View source for निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची

{{short description|Equalities for combinations of sets}}

यह लेख गणित के गुणों और [[सेट (गणित)]] के नियमों को सूचीबद्ध करता है, जिसमें यूनियन (सेट सिद्धांत), इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत), और [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] और सेट [[समानता (गणित)]] के सेट-सैद्धांतिक [[ऑपरेशन (गणित)]] शामिल हैं। ) और [[सबसेट]] सेट करें। यह इन परिचालनों और संबंधों को शामिल करते हुए, अभिव्यक्तियों के मूल्यांकन और गणना करने के लिए व्यवस्थित प्रक्रियाएं भी प्रदान करता है।

सेट यूनियन के द्विआधारी संचालन (<math>\cup</math>) और चौराहा (<math>\cap</math>) कई पहचानों को संतुष्ट करें। इनमें से कई पहचानों या कानूनों के सुस्थापित नाम हैं।

==नोटेशन==

इस पूरे लेख में, बड़े अक्षर (जैसे <math>A, B, C, L, M, R, S,</math> और <math>X</math>) समुच्चयों को निरूपित करेगा। किसी पहचान के बाईं ओर, आमतौर पर,
* <math>L</math> यह होंगे{{em|L}}{{hsp}}सबसे अधिक सेट,
* <math>M</math> यह होंगे{{em|M}}{{hsp}}आइडल सेट, और
* <math>R</math> यह होंगे{{em|R}}{{hsp}}आठवां सबसे सेट।
इसका उद्देश्य उन अभिव्यक्तियों में पहचान लागू करने की सुविधा प्रदान करना है जो जटिल हैं या पहचान के समान प्रतीकों का उपयोग करते हैं।<ref group=note>
For example, the expression <math>(M \setminus R) \setminus A</math> uses two of the same symbols (<math>M</math> and <math>R</math>) that appear in the identity 
<math display=block>(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R ~=~ (L \,\setminus\, R) \,\setminus\, (M \,\setminus\, R)</math>
but they refer to different sets in each expression. 
To apply this identity to <math>(M \setminus R) \setminus A,</math> substitute <math>\text{Left set} := M,\;</math> <math>\text{Middle set} := R,\;</math> and <math>\text{Right set} := A</math> (since these are the left, middle, and right sets in <math>(M \setminus R) \setminus A</math>) to obtain: 
<math display=block>\begin{alignat}{4}
(M \setminus R) \setminus A 
&= (\text{Left set } &&\setminus \text{Right set}&&) &&\setminus (\text{Middle set } &&\setminus \text{Right set}) \\
&= (M &&\setminus A&&) &&\setminus (R &&\setminus A). \\
\end{alignat}</math>
For a second example, this time applying the identity to <math>((M \cap R \setminus L) \setminus (A \triangle L)) \setminus L,</math> is now given. The identity <math display=inline>(L \setminus M) \setminus R = (L \setminus R) \setminus (M \setminus R)</math> can be applied to <math>((M \cap R \setminus L) \setminus (A \triangle L)) \setminus L</math> by reading <math>L, M,</math> and <math>R</math> as <math>\text{Left}, \text{Middle},</math> and <math>\text{Right}</math> and then substituting <math>\text{Left} = (M \cap R \setminus L),</math> <math>\text{Middle} = (A \triangle L),</math> and <math>\text{Right} = L</math> to obtain:
<math display=block>\begin{alignat}{4}
((M \cap R \setminus L) \setminus (A \triangle L)) \setminus L 
&= (\text{Left } &&\setminus \text{Right}&&) &&\setminus (\text{Middle } &&\setminus \text{Right}) \\
&= ((M \cap R \setminus L) &&\setminus L&&) &&\setminus ((A \triangle L) &&\setminus L). \\
\end{alignat}</math>
</ref> उदाहरण के लिए, पहचान
 <math display=block>(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R ~=~ (L \,\setminus\, R) \,\setminus\, (M \,\setminus\, R)</math>
इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:
<math display=block>(\text{Left set} \,\setminus\, \text{Middle set}) \,\setminus\, \text{Right set} ~=~ (\text{Left set} \,\setminus\, \text{Right set}) \,\setminus\, (\text{Middle set} \,\setminus\, \text{Right set}).</math>


===प्राथमिक सेट संचालन===

सेट के लिए <math>L</math> और <math>R,</math> परिभाषित करना:
<math display=block>\begin{alignat}{4}
L \cup R      &&~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \in L \;&&\text{ or }\;\, &&\; x \in R ~\} \\
L \cap R      &&~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \in L \;&&\text{ and }    &&\; x \in R ~\} \\
L \setminus R &&~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \in L \;&&\text{ and }    &&\; x \notin R ~\} \\
\end{alignat}</math>
और
<math display=block>L \triangle R ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \text{ belongs to exactly one of } L \text{ and } R ~\}</math>
जहां {{em|[[symmetric difference]]}} <math>L \triangle R</math> कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है <math>L \ominus R</math> और बराबर:<ref name="Taylor 2019">{{Cite web|last=Taylor|first=Courtney|date=March 31, 2019|title=What Is Symmetric Difference in Math?|url=https://www.thoughtco.com/what-is-the-symmetric-difference-3126594|access-date=2020-09-05|website=ThoughtCo|language=en}}</ref><ref name="Weisstein 2020">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=सममित अंतर|url=https://mathworld.wolfram.com/SymmetricDifference.html|access-date=2020-09-05|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
<math display=block>\begin{alignat}{4}
L \;\triangle\; R 
~&=~ (L ~\setminus~ &&R) ~\cup~      &&(R ~\setminus~ &&L) \\
~&=~ (L ~\cup~      &&R) ~\setminus~ &&(L ~\cap~      &&R). 
\end{alignat}</math>
एक सेट <math>L</math> कहा जाता है कि {{em|intersect}} एक और सेट <math>R</math> अगर <math>L \cap R \neq \varnothing.</math> ऐसे समुच्चय जो प्रतिच्छेद नहीं करते, कहलाते हैं {{em|[[Disjoint sets|disjoint]]}}.

का [[ सत्ता स्थापित ]] <math>X</math> के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय है <math>X</math> और द्वारा निरूपित किया जाएगा
<math display=block>\wp(X) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ L ~:~ L \subseteq X ~\}.</math>
ब्रह्मांड सेट और पूरक संकेतन

संकेतन
 <math display=block>L^\complement ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ X \setminus L.</math>
यदि उपयोग किया जा सकता है <math>L</math> किसी समुच्चय का उपसमुच्चय है <math>X</math> यह समझा जाता है (संदर्भ से कहें, या क्योंकि यह स्पष्ट रूप से कहा गया है कि सुपरसेट क्या है)। <math>X</math> है)।
इस बात पर जोर दिया गया है कि की परिभाषा <math>L^\complement</math> संदर्भ पर निर्भर करता है. उदाहरण के लिए, था <math>L</math> के उपसमुच्चय के रूप में घोषित किया गया है <math>Y,</math> सेट के साथ <math>Y</math> और <math>X</math> फिर, जरूरी नहीं कि वे किसी भी तरह से एक-दूसरे से संबंधित हों <math>L^\complement</math> संभवतः मतलब होगा <math>Y \setminus L</math> के बजाय <math>X \setminus L.</math>
यदि इसकी आवश्यकता है तो जब तक अन्यथा सूचित न किया जाए, यही मानना चाहिए <math>X</math> [[ब्रह्मांड (गणित)]] को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि सूत्र में उपयोग किए जाने वाले सभी सेट उपसमुच्चय हैं <math>X.</math> विशेष रूप से, पूरक (सेट सिद्धांत) <math>L</math> द्वारा निरूपित किया जाएगा <math>L^\complement</math> जहां जब तक अन्यथा इंगित न किया जाए, यह मान लिया जाना चाहिए <math>L^\complement</math> के पूरक को दर्शाता है <math>L</math> ब्रह्मांड में) <math>X.</math>


==एक उपसमुच्चय शामिल==

मान लीजिए <math>L \subseteq X.</math>
[[पहचान तत्व]]:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

परिभाषा: <math>e</math> [[बाइनरी ऑपरेटर]] का बायां पहचान तत्व कहा जाता है <math>\,\ast\,</math> अगर <math>e \,\ast\, R = R</math> सभी के लिए <math>R</math> और इसे [[सही पहचान तत्व]] कहा जाता है <math>\,\ast\,</math> अगर <math>L \,\ast\, e = L</math> सभी के लिए <math>L.</math> एक बायां पहचान तत्व जिसे पहचान तत्व कहा जाए तो वह एक दायां पहचान तत्व भी है।

खाली सेट <math>\varnothing</math> बाइनरी यूनियन का एक पहचान तत्व है <math>\cup</math> और सममित अंतर <math>\triangle,</math> और यह सेट घटाव का एक सही पहचान तत्व भी है <math>\, \setminus:</math> 

<math display=block>\begin{alignat}{10}
L \cap X                  &\;=\;&& L &\;=\;&  X \cap L                  ~~~~\text{ where } L \subseteq X \\[1.4ex]
L \cup \varnothing        &\;=\;&& L &\;=\;& \varnothing \cup L        \\[1.4ex]
L \,\triangle \varnothing &\;=\;&& L &\;=\;& \varnothing \,\triangle L \\[1.4ex]
L \setminus \varnothing   &\;=\;&& L \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
लेकिन <math>\varnothing</math> का बायाँ पहचान तत्व नहीं है <math>\, \setminus \,</math> तब से
<math display=block>\varnothing \setminus L = \varnothing</math> इसलिए <math display=inline>\varnothing \setminus L = L</math> अगर और केवल अगर <math>L = \varnothing.</math>
[[नपुंसक]]{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}} <math>L \ast L = L</math> और [[निलपोटेंट]] <math>L \ast L = \varnothing</math>:

<math display=block>\begin{alignat}{10}
L \cup L                  &\;=\;&& L            && \quad \text{ (Idempotence)} \\[1.4ex]
L \cap L                  &\;=\;&& L            && \quad \text{ (Idempotence)} \\[1.4ex]
L \,\triangle\, L         &\;=\;&& \varnothing  && \quad \text{ (Nilpotence of index 2)} \\[1.4ex]
L \setminus L             &\;=\;&& \varnothing  && \quad \text{ (Nilpotence of index 2)} \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
प्रभुत्व{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}/[[शून्य तत्व]]:

<math display=block>\begin{alignat}{10}
X \cup L                  &\;=\;&& X           &\;=\;& L \cup X ~~~~\text{ where } L \subseteq X \\[1.4ex]
\varnothing \cap L        &\;=\;&& \varnothing &\;=\;& L \cap \varnothing  \\[1.4ex]
\varnothing \times L      &\;=\;&& \varnothing &\;=\;& L \times \varnothing \\[1.4ex]
\varnothing \setminus L   &\;=\;&& \varnothing &\;\;& \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
लेकिन
 <math display=block>L \setminus \varnothing = L</math> इसलिए <math display=inline>L \setminus \varnothing = \varnothing \text{ if and only if } L = \varnothing.</math>
दोहरा पूरक या इनवोलुशन (गणित) कानून:

<math display=block>\begin{alignat}{10}
X \setminus (X \setminus L)
&= L
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&\left(L^\complement\right)^\complement = L
&&\quad&&\text{ where } L \subseteq X \quad
\text{ (Double complement/Involution law)} \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>

<math display=block>L \setminus \varnothing = L</math>
<math display=block>\begin{alignat}{4}
\varnothing 
&= L           &&\setminus L \\
&= \varnothing &&\setminus L \\
&= L           &&\setminus X ~~~~\text{ where } L \subseteq X \\
\end{alignat}</math>{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>L^\complement = X \setminus L \quad \text{ (definition of notation)}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{10}
L \,\cup (X \setminus L)
&= X
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&L \cup L^\complement = X
&&\quad&&\text{ where } L \subseteq X
\\[1.4ex]

L \,\triangle (X \setminus L)
&= X
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&L \,\triangle L^\complement = X
&&\quad&&\text{ where } L \subseteq X
\\[1.4ex]

L \,\cap (X \setminus L)
&= \varnothing
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&L \cap L^\complement = \varnothing
&&\quad&&
\\[1.4ex]
\end{alignat}</math>{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>\begin{alignat}{10}
X \setminus \varnothing
&= X
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&\varnothing^\complement = X
&&\quad&&\text{ (Complement laws for the empty set))}
\\[1.4ex]

X \setminus X
&= \varnothing
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&X^\complement = \varnothing
&&\quad&&\text{ (Complement laws for the universe set)}
\\[1.4ex]
\end{alignat}</math>


==दो सेट शामिल==

निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, <math>L</math> है {{em|L}}{{hsp}}एफ्ट मोस्ट सेट और <math>R</math> है {{em|R}}{{hsp}}आठवां सबसे सेट।
दोनों मान लें <math>L \text{ and } R</math> कुछ ब्रह्माण्ड समुच्चय के उपसमुच्चय हैं <math>X.</math>


===बाइनरी सेट संचालन के लिए सूत्र ⋂, ⋃, \, और ∆===

निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, <math>L</math> है {{em|L}}{{hsp}}एफ्ट मोस्ट सेट और <math>R</math> है {{em|R}}{{hsp}}आठवां सबसे सेट। जब भी आवश्यक हो, दोनों <math>L \text{ and } R</math> इसे किसी ब्रह्माण्ड समुच्चय का उपसमुच्चय माना जाना चाहिए <math>X,</math> ताकि <math>L^\complement := X \setminus L \text{ and } R^\complement := X \setminus R.</math>

<math display=block>\begin{alignat}{9}
L \cap R
&= L &&\,\,\setminus\,   &&(L &&\,\,\setminus &&R) \\
&= R &&\,\,\setminus\,   &&(R &&\,\,\setminus &&L) \\
&= L &&\,\,\setminus\,   &&(L &&\,\triangle\, &&R) \\
&= L &&\,\triangle\,     &&(L &&\,\,\setminus &&R) \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{9}
L \cup R
&= (&&L \,\triangle\, R) &&\,\,\cup      && &&L &&       &&  \\
&= (&&L \,\triangle\, R) &&\,\triangle\, &&(&&L &&\cap\, &&R) \\
&= (&&R \,\setminus\, L) &&\,\,\cup      && &&L &&       &&    ~~~~~\text{ (union is disjoint)} \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{9}
L \,\triangle\, R
&=  &&R \,\triangle\, L    &&                  && &&                     && \\
&= (&&L \,\cup\, R)        &&\,\setminus\,     &&(&&L \,\,\cap\, R)      && \\
&= (&&L \,\setminus\, R)   &&\cup\,            &&(&&R \,\,\setminus\, L) && ~~~~~\text{ (union is disjoint)} \\
&= (&&L \,\triangle\, M)   &&\,\triangle\,     &&(&&M \,\triangle\, R)   && ~~~~~\text{ where } M \text{ is an arbitrary set. } \\
&= (&&L^\complement)                 &&\,\triangle\,     &&(&&R^\complement)                 && \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{9}
L \setminus R
&=   &&L                   &&\,\,\setminus     &&(L &&\,\,\cap       &&R) \\
&=   &&L                   &&\,\,\cap          &&(L &&\,\triangle\,  &&R) \\
&=   &&L                   &&\,\triangle\,     &&(L &&\,\,\cap       &&R) \\
&=   &&R                   &&\,\triangle\,     &&(L &&\,\,\cup       &&R) \\
\end{alignat}</math>


===डी मॉर्गन के नियम===

डी मॉर्गन के कानून इसके लिए कहते हैं <math>L, R \subseteq X:</math>

<math display=block>\begin{alignat}{10}
X \setminus (L \cap R)
&= (X \setminus L) \cup (X \setminus R)
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&(L \cap R)^\complement = L^\complement \cup R^\complement
&&\quad&&\text{ (De Morgan's law)}
\\[1.4ex]

X \setminus (L \cup R)
&= (X \setminus L) \cap (X \setminus R)
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&(L \cup R)^\complement = L^\complement \cap R^\complement
&&\quad&&\text{ (De Morgan's law)}
\\[1.4ex]
\end{alignat}</math>


===कम्यूटेटिविटी===

संघ, प्रतिच्छेदन और सममित अंतर [[क्रमविनिमेय संक्रिया]]एँ हैं:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>\begin{alignat}{10}
L \cup R                &\;=\;&& R \cup L        && \quad \text{ (Commutativity)} \\[1.4ex]
L \cap R                &\;=\;&& R \cap L        && \quad \text{ (Commutativity)} \\[1.4ex]
L \,\triangle R         &\;=\;&& R \,\triangle L && \quad \text{ (Commutativity)} \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
समुच्चय घटाव क्रमविनिमेय नहीं है। हालाँकि, सेट घटाव की क्रमपरिवर्तनशीलता की विशेषता हो सकती है: से <math>(L \,\setminus\, R) \cap (R \,\setminus\, L) = \varnothing</math> यह इस प्रकार है कि:
<math display=block>L \,\setminus\, R = R \,\setminus\, L \quad \text{ if and only if } \quad L = R.</math> अलग ढंग से कहा गया है, यदि अलग-अलग प्रतीक हमेशा अलग-अलग सेटों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो {{em|only}} प्रपत्र के सत्य सूत्र <math>\,\cdot\, \,\setminus\, \,\cdot\, = \,\cdot\, \,\setminus\, \,\cdot\,</math> जो लिखा जा सकता है वह एक ही प्रतीक को शामिल करने वाला होगा; अर्थात्, वे फॉर्म के: <math>S \,\setminus\, S = S \,\setminus\, S.</math> लेकिन ऐसे सूत्र आवश्यक रूप से सत्य हैं {{em|every}} बाइनरी ऑपरेशन <math>\,\ast\,</math> (क्योंकि <math>x \,\ast\, x = x \,\ast\, x</math> समानता (गणित) की परिभाषा के अनुसार होना चाहिए), और इसलिए इस अर्थ में, सेट घटाव क्रमविनिमेय होने के बिल्कुल विपरीत है जैसा कि बाइनरी ऑपरेशन के लिए संभव है।
सेट घटाव भी न तो बायां विकल्प है और न ही दायां विकल्प; बजाय, <math>(L \setminus L) \setminus R = L \setminus (L \setminus R)</math> अगर और केवल अगर <math>L \cap R = \varnothing</math> अगर और केवल अगर <math>(R \setminus L) \setminus L = R \setminus (L \setminus L).</math> सेट घटाव अर्ध-क्रमविनिमेय है और [[जॉर्डन की पहचान]] को संतुष्ट करता है।

===दो सेटों से जुड़ी अन्य पहचान===

[[अवशोषण नियम]]:

<math display=block>\begin{alignat}{4}
L \cup (L \cap R)  &\;=\;&& L  && \quad \text{ (Absorption)} \\[1.4ex]
L \cap (L \cup R)  &\;=\;&& L  && \quad \text{ (Absorption)} \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
अन्य गुण

<math display=block>\begin{alignat}{10}
L \setminus R
&= L \cap (X \setminus R)
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&L \setminus R = L \cap R^\complement
&&\quad&&\text{ where } L, R \subseteq X
\\[1.4ex]

X \setminus (L \setminus R)
&= (X \setminus L) \cup R
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&(L \setminus R)^\complement = L^\complement \cup R
&&\quad&&\text{ where } R \subseteq X
\\[1.4ex]

L \setminus R
&= (X \setminus R) \setminus (X \setminus L)
&&\qquad\text{ Also written }\quad
&&L \setminus R = R^\complement \setminus L^\complement
&&\quad&&\text{ where } L, R \subseteq X
\\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
अंतराल:

<math display=block>(a, b) \cap (c, d) = (\max\{a,c\}, \min\{b,d\})</math>
<math display=block>[a, b) \cap [c, d) = [\max\{a,c\}, \min\{b,d\})</math>


===सबसेट ⊆ और सुपरसेट ⊇===

निम्नलिखित कथन किसी के लिए समतुल्य हैं <math>L, R \subseteq X:</math>{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
<द>
<ली><math>L \subseteq R</math>
* की परिभाषा {{em|[[subset]]}}: अगर <math>l \in L</math> तब <math>l \in R</math></li>
<li></li>
<ली><math>L \cap R = L</math></li>
<ली><math>L \cup R = R</math></li>
<ली><math>L \,\triangle\, R = R \setminus L</math></li>
<ली><math>L \,\triangle\, R \subseteq R \setminus L</math></li>
<ली><math>L \setminus R = \varnothing</math></li>
<ली><math>L</math> और <math>X \setminus R</math> असंयुक्त हैं (अर्थात्, <math>L \cap (X \setminus R) = \varnothing</math>)</li>
<ली><math>X \setminus R \subseteq X \setminus L \qquad</math> (वह है, <math>R^\complement \subseteq L^\complement</math>)</li>
</ol>

निम्नलिखित कथन किसी के लिए समतुल्य हैं <math>L, R \subseteq X:</math>
<द>
<ली><math>L \not\subseteq R</math></li>
<li>कुछ मौजूद हैं <math>l \in L \setminus R.</math></li>
</al>

====समानता सेट करें====
{{See also|Extensionality}}

निम्न कथन समतुल्य हैं:
<ol>
<ली><math>L = R</math></li>
<ली><math>L \,\triangle\, R = \varnothing</math></li>
<ली><math>L \,\setminus\, R = R \,\setminus\, L</math></li>
</ol>

<ul>
<li>यदि <math>L \cap R = \varnothing</math> तब <math>L = R</math> अगर और केवल अगर <math>L = \varnothing = R.</math></li>
<li>पूरकों की विशिष्टता: यदि <math display=inline>L \cup R = X \text{ and } L \cap R = \varnothing</math> तब <math>R = X \setminus L</math></li>
</ul>

=====खाली सेट=====

एक सेट <math>L</math> यदि वाक्य रिक्त समुच्चय का अभिगृहीत है <math>\forall x (x \not\in L)</math> सत्य है, जहां अंकन <math>x \not\in L</math> के लिए आशुलिपि है <math>\lnot (x \in L).</math> अगर <math>L</math> यदि कोई समुच्चय है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:
<ol>
<ली><math>L</math> रिक्त नहीं है, जिसका अर्थ है कि वाक्य <math>\lnot [\forall x (x \not\in L)]</math> सत्य है (शाब्दिक रूप से, इसका [[तार्किक निषेध]])।<math>L</math> क्या रिक्त सत्य है).</li>
<li>([[शास्त्रीय गणित]] में) <math>L</math> [[आबाद सेट]] है, जिसका अर्थ है: <math>\exists x (x \in L)</math>
* [[रचनात्मक गणित]] में, रिक्त नहीं और आबाद समतुल्य नहीं हैं: प्रत्येक आबाद सेट खाली नहीं है, लेकिन इसके विपरीत की हमेशा गारंटी नहीं होती है; वह है, रचनात्मक गणित में, एक सेट <math>L</math> वह खाली नहीं है (जहाँ परिभाषा के अनुसार,<math>L</math> खाली है का मतलब है कि कथन <math>\forall x (x \not\in L)</math> सत्य है) में :wiktionary:inhabitant#English (जो एक है) नहीं हो सकता है <math>x</math> ऐसा है कि <math>x \in L</math>).
</li>
<ली><math>L \not\subseteq R</math> कुछ सेट के लिए <math>R</math></li>
</ol>

अगर <math>L</math> यदि कोई समुच्चय है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:
<ol>
<ली><math>L</math> खाली है (<math>L = \varnothing</math>), अर्थ: <math>\forall x (x \not\in L)</math></li>
<ली><math>L \cup R \subseteq R</math> प्रत्येक सेट के लिए <math>R</math></li>
<ली><math>L \subseteq R</math> प्रत्येक सेट के लिए <math>R</math></li>
<ली><math>L \subseteq R \setminus L</math> कुछ/प्रत्येक सेट के लिए <math>R</math></li>
<ली><math>\varnothing / L = L</math></li>
</ol>

कोई भी दिया गया <math>x,</math> <math display=block>x \not\in L \setminus R \quad \text{ if and only if }\quad  x \in L \cap R \; \text{ or } \; x \not\in L.</math>
इसके अतिरिक्त,
<math display=block>(L \setminus R) \cap R = \varnothing \qquad \text{ always holds}.</math>


