View source for ध्रुवीकरण घनत्व

{{Short description|Vector field describing the density of electric dipole moments in a dielectric material}}
{{Electromagnetism|cTopic=Electrostatics}}

[[शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व|मौलिक विद्युत चुंबकत्व]] में, '''ध्रुवीकरण घनत्व''' (या विद्युत ध्रुवीकरण, या बस ध्रुवीकरण) सदिश क्षेत्र है जो [[ढांकता हुआ|अचालक]] पदार्थ में स्थायी या प्रेरित [[विद्युत द्विध्रुवीय क्षण|विद्युत द्विध्रुवीय क्षणों]] के घनत्व को व्यक्त करता है। जब परावैद्युत को बाहरी [[विद्युत क्षेत्र]] में रखा जाता है, तो इसके अणु विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण प्राप्त कर लेते हैं और परावैद्युत को ध्रुवित कहा जाता है। परावैद्युत पदार्थ के प्रति इकाई आयतन से प्रेरित वैद्युत द्विध्रुव आघूर्ण परावैद्युत का विद्युत ध्रुवण कहलाता है।<ref name="Gri07">''Introduction to Electrodynamics'' (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, {{ISBN|81-7758-293-3}}</ref><ref name="Enc94">''McGraw Hill Encyclopaedia of Physics'' (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, {{ISBN|0-07-051400-3}}</ref>

ध्रुवीकरण घनत्व यह भी वर्णन करता है कि कैसे पदार्थ प्रयुक्त विद्युत क्षेत्र के साथ-साथ जिस तरह से पदार्थ विद्युत क्षेत्र को बदलती है, उस पर प्रतिक्रिया करती है, [[और]] उन पारस्परिक क्रिया से उत्पन्न होने वाले बलों की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। इसकी तुलना चुंबकीयकरण से की जा सकती है, जो [[चुंबकत्व]] में [[चुंबकीय क्षेत्र]] के लिए पदार्थ की संगत प्रतिक्रिया का माप है। माप की एसआई इकाई [[कूलम्ब]] प्रति वर्ग मीटर है, और ध्रुवीकरण घनत्व सदिश '''P''' द्वारा दर्शाया गया है।<ref name="Enc94" />



== परिभाषा ==

बाहरी विद्युत क्षेत्र जो अचालक पदार्थ पर प्रयुक्त होता है, बंधे हुए आवेशित तत्वों के विस्थापन का कारण बनता है। ये ऐसे तत्व हैं जो अणुओं से बंधे होते हैं और पदार्थ के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र नहीं होते हैं। धनात्मक आवेशित तत्व क्षेत्र की दिशा में विस्थापित होते हैं, और ऋणात्मक आवेशित तत्व क्षेत्र की दिशा के विपरीत विस्थापित होते हैं। अणु आवेश में तटस्थ रह सकते हैं, फिर भी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण बनता है।<ref name="Irodov">[[Igor Irodov|Irodov, I.E.]] (1986). ''Basic Laws of Electromagnetism''. Mir Publishers, CBS Publishers & Distributors. {{ISBN|81-239-0306-5}}</ref><ref name="Matveev">Matveev. A. N. (1986). ''Electricity and Magnetism''. Mir Publishers.</ref>

निश्चित मात्रा तत्व <math>\Delta V</math> के लिए पदार्थ में, जो द्विध्रुव आघूर्ण <math>\Delta\mathbf p</math> वहन करता है, हम ध्रुवीकरण घनत्व {{math|'''P'''}} को परिभाषित करते हैं:
<math display="block">\mathbf P = \frac{\Delta\mathbf p}{\Delta V}</math>
सामान्यतः, द्विध्रुवीय आघूर्ण <math>\Delta\mathbf p</math> परावैद्युत के अन्दर एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलता है। इसलिए, अपरिमेय द्विध्रुव आघूर्ण {{math|d'''p'''}} के साथ अतिसूक्ष्म आयतन dV के अंदर परावैद्युत का ध्रुवीकरण घनत्व {{math|'''P'''}} है:
{{NumBlk||<math display="block">\mathbf P = {\mathrm d\mathbf p \over \mathrm d V} </math>|{{EquationRef|1}}}}

ध्रुवीकरण के परिणामस्वरूप प्रकट होने वाले शुद्ध आवेश को बाध्य आवेश कहा जाता है और इसे <math>Q_b</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।

