View source for परिमेय संख्या

{{Short description|Quotient of two integers}}
{{Redirect|Rationals||Rational (disambiguation)}}
[[File:U%2B211A.svg|right|thumb|120px|परिमेय संख्याओं के समुच्चय का प्रतीक]]
[[File:Number-systems.svg|thumb|परिमेय संख्याएं (<math>\mathbb{Q}</math>) [[ वास्तविक संख्या | वास्तविक संख्या]]ओं में सम्मिलित हैं (<math>\mathbb{R}</math>), जबकि स्वयं [[ पूर्णांकों |पूर्णांकों]] सहित (<math>\mathbb{Z}</math>), जिसमें बदले में [[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्या]] एँ सम्मिलित हैं (<math>\mathbb{N}</math>)]]परिमेय[[ संख्या | संख्या,]] गणित में एक संख्या है जिसे भागफल या भिन्न (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} दो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का, भिन्न {{math|''p''}} और एक गैर-शून्य [[ भाजक |भाजक]] {{math|''q''}}.<ref name="Rosen">{{cite book |last = Rosen |first=Kenneth |title=असतत गणित और उसके अनुप्रयोग|year=2007 |edition=6th |publisher=McGraw-Hill |location=New York, NY|isbn=978-0-07-288008-3 |pages=105, 158–160}}</ref> उदाहरण के लिए, {{math|{{sfrac|−3|7}}}} एक परिमेय संख्या है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णांक है (उदा. {{math|5 {{=}} {{sfrac|5|1}}}}). सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय (गणित), जिसे परिमेय भी कहा जाता है,<ref>{{cite book |title=शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित के तत्व|edition=illustrated |first1=Harry |last1=Lass |publisher=Courier Corporation |year=2009 |isbn=978-0-486-47186-0 |page=382 |url=https://books.google.com/books?id=WAY_AwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=WAY_AwAAQBAJ&pg=PA382 Extract of page 382]</ref> तर्क का क्षेत्र<ref>{{cite book |title=जूलिया रॉबिन्सन का एकत्रित कार्य|first1=Julia |last1=Robinson |publisher=American Mathematical Soc |year=1996 |isbn=978-0-8218-0575-6 |page=104 |url=https://books.google.com/books?id=_33D84OENIAC}} [https://books.google.com/books?id=_33D84OENIAC&pg=PA104 Extract of page 104]</ref> या परिमेय संख्याओं के क्षेत्र को आमतौर पर बोल्डफेस द्वारा दर्शाया जाता है {{math|'''Q'''}},<ref>It was thus denoted in 1895 by [[Giuseppe Peano]] after ''[[wikt:quoziente|quoziente]]'', Italian for "[[quotient]]",{{Citation needed|date=August 2021}}</ref> या[[ ब्लैकबोर्ड बोल्ड ]]<math>\mathbb{Q}.</math><ref>It first appeared in [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]'s ''Algèbre''.</ref>
परिमेय संख्या एक[[ वास्तविक संख्या ]]होती है। वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय होती हैं वे हैं जिनका दशमलव प्रसार या तो [[ संख्यात्मक अंक |संख्यात्मक]] अंकों की एक सीमित संख्या के बाद समाप्त होता है (उदाहरण: {{math|{{sfrac|3|4}} {{=}} 0.75}}), या अंततः दशमलव को अंकों के समान परिमित [[क्रम|अनुक्रम]] को बार-बार दोहराना प्रारम्भ कर देता है (उदाहरण: {{math|{{sfrac|9|44}} {{=}} 0.20454545...}}).<ref>{{Cite web|title=परिमेय संख्या|url=https://www.britannica.com/science/rational-number|access-date=2020-08-11|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> यह कथन केवल आधार 10 में ही सत्य नहीं है, बल्कि अन्य सभी पूर्णांक आधारों में भी है, जैसे: बाइनरी और [[हेक्साडेसिमल]]।

(देखें: {{slink|रीपीटिंग डेसीमल|एक्सटेंशन टू ओथेर बेसेस}})

वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं [[ अपरिमेय संख्या |अपरिमेय संख्या]] कहलाती है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=परिमेय संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html|access-date=2020-08-11|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> अपरिमेय संख्याओं में सम्मिलित हैं {{math|[[square root of 2|{{sqrt|2}}]]}}, {{pi}}, {{math|[[E (mathematical constant)|''e'']]}}, तथा {{math|[[Golden ratio|''φ'']]}}. चूँकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय[[ बेशुमार समुच्चय | बेशुमार समुच्चय]] है,[[ लगभग सभी | लगभग सभी]] वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं।<ref name="Rosen" />