====मिलता है, जुड़ता है, और जाली गुण====

समावेशन एक [[आंशिक आदेश]] है:
स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि Subset <math>\,\subseteq,\,</math> जो एक बाइनरी ऑपरेशन है, इसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
<ul>
<li>[[प्रतिवर्ती संबंध]]:
 <math display=inline>L \subseteq L</math></li>
<li>[[एंटीसिमेट्रिक संबंध]]:
 <math display=inline>(L \subseteq R \text{ and } R \subseteq L) \text{ if and only if } L = R</math></li>
<li>[[सकर्मक संबंध]]:
 <math display=inline>\text{If }L \subseteq M \text{ and } M \subseteq R \text{ then } L \subseteq R</math></li>
</ul>

निम्नलिखित प्रस्ताव किसी भी सेट के लिए ऐसा कहता है <math>S,</math> का पावर सेट <math>S,</math> समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, एक [[जाली (आदेश)]] है, और इसलिए ऊपर दिए गए वितरण और पूरक कानूनों के साथ, यह दर्शाता है कि यह एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] है।

सबसे छोटे तत्व और सबसे बड़े तत्व का अस्तित्व:
 <math display=block>\varnothing \subseteq L \subseteq X</math>
[[जुड़ें (गणित)]]/सुप्रीम मौजूद हैं:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
 <math display=block>L \subseteq L \cup R</math>
संगठन <math>L \cup R</math> का सम्मिलित/सर्वोच्च है <math>L</math> और <math>R</math> इसके संबंध में <math>\,\subseteq\,</math> क्योंकि:
<ol>
<ली><math>L \subseteq L \cup R</math> और <math>R \subseteq L \cup R,</math> और</li>
<li>यदि <math>Z</math> एक सेट ऐसा है <math>L \subseteq Z</math> और <math>R \subseteq Z</math> तब <math>L \cup R \subseteq Z.</math></li>
</ol>

चौराहा <math>L \cap R</math> का सम्मिलित/सर्वोच्च है <math>L</math> और <math>R</math> इसके संबंध में <math>\,\supseteq.\,</math>
[[मिलें (गणित)]]/इन्फीमम्स मौजूद हैं:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
 <math display=block>L \cap R \subseteq L</math>
चौराहा <math>L \cap R</math> का मिलन/अतिरिक्त है <math>L</math> और <math>R</math> इसके संबंध में <math>\,\subseteq\,</math> क्योंकि:
<ol>
<li>यदि <math>L \cap R \subseteq L</math> और <math>L \cap R \subseteq R,</math> और</li>
<li>यदि <math>Z</math> एक सेट ऐसा है <math>Z \subseteq L</math> और <math>Z \subseteq R</math> तब <math>Z \subseteq L \cap R.</math></li>
</ol>

संगठन <math>L \cup R</math> का मिलन/अतिरिक्त है <math>L</math> और <math>R</math> इसके संबंध में <math>\,\supseteq.\,</math>
अन्य समावेशन गुण:

<math display=block>L \setminus R \subseteq L</math>
<math display=block>(L \setminus R) \cap L = L \setminus R</math>
<ul>
<li>यदि <math>L \subseteq R</math> तब <math>L \,\triangle\, R = R \setminus L.</math></li>
<li>यदि <math>L \subseteq X</math> और <math>R \subseteq Y</math> तब <math>L \times R \subseteq X \times Y</math>{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}</li>
</ul>

==तीन सेट शामिल==

निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, <math>L</math> है {{em|L}}{{hsp}}सबसे अधिक सेट, <math>M</math> है {{em|M}}{{hsp}}आइडल सेट, और <math>R</math> है {{em|R}}{{hsp}}आठवां सबसे सेट।

[[वरीयता नियम]]

बुनियादी सेट ऑपरेटरों के प्राथमिकता नियम पर कोई सार्वभौमिक सहमति नहीं है।
फिर भी, कई लेखक सेट ऑपरेटरों के लिए प्राथमिकता नियमों का उपयोग करते हैं, हालांकि ये नियम लेखक के अनुसार भिन्न होते हैं।

एक सामान्य परंपरा है प्रतिच्छेदन को संबद्ध करना <math>L \cap R = \{x : (x \in L) \land (x \in R)\}</math> [[तार्किक संयोजन]] के साथ|तार्किक संयोजन (और) <math>L \land R</math> और सहयोगी संघ <math>L \cup R = \{x : (x \in L) \lor (x \in R)\}</math> तार्किक वियोजन के साथ|तार्किक वियोजन (या) <math>L \lor R,</math> और फिर लॉजिकल संयोजक # प्राथमिकता के क्रम को स्थानांतरित करें (जहां <math>\,\land\,</math> पर प्राथमिकता है <math>\,\lor\,</math>) इन सेट ऑपरेटरों को, जिससे देना <math>\,\cap\,</math> पर वरीयता <math>\,\cup.\,</math> तो उदाहरण के लिए, <math>L \cup M \cap R</math> इसका मतलब होगा <math>L \cup (M \cap R)</math> चूँकि यह तार्किक कथन से जुड़ा होगा <math>L \lor M \land R ~=~ L \lor (M \land R)</math> और इसी प्रकार, <math>L \cup M \cap R \cup Z</math> इसका मतलब होगा <math>L \cup (M \cap R) \cup Z</math> चूँकि यह इससे संबद्ध होगा <math>L \lor M \land R \lor Z ~=~ L \lor (M \land R) \lor Z.</math> कभी-कभी, पूरक (घटाव) सेट करें <math>\,\setminus\,</math> [[तार्किक पूरक]]|तार्किक पूरक (नहीं) से भी जुड़ा है <math>\,\lnot,\,</math> ऐसी स्थिति में इसकी सर्वोच्च प्राथमिकता होगी।
अधिक विशेष रूप से, <math>L \setminus R = \{x : (x \in L) \land \lnot (x \in R)\}</math> पुनः लिखा गया है <math>L \land \lnot R</math> ताकि उदाहरण के लिए, <math>L \cup M \setminus R</math> इसका मतलब होगा <math>L \cup (M \setminus R)</math> चूँकि इसे तार्किक कथन के रूप में पुनः लिखा जाएगा <math>L \lor M \land \lnot R</math> जो के बराबर है <math>L \lor (M \land \lnot R).</math>
दूसरे उदाहरण के लिए, क्योंकि <math>L \land \lnot M \land R</math> साधन <math>L \land (\lnot M) \land R,</math> जो दोनों के बराबर है <math>(L \land (\lnot M)) \land R</math> और <math>L \land ((\lnot M) \land R) ~=~ L \land (R \land (\lnot M))</math> (कहाँ <math>(\lnot M) \land R</math> के रूप में पुनः लिखा गया <math>R \land (\lnot M)</math>), सूत्र <math>L \setminus M \cap R</math> सेट को संदर्भित करेगा <math>(L \setminus M) \cap R = L \cap (R \setminus M);</math> इसके अलावा, तब से <math>L \land (\lnot M) \land R = (L \land R) \land \lnot M,</math> यह सेट भी बराबर है <math>(L \cap R) \setminus M</math> (अन्य निर्धारित पहचानों को इसी तरह से प्रस्तावित कलन [[तार्किक तुल्यता]] से निकाला जा सकता है)।
हालाँकि, क्योंकि सेट घटाव साहचर्य नहीं है <math>(L \setminus M) \setminus R \neq L \setminus (M \setminus R),</math> एक सूत्र जैसे <math>L \setminus M \setminus R</math> अस्पष्ट होगा; इस कारण से, दूसरों के बीच, सेट घटाव को अक्सर कोई प्राथमिकता नहीं दी जाती है।

[[सममित अंतर]] <math>L \triangle R = \{x : (x \in L) \oplus (x \in R)\}</math> कभी-कभी [[एकमात्र]]|एक्सक्लूसिव या (एक्सओआर) से जुड़ा होता है <math>L \oplus R</math> (कभी-कभी इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है <math>\,\veebar</math>), जिस स्थिति में यदि प्राथमिकता का क्रम उच्चतम से निम्नतम है <math>\,\lnot, \,\oplus, \,\land, \,\lor\,</math> तो सेट ऑपरेटरों के लिए प्राथमिकता का क्रम (उच्चतम से निम्नतम तक) होगा <math>\,\setminus,\, \triangle,\, \cap,\, \cup.</math> अनन्य विच्छेदन की पूर्वता पर कोई सार्वभौमिक सहमति नहीं है <math>\,\oplus\,</math> अन्य तार्किक संयोजकों के संबंध में, यही कारण है कि सममित अंतर है <math>\,\triangle\,</math> अक्सर प्राथमिकता नहीं दी जाती।

===सहयोगिता===

परिभाषा: एक बाइनरी ऑपरेटर <math>\,\ast\,</math> साहचर्यता कहलाती है यदि <math>(L \,\ast\, M) \,\ast\, R = L \,\ast\, (M \,\ast\, R)</math> हमेशा धारण करता है.

निम्नलिखित सेट ऑपरेटर सहयोगी हैं:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>\begin{alignat}{5}
(L \cup M) \cup R               &\;=\;\;&& L \cup (M \cup R) \\[1.4ex]
(L \cap M) \cap R               &\;=\;\;&& L \cap (M \cap R) \\[1.4ex]
(L \,\triangle M) \,\triangle R &\;=\;\;&& L \,\triangle (M \,\triangle R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
सेट घटाव के लिए, साहचर्यता के बजाय, केवल निम्नलिखित की हमेशा गारंटी दी जाती है:
<math display=block>(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R \;~~{\color{red}{\subseteq}}~~\; L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R)</math>
जहां समानता केवल यदि और केवल यदि होती है <math>L \cap R = \varnothing</math> (यह शर्त इस पर निर्भर नहीं करती <math>M</math>). इस प्रकार
 <math display=inline>\; (L \setminus M) \setminus R = L \setminus (M \setminus R) \;</math> अगर और केवल अगर <math>\; (R \setminus M) \setminus L = R \setminus (M \setminus L), \;</math> जहाँ बाएँ और दाएँ पक्ष की सेट समानताओं के बीच एकमात्र अंतर यह है कि स्थान <math>L \text{ and } R</math> अदला-बदली कर दी गई है.

===वितरणशीलता===

परिभाषा: यदि <math>\ast \text{ and } \bullet</math> फिर बाइनरी ऑपरेटर हैं {{em|<math>\,\ast\,</math> [[Distributivity|'''left distributes''' over]] <math>\,\bullet\,</math>}} अगर <math display=block>L \,\ast\, (M \,\bullet\, R) ~=~ (L \,\ast\, M) \,\bullet\, (L \,\ast\,R) \qquad\qquad \text{ for all } L, M, R</math>
जबकि {{em|<math>\,\ast\,</math> [[Distributivity|'''right distributes''' over]] <math>\,\bullet\,</math>}} अगर <math display=block>(L \,\bullet\, M) \,\ast\, R ~=~ (L \,\ast\, R) \,\bullet\, (M \,\ast\,R) \qquad\qquad \text{ for all } L, M, R.</math> परिचालक {{em|<math>\,\ast\,</math> [[Distributivity|'''distributes''' over]] <math>\,\bullet\,</math>}} यदि यह बायां और दायां दोनों वितरित करता है <math>\,\bullet\,.\,</math> उपरोक्त परिभाषाओं में, एक पक्ष को दूसरे पक्ष में बदलने के लिए, सबसे भीतरी संचालक (कोष्ठक के अंदर का संचालक) सबसे बाहरी संचालक बन जाता है और सबसे बाहरी संचालक सबसे भीतरी संचालक बन जाता है।

[[सही वितरण]]:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>\begin{alignat}{9}
(L \,\cap\, M) \,\cup\, R      ~&~~=~~&& (L \,\cup\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\cup\, R)             \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\cup\, M) \,\cup\, R      ~&~~=~~&& (L \,\cup\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\cup\, R)             \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\cup\, M) \,\cap\, R      ~&~~=~~&& (L \,\cap\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\cap\, R)             \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\cap\, M) \,\cap\, R      ~&~~=~~&& (L \,\cap\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\cap\, R)             \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M) \,\cap\, R      ~&~~=~~&& (L \,\cap\, R) \,&&\triangle\, &&(M \,\cap\, R)    \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\triangle\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\cap\, M) \,\times\, R      ~&~~=~~&& (L \,\times\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\times\, R)             \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\cup\, M) \,\times\, R      ~&~~=~~&& (L \,\times\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\times\, R)              \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\setminus\, M) \,\times\, R      ~&~~=~~&& (L \,\times\, R) \,&&\setminus\, &&(M \,\times\, R)    \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\setminus\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\cup\, M) \,\setminus\, R      ~&~~=~~&& (L \,\setminus\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\setminus\, R)      \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\cap\, M) \,\setminus\, R      ~&~~=~~&& (L \,\setminus\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\setminus\, R)      \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M) \,\setminus\, R  ~&~~=~~&& (L \,\setminus\, R) &&\,\triangle\, &&(M \,\setminus\, R) \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\triangle\, \text{)} \\[1.4ex]
(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R  ~&~~=~~&& (L \,\setminus\, R) &&\,\setminus\, &&(M \,\setminus\, R)  \qquad 
&&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\setminus\, \text{)} \\[1.4ex]
~&~~=~~&&~~\;~~\;~~\;~ L &&\,\setminus\, &&(M \cup R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
वाम वितरण:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>\begin{alignat}{5}
L \cup   (M \cap R)            &\;=\;\;&& (L \cup M)     \cap        (L \cup R) \qquad
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex]
L \cup   (M \cup R)            &\;=\;\;&& (L \cup M)     \cup        (L \cup R) 
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex]
L \cap   (M \cup R)            &\;=\;\;&& (L \cap M)     \cup        (L \cap R) 
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex]
L \cap   (M \cap R)            &\;=\;\;&& (L \cap M)     \cap        (L \cap R) 
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex]
L \cap   (M \,\triangle\, R)   &\;=\;\;&& (L \cap M)   \,\triangle\, (L \cap R) 
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\triangle\, \text{)} \\[1.4ex]
L \times (M \cap R)            &\;=\;\;&& (L \times M)   \cap        (L \times R) 
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex]
L \times (M \cup R)            &\;=\;\;&& (L \times M)   \cup        (L \times R) 
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex]
L \times (M \,\setminus R)     &\;=\;\;&& (L \times M) \,\setminus   (L \times R) 
&&\text{ (Left-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\setminus\, \text{)} \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>


====वितरण और सममित अंतर ∆====

प्रतिच्छेदन सममित अंतर पर वितरित होता है:
<math display=block>\begin{alignat}{5}
L \,\cap\, (M \,\triangle\, R) ~&~~=~~&&  (L \,\cap\, M) \,\triangle\, (L \,\cap\, R) ~&&~ \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
<math display=block>\begin{alignat}{5}
(L \,\triangle\, M) \,\cap\, R~&~~=~~&&  (L \,\cap\, R) \,\triangle\, (M \,\cap\, R) ~&&~ \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
संघ सममित अंतर पर वितरण नहीं करता है क्योंकि सामान्य तौर पर केवल निम्नलिखित की गारंटी होती है:
<math display=block>\begin{alignat}{5}
L \cup (M \,\triangle\, R) 
~~{\color{red}{\supseteq}}~~ \color{black}{\,} (L \cup M) \,\triangle\, (L \cup R) ~
&~=~&& (M \,\triangle\, R) \,\setminus\, L  
&~=~&& (M \,\setminus\, L) \,\triangle\, (R \,\setminus\, L) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
सममित अंतर अपने आप में वितरित नहीं होता:
<math display=block>L \,\triangle\, (M \,\triangle\, R) 
~~{\color{red}{\neq}}~~ \color{black}{\,} (L \,\triangle\, M) \,\triangle\, (L \,\triangle\, R) 
~=~ M \,\triangle\, R</math>
और सामान्य तौर पर, किसी भी सेट के लिए <math>L \text{ and } A</math> (कहाँ <math>A</math> का प्रतिनिधित्व करता है <math>M \,\triangle\, R</math>), <math>L \,\triangle\, A</math> का उपसमुच्चय या सुपरसेट नहीं हो सकता <math>L</math> (और यही सच है <math>A</math>).

====वितरण और समुच्चय घटाव \====

बाएँ वितरण में सेट घटाव की विफलता:

सेट घटाव है {{em|right}} अपने ऊपर वितरणात्मक। हालाँकि, सेट घटाव है {{em|not}} अपने ऊपर वितरणात्मक छोड़ दिया क्योंकि सामान्य रूप से केवल निम्नलिखित की गारंटी है:
<math display=block>\begin{alignat}{5}
L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R) &~~{\color{red}{\supseteq}}~~&& \color{black}{\,} (L \,\setminus\, M) \,\setminus\, (L \,\setminus\, R) ~~=~~ L \cap R \,\setminus\, M \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
जहां समानता केवल यदि और केवल यदि होती है <math>L \,\setminus\, M = L \,\cap\, R,</math> जो घटित होता है यदि और केवल यदि <math>L \cap M \cap R = \varnothing \text{ and } L \setminus M \subseteq R.</math> सममित अंतर के लिए, सेट <math>L \,\setminus\, (M \,\triangle\, R)</math> और <math>(L \,\setminus\, M) \,\triangle\, (L \,\setminus\, R) = L \,\cap\, (M \,\triangle\, R)</math> सदैव असंयुक्त होते हैं.
तो ये दोनों सेट बराबर हैं यदि और केवल तभी जब वे दोनों बराबर हों <math>\varnothing.</math> इसके अतिरिक्त, <math>L \,\setminus\, (M \,\triangle\, R) = \varnothing</math> अगर और केवल अगर <math>L \cap M \cap R = \varnothing \text{ and } L \subseteq M \cup R.</math> संघ या प्रतिच्छेदन पर सेट घटाव की बाएं वितरण की जांच करने के लिए, विचार करें कि (दोनों) डी मॉर्गन के कानूनों में शामिल सेट कैसे संबंधित हैं:
<math display=block>\begin{alignat}{5}
(L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R) ~~=~~ L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) ~&~~{\color{red}{\subseteq}}~~&& \color{black}{\,} L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) ~~=~~ (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
हमेशा कायम रहता है (बायीं और दायीं ओर समानताएं डी मॉर्गन के नियम हैं) लेकिन सामान्य तौर पर समानता की गारंटी नहीं है (अर्थात, रोकथाम <math>{\color{red}{\subseteq}}</math> सख्त हो सकता है)।
समानता यदि और केवल यदि ही मान्य है <math>L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) \;\subseteq\; L \,\setminus\, (M \,\cup\, R),</math> जो घटित होता है यदि और केवल यदि <math>L \,\cap\, M = L \,\cap\, R.</math> डी मॉर्गन के नियमों के बारे में यह अवलोकन यह दर्शाता है <math>\,\setminus\,</math> है {{em|not}} वितरणात्मक छोड़ दिया <math>\,\cup\,</math> या <math>\,\cap\,</math> क्योंकि सामान्यतः निम्नलिखित की ही गारंटी होती है:
<math display=block>\begin{alignat}{5}
L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) ~&~~{\color{red}{\subseteq}}~~&& \color{black}{\,} (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R) ~~=~~ L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
<math display=block>\begin{alignat}{5}
L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) ~&~~{\color{red}{\supseteq}}~~&& \color{black}{\,} (L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R) ~~=~~ L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
जहां समानता उपरोक्त दो समावेशन सूत्रों में से एक (या समकक्ष, दोनों के लिए) के लिए है यदि और केवल यदि <math>L \,\cap\, M = L \,\cap\, R.</math> निम्न कथन समतुल्य हैं:
<ol>
<ली><math>L \cap M \,=\, L \cap R</math></li>
<ली><math>L \,\setminus\, M \,=\, L \,\setminus\, R</math></li>
<ली><math>L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) = (L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R);</math> वह है, <math>\,\setminus\,</math> बायां वितरित करता है <math>\,\cap\,</math> इन तीन विशेष सेटों के लिए</li>
<ली><math>L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) = (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R);</math> वह है, <math>\,\setminus\,</math> बायां वितरित करता है <math>\,\cup\,</math> इन तीन विशेष सेटों के लिए</li>
<ली><math>L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) \,=\, L \,\setminus\, (M \,\cup\, R)</math></li>
<ली><math>L \cap (M \cup R) \,=\, L \cap M \cap R</math></li>
<ली><math>L \cap (M \cup R) ~\subseteq~ M \cap R</math></li>
<ली><math>L \cap R ~\subseteq~ M \;</math> और <math>\; L \cap M ~\subseteq~ R</math></li>
<ली><math>L \setminus (M \setminus R) \,=\, L \setminus (R \setminus M)</math></li>
<ली><math>L \setminus (M \setminus R) \,=\, L \setminus (R \setminus M) \,=\, L</math></li>
</ol>

अर्ध-क्रमविनिमेयता संपत्ति|अर्ध-क्रमविनिमेयता:
 <math display=block>(L \setminus M) \setminus R ~=~ (L \setminus R) \setminus M \qquad \text{ (Quasi-commutative)}</math>
हमेशा कायम रहता है लेकिन सामान्य तौर पर,
 <math display=block>L \setminus (M \setminus R) ~~{\color{red}{\neq}}~~ L \setminus (R \setminus M).</math>
हालाँकि, <math>L \setminus (M \setminus R) ~\subseteq~ L \setminus (R \setminus M)</math> अगर और केवल अगर <math>L \cap R ~\subseteq~ M</math> अगर और केवल अगर <math>L \setminus (R \setminus M) ~=~ L.</math> सेट घटाव जटिलता: सेट घटाव से जुड़ी कई पहचानों को प्रबंधित करने के लिए, इस अनुभाग को इस आधार पर विभाजित किया गया है कि सेट घटाव ऑपरेशन और कोष्ठक पहचान के बाईं ओर कहाँ स्थित हैं। सेट घटाव से जुड़े सूत्रों की महान विविधता और (सापेक्ष) जटिलता (इसके बिना वाले की तुलना में) आंशिक रूप से इस तथ्य के कारण है कि इसके विपरीत <math>\,\cup, \,\cap,</math> और <math>\triangle,\,</math> समुच्चय घटाव न तो साहचर्य है और न ही क्रमविनिमेय है और इसे वितरणात्मक भी नहीं छोड़ा गया है <math>\,\cup, \,\cap, \,\triangle,</math> या यहां तक कि अपने ऊपर भी.

