View source for द्वैत संख्या

[[बीजगणित]] में, '''द्वैत संख्या''' [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या]] है जिसे पहली बार 19वीं शताब्दी में प्रस्तुत किया गया था। वे  {{math|''a'' + ''bε''}} रूप की [[अभिव्यक्ति (गणित)]] हैं '''{{math|''a'' + ''bε''}}''', जहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं, और {{mvar|ε}} संतुष्ट करने के लिए लिया गया प्रतीक '''है''' <math>\varepsilon^2 = 0</math> साथ <math>\varepsilon\neq 0</math> है। 

द्वैत संख्याओं को घटक-वार जोड़ा जा सकता है, और सूत्र द्वारा गुणा किया जा सकता है।
: <math> (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon) = ac + (ad+bc)\varepsilon, </math>
जो संपत्ति ε2 = 0 और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि गुणन द्विरेखीय संक्रिया है।

द्वैत संख्या वास्तविक से दो [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] का [[क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना)]] बनाती है, और आर्टिनियन स्थानीय रिंग भी। वे रिंग के सबसे सरल उदाहरणों में से हैं जिसमें नॉनज़रो निलपोटेंट तत्व है।

== इतिहास ==
1873 में [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] द्वारा दोहरे नंबर प्रस्तुत किए गए थे, और बीसवीं शताब्दी की प्रारंभ में जर्मन गणितज्ञ [[ एडवर्ड स्टडी ]] द्वारा उपयोग किए गए थे, जिन्होंने उन्हें दोहरे कोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया था जो अंतरिक्ष में दो तिरछी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को मापता है। अध्ययन ने दोहरे कोण को परिभाषित किया {{math|''θ'' + ''dε''}}, कहाँ {{mvar|θ}} त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं की दिशाओं के बीच का कोण है और {{mvar|d}} उनके बीच की दूरी है। वह {{mvar|n}}-विमीय सामान्यीकरण, ग्रासमान संख्या, 19वीं शताब्दी के अंत में [[हरमन ग्रासमैन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

=== [[सार बीजगणित]] में परिभाषा ===
अमूर्त बीजगणित में, द्वैत संख्याओं के बीजगणित को अधिकांशतः वास्तविक संख्याओं पर बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है। <math>(\mathbb{R})</math> [[अनिश्चित (चर)]] के [[वर्ग (बीजगणित)]] द्वारा उत्पन्न [[प्रमुख आदर्श]] द्वारा, अर्थात
:<math>\mathbb{R}[X]/\left\langle X^2 \right\rangle.</math>


== मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ==

द्वैत संख्या <math>a + b \epsilon</math> [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>. इस प्रतिनिधित्व में मैट्रिक्स <math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> वर्ग शून्य मैट्रिक्स के लिए, द्वैत संख्या के अनुरूप <math>\varepsilon</math> है।

द्वैत संख्याओं को वर्ग आव्यूहों के रूप में प्रदर्शित करने के अन्य तरीके हैं। वे द्वैत संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं <math>1</math> पहचान मैट्रिक्स द्वारा, और  <math>\epsilon</math> किसी मैट्रिक्स द्वारा जिसका वर्ग शून्य मैट्रिक्स है; जिससे इन स्थितियों में {{math|2×2}} मेट्रिसेस, फॉर्म का कोई भी नॉनजेरो मैट्रिक्स है।
:<math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}</math> साथ <math>a^2+bc=0.</math><ref>{{Wikibooks-inline|Abstract Algebra/2x2 real matrices}}</ref>


