View source for पदार्थ तरंग

{{quantum mechanics}}
तरंग-कण द्वैत का एक उदाहरण होने के नाते '''पदार्थ तरंगें''' [[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] के सिद्धांत का एक केंद्रीय हिस्सा हैं। सभी पदार्थ तरंग जैसा व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, अतिसूक्ष्म परमाणुओं  का प्रकाश की किरण या पानी की तरंग की तरह ही [[विवर्तन]] हो सकता है। हालांकि, ज्यादातर मामलों में, दिन-प्रतिदिन की गतिविधियों पर व्यावहारिक प्रभाव डालने के लिए तरंग दैर्ध्य बहुत छोटा होता है।

यह अवधारणा कि पदार्थ एक तरंग की तरह व्यवहार करता है, 1924 मेंफ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी [[लुइस डी ब्रोगली]] ({{IPAc-en|d|ə|ˈ|b|r|ɔɪ}})द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इसे डी ब्रोगली परिकल्पना के रूप में भी जाना जाता है।<ref>[[Richard Feynman|Feynman, R.]], ''[[QED: The Strange Theory of Light and Matter]]'', Penguin 1990 Edition, p. 84.</ref> पदार्थ तरंगों को डी ब्रोगली तरंगें कहा जाता है।

डी ब्रोगली [[तरंग दैर्ध्य]] {{math|''λ''}} तरंग दैर्घ्य है, एक विशाल कण से जुड़ा हुआ है (अर्थात, द्रव्यमान वाला एक कण, द्रव्यमान रहित कण के विपरीत) और इसकी [[गति]] से {{math|''p''}} संबंधित है, [[प्लैंक स्थिरांक]] {{math|''h''}} के माध्यम से, :
:<math qid=Q100981463> \lambda = \frac{h}{p}=\frac{h}{\gamma m_0v}.</math>
पदार्थ के तरंग-सदृश व्यवहार को सर्वप्रथम [[जॉर्ज पगेट थॉमसन]] के पतले धातु विवर्तन प्रयोग द्वारा प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया था,<ref name=GPTdiff>{{cite journal | author = Thomson, G. P. | title = एक पतली फिल्म द्वारा कैथोड किरणों का विवर्तन| journal = Nature | volume = 119 | issue = 3007 | pages = 890 | year = 1927 | doi = 10.1038/119890a0 |bibcode = 1927Natur.119Q.890T | doi-access = free }}</ref> और स्वतंत्र रूप से डेविसन-जर्मर प्रयोग में, दोनों अतिसूक्ष्म परमाणुओं  का उपयोग करते हुए; और इसकी पुष्टि अन्य [[प्राथमिक कण|प्राथमिक]] कणों, तटस्थ [[परमाणु]]ओं और यहां तक कि [[अणु]]ओं के लिए भी की गई है। <math> v = \frac{c}{\sqrt{2}} </math> के लिये इसका मान [[कॉम्पटन वेवलेंथ|कॉम्पटन तरंग दैर्घ्य]] के समान है।

== ऐतिहासिक संदर्भ ==
19वीं शताब्दी के अंत में, प्रकाश को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों की तरंगों से मिलकर माना जाता था जो मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार प्रचारित होता था, जबकि पदार्थ को स्थानीय कणों से युक्त माना जाता था। 1900 में, [[श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण|कृष्णिका विकिरण]] के सिद्धांत की जांच करते हुए यह विभाजन संदेह के घेरे में आ गया, [[मैक्स प्लैंक]] ने प्रस्तावित किया कि प्रकाश ऊर्जा के असतत क्वांटा में उत्सर्जित होता है। 1905 में इसे पूरी तरह से चुनौती दी गई थी। प्रकाश वैद्युत प्रभाव के साथ इसके संबंध सहित कई तरीकों से प्लैंक की जांच का विस्तार करते हुए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रस्तावित किया कि प्रकाश भी क्वांटा में प्रचारित और अवशोषित होता है; अब फोटॉन कहा जाता है:
:<math qid=Q18388892>E=h\nu</math>
और एक गति
:<math qid=Q41273>p=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda}</math>
जहाँ पर {{math|''ν''}} (लोअरकेस ग्रीक अक्षर nu ) और {{math|''λ''}} (लोअरकेस [[लैम्ब्डा]]) प्रकाश की आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य, {{math|''c''}} प्रकाश की गति, और {{math|''h''}} प्लैंक स्थिरांक को दर्शाता है।<ref>[[Albert Einstein|Einstein, A.]] (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung, ''Physicalische Zeitschrift'' '''18''': 121–128. Translated in {{cite book
 |last1=ter Haar |first1=D.
 |author-link=Dirk ter Haar
 |date=1967
 |pages=[https://archive.org/details/oldquantumtheory00haar/page/167 167–183]
 |title=The Old Quantum Theory
 |url=https://archive.org/details/oldquantumtheory00haar |url-access=registration |publisher=[[Pergamon Press]]
 |lccn=66029628
}}</ref> आधुनिक परिपाटी में, आवृत्ति को f द्वारा दर्शाया जाता है जैसा कि इस लेख के बाकी हिस्सों में किया गया है। आइंस्टीन के सिद्धांत की अगले दो दशकों में [[रॉबर्ट एंड्रयूज मिलिकन]] और [[आर्थर कॉम्पटन]] द्वारा प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी।