"द्विध्रुवीय क्षण प्रति इकाई आयतन" के रूप में ध्रुवीकरण घनत्व की यह परिभाषा व्यापक रूप से अपनाई गई है, चूंकि कुछ स्थितियों में यह अस्पष्टता और विरोधाभास उत्पन्न कर सकती है।<ref name=def_P_M_Maxwell_eqs>{{Cite journal |author = C.A. Gonano |author2 = R.E. Zich |author3 = M. Mussetta |title = ध्रुवीकरण पी और चुंबकीयकरण एम की परिभाषा मैक्सवेल के समीकरणों के साथ पूरी तरह से संगत है|journal = Progress in Electromagnetics Research B |volume = 64 |pages= 83–101 |year = 2015 |doi = 10.2528/PIERB15100606 |url= http://www.jpier.org/PIERB/pierb64/06.15100606.pdf | doi-access = free }}</ref>

== अन्य भाव ==

मान लीजिए कि परावैद्युत के अन्दर आयतन {{math|d''V''}} पृथक है। ध्रुवीकरण के कारण धनात्मक परिबद्ध आवेश <math>\mathrm d q_b^+</math> दूर विस्थापित किया जाएगा <math>\mathbf d </math> नकारात्मक बाध्य आवेश के सापेक्ष <math>\mathrm d q_b^-</math>, द्विध्रुव आघूर्ण <math> \mathrm d \mathbf p = \mathrm d q_b\mathbf d</math> उत्पन्न करता है। ({{EquationNote|1}}) में इस अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन उपज है:
<math display="block">\mathbf P = {\mathrm d q_b \over \mathrm d V}\mathbf d </math>
चूंकि आवेश <math>\mathrm d q_b</math> आयतन {{math|d''V''}} में बाध्य <math>\rho_b \mathrm d V</math> के बराबर है, {{math|'''P'''}} के लिए समीकरण बन जाता है:<ref name="Irodov" />
{{NumBlk||<math display="block">\mathbf P = \rho_b \mathbf d </math>|{{EquationRef|2}}}}
जहाँ <math> \rho_b </math> विचाराधीन आयतन में परिबद्ध आवेश का घनत्व है। उपरोक्त परिभाषा से यह स्पष्ट है कि द्विध्रुव समग्र रूप से तटस्थ हैं, अर्थात् <math> \rho_b </math> आयतन के अन्दर विपरीत आवेश के समान घनत्व द्वारा संतुलित होता है। जो आवेश संतुलित नहीं हैं, वे नीचे चर्चा किए गए मुक्त आवेश का हिस्सा हैं।

== ''P'' क्षेत्र के लिए गॉस का नियम ==
किसी दिए गए आयतन {{mvar|V}} के लिए सतह {{mvar|S}} से घिरा हुआ है, इसके अंदर बाध्य आवेश <math>Q_b</math> ऋणात्मक चिन्ह के साथ {{mvar|S}} के माध्यम से {{math|'''P'''}} के प्रवाह के बराबर है, या

{{NumBlk|:|{{oiint|preintegral = <math>-Q_b = </math> | intsubscpt = <math>{\scriptstyle S}</math> | integrand = <math>\mathbf{P} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}</math>}}|{{EquationRef|3}}}}

{{math proof|proof=
माना सतह क्षेत्र {{mvar|S}} परावैद्युत भाग का आवरण है। ध्रुवीकरण होने पर नकारात्मक और सकारात्मक बाध्य आवेश विस्थापित हो जाएंगे। मान लीजिए कि {{math|''d''<sub>1</sub>}} और {{math|''d''<sub>2</sub>}} ध्रुवीकरण के बाद क्षेत्र d''A'' के तत्व द्वारा गठित विमान से क्रमशः बाध्य आवेशों <math>\mathrm d q_b^-</math> और <math>\mathrm d q_b^+</math>, की दूरी हैं। और माना {{math|d''V''<sub>1</sub>}} और {{math|d''V''<sub>2</sub>}} क्षेत्र  d''A'' के नीचे और ऊपर संलग्न आयतन हैं।