== भेद ==
द्वैत संख्याओं का अनुप्रयोग स्वचालित विभेदीकरण है। उपरोक्त वास्तविक द्वैत संख्याओं पर विचार करें। कोई वास्तविक बहुपद दिया गया है {{math|''P''(''x'') {{=}} ''p''<sub>0</sub> + ''p''<sub>1</sub>''x'' + ''p''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup> + ... + ''p''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}}, इस बहुपद के डोमेन को वास्तविक से द्वैत संख्या तक विस्तारित करना सीधा है। तब हमारे पास यह परिणाम है।
: <math>\begin{align}
  P(a + b\varepsilon)
    ={} &p_0 + p_1(a + b\varepsilon) + \cdots + p_n(a + b\varepsilon)^n\\
    ={} &p_0 + p_1 a + p_2 a^2 + \cdots + p_n a^n + p_1 b\varepsilon + 2 p_2 a b\varepsilon + \cdots + n p_n a^{n-1} b\varepsilon\\[3pt]
    ={} &P(a) + bP^\prime(a)\varepsilon,
\end{align}</math>
जहाँ {{math|''P''{{prime}}}} का व्युत्पन्न है {{mvar|P}} है।

अधिक सामान्यतः, हम किसी भी (विश्लेषणात्मक) वास्तविक कार्य को उसकी [[टेलर श्रृंखला]] को देखकर द्वैत संख्याओं तक बढ़ा सकते हैं।

: <math>f(a + b\varepsilon) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (a)b^n \varepsilon^n}{n!} = f(a) + bf'(a)\varepsilon,</math>
सम्मिलित होने की सभी शर्तों के बाद से {{math|''ε''<sup>2</sup>}} या अधिक की परिभाषा के अनुसार तुच्छ रूप से 0 और {{mvar|ε}}है।

द्वैत संख्याओं पर इन कार्यों की रचनाओं की गणना करके और के गुणांक की जांच करके {{mvar|ε}} परिणाम में हम पाते हैं कि हमने रचना के व्युत्पन्न की स्वचालित रूप से गणना की है।

एक समान विधि  '''{{mvar|n}}'''-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के [[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग करके  '''{{mvar|n}}''' चर के बहुपदों के लिए काम करती है।

== ज्यामिति ==
द्वैत संख्या के यूनिट सर्कल में वे होते हैं {{math|''a'' {{=}} ±1}} चूंकि ये संतुष्ट करते हैं {{math|''zz''* {{=}} 1}} जहाँ {{math|''z''* {{=}} ''a'' − ''bε''}}. चुकी, ध्यान दें
: <math> e^{b \varepsilon} = \sum^\infty_{n=0} \frac{\left(b\varepsilon\right)^n}{n!} = 1 + b \varepsilon,</math>
तो घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) पर प्रयुक्त होता है {{mvar|ε}}-अक्ष केवल आधे वृत्त को ढकता है।

होने देना {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bε''}}. अगर {{math|''a'' ≠ 0}} और {{math|''m'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}}}, तब {{math|''z'' {{=}} ''a''(1 + ''mε'')}} ध्रुवीय अपघटन द्वैत संख्या का वैकल्पिक प्लानर अपघटन है {{mvar|z}}, और [[ढलान]] {{mvar|m}} इसका कोणीय भाग है। द्वैत संख्या वाले विमान में रोटेशन की अवधारणा वर्टिकल [[कतरनी मानचित्रण]] {{math|(1 + ''pε'')(1 + ''qε'') {{=}} 1 + (''p'' + ''q'')''ε''}} के बराबर है ।

[[पूर्ण स्थान और समय]] में [[गैलीलियन परिवर्तन]]
:<math>\left(t', x'\right) = (t, x)\begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}\,,</math>
वह है
:<math>t' = t,\quad x' = vt + x,</math>
स्थिर निर्देशांक प्रणाली को [[वेग]] के संदर्भ के गतिमान फ्रेम से संबंधित करता है {{mvar|v}}. द्वैत संख्या के साथ {{math|''t'' + ''xε''}} अंतरिक्ष आयाम और समय के साथ [[घटना (सापेक्षता)]] का प्रतिनिधित्व करते हुए, उसी परिवर्तन को गुणा के साथ  {{math|1 + ''vε''}}.प्रभावित किया जाता है।