===दो सेट घटाव===

सेट घटाव है {{em|not}}सामान्य तौर पर सहयोगी:
 <math display=block>(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R \;~~{\color{red}{\neq}}~~\; L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R)</math>
चूँकि हमेशा केवल निम्नलिखित की ही गारंटी होती है:
<math display=block>(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R \;~~{\color{red}{\subseteq}}~~\; L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R).</math>


====(L\M)\R ====

<math display=block>\begin{alignat}{4}
(L \setminus M) \setminus R 
&=  &&L \setminus (M \cup R) \\[0.6ex]
&= (&&L \setminus R) \setminus M \\[0.6ex]
&= (&&L \setminus M) \cap (L \setminus R) \\[0.6ex]
&= (&&L \setminus R) \setminus M \\[0.6ex]
&= (&&L \,\setminus\, R) \,\setminus\, (M \,\setminus\, R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>


====L\(M\R) ====

<math display=block>\begin{alignat}{4}
L \setminus (M \setminus R) 
&= (L \setminus M) \cup (L \cap R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>
:* अगर <math>L \subseteq M \text{ then } L \setminus (M \setminus R) = L \cap R</math>
:* <math display=inline>L \setminus (M \setminus R) \subseteq (L \setminus M) \cup R</math> समानता के साथ यदि और केवल यदि <math>R \subseteq L.</math>


===एक सेट घटाव===

====(एल\एम) ⁎ आर ====

''बाईं ओर'' पर घटाव सेट करें, और बाईं ओर कोष्ठक सेट करें {{em|left}}

<math display=block>\begin{alignat}{4}
\left(L \setminus M\right) \cup R 
&= (L \cup R) \setminus (M \setminus R) \\
&= (L \setminus (M \cup R)) \cup R ~~~~~ \text{ (the outermost union is disjoint) } \\
\end{alignat}</math>
:<math>\begin{alignat}{4}
(L \setminus M) \cap R 
&= (&&L \cap R) \setminus (M \cap R) ~~~\text{ (Distributive law of } \cap \text{ over } \setminus \text{ )} \\
&= (&&L \cap R) \setminus M \\
&=  &&L \cap (R \setminus M) \\
\end{alignat}</math>{{sfn|Császár|1978|pp=15-26}}

<math display=block>\begin{alignat}{5}
(L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R) ~~=~~ L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) ~&~~{\color{red}{\subseteq}}~~&& \color{black}{\,} L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) ~~=~~ (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R) \\[1.4ex]
\end{alignat}</math> 
<math display=block>\begin{alignat}{4}
(L \setminus M) ~\triangle~ R 
&= (L \setminus (M \cup R)) \cup (R \setminus L) \cup (L \cap M \cap  R) ~~~\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) } \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>(L \,\setminus M) \times R = (L \times R) \,\setminus (M \times R)    ~~~~~\text{ (Distributivity)}</math>


====L\(M ⁎ R) ====

''बाईं ओर'' पर घटाव सेट करें, और बाईं ओर कोष्ठक सेट करें {{em|right}}

<math display=block>\begin{alignat}{3}
L \setminus (M \cup R) 
&= (L \setminus M) &&\,\cap\,    (&&L \setminus R) ~~~~\text{ (De Morgan's law) } \\
&= (L \setminus M) &&\,\,\setminus &&R \\
&= (L \setminus R) &&\,\,\setminus &&M \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
L \setminus (M \cap R) 
&= (L \setminus M) \cup (L \setminus R) ~~~~\text{ (De Morgan's law) } \\
\end{alignat}</math>
जहां उपरोक्त दो सेट जो डी मॉर्गन के नियमों के विषय हैं, हमेशा संतुष्ट करते हैं <math>L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) ~~{\color{red}{\subseteq}}~~ \color{black}{\,} L \,\setminus\, (M \,\cap\, R).</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
L \setminus (M ~\triangle~ R) 
&= (L \setminus (M \cup R)) \cup (L \cap M \cap R) ~~~\text{ (the outermost union is disjoint) } \\
\end{alignat}</math>


====(एल ⁎ एम)\आर ====

''दाईं ओर'' पर घटाव और दाईं ओर कोष्ठक सेट करें {{em|left}}

<math display=block>\begin{alignat}{4}
(L \cup M) \setminus R 
&= (L \setminus R) \cup (M \setminus R) \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
(L \cap M) \setminus R 
&= (&&L \setminus R) &&\cap (M \setminus R) \\
&=  &&L              &&\cap (M \setminus R) \\
&=  &&M              &&\cap (L \setminus R) \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
(L \,\triangle\, M)   \setminus R 
&= (L \setminus R) ~&&\triangle~ (M \setminus R) \\
&= (L \cup R)      ~&&\triangle~ (M \cup R) \\
\end{alignat}</math>


====L ⁎ (M\R) ====

''दाईं ओर'' पर घटाव और दाईं ओर कोष्ठक सेट करें {{em|right}}

<math display=block>\begin{alignat}{3}
L \cup (M \setminus R)
&=  && &&L              &&\cup\;            &&(M \setminus (R \cup L)) &&~~~\text{ (the outermost union is disjoint) } \\
&= [&&(&&L \setminus M) &&\cup\;            &&(R \cap L)] \cup (M \setminus R)       &&~~~\text{ (the outermost union is disjoint) } \\
&=  &&(&&L \setminus (M \cup R)) \;&&\;\cup &&(R \cap L)\,\, \cup (M \setminus R)   &&~~~\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) } \\
\end{alignat}</math>
:<math>\begin{alignat}{4}
L \cap (M \setminus R)
&= (&&L \cap M)      &&\setminus (L \cap R) ~~~\text{ (Distributive law of } \cap \text{ over } \setminus \text{ )}  \\
&= (&&L \cap M)      &&\setminus R  \\
&=  &&M              &&\cap (L \setminus R) \\
&= (&&L \setminus R) &&\cap (M \setminus R) \\
\end{alignat}
</math>{{sfn|Császár|1978|pp=15-26}}

<math display=block>L \times (M \,\setminus R) = (L \times M) \,\setminus (L \times R)    ~~~~~\text{ (Distributivity)}</math>


===तीन सेटों पर तीन ऑपरेशन===

====(एल • एम) ⁎ (एम • आर) ====

प्रपत्र का संचालन <math>(L \bullet M) \ast (M \bullet R)</math>:

<math display=block>\begin{alignat}{9}
(L \cup M)            &\,\cup\,&&       (&&M \cup R) && 
              &&\;=\;\;&& L \cup M \cup R \\[1.4ex]
(L \cup M)            &\,\cap\,&&       (&&M \cup R) && 
              &&\;=\;\;&& M \cap (L \cup R) \\[1.4ex]
(L \cup M)            &\,\setminus\,&&  (&&M \cup R) && 
              &&\;=\;\;&& L \,\setminus\, (M \cup R) \\[1.4ex]
(L \cup M)            &\,\triangle\,&&  (&&M \cup R) && 
              &&\;=\;\;&& (L \,\setminus\, (M \cup R)) \,\cup\, (R \,\setminus\, (L \cup M)) \\[1.4ex]
&\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \,\triangle\, R) \,\setminus\, M \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\cup\,&&       (&&M \cap R) && 
              &&\;=\;\;&& M \cup (L \cap R) \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\cap\,&&       (&&M \cap R) && 
              &&\;=\;\;&& L \cap M \cap R \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\setminus\,&&  (&&M \cap R) && 
              &&\;=\;\;&& (L \cap M) \,\setminus\, R \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\triangle\,&&  (&&M \cap R) && 
              &&\;=\;\;&& [(L \,\cap M) \cup (M \,\cap R)] \,\setminus\, (L \,\cap M \,\cap R) \\[1.4ex]
(L \,\setminus M)     &\,\cup\,&&  (&&M \,\setminus R) && 
              &&\;=\;\;&& (L \,\cup M) \,\setminus (M \,\cap\, R) \\[1.4ex]
(L \,\setminus M)     &\,\cap\,&&  (&&M \,\setminus R) && 
              &&\;=\;\;&& \varnothing \\[1.4ex]
(L \,\setminus M)     &\,\setminus\,&&  (&&M \,\setminus R) && 
              &&\;=\;\;&& L \,\setminus M \\[1.4ex]
(L \,\setminus M)     &\,\triangle\,&&  (&&M \,\setminus R) && 
              &&\;=\;\;&& (L \,\setminus M) \cup (M \,\setminus R) \\[1.4ex]
&\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \,\cup M) \setminus (M \,\cap R) \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\cup\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && 
              &&\;=\;\;&& (L \,\cup\, M \,\cup\, R) \,\setminus\, (L \,\cap\, M \,\cap\, R) \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\cap\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && 
              &&\;=\;\;&& ((L \,\cap\, R) \,\setminus\, M) \,\cup\, (M \,\setminus\, (L \,\cup\, R)) \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\setminus\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && 
              &&\;=\;\;&& (L \,\setminus\, (M \,\cup\, R)) \,\cup\, ((M \,\cap\, R) \,\setminus\, L) \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\triangle\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && 
              &&\;=\;\;&& L \,\triangle\, R \\[1.7ex]
\end{alignat}</math>


====(एल • एम) ⁎ (आर\एम) ====

प्रपत्र का संचालन <math>(L \bullet M) \ast (R \,\setminus\, M)</math>:

<math display=block>\begin{alignat}{9}
(L \cup M)            &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& L \cup M \cup R \\[1.4ex]
(L \cup M)            &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& (L \cap R) \,\setminus\, M \\[1.4ex]
(L \cup M)            &\,\setminus\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& M \cup (L \,\setminus\, R) \\[1.4ex]
(L \cup M)            &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& M \cup (L \,\triangle\, R) \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& [L \cap (M \cup R)] \cup [R \,\setminus\, (L \cup M)] \qquad \text{ (disjoint union)} \\[1.4ex]
&\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \cap M) \,\triangle\, (R \,\setminus\, M) \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& \varnothing \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\setminus\,&&   (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& L \cap M \\[1.4ex]
(L \cap M)            &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& (L \cap M) \cup (R \,\setminus\, M) \qquad \text{ (disjoint union)} \\[1.4ex]
(L \,\setminus\, M)   &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& L \cup R \,\setminus\, M \\[1.4ex]
(L \,\setminus\, M)   &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& (L \cap R) \,\setminus\, M \\[1.4ex]
(L \,\setminus\, M)   &\,\setminus\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& L \,\setminus\, (M \cup R) \\[1.4ex]
(L \,\setminus\, M)   &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& (L \,\triangle\, R) \,\setminus\, M \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& (L \cup M \cup R) \,\setminus\, (L \cap M) \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& (L \cap R) \,\setminus\, M \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\setminus\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& [L \,\setminus\, (M \cup R)] \cup (M \,\setminus\, L) \qquad \text{ (disjoint union)} \\[1.4ex]
&\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \,\triangle\, M) \setminus (L \,\cap R) \\[1.4ex]
(L \,\triangle\, M)   &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && 
              &&\;=\;\;&& L \,\triangle\, (M \cup R) \\[1.7ex]
\end{alignat}</math>


====(L\M) ⁎ (L\R) ====

प्रपत्र का संचालन <math>(L \,\setminus\, M) \ast (L \,\setminus\, R)</math>:

<math display=block>\begin{alignat}{9}
(L \,\setminus M)  &\,\cup\,&&  (&&L \,\setminus R)  
            &&\;=\;&&  L \,\setminus\, (M \,\cap\, R)        \\[1.4ex]
(L \,\setminus M)  &\,\cap\,&&  (&&L \,\setminus R)  
            &&\;=\;&&  L \,\setminus\, (M \,\cup\, R)        \\[1.4ex]
(L \,\setminus M)  &\,\setminus\,&&  (&&L \,\setminus R)  
            &&\;=\;&&  (L \,\cap\, R) \,\setminus\, M        \\[1.4ex]
(L \,\setminus M)  &\,\triangle\,&&  (&&L \,\setminus R)  
            &&\;=\;&&  L \,\cap\, (M \,\triangle\, R)        \\[1.4ex]
&\,&&\,&&\, &&\;=\;&& (L \cap M)   \,\triangle\, (L \cap R)  \\[1.4ex]
\end{alignat}</math>


===अन्य सरलीकरण===

अन्य गुण:

<math display=block>L \cap M = R \;\text{ and }\; L \cap R = M \qquad \text{ if and only if } \qquad M = R \subseteq L.</math> <ul>
<li>यदि <math>L \subseteq M</math> तब <math>L \setminus R = L \cap (M \setminus R).</math>{{sfn|Császár|1978|pp=15-26}}</li>
<ली><math>L \times (M \,\setminus R) = (L \times M) \,\setminus (L \times R)</math></li>
<li>यदि <math>L \subseteq R</math> तब <math>M \setminus R \subseteq M \setminus L.</math></li>
<ली><math>L \cap M \cap R = \varnothing</math> यदि और केवल यदि किसी के लिए <math>x \in L \cup M \cup R,</math> <math>x</math> से संबंधित {{em|at most two}} सेट का <math>L, M, \text{ and } R.</math></li>
</ul>

==कार्टेशियन उत्पाद ⨯ परिमित रूप से कई सेटों का ==

===परिमित का बाइनरी ⨯===

<math display=block>(L \times R) \cap \left(L_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)</math>
<math display=block>(L \times M \times R) \cap \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(M \cap M_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)</math>


===परिमित का बाइनरी ⨯===

<math display=block>\begin{alignat}{9}
\left(L \times R\right) ~\cup~ \left(L_2 \times R_2\right) 
~&=~ \left[\left(L \setminus L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[\left(L_2 \setminus L\right) \times R_2\right] ~\cup~ \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \\[0.5ex]
~&=~ \left[L \times \left(R \setminus R_2\right)\right] ~\cup~ \left[L_2 \times \left(R_2 \setminus R\right)\right] ~\cup~ \left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\
\end{alignat}</math>


===परिमित का अंतर ⨯===

<math display=block>\begin{alignat}{9}
\left(L \times R\right) ~\setminus~ \left(L_2 \times R_2\right) 
~&=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \\
\end{alignat}</math>
और
 <math display=block>(L \times M \times R) ~\setminus~ \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) 
~=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times M \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(M \,\setminus\, M_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times M \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right]</math>


===परिमित ⨯अंतरों का \===

<math display=block>\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(R \,\setminus\, R_2\right) ~=~ \left(L \times R\right) \,\setminus\, \left[\left(L_2 \times R\right) \cup \left(L \times R_2\right)\right]</math>

<math display=block>\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(M \,\setminus\, M_2\right) \times \left(R \,\setminus\, R_2\right) ~=~ \left(L \times M \times R\right) \,\setminus\, \left[\left(L_2 \times M \times R\right) \cup \left(L \times M_2 \times R\right) \cup \left(L \times M \times R_2\right)\right]</math>


===सममित अंतर ∆ और परिमित ⨯===

<math display=block>L \times \left(R \,\triangle\, R_2\right) ~=~ \left[L \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \,\cup\, \left[L \times \left(R_2 \,\setminus\, R\right)\right]</math>
<math display=block>\left(L \,\triangle\, L_2\right) \times R ~=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times R\right] \,\cup\, \left[\left(L_2 \,\setminus\, L\right) \times R\right]</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
\left(L \,\triangle\, L_2\right) \times \left(R \,\triangle\, R_2\right) 
~&=~ && && \,\left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \;\setminus\; \left[\left(\left(L \cap L_2\right) \times R\right) \;\cup\; \left(L \times \left(R \cap R_2\right)\right)\right] \\[0.7ex]
&=~ & &&& \,\left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(R_2 \,\setminus\, R\right)\right] \,\cup\, \left[\left(L_2 \,\setminus\, L\right) \times \left(R_2 \,\setminus\, R\right)\right] \,\cup\, \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \,\cup\, \left[\left(L_2 \,\setminus\, L\right) \cup \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \\
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
\left(L \,\triangle\, L_2\right) \times \left(M \,\triangle\, M_2\right) \times \left(R \,\triangle\, R_2\right) 
~&=~ \left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(M \cup M_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \;\setminus\; \left[\left(\left(L \cap L_2\right) \times M \times R\right) \;\cup\; \left(L \times \left(M \cap M_2\right) \times R\right) \;\cup\; \left(L \times M \times \left(R \cap R_2\right)\right)\right] \\
\end{alignat}</math>
सामान्य रूप में, <math>\left(L \,\triangle\, L_2\right) \times \left(R \,\triangle\, R_2\right)</math> का उपसमुच्चय या सुपरसमुच्चय होना आवश्यक नहीं है <math>\left(L \times R\right) \,\triangle\, \left(L_2 \times R_2\right).</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
\left(L \times R\right) \,\triangle\, \left(L_2 \times R_2\right)
~&=~ && \left(L \times R\right) \cup \left(L_2 \times R_2\right) \;\setminus\; \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\[0.7ex]
\end{alignat}</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
\left(L \times M \times R\right) \,\triangle\, \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right)
~&=~ && \left(L \times M \times R\right) \cup \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) \;\setminus\; \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(M \cap M_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\[0.7ex]
\end{alignat}</math>


==समुच्चय के मनमाने परिवार==

होने देना <math>\left(L_i\right)_{i \in I},</math> <math>\left(R_j\right)_{j \in J},</math> और <math>\left(S_{i,j}\right)_{(i, j) \in I \times J}</math> सेटों का परिवार अनुक्रमित किया जाए। जब भी धारणा की आवश्यकता होती है, तो सभी [[अनुक्रमण सेट]], जैसे <math>I</math> और <math>J,</math> गैर-रिक्त माना जाता है।

===परिभाषाएँ===

ए {{em|[[family of sets]]}} या (अधिक संक्षेप में) a {{em|family}} उस समुच्चय को संदर्भित करता है जिसके अवयव समुच्चय हैं।

एक {{em|[[indexed family]] of sets}} किसी सेट से एक फ़ंक्शन है, जिसे इसका कहा जाता है {{em|[[indexing set]]}}, सेट के कुछ परिवार में।
समुच्चयों के एक अनुक्रमित परिवार को इसके द्वारा निरूपित किया जाएगा <math>\left(L_i\right)_{i \in I},</math> जहां यह अंकन प्रतीक निर्दिष्ट करता है <math>I</math> अनुक्रमण सेट के लिए और प्रत्येक सूचकांक के लिए <math>i \in I,</math> प्रतीक चिन्ह निर्दिष्ट करता है <math>L_i</math> फ़ंक्शन के मान पर <math>i.</math> फिर फ़ंक्शन को प्रतीक द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>L_\bull,</math> जो अंकन से प्राप्त होता है <math>\left(L_i\right)_{i \in I}</math> सूचकांक को प्रतिस्थापित करके <math>i</math> बुलेट चिन्ह के साथ <math>\bullet\,;</math> स्पष्ट रूप से, <math>L_\bull</math> कार्य है:
<math display=block>\begin{alignat}{4}
L_\bull :\;&& I &&\;\to    \;& \left\{L_i : i \in I\right\} \\[0.3ex]
           && i &&\;\mapsto\;& L_i \\
\end{alignat}</math>
जिसे लिखकर संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है <math>L_\bull = \left(L_i\right)_{i \in I}.</math> सेटों का कोई भी अनुक्रमित परिवार <math>L_\bull = \left(L_i\right)_{i \in I}</math> (जो एक [[फ़ंक्शन (गणित)]] है) को इसकी छवि/सीमा के साथ प्रामाणिक रूप से जोड़ा जा सकता है <math>\operatorname{Im} L_\bull ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left\{L_i : i \in I\right\}</math> (जो सेटों का एक परिवार है)।
इसके विपरीत, सेट का कोई भी परिवार <math>\mathcal{B}</math> से संबद्ध हो सकता है <math>\mathcal{B}</math>-सेट का अनुक्रमित परिवार <math>(B)_{B \in \mathcal{B}},</math> जो तकनीकी रूप से [[पहचान मानचित्र]] है <math>\mathcal{B} \to \mathcal{B}.</math> हालाँकि, यह है {{em|not}} एक विशेषण पत्राचार क्योंकि सेट का एक अनुक्रमित परिवार <math>L_\bull = \left(L_i\right)_{i \in I}</math> है {{em|not}} इंजेक्शन होना आवश्यक है (अर्थात, अलग-अलग सूचकांक मौजूद हो सकते हैं <math>i \neq j</math> जैसे कि <math>L_i = L_j</math>), जिसका विशेष रूप से मतलब यह है कि सेटों के अलग-अलग अनुक्रमित परिवारों (जो फ़ंक्शन हैं) को सेटों के एक ही परिवार (समान छवि/सीमा के द्वारा) के साथ जोड़ा जाना संभव है।

मनमानी यूनियनों को परिभाषित किया गया{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
{{NumBlk||<math display=block>\bigcup_{i \in I} L_i ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{x ~:~ \text{ there exists } i \in I \text{ such that } x \in L_i\}</math>|{{EquationRef|Def. 1}}}}

अगर <math>I = \varnothing</math> तब <math>\bigcup_{i \in \varnothing} L_i = \{x ~:~ \text{ there exists } i \in \varnothing \text{ such that } x \in L_i\} = \varnothing,</math> जिसे कुछ कहा जाता है {{em|nullary union convention}} (सम्मेलन कहे जाने के बावजूद, यह समानता परिभाषा का अनुसरण करती है)।

अगर <math>\mathcal{B}</math> तो यह सेटों का एक परिवार है <math>\cup \mathcal{B}</math> सेट को दर्शाता है:
 <math display=block>\bigcup \mathcal{B} ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcup_{B \in B} B ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{x ~:~ \text{ there exists } B \in B \text{ such that } x \in \mathcal{B}\}.</math>
मनमाने चौराहों को परिभाषित किया गया

अगर <math>I \neq \varnothing</math> तब{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
{{NumBlk||<math display=block>\bigcap_{i \in I} L_i ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{x ~:~ x \in L_i \text{ for every } i \in I\} ~=~ \{x ~:~  \text{ for all } i, \text{ if } i \in I \text{ then } x \in L_i\}.</math>|{{EquationRef|Def. 2}}}}

अगर <math>\mathcal{B} \neq \varnothing</math> एक है {{em|non-empty}} फिर सेट का परिवार <math>\cap \mathcal{B}</math> सेट को दर्शाता है:
 <math display=block>\bigcap \mathcal{B} ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcap_{B \in B} B ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{x ~:~ x \in B \text{ for every } B \in \mathcal{B}\} ~=~ \{x ~:~  \text{ for all } B, \text{ if } B \in \mathcal{B} \text{ then } x \in B\}.</math>
शून्य चौराहे

अगर <math>I = \varnothing</math> तब
<math display=block>\bigcap_{i \in \varnothing} L_i = \{x ~:~  \text{ for all } i, \text{ if } i \in \varnothing \text{ then } x \in L_i\}</math>
जहां हर संभव बात <math>x</math> ब्रह्मांड में शून्य सत्य ने स्थिति को संतुष्ट किया: यदि <math>i \in \varnothing</math> तब <math>x \in L_i</math>. फलस्वरूप, <math>{\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i = \{x : \text{ true }\}</math> के होते हैं {{em|everything}} ब्रह्मांड में।

तो यदि <math>I = \varnothing</math> और:
#यदि आप एक [[मॉडल सिद्धांत]] में काम कर रहे हैं जिसमें कुछ यूनिवर्स सेट|ब्रह्मांड मौजूद हैं{{em|set}} <math>X</math> तब <math>{\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i = \{x ~:~ x \in L_i \text{ for every } i \in \varnothing\} ~=~ X.</math> #अन्यथा, यदि आप एक मॉडल सिद्धांत में काम कर रहे हैं जिसमें सभी चीजों का वर्ग है <math>x</math>तो यह एक सेट नहीं है (अब तक की सबसे सामान्य स्थिति)। <math>{\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i</math> है {{em|undefined}} क्योंकि <math>{\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i</math> के होते हैं {{em|everything}}, किसने बनाया <math>{\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i</math> एक [[उचित वर्ग]] और {{em|not}} एक सेट।

:धारणा: अब से, जब भी किसी सूत्र को किसी मनमाने प्रतिच्छेदन को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए कुछ अनुक्रमण सेट को गैर-रिक्त होने की आवश्यकता होती है, तो इसे बिना उल्लेख के स्वचालित रूप से मान लिया जाएगा।

इसका परिणाम निम्नलिखित धारणा/परिभाषा है:

:ए{{em|finite intersection}} सेट का या ए{{em|intersection of finitely many sets}} एक सीमित संग्रह के प्रतिच्छेदन को संदर्भित करता है {{em|one or more}} सेट.

कुछ लेखक तथाकथित को अपनाते हैं{{em|[[nullary intersection]] convention}}, जो कि यह परंपरा है कि सेटों का एक खाली प्रतिच्छेदन कुछ विहित सेट के बराबर होता है। विशेषकर, यदि सभी समुच्चय किसी समुच्चय के उपसमुच्चय हों <math>X</math> तब कुछ लेखक यह घोषणा कर सकते हैं कि इन सेटों का खाली चौराहा बराबर होगा <math>X.</math> हालाँकि, अशक्त प्रतिच्छेदन सम्मेलन को आम तौर पर अशक्त संघ सम्मेलन के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता है और यह लेख इसे नहीं अपनाएगा (यह इस तथ्य के कारण है कि खाली संघ के विपरीत, खाली प्रतिच्छेदन का मूल्य निर्भर करता है <math>X</math> इसलिए यदि कई सेट विचाराधीन हैं, जो आमतौर पर मामला है, तो खाली चौराहे का मूल्य अस्पष्ट होने का जोखिम है)।

एकाधिक सूचकांक सेट
<math display=block>\bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcup_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j}</math>
<math display=block>\bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcap_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j}</math>


===यूनियनों और चौराहों का वितरण===

====मनमाना ⋃ का बाइनरी ⋂{{anchor|Distributing a binary intersection of arbitrary unions}}====

{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap R ~=~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cap R\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 3a}}}}
और{{sfn|Császár|1978|pp=15-26}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcup_{j \in J} R_j\right) ~=~ \bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} \left(L_i \cap R_j\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 3b}}}}

* मैं गिरा <math>\left(L_i\right)_{i \in I}</math> जोड़ीवार असंयुक्त और सभी हैं <math>\left(R_j\right)_{j \in J}</math> जोड़ीवार भी असंयुक्त हैं, तो सभी भी ऐसे ही हैं <math>\left(L_i \cap R_j\right)_{(i, j) \in I \times J}</math> (अर्थात, यदि <math>(i, j) \neq \left(i_2, j_2\right)</math> तब <math>\left(L_i \cap R_j\right) \cap \left(L_{i_2} \cap R_{j_2}\right) = \varnothing</math>).