== डी ब्रोगली परिकल्पना ==
[[File:Propagation of a de broglie wave.svg|290px|right|thumb|1d में डी ब्रोगली तरंगों का प्रसार - [[जटिल संख्या]] आयाम का वास्तविक भाग नीला है, काल्पनिक भाग हरा है। किसी दिए गए बिंदु ''x'' पर कण को खोजने की संभावना (रंग अपारदर्शिता (ऑप्टिक्स) के रूप में दिखाई गई) एक तरंग की तरह फैली हुई है; कण की कोई निश्चित स्थिति नहीं होती। जैसा कि आयाम शून्य से ऊपर बढ़ता है, [[ढलान]] घट जाती है, इसलिए आयाम फिर से कम हो जाता है, और इसके  विलोमतः। परिणाम एक वैकल्पिक आयाम है: एक तरंग। शीर्ष: समतल तरंग। नीचे: [[लहर पैकेट|तरंग पैकेट]]।]]डी ब्रोगली ने अपने 1924 के PhD अभिधारणा में प्रस्तावित किया कि जिस तरह प्रकाश में तरंग-जैसे और कण-जैसे दोनों गुण होते हैं, उसी तरह अतिसूक्ष्म परमाणुओं  में भी तरंग-जैसे गुण होते हैं। डी ब्रोगली ने अपने समीकरण को उस समीकरण में सरल नहीं बनाया जो उनके नाम को धारण करता है। उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला कि {{math|''hν''<sub>0</sub> {{=}} ''m''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup>}} है। <ref>{{cite journal | last1 = de Broglie | first1 = L. | author-link = Louis de Broglie | year = 1923 | title = लहरें और क्वांटा| journal = Nature | volume = 112 | issue = 2815| page = 540 | doi=10.1038/112540a0| bibcode = 1923Natur.112..540D| s2cid = 4082518 }}</ref>उन्होंने आइंस्टीन के प्रसिद्ध सापेक्षता समीकरण का भी उल्लेख किया। इस प्रकार, उनके नाम वाले समीकरण को प्राप्त करने के लिए यह एक सरल कदम था। इसके अलावा, उपरोक्त अनुभाग में बताए गए संवेग समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके, हम तरंगदैर्घ्य, λ, के बीच एक संबंध पाते हैं, जो एक अतिसूक्ष्म परमाणु से जुड़ा होता है और इसका संवेग p, प्लैंक स्थिरांक h के माध्यम से होता है। :<ref>{{cite book |title=क्वांटम थ्योरी का परिचय|author1=McEvoy, J. P. |author2=Zarate, Oscar  |publisher=Totem Books |year=2004 |isbn=978-1-84046-577-8 |pages=110–114}}</ref>
:<math qid=Q100981463> \lambda = \frac{h}{p}.</math>
तब से संबंध को सभी प्रकार के पदार्थों को धारण करने के लिए दिखाया गया है: सभी पदार्थ कणों और तरंगों दोनों के गुणों को प्रदर्शित करते हैं।

{{quote|जब मैंने 1923-1924 में तरंग यांत्रिकी के पहले बुनियादी विचारों की कल्पना की, तो मुझे एक वास्तविक भौतिक संश्लेषण करने के उद्देश्य से निर्देशित किया गया था, जो सभी कणों के लिए मान्य था, तरंग के सह-अस्तित्व और कणिका संबंधी पहलू जो आइंस्टीन ने 1905 में प्रकाश क्वांटा के अपने सिद्धांत में फोटॉन के लिए पेश किए थे।|de Broglie<ref>{{cite journal |first=Louis |last=de Broglie |title=The reinterpretation of wave mechanics |journal=Foundations of Physics |volume=1 |pages=5–15 |number=1 |year=1970|doi=10.1007/BF00708650 |bibcode=1970FoPh....1....5D |s2cid=122931010 }}</ref>}}

1926 में, इरविन श्रोडिंगर ने एक श्रोडिंगर समीकरण प्रकाशित किया जिसमें वर्णन किया गया था कि एक पदार्थ तरंग कैसे विकसित होनी चाहिए - मैक्सवेल के समीकरणों की पदार्थ तरंग सादृश्य - और इसका उपयोग [[हाइड्रोजन]] के उत्सर्जन वर्णक्रम को प्राप्त करने के लिए किया। गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर समीकरण के समाधान की आवृत्ति कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य द्वारा डी ब्रोगली तरंगों से भिन्न होती है क्योंकि एक कण के [[अपरिवर्तनीय द्रव्यमान]] के अनुरूप ऊर्जा गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर समीकरण का हिस्सा नहीं होती है।

== प्रायोगिक पुष्टि ==
[[File:Wave-particle duality.gif|right|thumb|200px|अतिसूक्ष्म परमाणुओं  के विवर्तन में पदार्थ तरंग का प्रदर्शन]]जॉर्ज पगेट थॉमसन के कैथोड किरण विवर्तन प्रयोग [2] और अतिसूक्ष्म परमाणुों के लिए डेविसन-जर्मर प्रयोग में पदार्थ तरंगों की पहली बार प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी, और अन्य प्राथमिक कणों के लिए डी ब्रोगली परिकल्पना की पुष्टि की गई है। इसके अलावा, तटस्थ परमाणुओं और यहां तक कि अणुओं को भी तरंग की तरह दिखाया गया है।

=== अतिसूक्ष्म परमाणु ===
{{Further|डेविसन-जर्मर प्रयोग|अतिसूक्ष्म परमाणु विवर्तन}}

1927 में बेल लैब्स में, [[क्लिंटन डेविसन]] और [[लेस्टर जर्मर]] डेविसन-जर्मर ने पारदर्शी [[निकल|निकैल]] लक्ष्य पर धीमी गति से चलने वाले अतिसूक्ष्म परमाणुओं का प्रयोग किया। विचलित अतिसूक्ष्म परमाणु तीव्रता की कोणीय निर्भरता को मापा गया था, और [[एक्स-रे]] के लिए [[विलियम लॉरेंस ब्रैग]] द्वारा प्रागुक्त की गई समान विवर्तन के लिए निर्धारित किया गया था। उसी समय एबरडीन विश्वविद्यालय में जॉर्ज पगेट थॉमसन उसी प्रभाव को प्रदर्शित करने के लिए स्वतंत्र रूप से बहुत पतली धातु की पन्नी पर अतिसूक्ष्म परमाणुओं को पदच्युति कर रहे थे।<ref name=GPTdiff/> डी ब्रोगली परिकल्पना की स्वीकृति से पहले, विवर्तन एक ऐसा गुण था जिसके बारे में माना जाता था कि यह केवल तरंगों द्वारा प्रदर्शित होता है। इसलिए, पदार्थ द्वारा किसी भी विवर्तन प्रभाव की उपस्थिति ने पदार्थ की तरंग जैसी प्रकृति का प्रदर्शन किया। जब ब्रैग के कानून में डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य डाला गया, तो अनुमानित विवर्तन पतिरूप देखा गया, जिससे प्रयोगात्मक रूप से अतिसूक्ष्म परमाणुओं  के लिए डी ब्रोगली परिकल्पना की पुष्टि हुई थी।<ref>Mauro Dardo, ''Nobel Laureates and Twentieth-Century Physics'', Cambridge University Press 2004, pp. 156–157</ref>