=== चक्र ===
दो द्वैत संख्याएँ दी गई हैं {{mvar|p}} और {{mvar|q}}, वे का सेट निर्धारित करते हैं {{mvar|z}} जैसे ढलानों में अंतर (गैलीलियन कोण) से लाइनों के बीच {{mvar|z}} को {{mvar|p}} और {{mvar|q}} स्थिर है। यह समुच्चय द्वैत संख्या तल में चक्र है; चूँकि रेखाओं के ढलानों में अंतर को स्थिरांक पर सेट करने वाला समीकरण वास्तविक भाग में [[द्विघात समीकरण]] है {{mvar|z}}, चक्र [[परवलय]] है। द्वैत संख्या वाले विमान का चक्रीय घुमाव प्रक्षेपी रेखा की गति के रूप में होता है। [[इसहाक याग्लोम]] के अनुसार,<ref name="yaglom"/>{{rp|92–93}} चक्र {{math|''Z'' {{=}} {''z'' : ''y'' {{=}} ''αx''<sup>2</sup><nowiki>}</nowiki>}} कतरनी की संरचना के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।
:<math>x_1 = x ,\quad  y_1 = vx + y </math>
अनुवाद के साथ (ज्यामिति)
:<math>x' = x_1 = \frac{v}{2a}  ,\quad  y' = y_1 + \frac{v^2}{4a}. </math>


== विभाग ==
द्वैत संख्याओं का विभाजन तब परिभाषित किया जाता है जब भाजक का वास्तविक भाग गैर-शून्य होता है। विभाजन प्रक्रिया [[जटिल संख्या]] के अनुरूप है जिसमें अवास्तविक भागों को रद्द करने के लिए भाजक को इसके संयुग्म से गुणा किया जाता है।

इसलिए, प्रपत्र के समीकरण को विभाजित करने के लिए
:<math>\frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon}</math>
हम हर के संयुग्म द्वारा ऊपर और नीचे गुणा करते हैं।
:<math>\begin{align}
  \frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon}
    &= \frac{(a + b\varepsilon)(c - d\varepsilon)}{(c + d\varepsilon)(c - d\varepsilon)}\\[5pt]
    &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - bd\varepsilon^2}{c^2 + cd\varepsilon - cd\varepsilon - d^2\varepsilon^2}\\[5pt]
    &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - 0}{c^2 - 0}\\[5pt]
    &= \frac{ac + \varepsilon(bc - ad)}{c^2}\\[5pt]
    &= \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c^2}\varepsilon
\end{align}</math>
जिसे शून्य द्वारा परिभाषित किया गया है | जब {{mvar|c}} शून्य नहीं है।

यदि, दूसरी ओर, {{mvar|c}} शून्य है जबकि {{mvar|d}} नहीं है, तो समीकरण
:<math>{a + b\varepsilon = (x + y\varepsilon) d\varepsilon} = {xd\varepsilon + 0}</math>
# कोई समाधान नहीं है अगर {{mvar|a}} अशून्य है।
# अन्यथा फॉर्म के किसी भी द्वैत संख्या {{math|{{sfrac|''b''|''d''}} + ''yε''}} से हल किया जाता है।
इसका मतलब यह है कि भागफल का गैर-वास्तविक हिस्सा मनमाना है और विभाजन इसलिए विशुद्ध रूप से अवास्तविक द्वैत संख्याओं के लिए परिभाषित नहीं है। वास्तव में, वे (तुच्छ रूप से) शून्य विभाजक हैं और स्पष्ट रूप से द्वैत संख्याओं के क्षेत्र (और इस प्रकार रिंग (गणित)) पर साहचर्य बीजगणित का आदर्श (रिंग सिद्धांत) बनाते हैं।