परिमेय संख्याओं को q ≠ 0 के साथ पूर्णांकों (p, q) के युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में औपचारिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है, तुल्यता संबंध को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
: <math>\left( p_1, q_1 \right) \sim \left( p_2, q_2 \right) \iff p_1 q_2 = p_2 q_1.</math>
भिन्न ''p''/''q'' वर्ग (''p'', ''q'') को दर्शाता है<ref name=":1">{{Cite book|last=Biggs|first=Norman L.|title=गणित पृथक करें|publisher=Oxford University Press|year=2002|isbn=978-0-19-871369-2|location=India|pages=75–78}}</ref>

परिमेय संख्याएं जोड़ और[[ गुणा | गुणा]] के साथ मिलकर एक फ़ील्ड (गणित) बनाती हैं जिसमें पूर्णांक होते हैं, और पूर्णांक वाले किसी भी क्षेत्र में समाहित होते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र एक अभाज्य क्षेत्र होता है, और एक क्षेत्र में [[ विशेषता शून्य |विशेषता शून्य]] होती है यदि और केवल यदि इसमें उपक्षेत्र के रूप में परिमेय संख्याएँ हों। का परिमित [[ क्षेत्र विस्तार |क्षेत्र विस्तार]] {{math|'''Q'''}} बीजगणितीय संख्या क्षेत्र कहलाते हैं, और का बीजगणितीय समापन {{math|'''Q'''}} बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।<ref name="Gilbert">{{cite book |last1=Gilbert |first1=Jimmie |last2=Linda |first2=Gilbert|author2-link=Linda Gilbert Saucier |year=2005 |title=आधुनिक बीजगणित के तत्व|edition=6th |publisher=Thomson Brooks/Cole |location=Belmont, CA |isbn=0-534-40264-X |pages=243–244}}</ref>[[ गणितीय विश्लेषण |गणितीय विश्लेषण]] में, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक सघन समुच्चय बनाती हैं। [[ कॉची अनुक्रम |कॉची अनुक्रमों]], [[ डेडेकाइंड कट |डेडेकाइंड कट]], या अनंत दशमलव ([[ वास्तविक संख्याओं का निर्माण |वास्तविक संख्याओं का निर्माण]] देखें) का उपयोग करके, वास्तविक संख्याओं को पूर्णता (मीट्रिक स्पेस) से बनाया जा सकता है।

== शब्दावली ==
सेट '''Q''' के संदर्भ में परिमेय शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एक परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के [[ अनुपात |अनुपात]] का प्रतिनिधित्व करती है। गणित में, परिमेय का प्रयोग अक्सर परिमेय संख्या को संक्षिप्त करने वाली संज्ञा के रूप में किया जाता है। विशेषण परिमेय का कभी-कभी अर्थ होता है कि गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, एक परिमेय बिंदु परिमेय निर्देशांक वाला एक बिंदु है (अर्थात, एक ऐसा बिंदु जिसके निर्देशांक परिमेय संख्याएं हैं); एक परिमेय मैट्रिक्स परिमेय संख्याओं का एक [[ मैट्रिक्स (गणित) |मैट्रिक्स (गणित)]] है; एक तर्कसंगत [[ बहुपद |बहुपद]] तर्कसंगत गुणांक के साथ बहुपद हो सकता है, हालांकि [[ तर्कसंगत अंश | तर्कसंगत भिन्न]] और [[ तर्कसंगत कार्य |तर्कसंगत कार्य]] के बीच भ्रम से बचने के लिए तर्कसंगत पर बहुपद शब्द को आम तौर पर पसंद किया जाता है (बहुपद एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति है और एक तर्कसंगत कार्य को परिभाषित करता है, भले ही इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ नहीं हैं)। हालाँकि, एक परिमेय वक्र परिमेय पर परिभाषित वक्र नहीं है, बल्कि एक वक्र है जिसे परिमेय कार्यों द्वारा पैरामीटर किया जा सकता है।{{Citation needed|date=August 2021}}
=== व्युत्पत्ति ===

