View source for पियर्सन सहसंबंध गुणांक

{{Short description|Measure of linear correlation}}
{{Distinguish|निर्धारण का गुणांक}}

{{broader|सहसंबंध गुणांक}}

सांख्यिकी में, '''पियर्सन सहसंबंध गुणांक (पीसीसी''', उच्चारित {{IPAc-en|ˈ|p|ɪər|s|ən}}) - जिसे '''पियर्सन ''r''''' के रूप में भी जाना जाता है, '''पियर्सन गुणन आघूर्ण सहसंबंध गुणांक (पीपीएमसीसी)''', '''द्विचर सहसंबंध''',<ref>{{cite web |url=http://libguides.library.kent.edu/SPSS/PearsonCorr |title=SPSS Tutorials: Pearson Correlation}}</ref> या प्रचलित भाषा में केवल '''सहसंबंध गुणांक''' के रूप में<ref>{{cite web|url=https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/correlation-coefficient-formula/|title=Correlation Coefficient: Simple Definition, Formula, Easy Steps|website=Statistics How To}}</ref> - डेटा के दो समुच्चय के मध्य रैखिक [[सहसंबंध और निर्भरता|सहसंबंध]] का एक परिमाण है। यह दो चरों के [[सहप्रसरण]] और उनके [[मानक विचलन|मानक विचलनों]] के गुणनफल के मध्य का अनुपात है; इस प्रकार, यह अनिवार्य रूप से सहप्रसरण का एक सामान्यीकृत माप है, जैसे कि परिणाम में हमेशा -1 और 1 के मध्य का मान होता है। सहप्रसरण के साथ ही, माप केवल चरों के एक रैखिक सहसंबंध को प्रतिबिंबित कर सकता है, और कई अन्य प्रकार के संबंधों या सहसंबंधों की उपेक्षा कर सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, एक हाई स्कूल के किशोरों के प्रतिरूप की उम्र और ऊंचाई की अपेक्षा करेगा कि पियर्सन सहसंबंध गुणांक 0 से अधिक है, लेकिन 1 से कम (1 के रूप में एक अवास्तविक रूप से पूर्ण सहसंबंध का प्रतिनिधित्व करेगा) है।

[[File:Correlation coefficient.png|thumb|400px|right|सहसंबंध गुणांक (ρ) के विभिन्न मूल्यों के साथ प्रकीर्ण आरेखों के उदाहरण]]
[[File:Correlation examples2.svg|thumb|400px|right|प्रत्येक समुच्चय के लिए x और y के सहसंबंध गुणांक के साथ (x, y) बिंदुओं के कई समुच्चय है। सहसंबंध एक रेखीय संबंध (शीर्ष पंक्ति) की शक्ति और दिशा को दर्शाता है, लेकिन उस संबंध (मध्य) की ढलान नहीं, न ही अरैखिक संबंधों (नीचे) के कई पहलू है। N.B: केंद्र में आकृति में 0 की ढलान है लेकिन उस प्रकरण में सहसंबंध गुणांक अपरिभाषित है क्योंकि Y का भिन्नता शून्य है।]]

== नामकरण और इतिहास ==
यह 1880 के दशक में [[फ्रांसिस गैल्टन]] द्वारा प्रस्तावित किए गए एक संबंधित विचार से [[कार्ल पियर्सन]] द्वारा विकसित किया गया था, और जिसके लिए गणितीय सूत्र 1844 में [[अगस्टे ब्रावाइस]] द्वारा व्युत्पन्न और प्रकाशित किया गया था।{{efn|As early as 1877, Galton was using the term "reversion" and the symbol "''r''" for what would become "regression".<ref>{{cite journal |first=F. |last=Galton |date=5–19 April 1877 |title=Typical laws of heredity |journal=Nature |volume=15 |issue=388, 389, 390 |pages=492–495 ; 512–514 ; 532–533 |doi=10.1038/015492a0 |bibcode=1877Natur..15..492. |s2cid=4136393 |url=https://books.google.com/books?id=eskKAAAAYAAJ&pg=PA512|doi-access=free }} In the "Appendix" on page 532, Galton uses the term "reversion" and the symbol ''r''.</ref><ref>{{cite journal |first=F. |last=Galton |date=24 September 1885 |title=The British Association: Section II, Anthropology: Opening address by Francis Galton, F.R.S., etc., President of the Anthropological Institute, President of the Section |journal=Nature |volume=32 |issue=830 |pages=507–510 |url=https://books.google.com/books?id=lN3RjXLUuWsC&pg=PA499}}</ref><ref>{{cite journal |first=F. |last=Galton |year=1886 |title=Regression towards mediocrity in hereditary stature |journal=Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland |volume=15 |pages=246–263 |doi=10.2307/2841583 |jstor=2841583 |url=https://books.google.com/books?id=JPcRAAAAYAAJ&pg=PA246}}</ref>}}<ref>{{cite journal |first=Karl |last=Pearson |date=20 June 1895 |title=दो माता-पिता के मामले में प्रतिगमन और वंशानुक्रम पर नोट्स|journal=Proceedings of the Royal Society of London |volume=58 |pages=240–242 |bibcode=1895RSPS...58..240P |url=https://books.google.com/books?id=60aL0zlT-90C&pg=PA240}}</ref><ref>{{cite journal |last=Stigler |first=Stephen M. |year=1989 |title=सहसंबंध के आविष्कार का फ़्रांसिस गैल्टन का लेखा-जोखा|journal=Statistical Science |volume=4 |issue=2 |pages=73–79 |jstor=2245329 |doi=10.1214/ss/1177012580 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal |title=Analyse mathematique sur les probabilités des erreurs de situation d'un point |journal=Mem. Acad. Roy. Sci. Inst. France |series=Sci. Math, et Phys. |volume=9 |pages=255–332 |year=1844 |url=https://books.google.com/books?id=y3s_AAAAcAAJ&q=Sur%20Les%20Probabilit%C3%A9s%20des%20Erreurs%20de%20Situation%20d'un%20Point&pg=PA1 |via=Google Books |language=fr}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Wright |first1=S. |year=1921 |title=सहसंबंध और करणीय|journal=Journal of Agricultural Research |volume=20 |issue=7 |pages=557–585}}</ref> इस प्रकार गुणांक का नामकरण स्टिग्लर के नियम का एक उदाहरण है।