[[File:Surface Integral Polarization.jpg|thumb|ऊपर: प्राथमिक आयतन d''V'' = d''V<sub>1</sub>''+ d''V<sub>2</sub>'' (क्षेत्रीय d'''A''' के तत्व से घिरा हुआ) इतना छोटा है, कि इसके द्वारा घिरे द्विध्रुव को दो प्राथमिक विपरीत आवेशों द्वारा उत्पन्न माना जा सकता है। नीचे, समतलीय दृश्य (विस्तार करने के लिए चित्र पर क्लिक करें)।]]

यह इस प्रकार है कि ऋणात्मक परिबद्ध आवेश <math>\mathrm d q_b^- = \rho_b^-\ \mathrm d V_1 = \rho_b^- d_1\ \mathrm d A</math> सतह के बाहरी भाग d''A'' से अंदर की ओर चला गया, किन्तु सकारात्मक बाध्य आवेश <math>\mathrm d q_b^+ = \rho_b\ \mathrm d V_2 = \rho_b d_2\ \mathrm d A</math> सतह के आंतरिक भाग से बाहर की ओर चला गया।

आवेश के संरक्षण के नियम द्वारा कुल परिबद्ध आवेश <math>\mathrm d Q_b</math> ध्रुवीकरण के बाद आयतन <math>\mathrm d V</math> के अंदर छोड़ दिया जाता है:
<math display="block">\begin{align}
\mathrm{d} Q_b
& = \mathrm{d} q_\text{in} - \mathrm{d} q_\text{out} \\
& = \mathrm{d} q_b^- - \mathrm{d} q_b^+ \\
& = \rho_b^- d_1\ \mathrm{d} A - \rho_b d_2\ \mathrm{d} A
\end{align}</math>

इसलिए <math display="block">\rho_b^- = -\rho_b</math> और (दाईं ओर छवि देखें)
<math display="block">\begin{align}
d_1 &= (d - a)\cos(\theta) \\
d_2 &= a\cos(\theta)
\end{align}</math>

उपरोक्त समीकरण बन जाता है
<math display="block">\begin{align}
\mathrm{d} Q_b
&= - \rho_b (d - a)\cos(\theta)\ \mathrm{d} A - \rho_b a\cos(\theta)\ \mathrm{d} A \\
&= - \rho_b d\ \mathrm{d} A \cos(\theta) 
\end{align}</math>

({{EquationNote|2}}) के द्वारा यह <math>\rho_b d = P</math> का अनुसरण करता है, इसलिये हम पाते हैं: 
<math display="block">\begin{align}
   \mathrm{d} Q_b &= - P\ \mathrm{d} A \cos(\theta) \\
  -\mathrm{d} Q_b &= \mathbf{P} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}
\end{align}</math>

और इस समीकरण को पूरी बंद सतह ''S'' पर एकीकृत करके हम पाते हैं कि
:{{oiint
 | preintegral = <math>-Q_b = </math>
 | intsubscpt = <math>\scriptstyle{S}</math>
 | integrand = <math>\mathbf{P} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}</math>
}}

जो प्रमाण को पूरा करता है।
}}

=== विभेदक रूप ===

विचलन प्रमेय द्वारा, क्षेत्र '''P''' के लिए गॉस के नियम को 'अंतर रूप' में कहा जा सकता है:
<math display="block">-\rho_b = \nabla \cdot \mathbf P,</math>
जहाँ {{math|∇ · '''P'''}} किसी दिए गए सतह के माध्यम से क्षेत्र '''P''' का विचलन है जिसमें बाध्य आवेश घनत्व <math>\rho_b</math> होता है।

{{math proof|proof=
विचलन प्रमेय द्वारा हमारे पास यह है
<math display="block">-Q_b = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf P\ \mathrm{d} V,</math>
बाध्य आवेश <math>Q_b</math> वाले आयतन ''V'' के लिए।  और चूँकि <math>Q_b</math> बाध्य आवेश घनत्व <math>\rho_b</math> का अभिन्न अंग है, जो ''S'' द्वारा संलग्न संपूर्ण आयतन ''V'' पर लिया गया है, उपरोक्त समीकरण की उपज
<math display="block">-\iiint_V \rho_b \ \mathrm{d} V = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{P}\ \mathrm{d} V ,</math>
जो सत्य है यदि और केवल यदि <math>-\rho_b = \nabla \cdot \mathbf{P}</math>
}}

