View source for न्यूनतम-वर्गाकार वर्णक्रमीय विश्लेषण

{{Short description|Periodicity computation method}}

{{Regression bar}}
[[File:Linear least squares2.svg|right|275px|thumb|द्विघात फलन वाले डेटा बिंदुओं के समूह को फ़िट करने का परिणाम]]'''[[कम से कम वर्गों|न्यूनतम-वर्गाकार]] वर्णक्रमीय विश्लेषण (एलएसएसए)''' [[फूरियर विश्लेषण]] के समान, डेटा मानकों के लिए साइनसोइड्स तरंगों के न्यूनतम-वर्गाकार फिट के आधार पर आवृत्ति स्पेक्ट्रम का अनुमान लगाने की एक विधि है।<ref>{{cite book | title = आवश्यक खगोलभौतिकीय उपकरण के रूप में चर तारे| author = Cafer Ibanoglu | publisher = Springer | year = 2000 | isbn = 0-7923-6084-2 | url = https://books.google.com/books?id=QzGbOiZ3OnkC&q=vanicek+spectral+sinusoids&pg=PA269 }}</ref><ref name="birn">{{cite book | title = अवलोकन संबंधी खगोल विज्ञान|author1=D. Scott Birney |author2=David Oesper |author3=Guillermo Gonzalez | publisher = Cambridge University Press | year = 2006 | isbn = 0-521-85370-2 | url = https://books.google.com/books?id=cc9L8QWcZWsC&q=Lomb-Scargle-periodogram&pg=RA3-PA263  }}</ref> फूरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, सामान्यतः लंबे और गैप्ड रिकॉर्ड में लंबी अवधि के ध्वनि को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है।<ref name=pres>{{cite book | url = https://books.google.com/books?id=9GhDHTLzFDEC&q=%22spectral+analysis%22+%22vanicek%22+inauthor:press&pg=PA685 | author = Press | title = संख्यात्मक व्यंजनों| edition = 3rd | year = 2007 | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-88068-8 }}</ref> फूरियर विश्लेषण के विपरीत, एलएसएसए का उपयोग करने के लिए डेटा को समान स्थान पर रखने की आवश्यकता नहीं है।

1969<ref name="vanicek1">{{cite journal |author=P. Vaníček | url = https://articles.adsabs.harvard.edu/pdf/1969Ap%26SS...4..387V.pdf | title = कम से कम वर्ग फ़िट द्वारा अनुमानित स्पेक्ट्रल विश्लेषण| date = 1969-08-01| pages = 387–391 | issue = 4| volume = 4 | journal = Astrophysics and Space Science | doi=10.1007/BF00651344 | bibcode=1969Ap&SS...4..387V | s2cid=124921449 | oclc=5654872875 }}</ref> और 1971,<ref name=vanicek2>{{cite journal |author=P. Vaníček | url = https://articles.adsabs.harvard.edu/pdf/1971Ap%26SS..12...10V.pdf | title = आगे के विकास और कम से कम वर्ग फिट द्वारा वर्णक्रमीय विश्लेषण के गुण| date = 1971-07-01| pages = 10–33 | issue = 1| volume = 12 | journal = Astrophysics and Space Science | doi=10.1007/BF00656134 | bibcode = 1971Ap&SS..12...10V | s2cid=109404359 }}</ref> में विकसित, एलएसएसए को '''वैनिसेक विधि''' और पेट्र वैनिसेक के बाद '''गॉस-वनीकेक विधि'''<ref name="cise">{{cite journal |author=M. Omerbashich | title = Gauss-Vanicek spectral analysis of the Sepkoski compendium: no new life cycles | date = 2006-06-26| pages = 26–30 | issue = 4 | volume = 8 | journal = Computing in Science & Engineering |arxiv=math-ph/0608014|doi=10.1109/MCSE.2006.68 | bibcode=2006CSE.....8d..26O }}</ref> के रूप में भी जाना जाता है,<ref name=taha>{{cite journal |author1=J. Taylor |author2=S. Hamilton | title = Some tests of the Vaníček Method of spectral analysis | date = 1972-03-20 | pages = 357–367 | issue = 2 | volume = 17 | journal = Astrophysics and Space Science |doi=10.1007/BF00642907 | bibcode=1972Ap&SS..17..357T|s2cid=123569059 }}</ref> और पहले निकोलस आर. लोम्ब और फिर जेफरी डी. स्कार्गल<ref name="scar" /> द्वारा सरलीकरण के आधार पर लोम्ब विधि<ref name=pres/> या '''लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम'''<ref name="birn" /><ref>{{cite journal | title = Searching for Biological Rhythms: Peak Detection in the Periodogram of Unequally Spaced Data | author = Hans P. A. Van Dongen | journal = Journal of Biological Rhythms | volume = 14 | issue = 6 | year = 1999 | pages = 617–620 | doi = 10.1177/074873099129000984 | pmid = 10643760 | s2cid = 14886901 }}</ref> के रूप में जाना जाता है।<ref name="lomb" />