यद्यपि आजकल परिमेय संख्याओं को अनुपातों के रूप में परिभाषित किया जाता है, परिमेय शब्द अनुपात की [[ रूपात्मक व्युत्पत्ति |रूपात्मक व्युत्पत्ति]] नहीं है। इसके विपरीत, यह अनुपात है जो तर्कसंगत से प्राप्त होता है: इसके आधुनिक अर्थ के साथ अनुपात का पहला प्रयोगअंग्रेजी में लगभग 1660 में प्रमाणित किया गया था,<ref>{{cite book|title=ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी|edition=2nd|date=1989|publisher=Oxford University Press}} Entry '''ratio''', ''n.'', sense 2.a.</ref> जबकि क्वालिफाइंग नंबरों के लिए परिमेय का उपयोग लगभग एक सदी पहले, 1570 में हुआ था।<ref>{{cite book|title=ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी|edition=2nd|date=1989|publisher=Oxford University Press}} Entry '''rational''', ''a. (adv.)'' and ''n.''<sup>1</sup>, sense 5.a.</ref> परिमेय का यह अर्थ अपरिमेय के गणितीय अर्थ से आया है, जिसे पहली बार 1551 में उपयोग किया गया था, और इसका उपयोग यूक्लिड के अनुवादों में किया गया था (उनके विचित्र उपयोग के बाद {{lang|grc|ἄλογος}}).<ref>{{cite book|title=ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी|edition=2nd|date=1989|publisher=Oxford University Press}} Entry '''irrational''', ''a.'' and ''n.'', sense 3.</ref><ref>{{Cite web|date=2017-05-09|first=Peter|last= Shor|authorlink=Peter Shor|title=क्या परिमेय अनुपात से आता है या अनुपात परिमेय से आता है|url=https://english.stackexchange.com/questions/217956/does-rational-come-from-ratio-or-ratio-come-from-rational/218079#218079|access-date=2021-03-19|website=Stack Exchange|language=en-US}}</ref>                                                                                                                                                                                                                          यह असामान्य इतिहास इस तथ्य से उत्पन्न हुआ है कि [[ ग्रीक गणित |ग्रीक गणित]] ने स्वयं को उन [तर्कहीन] लंबाई को संख्याओं के रूप में सोचने से मना कर विधर्म से संयम किया।<ref>{{Cite web|last1=Coolman|first1=Robert|date=2016-01-29|title=कैसे एक गणितीय अंधविश्वास ने एक हजार से अधिक वर्षों के लिए बीजगणित को अस्त-व्यस्त कर दिया|url=https://nautil.us/blog/how-a-mathematical-superstition-stultified-algebra-for-over-a-thousand-years|access-date=2021-03-20|language=en-US}}</ref> तो ऐसी लंबाई तर्कहीन थी, अतार्किक के अर्थ में, जिसके बारे में बात नहीं की जानी चाहिए (ग्रीक में {{lang|grc|ἄλογος}})।<ref>{{cite book|last1=Kramer|first1=Edna|title=आधुनिक गणित की प्रकृति और विकास|date=1983|publisher=Princeton University Press|page=28}}</ref>                                                                                                                                                    

यह व्युत्पत्ति काल्पनिक संख्या और वास्तविक संख्या के समान है।

== अंकगणित ==
{{See also|भिन्न (गणित)#भिन्नों के साथ अंकगणित}}

=== [[ अपरिवर्तनीय अंश |अपरिवर्तनीय भिन्न]] ===
प्रत्येक परिमेय संख्या को अपरिमेय भिन्न के रूप में अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, जहां पे {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} [[ सहअभाज्य पूर्णांक |सहअभाज्य पूर्णांक]] हैं और {{math|''b'' > 0}} हैं. इसे बहुधा परिमेय संख्या का विहित रूप कहा जाता है।

एक परिमेय संख्या ''a''/''b'' से प्रारम्भ, इसका विहित रूप a और b को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, और यदि ''b'' < 0 है तो परिणामी भिन्न और भाजक के चिह्न को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।{{Citation needed|date=August 2021}}
=== पूर्णांकों का अंत:स्थापन ===
किसी भी पूर्णांक ''n'' को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ''n''/1, जो एक परिमेय संख्या के रूप में इसका विहित रूप है। {{Citation needed|date=August 2021}}
===समानता===
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> यदि और केवल यदि <math>ad = bc</math>
यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं, तो:
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> यदि और केवल यदि <math>a = c</math> तथा <math>b = d</math><ref name=":1" />
<!--Examples: 
:<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6}</math>
:<math>\frac{-1}{2} = \frac{1}{-2}</math>
:<math>\frac{0}{1} = \frac{0}{2}</math>-->
=== आदेश देना ===
यदि दोनों भाजक धनात्मक हैं (विशेषकर यदि दोनों भिन्न भिन्न विहित रूप में हैं):
:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> यदि  और केवल यदि <math>ad < bc.</math>
दूसरी ओर, यदि कोई भी भाजक ऋणात्मक है, तो ऋणात्मक भाजक वाले प्रत्येक भिन्न को पहले उसके भिन्न और हर दोनों के चिह्नों को बदलकर एक सकारात्मक भाजक के साथ एक समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए।<ref name=":1" />
=== जोड़ ===
दो भिन्नों को इस प्रकार जोड़ा जाता है:
:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि {{mvar|b}} तथा {{mvar|d}} सहअभाज्य पूर्णांक हैं।<ref name=":1" /><ref name=":2">{{Cite web|title=भिन्न - गणित का विश्वकोश|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fraction|access-date=2021-08-17|website=encyclopediaofmath.org}}</ref>