== ''P'' और ''E'' के क्षेत्रों के बीच संबंध ==

=== सजातीय, समदैशिक अचालक ===
[[समरूपता (भौतिकी)|सजातीय]], रैखिक, गैर-फैलाने वाला और [[समदैशिक]] अचालक माध्यम में, ध्रुवीकरण विद्युत क्षेत्र '''E''' के साथ गठबंधन और [[आनुपातिकता (गणित)|आनुपातिक]] है:<ref name="Fay64">Feynman, R.P.; Leighton, R.B. and Sands, M. (1964) ''Feynman Lectures on Physics: Volume 2'', Addison-Wesley, {{ISBN|0-201-02117-X}}</ref>[[File:Dielectric sphere.svg|thumb|250px| '''E'''-क्षेत्र नहीं दिखाया गया है: ये एक ही दिशा में इंगित करती हैं, लेकिन कई क्षेत्र रेखाएँ गोले की सतह पर प्रारंभ और समाप्त होती हैं, जहाँ परिबद्ध आवेश होता है। परिणामस्वरूप, '''E'''-क्षेत्र रेखाओं का घनत्व बाहर की तुलना में गोले के अंदर कम होता है, जो इस तथ्य से मेल खाता है कि '''E'''-क्षेत्र बाहर की तुलना में गोले के अंदर अशक्त है।]]
<math display="block">\mathbf{P} = \chi\varepsilon_0 \mathbf E,</math>
जहाँ {{math|''ε''<sub>0</sub>}} [[विद्युत स्थिरांक]] है, और {{mvar|χ}} माध्यम की [[विद्युत संवेदनशीलता]] है। ध्यान दें कि इस स्थिति में {{mvar|χ}} अदिश के लिए सरल है, चूंकि अधिक सामान्यतः यह [[टेन्सर]] है। यह अचालक के समदैशिकता के कारण विशेष स्थिति है।

''''P'''<nowiki/>' और ''''E'''<nowiki/>' के बीच इस संबंध को ध्यान में रखते हुए, समीकरण ({{EquationNote|3}}) बन जाता है:<ref name="Irodov" />

:{{oiint
 | preintegral = <math>-Q_b = \chi\varepsilon_0\ </math>
 | intsubscpt = <math>\scriptstyle{S}</math>
 | integrand = <math>\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}</math>
}}

समाकलन में अभिव्यक्ति क्षेत्र {{math|'''E'''}} के लिए गॉस का नियम है, जो कुल आवेश उत्पन्न करता है, दोनों मुक्त <math>(Q_f)</math> और बाध्य <math>(Q_b)</math>, आयतन {{mvar|V}} में {{mvar|S}} से घिरा हुआ है।<ref name="Irodov" /> इसलिए,

<math display="block">\begin{align}
             -Q_b &=  \chi Q_\text{total} \\
                  &=  \chi \left(Q_f + Q_b\right) \\[3pt]
  \Rightarrow Q_b &= -\frac{\chi}{1 + \chi} Q_f,
\end{align}</math>
जिसे मुक्त आवेश और बाध्य आवेश घनत्व के रूप में लिखा जा सकता है (आवेश, उनके आयतन आवेश घनत्व और दिए गए आयतन के बीच संबंध पर विचार करके):
<math display="block">\rho_b = -\frac{\chi}{1 + \chi} \rho_f</math>
चूंकि सजातीय अचालक के अन्दर कोई मुक्त आवेश <math>(\rho_f = 0)</math> नहीं हो सकता है, अंतिम समीकरण से यह पता चलता है कि पदार्थ <math>(\rho_b = 0)</math> में कोई बल्क बाध्य आवेश नहीं है। और चूँकि मुक्त आवेश परावैद्युत के उतने ही निकट हो सकते हैं जितना कि उसकी सबसे ऊपरी सतह पर, यह इस प्रकार है कि ध्रुवीकरण केवल सतह बाध्य आवेश घनत्व को बना देता है। आयतन बाध्य आवेश घनत्व <math>\rho_b</math> के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए <math>\sigma_b</math> को अस्वीकृत किया)<ref name="Irodov" />

