x^n = \sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j} (x+j)^n.</math>
क्योंकि बर्नौली बहुपदों को इन आगे के अंतरों के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जिससे बर्नौली संख्याओं में तत्काल एक संबंध प्राप्त होता है:

:<math>B_m(0)=\sum_{k=0}^m \frac {(-1)^k k!}{k+1} \left\{ {m \atop k} \right\}. </math>
गणितीय फलन की एनआईएसटी हैंडबुक में दिया गया एक और स्पष्ट सूत्र है

:<math>
\left\{ {n \atop k} \right\} = \sum_{
\begin{array}{c}
c_1 + \ldots + c_k = n-k\\
c_1, \ldots,\ c_k\ \geq\ 0
\end{array}
} 1^{c_1} 2^{c_2} \cdots k^{c_k} 
</math>
=== फलनों का निर्माण ===
एक निश्चित पूर्णांक n के लिए, दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं के लिए [[सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन|सामान्य फलनों का निर्माण]] <math>\left\{ {n\atop 0} \right\}, \left\{ {n\atop 1} \right\}, \ldots</math> द्वारा दिया गया है
:<math> \sum_{k=0}^n \left\{ {n\atop k} \right\} x^k = T_n(x),</math>
जहाँ <math>T_n(x)</math> [[टचर्ड बहुपद]] हैं। यदि इसके स्थान पर घटते भाज्य के विरुद्ध स्टर्लिंग संख्याओं का योग किया जाए, तो अन्य सर्वसमिकाओं के मध्य निम्नलिखित सर्वसमिकाओं को प्रदर्शित किया जा सकता है: 
:<math> \sum_{k=0}^n \left\{ {n\atop k} \right\} (x)_k = x^n</math>
और
:<math> \sum_{k=1}^{n+1} \left\{ {n+1 \atop k} \right\} (x-1)_{k-1} = x^n.</math>
एक निश्चित पूर्णांक k के लिए, दूसरी प्रकार की <math>\left\{ {0\atop k} \right\}, \left\{ {1\atop k} \right\}, \ldots</math> की स्टर्लिंग संख्या में एक परिमय साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन होता है
:<math>\sum_{n=k}^\infty \left\{ {n\atop k} \right\} x^{n - k} = \prod_{r=1}^k \frac{1}{1-rx} = \frac{1}{(k+1)! x^{k + 1} \binom{\frac{1}{x}}{k+1}}</math>
और इसके द्वारा दिया गया एक [[घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन]] है
:<math> \sum_{n=k}^\infty \left\{ {n \atop k}\right\} \frac{x^n}{n!} = \frac{(e^x-1)^k}{k!}.</math>
दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं के लिए एक मिश्रित द्विभाजित जनरेटिंग फ़ंक्शन है
:<math> \sum_{0 \leq k \leq n} \left\{ {n \atop k} \right\} \frac{x^n}{n!} y^k = e^{y(e^x-1)}.</math>
:

=== स्पर्शोन्मुख सन्निकटन ===
<math>k,</math> के निश्चित मान के लिए दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं का स्पर्शोन्मुख मान <math> n\rightarrow \infty </math> द्वारा दिया गया है
:<math> \left\{{n \atop k}\right\} \sim \frac{k^n}{k!}.</math>
दूसरी ओर, यदि <math> k = o(\sqrt{n}) </math> (जहाँ o छोटे o संकेतन को दर्शाता है) तब
:<math> \left\{{n \atop n-k}\right\} \sim \frac{(n-k)^{2k}}{2^k k!} \left( 1 + \frac{1}{3} \frac{2 k^2 + k}{n-k} + \frac{1}{18} \frac{4k^4-k^2-3k}{(n-k)^2} + \cdots \right).</math><ref>[[Leetsch C. Hsu|L. C. Hsu]], Note on an Asymptotic Expansion of the nth Difference of Zero, AMS Vol.19 NO.2 1948, pp. 273--277</ref>
एक समान रूप से मान्य सन्निकटन भी उपस्थित है: सभी {{mvar|k}} के लिए जैसे कि {{math|1 < ''k'' < ''n''}}, किसी के पास

:<math> \left\{{n \atop k}\right\} \sim \sqrt{\frac{v-1}{v(1-G)}} \left(\frac{v-1}{v-G}\right)^{n-k} \frac{k^n}{n^k} e^{k(1-G)} \left({n \atop k}\right),</math>
जहाँ <math > v=n/k </math>, और <math> G\in (0,1) </math>, <math>   G = v e^{G-v} </math> अद्वितीय हल है।<ref>N. M. Temme, Asymptotic Estimates of Stirling Numbers, STUDIES IN APPLIED MATHEMATICS 89:233-243 (1993), Elsevier Science Publishing.</ref> सापेक्ष त्रुटि लगभग <math> 0.066/n </math> से बंधी है।

== अनुप्रयोग ==

=== प्वासों वितरण के क्षण ===
यदि X [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षित मान]] λ के साथ [[पॉसों वितरण|प्वासों वितरण]] के साथ एक यादृच्छिक चर है, तो इसका n-वाँ [[पल (गणित)|क्षण (गणित)]] है

:<math>E(X^n)=\sum_{k=0}^n \left\{ {n \atop k} \right\}\lambda^k.</math>
विशेष रूप से अपेक्षित मान 1 के साथ प्वासों वितरण का nवां क्षण आकार n के एक समुच्चय की विभाजन संख्या है, अर्थात, यह nवां बेल संख्या है (यह तथ्य डोबिन्स्की का सूत्र है)।

