View source for नियमितता का अभिगृहीत

{{short description|Axiom of set theory}}
गणित में, नियमितता की अभिगृहीत (जिसे नींव की अभिगृहीत के रूप में भी जाना जाता है) ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का एक अभिगृहीत है जो बताता है कि प्रत्येक गैर-खाली [[Index.php?title=सेट|सेट]] ''ए'' में एक तत्व होता है जो ''ए'' से अलग होता है। पहले क्रम के तर्क में, अभिगृहीत पढ़ता है:
: <math>\forall x\,(x \neq \varnothing \rightarrow \exists y(y \in x\ \land y \cap x = \varnothing)).</math>
जोड़ी के अभिगृहीत के साथ नियमितता का अभिगृहीत तात्पर्य यह है कि कोई भी सेट स्वयं का एक तत्व नहीं है, और कोई अनंत [[अनुक्रम]] नहीं है (ए<sub>n</sub>) जैसे कि ए<sub>i+1</sub> सभी <sub>i</sub> के लिए ए<sub>i</sub> का एक तत्व है। निर्भर पसंद के अभिगृहीत (जो पसंद के अभिगृहीत का एक कमजोर रूप है) के साथ, इस परिणाम को उलटा किया जा सकता है: यदि ऐसा कोई अनंत क्रम नहीं है, तो नियमितता का अभिगृहीत सत्य है। इसलिए, इस संदर्भ में नियमितता का अभिगृहीत वाक्य के बराबर है कि नीचे की ओर अनंत सदस्यता श्रृंखलाएं नहीं हैं।

अभिगृहीत {{harvtxt|वॉन न्यूमैन|1925}} द्वारा पेश किया गया था; इसे {{harvtxt|ज़र्मेलो|1930}} द्वारा समकालीन पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले फॉर्मूलेशन के निकट इसे अपनाया गया था। नियमितता के अभाव में भी सेट थ्योरी पर आधारित गणित की शाखाओं में लगभग सभी परिणाम पकड़ में आते हैं; {{harvtxt|कुनेन|1980}} का अध्याय 3 देखें। तथापि, नियमितता से [[क्रमसूचक संख्या]] के कुछ गुणों को सिद्ध करना सरल हो जाता है; और यह न केवल [[सुव्यवस्थित]] सेटों पर इंडक्शन करने की अनुमति देता है बल्कि उचित वर्गों पर भी होता है जो [[Index.php?title=अच्छी तरह से स्थापित संबंधपरक|अच्छी तरह से स्थापित संबंधपरक]] संरचनाएं हैं जैसे कि लेक्सिकोोग्राफिक ऑर्डरिंग ऑन <math>\{ (n, \alpha) \mid n \in \omega \land \alpha \text{ is an ordinal } \} \,.</math>
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के अन्य अभिगृहीतों को देखते हुए, नियमितता का अभिगृहीत प्रेरण के अभिगृहीत के बराबर है। अंतर्ज्ञान के सिद्धांतों में नियमितता के अभिगृहीत के स्थान पर प्रेरण के अभिगृहीत का उपयोग किया जाता है (जो बहिष्कृत मध्य के नियम को स्वीकार नहीं करते हैं), जहां दो अभिगृहीत समान नहीं हैं।

नियमितता के अभिगृहीत को छोड़ने के अलावा, गैर-मानक सेट सिद्धांतों ने वास्तव में उन सेटों के अस्तित्व को स्वीकार किया है जो स्वयं के तत्व हैं।

== नियमितता के प्राथमिक निहितार्थ ==

=== कोई भी सेट स्वयं का एक तत्व नहीं है ===
A को एक सेट होने दें, और नियमितता के अभिगृहीत को {A} पर लागू करें, जो युग्मन के अभिगृहीत द्वारा एक सेट है। हम देखते हैं कि {ए} का एक तत्व होना चाहिए जो {ए} से अलग है। चूंकि {ए} का एकमात्र तत्व ए है, यह होना चाहिए कि ए {ए} से अलग है। इसलिए, चूंकि <math>A \cap \{A\} = \varnothing</math>, हमारे पास A ∈ A नहीं हो सकता (विच्छेद की परिभाषा के अनुसार)।