<math>\sigma_b</math> निम्नलिखित समीकरण द्वारा {{math|'''P'''}} से संबंधित हो सकता है:<ref name="grant08">Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, {{ISBN|978-0-471-92712-9}}</ref>
<math display="block">\sigma_b = \mathbf{\hat{n}}_\text{out} \cdot \mathbf{P}</math>
जहाँ <math>\mathbf{\hat{n}}_\text{out}</math> बाहर की ओर संकेत करते हुए सतह {{math|''S''}} का [[सामान्य वेक्टर|सामान्य सदिश]] है। (कठोर प्रमाण के लिए चार्ज घनत्व देखें)

=== [[एनिस्ट्रोपिक]] अचालक ===

अचालकों का वर्ग जहां ध्रुवीकरण घनत्व और विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में नहीं होते हैं, उन्हें एनिस्ट्रोपिक पदार्थ के रूप में जाना जाता है।

ऐसे पदार्थों में, ध्रुवीकरण का {{mvar|i}}-वां घटक विद्युत क्षेत्र के {{mvar|j}}-वें घटक से संबंधित है:<ref name="Fay64"/>

<math display="block">P_i = \sum_j \epsilon_0 \chi_{ij} E_j ,</math>
उदाहरण के लिए, यह संबंध दिखाता है कि पदार्थ z दिशा में क्षेत्र लगाने से x दिशा में ध्रुवीकरण कर सकती है, और इसी तरह से और अन्य। एनिस्ट्रोपिक अचालक माध्यम की स्थिति [[ क्रिस्टल प्रकाशिकी |क्रिस्टल प्रकाशिकी]] के क्षेत्र द्वारा वर्णित है।

जैसा कि अधिकांश विद्युत चुंबकत्व में होता है, यह संबंध क्षेत्रों के मैक्रोस्कोपिक औसत और द्विध्रुवीय घनत्व से संबंधित है, जिससे किसी के पास अचालक पदार्थों का निरंतर अनुमान हो जो परमाणु-पैमाने के व्यवहारों की उपेक्षा करता है। माध्यम में अलग-अलग कणों की ध्रुवीकरण क्षमता क्लॉसियस-मोसोटी संबंध द्वारा औसत संवेदनशीलता और ध्रुवीकरण घनत्व से संबंधित हो सकती है।

सामान्य रूप से, संवेदनशीलता प्रयुक्त क्षेत्र की [[आवृत्ति]] ω का कार्य है। जब क्षेत्र समय {{mvar|t}} का इच्छानुसार कार्य है, तो ध्रुवीकरण {{math|'''E'''(''t'')}} के साथ {{math|''χ''(''ω'')}} के [[निरंतर फूरियर रूपांतरण|फोरियर रूपांतरण]] का [[कनवल्शन|दृढ़ संकल्प]] है। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि सामग्री में द्विध्रुव तुरंत प्रयुक्त क्षेत्र पर प्रतिक्रिया नहीं दे सकते हैं, और कार्य-कारण संबंधी विचार क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों को जन्म देते हैं।

यदि ध्रुवीकरण P विद्युत क्षेत्र {{math|'''E'''}} के समानुपाती नहीं है, तो माध्यम को अरैखिक कहा जाता है और इसे अरैखिक प्रकाशिकी के क्षेत्र द्वारा वर्णित किया जाता है। अच्छे सन्निकटन के लिए (पर्याप्त रूप से अशक्त क्षेत्रों के लिए, यह मानते हुए कि कोई स्थायी द्विध्रुवीय क्षण उपस्थित नहीं हैं), '''P''' को सामान्यतः {{math|'''E'''}} में [[टेलर श्रृंखला]] द्वारा दिया जाता है, जिसके गुणांक गैर-रैखिक संवेदनशीलता हैं:

<math display="block">\frac{P_i}{\epsilon_0} = \sum_j \chi^{(1)}_{ij} E_j + \sum_{jk} \chi_{ijk}^{(2)} E_j E_k + \sum_{jk\ell} \chi_{ijk\ell}^{(3)} E_j E_k E_\ell + \cdots </math>
जहाँ <math>\chi^{(1)}</math> रैखिक संवेदनशीलता, <math>\chi^{(2)}</math> दूसरे क्रम की संवेदनशीलता (पॉक्सल्स प्रभाव, [[ऑप्टिकल सुधार|ऑप्टिकल संशोधन]] और [[दूसरी-हार्मोनिक पीढ़ी]] जैसी घटनाओं का वर्णन), और <math>\chi^{(3)}</math> तीसरे क्रम की संवेदनशीलता है ([[केर प्रभाव]] और विद्युत क्षेत्र-प्रेरित ऑप्टिकल संशोधन जैसे तीसरे क्रम के प्रभावों का वर्णन है)।