== ऐतिहासिक पृष्ठभूमि ==

फूरियर विश्लेषण, [[पीरियोग्राम|पीरियडोग्राम]] और साइनसोइड्स के न्यूनतम-वर्गाकार फिटिंग के बीच घनिष्ठ संबंध लंबे समय से ज्ञात हैं।<ref>{{cite book | title = टिप्पणियों का संयोजन| author = David Brunt | publisher = Cambridge University Press | year = 1931 | edition = 2nd }}</ref> चूँकि, अधिकांश विकास समान दूरी वाले मानकों के डेटा समूह को पूरा करने के लिए प्रतिबंधित हैं। 1963 में, मैथमैटिश सेंट्रम, एम्स्टर्डम के फ्रीक जेएम बार्निंग ने समान विधियों द्वारा असमान रूप से स्थान वाले डेटा को संभाला,<ref>{{cite journal |author1=Barning, F. J. M. |title=The numerical analysis of the light-curve of 12 Lacertae |bibcode=1963BAN....17...22B |year=1963 |pages=22 |volume=17 |journal=Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands}}</ref> जिसमें एक पीरियडोग्राम विश्लेषण सम्मिलित है, जिसे वर्तमान में लोम्ब विधि कहा जाता है और इस तरह के पीरियडोग्राम से निर्धारित साइनसोइड्स की चयनित आवृत्तियों की न्यूनतम-वर्गाकार फिटिंग - और एक प्रक्रिया द्वारा जुड़ा हुआ है जिसे वर्तमान में पोस्ट-बैक फिटिंग या ऑर्थोगोनल मैचिंग परस्यूट<ref>Y. C. Pati, R. Rezaiifar, and P. S. Krishnaprasad, "Orthogonal matching pursuit: Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition," in ''Proc. 27th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers,'' A. Singh, ed., Los Alamitos, CA, USA, IEEE Computer Society Press, 1993</ref> के साथ मिलान करने के रूप में जाना जाता है।<ref name=kmp>{{cite journal | title = कर्नेल मिलान पीछा|author1=Pascal Vincent |author2=Yoshua Bengio | journal = Machine Learning | volume=48 | pages=165–187 |year=2002 | url = http://www.iro.umontreal.ca/~vincentp/Publications/kmp_mlj.pdf | doi = 10.1023/A:1013955821559 | doi-access=free }}</ref> 

कनाडा के [[भूभौतिकी]] और [[न्यू ब्रंसविक विश्वविद्यालय]] के भूगर्भ विज्ञानी पेट्र वैनिसेक ने 1969 में समान और असमान स्थान वाले डेटा के लिए मिलान-अनुसरण दृष्टिकोण का भी प्रस्ताव दिया, जिसे उन्होंने क्रमिक वर्णक्रमीय विश्लेषण और परिणाम को न्यूनतम-वर्गाकार पीरियडोग्राम कहा था।<ref name="vanicek1" /> उन्होंने इस पद्धति को सामान्य अर्थ से परे किसी भी व्यवस्थित घटकों के लिए खाते में सामान्यीकृत किया, जैसे कि पूर्वानुमानित रैखिक (द्विघात, घातीय, ...) अज्ञात परिमाण की धर्मनिरपेक्ष प्रवृत्ति, और इसे 1971 में विभिन्न प्रकार के मानकों पर प्रायुक्त किया था।<ref name="vanicek2" />

1976 में [[सिडनी विश्वविद्यालय]] के निकोलस आर. लोम्ब द्वारा वैनिसेक की कड़ाई से न्यूनतम-वर्गाकार पद्धति को सरल बनाया गया, जिन्होंने पीरियडोग्राम विश्लेषण के साथ इसके घनिष्ठ संबंध को निरुपित किया था।<ref name="lomb">{{Cite journal | last1 = Lomb | first1 = N. R. | title = असमान स्थान वाले डेटा का कम से कम वर्ग आवृत्ति विश्लेषण| doi = 10.1007/BF00648343 | journal = Astrophysics and Space Science | volume = 39 | issue = 2 | pages = 447–462 | year = 1976 | bibcode=1976Ap&SS..39..447L| s2cid = 2671466 }}</ref> इसके बाद, [[नासा एम्स रिसर्च सेंटर]] के जेफरी डी स्कार्गल द्वारा असमान स्थान वाले डेटा के एक पीरियडोग्राम की परिभाषा को संशोधित और विश्लेषण किया गया था।<ref name="scar">{{cite journal |author1=Scargle, J. D. |bibcode=1982ApJ...263..835S |title=खगोलीय समय श्रृंखला विश्लेषण में अध्ययन। II - असमान स्थान वाले डेटा के वर्णक्रमीय विश्लेषण के सांख्यिकीय पहलू|doi=10.1086/160554 |year=1982 |pages=835 |volume=263 |journal=Astrophysical Journal}}</ref> जिन्होंने दिखाया कि, साधारण बदलावों के साथ, यह अलग-अलग साइनसॉइड आवृत्तियों को फ़िट करने के लिए लोम्ब के न्यूनतम-वर्गाकार सूत्र के समान हो जाता है।