== [[यांत्रिकी]] में अनुप्रयोग ==
द्वैत संख्याएं यांत्रिकी में अनुप्रयोगों को ढूंढती हैं, विशेष रूप से कीनेमेटिक संश्लेषण के लिए। उदाहरण के लिए, द्वैत संख्याएँ चार-बार गोलाकार लिंकेज के इनपुट/आउटपुट समीकरणों को बदलना संभव बनाती हैं, जिसमें केवल रोटॉइड जोड़ सम्मिलित हैं, चार-बार स्थानिक तंत्र (रोटॉइड, रोटॉइड, रोटॉइड, बेलनाकार) में। दोहरे कोण आदिम भाग, कोण और एक दोहरे भाग से बने होते हैं, जिसमें लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।<ref>{{Citation|last=Angeles|first=Jorge|title=The Application of Dual Algebra to Kinematic Analysis|date=1998|work=Computational Methods in Mechanical Systems: Mechanism Analysis, Synthesis, and Optimization|volume=161|pages=3–32|editor-last=Angeles|editor-first=Jorge|series=NATO ASI Series|publisher=Springer Berlin Heidelberg|language=en|doi=10.1007/978-3-662-03729-4_1|isbn=9783662037294|editor2-last=Zakhariev|editor2-first=Evtim}}</ref> अधिक के लिए [[पेंच सिद्धांत]] देखें।

== सामान्यीकरण ==
यह निर्माण अधिक सामान्यतः किया जा सकता है [[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय रिंग]] के लिए {{mvar|R}} कोई द्वैत संख्या को परिभाषित कर सकता है {{mvar|R}} बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में {{math|''R''[''X'']}} आदर्श (रिंग सिद्धांत) द्वारा {{math|(''X''<sup>2</sup>)}}: की छवि {{mvar|X}} तो वर्ग शून्य के बराबर है और तत्व {{mvar|ε}} उपर से से मेल खाता है।

=== शून्य वर्ग के तत्वों का मनमाना मॉड्यूल ===
द्वैत संख्याओं का अधिक सामान्य निर्माण है। क्रमविनिमेय वलय दिया है <math>R</math> और मॉड्यूल <math>M</math> रिंग है <math>R[M]</math> द्वैत संख्याओं का वलय कहा जाता है जिसमें निम्नलिखित संरचनाएँ होती हैं।

यह है <math>R</math>-मापांक <math>R \oplus M</math> द्वारा परिभाषित गुणन के साथ <math>(r, i) \cdot \left(r', i'\right) = \left(rr', ri' + r'i\right)</math> के लिए <math>r, r' \in R</math> और <math>i, i' \in I.</math>

द्वैत संख्या का बीजगणित विशेष स्थितिया है जहां <math>M = R</math> और <math>\varepsilon = (0, 1).</math>है।



== [[ superspace | सुपरस्पेस]] ==
दोहरे अंक भौतिकी में अनुप्रयोग पाते हैं, जहां वे सुपरस्पेस के सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरणों में से एक का गठन करते हैं। समान रूप से, वे सिर्फ जनरेटर के साथ ग्रासमान संख्या हैं; सुपरनंबर इस अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं {{mvar|n}} अलग जनरेटर {{mvar|ε}}, प्रत्येक विरोधी आने-जाने वाला, संभवतः ले रहा है {{mvar|n}} अनंत की ओर। सुपरस्पेस कई आने-जाने वाले आयामों की अनुमति देकर, सुपरनंबरों को थोड़ा सामान्य करता है।

भौतिकी में द्वैत संख्याओं को सम्मिलित करने की प्रेरणा [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] से मिलती है। साथ में दिशा {{mvar|ε}} को फर्मीओनिक दिशा कहा जाता है, और वास्तविक घटक को बोसोनिक दिशा कहा जाता है। फर्मीओनिक दिशा इस नाम को इस तथ्य से अर्जित करती है कि [[फर्मियन]] पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं: निर्देशांक के आदान-प्रदान के तहत, क्वांटम यांत्रिक तरंग फलन संकेत बदलता है, और इस प्रकार गायब हो जाता है यदि दो निर्देशांक साथ लाए जाते हैं; यह भौतिक विचार बीजगणितीय संबंध द्वारा कब्जा कर {{math|''ε''<sup>2</sup> {{=}} 0}} लिया गया है।