[[फेरोइलेक्ट्रिक]] पदार्थों में, [[हिस्टैरिसीस]] के कारण '''P''' और '''E''' के बीच कोई एक-से-एक पत्राचार नहीं होता है।

== मैक्सवेल के समीकरणों में ध्रुवीकरण घनत्व ==

विद्युत क्षेत्रों का व्यवहार ({{math|'''E'''}}, {{math|'''D'''}}), चुंबकीय क्षेत्र ({{math|'''B'''}}, {{math|'''H'''}}), आवेश का घनत्व ({{mvar|ρ}}) और [[वर्तमान घनत्व]] ({{math|'''J'''}}) के व्यवहार को मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा पदार्थ में वर्णित किया गया है।

आयतन आवेश घनत्व के संदर्भ में, मुक्त आवेश घनत्व <math>\rho_f</math> द्वारा दिया गया है

<math display="block">\rho_f = \rho - \rho_b</math>
जहाँ <math>\rho</math> कुल आवेश घनत्व है। उपर्युक्त समीकरण के प्रत्येक नियमों के संबंध को उनके संबंधित क्षेत्रों ([[विद्युत विस्थापन क्षेत्र]] के विचलन) के विचलन पर विचार करके {{math|'''D'''}}, {{math|'''E'''}} और {{math|'''P'''}} उस क्रम में), इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref>{{cite book
 | last1 = Saleh | first1 = B.E.A.
 | last2 = Teich+ | first2 = M.C.
 | title = फोटोनिक्स की मूल बातें| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | year = 2007 | location = Hoboken, NJ | pages = 154 | isbn = 978-0-471-35832-9}}</ref>

<math display="block">\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}.</math>
इसे विद्युत क्षेत्रों के लिए [[संवैधानिक समीकरण]] के रूप में जाना जाता है। यहाँ {{math|''ε''<sub>0</sub>}} खाली स्थान की [[विद्युत पारगम्यता]] है। इस समीकरण में, '''P''' पदार्थ में प्रेरित (नकारात्मक) क्षेत्र है जब निश्चित आवेश, द्विध्रुव, कुल अंतर्निहित क्षेत्र '''E''' के उत्तर में स्थानांतरित होते हैं, जबकि '''D''' शेष आवेशों के कारण क्षेत्र है, जिसे मुक्त आवेश के रूप में जाना जाता है।<ref name="def_P_M_Maxwell_eqs"/><ref name=bound_charge_current>{{Cite journal | author = A. Herczynski | title = बाध्य प्रभार और धाराएं| journal = American Journal of Physics | volume = 81 | issue = 3 | pages = 202–205 | year = 2013 | url = http://www.bc.edu/content/dam/files/schools/cas_sites/physics/pdf/herczynski/AJP-81-202.pdf | bibcode = 2013AmJPh..81..202H | doi = 10.1119/1.4773441}}</ref>

सामान्यतः, {{math|'''P'''}} माध्यम के आधार पर {{math|'''E'''}} के कार्य के रूप में भिन्न होता है, जैसा लेख में बाद में बताया गया है। कई समस्याओं में, {{math|'''E'''}} और कुल आवेश की तुलना में {{math|'''D'''}} और मुक्त आवेश के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है।<ref name="Gri07" />

इसलिए, ग्रीन के प्रमेय के माध्यम से ध्रुवीकृत माध्यम को चार घटकों में विभाजित किया जा सकता है।

* बाध्य आयतनेट्रिक आवेश घनत्व: <math>\rho_b = -\nabla \cdot \mathbf{P}</math>
* बाध्य सतह आवेश घनत्व: <math>\sigma_b = \mathbf{\hat{n}}_\text{out} \cdot \mathbf{P}</math>
* मुक्त आयतनेट्रिक आवेश घनत्व: <math>\rho_f = \nabla \cdot \mathbf{D}</math>
* मुक्त सतह प्रभारी घनत्व: <math>\sigma_f = \mathbf{\hat{n}}_\text{out} \cdot \mathbf{D}</math>