स्कार्गल का कहना है कि उनका पेपर एक नई पहचान विधि का परिचय नहीं देता है, किन्तु इसके अतिरिक्त सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि, पीरियडोग्राम के साथ पहचान की विश्वसनीयता और दक्षता का अध्ययन करता है, उस स्थिति में जहां अवलोकन समय असमान रूप से समय श्रृंखला है, और इसके बारे में और बताते हैं पीरियडोग्राम विश्लेषण की तुलना में साइनसोइड्स की न्यूनतम-वर्गाकार फिटिंग, कि उनका पेपर स्पष्ट रूप से पहली बार स्थापित करता है, कि (प्रस्तावित संशोधनों के साथ) ये दो विधियां बिल्कुल समकक्ष हैं।<ref name="scar" />

प्रेस<ref name="pres" /> विकास को इस प्रकार सारांशित करता है:

{{quote|असमान मानक डेटा के लिए वर्णक्रमीय विश्लेषण की एक पूरी तरह से अलग विधि है, एक जो इन कठिनाइयों को कम करती है और कुछ अन्य बहुत ही वांछनीय गुण हैं, लोम्ब द्वारा विकसित किया गया था, जो कि बार्निंग और वैनिसक द्वारा पहले के काम पर आधारित था, और अतिरिक्त रूप से स्कार्गल द्वारा विस्तृत किया गया था।}}

1989 में, किंग्स्टन में क्वीन्स यूनिवर्सिटी के माइकल जे कोरेनबर्ग किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वीन्स यूनिवर्सिटी, ने स्पेक्ट्रा या अन्य समस्याओं के निकट-इष्टतम अपघटन को और अधिक तेज़ी से खोजने के लिए तेज़ ऑर्थोगोनल खोज विधि विकसित किया था,<ref name="k89" /> उस विधि के समान जिसे बाद में ऑर्थोगोनल मैचिंग परस्यूट के रूप में जाना जाने लगा था।

== एलएसएसए और रूपों का विकास ==

=== वानिकी विधि ===
[[File:Linear least squares example2.png|right|243px|thumb|[[रेखीय प्रतिगमन]] में, प्रेक्षणों (<span style= color:red >red >red</span>) को एक अंतर्निहित संबंध से यादृच्छिक विचलन (<span style= color:green >green</span>) का परिणाम माना जाता है ( <span style= color:blue; >blue</span>) एक आश्रित चर (''y'') और एक स्वतंत्र चर (''x'') के बीच। फिर एक आदर्श फिटिंग में, जैसे [[कम से कम वर्गों|न्यूनतम-वर्गाकार]] के मानदंड के अनुसार, डेटा बिंदु (<span style= color:red >red</span>) मानक रूप से सर्वोत्तम फ़िट (<span style= color:blue) की रेखा द्वारा दर्शाए जाते हैं ; >नीला</span>), जिसमें से हमेशा अवशिष्ट रहते हैं (<span style= color:green >green</span>)।]]वैनिसेक विधि में, एक असतत डेटा समूह एक मानक रेखीय प्रतिगमन या कम-वर्गाकार फिट का उपयोग करके उत्तरोत्तर निर्धारित आवृत्तियों के साइनसोइड्स के भारित योग द्वारा अनुमानित है।<ref name=UNB85>Wells, D.E., P. Vaníček, S. Pagiatakis, 1985. Least-squares spectral analysis revisited. Department of Surveying Engineering Technical Report 84, University of New Brunswick, Fredericton, 68 pages, Available at [http://www2.unb.ca/gge/Pubs/TR84.pdf].</ref> आवृत्तियों को बार्निंग के समान एक विधि का उपयोग करके चुना जाता है, लेकिन आवृत्ति को चुनकर प्रत्येक क्रमिक नई आवृत्ति की पसंद को अनुकूलित करने में आगे बढ़ते हुए न्यूनतम वर्गाकार फिटिंग (फिटिंग विधि के बराबर जिसे अब प्री-बैकफिटिंग के साथ मैचिंग परस्यूट के रूप में जाना जाता है<ref name=kmp/>) के बाद अवशिष्ट को कम करता है। साइनसोइड्स की संख्या डेटा मानकों की संख्या से कम या उसके बराबर (अलग-अलग साइनसॉइड के रूप में समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन की गिनती) होनी चाहिए।

एक डेटा वेक्टर Φ को वजन वेक्टर x के साथ मानक समय पर प्रत्येक फलन का मूल्यांकन करके आव्यूह ''''A'''<nowiki/>' में सारणीबद्ध साइनसोइडल आधार फलनों के भारित योग के रूप में दर्शाया गया है:

:<math>\phi \approx \textbf{A}x</math>,

जहां Φ का अनुमान लगाने में वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए भार सदिश x को चुना जाता है। मानक रेखीय प्रतिगमन का उपयोग करते हुए x का समाधान बंद-रूप है:<ref name=craymer/>

:<math>x = (\textbf{A}^{\mathrm{T}}\textbf{A})^{-1}\textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi.</math>
यहां आव्यूह आ मानक समय पर मूल्यांकन किए जाने पर पारस्परिक रूप से स्वतंत्र फलनों के किसी भी समूह पर आधारित (आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल नहीं) हो सकता है; वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले फलन सामान्यतः ब्याज की आवृत्ति सीमा पर समान रूप से वितरित साइन और कोसाइन होते हैं। यदि हम एक बहुत ही संकीर्ण आवृत्ति सीमा में बहुत अधिक आवृत्तियों का चयन करते हैं, तो फलन अपर्याप्त रूप से स्वतंत्र होंगे, आव्यूह इल और परिणामी स्पेक्ट्रम अर्थहीन होगा।<ref name=craymer/>

जब '''A''' में आधार फलन ओर्थोगोनल (अर्थात, सहसंबद्ध नहीं है, जिसका अर्थ है कि स्तंभ में शून्य जोड़ी-वार [[डॉट उत्पाद]] हैं) हैं, आव्यूह '''A'''<sup>T</sup>'''A''' विकर्ण है; जब स्तंभों में सभी समान शक्ति (तत्वों के वर्गों का योग) होती है, तो वह आव्यूह एक पहचान आव्यूह होता है, इसलिए व्युत्क्रम नगण्य होता है। उत्तरार्द्ध वह स्थिति है जब मानक समय समान रूप से स्थान दिया जाता है और साइनसोइड्स को ज्या और कोसाइन के रूप में चुना जाता है जो आवृत्ति अंतराल 0 से आधा चक्र प्रति मानक (प्रति मानक 1/N चक्र द्वारा स्थान, साइन चरणों को 0 और अधिकतम आवृत्ति पर छोड़ते हुए जहां वे समान रूप से शून्य हैं) पर जोड़े में समान रूप से होते हैं। इस स्थिति को [[असतत फूरियर रूपांतरण]] के रूप में जाना जाता है, माप और गुणांकों के संदर्भ में थोड़ा फिर से लिखा जाता है।<ref name=craymer/>

:<math>x = \textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi</math> - स्केलर कारक के अन्दर ''N'' समान दूरी वाले मानक और आवृत्तियों के लिए डीएफटी स्थिति है।

=== लोम्ब विधि ===
[[File:Periodogram.png|right|320px|thumb|पीरियोडोग्राम विधि द्वारा परिकलित दो साइनसोइडल [[आधार कार्य|आधार]] फलनों का एक [[पावर स्पेक्ट्रम]] (परिमाण-वर्गाकार)।]]1976 (अब कोई विषय नहीं) में वैनिसेक विधि के कम्प्यूटेशनल ज़िम्मेदारी को कम करने की प्रयास कर रहा है,<ref name=lomb/> लोम्ब ने उपरोक्त सरलीकरण का सामान्य रूप से उपयोग करने का प्रस्ताव दिया, समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन आधारों के बीच जोड़ी-वार सहसंबंधों को छोड़कर, चूंकि साइनसोइड्स के जोड़े के बीच संबंध अक्सर छोटे होते हैं, न्यूनतम जब वे कसकर नहीं होते हैं स्थान दिया गया। यह सूत्रीकरण अनिवार्य रूप से पारंपरिक पीरियडोग्राम का है, लेकिन असमान स्थान वाले मानकों के साथ उपयोग के लिए अनुकूलित है। सदिश x एक अंतर्निहित स्पेक्ट्रम का एक यथोचित अच्छा अनुमान है, लेकिन चूंकि हम किसी भी सहसंबंध को अनदेखा करते हैं, 'A'x अब संकेत के लिए एक अच्छा सन्निकटन नहीं है, और विधि अब न्यूनतम वर्गाकार विधि नहीं है - फिर भी साहित्य में के रूप में जाना जाता रहता है।

सीधे साइन और कोसाइन तरंगों के साथ डेटा के डॉट उत्पादों को लेने के अतिरिक्त, स्कार्गल ने मानक पीरियडोग्राम सूत्र को संशोधित किया जिससे पहले एक समय देरी <math>\tau</math> का पता लगाया जा सके, जैसे कि साइनसोइड्स की यह जोड़ी मानक समय <math>t_j</math> पर पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होगी और आवृत्ति पर शक्ति का उत्तम अनुमान प्राप्त करने के लिए इन दो आधार फलनों की संभावित असमान शक्तियों के लिए भी समायोजित किया गया था।<ref name=pres/><ref name=scar/> इस प्रक्रिया ने उनकी संशोधित पीरियडोग्राम विधि को लोम्ब की विधि के समान ही बना दिया। परिभाषा के अनुसार समय विलंब <math>\tau</math> के बराबर है