=== सेट का कोई अनंत अवरोही क्रम उपस्थित नहीं है ===
मान लीजिए, इसके विपरीत, प्रत्येक n के लिए f(n+1) के तत्व f(n) के साथ [[प्राकृतिक संख्या]]ओं पर एक फ़ंक्शन, f है। S = {f(n): n एक प्राकृतिक संख्या} परिभाषित करें, f की श्रेणी, जिसे प्रतिस्थापन के अभिगृहीत स्कीमा से एक सेट के रूप में देखा जा सकता है। नियमितता के अभिगृहीत को S पर लागू करते हुए, मान लीजिए B, S का एक अवयव है जो S से असंयुक्त है। S की परिभाषा के अनुसार, B को किसी प्राकृत संख्या k के लिए f(k) होना चाहिए। तथापि, हमें दिया गया है कि f(k) में f(k+1) है जो कि S का भी एक तत्व है। इसलिए f(k+1) f(k) और S के प्रतिच्छेदन में है। यह इस तथ्य का खंडन करता है कि वे असंयुक्त समुच्चय हैं। चूँकि हमारा अनुमान एक विरोधाभास का कारण बना, ऐसा कोई कार्य नहीं होना चाहिए, f।

स्वयं को समाहित करने वाले समुच्चय का अनस्तित्व एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है जहां अनुक्रम अनंत और स्थिर है।

ध्यान दें कि यह तर्क केवल उन कार्यों पर लागू होता है जिन्हें अपरिभाषित वर्गों के विपरीत सेट के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। आनुवंशिक रूप से परिमित सेट, वी<sub>ω</sub>, नियमितता के अभिगृहीत (और अनंत के अभिगृहीत को छोड़कर [[ZFC|जेडएफC]] के अन्य सभी अभिगृहीतों) को संतुष्ट करते हैं। इसलिए यदि कोई वी<sub>ω</sub> की गैर-तुच्छ [[ultraproduct|अल्ट्रापावर]] बनाता है, तो यह नियमितता के अभिगृहीत को भी संतुष्ट करेगा। परिणामी [[मॉडल (तर्क)|मॉडल]] में गैर-मानक प्राकृतिक संख्या कहलाने वाले तत्व सम्मिलित होंगे, जो उस मॉडल में प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा को पूरा करते हैं लेकिन वास्तव में प्राकृतिक संख्या नहीं हैं{{dubious|date=February 2023|reason=They satisfy the first-order Peano axioms, so it seems dubious to claim that they are not actually natural numbers. They presumably do not satisfy the second-order Peano axioms with respect to the subset relation of the "ambient" set theory inside of which the model is constructed. But don't they actually satisfy the second-order Peano axioms with respect to the internal subset relation of the model?}}। वे "नकली" प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो किसी भी वास्तविक प्राकृतिक संख्या से "बड़ी" हैं। इस मॉडल में तत्वों के अनंत अवरोही क्रम होंगे।{{clarification needed|date=February 2023|reason=Is the set membership relation in this infinite descending chain the "internal" set membership relation of the model? (I.e. the model's interpretation of the set membership relation?) Or is what follows referring to the set membership relation of the "ambient" set theory in which the model is constructed? Presumably it can't be the latter, because the fact that the latter has a von Neumann cumulative hierarchy, e.g. V_omega, seems to presuppose that it satisfies regularity, and thus otherwise this section would be describing a contradiction. If so, then this section ideally would clarify that what follows refers to the model's interpretation of the set membership relation, and that this is necessarily distinct from (in particular not the restriction of) the ambient set theory's set membership relation.}} उदाहरण के लिए, मान लीजिए n एक गैर-मानक प्राकृतिक संख्या है, तो <math>(n-1) \in n</math> और <math>(n-2) \in (n-1)</math>, और इसी तरह। किसी वास्तविक प्राकृतिक संख्या k के लिए, <math>(n-k-1) \in (n-k)</math>. यह तत्वों का कभी न खत्म होने वाला अवरोही क्रम है। लेकिन यह अनुक्रम मॉडल में निश्चित नहीं है और इस प्रकार सेट नहीं है। तो नियमितता के लिए कोई विरोधाभास सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