=== समय-भिन्न ध्रुवीकरण घनत्व ===
जब ध्रुवीकरण घनत्व समय के साथ बदलता है, तो समय-निर्भर बाध्य-आवेश घनत्व ध्रुवीकरण वर्तमान घनत्व बनाता है:

<math display="block"> \mathbf{J}_p = \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} </math>
जिससे मैक्सवेल के समीकरणों में प्रवेश करने वाले कुल वर्तमान घनत्व द्वारा दिया गया हो:

<math display="block"> \mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}</math>
जहां '''J'''<sub>f</sub> मुक्त-आवेश विद्युत् घनत्व है, और दूसरा शब्द मैग्नेटाइजेशन विद्युत् घनत्व है (जिसे बाध्य विद्युत् घनत्व भी कहा जाता है), एटॉमिक-पैमाना मैग्नेटिक डिप्लोल्स (जब वे उपस्थित होते हैं) से योगदान हैं।

== ध्रुवीकरण अस्पष्टता{{dubious|date=September 2020}}==
[[File:BulkPolarizationIsAmbiguous.svg|thumb|200px|बल्क क्रिस्टल में ध्रुवीकरण घनत्व कैसे अस्पष्ट है, इसके उदाहरण। (a) ठोस क्रिस्टल। (b) सकारात्मक और नकारात्मक आवेश को निश्चित विधि  से जोड़कर, क्रिस्टल ऊपर की ओर ध्रुवीकरण प्रतीत होता है। (c) आवेशों को अलग-अलग युग्मित करने से, क्रिस्टल में नीचे की ओर ध्रुवीकरण प्रतीत होता है।]]

=== क्रिस्टलीय पदार्थ ===
ठोस के अंदर ध्रुवीकरण, सामान्य तौर पर, विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है। क्योंकि बल्क ठोस आवधिक होता है, ध्रुवीकरण की गणना करने के लिए इकाई सेल का चयन करना चाहिए (चित्र देखें)।<ref name="Respa">{{cite journal |last=Resta |first=Raffaele |year=1994 |title=Macroscopic polarization in crystalline dielectrics: the geometric phase approach |journal=Rev. Mod. Phys. |volume=66 |issue=3 |pages=899–915 |doi=10.1103/RevModPhys.66.899 |url=http://inside.mines.edu/~zhiwu/research/papers/E04_berry2.pdf|bibcode = 1994RvMP...66..899R }} See also: [http://www.physics.rutgers.edu/~dhv/talks/rahman.pdf D Vanderbilt, ''Berry phases and Curvatures in Electronic Structure Theory''], an introductory-level powerpoint.</ref><ref name="Spaldin">{{cite journal | last=Spaldin |first=Nicola A. |year=2012 |title=ध्रुवीकरण के आधुनिक सिद्धांत के लिए एक प्रारंभिक मार्गदर्शिका|journal=Journal of Solid State Chemistry |volume=195 |pages=2–10 |doi=10.1016/j.jssc.2012.05.010 |arxiv=1202.1831 |bibcode=2012JSSCh.195....2S |s2cid=55374298 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0022459612003234}}</ref> दूसरे शब्दों में, दो व्यक्ति, ऐलिस और बॉब, एक ही ठोस को देखते हुए, '''P''' के विभिन्न मानों की गणना कर सकते हैं, और उनमें से कोई भी गलत नहीं होगा। उदाहरण के लिए, यदि ऐलिस शीर्ष पर सकारात्मक आयनों के साथ इकाई सेल चुनता है और बॉब शीर्ष पर नकारात्मक आयनों के साथ इकाई सेल चुनता है, तो उनके परिकलित '''P''' सदिश विपरीत दिशाओं में होंगे। ऐलिस और बॉब ठोस में सूक्ष्म विद्युत क्षेत्र '''E''' पर सहमत होंगे, लेकिन विस्थापन क्षेत्र <math>\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math> के मान पर असहमत होंगे।

