View source for द्विघात सूत्र

{{Short description|Formula that provides the solutions to a quadratic equation}}
{{confused| द्विघात फलन|द्विघात समीकरण}}
[[File:Quadratic roots.svg|alt=A graph of a parabolaआकार का फलन, जो x-अक्ष को x = 1 और x = 4 पर प्रतिच्छेद करता है।|अंगूठे|231x231px|द्विघात फलन {{nowrap|1=''y'' = {{sfrac|1|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + 2}}, जड़ों के साथ {{nowrap|1=''x'' = 1}} तथा {{nowrap|1=''x'' = 4}}.]]

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात [[सूत्र]] [[द्विघात समीकरण]] का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।

प्रपत्र के सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए

:<math>ax^2+bx+c=0</math>
x के साथ अज्ञात का प्रतिनिधित्व करता है, a, b और c स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, और a ≠ 0 के साथ, द्विघात सूत्र है:

:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ </math>
जहाँ धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं।<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&q=quadratic+formula&pg=PA219|page=219}}</ref> अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:

:<math> x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{or}\quad x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये मूल x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई [[परवलय]], जिसे स्पष्ट रूप से {{math|1=''y'' = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}},के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=द्विघात सूत्र को समझना|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>

साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की  सर्वसमिका के लिए भी किया जा सकता है,<ref>{{Cite web|url=https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php|title=परवलय की सममिति का अक्ष। समीकरण या ग्राफ़ से अक्ष कैसे पता करें। समरूपता की धुरी खोजने के लिए ...|website=www.mathwarehouse.com|access-date=2019-11-10}}</ref>और [[वास्तविक संख्या]] शून्य की संख्या में द्विघात समीकरण शामिल है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review|title=भेदभावपूर्ण समीक्षा|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>

यदि b<sup>2</sup> − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि {{nowrap|''b''<sup>2</sup> − 4''ac'' ≥ 0}} तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो
#अगर b<sup>2</sup> − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं {{nowrap|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''= 0}}.
#अगर b<sup>2</sup> − 4ac = 0 तो हमारे पास पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
#अगर b<sup>2</sup> − 4ac < 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

== समतुल्य सूत्रीकरण ==
द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

:<math>x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \ ,</math>
जिसे सरल बनाया जा सकता है

:<math>x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} \ .</math>
सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर (गणक यंत्र) का उपयोग करते समय मूल को खोजना आसान बनाता है। <br />मामले में विभेदक <math>b^2 - 4ac</math> ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ मूल शामिल होती हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

:<math>x = -\frac{\ b}{2a} \pm i\sqrt{ \left | \left(\frac{\ b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} \right |} \ .</math>

=== ''' मुलर की विधि''' ===
कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जिसका उपयोग मुलर की विधि में किया जाता है और जिसे वीटा के सूत्रों से पाया जा सकता है, समीकरण के माध्यम से समान मूल प्रदान करता है (मानते हुए) {{math|''a'' ≠ 0, ''c'' ≠ 0}}):

:<math>x=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2-4ac\ }}\ .</math>

=== '''वैकल्पिक प्राचलीकरण पर आधारित सूत्रीकरण''' ===
द्विघात समीकरण का मानक प्राचलीकरण है
:<math>ax^2+bx+c=0\ .</math>
कुछ स्रोत, विशेष रूप से पुराने स्रोत, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक प्राचलीकरण का उपयोग करते हैं जैसे कि
: <math>ax^2 - 2b_1 x + c = 0</math>, जहाँ  <math>b_1 = -b/2</math>,<ref name="kahan">{{Citation |first=Willian |last=Kahan |title=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic |url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf |date=November 20, 2004 |access-date=2012-12-25}}</ref>
या
: <math>ax^2 + 2b_2 x + c = 0</math>, जहाँ  <math>b_2 = b/2</math>.<ref>{{Citation |url=http://www.proofwiki.org/wiki/Quadratic_Formula |title=Quadratic Formula |journal=Proof Wiki |access-date=2016-10-08}}</ref>
इन वैकल्पिक प्राचलीकरण के परिणामस्वरूप समाधान के लिए थोड़ा अलग रूप होते हैं, लेकिन जो अन्यथा मानक प्राचलीकरण के बराबर होते हैं।