परिमाण यांत्रिकी के विकास में यह एक महत्वपूर्ण परिणाम था। जिस तरह प्रकाशवैद्युत प्रभाव ने प्रकाश की कण प्रकृति का प्रदर्शन किया, डेविसन-जर्मर प्रयोग ने पदार्थ की तरंग-प्रकृति को दिखाया और तरंग-कण द्वैत के सिद्धांत को पूरा किया। भौतिकविदों के लिए यह विचार महत्वपूर्ण था क्योंकि इसका अर्थ था कि न केवल कोई कण तरंग विशेषताओं को प्रदर्शित कर सकता है, बल्कि अगर कोई डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य का उपयोग करता है तो घटना का वर्णन करने के लिए [[तरंग समीकरण|तरंग समीकरणों]] का उपयोग कर सकता है।

=== तटस्थ परमाणु ===
{{Further| परमाणु दृग्विद्या}}
[[फ्रेस्नेल विवर्तन]] के साथ प्रयोग<ref name="doak">
{{cite journal
 | author=R.B.Doak
 | date=1999
 | author2=R.E.Grisenti |author3=S.Rehbein |author4=G.Schmahl |author5=J.P.Toennies |author6=Ch. Wöll
 | title=Towards Realization of an Atomic de Broglie Microscope: Helium Atom Focusing Using Fresnel Zone Plates
 | journal=[[Physical Review Letters]]
 | volume=83 | pages=4229–4232
 | doi=10.1103/PhysRevLett.83.4229
| bibcode=1999PhRvL..83.4229D
 | issue=21
}}</ref> और विशिष्ट प्रतिबिंब के लिए एक [[परमाणु दर्पण]]<ref name="sh">
{{cite journal
 | author= F. Shimizu
 | date=2000
 | title=Specular Reflection of Very Slow Metastable Neon Atoms from a Solid Surface
 | journal=[[Physical Review Letters]]
 | volume=86| pages=987–990
 | doi=10.1103/PhysRevLett.86.987
| bibcode=2001PhRvL..86..987S
 | pmid=11177991
 | issue= 6
| s2cid=34195829
 | url=https://semanticscholar.org/paper/498ecb4198b9702a34b92631e1754b1521564263
 }}</ref><ref name="zeno">
{{cite journal
| author= D. Kouznetsov
|author2=H. Oberst
| date=2005
| title=Reflection of Waves from a Ridged Surface and the Zeno Effect
| journal=[[Optical Review]]
| volume=12 | pages=1605–1623
| doi=10.1007/s10043-005-0363-9
| bibcode=2005OptRv..12..363K
| issue= 5
|s2cid=55565166
}}</ref> तटस्थ परमाणुओं की संख्या परमाणुओं के लिए डी ब्रोगली परिकल्पना के अनुप्रयोग की पुष्टि करती है, अर्थात परमाणु तरंगों का अस्तित्व जो विवर्तन, हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) से गुजरती हैं और आकर्षक क्षमता की पूंछ द्वारा परिमाण प्रतिबिंब की अनुमति देती हैं।<ref name="Fri">
{{cite journal
|author=H.Friedrich
|author2=G.Jacoby |author3=C.G.Meister
|date=2002
|journal=[[Physical Review A]]
|title=quantum reflection by Casimir–Van der Waals potential tails
|volume=65 |pages=032902
|doi=10.1103/PhysRevA.65.032902
|bibcode = 2002PhRvA..65c2902F
|issue=3 }}</ref> [[लेजर शीतलन]] में प्रगति ने तटस्थ परमाणुओं को नैनोकेल्विन तापमान तक ठंडा करने की अनुमति दी है। इन तापमानों पर, थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य सूक्ष्ममापी क्षेत्र में आते हैं। ब्रैग के परमाणुओं के नियम और रैमसे व्यतिकरणमिति तकनीक का उपयोग करते हुए, ठंडे [[सोडियम|क्षारातु]] परमाणुओं के डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य को स्पष्ट रूप से मापा गया और एक अलग विधि द्वारा मापे गए तापमान के अनुरूप पाया गया।<ref name="Cla">
{{cite journal
|author=Pierre Cladé
|author2=Changhyun Ryu |author3=Anand Ramanathan |author4=Kristian Helmerson |author5=William D. Phillips
|title=Observation of a 2D Bose Gas: From thermal to quasi-condensate to superfluid
|date=2008
|arxiv=0805.3519
 |doi=10.1103/PhysRevLett.102.170401
 |pmid=19518764 |volume=102
 |issue=17
 |pages=170401 |journal=Physical Review Letters
 |bibcode=2009PhRvL.102q0401C
|s2cid=19465661 }}</ref>

इस प्रभाव का उपयोग परमाणु [[होलोग्रफ़ी]] प्रदर्शित करने के लिए किया गया है, और यह नैनोमीटर विश्लेषण के साथ [[परमाणु डी ब्रोगली माइक्रोस्कोप|परमाणु डी ब्रोगली अणुवीक्षण यन्त्र]] के निर्माण की अनुमति दे सकता है।<ref name="holo">{{cite journal |title=परमाणुओं के लिए परावर्तन-प्रकार होलोग्राम|author=Shimizu |author2=J.Fujita |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=88 |issue=12 |pages=123201 |date=2002 |doi=10.1103/PhysRevLett.88.123201 |pmid=11909457 |bibcode=2002PhRvL..88l3201S}}</ref><ref name="nanoscope">{{cite journal |author=D. Kouznetsov |author2=H. Oberst |author3=K. Shimizu |author4=A. Neumann |author5=Y. Kuznetsova |author6=J.-F. Bisson |author7=K. Ueda |author8=S. R. J. Brueck |title=चोटीदार परमाणु दर्पण और परमाणु नैनोस्कोप|journal=[[Journal of Physics B]] |volume=39 |pages=1605–1623 |date=2006 |doi=10.1088/0953-4075/39/7/005|bibcode = 2006JPhB...39.1605K |issue=7 |citeseerx=10.1.1.172.7872 }}</ref> इन परिघटनाओं का वर्णन तटस्थ परमाणुओं के तरंग गुणों पर आधारित है, जो डी ब्रोगली परिकल्पना की पुष्टि करता है।

प्रभाव का उपयोग परिमाण ज़ेनो प्रभाव के स्थानिक संस्करण को समझाने के लिए भी किया गया है, जिसमें एक अन्यथा अस्थिर वस्तु को तेजी से दोहराए गए अवलोकनों द्वारा स्थिर किया जा सकता है।<ref name="zeno" />