=== घटाव ===
:<math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}.</math>
यदि दोनों भिन्न भिन्न विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि {{mvar|b}} तथा {{mvar|d}} सहअभाज्य पूर्णांक हैं।<ref name=":2" />{{Verify source|date=August 2021}}
===गुणन===
गुणन का नियम है:
:<math>\frac{a}{b} \cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
जहां परिणाम [[ कम करने योग्य अंश |कम करने योग्य भिन्न]] हो सकता है - भले ही दोनों मूल भिन्न विहित रूप में हों।<ref name=":1" /><ref name=":2" />
=== उलटा ===
प्रत्येक परिमेय संख्या {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} एक योज्य प्रतिलोम है, जिसे अक्सर इसके विपरीत कहा जाता है,
:<math> - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}.</math>
यदि {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} विहित रूप में है, इसके विपरीत के लिए भी यही सच है।

एक शून्येतर परिमेय संख्या {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} का एक गुणनात्मक प्रतिलोम है, जिसे इसका व्युत्क्रम भी कहा जाता है,
:<math> \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}. </math>
यदि ''a''/''b'' विहित रूप में है, तो उसके व्युत्क्रम का विहित रूप या तो है ''b''/''a'' या −''b''/−''a'', a के चिह्न पर निर्भर करता है.{{Citation needed|date=August 2021}}
=== विभाजन ===
यदि {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, तथा {{math|''d''}} शून्येतर हैं, तो विभाजन के नियम है
:<math>\frac{\frac{a}{b}} {\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}.</math>
इस प्रकार, विभाजित {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} द्वारा {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} गुणा करने के बराबर है {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} के गुणक प्रतिलोम द्वारा {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}}:
:<math>\frac{ad}{bc} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.</math><ref name=":2" />{{Verify source|date=August 2021}}
=== पूर्णांक शक्ति का घातांक ===
यदि {{math|''n''}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.</math>
परिणाम विहित रूप में है यदि वही सत्य है {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}. विशेष रूप से,
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1.</math>
यदि {{math|''a'' ≠ 0}}, फिर
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}.</math>
यदि {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} विहित रूप में है, परिणाम का विहित रूप है {{math|{{sfrac|''b<sup>n</sup>''|''a<sup>n</sup>''}}}} यदि {{math|''a'' > 0}} या {{mvar|n}} सम है। अन्यथा, परिणाम का विहित रूप है {{math|{{sfrac|−''b<sup>n</sup>''|−''a<sup>n</sup>''}}}}.{{Citation needed|date=August 2021}}
== निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व ==
{{Main|अविच्छिन्नित भिन्न}}
एक परिमित निरंतर भिन्न एक व्यंजक है जैसे
:<math>a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},</math>
जहां {{math|''a<sub>n</sub>''}} पूर्णांक हैं। प्रत्येक परिमेय संख्या {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} को एक परिमित निरंतर भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणांक {{math|''a<sub>n</sub>''}} [[ यूक्लिडियन एल्गोरिथम |यूक्लिडियन एल्गोरिथम]] को लागू करके निर्धारित किया जा सकता है {{math|(''a'', ''b'')}}.