=== आदेशित जोड़ी की सरल सेट-सैद्धांतिक परिभाषा ===
नियमितता का अभिगृहीत [[क्रमित युग्म]] (a,b) को <nowiki>{</nowiki>a,<nowiki>{</nowiki>a,b<nowiki>}}</nowiki> के रूप में परिभाषित करने में सक्षम बनाता है; विशिष्टताओं के लिए आदेशित जोड़ी देखें। यह परिभाषा कैनोनिकल [[कुराटोव्स्की]]<nowiki> परिभाषा (a,b) = {{</nowiki>''a''<nowiki>}</nowiki>,<nowiki>{</nowiki>''a'',''b''<nowiki>}}</nowiki>से ब्रेसिज़ की एक जोड़ी को समाप्त करती है।

=== हर सेट में एक क्रमिक रैंक होती है ===
यह वास्तव में वॉन न्यूमैन के अभिगृहीतकरण में अभिगृहीत का मूल रूप था।

मान लीजिए x कोई समुच्चय है। मान लीजिए कि {x} का [[Index.php?title=सकर्मक संवरण|सकर्मक संवरण]] है। मान लीजिए कि आप टी का उपसमुच्चय हैं जिसमें बिना रैंक वाले समुच्चय हैं। यदि u खाली है, तो x को स्थान दिया गया है और हमारा काम हो गया। अन्यथा, u का तत्व w प्राप्त करने के लिए नियमितता के अभिगृहीत को u पर लागू करें जो u से अलग है। चूंकि w यू में है, w अनरैंक है। सकर्मक संवरण की परिभाषा के अनुसार w, t का एक उपसमुच्चय है। चूँकि w, u से असंयुक्त है, w का प्रत्येक अवयव श्रेणीबद्ध है। डब्ल्यू के तत्वों के रैंकों को जोड़ने के लिए प्रतिस्थापन और संघ के अभिगृहीतों को लागू करने के लिए, हम डब्ल्यू के लिए एक क्रमसूचक रैंक प्राप्त करते हैं <math>\textstyle \operatorname{rank} (w) = \cup \{ \operatorname{rank} (z) + 1 \mid z \in w \}</math>. यह इस निष्कर्ष का खंडन करता है कि w रैंक नहीं है। तो यह धारणा कि u खाली नहीं था गलत होना चाहिए और x का रैंक होना चाहिए।

=== प्रत्येक दो समुच्चयों के लिए, केवल एक ही दूसरे का अवयव हो सकता है ===
माना X और Y समुच्चय हैं। फिर सेट {एक्स, वाई} (जो युग्मन के अभिगृहीत द्वारा मौजूद है) के लिए नियमितता के अभिगृहीत को लागू करें। हम देखते हैं कि {X,Y} का एक तत्व होना चाहिए जो इससे अलग भी है। यह या तो एक्स या वाई होना चाहिए। तब डिजॉइंट की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास या तो वाई एक्स का तत्व नहीं है या इसके विपरीत होना चाहिए।