=== यादृच्छिक क्रमचय के निश्चित बिंदुओं के क्षण ===
बता दें कि यादृच्छिक चर X आकार m के परिमित समुच्चय के समान रूप से वितरित यादृच्छिक क्रमचय के निश्चित बिंदुओं की संख्या है। इस प्रकार X का nवां क्षण है

:<math>E(X^n) = \sum_{k=1}^m \left\{ {n \atop k} \right\}.</math>
नोट: संकलन की ऊपरी सीमा ''m'' है।

दूसरे शब्दों में, इस प्रायिकता बंटन का nवाँ क्षण आकार n के समुच्चय विभाजनों की संख्या है जो m भागों से अधिक नहीं है। यह यादृच्छिक क्रमचय सांख्यिकी पर लेख में सिद्ध किया गया है, यद्यपि अंकन थोड़ा भिन्न है।

=== अंत्यानुप्रासवाला योजनाएँ ===
दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ n पंक्तियों की कविता के लिए तुकबंदी योजनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। <math>S(n,k)</math> k अद्वितीय अंत्यानुप्रासवाला शब्दांशों का उपयोग करके n पंक्तियों के लिए संभावित अंत्यानुप्रासवाला योजनाओं की संख्या देता है। '''एक उदाहरण के रूप में, 3 पंक्तियों की एक कविता के लिए, केवल एक कविता (एएए) का उपयोग करके 1 कविता योजना है तथा 3 तुकबंदी योजनाएँ दो तुकबंदी (एएबी, एबीए, एबीबी) और 1 कविता योजना तीन तुकबंदी (एबीसी) का उपयोग करती हैं।'''

== परिवर्त्य ==

=== दूसरी प्रकार की संबद्ध स्टर्लिंग संख्याएँ ===
दूसरे प्रकार की एक r-संबद्ध स्टर्लिंग संख्या, n आब्जेक्ट के एक समुच्चय को k उपसमुच्चय में विभाजित करने के तरीकों की संख्या है, जिसमें प्रत्येक उपसमुच्चय में कम से कम r तत्व होते हैं।<ref>L. Comtet, ''Advanced Combinatorics'', Reidel, 1974, p. 222.</ref> इसे <math>S_r(n,k)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है तथा यह पुनरावृत्ति संबंध का पालन करता है

:<math>S_r(n+1, k)=k\ S_r(n, k)+\binom{n}{r-1}S_r(n-r+1, k-1)</math>
2-संबद्ध संख्याएँ अन्यत्र वार्ड संख्या के रूप में और [[Mahler बहुपद|महलार बहुपदों]] के गुणांकों के परिमाण के रूप में दिखाई देती हैं।

=== दूसरी प्रकार की न्यूनीकृत स्टर्लिंग संख्या ===
पूर्णांक 1, 2, ..., n द्वारा विभाजन के लिए n ऑब्जेक्ट को निरूपित करें। पूर्णांक 1, 2, ..., n को k अरिक्त उपसमुच्चय में विभाजित करने के तरीकों की संख्या होने के लिए दूसरे प्रकार की न्यूनीकृत स्टर्लिंग संख्या को <math>S^d(n, k)</math> के रूप में परिभाषित करें जिससे कि प्रत्येक उपसमुच्चय में सभी तत्वों की युग्मानूसार दूरी कम से कम d हो। अर्थात किसी दिए गए उपसमुच्चय में किसी भी पूर्णांक i और j के लिए यह <math>|i-j| \geq d</math>. आवश्यक है। 

:<math>S^d(n, k) = S(n-d+1, k-d+1), n \geq k \geq d</math>
(इसलिए नाम घटाया गया)।<ref>A. Mohr and T.D. Porter, ''[http://www.austinmohr.com/work/files/stirling.pdf Applications of Chromatic Polynomials Involving Stirling Numbers]'', Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing '''70''' (2009), 57–64.</ref> यह दिखाया गया है कि ये संख्याएँ संतुष्ट करती हैं ।ध्यान दें (दोनों परिभाषा और न्यूनीकरण सूत्र द्वारा), कि <math>S^1(n, k) = S(n, k)</math> दूसरी प्रकार की परिचित स्टर्लिंग संख्या है।

== यह भी देखें ==
* स्टर्लिंग संख्या
* प्रथम प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ
* बेल संख्या - n सदस्यों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या
* [[स्टर्लिंग बहुपद]]
*बारह मार्ग
* {{Wikiversity-inline|विभाजन संबंधित संख्या त्रिकोण}}

==संदर्भ==

{{reflist|colwidth=30em}}

* {{cite journal|last=Boyadzhiev|first=Khristo|title=Close encounters with the Stirling numbers of the second kind|year=2012|journal=Mathematics Magazine|volume=85|number=4|pages=252–266|doi=10.4169/math.mag.85.4.252|arxiv=1806.09468|s2cid=115176876 }}.

* {{planetmath reference |urlname=StirlingNumbersOfTheSecondKind|title=Stirling numbers of the second kind}}.
* {{MathWorld |urlname=StirlingNumberoftheSecondKind |title=Stirling Number of the Second Kind}}
* [http://austinmohr.com/home/?page_id=431 Calculator for Stirling Numbers of the Second Kind]
* [http://dlmf.nist.gov/26.8#vii Set Partitions: Stirling Numbers]
* {{cite book |author=Jack van der Elsen |title=Black and white transformations |publisher=Maastricht |year=2005 |isbn=90-423-0263-1}}

{{Classes of natural numbers}}
    

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