=== अणु ===
हाल के प्रयोग भी अणुओं और यहां तक कि बृहदणु के संबंधों की पुष्टि करते हैं जो अन्यथा परिमाण यांत्रिक प्रभावों से गुजरने के लिए बहुत बड़े माने जा सकते हैं। 1999 में, [[वियना]] में एक शोध दल ने [[फुलरीन]] जितने बड़े अणुओं के लिए विवर्तन का प्रदर्शन किया। शोधकर्ताओं ने सबसे संभावित C<sub>60</sub> के डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य 2.5 [[पिको-]] के रूप में वेग की गणना की।

अधिक हाल के प्रयोग 810 परमाणुओं से बने अणुओं की परिमाण प्रकृति और 10,123 [[एकीकृत परमाणु द्रव्यमान इकाई]] के द्रव्यमान को सिद्ध करते हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Eibenberger|first1=Sandra|last2=Gerlich|first2=Stefan|last3=Arndt|first3=Markus|last4=Mayor|first4=Marcel|last5=Tüxen|first5=Jens|date=14 August 2013|title=10 000 एमू से अधिक द्रव्यमान वाले आणविक पुस्तकालय से चुने गए कणों का पदार्थ-तरंग हस्तक्षेप|journal=Physical Chemistry Chemical Physics|language=en|volume=15|issue=35|pages=14696–700|doi=10.1039/c3cp51500a|pmid=23900710|issn=1463-9084|arxiv=1310.8343|bibcode=2013PCCP...1514696E|s2cid=3944699}}</ref> 2019 तक, इसे 25,000 u के अणुओं तक धकेल दिया गया है।<ref>{{Cite web|url=https://phys.org/news/2019-09-atoms-quantum-superposition.html|title=2000 परमाणु एक साथ दो स्थानों पर: क्वांटम सुपरपोजिशन में एक नया रिकॉर्ड|website=phys.org|language=en-us|access-date=2019-09-25}}</ref>

लुइस डी ब्रोगली से अभी भी एक कदम आगे जाने वाले सिद्धांत हैं जो परिमाण यांत्रिकी में एक बिंदु जैसे चिरसम्मत कण की अवधारणा को समाप्त करते हैं और अकेले पदार्थ तरंगों के वेवपैकेट के माध्यम से देखे गए तथ्यों की व्याख्या करते हैं।<ref>See section VI(e) of Everett's thesis: ''The Theory of the Universal Wave Function'', in [[Bryce Seligman DeWitt]], [[R. Neill Graham]], eds, ''The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics'', Princeton Series in Physics, [[Princeton University Press]] (1973), {{ISBN|0-691-08131-X}}, pp 3–140.</ref><ref>{{Cite journal |last=Horodecki |first=R. |title=डी ब्रोगली तरंग और इसकी दोहरी तरंग|journal=Phys. Lett. A |volume=87 |issue=3 |pages=95–97 |year=1981 |doi=10.1016/0375-9601(81)90571-5 |bibcode = 1981PhLA...87...95H }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Horodecki |first=R. |title=सुपरल्यूमिनल सिंगुलर डुअल वेव|journal=Lettere al Nuovo Cimento |volume=38 |issue= 15|pages=509–511 |year=1983 |doi=10.1007/BF02817964 |s2cid=120784358 }}</ref><ref>Jabs, Arthur: ''A conjecture concerning determinism, reduction, and measurement in quantum mechanics''. In: Quantum Studies: Mathematics and Foundations, '''3''' (4), 279-292 (2016) also arXiv:1204.0614 (2017 
).</ref>



== डी ब्रोगली रिश्ते==
डी ब्रोगली समीकरण तरंग दैर्ध्य {{math|''λ''}} को संवेग {{math|''p''}} से और आवृत्ति {{math|''f''}} को एक मुक्त कण की कुल ऊर्जा E से संबंधित करता है:<ref name="Resnick 1985">{{cite book |title=परमाणुओं, अणुओं, ठोस, नाभिक और कणों की क्वांटम भौतिकी|edition=2nd |first1=R. |last1=Resnick |first2=R. |last2=Eisberg |publisher=John Wiley & Sons |date=1985 |location=New York |isbn=978-0-471-87373-0 |url=https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb }}</ref> 

<math display="block">\begin{align}
& \lambda = \frac{h}{p}\\
& f = \frac{E}{h}
\end{align}</math>
जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है। समीकरणों को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

<math display="block">\begin{align}
& \mathbf p = \hbar \mathbf k\\
& E = \hbar \omega\\
\end{align}</math>
या <ref>{{cite journal
 | author= Z.Y.Wang
 | date=2016
 | title=क्वांटम यांत्रिकी का सामान्यीकृत संवेग समीकरण| journal=[[Optical and Quantum Electronics]]
 | volume=48
 | doi=10.1007/s11082-015-0261-8
 | issue= 2| s2cid=124732329
 }}</ref>

<math display="block">\begin{align}
& \mathbf p = \hbar \boldsymbol \beta\\
& E = \hbar \omega\\
\end{align}</math>
जहाँ पर {{math|1=''ħ'' = ''h''/2''π''}} घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है, {{math|'''k'''}} तरंग सदिश है, {{math|''β''}} प्रसार स्थिरांक है, और {{math|''ω''}} [[कोणीय आवृत्ति]] है।
 
प्रत्येक जोड़ी में, दूसरे समीकरण को प्लैंक-आइंस्टीन संबंध के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि यह मैक्स प्लैंक और अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा भी प्रस्तावित किया गया था।

=== [[विशेष सापेक्षता]] ===
विशेष आपेक्षिकता से दो सूत्रों का उपयोग किया जाता है, एक आपेक्षिक द्रव्यमान ऊर्जा के लिए और एक आपेक्षिकीय संवेग के लिए

:<math>E = m c^2 = \gamma m_0 c^2</math>
:<math>\mathbf{p} = m\mathbf{v} = \gamma m_0 \mathbf{v} </math>
समीकरणों को इस रूप में लिखने की अनुमति देता है