==सूत्र की व्युत्पत्ति ==
साहित्य में द्विघात सूत्र को प्राप्त करने के लिए कई अलग-अलग तरीके उपलब्ध हैं। मानक वर्ग वर्ग तकनीक को पूरा करने का सरल अनुप्रयोग है।<ref>{{citation
|title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra
|first1=Barnett
|last1=Rich
|first2=Philip
|last2=Schmidt
|publisher=The McGraw–Hill Companies
|year=2004
|isbn=0-07-141083-X
|url=https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC}}, [https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291]</ref><ref>Li, Xuhui. ''An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving'', p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."</ref><ref>Rockswold, Gary. ''College algebra and trigonometry and precalculus'', p. 178 (Addison Wesley, 2002).</ref><ref>Beckenbach, Edwin et al. ''Modern college algebra and trigonometry'', p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).</ref> वैकल्पिक विधियाँ कभी-कभी वर्ग को पूरा करने की तुलना में सरल होती हैं, और गणित के अन्य क्षेत्रों में दिलचस्प अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकती हैं।

=== 'पूरा वर्ग' तकनीक का उपयोग करके ===

==== मानक विधि ====
द्विघात समीकरण को <math>a</math> द्वारा विभाजित करें,  क्योंकि <math>a</math> गैर-शून्य है:

:<math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0\ \ .</math>
{{math|{{sfrac|''c''|''a''}}}} समीकरण के दोनों पक्षों से घटाए, देता है
:<math>x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}\ \ .</math>
द्विघात समीकरण अब ऐसे रूप में है जिस पर वर्ग को पूर्ण करने की विधि लागू होती है। वास्तव में, समीकरण के दोनों पक्षों में स्थिरांक इस प्रकार जोड़ने पर कि बायां पक्ष एक पूर्ण वर्ग बन जाए, द्विघात समीकरण बन जाता है:

:<math>x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2\ \ ,</math>
जो उत्पादन करता है:

:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\ \ .</math>
तदनुसार, समान भाजक रखने के लिए दायीं ओर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .</math>
इस प्रकार वर्ग पूरा हो गया है। हम दोनों पक्षों का [[वर्गमूल]] निकाल कर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

:<math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}\ \ .</math>
किस मामले में, अलग करना <math>x</math> द्विघात सूत्र देगा:

:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}\ \ .</math>
मामूली अंतर के साथ इस व्युत्पत्ति के कई विकल्प हैं, ज्यादातर हेरफेर से संबंधित हैं <math>a</math>.

==== छोटी विधि ====
वर्ग को पूरा करना कभी-कभी छोटे और सरल क्रम से भी पूरा किया जा सकता है:<ref name="Hoehn1975">{{cite journal |last=Hoehn |first=Larry |title=द्विघात सूत्र को व्युत्पन्न करने की एक अधिक सुरुचिपूर्ण विधि|journal=The Mathematics Teacher |year=1975 |volume=68 |issue=5 |page=442&ndash;443|doi=10.5951/MT.68.5.0442 }}</ref>
# प्रत्येक पक्ष को गुणा करें <math>4a</math>,
# पुनर्व्यवस्थित करें।
# जोड़ें <math>b^2</math> वर्ग को पूरा करने के लिए दोनों तरफ।
# बायां पक्ष बहुपद का परिणाम है <math>(2ax + b)^2</math>.
# दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें।
# अलग रखे <math>x</math>.