== प्रक्षेपीय लाइन ==
ग्रुन्वाल्ड द्वारा द्वैत संख्याओं पर अनुमानित रेखा और [[ कॉनराड सेग्रे | कॉनराड सेग्रे]]<ref>{{cite book|first=Corrado|last=Segre|author-link=Corrado Segre|date=1912|chapter=XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali|title=Opere}} Also in ''Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino'' '''47'''.</ref> का विचार उन्नत किया गया था<ref>{{cite journal|first=Josef|last=Grünwald|date=1906|title=Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie|journal=Monatshefte für Mathematik|volume=17|pages=81–136|doi=10.1007/BF01697639|s2cid=119840611}}</ref>

जिस तरह [[रीमैन क्षेत्र]] को जटिल प्रक्षेपी रेखा को बंद करने के लिए अनंत पर उत्तरी ध्रुव बिंदु की आवश्यकता होती है, उसी तरह अनंत पर रेखा द्वैत संख्या के विमान को [[सिलेंडर (ज्यामिति)]] तक बंद करने में सफल होती है।<ref name="yaglom">{{cite book|first=I. M.|last=Yaglom|date=1979|title=एक साधारण गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और इसका भौतिक आधार|publisher=Springer|isbn=0-387-90332-1|mr=520230|url-access=registration|url=https://archive.org/details/simplenoneuclide0000iagl}}</ref>{{rp|149–153}}

कल्पना करना {{mvar|D}} द्वैत संख्याओं का वलय है {{math|''x'' + ''yε''}} और {{mvar|U}} के साथ सबसेट है {{math|''x'' ≠ 0}}. तब {{mvar|U}} की [[इकाइयों का समूह]] है {{mvar|D}}. होने देना {{math|''B'' {{=}} {(''a'', ''b'') ∈ ''D'' × ''D'' : ''a'' ∈ U or ''b'' ∈ U<nowiki>}</nowiki>}}. [[संबंध (गणित)]] को B पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है: {{math|(''a'', ''b'') ~ (''c'', ''d'')}} जब वहाँ एक है {{mvar|u}} में {{mvar|U}} ऐसा है कि {{math|''ua'' {{=}} ''c''}} और {{math|''ub'' {{=}} ''d''}}. यह संबंध वास्तव में [[तुल्यता संबंध]] है। प्रक्षेप्य रेखा के बिंदु {{mvar|D}} समकक्ष वर्ग हैं {{mvar|B}} इस संबंध के अंतर्गत {{math|''P''(''D'') {{=}} ''B''/~}}. उन्हें प्रक्षेपीय निर्देशांक{{math|[''a'', ''b'']}} के साथ दर्शाया गया है ।

[[एम्बेडिंग]] पर विचार करें {{math|''D'' → ''P''(''D'')}} द्वारा {{math|''z'' → [''z'', 1]}}. फिर अंक {{math|[1, ''n'']}}, के लिए {{math|''n''<sup>2</sup> {{=}} 0}}, में हैं {{math|''P''(''D'')}} लेकिन एम्बेडिंग के तहत किसी बिंदु की छवि नहीं हैं। {{math|''P''(''D'')}} को प्रोजेक्शन (गणित) द्वारा एक सिलेंडर (ज्यामिति) पर मैप किया जाता है: लाइन पर डबल नंबर प्लेन के लिए सिलेंडर स्पर्शरेखा लें {{math|{''yε'' : ''y'' ∈ <math>\mathbb{R}</math><nowiki>}</nowiki>}}, {{math|''ε''<sup>2</sup> {{=}} 0}}. अब समतलों की [[पेंसिल (गणित)]] के अक्ष के लिए बेलन पर विपरीत रेखा लें। द्वैत संख्या वाले विमान और सिलेंडर को काटने वाले विमान इन सतहों के बीच बिंदुओं का पत्राचार प्रदान करते हैं। द्वैत संख्या वाले विमान के समानांतर विमान बिंदुओं से  {{math|[1, ''n'']}}, {{math|''n''<sup>2</sup> {{=}} 0}} द्वैत संख्याओं पर प्रक्षेपी रेखा में मेल खाता है ।