:<math>\tan{2 \omega \tau} = \frac{\sum_j \sin 2 \omega t_j}{\sum_j \cos 2 \omega t_j}.
</math>
फिर आवृत्ति पर पीरियडोग्राम <math>\omega</math> के रूप में अनुमानित है:

:<math>P_x(\omega) = \frac{1}{2} 
\left(
  \frac { \left[ \sum_j X_j \cos \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}
        { \sum_j \cos^2 \omega ( t_j - \tau ) }
+
 \frac {\left[ \sum_j X_j \sin \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}
        { \sum_j \sin^2 \omega ( t_j - \tau ) }
\right) </math>,

जो, स्कार्गल रिपोर्ट के रूप में, समान रूप से मानक मामले में पीरियडोग्राम के समान सांख्यिकीय वितरण है।<ref name=scar/>

किसी भी व्यक्तिगत आवृत्ति पर <math>\omega</math>, यह विधि उतनी ही शक्ति देती है जितनी न्यूनतम वर्गाकार उस आवृत्ति और रूप के साइनसोइड्स के लिए फिट होते हैं:

:<math>\phi(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t.</math><ref>{{cite book | title = भौतिक समुद्र विज्ञान में डेटा विश्लेषण के तरीके|author1=William J. Emery |author2=Richard E. Thomson | publisher = Elsevier | year = 2001 | isbn = 0-444-50756-6 | url = https://books.google.com/books?id=gYc4fp_ixmwC&q=vanicek+least-squares+spectral-analysis+lomb&pg=PA458 }}</ref>
व्यवहार में, यह निर्धारित करना हमेशा कठिन होता है कि दी गई लोम्ब चोटी महत्वपूर्ण है या नहीं, विशेष रूप से जब ध्वनि की प्रकृति अज्ञात है, इसलिए उदाहरण के लिए लोम्ब पीरियडोग्राम विश्लेषण में एक फाल्स-अलार्म वर्णक्रमीय चोटी ध्वनि आवधिक संकेत का विश्लेषण अशांति डेटा में ध्वनि से हो सकता है।<ref name=zhou>{{cite journal | author1 = Zhou, W.-X. | author2 = Sornette, D. | title = भारी-पूंछ सहसंबद्ध शोर के साथ आवधिकता और लॉग-आवधिकता का सांख्यिकीय महत्व| journal = International Journal of Modern Physics C | date = October 2001 | volume = 13 | issue = 2 | pages = 137–169 | doi = 10.1142/S0129183102003024 | bibcode = 2002IJMPC..13..137Z | arxiv = cond-mat/0110445 | s2cid = 8256563 }}</ref> पैच-अप या अन्यथा संपादित डेटा का विश्लेषण करते समय फूरियर विधियां फाल्स वर्णक्रमीय चोटियों की रिपोर्ट भी कर सकती हैं।<ref name=cise/>


=== सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ल पीरियडोग्राम ===
मानक लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम केवल शून्य माध्य वाले मॉडल के लिए मान्य है। सामान्यतः यह पीरियोडोग्राम की गणना करने से पहले डेटा के माध्य को घटाकर अनुमानित किया जाता है। चूँकि, यह एक गलत धारणा है जब मॉडल का माध्य (फिटेड साइनसॉइड) गैर-शून्य है। सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम इस धारणा को हटा देता है और माध्य के लिए स्पष्ट रूप से हल करता है। इस स्थिति में, फिट किया गया कार्य है

:<math>\phi(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t + C.</math><ref>{{cite journal |author1=M. Zechmeister |author2=M. Kürster | title = The generalised Lomb–Scargle periodogram. A new formalism for the floating-mean and Keplerian periodograms | journal = Astronomy & Astrophysics | date = March 2009 | volume = 496 | issue = 2 | pages = 577–584 | doi = 10.1051/0004-6361:200811296 | bibcode = 2009A&A...496..577Z | arxiv = 0901.2573 |s2cid=10408194 }}</ref>
सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम को साहित्य में फ्लोटिंग मीन पीरियडोग्राम के रूप में भी संदर्भित किया गया है।<ref>{{cite journal | author1 = Andrew Cumming | author2 = Geoffrey W. Marcy | author3 = R. Paul Butler | title = The Lick Planet Search: Detectability and Mass Thresholds | journal = The Astrophysical Journal | date = December 1999 | volume = 526 | issue = 2 | pages = 890–915 | doi = 10.1086/308020 | bibcode = 1999ApJ...526..890C | arxiv = astro-ph/9906466 | s2cid = 12560512 }}</ref>