किस मामले में, द्विघात सूत्र भी निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

:<math>\begin{align}
ax^2+bx+c &= 0 \\
4 a^2 x^2 + 4abx + 4ac &= 0 \\
4 a^2 x^2 + 4abx &= -4ac \\
4 a^2 x^2 + 4abx + b^2 &= b^2 - 4ac \\
(2ax + b)^2 &= b^2 - 4ac \\
2ax + b &= \pm \sqrt{b^2-4ac} \\\\
2ax &= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ 
x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac }}{2a}\ \ .
\end{align}</math>
द्विघात सूत्र की यह व्युत्पत्ति प्राचीन है और भारत में कम से कम 1025 के रूप में जाना जाता था।<ref name=Smith1958>{{cite book|last=Smith|first=David E.|title=गणित का इतिहास, वॉल्यूम। द्वितीय|year=1958|publisher=Dover Publications|isbn=0486204308|page=446}}</ref> मानक उपयोग में व्युत्पत्ति की तुलना में, यह वैकल्पिक व्युत्पत्ति अंतिम चरण तक अंशों और वर्ग अंशों से बचती है और इसलिए दाईं ओर सामान्य भाजक प्राप्त करने के लिए चरण 3 के बाद पुनर्व्यवस्था की आवश्यकता नहीं होती है।<ref name=Hoehn1975/>

=== '''प्रतिस्थापन द्वारा''' ===
अन्य तकनीक [[प्रतिस्थापन (बीजगणित)]] द्वारा समाधान है।<ref>Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1</ref> इस तकनीक में, हम प्रतिस्थापी करते हैं <math>x = y+m</math>  प्राप्त करने के लिए द्विघात में:

:<math>a(y+m)^2 + b(y+m) + c =0\ \ .</math>
परिणाम का विस्तार करना और फिर की घात को एकत्रित करना  <math>y</math> पैदा करता है:

:<math>ay^2 + y(2am + b) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math>
हमने अभी <math>y</math> तथा <math>m</math>,पर दूसरी शर्त नहीं लगाई है, इसलिए अब हम <math>m</math> चुनते हैं ताकि मध्य पद गायब हो जाए। वह है,  <math>2am + b = 0</math> या <math>\textstyle m = \frac{-b}{2a}</math>.

:<math>ay^2 + y(\ \ \ 0 \ \ ) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math>
:<math>ay^2 + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math>
समीकरण के दोनों पक्षों से अचर पद को घटाना (इसे दाहिनी ओर ले जाना) और फिर से विभाजित करना <math>a</math> देता है:

:<math>y^2=\frac{-\left(am^2+bm+c\right)}{a}\ \ .</math>
के लिए प्रतिस्थापन <math>m</math> देता है:

:<math>y^2=\frac{-\left(\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c\right)}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .</math>
इसलिए,

:<math>y=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
पुनः व्यक्त करके <math>y</math> के अनुसार <math>x</math> सूत्र का उपयोग करना <math>\textstyle x = y + m = y - \frac{b}{2a}</math> , तब सामान्य द्विघात सूत्र प्राप्त किया जा सकता है:

:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>
=== बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके ===
निम्नलिखित विधि का उपयोग कई ऐतिहासिक गणितज्ञों द्वारा किया गया था:<ref>{{Cite journal |doi = 10.1080/00207390802642237|title = लियोनहार्ड यूलर की विरासत - एक त्रिशतवार्षिक श्रद्धांजलि|year = 2009|last1 = Debnath|first1 = Lokenath|journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume = 40|issue = 3|pages = 353–388|s2cid = 123048345}}</ref>

बता दें कि मानक द्विघात समीकरण का मूल हैं {{math|''r''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''r''<sub>2</sub>}}। सर्वसमिका को याद करके व्युत्पत्ति शुरू होती है:

:<math>(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2\ \ .</math>
दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालने पर, हम पाते हैं:

:<math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}\ \ .</math>
चूँकि गुणांक {{math|1=''a'' ≠ 0}},है, हम समान मूल वाले द्विघात बहुपद प्राप्त करने के लिए मानक समीकरण को {{math|''a''}} से विभाजित कर सकते हैं। अर्थात्,