:<math>\begin{align}&\lambda =\,\, \frac {h}{\gamma m_0v}\, =\, \frac {h}{m_0v}\,\,\,\, \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\\
& f = \frac{\gamma\,m_0c^2}{h} = \frac {m_0c^2}{h\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} 
\end{align}</math>
जहाँ पर <math>m_0</math> कण के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान, <math>v</math> इसका [[वेग]], <math>\gamma</math> [[लोरेंत्ज़ कारक]], और <math>c</math> निर्वात में प्रकाश की गति को दर्शाता है।<ref>{{cite book |title=स्थिर अवस्थाएँ|first=Alan |last=Holden |publisher=Oxford University Press |date=1971 |location=New York |isbn=978-0-19-501497-6 }}</ref><ref>Williams, W.S.C. (2002). ''Introducing Special Relativity'', Taylor & Francis, London, {{ISBN|0-415-27761-2}}, p. 192.</ref><ref>{{Cite journal | doi=10.1007/BF00708650|title = तरंग यांत्रिकी की पुनर्व्याख्या| journal=Foundations of Physics| volume=1|issue = 1| pages=5–15|year = 1970|last1 = De Broglie|first1 = Louis| bibcode=1970FoPh....1....5D|s2cid = 122931010}}</ref> डी ब्रोगली संबंधों की व्युत्पत्ति के विवरण के लिए नीचे देखें। समूह वेग (कण की गति के बराबर) को [[चरण वेग]] (कण की आवृत्ति और इसकी तरंग दैर्ध्य के उत्पाद के बराबर) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। एक गैर-विकिरण संबंध के मामले में, वे समान होते हैं, अन्यथा वे समान नहीं होते हैं।

==== [[समूह वेग]] ====
अल्बर्ट आइंस्टीन ने पहली बार 1905 में प्रकाश के तरंग-कण द्वैत की व्याख्या की थी। लुइस डी ब्रोगली ने परिकल्पना की थी कि किसी भी कण को इस तरह के द्वैत को भी प्रदर्शित करना चाहिए। एक कण का वेग, उन्होंने निष्कर्ष निकाला, हमेशा इसी तरंग के समूह वेग के बराबर होना चाहिए। समूह वेग का परिमाण कण की गति के बराबर होता है।

सापेक्षवादी और गैर-सापेक्षवादी परिमाण भौतिकी दोनों में, हम कण वेग के साथ कण के तरंग समारोह के समूह वेग की पहचान कर सकते हैं। परिमाण यांत्रिकी ने इस परिकल्पना को बहुत सटीक रूप से प्रदर्शित किया है, और संबंध अणुओं के रूप में बड़े कणों के लिए स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।<ref name= Arndt 680–682 />

डी ब्रोगली ने निष्कर्ष निकाला कि यदि प्रकाश के लिए पहले से ज्ञात द्वैत समीकरण किसी भी कण के लिए समान थे, तो उनकी परिकल्पना मान्य होगी। इस का मतलब है कि

:<math qid=Q217361>v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}</math>
जहाँ पर {{math|''E''}} कण की कुल [[ऊर्जा]] है, {{math|''p''}} इसकी गति है, {{math|''ħ''}} घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है। एक मुक्त गैर-सापेक्षवादी कण के लिए यह उसका अनुसरण करता है

:<math qid=Q217361>\begin{align}
  v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{1}{2}\frac{p^2}{m} \right)\\
    &= \frac{p}{m}\\
    &= v
\end{align}</math>
जहाँ पर {{math|''m''}} कण का [[द्रव्यमान]] है और {{math|''v''}} इसका वेग।

विशेष सापेक्षता में भी हम पाते हैं

:<math qid=Q217361>\begin{align}
  v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4} \right)\\
    &= \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}}\\
    &= \frac{pc^2}{E}
\end{align}</math>
जहाँ पर {{math|''m''<sub>0</sub>}} कण का शेष द्रव्यमान है और {{math|''c''}} निर्वात में प्रकाश की गति है। लेकिन (नीचे देखें), इसका उपयोग करते हुए चरण वेग {{math|''v''<sub>''p''</sub> {{=}} ''E''/''p'' {{=}} ''c''<sup>2</sup>/''v''}} है, इसलिए

:<math qid=Q217361>\begin{align}
  v_g &= \frac{pc^2}{E}\\
    &= \frac{c^2}{v_p}\\
    &= v
\end{align}</math>
जहाँ पर {{math|''v''}} तरंग व्यवहार की परवाह किए बिना कण का वेग है।

==== चरण वेग ====
परिमाण यांत्रिकी में, कण जटिल संख्या चरणों वाली तरंगों के रूप में भी व्यवहार करते हैं। चरण वेग तरंग दैर्ध्य द्वारा गुणा आवृत्ति के उत्पाद के बराबर है।

डी ब्रोगली परिकल्पना से, हम देखते हैं कि

:<math qid=Q13824>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k} = \frac{E/\hbar}{p/\hbar} = \frac{E}{p}. </math>
ऊर्जा और संवेग के लिए विशेष सापेक्षता संबंधों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

:<math qid=Q13824>v_\mathrm{p} = \frac{E}{p} = \frac{m c^2}{m v} = \frac{\gamma m_0 c^2}{\gamma m_0 v} = \frac{c^2}{v} = \frac{c}{\beta}</math>
जहां E कण की कुल ऊर्जा है (अर्थात गतिज अर्थ में विश्राम ऊर्जा और गतिज ऊर्जा), p संवेग, <math>\gamma</math> लोरेंत्ज़ कारक, c प्रकाश की गति, और β गति c के एक अंश के रूप में। चर v को या तो कण की गति या संबंधित पदार्थ तरंग के समूह वेग के रूप में लिया जा सकता है। कण गति के बाद से <math>v < c </math> द्रव्यमान वाले किसी भी कण के लिए (विशेष सापेक्षता के अनुसार), पदार्थ तरंगों का चरण वेग हमेशा c से अधिक होता है, अर्थात।

:<math qid=Q13824>v_\mathrm{p} > c, \,</math>
और जैसा कि हम देख सकते हैं, जब कण की गति आपेक्षिक श्रेणी में होती है तो यह c की ओर बढ़ता है। तेज़-से-प्रकाश चरण वेग विशेष सापेक्षता का उल्लंघन नहीं करता है, क्योंकि चरण प्रसार में कोई ऊर्जा नहीं होती है। विवरण के लिए फैलाव (प्रकाशिकी) पर लेख देखें।

=== चतुर्विम-सदिश ===
{{Main|चतुर्विम सदिश}}

चतुर्विम-सदिशों का उपयोग करते हुए, डी ब्रोगली संबंध एक एकल समीकरण बनाते हैं:
<math display="block">\mathbf{P}= \hbar\mathbf{K}</math>
जो संदर्भ-स्वतंत्र का जड़त्वीय ढांचा है।