== अन्य अभ्यावेदन ==

* [[ सामान्य अंश |सामान्य भिन्न]]: {{math|{{sfrac|8|3}}}}
* [[ मिश्रित अंक |मिश्रित अंक]]: {{math|{{sfrac|2|2|3}}}}
* विनकुलम (प्रतीक) का उपयोग करते हुए दशमलव को दोहराना: {{math|2.{{overline|6}}}}
* कोष्ठक का उपयोग करते हुए दशमलव को दोहराना: {{math|2.(6)}}
* पारंपरिक टाइपोग्राफी का उपयोग करते हुए [[ निरंतर अंश |निरंतर भिन्न]]: {{math|2 + {{sfrac|1|1 + {{sfrac|1|2}}}}}}
* संक्षिप्त संकेतन में निरंतर भिन्न: {{math|[2; 1, 2]}}
* [[ मिस्र का अंश |मिस्र का भिन्न]]: {{math|2 + {{sfrac|1|2}} + {{sfrac|1|6}}}}
* प्रधान शक्ति अपघटन: {{math|2<sup>3</sup> × 3<sup>−1</sup>}}
* [[ उद्धरण संकेतन |उद्धरण संकेतन]]: {{math|'''3'6'''}}
एक ही तर्कसंगत मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीके हैं।

==औपचारिक निर्माण==
[[File:Rational Representation.svg|thumb|right|300px|पूर्णांकों के युग्मों के समतुल्य वर्गों का निरूपण दिखाने वाला आरेख]]परिमेय संख्याओं को पूर्णांकों के [[ क्रमित युग्म |क्रमित युग्मों]] के तुल्यता वर्गों के रूप में बनाया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref name=":2" />

अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए {{math|('''Z''' × ('''Z''' \ {0}))}} {{math|''n'' ≠ 0}} जैसे पूर्णांकों के युग्मों ( ''m'' , ''n'' ) का समुच्चय है। इस सेट पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित किया गया है
: <math>\left(m_1, n_1 \right) \sim \left(m_2, n_2 \right) \iff m_1 n_2 = m_2 n_1.</math><ref name=":1" /><ref name=":2" />

जोड़ और गुणा को निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
:<math>\left(m_1, n_1\right) + \left(m_2, n_2\right) \equiv \left(m_1n_2 + n_1m_2, n_1n_2\right),</math>
:<math>\left(m_1, n_1\right) \times \left(m_2, n_2\right) \equiv \left(m_1m_2, n_1n_2\right).</math><ref name=":1" />

यह तुल्यता संबंध एक सर्वांगसम संबंध है, जिसका अर्थ है कि यह ऊपर परिभाषित जोड़ और गुणा के साथ संगत है; परिमेय संख्याओं का समुच्चय {{math|'''Q'''}} को इस तुल्यता संबंध द्वारा निर्धारित भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है, {{math|1=('''Z''' × ('''Z''' \ {0})) / ~}}, जो उपरोक्त संक्रियाओं से प्रेरित जोड़ और गुणा से सुसज्जित है। (यह निर्माण किसी भी अभिन्न डोमेन के साथ किया जा सकता है और इसके भिन्न क्षेत्र उत्पन्न करता है।)<ref name=":1" />

एक जोड़ी का तुल्यता वर्ग {{math|(''m'', ''n'')}} निरूपित है {{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}.
दो जोड़े {{math|(''m''<sub>1</sub>, ''n''<sub>1</sub>)}} तथा {{math|(''m''<sub>2</sub>, ''n''<sub>2</sub>)}} एक ही तुल्यता वर्ग से संबंधित हैं (जो कि समतुल्य हैं) यदि और केवल यदि {{math|''m''<sub>1</sub>''n''<sub>2</sub> {{=}} ''m''<sub>2</sub>''n''<sub>1</sub>}}. इस का मतलब है कि {{math|{{sfrac|''m''<sub>1</sub>|''n''<sub>1</sub>}} {{=}} {{sfrac|''m''<sub>2</sub>|''n''<sub>2</sub>}}}} अगर और केवल {{math|''m''<sub>1</sub>''n''<sub>2</sub> {{=}} ''m''<sub>2</sub>''n''<sub>1</sub>}}.<ref name=":1" /><ref name=":2" />

हर तुल्यता वर्ग {{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} अपरिमित रूप से अनेक युग्मों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, क्योंकि
:<math>\cdots  = \frac{-2m}{-2n} = \frac{-m}{-n} = \frac{m}{n} = \frac{2m}{2n} = \cdots.</math>
प्रत्येक तुल्यता वर्ग में एक अद्वितीय [[ प्रतिनिधि (गणित) |प्रतिनिधि (गणित)]] होता है। विहित प्रतिनिधि अद्वितीय जोड़ी है {{math|(''m'', ''n'')}} तुल्यता वर्ग में ऐसा है कि {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} [[ सह अभाज्य |सह अभाज्य]] हैं, और {{math|''n'' > 0}}. इसे परिमेय संख्या का अपरिमेय भिन्न कहते हैं।

पूर्णांकों को पूर्णांक की पहचान करने वाली परिमेय संख्या माना जा सकता है {{mvar|n}} परिमेय संख्या के साथ {{math|{{sfrac|''n''|1}}}}.