== परिभाषा ==
पियर्सन का सहसंबंध गुणांक उनके मानक विचलन के उत्पाद द्वारा विभाजित दो चर का सहप्रसरण है। परिभाषा के रूप में <nowiki>''</nowiki>गुणन आघूर्ण<nowiki>''</nowiki> सम्मलित है, अर्थात, माध्य-समायोजित यादृच्छिक चर के उत्पाद का माध्य (मूल के बारे में पहला क्षण); इसलिए नाम में संशोधक ''गुणन आघूर्ण'' सम्मलित है।

=== जनसंख्या के लिए ===
पियर्सन का सहसंबंध गुणांक, जब [[सांख्यिकीय जनसंख्या|जनसंख्या]] पर उपयोजित किया जाता है, सामान्यतः ग्रीक अक्षर ''ρ (rho)'' द्वारा दर्शाया जाता है और इसे ''जनसंख्या सहसंबंध गुणांक'' या ''जनसंख्या पियर्सन सहसंबंध गुणांक'' के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। यादृच्छिक चर <math>(X,Y)</math> की एक जोड़ी को देखते हुए, ''ρ'' के लिए सूत्र<ref name="RealCorBasic">[http://www.real-statistics.com/correlation/basic-concepts-correlation/ Real Statistics Using Excel: Correlation: Basic Concepts], retrieved 22 February 2015</ref> है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=सांख्यिकीय सहसंबंध|url=https://mathworld.wolfram.com/StatisticalCorrelation.html|access-date=2020-08-22|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

<math display=block> \rho_{X,Y}= \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}</math>
जहाँ
*<math> \operatorname{cov} </math> सहप्रसरण है
*<math> \sigma_X </math>, <math> X </math> का मानक विचलन है  
*<math> \sigma_Y </math>, <math> Y </math> का मानक विचलन है।

<math>\rho</math> के सूत्र को माध्य और अपेक्षा के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। क्योंकि<ref name="RealCorBasic"/>

:<math>\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname\mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)],</math>
<math>\rho</math> का सूत्र इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

<math display=block> \rho_{X,Y} = \frac{\operatorname\mathbb{E}[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]}{\sigma_X\sigma_Y}</math>
जहाँ
*<math> \sigma_Y </math> और <math> \sigma_X </math> को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है
*<math> \mu_X </math>, <math> X </math> का माध्य है 
*<math> \mu_Y </math>, <math> Y </math> का माध्य है 
*<math> \operatorname\mathbb{E} </math> [[अपेक्षित मूल्य|प्रत्याशी]] है।

<math>\rho</math> के सूत्र को अकेंद्रित आघूर्ण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। तब से

:<math>\begin{align}
       \mu_X ={} &\operatorname\mathbb{E}[\,X\,] \\
       \mu_Y ={} &\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,] \\
  \sigma_X^2 ={} &\operatorname\mathbb{E}\left[\,\left(X - \operatorname\mathbb{E}[X]\right)^2\,\right] = \operatorname\mathbb{E}\left[\,X^2\,\right] - \left(\operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\right)^2 \\
   \sigma_Y^2 ={} &\operatorname\mathbb{E}\left[\,\left(Y - \operatorname\mathbb{E}[Y]\right)^2\,\right] = \operatorname\mathbb{E}\left[\,Y^2\,\right] - \left(\,\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,]\right)^2 \\
                  &\operatorname\mathbb{E}[\,\left(X - \mu_X\right)\left(Y - \mu_Y\right)\,] = \operatorname\mathbb{E}[\,\left(X - \operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\right)\left(Y - \operatorname\mathbb{E}[\,Y\,]\right)\,] = \operatorname\mathbb{E}[\,X\,Y\,] - \operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,] \,,
\end{align}</math>
<math>\rho</math> के सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता  हैं।
<math display="block">\rho_{X,Y} =
  \frac{\operatorname\mathbb{E}[\,X\,Y\,] - \operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,]}{\sqrt{\operatorname\mathbb{E}\left[\,X^2\,\right] - \left(\operatorname\mathbb{E}[\,X\,] \right)^2} ~ \sqrt{\operatorname\mathbb{E}\left[\,Y^2\,\right] - \left(\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,] \right)^2}}.</math>
पियर्सन का सहसंबंध गुणांक प्रस्तुत नहीं होता है जब <math> \sigma_X </math> या <math> \sigma_Y </math> शून्य, अनंत या अपरिभाषित होता हैं।

=== एक प्रतिरूप के लिए ===
पियर्सन का सहसंबंध गुणांक, जब एक प्रतिरूप (सांख्यिकी) पर उपयोजित किया जाता है, सामान्यतः <math>r_{xy}</math> द्वारा दर्शाया जाता है और इसे ''प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक'' या ''प्रतिदर्श पियर्सन सहसंबंध गुणांक'' के रूप में संदर्भित किया जाता है। उपरोक्त सूत्र में एक प्रतिरूप के आधार पर सहप्रसरण और प्रसरण के अनुमानों को प्रतिस्थापित करके <math>r_{xy}</math> के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाता है। दिए गए युग्मित डेटा <math>\left\{ (x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n) \right\}</math> में <math>n</math> जोड़े सम्मिलित हैं, <math>r_{xy}</math> को इस रूप में परिभाषित किया गया हैं।

<math display=block>r_{xy} =\frac{\sum ^n _{i=1}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum ^n _{i=1}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum ^n _{i=1}(y_i - \bar{y})^2}}</math>
जहाँ
*<math>n</math> प्रतिदर्श आकार है
*<math>x_i, y_i</math> ''i'' के साथ अनुक्रमित व्यक्तिगत प्रतिदर्श बिंदु हैं
*<math display="inline">\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i</math> (प्रतिदर्श माध्य); और इसी तरह <math>\bar{y}</math> के लिए हैं।

पुनर्व्यवस्थित करने से हमें <math>r_{xy}</math> के लिए यह सूत्र मिलता है:

:<math>r_{xy} = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i\sum y_i}
{\sqrt{n\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}~\sqrt{n\sum y_i^2-\left(\sum y_i\right)^2}}.</math>
जहाँ <math>n, x_i, y_i</math> को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह सूत्र प्रतिदर्श सहसंबंधों की गणना के लिए एक सुविधाजनक एकल पारण कलनविधीय का संकेत देता है, हालांकि सम्मलित संख्याओं के आधार पर, यह कभी-कभी [[संख्यात्मक स्थिरता|संख्यात्मक]] रूप से अस्थिर हो सकता है।