{{anchor|Ranging over pairs of indices}}
*महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि <math>I = J</math> फिर सामान्य तौर पर, <math display=block>~\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcup_{i \in I} R_i\right) ~~\color{Red}{\neq}\color{Black}{}~~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cap R_i\right)~</math> (एक #CounterExampleToEqualityInterOfUnionsWhenIequalsJ नीचे दिया गया है)। दाहिनी ओर एकल संघ {{em|must}} सभी जोड़ियों के ऊपर रहें <math>(i, j) \in I \times I:</math> <math display=block>~\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcup_{i \in I} R_i\right) ~~=~~ \bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in I}} \left(L_i \cap R_j\right).~</math> यही बात आमतौर पर अन्य समान गैर-तुच्छ सेट समानताओं और संबंधों के लिए भी सच है जो दो (संभावित रूप से असंबंधित) अनुक्रमण सेटों पर निर्भर करते हैं <math>I</math> और <math>J</math> (जैसे कि {{EquationNote|Eq. 4b}} या {{EquationNote|Eq. 7g}}{{sfn|Császár|1978|pp=15-26}}). दो अपवाद हैं {{EquationNote|Eq. 2c}} (यूनियनों की यूनियनें) और {{EquationNote|Eq. 2d}} (चौराहों के चौराहे), लेकिन ये दोनों निर्धारित समानताओं में से सबसे तुच्छ हैं (हालांकि इन समानताओं के लिए अभी भी कुछ ऐसा है जिसे सिद्ध किया जाना चाहिए<ref group=note name="DeducingIntersectionOfIntersections"/>).
*{{visible anchor|CounterExampleToEqualityInterOfUnionsWhenIequalsJ|CounterExampleToEqualityUnionOfIntersWhenIequalsJ|text=Example where equality fails}}: होने देना <math>X \neq \varnothing</math> और जाने <math>I = \{1, 2\}.</math> होने देना <math>L_1 \colon= R_2 \colon= X</math> और जाने <math>L_2 \colon= R_1 \colon= \varnothing.</math> तब <math display=block>X = X \cap X = \left(L_1 \cup L_2\right) \cap \left(R_2 \cup R_2\right) = \left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcup_{i \in I} R_i\right) ~\neq~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cap R_i\right) = \left(L_1 \cap R_1\right) \cup \left(L_2 \cap R_2\right) = \varnothing \cup \varnothing = \varnothing.</math> आगे, <math display=block>\varnothing = \varnothing \cup \varnothing = \left(L_1 \cap L_2\right) \cup \left(R_2 \cap R_2\right) = \left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcap_{i \in I} R_i\right) ~\neq~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cup R_i\right) = \left(L_1 \cup R_1\right) \cap \left(L_2 \cup R_2\right) = X \cap X = X.</math>


====मनमाना ⋂ का बाइनरी ⋃{{anchor|Distributing a binary union of arbitrary intersections}}====

{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup R ~=~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cup R\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 4a}}}}
और{{sfn|Császár|1978|pp=15-26}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcap_{j \in J} R_j\right) ~=~ \bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} \left(L_i \cup R_j\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 4b}}}}

*महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि <math>I = J</math> फिर सामान्य तौर पर, <math display=block>~\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcap_{i \in I} R_i\right) ~~\color{Red}{\neq}\color{Black}{}~~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cup R_i\right)~</math> (एक #CounterExampleToEqualityUnionOfIntersWhenIequalsJ ऊपर दिया गया है)। दाहिनी ओर एकल चौराहा {{em|must}} सभी जोड़ियों के ऊपर रहें <math>(i, j) \in I \times I:</math> <math display=block>~\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcap_{i \in I} R_i\right) ~~=~~ \bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in I}} \left(L_i \cup R_j\right).~</math>


====मनमाना ⋂ का और मनमाना ⋃ का{{anchor|Arbitrary intersections and arbitrary unions|Distributing arbitrary intersections and arbitrary unions}}====

===== ⋂ और ⋃ की अदला-बदली करके गलत वितरण{{anchor|Incorrectly distributing arbitrary intersections and arbitrary unions}}=====
भोलेपन से अदला-बदली <math>\;{\textstyle\bigcup\limits_{i \in I}}\;</math> और <math>\;{\textstyle\bigcap\limits_{j \in J}}\;</math> एक अलग सेट तैयार कर सकता है{{anchor|Arbitrary unions/intersections and switching symbols}}

निम्नलिखित समावेश हमेशा कायम रहता है:
{{NumBlk||<math display=block>\bigcup_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} S_{i,j}\right) ~~\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}~~ \bigcap_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} S_{i,j}\right)</math>|{{EquationRef|In. 1|2=Inclusion 1 ∪∩ is a subset of ∩∪}}|LnSty=1px dashed black}}

सामान्य तौर पर, समानता की आवश्यकता नहीं होती है और इसके अलावा, दाहिना हाथ इस बात पर निर्भर करता है कि प्रत्येक के लिए कैसे तय किया गया है <math>i \in I,</math> सेट <math>\left(S_{i,j}\right)_{j \in J}</math> लेबल किए गए हैं; और इसी प्रकार, बायां हाथ इस बात पर निर्भर करता है कि प्रत्येक के लिए कैसे तय किया गया है <math>j \in J,</math> सेट <math>\left(S_{i,j}\right)_{i \in I}</math> लेबल किये गये हैं. इसे प्रदर्शित करने वाला एक उदाहरण अब दिया गया है।

<ul>
<li>लेबलिंग पर निर्भरता और समानता की विफलता का उदाहरण: यह देखने के लिए कि समानता को कब बनाए रखने की आवश्यकता क्यों नहीं है <math>\cup</math> और <math>\cap</math> अदला-बदली की जाती है, चलो <math>I \colon= J \colon= \{1, 2\},</math> और जाने <math>S_{11} = \{1, 2\},~S_{12} = \{1, 3\},~S_{21} = \{3, 4\},</math> और <math>S_{22} = \{2, 4\}.</math> तब <math display=block>\{1, 4\} = \{1\} \cup \{4\} = \left(S_{11} \cap S_{12}\right) \cup \left(S_{21} \cap S_{22}\right) = \bigcup_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} S_{i,j}\right) ~\neq~ \bigcap_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} S_{i,j}\right) = \left(S_{11} \cup S_{21}\right) \cap \left(S_{12} \cup S_{22}\right) = \{1, 2, 3, 4\}.</math> अगर <math>S_{11}</math> और <math>S_{21}</math> जबकि अदला-बदली की जाती है <math>S_{12}</math> और <math>S_{22}</math> अपरिवर्तित हैं, जो समुच्चय को जन्म देता है <math>\hat{S}_{11} \colon= \{3, 4\},~\hat{S}_{12} \colon= \{1, 3\},~\hat{S}_{21} \colon= \{1, 2\},</math> और <math>\hat{S}_{22} \colon= \{2, 4\},</math> तब
 <math display=block>\{2, 3\} = \{3\} \cup \{2\} = \left(\hat{S}_{11} \cap \hat{S}_{12}\right) \cup \left(\hat{S}_{21} \cap \hat{S}_{22}\right) = \bigcup_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} \hat{S}_{i,j}\right) ~\neq~ \bigcap_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} \hat{S}_{i,j}\right) = \left(\hat{S}_{11} \cup \hat{S}_{21}\right) \cap \left(\hat{S}_{12} \cup \hat{S}_{22}\right) = \{1, 2, 3, 4\}.</math> विशेषकर, बायां हाथ अब नहीं रहा <math>\{1, 4\},</math> जो दर्शाता है कि बायां हाथ <math>{\textstyle\bigcup\limits_{i \in I}} \; {\textstyle\bigcap\limits_{j \in J}} S_{i,j}</math> यह इस बात पर निर्भर करता है कि सेट को कैसे लेबल किया गया है।
यदि इसके बजाय <math>S_{11}</math> और <math>S_{12}</math> जबकि अदला-बदली की जाती है <math>S_{21}</math> और <math>S_{22}</math> अपरिवर्तित हैं, जो समुच्चय को जन्म देता है <math>\overline{S}_{11} \colon= \{1, 3\},~ \overline{S}_{12} \colon= \{1, 2\},~ \overline{S}_{21} \colon= \{3, 4\},</math> और <math>\overline{S}_{22} \colon= \{2, 4\},</math> तो बायां पक्ष और दायां पक्ष दोनों बराबर हैं <math>\{1, 4\},</math> जो दिखाता है कि दाहिना हाथ इस बात पर भी निर्भर करता है कि सेट को कैसे लेबल किया गया है।</li>
</ul>

में समानता {{EquationNote|In. 1|Inclusion 1 ∪∩ is a subset of ∩∪}} कुछ परिस्थितियों में होल्ड कर सकता है, जैसे कि {{EquationNote|Eq. 7e|7e}}, जो विशेष मामला है <math>\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}</math> है <math>\left(L_i \setminus R_j\right)_{(i,j) \in I \times J}</math> (वह है, <math>S_{i,j} \colon= L_i \setminus R_j</math> समान अनुक्रमण सेट के साथ <math>I</math> और <math>J</math>), या जैसे कि में {{EquationNote|Eq. 7f|7f}}, जो विशेष मामला है <math>\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}</math> है <math>\left(L_i \setminus R_j\right)_{(j, i) \in J \times I}</math> (वह है, <math>\hat{S}_{j,i} \colon= L_i \setminus R_j</math> अनुक्रमण सेट के साथ <math>I</math> और <math>J</math> अदला-बदली)।
एक सही सूत्र के लिए जो वितरणात्मक कानूनों का विस्तार करता है, केवल स्विचिंग के अलावा एक दृष्टिकोण <math>\cup</math> और <math>\cap</math> ज़रूरी है।

=====सही वितरणात्मक कानून{{anchor|Correctly distributing arbitrary intersections and arbitrary unions|Correct distribution laws}}=====

मान लीजिए कि प्रत्येक के लिए <math>i \in I,</math> <math>J_i</math> एक गैर-रिक्त सूचकांक सेट है और प्रत्येक के लिए <math>j \in J_i,</math> होने देना <math>T_{i,j}</math> कोई भी सेट हो (उदाहरण के लिए, इस कानून को लागू करने के लिए <math>\left(S_{i,j}\right)_{(i, j) \in I \times J},</math> उपयोग <math>J_i \colon= J</math> सभी के लिए <math>i \in I</math> और उपयोग करें <math>T_{i,j} \colon= S_{i,j}</math> सभी के लिए <math>i \in I</math> और सभी <math>j \in J_i = J</math>). होने देना
<math display=block>{\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \prod_{i \in I} J_i</math> कार्टेशियन उत्पाद को निरूपित करें, जिसकी व्याख्या सभी कार्यों के समुच्चय के रूप में की जा सकती है <math>f ~:~ I ~\to~ {\textstyle\bigcup\limits_{i \in I}} J_i</math> ऐसा है कि <math>f(i) \in J_i</math> हरएक के लिए <math>i \in I.</math> ऐसे फ़ंक्शन को टुपल नोटेशन का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है <math>\left(f_i\right)_{i \in I}</math> कहाँ <math>f_i ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f(i)</math> हरएक के लिए <math>i \in I</math> और इसके विपरीत, एक टुपल <math>\left(f_i\right)_{i \in I}</math> डोमेन के साथ फ़ंक्शन के लिए केवल नोटेशन है <math>I</math> जिसका मूल्य पर <math>i \in I</math> है <math>f_i;</math> दोनों नोटेशन का उपयोग तत्वों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है <math>{\textstyle \prod} J_{\bull}.</math> तब
 {{NumBlk||<math display=block>\bigcap_{i \in I} \left[\;\bigcup_{j \in J_i} T_{i,j}\right] = \bigcup_{f \in \prod J_{\bull}} \left[\;\bigcap_{i \in I} T_{i,f(i)}\right]</math>|{{EquationRef|5|2=Eq. 5 ∩∪ to ∪∩}}|LnSty=1px dashed black}}
{{NumBlk||<math display=block>\bigcup_{i \in I} \left[\;\bigcap_{j \in J_i} T_{i,j}\right] = \bigcap_{f \in \prod J_{\bull}} \left[\;\bigcup_{i \in I} T_{i,f(i)}\right]</math>|{{EquationRef|6|2=Eq. 6 ∪∩ to ∩∪}}|LnSty=1px dashed black}}

कहाँ <math>{\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J_i.</math>


=====वितरणात्मक कानूनों को लागू करना{{anchor|Application of the distributive laws}}====={{em|Example application}}: विशेष मामले में जहां सभी <math>J_i</math> बराबर हैं (अर्थात्, <math>J_i = J_{i_2}</math> सभी के लिए <math>i, i_2 \in I,</math> जो परिवार के मामले में है <math>\left(S_{i,j}\right)_{(i, j) \in I \times J},</math> उदाहरण के लिए), फिर देना <math>J</math> इस सामान्य समुच्चय को निरूपित करें, कार्तीय गुणनफल होगा <math>{\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J_i = {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J = J^I,</math> जो फॉर्म का [[ कार्य स्थान ]] है <math>f ~:~ I ~\to~ J.</math> उपरोक्त सेट समानताएँ {{EquationNote|5|2=Eq. 5 ∩∪ to ∪∩}} और {{EquationNote|6|2=Eq. 6 ∪∩ to ∩∪}}, क्रमशः बन जाते हैं:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
<math display=block>\bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J} S_{i,j} = \bigcup_{f \in J^I} \; \bigcap_{i \in I} S_{i,f(i)}</math>
<math display=block>\bigcup_{i \in I} \; \bigcap_{j \in J} S_{i,j} = \bigcap_{f \in J^I} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,f(i)}</math>
जिसके साथ संयुक्त होने पर {{EquationNote|In. 1|2=Inclusion 1 ∪∩ is a subset of ∩∪}} तात्पर्य:
 <math display=block>\bigcup_{i \in I} \; \bigcap_{j \in J} S_{i,j}
~=~ \bigcap_{f \in J^I} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,f(i)}
~~\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}~~  \bigcup_{g \in I^J} \; \bigcap_{j \in J} S_{g(j),j}
~=~ \bigcap_{j \in J} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,j}</math>
कहाँ
* बायीं ओर, सूचकांक <math>f \text{ and } i</math> सीमा से अधिक <math>f \in J^I \text{ and } i \in I</math> (इसलिए की सबस्क्रिप्ट <math>S_{i,f(i)}</math> सीमा से अधिक <math>i \in I \text{ and } f(i) \in f(I) \subseteq J</math>)
* दाहिनी ओर, सूचकांक <math>g \text{ and } j</math> सीमा से अधिक <math>g \in I^J \text{ and } j \in J</math> (इसलिए की सबस्क्रिप्ट <math>S_{g(j),j}</math> सीमा से अधिक <math>j \in J \text{ and } g(j) \in g(J) \subseteq I</math>).{{em|Example application}}: के मामले में सामान्य सूत्र लागू करने के लिए <math>\left(C_k\right)_{k \in K}</math> और <math>\left(D_{l}\right)_{l \in L},</math> उपयोग <math>I \colon= \{1, 2\},</math> <math>J_1 \colon= K,</math> <math>J_2 \colon= L,</math> और जाने <math>T_{1,k} \colon= C_k</math> सभी के लिए <math>k \in J_1</math> और जाने <math>T_{2,l} \colon= D_l</math> सभी के लिए <math>l \in J_2.</math> हर नक्शा <math>f \in {\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J_i = J_1 \times J_2 = K \times L</math> [[द्विभाजन]] को जोड़ी से पहचाना जा सकता है <math>\left(f(1), f(2)\right) \in K \times L</math> (उलटा भेजता है <math>(k,l) \in K \times L</math> मानचित्र के लिए <math>f_{(k,l)} \in {\textstyle \prod} J_{\bull}</math> द्वारा परिभाषित <math>1 \mapsto k</math> और <math>2 \mapsto l;</math> यह तकनीकी रूप से केवल संकेतन का परिवर्तन है)। याद करें कि {{EquationNote|5|2=Eq. 5 ∩∪ to ∪∩}} था
  <math display=block>~\bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J_i} T_{i,j} = \bigcup_{f \in {\textstyle \prod} J_{\bull}} \; \bigcap_{i \in I} T_{i,f(i)}.~</math> बाईं ओर का विस्तार और सरलीकरण देता है
<math display=block>\bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J_i} T_{i,j}
= \left(\bigcup_{j \in J_1} T_{1,j}\right) \cap \left(\;\bigcup_{j \in J_2} T_{2,j}\right) 
= \left(\bigcup_{k \in K} T_{1,k}\right) \cap \left(\;\bigcup_{l \in L} T_{2,l}\right) 
= \left(\bigcup_{k \in K} C_k\right) \cap \left(\;\bigcup_{l \in L} D_l\right)
</math>
और दाहिनी ओर भी ऐसा ही करने से मिलता है:
<math display=block>\bigcup_{f \in \prod J_{\bull}} \; \bigcap_{i \in I} T_{i,f(i)}
= \bigcup_{f \in \prod J_{\bull}} \left(T_{1,f(1)} \cap T_{2,f(2)}\right) 
= \bigcup_{f \in \prod J_{\bull}} \left(C_{f(1)} \cap D_{f(2)}\right) 
= \bigcup_{(k,l) \in K \times L} \left(C_k \cap D_l\right) 
= \bigcup_{\stackrel{k \in K,}{l \in L}} \left(C_k \cap D_l\right).
</math>
इस प्रकार सामान्य पहचान {{EquationNote|5|2=Eq. 5 ∩∪ to ∪∩}} पहले दी गई सेट समानता तक कम हो जाता है {{EquationNote|Eq. 3b}}:
 <math display=block>\left(\bigcup_{k \in K} C_k\right) \cap \;\bigcup_{l \in L} D_l = \bigcup_{\stackrel{k \in K,}{l \in L}} \left(C_k \cap  D_l\right).</math>


=== घटाव को ⋃ और ⋂ पर वितरित करना{{anchor|Distributing subtraction over unions and intersections}}===

{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \;\setminus\; R ~=~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \;\setminus\; R\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 7a}}}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \;\setminus\; R ~=~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \;\setminus\; R\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 7b}}}}
अगली पहचानों को डी मॉर्गन के नियमों के रूप में जाना जाता है।{{sfn|Császár|1978|pp=15-26}}
{{NumBlk||<math display=block>L \;\setminus\; \bigcup_{j \in J} R_j ~=~ \bigcap_{j \in J} \left(L \;\setminus\; R_j\right) ~~\;~~ \text{ De Morgan's law }</math>|{{EquationRef|Eq. 7c}}}}
{{NumBlk||<math display=block>L \;\setminus\; \bigcap_{j \in J} R_j ~=~ \bigcup_{j \in J} \left(L \;\setminus\; R_j\right) ~~\;~~ \text{ De Morgan's law }</math>|{{EquationRef|Eq. 7d}}}}

समानताओं से निम्नलिखित चार सेट समानताएं निकाली जा सकती हैं {{EquationNote|Eq. 7a|7a}} - {{EquationNote|Eq. 7d|7d}} ऊपर।
 {{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \;\setminus\; \bigcup_{j \in J} R_j   ~=~   \bigcup_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} \left(L_i \;\setminus\; R_j\right)\right)   ~=~    \bigcap_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} \left(L_i \;\setminus\; R_j\right)\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 7e}}}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \;\setminus\; \bigcap_{j \in J} R_j   ~=~    \bigcup_{j \in J} \left(\bigcap_{i \in I} \left(L_i \;\setminus\; R_j\right)\right)   ~=~   \bigcap_{i \in I} \left(\bigcup_{j \in J} \left(L_i \;\setminus\; R_j\right)\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 7f}}}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \;\setminus\; \bigcap_{j \in J} R_j   ~=~   \bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} \left(L_i \;\setminus\; R_j\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 7g}}}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \;\setminus\; \bigcup_{j \in J} R_j   ~=~   \bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} \left(L_i \;\setminus\; R_j\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 7h}}}}

सामान्य तौर पर, भोली-भाली अदला-बदली <math>\;\cup\;</math> और <math>\;\cap\;</math> एक अलग सेट तैयार कर सकता है (अधिक विवरण के लिए # मनमाना यूनियन/चौराहे और स्विचिंग प्रतीक देखें)।
समानताएं
 <math display=block>\bigcup_{i \in I} \; \bigcap_{j \in J} \left(L_i \setminus R_j\right) ~=~ \bigcap_{j \in J} \; \bigcup_{i \in I} \left(L_i \setminus R_j\right)
\quad \text{ and } \quad  
\bigcup_{j \in J} \; \bigcap_{i \in I} \left(L_i \setminus R_j\right) ~=~ \bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J} \left(L_i \setminus R_j\right)</math> में पाया {{EquationNote|Eq. 7e}} और {{EquationNote|Eq. 7f}} इस मायने में असामान्य हैं कि वे ठीक उसी तरह की अदला-बदली बताते हैं <math>\;\cup\;</math> और <math>\;\cap\;</math> इच्छा {{em|not}} परिणामी सेट बदलें।

=== ⋃ और ⋂ की क्रमपरिवर्तनशीलता और साहचर्यता{{anchor|Commutativity and associativity of unions and intersections}}===

क्रमपरिवर्तनशीलता:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>\bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} 
~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcup_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j} 
~=~ \bigcup_{i \in I} \left(\bigcup_{j \in J} S_{i,j}\right) 
~=~ \bigcup_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} S_{i,j}\right)</math>

<math display=block>\bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} 
~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcap_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j} 
~=~ \bigcap_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} S_{i,j}\right) 
~=~ \bigcap_{j \in J} \left(\bigcap_{i \in I} S_{i,j}\right)</math>
यूनियनों के संघ और चौराहों के चौराहे:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}

<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cup R ~=~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cup R\right)</math>
<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cap R ~=~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cap R\right)</math>
और{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcup_{j \in J} R_j\right) ~=~ \bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} \left(L_i \cup R_j\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 2a}}}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcap_{j \in J} R_j\right) ~=~ \bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} \left(L_i \cap R_j\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 2b}}}}

और अगर <math>I = J</math> तब भी:<ref group=note name="DeducingIntersectionOfIntersections">To deduce {{EquationNote|Eq. 2c}} from {{EquationNote|Eq. 2a}}, it must still be shown that <math>{\textstyle\bigcup\limits_{\stackrel{i \in I,}{j \in I}}} \left(L_i \cup R_j\right) ~=~ {\textstyle\bigcup\limits_{i \in I}} \left(L_i \cup R_i\right)</math> so {{EquationNote|Eq. 2c}} is not a completely immediate consequence of {{EquationNote|Eq. 2a}}. (Compare this to the commentary about {{EquationNote|Eq. 3b}}).</ref>{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcup_{i \in I} R_i\right) ~=~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cup R_i\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 2c}}}}
{{NumBlk||<math display=block>\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcap_{i \in I} R_i\right) ~=~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cap R_i\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 2d}}}}

===मनमाने ढंग से कई सेटों का कार्टेशियन उत्पाद Π===

====Π==== का प्रतिच्छेदन ⋂

अगर <math>\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}</math> तो यह सेटों का एक परिवार है
 {{NumBlk||<math display=block>\bigcap_{j \in J} \; \prod_{i \in I} S_{i,j} ~~=~~ \prod_{i \in I} \; \bigcap_{j \in J} S_{i,j}</math>|{{EquationRef|Eq. 8}}}}
* इसके अलावा, एक टुपल <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> में सेट के अंतर्गत आता है {{EquationNote|Eq. 8|Eq. 8}} ऊपर यदि और केवल यदि <math>x_i \in S_{i,j}</math> सभी के लिए <math>i \in I</math> और सभी <math>j \in J.</math>
विशेषकर, यदि <math>\left(L_i\right)_{i \in I}</math> और <math>\left(R_i\right)_{i \in I}</math> तब दो परिवार एक ही सेट द्वारा अनुक्रमित होते हैं
 <math display=block>\left(\prod_{i \in I} L_i\right) \cap \prod_{i \in I} R_i ~=~ \prod_{i \in I} \left(L_i \cap R_i\right)</math>
तो उदाहरण के लिए,
 <math display=block>(L \times R) \cap \left(L_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)</math>
<math display=block>(L \times R) \cap \left(L_2 \times R_2\right) \cap \left(L_3 \times R_3\right) ~=~ \left(L \cap L_2 \cap L_3\right) \times \left(R \cap R_2 \cap R_3\right)</math> और
 <math display=block>(L \times M \times R) \cap \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(M \cap M_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)</math>
विभिन्न सेटों द्वारा अनुक्रमित उत्पादों के प्रतिच्छेदन