== निर्भर पसंद का अभिगृहीत और सेटों का कोई अनंत अवरोही क्रम नियमितता का अर्थ नहीं है ==
बता दें कि गैर-खाली सेट एस नियमितता के अभिगृहीत के लिए एक प्रति-उदाहरण है; अर्थात्, S के प्रत्येक तत्व का S के साथ एक गैर-रिक्त चौराहा है। हम S पर एक द्विआधारी संबंध R को परिभाषित करते हैं <math>aRb :\Leftrightarrow b \in S \cap a</math>, जो धारणा द्वारा संपूर्ण है। इस प्रकार, आश्रित पसंद के अभिगृहीत द्वारा, S में कुछ क्रम (a) है जो N में सभी n के लिए anRan+1 को संतुष्ट करता है। चूँकि यह एक अनंत अवरोही श्रृंखला है, हम एक विरोधाभास पर पहुँचते हैं और इसलिए, ऐसा कोई S मौजूद नहीं है।

== नियमितता और शेष जेडएफ(C) अभिगृहीत ==
{{harvtxt|स्कोलेम|1923}} और {{harvtxt|वॉन न्यूमैन|1929}} द्वारा नियमितता को शेष जेडएफ के साथ अपेक्षाकृत सुसंगत दिखाया गया था, जिसका अर्थ है कि यदि बिना नियमितता के जेडएफ संगत है, तो जेडएफ (नियमितता के साथ) भी संगत है। आधुनिक संकेतन में उनके प्रमाण के लिए उदाहरण के लिए {{harvtxt|Vaught|2001|loc=§10.1}} देखें।

नियमितता के अभिगृहीत को भी जेडएफ(C) के अन्य अभिगृहीतों से [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)|स्वतंत्र]] दिखाया गया था, यह मानते हुए कि वे सुसंगत हैं। परिणाम 1941 में [[पॉल बर्नेज़]] द्वारा घोषित किया गया था, यद्यपि उन्होंने 1954 तक एक सबूत प्रकाशित नहीं किया था। सबूत में सम्मिलित है (और अध्ययन के लिए) रिगर-बर्नेज़ क्रमचय मॉडल (या विधि), जो स्वतंत्रता के अन्य प्रमाणों के लिए उपयोग किए गए थे गैर-स्थापित प्रणालियाँ ({{harvnb|रथजेन|2004|p=193}} और {{harvnb|फ़ॉस्टर|2003|pp=210–212}}).

== नियमितता और रसेल का विरोधाभास ==
रसेल के विरोधाभास के कारण [[Index.php?title=नेव सेट सिद्धांत|नेव सेट सिद्धांत]] ([[अप्रतिबंधित समझ]] का अभिगृहीत स्कीमा और [[विस्तार का स्वयंसिद्ध|विस्तार का अभिगृहीत]]) असंगत है। समुच्चयों की प्रारंभिक औपचारिकताओं में, गणितज्ञों और तर्कशास्त्रियों ने समझने की अभिगृहीत स्कीमा को अलग करने की बहुत कमजोर अभिगृहीत स्कीमा के साथ बदलकर उस विरोधाभास से बचा लिया है। यद्यपि, यह कदम अकेले सेट के सिद्धांतों की ओर ले जाता है जिन्हें बहुत कमजोर माना जाता है।{{clarification needed|date=January 2023|reason=This seems to have in mind a specific result or interpretation, however what that might be is not stated. Ideally that would be given, along with a citation of at least one reference stating/explaining the corresponding result/interpretation.}}{{citation needed|date=January 2023}} इसलिए समझ की कुछ शक्ति को जेडएफ सेट सिद्धांत के अन्य अस्तित्व अभिगृहीतों के माध्यम से वापस जोड़ा गया था (जोड़ी, संघ, पॉवरसेट, प्रतिस्थापन और अनंत) जिसे समझ के विशेष मामलों के रूप में माना जा सकता है।{{citation needed|date=January 2023}}{{clarification needed|date=January 2023|reason=Interpreting this literally, if these axioms were all special cases of the particular comprehension axiom, then adding them back would neither strengthen nor weaken the theory. So clearly something slightly different is what the author had in mind, and expressed it this way heuristically. Fine. But a reference to a more precise explanation/result could still be helpful.}} अब तक, इन अभिगृहीतों से कोई विरोधाभास नहीं लगता है। इसके बाद, कुछ अवांछनीय गुणों वाले मॉडलों को बाहर करने के लिए पसंद के अभिगृहीत और नियमितता के अभिगृहीत जोड़े गए। इन दो अभिगृहीतों को अपेक्षाकृत सुसंगत माना जाता है।