पुनर्व्यवस्थित करने से हमें <math>r_{xy}</math> के लिए यह <ref name="RealCorBasic"/>सूत्र मिलता है:

:<math>r_{xy} = \frac{\sum_i x_i y_i-n\bar{x}\bar{y}}
{\sqrt{\sum_i x_i^2-n\bar{x}^2}~\sqrt{\sum_i y_i^2-n\bar{y}^2}}.</math>
जहाँ <math>n, x_i, y_i, \bar{x}, \bar{y}</math> को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक समतुल्य अभिव्यक्ति <math>r_{xy}</math> के लिए मानक अंकों के गुणनफल के माध्य के रूप में निम्न सूत्र देता है:

:<math>r_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum ^n _{i=1} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \frac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)</math>
जहाँ
*<math>n, x_i, y_i, \bar{x}, \bar{y}</math> को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, और <math>s_x, s_y</math> को नीचे परिभाषित किया गया है।
*<math display="inline">\left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right)</math> मानक प्राप्तांक है (और समान रूप से <math>y</math> के मानक प्राप्तांक के लिए)।

<math>r_{xy}</math> के लिए वैकल्पिक सूत्र भी उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, कोई <math>r_{xy}</math> के लिए निम्न सूत्र का उपयोग कर सकता है:

:<math>r_{xy} =\frac{\sum x_iy_i-n \bar{x} \bar{y}}{(n-1) s_x s_y}</math>
जहाँ
*<math>n, x_i, y_i, \bar{x}, \bar{y}</math> उपरोक्त रूप में परिभाषित किया गया है और:
*<math display="inline">s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}</math> (प्रतिदर्श मानक विचलन); और समान रूप से <math>s_y</math>के लिए है।

=== व्यावहारिक परिणाम ===
अधिक संकेत की स्थिति के अंतर्गत, [[यादृच्छिक चर]] के दो समुच्चय के मध्य सहसंबंध गुणांक को निकालना गैर-तुच्छ है, विशेष रूप से जहां विहित सहसंबंध विश्लेषण अधिक संकेत योगदान के कारण सहसंबंध मूल्यों को कम करता है। दृष्टिकोण का एक सामान्यीकरण अन्यत्र दिया गया है।<ref>{{cite book |first= N. |last=Moriya |year=2008 |contribution=Noise-related multivariate optimal joint-analysis in longitudinal stochastic processes  |pages=223–260 |editor=Yang, Fengshan  |title=[[Progress in Applied Mathematical Modeling]] |publisher=[[Nova Science Publishers, Inc.]] |isbn=978-1-60021-976-4}}</ref>

विलुप्त डेटा के प्रकरण में, गैरेन ने अधिकतम संभावना अनुमानक निकाला है।<ref>{{cite journal |last=Garren |first=Steven T. |date=15 June 1998 |title=लापता डेटा के साथ एक द्विभाजित सामान्य मॉडल में सहसंबंध गुणांक का अधिकतम संभावना अनुमान|journal=Statistics & Probability Letters |volume=38 |issue=3 |pages=281–288 |doi=10.1016/S0167-7152(98)00035-2 }}</ref>

कुछ वितरण (उदाहरण के लिए, [[सामान्य वितरण]] के अलावा [[स्थिर वितरण]]) में परिभाषित भिन्नता नहीं होती है।

== गणितीय गुण ==
प्रतिदर्श और जनसंख्या दोनों के मान पियर्सन सहसंबंध गुणांक −1 और 1 के मध्य या उसके मध्य हैं। +1 या −1 के समान सहसंबंध एक रेखा (प्रतिदर्श सहसंबंध के प्रकरण में) पर स्थित डेटा बिंदुओं के अनुरूप होते हैं, या एक रेखा पर पूरी तरह से समर्थित द्विभाजित वितरण (जनसंख्या सहसंबंध के प्रकरण में) के अनुरूप होते हैं। पियर्सन सहसंबंध गुणांक corr(X,Y) = corr(Y,X) सममित है।

पियर्सन सहसंबंध गुणांक का एक प्रमुख गणितीय गुण है कि यह दो चरों में स्थान और मापक में अलग-अलग परिवर्तनों के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय अनुमानक|अपरिवर्तनीय]] है। अर्थात्, हम X को {{math|''a'' + ''bX''}} में बदल सकते हैं और Y को {{math|''c'' + ''dY''}} में रूपांतरित कर सकते हैं, जहां a, b, c और d, {{math|''b'', ''d'' > 0}} के साथ स्थिरांक हैं, सहसंबंध गुणांक को बदले बिना स्थिरांक हैं। (यह जनसंख्या और प्रतिदर्श पियर्सन सहसंबंध गुणांक दोनों के लिए है।) अधिक सामान्य रैखिक परिवर्तन सहसंबंध को बदलते हैं: {{section link||}} अनुप्रयोग के लिए n यादृच्छिक चर का सहसंबंध देखें।

== व्याख्या ==
सहसंबंध गुणांक -1 से 1 तक होता है। यथार्थत: 1 के निरपेक्ष मान का तात्पर्य है कि एक रैखिक समीकरण ''X'' और ''Y'' के मध्य संबंध का पूरी तरह से वर्णन करता है, जिसमें सभी डेटा बिंदु एक [[रेखा (गणित)]] पर होते हैं। सहसंबंध चिह्न [[प्रतिगमन ढलान|प्रतिगमन समतल]] द्वारा निर्धारित किया जाता है: +1 के मान का अर्थ है कि सभी डेटा बिंदु एक रेखा पर स्थित हैं जिसके लिए ''Y'' बढ़ता है क्योंकि ''X'' बढ़ता है, और इसके विपरीत -1 के लिए है।<ref name="STAT 462">{{cite web | title=2.6 - (Pearson) Correlation Coefficient r | website=STAT 462 | url=https://online.stat.psu.edu/stat462/node/96/ | access-date=2021-07-10}}</ref> 0 के मान का तात्पर्य है कि चरों के मध्य कोई रैखिक निर्भरता नहीं है।<ref>{{Cite web|title=Introductory Business Statistics: The Correlation Coefficient r|url=https://opentextbc.ca/introbusinessstatopenstax/chapter/the-correlation-coefficient-r/|access-date=21 August 2020|website=opentextbc.ca}}</ref>

