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गणित में, ब्राउनियन गति और अन्य मार्टिंगेल्स जैसी स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के विश्लेषण में '''द्विघात भिन्नता''' का उपयोग किया जाता है। द्विघात भिन्नता किसी प्रक्रिया में केवल एक प्रकार की भिन्नता है।

== परिभाषा ==

मान लीजिए कि <math>X_t</math> वास्तविक-मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसे संभाव्यता स्थान <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> पर परिभाषित किया गया है और समय सूचकांक <math>t</math> बिना ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं से अधिक है। इसकी द्विघात भिन्नता वह प्रक्रिया है, जिसे <math>[X]_t</math> के रूप में लिखा जाता है, जिसे परिभाषित किया गया है
:<math>[X]_t=\lim_{\Vert P\Vert\rightarrow 0}\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2</math>
जहां <math>P</math> अंतराल के विभाजन से अधिक होता है <math>[0,t]</math>और विभाजन <math>P</math> का मानदंड [[जाल (गणित)|जाल]] है। यह सीमा, यदि यह उपस्थित है, तो प्रायिकता में अभिसरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि एक प्रक्रिया यहां दी गई परिभाषा के अर्थ में सीमित द्विघात भिन्नता की हो सकती है और इसके पथ समग्र विभाजनों के योग के सर्वोच्च लेने के चिरसम्मत अर्थ में प्रत्येक <math>t>0</math> के लिए लगभग निश्चित रूप से अनंत 1-भिन्नता के हो सकते हैं; यह, विशेष रूप से, ब्राउनियन गति के लिए स्थिति है।

अधिक सामान्यतः, दो प्रक्रियाओं <math>X</math> और <math>Y</math> का '''सहपरिवर्तन''' (या '''अंतर-भिन्नता''') होता है। 
:<math> [X,Y]_t = \lim_{\Vert P\Vert \to 0}\sum_{k=1}^{n}\left(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}\right).</math>
सहसंबंध [[ध्रुवीकरण पहचान]] द्वारा द्विघात भिन्नता के संदर्भ में लिखा जा सकता है:
:<math>[X,Y]_t=\tfrac{1}{2}([X+Y]_t-[X]_t-[Y]_t).</math>
संकेतन: द्विघात भिन्नता को <math>\langle X \rangle_t</math>या <math>\langle X,X \rangle_t</math> के रूप में भी अंकित किया जाता है।

== परिमित भिन्नता प्रक्रियाएं ==
कहा जाता है कि प्रक्रिया <math>X</math> में ''परिमित भिन्नता'' होती है यदि इसमें प्रत्येक परिमित समय अंतराल (प्रायिकता 1 के साथ) पर परिबद्ध भिन्नता होती है। इस तरह की प्रक्रियाएं बहुत साधारण हैं, विशेष रूप से, सभी निरंतर भिन्न-भिन्न फंक्शन सहित हैं। सभी निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाओं के लिए द्विघात भिन्नता उपस्थित है, और शून्य है।

इस कथन को गैर-निरंतर प्रक्रियाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। किसी भी कैडलग परिमित भिन्नता प्रक्रिया <math>X</math> में <math>X</math> के जंप के वर्गों के योग के बराबर द्विघात भिन्नता है। इसे और अधिक सटीक रूप से बताने के लिए, <math>t</math> के संबंध में <math>X_t</math>की बाईं सीमा को <math>X_{t-}</math> द्वारा दर्शाया गया है, और समय <math>t</math> पर <math>X</math> की जंप को <math>\Delta X_t = X_t - X_{t-}</math> के रूप में लिखा जा सकता है। फिर, द्विघात भिन्नता द्वारा दिया जाता है।
:<math>[X]_t=\sum_{0<s\le t}(\Delta X_s)^2.</math>
निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाओं में शून्य द्विघात भिन्नता होने का प्रमाण निम्नलिखित असमानता से मिलता है। यहां, <math>P</math> अंतराल <math>[0,t]</math> का विभाजन है, और<math>V_t(X)</math> <math>[0,t]</math> पर <math>X</math> का रूपांतर है।
:<math>\begin{align}
\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2&\le\max_{k\le n}|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\sum_{k=1}^n|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\\
&\le\max_{|u-v|\le\Vert P\Vert}|X_u-X_v|V_t(X).
\end{align}</math>
<math>X</math> की निरंतरता से, यह सीमा में लुप्त हो जाता है क्योंकि <math>\Vert P\Vert</math>शून्य पर चला जाता है।