=== कोरेनबर्ग की तेज़ ऑर्थोगोनल खोज पद्धति ===

किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वीन्स यूनिवर्सिटी के माइकल कोरेनबर्ग ने एक अति-पूर्ण सेट से घटकों के विरल सेट को चुनने के लिए एक विधि विकसित किया था - जैसे वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए साइनसॉइडल घटक - जिसे फास्ट ऑर्थोगोनल सर्च (एफओएस) कहा जाता है। गणितीय रूप से, एफओएस एक माध्य-वर्गाकार त्रुटि कमी (एमएसईआर) प्रक्रिया में थोड़ा संशोधित चोल्स्की अपघटन का उपयोग करता है, जिसे [[विरल मैट्रिक्स|विरल आव्यूह]] व्युत्क्रम के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।<ref name=k89>{{cite journal | author = Korenberg, M. J. | title = सिस्टम पहचान और समय-श्रृंखला विश्लेषण के लिए एक मजबूत ऑर्थोगोनल एल्गोरिदम| journal = Biological Cybernetics | volume = 60 | pages = 267–276 | year = 1989 | doi = 10.1007/BF00204124 | pmid = 2706281 | issue = 4| s2cid = 11712196 }}</ref><ref>{{cite journal | title = फास्ट ऑर्थोगोनल खोज के माध्यम से रमन स्पेक्ट्रल अनुमान| journal = The Analyst | year = 1997 | volume = 122 | issue = 9 | pages = 879–882 | doi = 10.1039/a700902j | author = Korenberg, Michael J. | last2 = Brenan | first2 = Colin J. H. | last3 = Hunter | first3 = Ian W.|bibcode = 1997Ana...122..879K }}</ref> अन्य एलएसएसए विधियों की तरह, एफओएस असतत फूरियर विश्लेषण की बड़ी कमी से बचा जाता है, इसलिए यह एम्बेडेड आवधिकताओं की सही पहचान कर सकता है और असमान स्थान वाले डेटा के साथ उत्कृष्टता प्राप्त कर सकता है। तेजी से ओर्थोगोनल खोज पद्धति को अन्य समस्याओं जैसे कि अरैखिक प्रणाली पहचान के लिए भी प्रायुक्त किया गया था।

=== पामर की ची-वर्गाकार विधि ===

पामर ने हार्मोनिक्स की किसी भी चुनी हुई संख्या के लिए सबसे उपयुक्त फलन खोजने के लिए एक विधि विकसित की है, जिससे गैर-साइनसॉइडल हार्मोनिक फलन खोजने की अधिक स्वतंत्रता मिलती है।<ref name="fastchi2">{{cite journal
 | last=Palmer
 | first=David M.
 | title = A Fast Chi-squared Technique For Period Search of Irregularly Sampled Data
 | arxiv=0901.1913
 | doi=10.1088/0004-637X/695/1/496
 | bibcode=2009ApJ...695..496P
 | volume=695
 | journal=The Astrophysical Journal
 | year=2009
 | issue=1
 | pages=496–502
 | s2cid=5991300
 }}</ref> गैर-समान मानक त्रुटियों के साथ स्वैच्छिक विधि से स्थान वाले डेटा पर भारित न्यूनतम-वर्गाकार विश्लेषण के लिए उनकी एक तेज़ ([[फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म]]- आधारित) विधि है। इस विधि को प्रायुक्त करने वाला स्रोत कोड उपलब्ध है।<ref>
{{cite web 
 | url = http://public.lanl.gov/palmer/fastchi.html
 | title = David Palmer: The Fast Chi-squared Period Search
 }}</ref>

क्योंकि डेटा को अक्सर समान रूप से अलग-अलग समय पर मानक नहीं किया जाता है, यह विधि मानक समय पर एक समय श्रृंखला सरणी भरकर डेटा को ग्रिड करती है। सभी मध्यवर्ती ग्रिड बिंदुओं को शून्य सांख्यिकीय भार प्राप्त होता है, जो मानकों के बीच कभी-कभी अनंत त्रुटि बार होने के बराबर होता है।

== अनुप्रयोग ==
[[File:PDF of the Beta distribution.gif|right|245px|thumb|इसके मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए [[बीटा वितरण]]]]एलएसएसए की सबसे उपयोगी विशेषता डेटा में हेरफेर करने या अन्यथा गैर-उपस्थित डेटा का आविष्कार करने की आवश्यकता के बिना अपूर्ण रिकॉर्ड को [[आवृत्ति स्पेक्ट्रम|वर्णक्रमीय]] रूप से विश्लेषण करने में सक्षम बनाना है।