सामान्यतः अधिक, {{math|(''X''<sub>''i''</sub> − {{overline|''X''}})(''Y''<sub>''i''</sub> − {{overline|''Y''}})}} धनात्मक है यदि और केवल यदि ''X<sub>i</sub>'' और ''Y<sub>i</sub>'' अपने संबंधित साधनों के एक ही तरफ सिद्ध होते हैं। इस प्रकार सहसंबंध गुणांक धनात्मक होता है यदि X<sub>''i''</sub> और ''Y<sub>i</sub>'' एक साथ अपने संबंधित साधनों से अधिक या एक साथ कम होते हैं। सहसंबंध गुणांक ऋणात्मक (सहसंबंध विरोधी) होता है यदि ''X<sub>i</sub>'' और ''Y<sub>i</sub>'' अपने संबंधित साधनों के विपरीत पक्ष में सिद्ध होते हैं। इसके अलावा, या तो प्रवृत्ति जितनी दृढ़ होती है, सहसंबंध गुणांक का निरपेक्ष मान उतना ही बृहत्तर होता है।

रोजर्स और नाइसवेंडर<ref>{{cite journal |author1=Rodgers |author2=Nicewander |year=1988  |title=सहसंबंध गुणांक को देखने के तेरह तरीके|journal=The American Statistician |volume=42 |issue=1 |pages=59–66 |url=https://www.stat.berkeley.edu/~rabbee/correlation.pdf |doi=10.2307/2685263 |jstor=2685263}}</ref> ने सहसंबंध या इसके सरल फलनों की व्याख्या करने के तेरह प्रकारो को सूचीबद्ध किया:
* मूल प्राप्‍तांक और साधनों का फलन 
* मानकीकृत सहप्रसरण
* प्रतिगमन रेखा का मानकीकृत ढलान
* दो प्रतिगमन ढलानों का ज्यामितीय माध्य
* दो भिन्नताओं के अनुपात का वर्गमूल
* मानकीकृत चरों का माध्य अन्योन्य गुणन
* दो मानकीकृत प्रतिगमन रेखाओं के मध्य कोण का फलन 
* दो चर सदिशों के मध्य कोण का फलन 
* मानकीकृत अंकों के मध्य अंतर का पुन: स्केल किया गया प्रसरण
* बैलून नियम से अनुमानित
* सम-सांद्रता के द्विभाजित दीर्घवृत्त से संबंधित
* उस विषय में किए गए प्रयोगों से परीक्षण सांख्यिकी का फलन
* दो का अनुपात माध्यम

=== ज्यामितीय व्याख्या ===
[[File:Regression lines.png|thumb|upright=1.5|{{math|1=''y'' = ''g''<sub>''X''</sub>(''x'')}}   [{{color|red|red}}] और {{math|1=''x'' = ''g''<sub>''Y''</sub>(''y'')}} [{{color|blue|blue}}] के लिए प्रतिक्रमण रेखा]]अकेंद्रित डेटा के लिए, सहसंबंध गुणांक और कोण ''φ'' के मध्य दो प्रतिगमन रेखाओं, {{nowrap|1=''y'' = ''g''<sub>''X''</sub>(''x'')}} और {{nowrap|1=''x'' = ''g''<sub>''Y''</sub>(''y'')}} के मध्य एक संबंध है, जो क्रमशः ''y'' पर x और ''x'' पर ''y'' को प्रतिगमन करके प्राप्त किया जाता है। (यहाँ, ''φ'' को रेखाओ के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर बनने वाले पहले चतुर्थांश के अंतर्गत वामावर्त मापा जाता है यदि {{math|''r'' > 0}}, या चौथे से दूसरे चतुर्थांश तक विपरीत दिशा में मापा जाता है यदि {{nowrap|''r'' < 0}} है) कोई यह दिखा सकता है<ref>{{cite journal |last=Schmid |first=John Jr. |title=सहसंबंध के गुणांक और प्रतिगमन रेखाओं के बीच शामिल कोण के बीच संबंध|journal=The Journal of Educational Research |date=December 1947 |volume=41 |issue=4 |pages=311–313 |jstor=27528906 |doi=10.1080/00220671.1947.10881608}}</ref> कि यदि मानक विचलन समान हैं, तब {{nowrap|1=''r'' = sec ''φ'' − tan ''φ''}}, जहाँ sec और tan [[त्रिकोणमितीय फलन]] हैं।

केंद्रित डेटा के लिए (अर्थात, डेटा जो उनके संबंधित चर के प्रतिदर्श माध्यम से स्थानांतरित कर दिया गया है ताकि प्रत्येक चर के लिए औसत शून्य हो), सहसंबंध गुणांक को ''N''-विमीय समष्टि में दो देखे गए सदिश के मध्य कोण θ के[[ कोज्या | कोज्या]] के रूप में भी देखा जा सकता है (प्रत्येक चर के ''N'' अवलोकनों के लिए)।<ref>{{cite web |last=Rummel |first=R.J. |title=सहसंबंध को समझना|year=1976 |url=http://www.hawaii.edu/powerkills/UC.HTM |at=ch. 5 (as illustrated for a special case in the next paragraph)}}</ref>

किसी डेटासमुच्चय के लिए अकेंद्रित (गैर-पियर्सन-अनुपालन) और केंद्रित सहसंबंध गुणांक दोनों निर्धारित किए जा सकते हैं। एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि पाँच देशों में क्रमशः 1, 2, 3, 5 और 8 बिलियन डॉलर के सकल राष्ट्रीय उत्पाद पाए जाते हैं। मान लीजिए इन्हीं पांच देशों में (इसी क्रम में) 11%, 12%, 13%, 15% और 18% गरीबी पाई जाती है। फिर '''x''' और '''y''' को उपरोक्त डेटा वाले 5-तत्व सदिश का आदेश: {{nowrap|1='''x''' = (1, 2, 3, 5, 8)}} और {{nowrap|1='''y''' = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18)}} है।

दो सदिशों ([[डॉट उत्पाद|बिंदु गुणनफल]] देखें) के मध्य कोण θ निर्धारण की सामान्य प्रक्रिया के अनुसार, ''अकेंद्रित'' सहसंबंध ''गुणांक'' है।