== इटो (Itô) प्रक्रिया ==

मानक ब्राउनियन गति <math>B</math> की द्विघात भिन्नता उपस्थित है, और <math>[B]_t=t</math> द्वारा दिया गया है, हालाँकि, परिभाषा में सीमा <math>L^2</math>अर्थ में है और मार्गवार नहीं है। यह इटो प्रक्रियाओं को सामान्य करता है, जिसे परिभाषा के अनुसार, इटो अभिन्न के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है 
:<math> \begin{align}
X_t &= X_0 + \int_0^t\sigma_s\,dB_s + \int_0^t\mu_s\,d[B]_s \\
&= X_0 + \int_0^t\sigma_s\,dB_s + \int_0^t\mu_s\,ds,\end{align}</math>
जहाँ <math>B</math> ब्राउनियन गति है। ऐसी किसी भी प्रक्रिया में द्विघात भिन्नता दी गई है
:<math>[X]_t=\int_0^t\sigma_s^2\,ds.</math>
== सेमीमार्टिंगेल्स ==
सभी सेमीमार्टिंगल्स के द्विघात रूपांतर और सहसंयोजक को प्रदर्शित किया जा सकता है। वे स्टोकेस्टिक कैलकुलस के सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण भाग बनाते हैं, जो इटो के लेम्मा में दिखाई देता है, जो कि चेन नियम का सामान्यीकरण है। भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण में द्विघात सहसंयोजक भी दिखाई देता है।
:<math>X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^tX_{s-}\,dY_s + \int_0^tY_{s-}\,dX_s+[X,Y]_t,</math>
जिसका उपयोग <math>[X,Y]</math> की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से इसे स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: 
:<math>\,d(X_tY_t)=X_{t-}\,dY_t + Y_{t-}\,dX_t+\,dX_t \,dY_t,</math>
जहाँ <math>\,dX_t \,dY_t=\,d[X,Y]_t.</math>
== मार्टिंगेल्स ==

सभी कैडलग मार्टिंगल्स, और स्थानीय मार्टिंगल्स ने द्विघात भिन्नता को अच्छी तरह से परिभाषित किया है, जो इस तथ्य से अनुसरण करता है कि इस तरह की प्रक्रियाएं अर्धवृत्त के उदाहरण हैं। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य रूप से वर्ग पूर्णांक मार्टिंगेल <math>M</math> का द्विघात भिन्नता <math>[M]</math> शून्य पर प्रारम्भ होने वाली अद्वितीय सही-निरंतर और बढ़ती प्रक्रिया है, जंप के साथ <math>\Delta [M] = \Delta M^2 </math>और ऐसा कि <math>M^2- [M]</math> स्थानीय मार्टिंगेल है। स्टोकेस्टिक कैलकुलस (का उपयोग किए बिना <math>M</math>) के अस्तित्व का प्रमाण कारंदिकर (राव) 2014 – में दिया गया है। 

वर्ग पूर्णांक मार्टिंगल्स के लिए उपयोगी परिणाम इटो सममिति है, जिसका उपयोग इटो अभिन्न के विचरण की गणना के लिए किया जा सकता है।
:<math>\operatorname{E}\left(\left(\int_0^t H\,dM\right)^2\right) = \operatorname{E}\left(\int_0^tH^2\,d[M]\right).</math>
यह परिणाम तब भी होता है जब <math>M</math> कैडलग स्क्वायर समाकलनीय मार्टिंगेल होता है और <math>H</math> निर्धारित पूर्वानुमान प्रक्रिया है, और प्रायः इसका उपयोग इटो अभिन्न के निर्माण में किया जाता है।

अन्य महत्वपूर्ण परिणाम '''बर्कहोल्डर-डेविस-गुंडी असमानता''' है। यह द्विघात भिन्नता के संदर्भ में मार्टिंगेल की अधिकतम सीमा देता है। स्थानीय मार्टिंगेल के लिए <math>M</math> शून्य से प्रारंभ करके <math>M_t*=\operatorname{sup}_{s\in[0,t]} |M_s|</math>और किसी भी वास्तविक संख्या <math>p \geq 1</math>द्वारा अधिकतम निरूपित के साथ एक स्थानीय मार्टिंगेल <math>M</math>के लिए असमानता है।
:<math>c_p\operatorname{E}([M]_t^{p/2})\le \operatorname{E}((M^*_t)^p)\le C_p\operatorname{E}([M]_t^{p/2}).</math>
यहां, <math>c_p < C_p</math> की विकल्प के आधार पर स्थिरांक <math>p</math> हैं, लेकिन उपयोग किए गए मार्टिंगेल <math>M</math> या समय <math>t</math> पर निर्भर नहीं हैं। यदि <math>M</math> निरंतर स्थानीय मार्टिंगेल है, तो बर्कहोल्डर-डेविस-गुंडी असमानता किसी भी <math>p>0</math> के लिए है।

वैकल्पिक प्रक्रिया, '''पूर्वानुमानित द्विघात भिन्नता''' का उपयोग कभी-कभी स्थानीय रूप से वर्ग पूर्णांक मार्टिंगल्स के लिए किया जाता है। इसे <math>\langle M_t \rangle</math> के रूप में लिखा गया है, और शून्य पर प्रारम्भ होने वाली अद्वितीय सही-निरंतर और बढ़ती पूर्वानुमान प्रक्रिया को परिभाषित किया गया है जैसे कि <math>M^2 - \langle M \rangle</math> एक स्थानीय मार्टिंगेल है। इसका अस्तित्व डोब-मेयर अपघटन प्रमेय से चलता है और, निरंतर स्थानीय मार्टिंगेल्स के लिए, यह द्विघात भिन्नता के समान है।

== यह भी देखें ==

* कुल भिन्नता
* परिबद्ध भिन्नता

== संदर्भ ==

*{{Citation|last=Protter|first=Philip E.|year=2004|title=Stochastic Integration and Differential Equations|publisher=Springer|edition=2nd|isbn=978-3-540-00313-7}}
*{{cite journal|last1=Karandikar|first1=Rajeeva L.|last2=Rao|first2=B. V.|date=2014|title=On quadratic variation of martingales|url=http://www.ias.ac.in/article/fulltext/pmsc/124/03/0457-0469|journal=[[Proceedings - Mathematical Sciences]]|volume=124|issue=3|pages=457–469|doi=10.1007/s12044-014-0179-2|s2cid=120031445}}

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