:<math> x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2\ \ .</math>
इससे हम देख सकते हैं कि मानक द्विघात समीकरण के मूलों का योग इस प्रकार दिया गया है {{math|−{{sfrac|''b''|''a''}}}}, और उन मूल का गुणनफल {{math|{{sfrac|''c''|''a''}}}}दिया जाता है। इसलिए सर्वसमिका को फिर से लिखा जा सकता है:

:<math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\ \ .</math>
अब,

:<math>r_1 = \frac{(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2)}{2} = \frac{-\frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>
तब से {{math|''r''{{sub|2}} {{=}} −''r''{{sub|1}} − {{sfrac|''b''|''a''}}}}, अगर हम लेते हैं

:<math>r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
तब हम प्राप्त करते हैं

:<math>r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ ;</math>
और अगर हम इसके बजाय लेते हैं

:<math>r_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
फिर हम उसकी गणना करते हैं

:<math>r_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>
मानक आशुलिपि ± का उपयोग करके इन परिणामों को मिलाकर, हमारे पास यह है कि द्विघात समीकरण के समाधान इस प्रकार दिए गए हैं:

:<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>
===लैग्रेंज विलायकों द्वारा===
{{details|लैग्रेंज विलायकों}}

द्विघात सूत्र निकालने का वैकल्पिक तरीका लैग्रेंज विलायक की विधि है,<ref name=Clark>Clark, A. (1984). ''Elements of abstract algebra''. Courier Corporation. p. 146.</ref> जो गैलोज़ सिद्धांत का प्रारंभिक हिस्सा है।<ref name="efei">{{citation
|title=Elliptic functions and elliptic integrals
|first1=Viktor
|last1=Prasolov
|first2=Yuri
|last2=Solovyev
|publisher=AMS Bookstore
|year=1997
|isbn=978-0-8218-0587-9
|url=https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC
}}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref>इस विधि को घन बहुपद और चतुर्थांश बहुपद की मूल देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और गैलोज़ सिद्धांत की ओर जाता है, जो किसी को उनकी मूल के [[समरूपता समूह]], गैलोइस समूह के संदर्भ में किसी भी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को समझने की अनुमति देता है।

यह दृष्टिकोण मूल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की तुलना में मूल पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। मोनिक द्विघात बहुपद दिया गया है

:<math>x^2+px+q\ \ ,</math>
मान लें कि यह कारक है

:<math>x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta)\ \ ,</math>
उपज का विस्तार

:<math>x^2+px+q=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta\ \ ,</math>
जहाँ {{math|''p'' {{=}} −(''α'' + ''β'')}} तथा {{math|''q'' {{=}} ''αβ''}}.

चूँकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता है, कोई α और β बदल सकता है और p और q के मान नहीं बदलेंगे: कोई कह सकता है कि p और q ,α और β में [[सममित बहुपद]] हैं। वास्तव में, वे [[प्राथमिक सममित बहुपद]] हैं α और β में किसी भी सममित बहुपद को α + β और αβ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। बहुपदों का विश्लेषण और हल करने के लिए गैलोज़ सिद्धांत दृष्टिकोण है: बहुपद के गुणांक दिए गए हैं, जो मूल में सममित फलन हैं, क्या कोई "समरूपता को तोड़ सकता है" और मूल को पुनर्प्राप्त कर सकता है? इस प्रकार घात n के बहुपद को हल करना n पदों को पुनर्व्यवस्थित करने ("क्रम[[परिवर्तन]])के तरीकों से संबंधित है, जिसे n अक्षरों पर [[सममित समूह]]हा जाता है, और  ''S<sub>n</sub>'' को निरूपित किया जाता है। द्विघात बहुपद के लिए, दो शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने का एकमात्र तरीका उन्हें छोड़ देना है या उन्हें अदला बदली करना है ("उन्हें [[स्थानान्तरण (गणित)|स्थानांतरित करना]]), और इस प्रकार एक द्विघात बहुपद को हल करना सरल है।