:<math> \cos \theta = \frac { \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} } { \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\|} = \frac {2.93} { \sqrt{103} \sqrt{0.0983} } = 0.920814711. </math>
यह अकेंद्रित सहसंबंध गुणांक [[कोसाइन समानता|कोज्या समानता]] के समान है। उपरोक्त डेटा को ध्यानपूर्वक पूरी तरह से सहसंबद्ध {{math|1=''y'' = 0.10 + 0.01 ''x''}} के लिए चयन किया गया था। पियर्सन सहसंबंध गुणांक इसलिए यथार्थत: एक होना चाहिए। डेटा को केंद्रित करना (x को {{math|1=ℰ('''x''') = 3.8}} और y को {{math|1=ℰ('''y''') = 0.138}} से स्थानांतरित करने पर {{math|1='''x''' = (−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2)}} और {{math|1='''y''' = (−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042)}} प्राप्त होता है, जिससे

:<math> \cos \theta = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}} {\left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\|} = \frac {0.308}{\sqrt{30.8}\sqrt{0.00308}} = 1 = \rho_{xy}, </math>
अपेक्षा के अनुरूप है।

=== सहसंबंध के आकार की व्याख्या ===
[[File:Pearson correlation and prediction intervals.svg|thumb|200px|right|<nowiki>यह आंकड़ा इस बात का बोध कराता है कि मूल्यों की भविष्यवाणी करने के लिए पियर्सन सहसंबंध की उपयोगिता इसके परिमाण के साथ कैसे भिन्न होती है। सह-संबंध ρ, 1−/1−p2 (यहां ρ के फलन के रूप में प्लॉट किया गया) के साथ संयुक्त रूप से सामान्य X, Y को देखते हुए, वह कारक है जिसके द्वारा Y के लिए दिए गए भविष्यवाणी अंतराल को X के संबंधित मान को कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि ρ = 0.5, तो Y|X का 95% पूर्वानुमान अंतराल, Y के 95% पूर्वानुमान अंतराल से लगभग 13% छोटा होता है।</nowiki>]]कई लेखकों ने सहसंबंध गुणांक की व्याख्या के लिए दिशा-निर्देश दिए हैं।<ref name="Buda">{{cite book |last1=Buda |first1=Andrzej |last2=Jarynowski |first2=Andrzej |title=जीवन काल का सहसंबंध और इसके अनुप्रयोग|date=December 2010 |publisher=Wydawnictwo Niezależne |isbn=9788391527290 |pages=5–21}}</ref><ref name="Cohen88"/> हालाँकि, ऐसे सभी मानदंड एक तरह से स्वेच्छाचारी हैं।<ref name="Cohen88">{{cite book |last=Cohen |first=J. |year=1988 |title=व्यवहार विज्ञान के लिए सांख्यिकीय शक्ति विश्लेषण|edition=2nd}}</ref> सहसंबंध गुणांक की व्याख्या संदर्भ और उद्देश्यों पर निर्भर करती है। 0.8 का सहसंबंध बहुत कम हो सकता है यदि कोई उच्च गुणवत्ता वाले उपकरणों का उपयोग करके भौतिक कानून की पुष्टि कर रहा है, लेकिन सामाजिक विज्ञानों में इसे बहुत अधिक माना जा सकता है, जहां जटिल कारकों से अधिक योगदान हो सकता है।

== अनुमान ==
पियर्सन के सहसंबंध गुणांक पर आधारित सांख्यिकीय निष्कर्ष प्रायः निम्नलिखित दो लक्ष्यों में से एक पर केंद्रित होता है:
* एक उद्देश्य [[शून्य परिकल्पना]] का परीक्षण करना है कि सही सहसंबंध गुणांक ''ρ'' 0 के समान है, जो प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक ''r'' के मान पर आधारित है।
* दूसरा उद्देश्य एक [[विश्वास अंतराल]] प्राप्त करना है, जिसमें पुनरावर्ती प्रतिरूप लेने पर ''ρ'' होने की संभावना है।
हम नीचे इनमें से एक या दोनों लक्ष्यों को प्राप्त करने के पद्धति पर विचार करते हैं।

=== क्रमपरिवर्तन परीक्षण का उपयोग करना ===
क्रमचय परीक्षण परिकल्पना परीक्षण करने और विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक सीधा दृष्टिकोण प्रदान करता हैं। पियर्सन के सहसंबंध गुणांक के लिए एक क्रमचय परीक्षण में निम्नलिखित दो चरण सम्मलित हैं:
# मूल युग्मित डेटा (''x<sub>i</sub>'', ''y<sub>i</sub>'') का उपयोग करके, एक नया डेटा समुच्चय (''x<sub>i</sub>'', ''y<sub>i</sub>'') बनाने के लिए जोड़े को यादृच्छिक रूप से फिर से परिभाषित करें, जहां ''i''<nowiki/>' समुच्चय {1,...,n} का क्रमचय है। क्रमचय ''i''<nowiki/>' को यादृच्छिक रूप से चयन किया गया है, जिसमें सभी ''n''! संभावित क्रमपरिवर्तनों पर समान संभावनाएँ रखी गई हैं। यह समुच्चय {1, ..., n} से प्रतिस्थापन के बिना ''i''<nowiki/>' को यादृच्छिक रूप से रेखाचित्र के समान है। [[बूटस्ट्रैपिंग (सांख्यिकी)]] में, एक निकट से संबंधित दृष्टिकोण, ''i'' और ''i''<nowiki/>' समान हैं और {1, ..., n} से प्रतिस्थापन के साथ विकृत किए गए हैं;
# यादृच्छिक डेटा से एक सहसंबंध गुणांक ''r'' का निर्माण करें।
क्रमचय परीक्षण करने के लिए, चरण (1) और (2) को बड़ी संख्या में दोहराते हैं। क्रमचय परीक्षण के लिए ''p''-मान चरण (2) में उत्पन्न ''r'' मानों का अनुपात है जो पियर्सन सहसंबंध गुणांक से बड़ा है जिसकी गणना मूल डेटा से की गई थी। यहां <nowiki>''</nowiki>बृहत्तर<nowiki>''</nowiki> का अर्थ या तो यह हो सकता है कि मूल्य परिमाण में बड़ा है, या हस्ताक्षरित मूल्य में बड़ा है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि दो तरफा या एक तरफा परीक्षण वांछित है या नहीं है।