अलगाव की अभिगृहीत योजना की उपस्थिति में, रसेल का विरोधाभास इस बात का प्रमाण बन जाता है कि सभी सेटों का कोई सेट नहीं है। युग्मन के अभिगृहीत के साथ नियमितता का अभिगृहीत भी इस तरह के एक सार्वभौमिक सेट को प्रतिबंधित करता है। तथापि, रसेल का विरोधाभास इस बात का प्रमाण देता है कि बिना किसी अतिरिक्त अभिगृहीत के अकेले अलगाव के अभिगृहीत स्कीमा का उपयोग करके "सभी सेटों का सेट" नहीं है। विशेष रूप से, जेडएफ नियमितता के अभिगृहीत के बिना पहले से ही इस तरह के एक सार्वभौमिक सेट को प्रतिबंधित करता है।

यदि एक सिद्धांत को एक अभिगृहीत या अभिगृहीत जोड़कर विस्तारित किया जाता है, तो मूल सिद्धांत के कोई भी (संभवतः अवांछनीय) परिणाम विस्तारित सिद्धांत के परिणाम बने रहते हैं। विशेष रूप से, यदि बिना नियमितता के जेडएफ को जेडएफ प्राप्त करने के लिए नियमितता जोड़कर बढ़ाया जाता है, तो कोई भी विरोधाभास (जैसे कि रसेल का विरोधाभास) जो मूल सिद्धांत से अनुसरण करता है, अभी भी विस्तारित सिद्धांत में अनुसरण करेगा।

क्विन परमाणुओं का अस्तित्व (सेट जो सूत्र समीकरण x = {x} को संतुष्ट करता है, यानी स्वयं को उनके एकमात्र तत्व के रूप में रखता है) जेडएफसी से नियमितता के अभिगृहीत को हटाकर प्राप्त सिद्धांत के अनुरूप है। रसेल के विरोधाभास के माध्यम से असंगत हुए बिना, विभिन्न गैर-सुधारित सेट सिद्धांत "सुरक्षित" परिपत्र सेट, जैसे कि क्विन परमाणु की अनुमति देते हैं।{{sfn|Rieger|2011|pp=175,178}}


== नियमितता, संचयी पदानुक्रम, और प्रकार ==
जेडएफ में यह सिद्ध किया जा सकता है कि class <math> \bigcup_{\alpha} V_\alpha </math>, जिसे वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड कहा जाता है, सभी सेटों के वर्ग के बराबर है। यह कथन नियमितता के अभिगृहीत के समतुल्य है (यदि हम जेडएफ में इस अभिगृहीत को छोड़े गए हैं)। किसी भी मॉडल से जो नियमितता के अभिगृहीत को संतुष्ट नहीं करता है, एक मॉडल जो इसे संतुष्ट करता है केवल सेट लेकर बनाया जा सकता है <math> \bigcup_{\alpha} V_\alpha </math>.

{{harvs|txt|last=एंडर्टन|first=हर्बर्ट|year=1977|loc=p. 206|author-link=हर्बर्ट एंडर्टन}} ने लिखा है कि "रैंक का विचार रसेल की प्रकार की अवधारणा का वंशज है"। प्रकार के सिद्धांत के साथ जेडएफ की तुलना करते हुए, [[अलसादेयर उर्कहार्ट]] ने लिखा है कि "ज़र्मेलो की प्रणाली में स्पष्ट रूप से टाइप किए गए चर सम्मिलित नहीं होने का उल्लेखनीय लाभ है, यद्यपि वास्तव में इसे निहित प्रकार की संरचना के रूप में देखा जा सकता है, कम से कम अगर नियमितता का अभिगृहीत सम्मिलित है। इस अंतर्निहित टाइपिंग का विवरण [ज़र्मेलो 1930] में और फिर से [[जॉर्ज बूलोस]] [बूलोस 1971] के एक प्रसिद्ध लेख में लिखा गया है।{{sfn|Urquhart|2003|p=305}}