एक कुल क्रम को परिमेय संख्याओं पर परिभाषित किया जा सकता है, जो पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम का विस्तार करता है। किसी के पास
:<math>\frac{m_1}{n_1} \le \frac{m_2}{n_2}</math>
यदि 

:<math>(n_1n_2 > 0 \quad \text{and} \quad m_1n_2 \le n_1m_2)\qquad \text{or}\qquad (n_1n_2 < 0 \quad \text{and} \quad m_1n_2 \ge n_1m_2).</math>
== गुण ==
सेट {{math|'''Q'''}} सभी परिमेय संख्याओं का, ऊपर दिखाए गए जोड़ और गुणन संक्रियाओं के साथ, एक फ़ील्ड (गणित) बनाता है।<ref name=":1" />

{{math|'''Q'''}} पहचान के अलावा कोई [[ फील्ड ऑटोमोर्फिज्म |फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] नहीं है।{{Citation needed|date=August 2021}}                                                                                                                                                                   ऊपर परिभाषित आदेश के साथ, {{math|'''Q'''}} एक [[ आदेशित क्षेत्र |आदेशित क्षेत्र]] है<ref name=":2" /> जिसका स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है, और सबसे छोटा आदेशित क्षेत्र है, इस अर्थ में कि प्रत्येक आदेशित क्षेत्र में एक अद्वितीय उपक्षेत्र समरूपता है {{math|'''Q'''}}.{{Citation needed|date=August 2021}}

{{math|'''Q'''}} एक प्रमुख क्षेत्र है, जो एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है।<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=WHjO9K6xEm4C&pg=PA578 |title=गणित का विश्वकोश शब्दकोश, खंड 1|page=578 |location=London, England |publisher=MIT Press |isbn=0-2625-9020-4 |first=Nihon |last=Sūgakkai |year=1993}}</ref> परिमेय [[ विशेषता (बीजगणित) |विशेषता (बीजगणित)]] शून्य वाला सबसे छोटा क्षेत्र है। विशेषता शून्य के प्रत्येक क्षेत्र में एक अद्वितीय उपक्षेत्र समरूपी समाहित होता है {{math|'''Q'''}}.{{Citation needed|date=August 2021}}

{{math|'''Q'''}} पूर्णांकों के भिन्नों का क्षेत्र है {{math|'''Z'''}}.<ref>{{cite book |last1=Bourbaki |first1=N. |title=बीजगणित II: अध्याय 4 - 7|date=2003 |publisher=Springer Science & Business Media |page=A.VII.5}}</ref> {{math|'''Q'''}} का बीजगणितीय समापन, यानी परिमेय बहुपदों की जड़ों का क्षेत्र, बीजीय संख्याओं का क्षेत्र है।{{Citation needed|date=August 2021}}                                                              परिमेय एक सघन क्रमित समुच्चय हैं: किन्हीं दो परिमेय के बीच, एक और बैठता है, और इसलिए, असीम रूप से कई अन्य।<ref name=":1" /> उदाहरण के लिए, किन्हीं दो भिन्नों के लिए जैसे कि
:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>
(जहां पे <math>b,d</math> सकारात्मक हैं), हमारे पास है
:<math>\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}.</math>{{Citation needed|date=August 2021}}
कोई भी पूर्णतः क्रमित समुच्चय जो गणनीय, सघन (उपरोक्त अर्थ में) है, और जिसमें कोई कम से कम या सबसे बड़ा तत्व नहीं है, परिमेय संख्याओं के लिए [[ क्रम समरूपता |क्रम समरूपता]] है।<ref>{{Cite techreport|first1=Martin|last1=Giese|first2=Arno|last2=Schönegge|title=समापन बिंदुओं के बिना कोई भी दो गणनीय घनी क्रमित सेट आइसोमॉर्फिक हैं - KIV के साथ एक औपचारिक प्रमाण|date=December 1995|url=https://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/nedlagte-emner/INF5170/v14/undervisningsmateriale/countable-densely-ordered-sets.pdf|access-date=17 August 2021}}</ref>
=== गणनीयता ===
[[File:Diagonal argument.svg|thumb|right|200px|सकारात्मक परिमेय की गणनीयता का चित्रण]]सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय[[ गणनीय ]] है, जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। एक परिमेय संख्या के रूप में दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक [[ कार्तीय समन्वय प्रणाली |कार्तीय समन्वय प्रणाली]] के रूप में एक वर्ग जाली पर किसी भी बिंदु पर दो पूर्णांक निर्दिष्ट करना संभव है, जैसे कि कोई भी ग्रिड बिंदु एक तर्कसंगत संख्या से मेल खाता है। हालाँकि, यह विधि अतिरेक का एक रूप प्रदर्शित करती है, क्योंकि कई अलग-अलग ग्रिड बिंदु एक ही परिमेय संख्या के अनुरूप होंगे; इन्हें दिए गए ग्राफ़िक पर लाल रंग में चिन्हांकित किया गया है। एक स्पष्ट उदाहरण नीचे दाईं ओर तिरछे जाने वाली रेखा में देखा जा सकता है; ऐसे अनुपात हमेशा एक के बराबर होंगे, क्योंकि किसी भी भाग को शून्य से विभाजित किया गया गैर-शून्य संख्या हमेशा एक के बराबर होगी।