=== बूटस्ट्रैप का उपयोग ===
पियर्सन के सहसंबंध गुणांक के लिए विश्वास्यता अंतराल बनाने के लिए बूटस्ट्रैपिंग (सांख्यिकी) का उपयोग किया जा सकता है। <nowiki>''अप्राचल''</nowiki> बूटस्ट्रैप में, ''n'' जोड़े (''x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>'') को ''n'' जोड़े के देखे गए समुच्चय से <nowiki>''</nowiki>प्रतिस्थापन के साथ<nowiki>''</nowiki> पुनः प्रतिचयन किया जाता है, और सहसंबंध गुणांक ''r'' की गणना पुन: प्रतिदर्श डेटा के आधार पर की जाती है। इस प्रक्रिया को बड़ी संख्या में बार-बार दोहराया जाता है, और पुनरुत्पादित ''r'' मानों के अनुभवजन्य वितरण का उपयोग सांख्यिकी के प्रतिदर्शकरण वितरण को अनुमानित करने के लिए किया जाता है। ''ρ'' के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल को पुनः प्रतिचयन किए गए ''r'' मानों के 2.5वें से 97.5वें [[ प्रतिशतता |प्रतिशतता]] तक विस्तरित अंतराल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

=== मानक त्रुटि ===
अगर <math>x</math> और <math>y</math> यादृच्छिक चर हैं, अशक्त प्रकरण में सहसंबंध से जुड़ी एक [[मानक त्रुटि]] है।

:<math>\sigma_r = \sqrt{\frac{1-r^2}{n-2}}</math>
जहाँ <math>r</math> सहसंबंध (मान लिया गया है कि ''r''≈0) और <math>n</math> प्रतिदर्श आकार है।<ref>{{Cite journal|last=Bowley|first=A. L.|date=1928|title=सहसंबंध गुणांक का मानक विचलन|url=https://www.jstor.org/stable/2277400|journal=Journal of the American Statistical Association|volume=23|issue=161|pages=31–34|doi=10.2307/2277400|jstor=2277400|issn=0162-1459}}</ref><ref>{{Cite web|title=पियर्सन के सहसंबंध गुणांक के लिए मानक त्रुटि की व्युत्पत्ति|url=https://stats.stackexchange.com/questions/226380/derivation-of-the-standard-error-for-pearsons-correlation-coefficient|access-date=2021-07-30|website=Cross Validated}}</ref>
===छात्र के ''t''-वितरण का प्रयोग करके परीक्षण===
[[File:Critical correlation vs. sample size.svg|thumb|324x324px|पियर्सन के सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मान जिन्हें 0.05 के स्तर पर महत्वपूर्ण रूप से अशून्य माना जाना चाहिए।]]एक असंबद्ध [[द्विभाजित सामान्य वितरण]] से जोड़े के लिए, छात्रकृत पियर्सन के सहसंबंध गुणांक का प्रतिदर्श वितरण स्वतंत्रता की डिग्री ''n'' − 2 के साथ छात्र के ''t''-वितरण का अनुसरण करता है। विशेष रूप से, यदि अंतर्निहित चर में द्विभाजित सामान्य वितरण है, तो चर

:<math>t = \frac{r}{\sigma_r} = r\sqrt{\frac{n-2}{1 - r^2}}</math>
शून्य कारक (शून्य सहसंबंध) में एक छात्र का ''t-''वितरण है।<ref>Rahman, N. A. (1968) ''A Course in Theoretical Statistics'', Charles Griffin and Company, 1968</ref> यदि प्रतिदर्श आकार अधिक बड़ा है तो अपसामान्य देखे गए मानों के प्रकरण में यह लगभग रहता है।<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1973) ''The Advanced Theory of Statistics, Volume 2: Inference and Relationship'', Griffin. {{isbn|0-85264-215-6}} (Section 31.19)</ref> ''r'' के महत्वपूर्ण मानों को निर्धारित करने के लिए प्रतिलोम फलन की आवश्यकता होती है:

:<math>r = \frac{t}{\sqrt{n - 2 + t^2}}.</math>
वैकल्पिक रूप से, बृहत्प्रतिदर्श, स्पर्शोन्मुख दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है।

एक और अग्रिम दस्तावेज़<ref>{{cite journal |last1=Soper |first1=H.E. |author-link=H. E. Soper |last2=Young |first2=A.W. |last3=Cave |first3=B.M. |last4=Lee |first4=A. |last5=Pearson |first5=K. |year=1917 |title=छोटे नमूनों में सहसंबंध गुणांक के वितरण पर। परिशिष्ट II "छात्र" और आर.ए. के कागजात के लिए। फिशर। एक सहकारी अध्ययन|url=https://zenodo.org/record/1431587 |journal=[[Biometrika]] |volume=11 |issue=4 |pages=328–413 |doi=10.1093/biomet/11.4.328}}</ref> लघु प्रतिदर्श आकारों के लिए ''ρ'' के सामान्य मूल्यों के लिए आलेख और सूची प्रदान करते है, और संगणनात्मक दृष्टिकोण पर वर्णन करते है।