{{harvs|txt|last=स्कॉट|first=डाना|year=1974|authorlink=डाना स्कॉट}} आगे जाकर दावा किया कि:

{{quote|सच्चाई यह है कि विरोधाभासों से बचने का केवल एक ही संतोषजनक तरीका है: अर्थात्, प्रकार के सिद्धांत के किसी रूप का उपयोग। यह रसेल और ज़र्मेलो दोनों के अंतर्ज्ञान के आधार पर था। वास्तव में ज़र्मेलो के सिद्धांत को मानने का सबसे अच्छा तरीका रसेल के सरलीकरण और विस्तार के रूप में है। (हमारा मतलब रसेल के प्रकार के सरल सिद्धांत से है।) सरलीकरण प्रकारों को संचयी बनाना था। इस प्रकार प्रकारों का मिश्रण आसान होता है और कष्टप्रद दोहराव से बचा जाता है। एक बार जब बाद के प्रकारों को पहले वाले जमा करने की अनुमति दी जाती है, तो हम आसानी से प्रकारों को ट्रांसफ़िन में विस्तारित करने की कल्पना कर सकते हैं - हम कितनी दूर जाना चाहते हैं, यह आवश्यक रूप से खुला छोड़ दिया जाना चाहिए। अब रसेल ने अपने संकेतन में अपने प्रकारों को स्पष्ट किया और ज़र्मेलो ने उन्हें निहित छोड़ दिया।
}}
उसी पेपर में, स्कॉट दिखाता है कि संचयी पदानुक्रम के अंतर्निहित गुणों के आधार पर एक स्वैच्छिक प्रणाली नियमितता सहित जेडएफ के बराबर हो जाती है।{{sfn|Lévy|2002|p=73}}


== इतिहास ==

एक सेट की अच्छी तरह से नींव और रैंक दोनों की अवधारणा दिमित्री मिरिमानॉफ (1917) द्वारा पेश की गई थी। सी.एफ. {{harvtxt|लेवी|2002|p=68}} और {{harvtxt|हैलेट|1996|loc=§4.4, विशेष पृष्ठ 186, 188}}। मिरिमनॉफ़ ने समुच्चय x को "नियमित" (फ्रेंच: "ऑर्डिनेयर") कहा है यदि प्रत्येक अवरोही श्रृंखला x ∋ x<sub>1</sub> ∋ एक्स<sub>2</sub> ∋ ... परिमित है। मिरिमानॉफ ने तथापि नियमितता (और अच्छी तरह से स्थापित) की अपनी धारणा को सभी सेटों द्वारा देखे जाने वाले अभिगृहीत के रूप में नहीं माना;{{sfn|Halbeisen|2012|pp=62–63}} बाद के पत्रों में मिरिमनॉफ़ ने यह भी पता लगाया कि अब गैर-अच्छी तरह से स्थापित सेट ("असाधारण" मिरिमानॉफ शब्दावली के रूप में क्या कहा जाता है)।{{sfn|Sangiorgi|2011|pp=17–19, 26}}

{{harvtxt|स्कोलेम|1923}} और {{harvtxt|वॉन न्यूमैन|1925}} ने बताया कि गैर-अच्छी तरह से स्थापित सेट अनावश्यक हैं (पृष्ठ 404 पर) और उसी प्रकाशन में वॉन न्यूमैन एक अभिगृहीत (अनुवाद में पृष्ठ 412) देता है जिसमें कुछ, लेकिन सभी गैर-स्थापित सेट सम्मिलित नहीं हैं।{{sfn|Rieger|2011|p=179}} बाद के प्रकाशन में, {{harvtxt|वॉन न्यूमैन|1928}} निम्नलिखित अभिगृहीत (ए। रिगर द्वारा आधुनिक संकेतन में प्रस्तुत) दिया:

: <math>\forall x\,(x \neq \emptyset \rightarrow \exists y \in x\,(y \cap x = \emptyset))</math>.