होने देना <math>\left(L_i\right)_{i \in I}</math> और <math>\left(R_j\right)_{j \in J}</math> अलग-अलग सेटों द्वारा अनुक्रमित दो परिवार बनें।

तकनीकी रूप से, <math>I \neq J</math> तात्पर्य <math>\left({\textstyle\prod\limits_{i \in I}} L_i\right) \cap {\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j = \varnothing.</math> हालाँकि, कभी-कभी इन उत्पादों को कुछ आक्षेप के माध्यम से एक ही सेट के रूप में पहचाना जाता है या इनमें से एक उत्पाद को कुछ [[इंजेक्शन मानचित्र]] के माध्यम से दूसरे के सबसेट के रूप में पहचाना जाता है, इस स्थिति में (नोटेशन के दुरुपयोग द्वारा) यह प्रतिच्छेदन किसी अन्य के बराबर हो सकता है (संभवतः गैर-रिक्त) सेट।
* उदाहरण के लिए, यदि <math>I := \{1, 2\}</math> और <math>J := \{1, 2, 3\}</math> सभी सेट बराबर के साथ <math>\R</math> तब <math>{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} L_i = {\textstyle\prod\limits_{i \in \{1, 2\}}} \R = \R^2</math> और <math>{\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j = {\textstyle\prod\limits_{j \in \{1, 2, 3\}}} \R = \R^3</math> कहाँ <math>\R^2 \cap \R^3 = \varnothing</math> {{em|unless}}, उदाहरण के लिए, <math>{\textstyle\prod\limits_{i \in \{1, 2\}}} \R = \R^2</math> के उपसमूह के रूप में पहचाना जाता है <math>{\textstyle\prod\limits_{j \in \{1, 2, 3\}}} \R = \R^3</math> कुछ इंजेक्टिव मानचित्र के माध्यम से, जैसे कि हो सकता है <math>(x, y) \mapsto (x, y, 0)</math> उदाहरण के लिए; हालाँकि, इस विशेष मामले में उत्पाद <math>{\textstyle\prod\limits_{i \in I = \{1, 2\}}} L_i</math> वास्तव में प्रतिनिधित्व करता है <math>J</math>-अनुक्रमित उत्पाद <math>{\textstyle\prod\limits_{j \in J = \{1, 2, 3\}}} L_i</math> कहाँ <math>L_3 := \{0\}.</math>
* दूसरे उदाहरण के लिए लीजिए <math>I := \{1, 2\}</math> और <math>J := \{1, 2, 3\}</math> साथ <math>L_1 := \R^2</math> और <math>L_2, R_1, R_2, \text{ and } R_3</math> सभी के बराबर <math>\R.</math> तब <math>{\textstyle\prod\limits_{i \in I}}L_i = \R^2 \times \R</math> और <math>{\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j = \R \times \R \times \R,</math> जिसे भेजे गए आक्षेप के माध्यम से दोनों को एक ही सेट के रूप में पहचाना जा सकता है <math>((x, y), z) \in \R^2 \times \R</math> को <math>(x, y, z) \in \R \times \R \times \R.</math> इस पहचान के तहत, <math>\left({\textstyle\prod\limits_{i \in I}} L_i\right) \cap \, {\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j ~=~ \R^3.</math>


====संघ ⋃ का Π====

यूनियनों के लिए, सामान्यतः केवल निम्नलिखित की गारंटी दी जाती है:
<math display=block>\bigcup_{j \in J} \; \prod_{i \in I} S_{i,j} ~~\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}~~ \prod_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J} S_{i,j} \qquad \text{ and } \qquad \bigcup_{i \in I} \; \prod_{j \in J} S_{i,j} ~~\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}~~ \prod_{j \in J} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,j}</math>
कहाँ <math>\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}</math> सेटों का एक परिवार है.

हालाँकि,
 <math display=block>\begin{alignat}{9}
\left(L \times R\right) ~\cup~ \left(L_2 \times R_2\right) 
~&=~ \left[\left(L \setminus L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[\left(L_2 \setminus L\right) \times R_2\right] ~\cup~ \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \\[0.5ex]
~&=~ \left[L \times \left(R \setminus R_2\right)\right] ~\cup~ \left[L_2 \times \left(R_2 \setminus R\right)\right] ~\cup~ \left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\
\end{alignat}</math>


====Π==== का अंतर

अगर <math>\left(L_i\right)_{i \in I}</math> और <math>\left(R_i\right)_{i \in I}</math> तो सेट के दो परिवार हैं:
<math display=block>\begin{alignat}{9}
\left(\prod_{i \in I} L_i\right) ~\setminus~ \prod_{i \in I}R_i
~&=~ \;~ \bigcup_{j \in I} \; ~ \prod_{i \in I} \begin{cases}L_j \,\setminus\, R_j & \text{ if } i = j \\ L_i & \text{ if } i \neq j \\ \end{cases} \\[0.5ex]
~&=~ \;~ \bigcup_{j \in I} \; ~ \Big[\left(L_j \,\setminus\, R_j\right) ~\times~ \prod_{\stackrel{i \in I,}{j \neq i}} L_i\Big] \\[0.5ex]
~&=~ \bigcup_{\stackrel{j \in I,}{L_j \not\subseteq R_j}} \Big[\left(L_j \,\setminus\, R_j\right) ~\times~ \prod_{\stackrel{i \in I,}{j \neq i}} L_i\Big] \\[0.3ex]
\end{alignat}</math>
उदाहरण के लिए,
<math display=block>\begin{alignat}{9}
\left(L \times R\right) ~\setminus~ \left(L_2 \times R_2\right) 
~&=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \\
\end{alignat}</math>
और
 <math display=block>(L \times M \times R) ~\setminus~ \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) 
~=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times M \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(M \,\setminus\, M_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times M \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right]</math>


====Π==== का सममित अंतर ∆

<math display=block>\begin{alignat}{9}
\left(\prod_{i \in I} L_i\right) ~\triangle~ \left(\prod_{i \in I} R_i\right)
~&=~ \;~ \left(\prod_{i \in I} L_i\right) ~\cup~ \left(\prod_{i \in I} R_i\right) \;\setminus\; \prod_{i \in I} L_i \cap R_i \\[0.5ex]
\end{alignat}</math>


==कार्य और सेट==
{{See also|Image (mathematics)#Properties}}

होने देना <math>f : X \to Y</math> कोई भी कार्य हो.

होने देना <math>L \text{ and } R</math> पूरी तरह से मनमाने सेट हों। मान लीजिए <math>A \subseteq X \text{ and } C \subseteq Y.</math> 

===परिभाषाएँ===

होने देना <math>f : X \to Y</math> कोई भी फ़ंक्शन हो, जहां हम उसे निरूपित करते हैं {{em|domain}} <math>X</math> द्वारा <math>\operatorname{domain} f</math> और इसे निरूपित करें {{em|codomain}} <math>Y</math> द्वारा <math>\operatorname{codomain} f.</math> नीचे दी गई कई पहचानों के लिए वास्तव में यह आवश्यक नहीं है कि सेट किसी तरह से संबंधित हों <math>f</math>का डोमेन या कोडोमेन (अर्थात्, को <math>X</math> या <math>Y</math>) इसलिए जब किसी प्रकार का संबंध आवश्यक होगा तो इसका स्पष्ट संकेत दिया जाएगा।
इस कारण इस लेख में यदि <math>L</math> होना घोषित किया गया है{{em|any set}}, और यह इंगित नहीं किया गया है <math>L</math> किसी न किसी तरह से संबंधित होना चाहिए <math>X</math> या <math>Y</math> (उदाहरण के लिए, कहें कि यह एक उपसमुच्चय है <math>X</math> या <math>Y</math>) तो इसका मतलब यह है <math>L</math> वास्तव में मनमाना है.<ref group=note>So for instance, it's even possible that <math>L \cap (X \cup Y) = \varnothing,</math> or that <math>L \cap X \neq \varnothing</math> {{em|and}} <math>L \cap Y \neq \varnothing</math> (which happens, for instance, if <math>X = Y</math>), etc.</ref> यह व्यापकता उन स्थितियों में उपयोगी है जहां <math>f : X \to Y</math> दो उपसमूहों के बीच का मानचित्र है <math>X \subseteq U</math> और <math>Y \subseteq V</math> कुछ बड़े सेटों का <math>U</math> और <math>V,</math> और सेट कहां है <math>L</math> पूरी तरह से समाहित नहीं हो सकता है <math>X = \operatorname{domain} f</math> और/या <math>Y = \operatorname{codomain} f</math> (उदाहरण के लिए यदि वह सब कुछ ज्ञात हो <math>L</math> यह है कि <math>L \subseteq U</math>); ऐसी स्थिति में यह जानना उपयोगी हो सकता है कि किस बारे में कहा जा सकता है और क्या नहीं <math>f(L)</math> और/या <math>f^{-1}(L)</math> बिना (संभावित रूप से अनावश्यक) प्रतिच्छेदन का परिचय दिए बिना जैसे: <math>f(L \cap X)</math> और/या <math>f^{-1}(L \cap Y).</math> सेट की छवियाँ और पूर्व-छवियाँ

अगर <math>L</math> है {{em|any}} फिर सेट करें {{em|[[Image (mathematics)|{{em|image}}]] of <math>L</math> under <math>f</math>}} को सेट के रूप में परिभाषित किया गया है:
 <math display=block>f(L) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{\,f(l) ~:~ l \in L \cap \operatorname{domain} f\,\}</math>
जब {{em|[[preimage]] of <math>L</math> under <math>f</math>}} है:
 <math display=block>f^{-1}(L) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) \in L\,\}</math>
कहाँ अगर <math>L = \{s\}</math> एक सिंगलटन सेट है तो {{em|[[Fiber (mathematics)|filber]]}} या {{em|[[preimage]] of <math>s</math> under <math>f</math>}} है
<math display=block>f^{-1}(s) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f^{-1}(\{s\}) ~=~ \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) = s\,\}.</math>
द्वारा निरूपित करें <math>\operatorname{Im} f</math> या <math>\operatorname{image} f</math>  {{em|image}} या {{em|[[Range of a function|range]]}} का <math>f : X \to Y,</math> कौन सा सेट है:
 <math display=block>\operatorname{Im} f ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f(X) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f(\operatorname{domain} f) ~=~ \{f(x) ~:~ x \in \operatorname{domain} f\}.</math>
संतृप्त सेट

{{Main|Saturated set}}

एक सेट <math>A</math> बताया गया {{em|<math>f</math>-'''saturated'''}} या ए{{em|[[saturated set|{{visible anchor|saturated set}}]]}} यदि निम्नलिखित में से कोई भी समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं:{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
<ol>
<li>वहां एक सेट मौजूद है <math>R</math> ऐसा है कि <math>A = f^{-1}(R).</math>
*ऐसा कोई भी सेट <math>R</math> आवश्यक रूप से शामिल है <math>f(A)</math> एक उपसमुच्चय के रूप में.
* कोई भी सेट पूरी तरह से के डोमेन में शामिल नहीं है <math>f</math> हो नहीं सकता <math>f</math>-संतृप्त.</li>
<ली><math>A = f^{-1}(f(A)).</math></li>
<ली><math>A \supseteq f^{-1}(f(A))</math> और <math>A \subseteq \operatorname{domain} f.</math>
* समावेश <math>L \cap \operatorname{domain} f \subseteq f^{-1}(f(L))</math> हमेशा धारण करता है, जहां यदि <math>A \subseteq \operatorname{domain} f</math> तो ये बन जाता है <math>A \subseteq f^{-1}(f(A)).</math></li>
<ली><math>A \subseteq \operatorname{domain} f</math> और अगर <math>a \in A</math> और <math>x \in \operatorname{domain} f</math> संतुष्ट करना <math>f(x) = f(a),</math> तब <math>x \in A.</math>
<li>जब भी एक फाइबर का <math>f</math> काटती है <math>A,</math> तब <math>A</math> इसमें संपूर्ण फाइबर होता है। दूसरे शब्दों में, <math>A</math> प्रत्येक शामिल है <math>f</math>-फाइबर जो इसे काटता है।</li>
* स्पष्ट रूप से: जब भी <math>y \in \operatorname{Im} f</math> इस प्रकार कि <math>A \cap f^{-1}(y) \neq \varnothing,</math> तब <math>f^{-1}(y) s\subseteq A.</math>
* इस कथन और अगले दोनों में, सेट <math>\operatorname{Im} f</math> के किसी भी सुपरसेट से बदला जा सकता है <math>\operatorname{Im} f</math> (जैसे कि <math>\operatorname{codomain} f</math>) और परिणामी कथन अभी भी बाकी के बराबर होगा।
<li>का चौराहा <math>A</math> के फाइबर के साथ <math>f</math> खाली सेट या स्वयं फाइबर के बराबर है।
*स्पष्ट रूप से: प्रत्येक के लिए <math>y \in \operatorname{Im} f,</math> चौराहा <math>A \cap f^{-1}(y)</math> [[खाली सेट]] के बराबर है <math>\varnothing</math> या करने के लिए <math>f^{-1}(y)</math> (वह है, <math>A \cap f^{-1}(y) = \varnothing</math> या <math>A \cap f^{-1}(y) = f^{-1}(y)</math>).
</li>
</ol>
एक सेट के लिए <math>A</math> होना <math>f</math>-संतृप्त, यह आवश्यक है कि <math>A \subseteq \operatorname{domain} f.</math> कार्यों की संरचना और प्रतिबंध

अगर <math>f</math> और <math>g</math> तो फिर मानचित्र हैं <math>g \circ f</math> को दर्शाता है {{em|[[Function composition|composition]]}} नक्शा
 <math display=block>g \circ f ~:~ \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) \in \operatorname{domain} g\,\} ~\to~ \operatorname{codomain} g</math>
डोमेन और कोडोमेन के साथ
<math display=block>\begin{alignat}{4}
\operatorname{domain}   (g \circ f) &= \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) \in \operatorname{domain}  g\,\} \\[0.4ex]
\operatorname{codomain} (g \circ f) &= \operatorname{codomain} g \\[0.7ex]
\end{alignat}</math> द्वारा परिभाषित
<math display=block>(g \circ f)(x) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ g(f(x)).</math>

 {{em|[[Restriction (mathematics)|restriction]] of <math>f : X \to Y</math> to <math>L,</math>}h>}} द्वारा दर्शाया गया है <math>f\big\vert_L,</math> नक्शा है
 <math display=block>f\big\vert_L ~:~ L \cap \operatorname{domain} f ~\to~ Y</math>
साथ <math>\operatorname{domain} f\big\vert_L ~=~ L \cap \operatorname{domain} f</math> भेजकर परिभाषित किया गया <math>x \in L \cap \operatorname{domain} f</math> को <math>f(x);</math> वह है,
 <math display=block>f\big\vert_L(x) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f (x).</math> वैकल्पिक रूप से, <math>~f\big\vert_L ~=~ f \circ \operatorname{In}~</math> कहाँ <math>~\operatorname{In} ~:~ L \cap X \to X~</math> [[समावेशन मानचित्र]] को दर्शाता है, जिसे परिभाषित किया गया है <math>\operatorname{In}(s) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ s.</math>


===(पूर्व)मनमानी यूनियनों ⋃ और चौराहों की छवियाँ ⋂'s===

अगर <math>\left(L_i\right)_{i \in I}</math> द्वारा अनुक्रमित मनमाने सेटों का एक परिवार है <math>I \neq \varnothing</math> तब:{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right)       \;&~\;\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}~ \;\;\;\bigcap_{i \in I} f\left(L_i\right) \\
f\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right)       \;&~=~ \;\bigcup_{i \in I} f\left(L_i\right) \\
f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right)  \;&~=~ \;\bigcup_{i \in I} f^{-1}\left(L_i\right) \\
f^{-1}\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right)  \;&~=~ \;\bigcap_{i \in I} f^{-1}\left(L_i\right) \\
\end{alignat}</math>
तो इन चार पहचानों में से यह है {{em|<u>only</u>}}{{em|images of intersections}} जो हमेशा संरक्षित नहीं रहते। प्रीइमेज सभी बुनियादी सेट संचालन को सुरक्षित रखते हैं। यूनियनों को छवियों और पूर्वछवियों दोनों द्वारा संरक्षित किया जाता है।

मैं गिरा <math>L_i</math> हैं <math>f</math>-फिर संतृप्त <math>\bigcap_{i \in I} L_i</math> होना होगा <math>f</math>-ऊपर के पहले संबंध में संतृप्त और समानता कायम रहेगी; स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है:
 {{NumBlk||<math display=block>f\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right)  ~=~  \bigcap_{i \in I} f\left(L_i\right) \qquad \textit{IF} \qquad X \cap L_i = f^{-1}\left(f\left(L_i\right)\right) \quad \text{ for all } \quad i \in I.</math>|{{EquationRef|Conditional Equality 10a}}}}

अगर <math>\left(A_i\right)_{i \in I}</math> के मनमाने उपसमुच्चय का एक परिवार है <math>X = \operatorname{domain} f,</math> जिसका अर्थ है कि <math>A_i \subseteq X</math> सभी के लिए <math>i,</math> तब {{EquationNote|Conditional Equality 10a}} बन जाता है:
{{NumBlk||<math display=block>f\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right)  ~=~  \bigcap_{i \in I} f\left(A_i\right) \qquad \textit{IF} \qquad A_i = f^{-1}\left(f\left(A_i\right)\right) \quad \text{ for all } \quad i \in I.</math>|{{EquationRef|Conditional Equality 10b}}}}

===(पूर्व)बाइनरी सेट संचालन की छवियाँ===

भर में, चलो <math>L</math> और <math>R</math> कोई भी सेट हो और चलो <math>f : X \to Y</math> कोई भी कार्य हो.

सारांश

जैसा कि नीचे दी गई तालिका से पता चलता है, सेट समानता है {{em|not}} गारंटी {{em|only}} के लिए {{em|images}} का: प्रतिच्छेदन, सेट घटाव, और सममित अंतर।

 {| class="wikitable"
|-
! Image
! Preimage
! {{nowrap|Additional assumptions on sets}}

|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\,~~~~f(L \cup R) ~=~ f(L) \cup f(R)</math><ref name="kelley-1985">{{harvnb|Kelley|1985|p=[{{Google books|plainurl=y|id=-goleb9Ov3oC|page=85|text=The image of the union of a family of subsets of X is the union of the images, but, in general, the image of the intersection is not the intersection of the images}} 85]}}</ref>
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(L \cup R) ~=~ f^{-1}(L) \cup f^{-1}(R)</math>{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math display=block>f(L \cap R) ~\subseteq~ f(L) \cap f(R)</math>
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(L \cap R) ~=~ f^{-1}(L) \cap f^{-1}(R)</math>{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math display=block>f(L \setminus R) ~\supseteq~ f(L) \setminus f(R)</math>
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(L) \setminus f^{-1}(R) 
&= f^{-1}&&( &&L                           &&\setminus  &&R) \\
&= f^{-1}&&( &&L                           &&\setminus [&&R \cap \operatorname{Im} f]) \\
&= f^{-1}&&([&&L \cap \operatorname{Im} f] &&\setminus  &&R) \\
&= f^{-1}&&([&&L \cap \operatorname{Im} f] &&\setminus [&&R \cap \operatorname{Im} f]) 
\end{alignat}</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}}
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math display=block>f(X \setminus R) ~\supseteq~ f(X) \setminus f(R)</math>
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
X \setminus f^{-1}(R) 
&= f^{-1}(&&Y                   &&\setminus  &&R) \\
&= f^{-1}(&&Y                   &&\setminus [&&R \cap \operatorname{Im} f]) \\
&= f^{-1}(&&\operatorname{Im} f &&\setminus  &&R) \\
&= f^{-1}(&&\operatorname{Im} f &&\setminus [&&R \cap \operatorname{Im} f]) 
\end{alignat}</math><ref group=note>The conclusion <math>X \setminus f^{-1}(R) = f^{-1}(Y \setminus R)</math> can also be written as: <math>f^{-1}(R)^\complement ~=~ f^{-1}\left(R^\complement\right).</math></ref>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math display=block>f\left(L ~\triangle~ R\right) ~\supseteq~ f(L) ~\triangle~ f(R)</math>
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}\left(L ~\triangle~ R\right) ~=~ f^{-1}(L) ~\triangle~ f^{-1}(R)</math>
|None
|}
प्रीइमेज सेट संचालन को सुरक्षित रखते हैं

सभी बुनियादी सेट संचालन के संबंध में सेट की प्रीइमेज अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं:

<math display=block>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(L \cup R) ~&=~ f^{-1}(L) \cup f^{-1}(R) \\
f^{-1}(L \cap R) ~&=~ f^{-1}(L) \cap f^{-1}(R) \\
f^{-1}(L \setminus\, R) ~&=~ f^{-1}(L) \setminus\, f^{-1}(R) \\
f^{-1}(L \,\triangle\, R) ~&=~ f^{-1}(L) \,\triangle\, f^{-1}(R) \\
\end{alignat}</math>
शब्दों में, पूर्वछवियाँ वितरणात्मक संपत्ति संघ, प्रतिच्छेदन, सेट घटाव और सममित अंतर।

इमेजिस {{em|only}} यूनियनों को सुरक्षित रखें

यूनियनों की छवियां अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं:

<math display=block>\begin{alignat}{4}
f(L \cup R) ~&=~ f(L) \cup f(R) \\
\end{alignat}</math>
लेकिन अन्य बुनियादी सेट संचालन की छवियां हैं {{em|not}} चूँकि सामान्यतः निम्नलिखित की ही गारंटी होती है:

<math display=block>\begin{alignat}{4}
f(L \cap R) ~&\subseteq~ f(L) \cap f(R) \\
f(L \setminus R) ~&\supseteq~ f(L) \setminus f(R) \\
f(L \triangle R) ~&\supseteq~ f(L) \,\triangle\, f(R) \\
\end{alignat}</math>
शब्दों में, छवियां वितरणात्मक संपत्ति संघ लेकिन जरूरी नहीं कि चौराहों, सेट घटाव, या सममित अंतर पर हों।

सामान्य तौर पर, सेट घटाव की छवियों के लिए समानता की गारंटी नहीं है <math>L \setminus R</math> न ही अन्य दो प्राथमिक सेट ऑपरेटरों की छवियों के लिए जिन्हें दो सेटों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
<math display=block>L \cap R = L \setminus (L \setminus R) \quad \text{ and } \quad L \triangle R = (L \cup R) \setminus (L \cap R).</math> अगर <math>L = X</math> तब <math>f(X \setminus R) \supseteq f(X) \setminus f(R)</math> जबकि अधिक सामान्य मामले में, समानता की गारंटी नहीं है। अगर <math>f</math> तो फिर विशेषण है <math>f(X \setminus R) ~\supseteq~ Y \setminus f(R),</math> जिसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: <math>f\left(R^\complement\right) ~\supseteq~ f(R)^\complement</math> अगर <math>R^\complement ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ X \setminus R</math> और <math>f(R)^\complement ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ Y \setminus f(R).</math>