इसी तरह, समूह/कण वेग और चरण वेग के बीच का संबंध फ्रेम-स्वतंत्र रूप में दिया गया है:
<math display="block">\mathbf{K} = \left(\frac{\omega_o}{c^2}\right)\mathbf{U}</math>
जहाँ पर
*[[चार गति]] <math>\mathbf{P} = \left(\frac{E}{c}, \vec{\mathbf{p}} \right)</math>
*[[चार गति|चार]]-वेव वेक्टर <math>\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{\mathbf{k}} \right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_p}\mathbf{\hat{n}} \right)</math>
*[[चार-वेग]] <math>\mathbf{U} = \gamma(c,\vec{\mathbf{u}}) = \gamma(c,v_g \hat{\mathbf{n}}) </math>


== व्याख्याएं ==
डी ब्रोगली के 81 पृष्ठ की अभिधारणा का उद्देश्य [[पायलट तरंग सिद्धांत|प्रवर्तक तरंग सिद्धांत]] के माध्यम से बोह्र परमाणु का एक उन्नत संस्करण बनाना था।<ref> Kumar, Manjit. Quantum: Einstein, Bohr, and the great debate about the nature of reality / Manjit Kumar.—1st American ed., 2008. Chap.6.</ref> डी ब्रोगली ने 1927 के [[सोल्वे सम्मेलन]] में पायलट तरंग सिद्धांत पर अपनी अभिधारणा प्रस्तुत की।<ref>{{cite book |author=Institut International de Physique Solvay |year=1928 |title=इलेक्ट्रॉन और फोटोन: 24 से 29 अक्टूबर, 1927 तक ब्रसेल्स में आयोजित पांचवीं भौतिकी परिषद की रिपोर्ट और चर्चा|publisher=Gauthier-Villars
}}</ref>

डी ब्रोगली की अभिधारणा में परिकल्पना सम्मिलित थी कि परमाणु के [[बोहर मॉडल|बोहर प्रतिरूप]] में एक स्थायी तरंग ने अतिसूक्ष्म परमाणुओं को निर्देशित किया। अभिधारणा का एक असामान्य विश्लेषण था कि उच्च ऊर्जा फोटॉन वीन सन्निकटन का पालन करते हैं और कण-जैसे होते हैं जबकि कम ऊर्जा वाले फोटॉन रेले-जीन्स कानून का पालन करते हैं और तरंग की तरह होते हैं।<ref>[[Louis de Broglie|de Broglie, L.]] (1924). Thesis, p. 69 of Kracklauer's translation.</ref> कण-भौतिकी कण-कण अंतःक्रिया द्वारा सभी बलों का इलाज करने के लिए रिचर्ड फेनमैन को यह कहने के लिए प्रेरित करती है कि तरंगें नहीं होती हैं, केवल कण होते हैं। और हाल ही में, कुछ ऐसे सिद्धांत सामने आए हैं जो [[क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या|परिमाण यांत्रिकी की व्याख्या]]ओं की व्याख्या करने की कोशिश करते हैं जो यह हल करने की कोशिश करते हैं कि या तो कण या तरंग पहलू प्रकृति में मौलिक है, दूसरे को एक [[उद्भव]] के रूप में समझाने की कोशिश कर रहा है। कुछ व्याख्याएं, जैसे [[छिपे हुए चर सिद्धांत]], तरंग और कण को अलग-अलग संस्थाओं के रूप में मानते हैं। फिर भी अन्य कुछ मध्यवर्ती इकाई का प्रस्ताव करते हैं जो न तो काफी तरंगित होती है और न ही बिल्कुल कण, लेकिन जब हम एक या दूसरी संपत्ति को मापते हैं तो केवल ऐसा ही दिखाई देता है। [[कोपेनहेगन व्याख्या]] में कहा गया है कि अंतर्निहित वास्तविकता की प्रकृति अज्ञात है और वैज्ञानिक जांच की सीमा से परे है।

श्रोडिंगर स्वीकार करते हैं कि उनका परिमाण यांत्रिक समीकरण डी ब्रोगली की अभिधारणा पर आधारित है। श्रोडिंगर ने इस बात पर जोर दिया कि उनका समीकरण इस मायने में अलग था कि यह बहु-आयामी स्थल में था। अपने व्याख्यान में तरंग यांत्रिकी और आव्यूह यांत्रिकी दोनों ही नई अवधारणाएँ थीं, उन्होंने अपने सूत्र को श्रेष्ठ बनाने का प्रयास किया जैसा कि हाइजेनबर्ग ने अपने भाषण में किया।<ref>Kumar, Manjit. Quantum: Einstein, Bohr, and the great debate about the nature of reality / Manjit Kumar.—1st American ed., 2008.</ref>

1927 में पांचवें सॉल्वे सम्मेलन में, इरविन श्रोडिंगर ने रिपोर्ट किया:

{{quote|
[नाम 'तरंग यांत्रिकी'] के तहत वर्तमान में दो सिद्धांत चल रहे हैं, जो वास्तव में निकट से संबंधित हैं लेकिन समान नहीं हैं। पहला, जो एल डी ब्रोगली द्वारा प्रसिद्ध डॉक्टरेट थीसिस से सीधे अनुसरण करता है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में तरंगों से संबंधित है। ... इसलिए हम इसे [श्रोडिंगर समीकरण], 'बहु-आयामी' तरंग यांत्रिकी कहेंगे।}}

1955 में, हाइजेनबर्ग ने दिखाया कि परिमाण यांत्रिक समीकरणों की तरंगों को पारंपरिक तरंगों के बजाय संभाव्यता के रूप में पुनर्व्याख्या की गई:

{{quote|बोर्न ['जेड' के काम से एक महत्वपूर्ण कदम आगे बढ़ा था। Phys.'', '''37''': 863, 1926 और '''38''': 803, 1926] 1926 की गर्मियों में इस कार्य में, विन्यास स्थान में तरंग की व्याख्या प्रायिकता तरंग के रूप में की गई थी। श्रोडिंगर के सिद्धांत पर टक्कर प्रक्रियाओं की व्याख्या करने के लिए। इस परिकल्पना में [[नील्स बोह्र|बोह्र]], [[हंस क्रेमर्स|क्रेमर्स]] और [[जॉन सी. स्लेटर|स्लेटर]] की तुलना में दो महत्वपूर्ण नई विशेषताएं शामिल थीं। इनमें से पहला यह दावा था कि, "संभाव्यता तरंगों" पर विचार करने में, हम सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष में प्रक्रियाओं से संबंधित नहीं हैं, बल्कि एक अमूर्त विन्यास स्थान में हैं (एक तथ्य जो दुर्भाग्य से, कभी-कभी आज भी अनदेखी की जाती है); दूसरी मान्यता थी कि प्रायिकता तरंग एक व्यक्तिगत प्रक्रिया से संबंधित है। }}
ऊपर उल्लेख किया गया है कि श्रोडिंगर तरंग की विस्थापित मात्रा में वे मान हैं जो आयाम रहित जटिल संख्याएँ हैं। हाइजेनबर्ग के अनुसार, कुछ सामान्य भौतिक मात्रा के होने के बजाय, उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत क्षेत्र की तीव्रता, या द्रव्यमान घनत्व, श्रोडिंगर-वेव पैकेट की विस्थापित मात्रा एक संभाव्यता आयाम है। उन्होंने लिखा कि 'तरंग पैकेट' शब्द का प्रयोग करने के बजाय प्रायिकता पैकेट की बात करना बेहतर है।<ref>[[Werner Heisenberg|Heisenberg, W.]] (1927). Über den anschlaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, ''Z. Phys.'' '''43''': 172–198, translated by eds. [[John Archibald Wheeler|Wheeler, J.A.]], [[Wojciech Zurek|Zurek, W.H.]] (1983), at pp. 62–84 of ''Quantum Theory and Measurement'', Princeton University Press, Princeton NJ, p. 73. Also translated as 'The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics' [https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19840008978.pdf here]</ref> श्रोडिंगर समीकरण संभाव्यता आयाम की व्याख्या असतत कणों के स्थान या गति की संभावना की गणना के रूप में की जाती है। हाइजेनबर्ग संभाव्य क्वान्टमी अनुवाद गति हस्तांतरण द्वारा कण विवर्तन के बारे में डुआन के खाते का पाठ करते हैं, जो उदाहरण के लिए यंग के दो-भट्ठा प्रयोग में, प्रत्येक विवर्तित कण को एक विशेष भट्ठा के माध्यम से अलग से पारित करने की अनुमति देता है।<ref>[[Werner Heisenberg|Heisenberg, W.]] (1930). ''The Physical Principles of the Quantum Theory'', translated by C. Eckart, F. C. Hoyt, University of Chicago Press, Chicago IL, pp. 77–78.</ref> श्रोडिंगर ने मूल रूप से प्रस्तावित किया था कि उनकी पदार्थ तरंग 'धुंधले पदार्थ से बनी' थी, लेकिन बोर्न नियम ने वास्तविक अतिसूक्ष्म परमाणु आवेश घनत्व के विवरण के बजाय संभाव्यता के विवरण के रूप में समझे जाने वाले psi प्रकार्य को बदल दिया।<ref> Kumar, Manjit. Quantum: Einstein, Bohr, and the great debate about the nature of reality / Manjit Kumar.—1st American ed., 2008.</ref>

इन विचारों को सामान्य भाषा में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है। साधारण भौतिक तरंगों के खाते में, 'बिंदु' समय के एक पल में सामान्य भौतिक स्थान में स्थिति को संदर्भित करता है, जिस पर कुछ भौतिक मात्रा का 'विस्थापन' निर्दिष्ट होता है। लेकिन परिमाण यांत्रिकी के खाते में, एक 'बिंदु' समय के एक पल में प्रणाली के विन्यास को संदर्भित करता है, प्रणाली का प्रत्येक कण एक अर्थ में विन्यास स्थान के प्रत्येक 'बिंदु' में मौजूद होता है, प्रत्येक कण ऐसे ' बिंदु' संभवतः सामान्य भौतिक स्थान में एक अलग स्थान पर स्थित है। कोई स्पष्ट निश्चित संकेत नहीं है कि, एक पल में, यह कण 'यहाँ' है और वह कण विन्यास स्थान में कुछ अलग 'स्थान' में 'वहाँ' है। यह वैचारिक अंतर यह बताता है कि, डी ब्रोगली के पूर्व-परिमाण यांत्रिक तरंग विवरण के विपरीत, परिमाण यांत्रिक संभाव्यता पैकेट विवरण न्यूटन द्वारा संदर्भित अरस्तूवादी विचार को सीधे और स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं करता है। इसके विपरीत, इन विचारों को ग्रीन के कार्य के माध्यम से चिरसम्मत तरंग खाते में व्यक्त किया गया है, हालांकि यह देखी गई मात्रात्मक घटनाओं के लिए अपर्याप्त है। इसके लिए भौतिक तर्क को सबसे पहले आइंस्टीन ने पहचाना था।<ref>Fine, A. (1986). ''The Shaky Game: Einstein Realism and the Quantum Theory'', University of Chicago, Chicago, {{ISBN|0-226-24946-8}}</ref><ref>Howard, D. (1990). "Nicht sein kann was nicht sein darf", or the prehistory of the EPR, 1909–1935; Einstein's early worries about the quantum mechanics of composite systems, pp. 61–112 in ''Sixty-two Years of Uncertainty: Historical Philosophical and Physical Inquiries into the Foundations of Quantum Mechanics'', edited by A.I. Miller, Plenum Press, New York, {{ISBN|978-1-4684-8773-2}}.</ref>



== डी ब्रोगली की चरण तरंग और आवधिक घटना ==
डी ब्रोगली की अभिधारणा परिकल्पना से शुरू हुई, कि उचित द्रव्यमान m0 के साथ ऊर्जा के प्रत्येक भाग को आवृत्ति ν0 की एक आवधिक घटना से ऐसे जोड़ा जाता है कि : hν0 = m0c2। ऊर्जा पैकेट के बाकी फ्रेम में निश्चित रूप से आवृत्ति ν0 को मापा जाना है। यह परिकल्पना हमारे सिद्धांत का आधार है।<ref>{{cite journal | last1 = de Broglie | first1 = L. | author-link = Louis de Broglie | year = 1923 | title = लहरें और क्वांटा| journal = Nature | volume = 112 | issue = 2815| page = 540 | doi=10.1038/112540a0| bibcode = 1923Natur.112..540D| s2cid = 4082518 }}</ref><ref>[[Louis de Broglie|de Broglie, L.]] (1924). Thesis, p. 8 of Kracklauer's translation.</ref><ref name="Medicus">{{cite journal | last1 = Medicus | first1 = H.A. | year = 1974 | title = पदार्थ तरंगों के पचास वर्ष| journal = Physics Today | volume = 27 | issue = 2| pages = 38–45 | doi=10.1063/1.3128444| bibcode = 1974PhT....27b..38M}}</ref><ref name="MacKinnon">[http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/44/11/10.1119/1.10583 MacKinnon, E. (1976). De Broglie's thesis: a critical retrospective, ''Am. J. Phys.'' '''44''': 1047–1055].</ref><ref>{{cite journal | last1 = Espinosa | first1 = J.M. | year = 1982 | title = डी ब्रोगली की चरण तरंगों के भौतिक गुण| journal = Am. J. Phys. | volume = 50 | issue = 4| pages = 357–362 | doi=10.1119/1.12844| bibcode = 1982AmJPh..50..357E}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Brown | first1 = H.R. | last2 = Martins | year = 1984 | title = डी ब्रोगली के सापेक्ष चरण तरंगें और तरंग समूह| url = http://repositorio.unicamp.br/jspui/handle/REPOSIP/79307 | journal = Am. J. Phys. | volume = 52 | issue = 12 | pages = 1130–1140 | doi = 10.1119/1.13743 | bibcode = 1984AmJPh..52.1130B | access-date = 16 December 2019 | archive-date = 29 July 2020 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200729040701/http://repositorio.unicamp.br/jspui/handle/REPOSIP/79307 | url-status = dead }}</ref> (इस आवृत्ति को कॉम्पटन आवृति के रूप में भी जाना जाता है।)