== [[Index.php?title=मूत्रवाहिनी|यूरेलेमेंट्स]] की उपस्थिति में नियमितता ==

यूरेलेमेंट ऐसी वस्तुएं हैं जो सेट नहीं हैं, लेकिन जो सेट के तत्व हो सकते हैं। जेडएफ सेट थ्योरी में, कोई यूरेलेमेंट्स नहीं हैं, लेकिन कुछ अन्य सेट थ्योरी जैसे जेडएफए में होते हैं। इन सिद्धांतों में, नियमितता के अभिगृहीत को संशोधित किया जाना चाहिए। कथन <math>x \neq \emptyset</math> को एक वर्णन के साथ प्रतिस्थापित करने की जरूरत है जो <math>x</math> खाली नहीं है और यूरेलमेंट नहीं है। एक उपयुक्त प्रतिस्थापन है <math>(\exists y)[y \in x]</math>, जो बताता है कि x [[आबाद सेट]] है।

== यह भी देखें ==
* गैर- अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांत
* स्कॉट की युक्ति
* एप्सिलॉन-प्रेरण

== संदर्भ ==
<references />


== स्रोत ==
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* {{citation | first= Paul Isaac|last = Bernays|author-link=Paul Bernays| title= A system of axiomatic set theory. Part VII |journal = The Journal of Symbolic Logic| volume = 19 |issue = 2| year = 1954 | pages = 81–96 | doi=10.2307/2268864 | jstor=2268864| url = http://doc.rero.ch/record/301843/files/S0022481200087570.pdf}}
*{{citation|last=Boolos|first= George |author-link=George Boolos | year= 1971 | title = The iterative conception of set | journal = Journal of Philosophy | volume = 68 |issue= 8 |pages= 215–231 | doi=10.2307/2025204 | jstor=2025204}} में पुनर्मुद्रित {{citation|last=Boolos|first= George |year=1998|title=Logic, Logic and Logic|pages=13–29|publisher=Harvard University Press}}
*{{citation | last= Enderton | first = Herbert B. | title = Elements of Set Theory | publisher = Academic Press | year=1977}}
*{{citation|title = Logic, induction and sets| last = Forster | first = T. | publisher = Cambridge University Press | year = 2003}}
*{{citation| first= Lorenz J. |last = Halbeisen | title=Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing|year=2012|publisher=Springer}}
* {{citation|first=Michael|last=Hallett|title=Cantorian set theory and limitation of size|publisher=Oxford University Press|year=1996|orig-year=first published 1984|isbn=978-0-19-853283-5}}
*{{Citation | last=Jech | first= Thomas |author-link=Thomas Jech | year= 2003 |title = Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded  |publisher=Springer| isbn = 978-3-540-44085-7}}
*{{Citation | last=Kunen | first=Kenneth |author-link=Kenneth Kunen | year = 1980|title = Set Theory: An Introduction to Independence Proofs| publisher=Elsevier| isbn=978-0-444-86839-8}}
*{{citation| last = Lévy | first =Azriel | author-link=Azriel Lévy | isbn = 978-0-486-42079-0 | year =2002 |orig-year= first published in 1979 | title=Basic set theory| publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York}}
*{{Citation | last1=Mirimanoff | first1=D. | title=Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la theorie des ensembles | year=1917 | journal=L'Enseignement Mathématique | volume=19|pages=37–52}}
*{{citation|editor1-first=Godehard |editor1-last=Link|title=One Hundred Years of Russell ́s Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy|year=2004|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-019968-0| chapter =Predicativity, Circularity, and Anti-Foundation | first = M. | last= Rathjen| chapter-url=http://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/russelle.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/russelle.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}
* {{Citation
| last1 = Rieger | first1 = Adam
| chapter = Paradox, ZF, and the Axiom of Foundation 
| doi = 10.1007/978-94-007-0214-1_9 