दूसरी ओर, तथापि '''P''' का मान बल्क ठोस में विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, P में भिन्नताएं विशिष्ट रूप से परिभाषित हैं।<ref name=Respa/> यदि क्रिस्टल को धीरे-धीरे संरचना से दूसरी संरचना में बदला जाता है, तो नाभिक और इलेक्ट्रॉनों की गति के कारण प्रत्येक इकाई कोशिका के अंदर धारा होगी। इस धारा के परिणामस्वरूप क्रिस्टल के एक ओर  से दूसरी ओर  आवेश का मैक्रोस्कोपिक ट्रांसफर होता है, और इसलिए इसे एमीटर (किसी अन्य विद्युत् की तरह) से मापा जा सकता है जब तार क्रिस्टल के विपरीत पक्षों से जुड़े होते हैं। वर्तमान का समय-अभिन्न P में परिवर्तन के समानुपाती होता है। वर्तमान की गणना कंप्यूटर सिमुलेशन (जैसे घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत) में की जा सकती है; एकीकृत धारा का सूत्र एक प्रकार का बेरी का चरण निकला।<ref name=Respa/> 

'''P''' की गैर-अद्वितीयता समस्यात्मक नहीं है, क्योंकि '''P''' का प्रत्येक मापने योग्य परिणाम वास्तव में '''P''' में निरंतर परिवर्तन का परिणाम है।<ref name="Respa" /> उदाहरण के लिए, जब पदार्थ को विद्युत क्षेत्र '''E''' में रखा जाता है, जो शून्य से परिमित मूल्य तक बढ़ जाता है, तो पदार्थ की इलेक्ट्रॉनिक और आयनिक स्थिति थोड़ी बदल जाती है। यह '''P''' को बदलता है, और परिणाम विद्युत संवेदनशीलता (और इसलिए पारगम्यता) है। अन्य उदाहरण के रूप में, जब कुछ क्रिस्टल गर्म होते हैं, तो उनकी इलेक्ट्रॉनिक और आयनिक स्थिति थोड़ी बदल जाती है, जिससे '''P''' बदल जाता है। परिणाम [[pyroelectricity|पाइरोइलेक्ट्रिकिटी]] है। सभी स्थितियों में, ब्याज के गुण '''P''' में परिवर्तन के साथ जुड़े होते हैं।

तथापि ध्रुवीकरण ''सैद्धांतिक रूप से'' गैर-अद्वितीय है, व्यवहार में यह अधिकांशतः (सदैव नहीं) विशिष्ट, अनूठी विधि से सम्मेलन द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, पूरी तरह से [[सेंट्रोसिमेट्रिक]] क्रिस्टल में, समरूपता तर्क के कारण '''P''' बिल्कुल शून्य है।

यह पायरोइलेक्ट्रिक पदार्थ में देखा जा सकता है। क्यूरी तापमान से ऊपर पदार्थ का ध्रुवीकरण नहीं होता है और इसमें सेंट्रोसिमेट्रिक विन्यस्त होता है। क्यूरी तापमान के नीचे तापमान को कम करना संरचनात्मक चरण संक्रमण को प्रेरित करता है जो सेंट्रोसिमेट्रिकिटी को तोड़ता है। पदार्थ का P विकृति के अनुपात में बढ़ता है, इस प्रकार इसे स्पष्ट रूप से परिभाषित करने की अनुमति देता है।

=== अक्रिस्टलीय पदार्थ ===
'''P''' की परिभाषा में एक और समस्या "इकाई आयतन" के इच्छानुसार विकल्प से संबंधित है, या अधिक स्पष्ट रूप से प्रणाली के पैमाने से संबंधित है।<ref name="def_P_M_Maxwell_eqs" /> उदाहरण के लिए, सूक्ष्म पैमाने पर प्लाज्मा को मुक्त आवेशों की गैस माना जा सकता है, इस प्रकार ''''P'''<nowiki/>' शून्य होना चाहिए। इसके विपरीत, मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर एक ही प्लाज्मा को सतत माध्यम के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जो पारगम्यता <math>\varepsilon(\omega) \neq 1</math> और इस प्रकार शुद्ध ध्रुवीकरण {{math|'''P''' ≠ '''0'''}} प्रदर्शित करता है।

== यह भी देखें ==
*[[क्रिस्टल की संरचना]]
* [[ फेरोबिजली ]]
*[[इलेक्ट्रेट]]
* [[ध्रुवीकरण (बहुविकल्पी)]]

==संदर्भ और नोट्स==
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==बाहरी संबंध==
*{{Commons category-inline}}

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