View source for परिमित माप

माप सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक '''परिमित माप''' या पूर्णतः परिमित माप <ref name="eommeasurespace"/> एक विशेष [[माप (गणित)]] है जो सदैव सीमित मान लेता है। परिमित मापों में [[संभाव्यता माप]] हैं। अधिक सामान्य मापों की तुलना में परिमित मापों को संभालना प्रायः आसान होता है और वे जिस [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] पर परिभाषित होते हैं, उसके आधार पर विभिन्न प्रकार के विभिन्न गुण दिखाते हैं।

== परिभाषा ==
एक माप (गणित) <math> \mu </math> [[मापने योग्य स्थान|मापने योग्य समष्टि]] पर <math> (X, \mathcal A) </math> यदि यह संतुष्ट करता है तो इसे एक सीमित माप कहा जाता है

:<math> \mu(X) < \infty. </math>
उपायों की एकरसता से, इसका तात्पर्य है

: <math> \mu(A) < \infty \text{ for all } A \in \mathcal A. </math>
यदि  <math> \mu </math> एक परिमित माप है, माप समष्टि <math> (X, \mathcal A, \mu) </math> इसे परिमित माप समष्टि या पूर्णतः परिमित माप समष्टि कहा जाता है।<ref name="eommeasurespace"/>


== गुण ==

=== सामान्य मामला ===
किसी भी मापने योग्य समष्टि के लिए, परिमित माप [[कुल भिन्नता]] मानदंड के साथ [[हस्ताक्षरित उपाय|हस्ताक्षरित]] उपायों के बानाच समष्टि में एक [[उत्तल शंकु]] बनाते हैं। परिमित मापों के महत्वपूर्ण उपसमुच्चय उप-संभाव्यता माप हैं, जो एक [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] बनाते हैं, और संभाव्यता माप, जो हस्ताक्षरित उपायों और परिमित उपायों के मानक समष्टि में [[इकाई क्षेत्र]] का प्रतिच्छेदन हैं।

=== टोपोलॉजिकल समष्टि ===
यदि <math> X </math> एक [[हॉसडॉर्फ़ स्थान|हॉसडॉर्फ़ समष्टि]] है और <math> \mathcal A </math> इसमें बोरेल सम्मलित है <math> \sigma </math>-बीजगणित तो प्रत्येक परिमित माप एक समष्टिीय रूप से परिमित माप [[बोरेल माप]] भी है।

=== मीट्रिक रिक्त समष्टि ===
यदि <math> X </math> एक [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] है और <math> \mathcal A </math> फिर से बोरेल है <math> \sigma</math>-बीजगणित, उपायों के अशक्त अभिसरण को परिभाषित किया जा सकता है। संबंधित टोपोलॉजी को अशक्त टोपोलॉजी कहा जाता है और यह सभी बंधे हुए निरंतर कार्यों की [[प्रारंभिक टोपोलॉजी]] है <math> X </math>. अशक्त टोपोलॉजी कार्यात्मक विश्लेषण में अशक्त* टोपोलॉजी से मेल खाती है। यदि <math> X </math> वियोज्य समष्टि भी है, अशक्त अभिसरण को लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक द्वारा मीट्रिक किया जाता है। <ref name="Klenke252" />


=== पोलिश रिक्त समष्टि ===
यदि <math> X </math> एक [[पोलिश स्थान|पोलिश समष्टि]] है और <math> \mathcal A </math> बोरेल है <math> \sigma</math>-बीजगणित, तो प्रत्येक परिमित माप एक [[नियमित माप]] है और इसलिए एक [[रेडॉन माप]] है। <ref name="Klenke248" /> यदि <math> X </math> पोलिश है, तो अशक्त टोपोलॉजी के साथ सभी परिमित उपायों का समुच्चय भी पोलिश है। <ref name="Kallenberg112"/>


== संदर्भ ==
<references>
<ref name="Kallenberg112" >{{cite book |last1=Kallenberg |first1=Olav |author-link1=Olav Kallenberg |year=2017  |title=Random Measures, Theory and Applications|series=Probability Theory and Stochastic Modelling |volume=77 |location= Switzerland |publisher=Springer |page=112|doi= 10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3}}</ref>
<ref name="Klenke248" >{{cite book |last1=Klenke |first1=Achim |year=2008  |title=Probability Theory |url=https://archive.org/details/probabilitytheor00klen_646 |url-access=registration |location=Berlin |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-84800-048-3 |isbn=978-1-84800-047-6 |page=[https://archive.org/details/probabilitytheor00klen_646/page/n249 248]}}</ref>
<ref name="Klenke252" >{{cite book |last1=Klenke |first1=Achim |year=2008  |title=Probability Theory |url=https://archive.org/details/probabilitytheor00klen_341 |url-access=registration |location=Berlin |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-84800-048-3 |isbn=978-1-84800-047-6 |page=[https://archive.org/details/probabilitytheor00klen_341/page/n253 252]}}</ref>
<ref name="eommeasurespace">{{SpringerEOM |title=Measure space |id=Measure_space  |author-last1=Anosov |author-first1=D.V.}}</ref>
</references>

{{Measure theory}}

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