ऐसे प्रकरण में जहां अंतर्निहित चर सामान्य नहीं हैं, पियर्सन के सहसंबंध गुणांक का प्रतिदर्श वितरण छात्र के ''t''-वितरण का अनुसरण करता है, लेकिन स्वतंत्रता की डिग्री कम हो जाती है।<ref>{{cite journal |last1=Davey |first1=Catherine E. |last2=Grayden |first2=David B. |last3=Egan |first3=Gary F. |last4=Johnston |first4=Leigh A. |title=फ़िल्टरिंग fMRI आराम करने वाले राज्य डेटा में सहसंबंध को प्रेरित करता है|journal=NeuroImage |date=January 2013 |volume=64 |pages=728–740 |doi=10.1016/j.neuroimage.2012.08.022 |pmid=22939874 |hdl=11343/44035 |s2cid=207184701 |hdl-access=free }}</ref>
===यथार्थ वितरण का प्रयोग ===
द्विभाजित सामान्य वितरण का अनुसरण करने वाले डेटा के लिए, सामान्य द्विचर के प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक ''r'' के लिए यथार्थ घनत्व फलन ''f(r)'' है।<ref>{{cite journal |last1=Hotelling |first1=Harold |title=सहसंबंध गुणांक और उसके परिवर्तन पर नई रोशनी|journal=Journal of the Royal Statistical Society |series=Series B (Methodological) |date=1953 |volume=15 |issue=2 |pages=193–232 |jstor=2983768 |doi=10.1111/j.2517-6161.1953.tb00135.x }}</ref><ref>{{cite book |author1=Kenney, J.F. |author2=Keeping, E.S. |title=सांख्यिकी का गणित|volume=Part 2 |edition=2nd |place=Princeton, NJ |publisher=Van Nostrand |year=1951}}</ref><ref>{{cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution.html |title=Correlation Coefficient—Bivariate Normal Distribution |first=Eric W. |last=Weisstein |website=mathworld.wolfram.com}}</ref>
:<math>f(r) = \frac{(n - 2)\, \mathrm{\Gamma}(n - 1) \left(1 - \rho^2\right)^{\frac{n - 1}{2}} \left(1 - r^2\right)^{\frac{n - 4}{2}}}{\sqrt{2\pi}\, \operatorname{\Gamma}\mathord\left(n - \tfrac{1}{2}\right) (1 - \rho r)^{n - \frac{3}{2}}} {}_{2}\mathrm{F}_{1}\mathord\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{1}{2}(2n - 1); \tfrac{1}{2}(\rho r + 1)\right)</math>
जहाँ <math>\Gamma</math> [[गामा समारोह|गामा फलन]] है और <math>{}_{2}\mathrm{F}_{1}(a,b;c;z)</math> गौसीय अतिज्यामितीय फलन है।

विशेष प्रकरण में जब <math>\rho = 0</math> (शून्य जनसंख्या सहसंबंध), यथार्थ घनत्व फलन ''f(r)'' के रूप में लिखा जा सकता है।

:<math>f(r) = \frac{\left(1 - r^2\right)^{\frac{n - 4}{2}}}{\Beta\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}(n - 2)\right)},</math>
जहाँ <math>\Beta</math> [[बीटा समारोह|बीटा फलन]] है, जो ऊपर बताए अनुसार छात्र के ''t-''वितरण के घनत्व को लिखने का एक प्रकार है।

====यथार्थ विश्वास्यता वितरण का उपयोग करना====
विश्वास्यता वितरण और परीक्षण की गणना[[ विश्वास वितरण ]]से की जा सकती है। ''ρ'' के लिए एक यथार्थ आत्मविश्वास घनत्व है।<ref>{{Cite journal|last=Taraldsen|first=Gunnar|date=2020|title=सहसंबंध में विश्वास|url=http://rgdoi.net/10.13140/RG.2.2.23673.49769 |language=en|doi=10.13140/RG.2.2.23673.49769}}</ref>

<math display="block">
  \pi(\rho \mid r) =
  \frac{\nu(\nu - 1)\Gamma(\nu - 1)}
       {\sqrt{2\pi}\Gamma\left(\nu + \frac{1}{2}\right)}
     \left(1 - r^2\right)^{\frac{\nu - 1}{2}} \cdot
     \left(1 - \rho^2\right)^{\frac{\nu - 2}{2}} \cdot
     \left(1 - r \rho\right)^{\frac{1 - 2\nu}{2}} \operatorname{F}\left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}; \nu + \tfrac{1}{2}; \tfrac{1 + r \rho}{2}\right)
</math>
जहाँ <math>\operatorname{F}</math> गॉसियन अतिज्यामितीय फलन और <math>\nu = n - 1 > 1</math> है।

===फिशर परिवर्तन का उपयोग ===
{{main|फिशर परिवर्तन}}

व्यवहार में, [[विश्वास अंतराल|विश्वास्यता अंतराल]] और ρ से संबंधित [[परिकल्पना परीक्षण]] सामान्यतः [[फिशर परिवर्तन]], <math>F</math> का उपयोग करके किया जाता है:

:<math>F(r) \equiv \tfrac{1}{2} \, \ln \left(\frac{1 + r}{1 - r}\right) = \operatorname{artanh}(r)</math>
''F''(''r'') लगभग एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है

:<math>\text{mean} = F(\rho) = \operatorname{artanh}(\rho)</math>{{spaces|4}}और मानक त्रुटि <math>=\text{SE} = \frac{1}{\sqrt{n - 3}},</math>
जहाँ ''n'' प्रतिदर्श आकार है। बृहत्प्रतिदर्श आकार <math>n</math> और लघु <math>r</math> और <math>\rho_0</math> के लिए सन्निकटन त्रुटि सबसे कम है और अन्यथा बढ़ जाती है।

सन्निकटन का उपयोग करते हुए, एक z-प्राप्तांक है

:<math>z = \frac{x - \text{mean}}{\text{SE}} = [F(r) - F(\rho_0)]\sqrt{n - 3}</math>
शून्य परिकल्पना के अंतर्गत <math>\rho = \rho_0</math>, यह मानते हुए कि प्रतिदर्श जोड़े [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] हैं और द्विभाजित सामान्य वितरण का अनुसरण करते हैं। इस प्रकार एक सामान्य प्रायिकता सूची से एक अनुमानित ''p''-मान प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि ''z'' = 2.2 देखा जाता है और शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए द्विपक्षी ''p''-मान वांछित है कि <math>\rho = 0</math>, p-मान {{nowrap|1=2&thinsp;Φ(−2.2) = 0.028}} है, जहां Φ मानक सामान्य संचयी वितरण फलन है।

ρ के लिए एक विश्वास्यता अंतराल प्राप्त करने के लिए, हम पहले ''F(<math>\rho</math>)'' के लिए एक विश्वास्यता अंतराल की गणना करते हैं:

:<math>100(1 - \alpha)\%\text{CI}: \operatorname{artanh}(\rho) \in [\operatorname{artanh}(r) \pm z_{\alpha/2}\text{SE}]</math>
व्युत्क्रम फिशर परिवर्तन अंतराल को सहसंबंध पैमाने पर वापस लाता है।

:<math>100(1 - \alpha)\%\text{CI}: \rho \in [\tanh(\operatorname{artanh}(r) - z_{\alpha/2}\text{SE}), \tanh(\operatorname{artanh}(r) + z_{\alpha/2}\text{SE})]</math>
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम ''r'' = 0.7 को ''n'' = 50 के प्रतिरूप के आकार के साथ देखते हैं, और हम ρ के लिए 95% विश्वास अंतराल प्राप्त करना चाहते हैं। रूपांतरित मान arctanh(r) = 0.8673 है, इसलिए रूपांतरित पैमाने पर विश्वास अंतराल 0.8673 ± 1.96/{{radic|47}}, या (0.5814, 1.1532) है। सहसंबंध पैमाने की यील्ड में वापस परिवर्तित करना (0.5237, 0.8188) है।