डी ब्रोगली ने ऊर्जा पैकेट के साथ संबद्ध आवृत्ति {{math|''ν''<sub>0</sub>}} के साथ आवधिक घटना की अपनी प्रारंभिक परिकल्पना का पालन किया। उन्होंने प्रेक्षक के चटुष्काष्ठ में अतिसूक्ष्म परमाणु ऊर्जा पैकेट का पता लगाने के लिए सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का उपयोग किया जो वेग <math>v</math> के साथ चल रहा है, कि इसकी आवृत्ति स्पष्ट रूप से कम हो गई थी

:<math>\nu_1 = \nu_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\,.</math>
डी ब्रोगली ने तर्क दिया कि एक स्थिर पर्यवेक्षक के लिए यह काल्पनिक आंतरिक कण आवधिक घटना तरंग दैर्ध्य की तरंग के साथ चरण में प्रतीत होती है। <math>\lambda</math> और आवृत्ति <math>f</math> जो चरण वेग <math>v_\mathrm p</math> के साथ प्रचार कर रहा है। डी ब्रोगली ने इस तरंग को चरण तरंग (फ्रेंच में «ऑनडे डी फेज») कहा।

यह उनकी मूल पदार्थ तरंग अवधारणा थी। उन्होंने कहा, ऊपर के रूप में, कि <math>v_\mathrm p > c</math>, और चरण तरंग ऊर्जा स्थानांतरित नहीं करती है।<ref name="Medicus" /><ref>Bacciagaluppi, G., Valentini, A. (2009). ''Quantum Theory at the Crossroads: Reconsidering the 1927 Solvay Conference'', Cambridge University Press, Cambridge UK, {{ISBN|978-0-521-81421-8}}, pp. 30–88.</ref>

जबकि पदार्थ से जुड़ी तरंगों की अवधारणा सही है, डी ब्रोगली ने परिमाण यांत्रिकी की अंतिम समझ के लिए बिना किसी गलत कदम के सीधे छलांग नहीं लगाई। उस दृष्टिकोण के साथ वैचारिक समस्याएं हैं जो डी ब्रोगली ने अपनी अभिधारणा में ली थी कि काम करते समय प्रकाशित विभिन्न पत्रों में कई अलग-अलग मौलिक परिकल्पनाओं का प्रयास करने के बावजूद, और प्रकाशित होने के तुरंत बाद, उनकी अभिधारणा को हल करने में सक्षम नहीं थे।<ref name="MacKinnon" /><ref name="Martins">{{cite web
 | last = Martins
 | first = Roberto de Andrade
 | title = लहर-कण द्वैतवाद के साथ लुई डी ब्रोगली का संघर्ष, 1923-1925| publisher = Quantum History Project, Fritz Haber Institute of the Max Planck Society and the Max Planck Institute for the History of Science
 | date = 2010
 | url = http://quantum-history.mpiwg-berlin.mpg.de/eLibrary/hq1_talks/waveMech/23_martins
 | access-date = 3 January 2015 }}</ref>

इन कठिनाइयों को इरविन श्रोडिंगर द्वारा हल किया गया था, जिन्होंने तरंग यांत्रिकी दृष्टिकोण विकसित किया था, जो कुछ अलग बुनियादी परिकल्पना से शुरू हुआ था।

== यह भी देखें ==
* बोह्र प्रतिरूप
* कॉम्पटन तरंग दैर्घ्य 
* फैराडे तरंग
* कपित्सा-डिराक प्रभाव
* [[पदार्थ तरंग घड़ी]]
* श्रोडिंगर समीकरण
* श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रायोगिक औचित्य
* [[थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य]]
* डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत

==संदर्भ==
{{Reflist|25em}}
==अग्रिम पठन==
* L. de Broglie, ''Recherches sur la théorie des quanta'' (Researches on the quantum theory), Thesis (Paris), 1924; L. de Broglie, ''Ann. Phys.'' (Paris) '''3''', 22 (1925). [http://aflb.ensmp.fr/LDB-oeuvres/De_Broglie_Kracklauer.pdf English translation by A.F. Kracklauer.]
* [https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/broglie-lecture.pdf Broglie, Louis de, ''The wave nature of the electron'' Nobel Lecture, 12, 1929]
* Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). ''Modern Physics''. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Co. {{ISBN|0-7167-4345-0}}. pp.&nbsp;203–4, 222–3, 236.
* {{cite book |first=Steven S. |last=Zumdahl |title=Chemical Principles |edition=5th |date=2005 |location=Boston |publisher=Houghton Mifflin |isbn=978-0-618-37206-5 |url=https://archive.org/details/chemicalprincipl00zumd }}
* An extensive review article "Optics and interferometry with atoms and molecules" appeared in July 2009: https://web.archive.org/web/20110719220930/http://www.atomwave.org/rmparticle/RMPLAO.pdf.
* [https://arxiv.org/abs/1005.4534 "Scientific Papers Presented to Max Born on his retirement from the Tait Chair of Natural Philosophy in the University of Edinburgh"], 1953 (Oliver and Boyd)
==बाहरी संबंध==
* {{cite web|last=Bowley|first=Roger|title=de Broglie Waves|url=http://www.sixtysymbols.com/videos/debroglie.htm|work=Sixty Symbols|publisher=[[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]]}}
{{Authority control}}

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