====प्रति-उदाहरण: वितरित न होने वाले परिचालनों की छवियाँ====

[[File:Image preimage conterexample intersection.gif|thumb|right|upright=1.6|चित्र दिखा रहा है <math>f</math> वितरण संपत्ति में विफल:<br/>
{{center|<math>f\left(A_1 \cap A_2\right) \subsetneq f\left(A_1\right) \cap f\left(A_2\right).</math>}}
वो नक्शा <math>f : \R \to \R</math> द्वारा परिभाषित किया गया है <math>x \mapsto x^2,</math> कहाँ <math>\R</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं को दर्शाता है. सेट <math>A_1 = [-4, 2]</math> और <math>A_2 = [-2, 4]</math> में दिखाया गया है {{color|blue|blue}} ठीक नीचे <math>x</math>-अक्ष जबकि उनका प्रतिच्छेदन <math>A_3 = [-2, 2]</math> में दिखाया गया है {{color|green|green}}.]]अगर <math>f : \{1, 2\} \to Y</math> स्थिर है, <math>L = \{1\},</math> और <math>R = \{2\}</math> फिर सेट के सभी चार कंटेंट
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f(L \cap R) ~&\subsetneq~ f(L) \cap f(R) \\
f(L \setminus R) ~&\supsetneq~ f(L) \setminus f(R) \\
f(X \setminus R) ~&\supsetneq~ f(X) \setminus f(R) \\
f(L \triangle R) ~&\supsetneq~ f(L) \triangle f(R) \\
\end{alignat}</math>
उचित उपसमुच्चय हैं|सख्त/उचित (अर्थात्, समुच्चय समान नहीं हैं) क्योंकि एक पक्ष रिक्त समुच्चय है जबकि दूसरा गैर-रिक्त समुच्चय है। इस प्रकार सबसे सरल कार्यों के लिए भी समानता की गारंटी नहीं है।
ऊपर दिए गए उदाहरण को अब यह दिखाने के लिए सामान्यीकृत किया गया है कि ये चार सेट समानताएं किसी भी स्थिर फ़ंक्शन के लिए विफल हो सकती हैं जिनके डोमेन में कम से कम दो (विशिष्ट) बिंदु हैं।{{em|Example}}:{{anchor|ConstantFunctionWithDisjointSubsetsExample}} होने देना <math>f : X \to Y</math> छवि के साथ कोई भी स्थिर कार्य हो <math>f(X) = \{y\}</math> और मान लीजिये <math>L, R \subseteq X</math> गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चय हैं; वह है, <math>L \neq \varnothing, R \neq \varnothing,</math> और <math>L \cap R = \varnothing,</math> जिसका तात्पर्य यह है कि सभी सेट <math>L ~\triangle~ R = L \cup R,</math> <math>\,L \setminus R = L,</math> और <math>X \setminus R \supseteq L \setminus R</math> खाली नहीं हैं और परिणामस्वरूप, उनकी छवियां नीचे हैं <math>f</math> सभी समान हैं <math>\{y\}.</math> <ol>
<li>रोकथाम <math>~f(L \setminus R) ~\supsetneq~ f(L) \setminus f(R)~</math> सख्त है: <math display=block>\{y\} ~=~ f(L \setminus R) ~\neq~ f(L) \setminus f(R) ~=~ \{y\} \setminus \{y\} ~=~ \varnothing</math>
शब्दों में: फ़ंक्शंस वितरण संपत्ति नहीं हो सकते हैं | सेट घटाव पर वितरित करें <math>\,\setminus\,</math></li>
<li>रोकथाम <math>~f(X \setminus R) ~\supsetneq~ f(X) \setminus f(R)~</math> सख्त है: <math display=block>\{y\} ~=~ f(X \setminus R) ~\neq~ f(X) \setminus f(R) ~=~ \{y\} \setminus \{y\} ~=~ \varnothing.</math>
</li>
<li>रोकथाम <math>~f(L ~\triangle~ R) ~\supsetneq~ f(L) ~\triangle~ f(R)~</math> सख्त है: <math display=block>\{y\} ~=~ f\left(L ~\triangle~ R\right) ~\neq~ f(L) ~\triangle~ f(R) ~=~ \{y\} \triangle \{y\} ~=~ \varnothing</math>
शब्दों में: फ़ंक्शंस वितरणात्मक गुण नहीं हो सकते हैं|सममित अंतर पर वितरित हो सकते हैं <math>\,\triangle\,</math>(जिसे दो सेटों के सेट घटाव के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: <math>L \triangle R = (L \cup R) \setminus (L \cap R)</math>).
</li>
<li>रोकथाम <math>~f(L \cap R) ~\subsetneq~ f(L) \cap f(R)~</math> सख्त है: <math display=block>\varnothing ~=~ f(\varnothing) ~=~ f(L \cap R) ~\neq~ f(L) \cap f(R) ~=~ \{y\} \cap \{y\} ~=~ \{y\}</math>
शब्दों में: फ़ंक्शंस वितरण संपत्ति नहीं हो सकते हैं | सेट चौराहे पर वितरित नहीं हो सकते हैं <math>\,\cap\,</math>(जिसे दो सेटों के सेट घटाव के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: <math>L \cap R = L \setminus (L \setminus R)</math>).
</li>
</ol>

इन चार उदाहरणों में सेट ऑपरेशनों में जो समानता है वह यह है कि वे दोनों हैं {{em|are}} [[घटाव सेट करें]] <math>\setminus</math> (उदाहरण (1) और (2)) अन्यथा वे स्वाभाविक रूप से कर सकते हैं {{em|be defined}} दो सेटों के सेट घटाव के रूप में (उदाहरण (3) और (4))।

स्मरणीय: वास्तव में, उपरोक्त चार सेट फ़ार्मुलों में से प्रत्येक के लिए जिसके लिए समानता की गारंटी नहीं है, रोकथाम की दिशा (अर्थात, उपयोग करना है या नहीं) <math>\,\subseteq \text{ or } \supseteq\,</math>) हमेशा फ़ंक्शन की कल्पना करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>f</math> होने के नाते {{em|constant}} और दो सेट (<math>L</math> और <math>R</math>) अपने डोमेन के गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चय के रूप में। यह है क्योंकि {{em|every}} ऐसे फ़ंक्शन और सेट के लिए समानता विफल हो जाती है: एक पक्ष हमेशा रहेगा <math>\varnothing</math> और दूसरा गैर-रिक्त - इस तथ्य से, का सही विकल्प <math>\,\subseteq \text{ or } \supseteq\,</math> उत्तर देकर अनुमान लगाया जा सकता है: कौन सा पक्ष खाली है? उदाहरण के लिए, यह तय करने के लिए कि क्या <math>?</math> में
 <math display=block>f(L \triangle R) \setminus f(R) ~\;~?~\;~ f((L \triangle R) \setminus R)</math>
होना चाहिए <math>\,\subseteq \text{ or } \supseteq,\,</math> दिखावा करना<ref group=note>Whether or not it is even feasible for the function <math>f</math> to be constant and the sets <math>L \triangle R</math> and <math>R</math> to be non-empty and disjoint is irrelevant for reaching the correct conclusion about whether to use <math>\,\subseteq \text{ or } \supseteq.\,</math></ref> वह <math>f</math> स्थिर है और वह <math>L \triangle R</math> और <math>R</math> के गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चय हैं <math>f</math>का डोमेन; फिर {{em|left}} हाथ की ओर खाली होगा (चूंकि <math>f(L \triangle R) \setminus f(R) = \{f\text{'s single value}\} \setminus \{f\text{'s single value}\} = \varnothing</math>), जो कि इंगित करता है <math>\,?\,</math> होना चाहिए <math>\,\subseteq\,</math> (परिणामस्वरूप कथन हमेशा सत्य होने की गारंटी है) क्योंकि यही वह विकल्प है जो चुनना होगा
<math display=block>\varnothing = \text{left hand side} ~\;~?~\;~ \text{right hand side}</math>
सत्य।
वैकल्पिक रूप से, रोकथाम की सही दिशा किसी स्थिरांक पर विचार करके भी निकाली जा सकती है <math>f : \{1, 2\} \to Y</math> साथ <math>L = \{1\}</math> और <math>R = \{2\}.</math> इसके अलावा, इस निमोनिक का उपयोग सही ढंग से यह पता लगाने के लिए भी किया जा सकता है कि सेट ऑपरेशन हमेशा छवियों या प्रीइमेज पर वितरित होता है या नहीं; उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या है या नहीं <math>f(L \cap R)</math> हमेशा बराबर होता है <math>f(L) \cap f(R),</math> या वैकल्पिक रूप से, चाहे या नहीं <math>f^{-1}(L \cap R)</math> हमेशा बराबर होता है <math>f^{-1}(L) \cap f^{-1}(R)</math> (यद्यपि <math>\,\cap\,</math> यहाँ प्रयोग किया गया था, इसे प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>\,\cup, \,\setminus, \text{ or } \,\triangle</math>). ऐसे प्रश्न का उत्तर, पहले की तरह, इस स्थिर फलन पर विचार करके निकाला जा सकता है: सामान्य मामले के लिए उत्तर (अर्थात, मनमाने ढंग से) <math>f, L,</math> और <math>R</math>) हमेशा (स्थिर) फ़ंक्शन और असंयुक्त गैर-रिक्त सेटों की इस पसंद के उत्तर के समान होता है।

====स्थितियाँ यह गारंटी देती हैं कि छवियाँ सेट संचालन पर वितरित होती हैं====

समानता कब लागू होती है इसके लक्षण | {{em|all}} सेट:

किसी भी समारोह के लिए <math>f : X \to Y,</math> निम्न कथन समतुल्य हैं:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f : X \to Y</math> [[इंजेक्शन का कार्य]] है.
* इसका मतलब यह है: <math>f(x) \neq f(y)</math> सभी के लिए विशिष्ट <math>x, y \in X.</math>
</li>
<ली><math>f(L \cap R) = f(L) \,\cap\, f(R) \, \text{ for all } \, L, R \subseteq X.</math> (बराबर का चिह्न <math>\,=\,</math> से बदला जा सकता है <math>\,\supseteq\,</math>).
</li>
<ली><math>f(L \,\setminus R) = f(L) \,\setminus\, f(R) \; \text{ for all } \, L, R \subseteq X.</math> (बराबर का चिह्न <math>\,=\,</math> से बदला जा सकता है <math>\,\subseteq\,</math>).
</li>
<ली><math>f(X \setminus R) = f(X) \setminus\, f(R) \; \text{ for all } \, ~~~~~R \subseteq X.</math> (बराबर का चिह्न <math>\,=\,</math> से बदला जा सकता है <math>\,\subseteq\,</math>).
</li>
<ली><math>f(L \,\triangle\, R) = f(L) \,\triangle\, f(R) \; \text{ for all } \, L, R \subseteq X.</math> (बराबर का चिह्न <math>\,=\,</math> से बदला जा सकता है <math>\,\subseteq\,</math>).
</li>
<li>चार कथनों में से कोई एक (बी) - (ई) लेकिन सभी के लिए शब्दों को निम्नलिखित में से किसी एक से बदल दिया जाए:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<li> सभी [[सिंगलटन सेट]] के लिए
* विशेष रूप से, जो कथन (डी) से उत्पन्न होता है वह इंजेक्टिविटी का एक लक्षण वर्णन देता है जिसमें स्पष्ट रूप से केवल एक बिंदु शामिल होता है (दो के बजाय): <math>f</math> इंजेक्शन है यदि और केवल यदि <math>f(x) \not\in f(X \setminus \{x\}) \; \text{ for every } \, x \in X.</math></li>
<li> सभी [[असंयुक्त सेट]] सिंगलटन सबसेट के लिए
* कथन (डी) के लिए, यह समान है: सभी सिंगलटन उपसमुच्चय के लिए (क्योंकि जोड़ीदार असंयुक्त की परिभाषा किसी भी परिवार द्वारा शून्य रूप से संतुष्ट होती है जिसमें बिल्कुल 1 सेट होता है)।</li>
<li> सभी असंयुक्त उपसमुच्चय के लिए </li>
</ol>
</li>
</ol>

विशेष रूप से, यदि किसी मानचित्र को इंजेक्शन के रूप में नहीं जाना जाता है, तो अतिरिक्त जानकारी को छोड़कर, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि कथनों (बी) - (ई) में कोई भी समानता कायम रहेगी।

इस लक्षण वर्णन को साबित करने में मदद के लिए #ConstantFunctionWithDisjointSubsetExample का उपयोग किया जा सकता है। वास्तव में, ऐसे प्रमाण के साथ उस उदाहरण की तुलना करने से पता चलता है कि उदाहरण मूल कारण का प्रतिनिधि है कि कथनों (बी) - (ई) में इन चार समानताओं में से एक क्यों नहीं हो सकती है (अर्थात, एक सेट होने पर क्या गलत होता है इसका प्रतिनिधि) समानता कायम नहीं है)।

=====f(L⋂R) = f(L)⋂f(R) के लिए शर्तें{{anchor|Image of an intersection ⋂|Image of an intersection}}=====

<math display=block>f(L \cap R) ~\subseteq~ f(L) \cap f(R) \qquad\qquad \text{ always holds}</math>
समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f(L \cap R) ~=~ f(L) \cap f(R)</math></li>
<ली><math>f(L \cap R) ~\supseteq~ f(L) \cap f(R)</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L \cap R))</math>
* बाएँ हाथ की ओर <math>L \cap f^{-1}(f(R))</math> हमेशा बराबर होता है <math>L \cap f^{-1}(f(L) \cap f(R))</math> (क्योंकि <math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L))</math> हमेशा धारण करता है).</li>
<ली><math>R \cap f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L \cap R))</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ f^{-1}(f(L \cap R)) \cap L</math></li>
<ली><math>R \cap f^{-1}(f(L)) ~=~ f^{-1}(f(L \cap R)) \cap R</math></li>
<li>यदि <math>l \in L</math> संतुष्ट <math>f(l) \in f(R)</math> तब <math>f(l) \in f(L \cap R).</math></li>
<li>यदि <math>y \in f(L)</math> लेकिन <math>y \notin f(L \cap R)</math> तब <math>y \notin f(R).</math></li>
<ली><math>f(L) \, \setminus \, f(L \cap R) ~\subseteq~ f(L) \, \setminus \, f(R)</math></li>
<ली><math>f(R) \, \setminus \, f(L \cap R) ~\subseteq~ f(R) \, \setminus \, f(L)</math></li>
<ली><math>f(L \cup R) \setminus f(L \cap R) ~\subseteq~ f(L) \,\triangle\, f(R)</math></li>
<li>उपरोक्त तीन शर्तों में से कोई भी (i) - (k) लेकिन उपसमुच्चय प्रतीक के साथ <math>\,\subseteq\,</math> बराबर चिह्न से प्रतिस्थापित किया गया <math>\,=.\,</math></li>
</ol>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f</math> इंजेक्शन है.<ref name="munkres-2000-p21">See {{harvnb|Munkres|2000|p=21}}</ref></li>
<li>प्रतिबंध <math>f\big\vert_{L \cup R}</math> इंजेक्शन है.</li>
<ली><math>f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R</math><ref group=note name="Depends only on R"/></li>
<ली><math>f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ L</math>
<!--This is equivalent to: <li><math>R \cap \operatorname{domain} f ~=~ f^{-1}(f(R))</math><ref group=note name="Depends only on R"/> &nbsp;or<br/><math>L \cap \operatorname{domain} f ~=~ f^{-1}(f(L))</math></li>--></li>
<ली><math>R</math> है <math>f</math>-संतृप्त; वह है, <math>f^{-1}(f(R)) = R</math><ref group=note name="Depends only on R"/></li>
<ली><math>L</math> है <math>f</math>-संतृप्त; वह है, <math>f^{-1}(f(L)) = L</math></li>
<ली><math>f(L) ~\subseteq~ f(L \cap R)</math></li>
<ली><math>f(R) ~\subseteq~ f(L \cap R)</math></li>
<ली><math>f(L \,\setminus\, R) ~\subseteq~ f(L) \setminus \, f(R)</math> या समकक्ष, <math>f(L \,\setminus\, R) ~=~ f(L) \setminus f(R)</math></li>
<ली><math>f(R \,\setminus\, L) ~\subseteq~ f(R) \setminus \, f(L)</math> या समकक्ष, <math>f(R \,\setminus\, L) ~=~ f(R) \setminus f(L)</math></li>
<ली><math>f\left(L ~\triangle~ R\right) \subseteq f(L) ~\triangle~ f(R)</math> या समकक्ष, <math>f\left(L ~\triangle~ R\right) = f(L) ~\triangle~ f(R)</math></li>
<ली><math>R \cap \operatorname{domain} f \,\subseteq L</math></li>
<ली><math>L \cap \operatorname{domain} f \,\subseteq R</math></li>
<ली><math>R \subseteq L</math></li>
<ली><math>L \subseteq R</math></li>
</ol>

इसके अलावा, निम्नलिखित हमेशा कायम रहते हैं:
<math display=block>f\left(f^{-1}(L) \cap R\right) ~=~ L \cap f(R)</math>
<math display=block>f\left(f^{-1}(L) \cup R\right) ~=~ (L \cap \operatorname{Im} f) \cup f(R)</math>


=====f(L\R) के लिए शर्तें = f(L)\f(R){{anchor|Image of a set subtraction \|Image of a set subtraction}}=====

<math display=block>f(L \setminus R) ~\supseteq~ f(L) \setminus f(R) \qquad\qquad \text{ always holds}</math>
समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:<ref group=proof name=proofCharOfPullingLminusR /><ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f(L \setminus R) ~=~ f(L) \setminus f(R)</math></li>
<ली><math>f(L \setminus R) ~\subseteq~ f(L) \setminus f(R)</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ L \cap R \cap \operatorname{domain} f</math></li>
<li>जब भी <math>y \in f(L) \cap f(R)</math> तब <math>L \cap f^{-1}(y) \subseteq R.</math></li>
<ली><math display=inline>f(L) \cap f(R) ~\subseteq~ \left\{y \in f(L) : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}</math>
* दायीं ओर का सेट हमेशा बराबर होता है <math>\left\{y \in f(L \cap R) :  L \cap f^{-1}(y) \,\subseteq R\right\}.</math></li>
<ली><math display=inline>f(L) \cap f(R) ~=~ \left\{y \in f(L) : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}</math>
* यह उपरोक्त शर्त है (एफ) लेकिन उपसमुच्चय प्रतीक के साथ <math>\,\subseteq\,</math> बराबर चिह्न से प्रतिस्थापित किया गया <math>\,=.\,</math></li>
</ol>

समानता के लिए आवश्यक शर्तें (विशेषताओं को छोड़कर): यदि समानता कायम है तो निम्नलिखित आवश्यक रूप से सत्य हैं:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f(L \cap R) = f(L) \cap f(R),</math> या समकक्ष <math>f(L \cap R) \supseteq f(L) \cap f(R).</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ L \cap f^{-1}(f(L \cap R))</math> या समकक्ष, <math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L \cap R))</math></li>
<ली><math>R \cap f^{-1}(f(L)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L \cap R))</math></li>
</ol>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f</math> इंजेक्शन है.</li>
<li>प्रतिबंध <math>f\big\vert_{L \cup R}</math> इंजेक्शन है.</li>
<ली><math>f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R</math><ref group=note name="Depends only on R">Note that this condition depends entirely on <math>R</math> and {{em|not}} on <math>L.</math></ref> या समकक्ष, <math>R \cap \operatorname{domain} f ~=~ f^{-1}(f(R))</math></li>
<ली><math>R</math> है <math>f</math>-संतृप्त; वह है, <math>R = f^{-1}(f(R)).</math><ref group=note name="Depends only on R"/></li>
<ली><math>f\left(L ~\triangle~ R\right) \subseteq f(L) ~\triangle~ f(R)</math> या समकक्ष, <math>f\left(L ~\triangle~ R\right) = f(L) ~\triangle~ f(R)</math></li>
</al>

=====f(X\R) के लिए शर्तें = f(X)\f(R){{anchor|Image of a set subtracted from the domain \|Image of a set subtracted from the domain}}=====

<math display=block>f(X \setminus R) ~\supseteq~ f(X) \setminus f(R) \qquad\qquad \text{ always holds, where } f : X \to Y</math>
समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:<ref group=proof name=proofCharOfPullingLminusR /><ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f(X \setminus R) ~=~ f(X) \setminus f(R)</math></li>
<ली><math>f(X \setminus R) ~\subseteq~ f(X) \setminus f(R)</math></li>
<ली><math>f^{-1}(f(R)) \,\subseteq\, R</math></li>
<ली><math>f^{-1}(f(R)) \,=\, R \cap \operatorname{domain} f</math></li>
<ली><math>R \cap \operatorname{domain} f</math> है <math>f</math>-संतृप्त.</li>
<li>जब भी <math>y \in f(R)</math> तब <math>f^{-1}(y) \subseteq R.</math></li>
<ली><math display=inline>f(R) ~\subseteq~ \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}</math></li>
<ली><math display=inline>f(R) ~=~ \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}</math></li>
</ol>
कहाँ अगर <math>R \subseteq \operatorname{domain} f</math> तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; प्रारंभ=9>
<ली><math>R</math> है <math>f</math>-संतृप्त; वह है, <math>R = f^{-1}(f(R)).</math></li>
</ol>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f</math> इंजेक्शन है.</li>
<ली><math>R</math> है <math>f</math>-संतृप्त; वह है, <math>R = f^{-1}(f(R)).</math></li>
</al>

=====f(L∆R) = f(L)∆f(R) के लिए शर्तें{{anchor|Image of a symmetric difference ∆|Image of a symmetric difference}}=====

<math display=block>f\left(L ~\triangle~ R\right) ~\supseteq~ f(L) ~\triangle~ f(R) \qquad\qquad \text{ always holds}</math>
समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f\left(L ~\triangle~ R\right) = f(L) ~\triangle~ f(R)</math></li>
<ली><math>f\left(L ~\triangle~ R\right) \subseteq f(L) ~\triangle~ f(R)</math></li>
<ली><math>f(L \,\setminus\, R) = f(L) \,\setminus\, f(R)</math> और <math>f(R \,\setminus\, L) = f(R) \,\setminus\, f(L)</math></li>
<ली><math>f(L \,\setminus\, R) \subseteq f(L) \,\setminus\, f(R)</math> और <math>f(R \,\setminus\, L) \subseteq f(R) \,\setminus\, f(L)</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R</math> और <math>R \cap f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ L</math>
* समावेशन <math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L))</math> और <math>R \cap f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(R))</math> हमेशा पकड़ें.</li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L))</math>
* यदि यह उपरोक्त समुच्चय समानता रखता है तो यह समुच्चय भी दोनों के बराबर होगा <math>L \cap R \cap \operatorname{domain} f</math> और <math>L \cap R \cap f^{-1}(f(L \cap R)).</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(L \cap R)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L \cap R))</math> और <math>f(L \cap R) ~\supseteq~ f(L) \cap f(R).</math></li>
</ol>

समानता के लिए आवश्यक शर्तें (विशेषताओं को छोड़कर): यदि समानता कायम है तो निम्नलिखित आवश्यक रूप से सत्य हैं:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f(L \cap R) = f(L) \cap f(R),</math> या समकक्ष <math>f(L \cap R) \supseteq f(L) \cap f(R).</math></li>
<ली><math>L \cap f^{-1}(f(L \cap R)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L \cap R))</math></li>
</ol>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है:
<ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; >
<ली><math>f</math> इंजेक्शन है.</li>
<li>प्रतिबंध <math>f\big\vert_{L \cup R}</math> इंजेक्शन है.</li>
</ol>

====सेट संचालन की छवियों के लिए सटीक सूत्र/समानताएं====

=====f(L\R) = के लिए सूत्र{{anchor|Image of set subtraction|Formulas for the image of set subtraction}}=====

किसी भी समारोह के लिए <math>f : X \to Y</math> और कोई भी सेट <math>L</math> और <math>R,</math><ref group=proof name=ProofImagesOfSetSubtractions>Let <math>P := \left\{y \in Y : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}</math> and let <math>(\star)</math> denote the set equality <math>f(L \setminus R) = Y \setminus P,</math> which will now be proven. If <math>y \in Y \setminus P</math> then <math>L \cap f^{-1}(y) \not\subseteq R</math> so there exists some <math>x \in L \cap f^{-1}(y) \setminus R;</math> now <math>f^{-1}(y) \subseteq X</math> implies <math>x \in L \cap X \setminus R</math> so that <math>y = f(x) \in f(L \cap X \setminus R) = f(L \setminus R).</math> To prove the reverse inclusion <math>f(L \setminus R) \subseteq Y \setminus P,</math> let <math>y \in f(L \setminus R)</math> so that there exists some <math>x \in X \cap L \setminus R</math> such that <math>y = f(x).</math> Then <math>x \in L \cap f^{-1}(y) \setminus R</math> so that <math>L \cap f^{-1}(y) \not\subseteq R</math> and thus <math>y \not\in P,</math> which proves that <math>y \in Y \setminus P,</math> as desired. <math>\blacksquare</math> Defining <math>Q := f(L) \cap P = \left\{ y \in f(L) : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\},</math> the identity <math>f(L \setminus R) = f(L) \setminus Q</math> follows from <math>(\star)</math> and the inclusions <math>f(L \setminus R) \subseteq f(L) \subseteq Y.</math> <math>\blacksquare</math></ref>
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f(L \setminus R)
&= Y ~~~\;\,\, \setminus \left\{ y \in Y ~~~~~~~~~~\;\,   ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex]
&= f(L)        \setminus \left\{ y \in f(L)~~~~~~~\,      ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex]
&= f(L)        \setminus \left\{ y \in f(L \cap R)        ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex]
&= f(L)        \setminus \left\{ y \in V~~~~~~~~~~~~\,    ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad V \supseteq f(L \cap R) \\[0.4ex]
&= f(S)        \setminus \left\{ y \in f(S)~~~~~~~\,      ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad S \supseteq L \cap X. \\[0.7ex]
\end{alignat}</math>