मूल खोजने के लिए {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, उनके योग और अंतर पर विचार करें:

:<math>\begin{align}
r_1 &= \alpha + \beta\\
r_2 &= \alpha - \beta\ \ .
\end{align}</math>
इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है, ध्यान दें कि इनमें से मूल के क्रम पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य बिंदु है। उपरोक्त समीकरणों को उल्टा करके कोई भी विलायक से मूल को पुनर्प्राप्त कर सकता है:

:<math>\begin{align}
\alpha &= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1+r_2\right)\\
\beta  &= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1-r_2\right)\ \ .
\end{align}</math>
इस प्रकार, विलायकों को हल करने से मूल मूल प्राप्त होते हैं।

अब {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} ''α'' + ''β''}} में सममित फलन है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, और वास्तव में {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} −''p''}} जैसा कि ऊपर उल्लेखित है। परंतु {{math|''r''{{sub|2}} {{=}} ''α'' − ''β''}} बदलने के बाद से सममित नहीं है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} देता है {{math|−''r''{{sub|2}} {{=}} ''β'' − ''α''}} (औपचारिक रूप से, इसे मूल के सममित समूह की [[समूह क्रिया (गणित)]] कहा जाता है)। तब से {{math|''r''{{sub|2}}}} सममित नहीं है, इसे गुणांकों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, क्योंकि ये मूल में सममित हैं और इस प्रकार कोई भी बहुपद अभिव्यक्ति उनमें शामिल है। मूल का क्रम बदलने से ही परिवर्तन होता है {{math|''r''{{sub|2}}}}  के एक गुणक द्वारा -1, और इस प्रकार वर्ग {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} (''α'' − ''β''){{sup|2}}}} मूल में सममित है, और इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}। समीकरण का उपयोग करना

:<math>(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\ \ </math>
देता है

:<math>r_2^2 = p^2 - 4q\ \ </math>
और इस तरह

:<math>r_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}\ \ </math>
यदि कोई सकारात्मक मूल लेता है, समरूपता को तोड़ता है, तो वह प्राप्त करता है:

:<math>\begin{align}
r_1 &= -p\\
r_2 &= \sqrt{p^2 - 4q}
\end{align}</math>
और इस तरह
:<math>\begin{align}
\alpha &= \tfrac12\left(-p+\sqrt{p^2 - 4q}\right)\\
\beta  &= \tfrac12\left(-p-\sqrt{p^2 - 4q}\right)\ \ .
\end{align}</math>
इस प्रकार मूल हैं
:<math>\textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}\right)</math>
जो द्विघात सूत्र है। प्रतिस्थापी {{math|''p'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}, ''q'' {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} द्विघात मोनिक नहीं होने पर सामान्य रूप देता है। विलायक के रूप में पहचाना जा सकता है {{math|{{sfrac|''r''{{sub|1}}|2}} {{=}} {{sfrac|−''p''|2}} {{=}} {{sfrac|−''b''|2''a''}}}}  शीर्ष होने के नाते, और {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} ''p''{{sup|2}} − 4''q''}} विवेचक है (मोनिक बहुपद का)।

एक समान लेकिन अधिक जटिल विधि घन समीकरणों के लिए काम करती है, जहां एक में तीन विलायक होते हैं और द्विघात समीकरण (बहुपद को हल करना) संबंधित {{math|''r''{{sub|2}}}} तथा {{math|''r''{{sub|3}}}} होता है जिसे द्विघात समीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, और इसी तरह एक चतुर्थांश समीकरण (बहुपद 4 की डिग्री) के लिए, जिसका हल करने वाला बहुपद घन है, जिसे बदले में हल किया जा सकता है।<ref name=Clark/>क्विंटिक समीकरण के लिए एक ही विधि 24 डिग्री का बहुपद उत्पन्न करती है, जो समस्या को सरल नहीं करती है, और वास्तव में, सामान्य रूप से क्विंटिक समीकरणों के समाधान केवल मूल का उपयोग करके व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं।