| title = Logic, Mathematics, Philosophy, Vintage Enthusiasms. Essays in Honour of John L. Bell.
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| chapter-url = http://eprints.gla.ac.uk/3810/1/JLB.pdf| citeseerx = 10.1.1.100.9052
}}
* {{citation | first = L. |last = Riegger | url = http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/100254/CzechMathJ_07-1957-3_1.pdf | title = A contribution to Gödel's axiomatic set theory | journal = Czechoslovak Mathematical Journal | volume = 7 | year = 1957 |issue = 3 | pages = 323–357|doi = 10.21136/CMJ.1957.100254 | doi-access = free }}
*{{citation| first = Davide | last = Sangiorgi | year = 2011 | chapter = Origins of bisimulation and coinduction | editor1-first = Davide | editor1-last = Sangiorgi | editor2-first = Jan | editor2-last = Rutten | title = Advanced Topics in Bisimulation and Coinduction | publisher = Cambridge University Press}}
* {{citation | last = Scott | first = Dana Stewart | author-link=Dana Scott | year = 1974 | chapter = Axiomatizing set theory | title =  Axiomatic set theory. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics Volume 13, Part II | pages = 207–214}}
* {{citation| last=Skolem| first=Thoralf|author-link=Thoralf Skolem | year=1923|title=Axiomatized set theory}} स्टीफन बाउर-मेंगलबर्ग द्वारा अंग्रेजी अनुवाद में फ्रॉम फ्रेज टू गोडेल, वैन हाइजेनोर्ट, 1967 में पुनर्मुद्रित, पीपी। 291–301।
*{{citation|last = Urquhart|first = Alasdair | chapter = The Theory of Types | editor-last = Griffin| editor-first =Nicholas | title =The Cambridge Companion to Bertrand Russell | publisher = Cambridge University Press | year=2003}}
* {{citation|first=Robert L. |last = Vaught|title=Set Theory: An Introduction| year=2001| publisher=Springer| isbn=978-0-8176-4256-3| edition=2nd}}
*{{citation|last=von Neumann|first = John| author-link=John von Neumann|year=1925|title=Eine Axiomatisierung der Mengenlehre|journal=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|volume=154|pages=219–240}}; में अनुवाद {{citation|last=van Heijenoort | first =Jean | year =1967 | title = From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 | pages = 393–413 }}
*{{citation|last = von Neumann|first = John| author-link=John von Neumann |year= 1928|title= Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre| journal= Mathematische Annalen|volume = 99 |pages=373–391|doi=10.1007/BF01459102|s2cid = 120784562}}
*{{citation| last = von Neumann |first = John| author-link=John von Neumann| year = 1929 | title= Uber eine Widerspruchfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre| journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik |volume = 1929 |issue = 160|pages = 227–241 | doi=10.1515/crll.1929.160.227|s2cid = 199545822}}
*{{citation |last=Zermelo|first= Ernst |author-link=Ernst Zermelo | year= 1930 | title = Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. | journal = Fundamenta Mathematicae | volume = 16 |pages= 29–47|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|doi= 10.4064/fm-16-1-29-47 |doi-access= free }}; में अनुवाद {{citation | editor-last= Ewald |editor-first= W.B. | year = 1996| title = From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics Vol. 2 | publisher= Clarendon Press |pages = 1219–33}}


==बाहरी संबंध==
*{{PlanetMath|urlname=axiomoffoundation|title=Axiom of foundation}}
*[https://ncatlab.org/nlab/show/inhabited+set Inhabited set] and [https://ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+foundation the axiom of foundation] on nLab

{{Set theory}}

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