एलएसएसए स्पेक्ट्रम में [[परिमाण (गणित)]] [[समय श्रृंखला]] के विचरण के लिए एक आवृत्ति या अवधि के योगदान को दर्शाता है।<ref name=vanicek1/> सामान्यतः, वर्णक्रमीय परिमाण इस प्रकार परिभाषित होते हैं जो आउटपुट के सीधे महत्व स्तर शासन को सक्षम करते हैं।<ref name="bwmm">Beard, A.G., Williams, P.J.S., Mitchell, N.J. & Muller, H.G.  A special climatology of planetary waves and tidal variability, J Atm. Solar-Ter. Phys. 63 (09), p.801–811 (2001).</ref> वैकल्पिक रूप से, वैनिसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण को [[डेसिबल]] (dB) में भी व्यक्त किया जा सकता है।<ref name="pagi">Pagiatakis, S. Stochastic significance of peaks in the least-squares spectrum, J of Geodesy 73, p.67-78 (1999).</ref> ध्यान दें कि वैनिसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण β-वितरण का पालन करते हैं।<ref>Steeves, R.R. A statistical test for significance of peaks in the least squares spectrum, Collected Papers of the Geodetic Survey, Department of Energy, Mines and Resources, Surveys and Mapping, Ottawa, Canada, p.149-166 (1981)</ref>

वैनिसेक के एलएसएसए का व्युत्क्रम परिवर्तन संभव है, जैसा कि फॉरवर्ड ट्रांसफॉर्म को आव्यूह के रूप में लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है; आव्यूह व्युत्क्रम (जब आव्यूह एकवचन नहीं है) या छद्म-प्रतिलोम तब एक व्युत्क्रम परिवर्तन होगा; यदि चयनित साइनसॉइड मानक बिंदुओं पर परस्पर स्वतंत्र हैं और उनकी संख्या डेटा बिंदुओं की संख्या के बराबर है, तो प्रतिलोम मूल डेटा से त्रुटिहीन रूप से समान होगा।<ref name="craymer">Craymer, M.R., [https://tspace.library.utoronto.ca/handle/1807/12263 ''The Least Squares Spectrum, Its Inverse Transform and Autocorrelation Function: Theory and Some Applications in Geodesy''], Ph.D. Dissertation, University of Toronto, Canada (1998).</ref> पीरियडोग्राम विधि के लिए ऐसी कोई व्युत्क्रम प्रक्रिया ज्ञात नहीं है।

== कार्यान्वयन ==

[[MATLAB|एमएटीएलएबी]] कोड के एक पृष्ठ से भी कम समय में एलएसएसए को प्रायुक्त किया जा सकता है।<ref>{{cite Q|Q111312009}}</ref> संक्षेप में:<ref name=UNB85/>
 न्यूनतम-वर्गाकार स्पेक्ट्रम की गणना करने के लिए हमें ''m'' स्पेक्ट्रल मानों की गणना करनी चाहिए ... जिसमें प्रत्येक बार एक अलग आवृत्ति के लिए [वर्णक्रमीय शक्ति] प्राप्त करने के लिए न्यूनतम-वर्गाकार सन्निकटन एम बार करना सम्मिलित है
अर्थात्, आवृत्तियों के वांछित समूह में प्रत्येक आवृत्ति के लिए, साइन और [[ कोज्या ]] फलनों का मूल्यांकन डेटा मानक के अनुरूप समय पर किया जाता है, और साइनसॉइड वैक्टर के साथ डेटा [[समन्वय वेक्टर]] के डॉट उत्पादों को लिया जाता है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जाता है; लोम्ब/स्कार्गल पीरियडोग्राम के रूप में जानी जाने वाली विधि का पालन करते हुए, डॉट उत्पाद से पहले साइन और कोसाइन घटकों को ऑर्थोगोनलाइज करने के लिए प्रत्येक आवृत्ति के लिए एक समय परिवर्तन की गणना की जाती है;<ref name=craymer/> अंत में, उन दो [[आयाम]] घटकों से एक शक्ति की गणना की जाती है। यह एक ही प्रक्रिया एक असतत फूरियर रूपांतरण को प्रायुक्त करती है जब डेटा समान रूप से समय में स्थान दिया जाता है और चुनी गई आवृत्तियों परिमित डेटा रिकॉर्ड पर चक्रों की पूर्णांक संख्या के अनुरूप होती है।

यह विधि प्रत्येक साइनसोइडल घटक को स्वतंत्र रूप से या संदर्भ से बाहर मानती है, चाहे वे डेटा बिंदुओं के लिए ऑर्थोगोनल न हों; यह वैनिसेक की मूल विधि है। इसके अलावा, एक आव्यूह समीकरण को हल करके और निर्दिष्ट साइनसॉइड आवृत्तियों के बीच कुल डेटा भिन्नता को विभाजित करके पूर्ण एक साथ या संदर्भ में न्यूनतम वर्गाकार फ़िट करना संभव है।<ref name=craymer/> ऐसा आव्यूह न्यूनतम वर्गाकार समाधान मूल रूप से एमएटीएलएबी में [[बैकस्लैश]] ऑपरेटर के रूप में उपलब्ध है।<ref>{{cite book | title = MATLAB प्राइमर|author1=Timothy A. Davis |author2=Kermit Sigmon | publisher = CRC Press | year = 2005 | isbn = 1-58488-523-8 | url = https://books.google.com/books?id=MXWypqcHECkC&q=matlab+least-squares+backslash&pg=PA12 }}</ref>