ऐसी अतिरेक के बिना सभी परिमेय संख्याएँ उत्पन्न करना संभव है: उदाहरणों में कैल्किन-विल्फ़ ट्री और स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री सम्मिलित हैं।

जैसा कि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, और सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है, परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक शून्य समुच्चय है, अर्थात लेबेस्गु माप के अर्थ में, लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं।

Lebesgue माप के अर्थ में, लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं।

== वास्तविक संख्या और टोपोलॉजिकल गुण ==
परिमेय वास्तविक संख्याओं का एक सघन समुच्चय है, प्रत्येक वास्तविक संख्या में परिमेय संख्याएँ मनमाने ढंग से करीब होती हैं।<ref name=":1" />एक संबंधित गुण यह है कि परिमेय संख्याएं एकमात्र संख्या हैं जिनमें [[ परिमित सेट |परिमित सेट]] विस्तार निरंतर भिन्न के रूप में होते हैं।<ref>{{cite book |title=संख्या सिद्धांत का परिचय|author1=Anthony Vazzana |author2=David Garth |edition=2nd, revised |publisher=CRC Press |year=2015 |isbn=978-1-4987-1752-6 |page=1 |url=https://books.google.com/books?id=iJWwDwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=iJWwDwAAQBAJ&pg=RA1 Extract of page 1]</ref>                                                                                                                                                                                      वास्तविक संख्याओं की सामान्य [[ टोपोलॉजी |टोपोलॉजी]] में, परिमेय न तो एक [[ खुला सेट |खुला सेट]] होता है और न ही एक [[ बंद सेट |बंद सेट]] ।<ref>{{cite book |title=असतत गतिशील प्रणालियों में पहला पाठ्यक्रम|author1=Richard A. Holmgren |edition=2nd, illustrated |publisher=Springer Science & Business Media |year=2012 |isbn=978-1-4419-8732-7 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=5LUPBwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=5LUPBwAAQBAJ&pg=PA26 Extract of page 26]</ref>                                                                                                                              उनके आदेश के आधार पर, परिमेय एक [[ आदेश टोपोलॉजी |आदेश टोपोलॉजी]] ले जाते हैं। परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याओं के उप-स्थान के रूप में, एक उप-स्थान टोपोलॉजी भी ले जाती हैं। परिमेय संख्याएं निरपेक्ष अंतर मीट्रिक का उपयोग करके एक [[ मीट्रिक स्थान |मीट्रिक स्थान]] बनाती हैं {{math|''d''(''x'', ''y'') {{=}} {{abs|''x'' − ''y''}}}}, और यह एक तीसरी टोपोलॉजी उत्पन्न करता है {{math|'''Q'''}}. सभी तीन टोपोलॉजी संयोग करते हैं और परिमेय को एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में बदल देते हैं। परिमेय संख्याएँ उस स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से संकुचित नहीं है। परिमेय को [[ टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी |टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी]] से अलग-अलग बिंदुओं के बिना अद्वितीय गणनीय टोपोलॉजिकल गुण के रूप में चित्रित किया जाता है। अंतरिक्ष भी [[ पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान |पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान]] है। 