=====f(X\R) = के लिए सूत्र{{anchor|Image of set subtraction from the domain|Formulas for the image of set subtraction from the domain}}=====

ले रहा <math>L := X = \operatorname{domain} f</math> उपरोक्त सूत्रों में दिया गया है:
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f(X \setminus R)
&= Y ~~~\;\,\,            \setminus \left\{ y \in Y ~~~~\;\,\,           :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex]
&= f(X)                   \setminus \left\{ y \in f(X) ~                 :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex]
&= f(X)                   \setminus \left\{ y \in f(R) ~                 :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex]
&= f(X)                   \setminus \left\{ y \in W ~~~\;\,\,            :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \qquad \text{ for any superset } \quad W \supseteq f(R) \\[0.4ex]
\end{alignat}</math>
जहां सेट <math>\left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}</math> नीचे दी गई छवि के बराबर है <math>f</math> सबसे बड़े का <math>f</math>-संतृप्त उपसमुच्चय <math>R.</math>
<ul>
<li>सामान्य तौर पर, केवल <math>f(X \setminus R) \,\supseteq\, f(X) \setminus f(R)</math> हमेशा कायम रहता है और समानता की गारंटी नहीं होती; लेकिन प्रतिस्थापित कर रहा हूँ<math>f(R)</math>इसके उपसमुच्चय के साथ<math>\left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}</math>एक ऐसे सूत्र में परिणत होता है जिसमें समानता होती है {{em|always}} गारंटी:
 <math display=block>f(X \setminus R) \,=\, f(X) \setminus  \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}.</math> इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:<ref group=proof name=proofCharOfPullingLminusR>Let <math>f_R := \left\{ y \in f(L) : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\}</math> where because <math>f_R \subseteq f(R \cap L),</math> <math>f_R</math> is also equal to <math>f_R = \left\{ y \in f(R \cap L) : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\}.</math> As proved above, <math>f(L \setminus R) = f(L) \setminus f_R</math> so that <math>f(L) \setminus f(R) = f(L \setminus R)</math> if and only if <math>f(L) \setminus f(R) = f(L) \setminus f_R.</math> Since <math>f(L) \setminus f(R) = f(L) \setminus (f(L) \cap f(R)),</math> this happens if and only if <math>f(L) \setminus (f(L) \cap f(R)) = f(L) \setminus f_R.</math> Because <math>f(L) \cap f(R) \text{ and } f_R</math> are both subsets of <math>f(L),</math> the condition on the right hand side happens if and only if <math>f(L) \cap f(R) = f_R.</math> Because <math>f_R \subseteq f(R \cap L) \subseteq f(L) \cap f(R),</math> the equality <math>f(L) \cap f(R) = f_R</math> holds if and only if <math>f(L) \cap f(R) \subseteq f_R.</math> <math>\blacksquare</math> If <math>f(R) \subseteq f(L)</math> (such as when <math>L = X</math> or <math>R \subseteq L</math>) then <math>f(L) \cap f(R) \subseteq f_R</math> if and only if <math>f(R) \subseteq f_R.</math> In particular, taking <math>L = X</math> proves: <math>f(X \setminus R) = f(X) \setminus f(R)</math> if and only if <math>f(R) \subseteq \left\{ y \in f(R \cap X) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\},</math> where <math>f(R \cap X) = f(R).</math> <math>\blacksquare</math></ref> 
<math display=block>f(X \setminus R) = f(X) \setminus f(R) \quad \text{ if and only if } \quad f(R) = \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \quad \text{ if and only if } \quad f^{-1}(f(R)) \subseteq R.</math>
</li>
<li>यदि <math>f_R := \left\{y \in f(X) : f^{-1}(y) \subseteq R\right\}</math> तब <math>f(X \setminus R) = f(X) \setminus f_R,</math> जिसे अधिक सममित रूप से लिखा जा सकता है <math>f(X \setminus R) = f_X \setminus f_R</math> (तब से <math>f_X = f(X)</math>).
</li>
</ul>

=====f(L∆R) = के लिए सूत्र{{anchor|Image of symmetric difference|Formulas for the image of symmetric difference}}=====

यह इस प्रकार है <math>L \,\triangle\, R = (L \cup R) \setminus (L \cap R)</math> और किसी भी फ़ंक्शन के लिए सेट घटाव की छवि के लिए उपरोक्त सूत्र <math>f : X \to Y</math> और कोई भी सेट <math>L</math> और <math>R,</math>
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f(L \,\triangle\, R)
&= Y ~~~\;~~~\;~~~\; \setminus \left\{ y \in Y ~~~\,~~~\;~~~\,~   ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \\[0.4ex]
&= f(L \cup R) \setminus \left\{ y \in f(L \cup R)        ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \\[0.4ex]
&= f(L \cup R) \setminus \left\{ y \in f(L \cap R)        ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \\[0.4ex]
&= f(L \cup R) \setminus \left\{ y \in V ~~~\,~~~~~~~~~   ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad V \supseteq f(L \cap R) \\[0.4ex]
&= f(S) ~~\,~~~\,~\, \setminus \left\{ y \in f(S) ~~~\,~~~\;  ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad S \supseteq (L \cup R) \cap X. \\[0.7ex]
\end{alignat}</math>


=====f(L) = के लिए सूत्र{{anchor|Image of a set|Formulas for the image of a set}}=====

यह किसी भी फ़ंक्शन के लिए सेट घटाव की छवि के लिए उपरोक्त सूत्रों से अनुसरण करता है <math>f : X \to Y</math> और कोई भी सेट <math>L,</math><math display=block>\begin{alignat}{4}
f(L)
&= Y ~~~\;\,           \setminus \left\{y \in Y ~~~\;\,           ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\} \\[0.4ex]
&= \operatorname{Im} f \setminus \left\{y \in \operatorname{Im} f ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\} \\[0.4ex]
&= W ~~~\,             \setminus \left\{y \in W ~~\;\,            ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\} \qquad \text{ for any superset } \quad W \supseteq f(L) \\[0.7ex]
\end{alignat}</math>
इसे किसी के लिए भी इस तथ्य के परिणाम के रूप में अधिक आसानी से देखा जा सकता है <math>y \in Y,</math> <math>f^{-1}(y) \cap L = \varnothing</math> अगर और केवल अगर <math>y \not\in f(L).</math>


=====f(L⋂R) = के लिए सूत्र{{anchor|Image of set intersection|Formulas for the image of set intersection}}=====

यह किसी भी फ़ंक्शन के लिए किसी सेट की छवि के लिए उपरोक्त सूत्रों का अनुसरण करता है <math>f : X \to Y</math> और कोई भी सेट <math>L</math> और <math>R,</math>
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f(L \cap R)
&= Y~~~~~ \setminus \left\{y \in Y~~~~~ ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}        && \\[0.4ex]
&= f(L)   \setminus \left\{y \in f(L)   ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}        && \\[0.4ex]
&= f(L)   \setminus \left\{y \in U~~~~~ ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad U \supseteq f(L) \\[0.4ex]
&= f(R)   \setminus \left\{y \in f(R)   ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}        && \\[0.4ex]
&= f(R)   \setminus \left\{y \in V~~~~~ ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad V \supseteq f(R) \\[0.4ex]
&= f(L) \cap f(R) \setminus \left\{y \in f(L) \cap f(R) ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}        && \\[0.7ex]
\end{alignat}</math>
इसके अलावा, किसी के लिए भी कहां <math>y \in Y,</math> :<math>L \cap f^{-1}(y) \subseteq L \setminus R~</math> अगर और केवल अगर <math>~L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing~</math> अगर और केवल अगर <math>~R \cap f^{-1}(y) \subseteq R \setminus L~</math> अगर और केवल अगर <math>~y \not\in f(L \cap R).</math>
सेट <math>U</math> और <math>V</math> ऊपर उल्लिखित, विशेष रूप से, कोई भी सेट हो सकता है <math>f(L \cup R), \;\operatorname{Im} f,</math> या <math>Y,</math> उदाहरण के लिए।

===(पूर्व)छवियों पर सेट संचालन की छवियां{{anchor|Images of preimages and preimages of images of set operations}}===

होने देना <math>L</math> और <math>R</math> मनमाना सेट हो, <math>f : X \to Y</math> कोई भी मानचित्र हो, और रहने दो <math>A \subseteq X</math> और <math>C \subseteq Y.</math> 

{| class="wikitable"
|-
! Image of preimage
! Preimage of image
! Additional assumptions on sets
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f\left(f^{-1}(L) \cap R\right) = L \cap f(R)</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(f(L) \cap R) ~\supseteq~ L \cap f^{-1}(R)</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f\left(f^{-1}(L) \cup R\right) ~=~ (L \cap \operatorname{Im} f) \cup f(R) ~\subseteq~ L \cup f(R)</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(f(A) \cup R) ~\supseteq~ A \cup f^{-1}(R)</math><ref name="lee-2010-p388">Lee p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.</ref><br>
Equality holds if any of the following are true:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>f(A) \subseteq R.</math></li>
<li><math>A \subseteq f^{-1}(R).</math></li>
</ol>
|<math>A \subseteq X</math>
|}
(पूर्व)छवियों पर परिचालन की छवियां

तब से <math>f(L) \setminus f(L \setminus R) ~=~ \left\{y \in f(L \cap R) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\},</math>

<math display=block>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(f(L) \setminus f(L \setminus R)) 
&=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(L \cap R) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}\right) \\
&=&& \left\{x \in f^{-1}(f(L \cap R)) ~:~ L \cap f^{-1}(f(x)) \subseteq R\right\} \\
\end{alignat}</math>
तब से <math>f(X) \setminus f(L \setminus R) ~=~ \left\{y \in f(X) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\},</math>
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(Y \setminus f(L \setminus R)) 
&~=~&& f^{-1}(f(X) \setminus f(L \setminus R)) \\
&=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(X) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}\right) \\
&=&& \left\{x \in X ~:~ L \cap f^{-1}(f(x)) \subseteq R\right\} \\
&~=~&& X \setminus f^{-1}(f(L \setminus R)) \\
\end{alignat}</math>
का उपयोग करते हुए <math>L := X,</math> ये बन जाता है <math>~f(X) \setminus f(X \setminus R) ~=~ \left\{y \in f(R) ~:~ f^{-1}(y) \subseteq R\right\}~</math> और
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(Y \setminus f(X \setminus R)) 
&~=~&& f^{-1}(f(X) \setminus f(X \setminus R)) \\
&=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(R) ~:~ f^{-1}(y) \subseteq R\right\}\right) \\
&=&& \left\{r \in R \cap X ~:~ f^{-1}(f(r)) \subseteq R\right\} \\
&\subseteq&& R \\
\end{alignat}</math>
इसलिए
<math display=block>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(Y \setminus f(L)) 
&~=~&& f^{-1}(f(X) \setminus f(L)) \\
&=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(X \setminus L) ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\}\right) \\
&=&& \{x \in X \setminus L ~:~ f(x) \not\in f(L)\} \\
&=&& X \setminus f^{-1}(f(L)) \\
&\subseteq&& X \setminus L \\
\end{alignat}</math>


===(पूर्व)छवियां और कार्टेशियन उत्पाद Π===

होने देना <math>\prod Y_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \prod_{j \in J} Y_j</math> और हर किसी के लिए <math>k \in J,</math> होने देना
 <math display=block>\pi_k ~:~ \prod_{j \in J} Y_j ~\to~ Y_k</math> विहित प्रक्षेपण को निरूपित करें <math>Y_k.</math> परिभाषाएं

मानचित्रों का एक संग्रह दिया गया <math>F_j : X \to Y_j</math> द्वारा अनुक्रमित <math>j \in J,</math> मानचित्र को परिभाषित करें
<math display=block>\begin{alignat}{4}
\left(F_j\right)_{j \in J} :\;&& X &&\;\to\;    & \prod_{j \in J} Y_j \\[0.3ex]
                                          && x &&\;\mapsto\;& \left(F_j\left(x_j\right)\right)_{j \in J}, \\
\end{alignat}</math>
जिसे द्वारा भी दर्शाया जाता है <math>F_{\bull} = \left(F_j\right)_{j \in J}.</math> यह अद्वितीय मानचित्र संतोषजनक है
 <math display=block>\pi_j \circ F_{\bull} = F_j \quad \text{ for all } j \in J.</math> इसके विपरीत, यदि कोई मानचित्र दिया जाए <math display=block>F ~:~ X ~\to~ \prod_{j \in J} Y_j</math> तब <math>F = \left(\pi_j \circ F\right)_{j \in J}.</math>
स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि
 <math display=block>F_k ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \pi_k \circ F ~:~ X ~\to~ Y_k</math> प्रत्येक के लिए परिभाषित किया गया है <math>k \in J,</math> तब <math>F</math> अद्वितीय मानचित्र संतोषजनक: <math>\pi_j \circ F = F_j</math> सभी के लिए <math>j \in J;</math> या अधिक संक्षेप में कहा जाए, <math>F = \left(F_j\right)_{j \in J}.</math>
वो नक्शा <math>F_{\bull} = \left(F_j\right)_{j \in J} ~:~ X ~\to~ \prod_{j \in J} Y_j</math> कार्टेशियन उत्पाद के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए <math>\prod_{j \in J} F_j</math> इन मानचित्रों में से, जो परिभाषा के अनुसार मानचित्र है
 <math display=block>\begin{alignat}{4}
\prod_{j \in J} F_j :\;&& \prod_{j \in J} X          &&~\;\to\;~    & \prod_{j \in J} Y_j \\[0.3ex]
                       && \left(x_j\right)_{j \in J} &&~\;\mapsto\;~& \left(F_j\left(x_j\right)\right)_{j \in J} \\
\end{alignat}</math>
डोमेन के साथ <math>\prod_{j \in J} X = X^J</math> इसके बजाय <math>X.</math>
कार्टेशियन उत्पाद की पूर्वछवि और छवियाँ

कल्पना करना <math>F_{\bull} = \left(F_j\right)_{j \in J} ~:~ X ~\to~ \prod_{j \in J} Y_j.</math> अगर <math>A ~\subseteq~ X</math> तब
<math display=block>F_{\bull}(A) ~~\;\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}\;~~ \prod_{j \in J} F_j(A).</math> अगर <math>B ~\subseteq~ \prod_{j \in J} Y_j</math> तब
 <math display=block>F_{\bull}^{-1}(B) ~~\;\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}\;~~ \bigcap_{j \in J} F_j^{-1}\left(\pi_j(B)\right)</math> यदि समानता कायम रहेगी <math>B = \prod_{j \in J} \pi_j(B),</math> किस स्थिति में <math display=inline>F_{\bull}^{-1}(B) = \displaystyle\bigcap_{j \in J} F_j^{-1}\left(\pi_j(B)\right)</math> और
 {{NumBlk||<math display=block>F_{\bull}^{-1}\left(\prod_{j \in J} \pi_j(B)\right) ~=~ \bigcap_{j \in J} F_j^{-1}\left(\pi_j(B)\right).</math>|{{EquationRef|Eq. 11a}}}}

समानता कायम रखने के लिए एक परिवार का होना ही काफी है <math>\left(B_j\right)_{j \in J}</math> उपसमुच्चय का <math>B_j \subseteq Y_j</math> ऐसा है कि <math>B = \prod_{j \in J} B_j,</math> किस स्थिति में:
 {{NumBlk||<math display=block>F_{\bull}^{-1}\left(\prod_{j \in J} B_j\right) ~=~ \bigcap_{j \in J} F_j^{-1}\left(B_j\right)</math>|{{EquationRef|Eq. 11b}}}}
और <math>\pi_j(B) = B_j</math> सभी के लिए <math>j \in J.</math>


===(पूर्व)एकल सेट की छवि===

{| class="wikitable"
|-
! Image
! Preimage
! Additional assumptions
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
f(L) &= f(L \cap \operatorname{domain} f) \\
&= f(L \cap X) \\
&= Y ~~~~\,            \setminus \left\{ y \in Y ~~~~\,            : f^{-1}(y) \subseteq X \setminus L \right\} \\
&= \operatorname{Im} f \setminus \left\{ y \in \operatorname{Im} f : f^{-1}(y) \subseteq X \setminus L \right\} \\
\end{alignat}</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(L) 
&= f^{-1}(L \cap \operatorname{Im} f) \\
&= f^{-1}(L \cap Y)
\end{alignat}</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f(X) = \operatorname{Im} f \subseteq Y</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(Y)                   &= X \\
f^{-1}(\operatorname{Im} f) &= X
\end{alignat}</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
f(L) 
&= f(L \cap R  ~&&\cup~  &&(&&L \setminus R)) \\
&= f(L \cap R) ~&&\cup~ f&&(&&L \setminus R)
\end{alignat}</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
f^{-1}(L) 
&= f^{-1}(L \cap R  &&\cup       &&( &&L                           &&\setminus  &&R))  \\
&= f^{-1}(L \cap R) &&\cup f^{-1}&&( &&L                           &&\setminus  &&R) \\
&= f^{-1}(L \cap R) &&\cup f^{-1}&&( &&L                           &&\setminus [&&R \cap \operatorname{Im} f]) \\
&= f^{-1}(L \cap R) &&\cup f^{-1}&&([&&L \cap \operatorname{Im} f] &&\setminus  &&R) \\
&= f^{-1}(L \cap R) &&\cup f^{-1}&&([&&L \cap \operatorname{Im} f] &&\setminus [&&R \cap \operatorname{Im} f]) 
\end{alignat}</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\operatorname{Im} f  = f(X) ~=~ f(L) \cup f(X \setminus L)</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\begin{alignat}{4}
X 
&= f^{-1}(L) \cup f^{-1}(Y                   &&\setminus L) \\
&= f^{-1}(L) \cup f^{-1}(\operatorname{Im} f &&\setminus L)
\end{alignat}</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f\big\vert_L(R) = f(L \cap R)</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>\left(f\big\vert_L\right)^{-1}(R) = L \cap f^{-1}(R)</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>(g \circ f)(L) ~=~ g(f(L))</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>(g \circ f)^{-1}(L) ~=~ f^{-1}\left(g^{-1}(L)\right)</math>
|None (<math>f</math> and <math>g</math> are arbitrary functions).
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f\left(f^{-1}(L)\right) = L \cap \operatorname{Im} f</math><br>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(f(L)) ~\supseteq~ L \cap f^{-1}(\operatorname{Im} f) = L \cap f^{-1}(Y)</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f\left(f^{-1}(Y)\right) = f\left(f^{-1}(\operatorname{Im} f)\right) = f(X)</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(f(X)) = f^{-1}(\operatorname{Im} f) = X</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f\left(f^{-1}(f(L))\right) = f(L)</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(L)\right)\right) = f^{-1}(L)</math>
|None
|}


====छवियों और पूर्वछवियों की सामग्री ⊆ और प्रतिच्छेदन ⋂====

छवियों और पूर्वछवियों की समानताएं और निहितार्थ

{| class="wikitable"
|-
! Image
! Preimage
! Additional assumptions on sets
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f(L) \subseteq \operatorname{Im} f \subseteq Y</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(L) = X</math> if and only if <math>\operatorname{Im} f \subseteq L</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f(L) = \varnothing</math> if and only if <math>L \cap \operatorname{domain} f = \varnothing</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(L) = \varnothing</math> if and only if <math>L \cap \operatorname{Im} f = \varnothing</math>
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f(A) = \varnothing</math> if and only if <math>A = \varnothing</math>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(C) = \varnothing</math> if and only if <math>C \subseteq Y \setminus \operatorname{Im} f</math>
|<math>A \subseteq X</math> and <math>C \subseteq Y</math>
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>L \subseteq R</math> implies <math>f(L) \subseteq f(R)</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>L \subseteq R</math> implies <math>f^{-1}(L) \subseteq f^{-1}(R)</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}
|None
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|The following are equivalent:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>f(L) \subseteq f(R)</math></li>
<li><math>f(L \cup R) = f(R)</math></li>
<li><math>L \cap \operatorname{domain} f ~\subseteq~ f^{-1}(f(R))</math></li>
</ol>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|The following are equivalent:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>f^{-1}(L) \subseteq f^{-1}(R)</math></li>
<li><math>f^{-1}(L \cup R) = f^{-1}(R)</math></li>
<li><math>L \cap \operatorname{Im} f \subseteq R</math></li>
</ol>
If <math>C ~\subseteq~ \operatorname{Im} f</math> then <math>f^{-1}(C) ~\subseteq~ f^{-1}(R)</math> if and only if <math>C ~\subseteq~ R.</math>
|<math>C \subseteq \operatorname{Im} f</math>
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|The following are equivalent when <math>C \subseteq Y:</math>
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>C \subseteq f(R)</math></li>
<li><math>f(B) = C</math> for some <math>B \subseteq R</math></li>
<li>{{nowrap|<math>f(B) = C</math> for some <math>B \subseteq R \cap \operatorname{domain} f</math>}}</li>
</ol>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|The following are equivalent:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>L \subseteq f^{-1}(R)</math></li>
<li><math>f(L) \subseteq R</math> and <math>L \subseteq \operatorname{domain} f</math></li>
</ol>
The following are equivalent when <math>A \subseteq X:</math>
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>A \subseteq f^{-1}(R)</math></li>
<li><math>f(A) \subseteq R</math></li>
</ol>
|<math>A \subseteq X</math> and <math>C \subseteq Y</math>
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|The following are equivalent:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>f(A) ~\supseteq~ f(X \setminus A)</math></li>
<li><math>f(A) = \operatorname{Im} f</math></li>
</ol>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|The following are equivalent:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>f^{-1}(C) ~\supseteq~ f^{-1}(Y \setminus C)</math></li>
<li><math>f^{-1}(C) = X</math></li>
</ol>
|<math>A \subseteq X</math> and <math>C \subseteq Y</math>
|-
|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f\left(f^{-1}(L)\right) \subseteq L</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}<br>
Equality holds if {{em|and only if}} the following is true:
<ol>
<li><math>L \subseteq \operatorname{Im} f.</math><ref name="halmos-1960-p39">Lee {{harvnb|Halmos|1960|p=39}}</ref><ref name="munkres-2000-p19">Lee {{harvnb|Munkres|2000|p=19}}</ref></li>
</ol>
Equality holds if any of the following are true:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>L \subseteq Y</math> and <math>f : X \to Y</math> is surjective.</li>
</ol>

|style="padding: 0.5em 0.8em 0.5em 1.5em;"|<math>f^{-1}(f(A)) \supseteq A</math><br>
Equality holds if {{em|and only if}} the following is true:
<ol>
<li><math>A</math> is <math>f</math>-saturated.</li>
</ol>
Equality holds if any of the following are true:
<ol style="list-style-type: lower-latin;">
<li><math>f</math> is injective.<ref name="halmos-1960-p39"/><ref name="munkres-2000-p19" /></li>
</ol>
|<math>A \subseteq X</math>
|}
एक सेट और एक (पूर्व) छवि का प्रतिच्छेदन

निम्न कथन समतुल्य हैं:
<ol>
<ली><math>\varnothing = f(L) \cap R</math></li>
<ली><math>\varnothing = L \cap f^{-1}(R)</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}}</li>
<ली><math>\varnothing = f^{-1}(f(L)) \cap f^{-1}(R)</math></li>
<ली><math>\varnothing = f^{-1}(f(L) \cap R)</math></li>
</ol>