इसके अलावा, स्वतंत्र या संदर्भ से बाहर के संस्करण (साथ ही लोम्ब के कारण पीरियडोग्राम संस्करण) के विपरीत एक साथ या संदर्भ में विधि, डेटा मानक की तुलना में अधिक घटकों (साइन और कोसाइन) को फिट नहीं कर सकती है, इसलिए वह:<ref name="craymer" />

{{quote|"...गंभीर प्रभाव भी उत्पन्न हो सकते हैं यदि चयनित आवृत्तियों के परिणामस्वरूप कुछ फूरियर घटकों (ट्रिग फलन) में से कुछ एक दूसरे के साथ लगभग रैखिक रूप से निर्भर हो जाते हैं, जिससे एक इल या लगभग एकवचन एन उत्पन्न होता है। इस प्रकार के इल स्थिति से बचने के लिए यह बन जाता है या तो अनुमान लगाने के लिए आवृत्तियों के एक अलग सेट का चयन करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, समान रूप से दूरी वाली आवृत्तियों) या एन (अर्थात्, ऑफ-विकर्ण ब्लॉक) में सहसंबंधों की उपेक्षा करें और अलग-अलग आवृत्तियों के लिए व्युत्क्रम न्यूनतम वर्गों को अलग-अलग रूपांतरित करें ... "}}

दूसरी ओर, लोम्ब की पीरियोडोग्राम विधि, एक मानक पीरियडोग्राम के रूप में मनमाने ढंग से उच्च संख्या, या आवृत्ति घटकों के घनत्व का उपयोग कर सकती है; अर्थात्, फ़्रीक्वेंसी डोमेन को एक मनमाना कारक द्वारा ओवर-सैंपल किया जा सकता है।<ref name="pres" /> चूंकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी को यह ध्यान रखना चाहिए कि लोम्ब के सरलीकरण और न्यूनतम-वर्गाकार के मानदंड से विचलन ने उनकी विधि को त्रुटियों के गंभीर स्रोतों तक खोल दिया, जिसके परिणामस्वरूप फाल्स वर्णक्रमीय चोटियां भी थीं।<ref name="zhou" />

फूरियर विश्लेषण में, जैसे कि [[फूरियर रूपांतरण]] और डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म, डेटा के लिए फिट किए गए साइनसोइड्स सभी पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल हैं, इसलिए सरल आउट-ऑफ-द-संदर्भ डॉट-उत्पाद-आधारित प्रक्षेपण के बीच कोई अंतर नहीं है। संदर्भ एक साथ न्यूनतम वर्गाकार फिट; अर्थात्, विभिन्न आवृत्तियों के ऑर्थोगोनल साइनसोइड्स के बीच भिन्नता को न्यूनतम-वर्गाकार में विभाजित करने के लिए किसी आव्यूह व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है।<ref>{{cite book | title = Discrete-Time Signal Processing: An Algebraic Approach | author = Darrell Williamson | publisher = Springer | year = 1999 | isbn = 1-85233-161-5 | url = https://books.google.com/books?id=JCKAirWQdqkC&q=fourier-transform+orthogonal+least-squares&pg=PA314 }}</ref> अतीत में, फूरियर कई लोगों के लिए पसंद का एक विधि था, इसके प्रसंस्करण-कुशल तेजी से फूरियर रूपांतरण कार्यान्वयन के लिए धन्यवाद, जब समान दूरी वाले मानकों के साथ पूर्ण डेटा रिकॉर्ड उपलब्ध होते हैं, और उन्होंने गैप्ड रिकॉर्ड का विश्लेषण करने के लिए विधियों के फूरियर परिवार का भी उपयोग किया, जो, चूंकि, फूरियर-आधारित एल्गोरिदम को चलाने में सक्षम होने के लिए केवल गैर-उपस्थित डेटा में हेरफेर करने और यहां तक कि आविष्कार करने की आवश्यकता है।

== यह भी देखें ==
* [[गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण]]
* [[ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन|ऑर्थोगोनल फलन]]
* [[सिगस्पेक]]
* [[साइनसॉइडल मॉडल]]
* [[वर्णक्रमीय घनत्व]]
* प्रतिस्पर्धी विकल्पों के लिए वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान

==संदर्भ==

{{reflist}}


==बाहरी संबंध==
* [http://www2.unb.ca/gge/Research/GRL/LSSA/sourceCode.html LSSA package freeware download], FORTRAN, Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the [[University of New Brunswick]].
* [https://geodesy.noaa.gov/gps-toolbox/LSWAVE.htm LSWAVE package freeware download], एमएटीएलएबी, includes the Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the [[U.S. National Geodetic Survey]].
* [ftp://ftp.geod.nrcan.gc.ca/pub/GSD/craymer/software/lssa/ LSSA software freeware download]{{dead link|date=December 2017 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} (via ftp), FORTRAN, Vaníček's method, from the [[Natural Resources Canada]].

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