== यह भी देखें ==
* चिकना अतिसूक्ष्म विश्लेषण
* व्यवधान सिद्धांत
* अनंत
* पेंच सिद्धांत
* [[दोहरी जटिल संख्या|द्वैत जटिल संख्या]]
* लैगुएरे परिवर्तन
* ग्रासमैन संख्या
* स्वचालित भेदभाव द्वैत संख्या का उपयोग करके स्वचालित भेदभाव

==संदर्भ==
{{Reflist|30em}}




===अग्रिम पठन===
{{refbegin|30em}}
*{{cite journal |last=Bencivenga |first=Ulderico |date=1946 |title=Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo |language=Italian |trans-title=On the geometric representation of double algebras with modulus |journal=Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli |series=3 |mr=0021123 |volume=2 |issue=7}}
*{{cite journal |last=Clifford |first=William Kingdon |author-link=William Kingdon Clifford |date=1873 |title=Preliminary Sketch of Bi-quaternions |journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]] |volume=4 |pages=381–395}}
*{{cite journal |last1=Harkin |first1=Anthony A. |last2=Harkin |first2=Joseph B. |date=April 2004 |title=Geometry of Generalized Complex Numbers |journal=[[Mathematics Magazine]] |doi=10.1080/0025570X.2004.11953236 |s2cid=7837108 |volume=77 |issue=2 |pages=118–129 |url=http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}
*{{cite journal |last1=Miller |first1=William |last2=Boehning |first2=Rochelle |date=1968 |title=Gaussian, Parabolic and Hyperbolic Numbers |journal=[[The Mathematics Teacher]] |volume=61 |issue=4 |pages=377–382|doi=10.5951/MT.61.4.0377 }}
*{{cite book |last=Study |first=Eduard |author-link=Eduard Study |date=1903 |title=Geometrie der Dynamen |page=196 |publisher=B. G. Teubner |url=http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03150002}} From ''Cornell Historical Mathematical Monographs'' at [[Cornell University]].
*{{cite book |last=Yaglom |first=I. M. |author-link=Isaak Yaglom |others=Translated from Russian by Eric J. F. Primrose |date=1968 |title=Complex Numbers in Geometry |publisher=[[Academic Press]] |location=New York and London |page=[https://archive.org/details/complexnumbersge00yagl_880/page/n20 12]&ndash;18 |url=https://archive.org/details/complexnumbersge00yagl_880 |url-access=limited}}
*{{cite book |last=Brand |first=Louis |date=1947 |title=Vector and tensor analysis |publisher=John Wiley & Sons |location=New York}}
*{{cite book |last=Fischer |first=Ian S. |date=1999 |title=Dual number methods in kinematics, static and dynamics |publisher=CRC Press |location=Boca Raton}}
*{{cite book |last=Bertram |first=W. |date=2008 |title=Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces over General Base Fields and Rings |series=Memoirs of the AMS |publisher=Amer. Math. Soc. |location=Providence, Rhode Island |volume=192 |number=900}}
*{{cite web |title="Higher" tangent space |website=math.stackexchange.com |url=https://math.stackexchange.com/a/430886}}
{{refend}}

{{Number systems}}
{{DEFAULTSORT:Dual Number}}

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