इस प्रकार किसी के लिए <math>t,</math>{{sfn|Császár|1978|pp=102-120}} <math display=block>t \not\in f(L) \quad \text{ if and only if } \quad L \cap f^{-1}(t) = \varnothing.</math>


==सेट के परिवारों का अनुक्रम और संग्रह==

===परिभाषाएँ===

ए {{em|[[family of sets]]}} या बस ए {{em|family}} एक समुच्चय है जिसके अवयव समुच्चय हैं।
ए {{em|family over <math>X</math>}} के उपसमुच्चय का एक परिवार है <math>X.</math> 

 {{em|[[power set]]}}} एक सेट का <math>X</math> के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय है <math>X</math>:
 <math display=block>\wp(X) ~\colon=~ \{\; S ~:~ S \subseteq X\; \}.</math>
सेटों के अनुक्रम के लिए संकेतन

लगातार, <math>S \text{ and } T</math> मनमाना सेट होगा और <math>S_{\bull}</math> और एक [[नेट (गणित)]] या सेटों के [[अनुक्रम]] को निरूपित करेगा जहां यदि यह एक अनुक्रम है तो इसे किसी भी नोटेशन द्वारा इंगित किया जाएगा
 <math display=block>S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i=1}^{\infty} \qquad \text{ or } \qquad S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i \in \N}</math>
कहाँ <math>\N</math> [[प्राकृतिक संख्या]]ओं को दर्शाता है।
एक संकेतन <math>S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i \in I}</math> दर्शाता है कि <math>S_{\bull}</math> नेट (गणित) द्वारा निर्देशित एक सेट है <math>(I, \leq),</math> जो (परिभाषा के अनुसार) यदि सेट हो तो एक अनुक्रम है <math>I,</math> जिसे नेट का इंडेक्सिंग सेट कहा जाता है, वह प्राकृतिक संख्या है (अर्थात, यदि <math>I = \N</math>) और <math>\,\leq\,</math> पर प्राकृतिक क्रम है <math>\N.</math> सेटों का असंयुक्त और एकस्वर क्रम

अगर <math>S_i \cap S_j = \varnothing</math> सभी विशिष्ट सूचकांकों के लिए <math>i \neq j</math> तब <math>S_{\bull}</math> ए कहा जाता है {{em|[[pairwise disjoint]]}} या बस ए {{em|disjoint}}.
एक क्रम या जाल <math>S_{\bull}</math> सेट का कहा जाता है {{em|[[increasing]]}} या {{em|non-decreasing}} यदि (सम्मान) {{em|[[decreasing]]}} या {{em|[[non-increasing]]}}) यदि सभी सूचकांकों के लिए <math>i \leq j,</math> <math>S_i \subseteq S_j</math> (सम्मान. <math>S_i \supseteq S_j</math>).
एक क्रम या जाल <math>S_{\bull}</math> सेट का कहा जाता है {{em|[[strictly increasing]]}} (सम्मान. {{em|[[strictly decreasing]]}}) यदि यह घटता नहीं है (सम्मान बढ़ता नहीं है) और भी <math>S_i \neq S_j</math> सभी के लिए {{em|distinct}} सूचकांक <math>i \text{ and } j.</math> यह कहा जाता है {{em|[[Monotone sequence|monotone]]}} यदि यह घटता नहीं या बढ़ता नहीं है तो इसे कहा जाता है {{em|strictly monotone}}यदि यह सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है।

एक अनुक्रम या नेट <math>S_{\bull}</math> कहा जाता है कि {{em|increase to <math>S,</math>}} द्वारा चिह्नित <math>S_{\bull} \uparrow S</math>{{sfn|Durrett|2019|pp=1-8}} या <math>S_{\bull} \nearrow S,</math> अगर <math>S_{\bull}</math> बढ़ रहा है और सबका मिलन <math>S_i</math> है <math>S;</math> वह है, यदि <math display=block>\bigcup_{n} S_n = S \qquad \text{ and } \qquad S_i \subseteq S_j \quad \text{ whenever } i \leq j.</math>
ऐसा कहा जाता है {{em|decrease to <math>S,</math>}} द्वारा चिह्नित <math>S_{\bull} \downarrow S</math>{{sfn|Durrett|2019|pp=1-8}} या <math>S_{\bull} \searrow S,</math> अगर <math>S_{\bull}</math> बढ़ रहा है और सभी का प्रतिच्छेदन <math>S_i</math> है <math>S</math> वह है, यदि <math display=block>\bigcap_{n} S_n = S \qquad \text{ and } \qquad S_i \supseteq S_j \quad \text{ whenever } i \leq j.</math> परिवारों पर तत्ववार संचालन की परिभाषाएँ

अगर <math>\mathcal{L} \text{ and } \mathcal{R}</math> सेट के परिवार हैं और यदि <math>S</math> क्या कोई सेट है तो परिभाषित करें:{{sfn|Császár|1978|pp=53-65}}
  <math display=block>\mathcal{L} \;(\cup)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \cup R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cap)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \cap R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\setminus)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \setminus R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\triangle)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \;\triangle\; R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}</math>
<math display=block>\mathcal{L}\big\vert_S ~\colon=~ \{ L \cap S ~:~ L \in \mathcal{L} \} = \mathcal{L} \;(\cap)\; \{S\}</math>
जिन्हें क्रमशः कहा जाता है{{em|elementwise}} {{em|union}},{{em|elementwise}} {{em|intersection}},{{em|elementwise}} ({{em|set}}){{em|difference}},{{em|elementwise}} {{em|symmetric difference}}, और यह{{em|trace}}/{{em|restriction of <math>\mathcal{L}</math> to <math>S.</math>}} नियमित संघ, प्रतिच्छेदन, और सेट अंतर सभी को सामान्य रूप से परिभाषित किया गया है और उनके सामान्य संकेतन के साथ दर्शाया गया है: <math>\mathcal{L} \cup \mathcal{R}, \mathcal{L} \cap \mathcal{R}, \mathcal{L} \;\triangle\; \mathcal{R},</math> और <math>\mathcal{L} \setminus \mathcal{R},</math> क्रमश।
सेट के परिवारों पर ये तत्ववार संचालन, अन्य विषयों के अलावा, सेट पर [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)]] और प्रीफ़िल्टर के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। {{em|[[Upward closed set|upward closure]] in <math>X</math>}h>}} एक परिवार का <math>\mathcal{L} \subseteq \wp(X)</math> परिवार है:
 <math display=block>\mathcal{L}^{\uparrow X} ~\colon=~ \bigcup_{L \in \mathcal{L}} \{\; S ~:~ L \subseteq S \subseteq X \;\} ~=~ \{\; S \subseteq X ~:~ \text{ there exists } L \in \mathcal{L} \text{ such that } L \subseteq S \;\}</math> और यह {{em|downward closure of <math>\mathcal{L}</math>}} परिवार है:
<math display=block>\mathcal{L}^{\downarrow} ~\colon=~ \bigcup_{L \in \mathcal{L}} \wp(L) ~=~ \{\; S ~:~ \text{ there exists } L \in \mathcal{L} \text{ such that } S \subseteq L \;\}.</math> 

====समुच्चय के परिवारों की श्रेणियों की परिभाषाएँ====

{{Families of sets|expanded}}

एक परिवार <math>\mathcal{L}</math> कहा जाता है {{em|isotone}}, {{em|ascending}}, या {{em|[[Upward closed set|upward closed]]}} में <math>X</math> अगर <math>\mathcal{L} \subseteq \wp(X)</math> और <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\uparrow X}.</math>{{sfn|Császár|1978|pp=53-65}}
एक परिवार <math>\mathcal{L}</math> कहा जाता है {{em|downward closed}} अगर <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\downarrow}.</math>
एक परिवार <math>\mathcal{L}</math> बताया गया:
* {{em|closed under finite intersections}} (सम्मान. {{em|closed under finite unions}}) यदि जब भी <math>L, R \in \mathcal{L}</math> तब <math>L \cap R \in \mathcal{L}</math> (क्रमश, <math>L \cup R \in \mathcal{L}</math>). 
* {{em|closed under [[Countable set|countable]] intersections}} (सम्मान. {{em|closed under countable unions}}) यदि जब भी <math>L_1, L_2, L_3, \ldots</math> के तत्व हैं <math>\mathcal{L}</math> तो फिर उनके चौराहे भी ऐसे ही हैं <math>\bigcap_{i=1}^{\infty} L_i := L_1 \cap L_2 \cap L_3 \cap \cdots</math> (सम्मान। उनका मिलन भी ऐसा ही है <math>\bigcup_{i=1}^{\infty} L_i := L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup \cdots</math>). 
* {{em|closed under [[Complement (set theory)|complementation]] in}} (या {{em|with respect to}}) {{em|<math>X</math>}}अगर जब भी <math>L \in \mathcal{L}</math> तब <math>X \setminus L \in \mathcal{L}.</math> एक परिवार <math>\mathcal{L}</math> समुच्चय को a/an कहा जाता है:
* {{em|[[Pi-system|{{pi}}−system]]}} अगर <math>\mathcal{L} \neq \varnothing</math> और <math>\mathcal{L}</math> परिमित-चौराहों के अंतर्गत बंद है।
** प्रत्येक गैर-रिक्त परिवार <math>\mathcal{L}</math> एक अद्वितीय लघुतम (के संबंध में) में समाहित है <math>\subseteq</math>) {{pi}}−प्रणाली जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\pi(\mathcal{L})</math> और बुलाया {{em|the {{pi}}−system generated by <math>\mathcal{L}.</math>}} 
* {{em|[[filter subbase]]}} और कहा जाता है {{em|the [[finite intersection property]]}} अगर <math>\mathcal{L} \neq \varnothing</math> और <math>\varnothing \not\in \pi(\mathcal{L}).</math> * {{em|[[Filter (set theory)|filter]] on <math>X</math>}} अगर <math>\mathcal{L} \neq \varnothing</math> के उपसमुच्चय का एक परिवार है <math>X</math> वह {{pi}}−प्रणाली, ऊपर की ओर बंद है <math>X,</math> और है भी {{em|proper}}, जिसकी परिभाषा का अर्थ है कि इसमें तत्व के रूप में खाली सेट शामिल नहीं है।
* {{em|prefilter}} या {{em|filter base}} यदि यह किसी समुच्चय के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त परिवार है <math>X</math> जिसका ऊपर की ओर बंद होना <math>X</math> एक फ़िल्टर चालू है <math>X.</math> * {{em|[[Field of sets|algebra on <math>X</math>]]}} के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त परिवार है <math>X</math> जिसमें खाली सेट, फॉर्म ए शामिल है {{pi}}−प्रणाली, और इसके संबंध में पूरकता के तहत भी बंद है <math>X.</math> * {{em|[[σ-algebra]] on <math>X</math>}} एक बीजगणित पर है <math>X</math> जो गणनीय यूनियनों के अंतर्गत बंद है (या समकक्ष, गणनीय चौराहों के अंतर्गत बंद है)।

[[माप सिद्धांत]] में अक्सर सेटों के अनुक्रम सामने आते हैं।

समुच्चय का बीजगणित

{{See also|Algebra of sets|:Category:Properties of binary operations}}

सेटों का एक परिवार <math>\Phi</math> एक समुच्चय के उपसमुच्चय का <math>X</math> बताया गया{{em|[[an algebra of sets]]}} अगर <math>\varnothing \in \Phi</math> और सभी के लिए <math>L, R \in \Phi,</math> तीनों सेट <math>X \setminus R, \,L \cap R,</math> और <math>L \cup R</math> के तत्व हैं <math>\Phi.</math><ref name="Encyclopedia of math">{{cite web|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra_of_sets|title=समुच्चय का बीजगणित|website=Encyclopediaofmath.org|date=16 August 2013|access-date=8 November 2020}}</ref> सेट का बीजगणित इन तीन परिचालनों की सेट पहचान और अन्य संबंधों को सूचीबद्ध करता है।

समुच्चयों का प्रत्येक बीजगणित समुच्चयों का एक वलय भी है<ref name="Encyclopedia of math"/>और एक पाई-सिस्टम|π-सिस्टम।

सेट के एक परिवार द्वारा उत्पन्न बीजगणित

किसी भी परिवार को दिया गया <math>\mathcal{S}</math> के उपसमुच्चय <math>X,</math> वहाँ एक अनोखा सबसे छोटा है<ref group=note>Here "smallest" means relative to subset containment. So if <math>\Phi</math> is any algebra of sets containing <math>\mathcal{S},</math> then <math>\Phi_{\mathcal{S}} \subseteq \Phi.</math></ref> सेट का बीजगणित <math>X</math> युक्त <math>\mathcal{S}.</math><ref name="Encyclopedia of math"/> 
यह कहा जाता है{{em|the algebra generated by <math>\mathcal{S}</math>}} और इसे इससे निरूपित किया जाएगा <math>\Phi_{\mathcal{S}}.</math> इस बीजगणित का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है:<ref name="Encyclopedia of math"/>

<ol>
<li>यदि <math>\mathcal{S} = \varnothing</math> तब <math>\Phi_{\mathcal{S}} = \{\varnothing, X\}</math> और हमारा काम हो गया. वैकल्पिक रूप से, यदि <math>\mathcal{S}</math> तब खाली है <math>\mathcal{S}</math> से बदला जा सकता है <math>\{\varnothing\}, \{X\}, \text{ or } \{\varnothing, X\}</math> और निर्माण जारी रखें।</li>
<li>चलिए <math>\mathcal{S}_0</math> सभी सेटों का परिवार बनें <math>\mathcal{S}</math> उनके पूरकों के साथ (अंदर लिया गया)। <math>X</math>).</li>
<ली>लेट <math>\mathcal{S}_1</math> समुच्चयों के सभी संभावित परिमित प्रतिच्छेदनों का परिवार बनें <math>\mathcal{S}_0.</math><ref group=note>Since <math>\mathcal{S} \neq \varnothing,</math> there is some <math>S \in \mathcal{S}_0</math> such that its complement also belongs to <math>\mathcal{S}_0.</math> The intersection of these two sets implies that <math>\varnothing \in \mathcal{S}_1.</math> The union of these two sets is equal to <math>X,</math> which implies that <math>X \in \Phi_{\mathcal{S}}.</math></ref></li>
<li>फिर बीजगणित उत्पन्न होता है <math>\mathcal{S}</math> सेट है <math>\Phi_{\mathcal{S}}</math> सेट के सभी संभावित परिमित संघों से मिलकर <math>\mathcal{S}_1.</math></li>
</al>

====परिवारों पर तत्ववार संचालन====

होने देना <math>\mathcal{L}, \mathcal{M},</math> और <math>\mathcal{R}</math> सेट के परिवार बनें <math>X.</math> निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, <math>\mathcal{L}</math> है {{em|L}}{{hsp}}बाएं अधिकांश परिवार, <math>\mathcal{M}</math> में है {{em|M}}{{hsp}}मध्य, और <math>\mathcal{R}</math> है {{em|R}}{{hsp}}सबसे दाहिना सेट.
क्रमविनिमेय संक्रिया:{{sfn|Császár|1978|pp=53-65}}
  <math display=block>\mathcal{L} \;(\cup)\; \mathcal{R} = \mathcal{R} \;(\cup)\; \mathcal{L}</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cap)\; \mathcal{R} = \mathcal{R} \;(\cap)\; \mathcal{L}</math>
साहचर्य:{{sfn|Császár|1978|pp=53-65}}
  <math display=block>[\mathcal{L} \;(\cup)\; \mathcal{M}] \;(\cup)\; \mathcal{R} = \mathcal{L} \;(\cup)\; [\mathcal{M} \;(\cup)\; \mathcal{R}]</math>
<math display=block>[\mathcal{L} \;(\cap)\; \mathcal{M}] \;(\cap)\; \mathcal{R} = \mathcal{L} \;(\cap)\; [\mathcal{M} \;(\cap)\; \mathcal{R}]</math>
पहचान:
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cup)\; \{\varnothing\} = \mathcal{L}</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cap)\; \{X\} = \mathcal{L}</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\setminus)\; \{\varnothing\} = \mathcal{L}</math>
प्रभुत्व:
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cup)\; \{X\} = \{X\} ~~~~\text{ if } \mathcal{L} \neq \varnothing</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cap)\; \{\varnothing\} = \{\varnothing\} ~~~~\text{ if } \mathcal{L} \neq \varnothing</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cup)\; \varnothing = \varnothing</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\cap)\; \varnothing = \varnothing</math>
<math display=block>\mathcal{L} \;(\setminus)\; \varnothing = \varnothing</math>
<math display=block>\varnothing \;(\setminus)\; \mathcal{R} = \varnothing</math>


===पावर सेट===

<math display=block>\wp(L \cap R) ~=~ \wp(L) \cap \wp(R)</math>
<math display=block>\wp(L \cup R) ~=~ \wp(L) \ (\cup)\  \wp(R) ~\supseteq~ \wp(L) \cup \wp(R).</math>
अगर <math>L</math> और <math>R</math> एक सदिश समष्टि के उपसमुच्चय हैं <math>X</math> और अगर <math>s</math> तब एक अदिश राशि है
<math display=block>\wp(s L) ~=~ s \wp(L)</math>
<math display=block>\wp(L + R) ~\supseteq~ \wp(L) + \wp(R).</math>


===सेटों का क्रम===

उसका विरोध करो <math>L</math> क्या कोई सेट ऐसा है <math>L \supseteq R_i</math> प्रत्येक सूचकांक के लिए <math>i.</math> अगर <math>R_{\bull}</math> तक कम हो जाता है <math>R</math> तब <math>L \setminus R_{\bull} := \left(L \setminus R_i\right)_i</math> तक बढ़ जाता है <math>L \setminus R</math>{{sfn|Durrett|2019|pp=1-8}}
जबकि यदि इसके बजाय <math>R_{\bull}</math> तक बढ़ जाता है <math>R</math> तब <math>L \setminus R_{\bull}</math> तक कम हो जाता है <math>L \setminus R.</math> अगर <math>L \text{ and } R</math> मनमाना सेट हैं और यदि <math>L_{\bull} = \left(L_i\right)_i</math> बढ़ता है (सम्मान घटता है)। <math>L</math> तब <math>\left(L_i \setminus R\right)_i</math> वृद्धि (सम्मान घटता है)। <math>L \setminus R.</math> 

====विभाजन====

लगता है कि <math>S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i = 1}^{\infty}</math> सेट का कोई क्रम है, वह <math>S \subseteq \bigcup_i S_i</math> कोई उपसमुच्चय है, और प्रत्येक सूचकांक के लिए <math>i,</math> होने देना <math>D_i = \left(S_i \cap S\right) \setminus \bigcup_{m=1}^i \left(S_m \cap S\right).</math> तब <math>S = \bigcup_i D_i</math> और <math>D_{\bull} := \left(D_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> जोड़ीवार असंयुक्त सेटों का एक क्रम है।{{sfn|Durrett|2019|pp=1-8}}

लगता है कि <math>S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i = 1}^{\infty}</math> घटता नहीं है, चलो <math>S_0 = \varnothing,</math> और जाने <math>D_i = S_i \setminus S_{i-1}</math> हरएक के लिए <math>i = 1, 2, \ldots.</math> तब <math>\bigcup_i S_i = \bigcup_i D_i</math> और <math>D_{\bull} = \left(D_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> जोड़ीवार असंयुक्त सेटों का एक क्रम है।{{sfn|Durrett|2019|pp=1-8}}

==यह भी देखें==

* {{annotated link|Algebra of sets}}
* {{annotated link|Complement (set theory)}}
* {{annotated link|Image (mathematics)#Properties}}
* {{annotated link|Inclusion–exclusion principle}}
* {{annotated link|Intersection (set theory)}}
* {{annotated link|List of mathematical identities}}
* {{annotated link|Naive set theory}}
* {{annotated link|Pigeonhole principle}}
* {{annotated link|Set (mathematics)}}
* {{annotated link|Simple theorems in the algebra of sets}}
* {{annotated link|Symmetric difference (set theory)}}
* {{annotated link|Union (set theory)}}

==टिप्पणियाँ==

'''टिप्पणियाँ'''

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'''Proofs'''

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==उद्धरण==

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==संदर्भ==

* {{cite book|last=Artin|first= Michael|author-link=Michael Artin|title= Algebra|year=1991|publisher=Prentice Hall|isbn= 81-203-0871-9}}
* {{cite book|last=Blyth|first=T.S.|title=Lattices and Ordered Algebraic Structures|publisher= Springer|year= 2005|isbn=1-85233-905-5}}.
* {{cite journal|last=Bylinski|first=Czeslaw|date=2004|title=Some Basic Properties of Sets|url=http://www.mizar.org/JFM/Vol1/zfmisc_1.html|journal=[[Journal of Formalized Mathematics]]|volume=1|issue=|pages=|doi=|access-date=5 October 2021}}
* Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, ''What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods'', Oxford University Press US, 1996. {{ISBN|978-0-19-510519-3}}. [https://books.google.com/books?id=UfdossHPlkgC&dq=%22algebra+of+sets%22&pg=PA17-IA8 "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS"].
* {{Császár General Topology}} <!--{{sfn|Császár|1978|p=}}-->
* {{Dixmier General Topology}} <!--{{sfn|Dixmier|1984|p=}}-->
* {{Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology}} <!--{{sfn|Dolecki|Mynard|2016|p=}}-->
* {{Dugundji Topology}} <!--{{sfn|Dugundji|1966|p=}}-->
* {{Durrett Probability Theory and Examples 5th Edition}} <!--{{sfn|Durrett|2019|p=}}-->
* {{cite book|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=Paul Halmos|title=Naive set theory|url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm|url-access=registration|series=The University Series in Undergraduate Mathematics|publisher=van Nostrand Company|year=1960|isbn=9780442030643 |zbl=0087.04403}}
* {{Joshi Introduction to General Topology}} <!--{{sfn|Joshi|1983|p=}}-->
* {{cite book|last1=Kelley|first1=John L.|title=General Topology|edition=2|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=27|year=1985|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-387-90125-1}}
* {{Köthe Topological Vector Spaces I}} <!--{{sfn|Köthe|1969|p=}}-->
* {{cite book|last=Monk|first=James Donald|title=Introduction to Set Theory|publisher=McGraw-Hill|publication-place=New York|url=http://euclid.colorado.edu/~monkd/monk11.pdf|year=1969|series=International series in pure and applied mathematics|isbn=978-0-07-042715-0|oclc=1102}} <!--{{sfn|Monk|1969|p=}}-->
* {{Munkres Topology|edition=2}} <!--{{sfn|Munkres|2000|p=}}-->
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* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} <!--{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=}}-->
* {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}} <!--{{sfn|Schechter|1996|p=}}-->
* {{Schubert Topology}} <!--{{sfn|Schubert|1968|p=}}-->
* Stoll, Robert R.; {{em|Set Theory and Logic}}, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) {{ISBN|0-486-63829-4}}. [https://books.google.com/books?id=3-nrPB7BQKMC&pg=PA16 "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23].
* {{cite journal|last=Trybulec|first=Zinaida|date=2002|title=Properties of subsets|url=https://fm.mizar.org/1990-1/pdf1-1/subset_1.pdf|journal=[[Journal of Formalized Mathematics]]|volume=1|issue=|pages=1|doi=|access-date=5 October 2021}}
* {{Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces|edition=1}} <!--{{sfn|Wilansky|2013|p=}}-->
* {{Willard General Topology}} <!--{{sfn|Willard|2004|p=}}-->
* {{Munkres Topology|edition=2}} <!--{{sfn|Munkres|2000|p=}}-->


==बाहरी संबंध==

* [http://www.apronus.com/provenmath/btheorems.htm Operations on Sets at ProvenMath]

{{Mathematical logic}}
{{Set theory}}

{{DEFAULTSORT:Set identities and relations}}[[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: अनंत समुच्चय सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ]] [[Category: सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ]] [[Category: सेट के परिवार]] [[Category: फ़ंक्शंस और मैपिंग]] [[Category: समरूपता प्रमेय]] [[Category: गणितीय पहचान]] [[Category: गणित से संबंधित सूचियाँ]] [[Category: गणितीय संबंध]] [[Category: सेट पर संचालन]] [[Category: समुच्चय सिद्धान्त]] [[Category: गणित की नींव में प्रमेय]] 



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