परिमेय संख्याएँ [[पूर्ण मीट्रिक|पूर्णता (टोपोलॉजी)]] स्थान नहीं बनाती हैं, और वास्तविक संख्याएँ उपरोक्त {{math|'''Q'''}} मीट्रिक{{math|''d''(''x'', ''y'') {{=}} {{abs|''x'' − ''y''}}}} बनाती हैंl<ref name=":2" />

=={{math|''p''}}-एडिक नंबर ==
{{Main article|p-एडिक नंबर|l1={{mvar|p}}-एडिक संख्या}}
ऊपर उल्लिखित निरपेक्ष मान मीट्रिक के अलावा, अन्य मीट्रिक भी हैं जो Q को एक टोपोलॉजिकल फ़ील्ड में बदल देते हैं:

मान लीजिए {{mvar|p}} एक [[ अभाज्य संख्या |अभाज्य संख्या]] है और किसी भी शून्येतर पूर्णांक {{mvar|a}} के लिए, मान लीजिए {{math|{{abs|''a''}}<sub>''p''</sub> {{=}} ''p''<sup>−''n''</sup>}}, जहां ''p''<sup>−''n''</sup>, p को a को[[ भाजक ]]करने की उच्चतम घात है।

इसके अलावा सेट {{math|{{abs|0}}<sub>''p''</sub> {{=}} 0}}. किसी भी परिमेय संख्या के लिए {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, हमलोग तैयार हैं {{math|{{abs|{{sfrac|''a''|''b''}}}}<sub>''p''</sub> {{=}} {{sfrac|{{abs|''a''}}<sub>''p''</sub>|{{abs|''b''}}<sub>''p''</sub>}}}}.

फिर {{math|''d<sub>p</sub>''(''x'', ''y'') {{=}} {{abs|''x'' − ''y''}}<sub>''p''</sub>}} एक मीट्रिक को '''Q''' पर परिभाषित करता है.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=मेरा मतलब है नंबर|url=https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html|access-date=2021-08-17|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>                                                                                                                                                              मीट्रिक स्थान ( '''Q''' , ''d <sub>p</sub>'' ) पूर्ण नहीं है, और इसकी पूर्णता {{math|''p''}}-एडिक संख्या फ़ील्ड '''Q''' <sub>''p''</sub> है। ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि परिमेय संख्याओं '''Q''' पर कोई भी गैर-तुच्छ [[ निरपेक्ष मान (बीजगणित) |निरपेक्ष मान (बीजगणित)]] या तो सामान्य वास्तविक निरपेक्ष मान या {{math|''p''}}-एडिक निरपेक्ष मान के बराबर होता है। {{Citation needed|date=August 2021}}  
==यह भी देखें==
*[[ डायडिक तर्कसंगत |डायडिक तर्कसंगत]]
*[[ तैरनेवाला स्थल |तैरनेवाला स्थल]]
*[[ फोर्ड सर्कल |फोर्ड सर्कल]]
*[[ गाऊसी तर्कसंगत |गाऊसी तर्कसंगत]] 

* अनुभवहीन ऊँचाई—सबसे कम अवधि में एक परिमेय संख्या की ऊँचाई

* निवेन की प्रमेय 

*[[ तर्कसंगत डेटा प्रकार |तर्कसंगत डेटा प्रकार]]
*दिव्य अनुपात: सार्वभौमिक ज्यामिति के लिए तर्कसंगत त्रिकोणमिति
{{Classification of numbers}}


==संदर्भ==
{{Reflist}}


==बाहरी संबंध==
{{Commons category|Rational numbers}}
{{Wikiversity|Rational numbers}}
*{{springer|title=Rational number|id=p/r077620}} 
*[http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html "Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource]

{{Algebraic numbers}}
{{Number systems}}
{{Rational numbers}}
{{Authority control}}

[[Category:AC with 0 elements]]
[[Category:All articles with unsourced statements]]
[[Category:All pages needing factual verification]]
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
[[Category:Articles with short description]]
[[Category:Articles with unsourced statements from August 2021]]
[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
[[Category:Collapse templates]]
[[Category:Created On 10/11/2022]]
[[Category:Exclude in print]]
[[Category:Interwiki category linking templates]]
[[Category:Interwiki link templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Missing redirects]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates generating microformats]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Wikimedia Commons templates]]
[[Category:Wikipedia articles needing factual verification from August 2021]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:क्षेत्र (गणित)]]
[[Category:परिमेय संख्याएं| ]]
[[Category:प्राथमिक गणित]]
[[Category:भिन्न (गणित)]]