== ऐतिहासिक विकास ==
द्विघात समीकरणों को हल करने की शुरुआती विधियाँ ज्यामितीय थीं। बेबीलोनियन कीलाकार गोलियों में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कम करने योग्य समस्याएं हैं।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=34}}</ref> मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) के समय के मिस्र के [[बर्लिन पपीरस 6619|बर्लिन पपीरस]] में दो-अवधि के द्विघात समीकरण का हल है।<ref>{{cite book|title=कैम्ब्रिज प्राचीन इतिहास भाग 2 मध्य पूर्व का प्रारंभिक इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|page=530}}</ref>

ग्रीक गणितज्ञ [[यूक्लिड]](लगभग 300 ई.पू.) ने अपने एलिमेंट्स की पुस्तक 2 में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया, जो एक प्रभावशाली गणितीय ग्रंथ है।<ref name="quad" />लगभग 200 ईसा पूर्व गणितीय कला पर चीनी [[गणितीय कला पर नौ अध्याय]] में द्विघात समीकरणों के नियम दिखाई देते हैं।<ref name="Aitken">{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=एक चीनी क्लासिक: नौ अध्याय|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|access-date=28 April 2013}}</ref><ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/380 380]}}</ref> ग्रीक गणितज्ञ [[डायोफैंटस]] (लगभग 250 ईस्वी) ने अपने काम [[अंकगणित]] में यूक्लिड के ज्यामितीय बीजगणित की तुलना में अधिक पहचानने योग्य बीजगणितीय विधि के साथ द्विघात समीकरणों को हल किया।<ref name="quad">{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=39}}</ref> उसका समाधान केवल मूल देता है, भले ही दोनों मूल धनात्मक हों।<ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=गणित का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=0-486-20429-4|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/134 134]}}</ref>

भारतीय गणितज्ञ [[ब्रह्मगुप्त]] (597-668 ईस्वी) ने स्पष्ट रूप से 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में द्विघात सूत्र का वर्णन किया,<ref name="Bradley">Bradley, Michael. ''The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300'', p. 86 (Infobase Publishing 2006).</ref> लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा।<ref>Mackenzie, Dana. ''The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations'', p. 61 (Princeton University Press, 2012).</ref> द्विघात समीकरण का उनका समाधान {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c''}} इस प्रकार था: "पूर्ण संख्या में [गुणांक] वर्ग के चार गुणा गुणा करने पर, मध्य पद [गुणांक] का वर्ग जोड़ें, वर्गमूल का वर्गमूल समान, कम [मध्य पद का गुणांक] वर्ग के दोगुने से विभाजित किया जा रहा मूल्य है।<ref name="Stillwell2004">{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=गणित और इसका इतिहास (दूसरा संस्करण)|year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1|page=87}}</ref>यह इसके बराबर है:

:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}\ \ .</math>
श्रीधराचार्य (870-930 ईस्वी), भारतीय गणितज्ञ भी द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए समान कलन विधि के साथ आए, हालांकि इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्होंने दोनों मूल पर विचार किया।<ref>{{Citation |title=Sridhara-MacTutor |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sridhara/}}</ref> 9वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल किया।<ref>{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=द्विघात सूत्र से परे|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=42}}</ref> सभी मामलों को  छुपाने वाला द्विघात सूत्र पहली बार 1594 में [[साइमन स्टीवन]] द्वारा प्राप्त किया गया था।<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref> 1637 में रेने डेसकार्टेस ने ला ज्यामिति को प्रकाशित किया जिसमें द्विघात सूत्र के विशेष मामले शामिल थे, जिस रूप में आज हम जानते हैं।<ref>{{Cite book|url=http://archive.org/details/TheGeometry|title=ज्यामिति|last=Rene Descartes|language=en}}</ref>

== '''महत्वपूर्ण उपयोग''' ==

===ज्यामितीय महत्व ===
{{quadratic_equation_graph_key_points.svg}}
निर्देशांक ज्यामिति के संदर्भ में, परवलय एक वक्र है जिसके {{math|(''x'', ''y'')}}-निर्देशांकों को द्वितीय-डिग्री बहुपद द्वारा वर्णित किया जाता है, अर्थात किसी भी समीकरण का रूप:

:<math>y =p(x) = a_2x^2 + a_1x +a_0\ \ ,</math>
जहाँ {{math|''p''}} डिग्री 2 और के बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>,}} तथा {{math|1=''a''<sub>2</sub> ≠ 0}} निरंतर गुणांक हैं जिनकी सदस्यता उनके संबंधित शब्द की डिग्री से मेल खाती है। द्विघात सूत्र की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि यह {{math|''x''}}-अक्षपर उन बिंदुओं को परिभाषित करता है जहां परवलय अक्ष को पार करेगा। इसके अतिरिक्त, यदि द्विघात सूत्र को दो पदों के रूप में देखा जाता है,

:<math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>
सममिति का अक्ष रेखा के रूप में प्रकट होता है {{math|1=''x'' = −{{sfrac|''b''|2''a''}}}}। दूसरा शब्द, {{math|{{sfrac|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}}|2''a''}}}}, सममिति के अक्ष से शून्य के दूर होने की दूरी देता है, जहां धन चिह्न दाईं ओर की दूरी को दर्शाता है, और ऋण चिह्न बाईं ओर की दूरी को दर्शाता है।

यदि यह दूरी अवधि शून्य हो जाती है, तो समरूपता के अक्ष का मान केवल शून्य का x मान होगा, अर्थात द्विघात समीकरण का केवल एक ही संभव समाधान है। बीजगणितीय रूप से, इसका मतलब है कि {{math|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}} {{=}} 0}}, या केवल {{math|''b''{{sup|2}} − 4''ac'' {{=}} 0}} (जहां बाईं ओर को विवेचक कहा जाता है)। यह तीन मामलों में से एक है, जहां विवेचक इंगित करता है कि परवलय में कितने शून्य होंगे। यदि विवेचक सकारात्मक है, तो दूरी गैर-शून्य होगी, और दो समाधान होंगे। हालाँकि, ऐसा भी मामला है जहां विवेचक शून्य से कम है, और यह इंगित करता है कि दूरी काल्पनिक होगी - या जटिल इकाई i के कुछ गुणक, जहां i = √−1 - और परवलय के शून्य जटिल संख्याएं होंगी। जटिल जड़ें जटिल संयुग्म होंगी, जहां जटिल मूल का वास्तविक भाग समरूपता के अक्ष का मान होगा। जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है वहाँ x का कोई वास्तविक मान नहीं होगा।

=== आयामी विश्लेषण ===
यदि स्थिरांक {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, और/या {{math|''c''}} [[इकाई रहित]] नहीं हैं, तो की इकाइयाँ {{math|''x''}} की इकाइयों के बराबर होना चाहिए {{math|{{sfrac|''b''|''a''}}}}, आवश्यकता के कारण कि {{math|''ax''{{sup|2}}}} तथा {{math|''bx''}} उनकी इकाइयों पर सहमत हैं। इसके अलावा, उसी तर्क से, की इकाइयाँ {{math|''c''}} की इकाइयों के बराबर होना चाहिए {{math|{{sfrac|''b''{{sup|2}}|''a''}}}}, जिसे हल किए बिना {{math|''x''}} सत्यापित किया जा सकता है। यह सत्यापित करने के लिए शक्तिशाली उपकरण हो सकता है कि इसे हल करने से पहले [[भौतिक मात्रा]]ओं की द्विघात अभिव्यक्ति को सही ढंग से स्थापित किया गया है।

== यह भी देखें ==
* [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]]
* वीटा के सूत्र

*
==संदर्भ==
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