== कम से कम वर्गों में प्रतिगमन विश्लेषण ==
{{For|अधिक सामान्य, गैर-रैखिक निर्भरता|निर्धारण का गुणांक# एक गैर-सरल रैखिक निदर्श में}}

प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक के वर्ग को सामान्यतः ''r<sup>2</sup>'' निरूपित किया जाता है और निर्धारण के गुणांक का एक विशेष प्रकरण है। इस प्रकरण में, यह Y में भिन्नता के अंश का अनुमान लगाता है जिसे ''X'' द्वारा सरल रैखिक प्रतिगमन में समझाया गया है। इसलिए यदि हमारे पास देखे गए डेटासमुच्चय <math>Y_1, \dots , Y_n</math> और उपयुक्त किए गए डेटासमुच्चय <math>\hat Y_1, \dots , \hat Y_n</math> हैं, तो प्रारंभिक बिंदु के रूप में उनके औसत मूल्य के आसपास Y<sub>''i''</sub> में कुल भिन्नता को निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है।

:<math>\sum_i (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum_i (Y_i-\hat{Y}_i)^2 + \sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2,</math>
जहां <math>\hat{Y}_i</math> प्रतिगमन विश्लेषण से उपयुक्त किए गए मान हैं। इसे देने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

:<math>1 = \frac{\sum_i (Y_i-\hat{Y}_i)^2}{\sum_i (Y_i - \bar{Y})^2} + \frac{\sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}{\sum_i (Y_i - \bar{Y})^2}.</math>
उपरोक्त दो सारांश ''Y'' में भिन्नता का अंश है जिसे ''X'' (दाएं) द्वारा समझाया गया है और जो ''X'' (बाएं) द्वारा अस्पष्टीकृत है।

इसके बाद, हम कम से कम वर्ग प्रतिगमन प्रतिरूप का एक गुण उपयोजित करते हैं, जो  <math>\hat{Y}_i</math> और <math>Y_i-\hat{Y}_i</math> के मध्य प्रतिदर्श सहप्रसरण शून्य है। इस प्रकार, प्रतिगमन में देखे गए और उपयुक्त प्रतिक्रिया मूल्यों के मध्य प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक लिखा जा सकता है (गणना अपेक्षा के अधीन है, गॉसियन सांख्यिकी मानती है)

:<math>
\begin{align}
r(Y,\hat{Y}) &= \frac{\sum_i(Y_i-\bar{Y})(\hat{Y}_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \frac{\sum_i(Y_i-\hat{Y}_i+\hat{Y}_i-\bar{Y})(\hat{Y}_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \frac{ \sum_i [(Y_i-\hat{Y}_i)(\hat{Y}_i-\bar{Y}) +(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2 ]}{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \frac{ \sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2 }{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \sqrt{\frac{\sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2}}.
\end{align}
</math>
इस प्रकार

:<math>r(Y,\hat{Y})^2 = \frac{\sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2}</math>
जहाँ <math>r(Y,\hat{Y})^2</math> ''Y'' में प्रसरण का अनुपात है, जिसे ''X'' के रैखिक फलन द्वारा समझाया गया है।

उपरोक्त व्युत्पत्ति में, तथ्य यह है कि
:<math>\sum_i (Y_i-\hat{Y}_i)(\hat{Y}_i-\bar{Y}) = 0</math>
यह देख कर सिद्ध किया जा सकता है कि ''β<sub>0</sub>'' और ''β<sub>1</sub>'' से अधिक वर्गों के अवशिष्ट योग ({{math|RSS}}) का आंशिक अवकलज सबसे कम से कम वर्ग प्रतिरूप में 0 के समान हैं, जहां
:<math>\text{RSS} = \sum_i (Y_i - \hat{Y}_i)^2</math>.

अंत में, समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

:<math>r(Y,\hat{Y})^2 = \frac{\text{SS}_\text{reg}}{\text{SS}_\text{tot}}</math>
जहां
*<math>\text{SS}_\text{reg} = \sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2</math>
*<math>\text{SS}_\text{tot} = \sum_i (Y_i-\bar{Y})^2</math>.
प्रतीक <math>\text{SS}_\text{reg}</math> को वर्गों का प्रतिगमन योग कहा जाता है, जिसे वर्गों का स्पष्ट योग भी कहा जाता है, और <math>\text{SS}_\text{tot}</math> [[वर्गों का कुल योग]] है (डेटा के प्रसरण के अनुपात में)।

== डेटा वितरण के प्रति सुग्राहिता ==
{{Further|संबंध और निर्भरता # डेटा वितरण के प्रति सुग्राहिता }}

=== अस्तित्व ===
जनसंख्या पियर्सन सहसंबंध गुणांक को आघूर्ण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, और इसलिए किसी भी द्विभाजित संभाव्यता वितरण के लिए उपस्तिथ है जिसके लिए सांख्यिकीय जनसंख्या सहप्रसरण परिभाषित किया गया है और [[सीमांत वितरण|सीमांत]] जनसंख्या प्रसरण परिभाषित और शून्येतर हैं। कुछ संभाव्यता वितरण, जैसे कौशी वितरण में अपरिभाषित प्रसरण है और इसलिए ''ρ'' परिभाषित नहीं है यदि ''X'' या ''Y'' ऐसे वितरण का अनुसरण करते है। कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, जैसे कि भारी-पुच्छल वाले वितरण का अनुसरण करने के संदेह वाले डेटा को सम्मलित करना, यह एक महत्वपूर्ण विचार है। हालाँकि, सहसंबंध गुणांक का अस्तित्व सामान्यतः चिंता का विषय नहीं है; उदाहरण के लिए, यदि वितरण की सीमा परिबद्ध है, तो ''ρ'' हमेशा परिभाषित होता है।

=== प्रतिदर्श आकार ===
*यदि प्रतिदर्श आकार मध्यम या बड़ा है और जनसंख्या सामान्य है, तो द्विचर सामान्य वितरण के प्रकरण में, प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक जनसंख्या सहसंबंध गुणांक का [[अधिकतम संभावना अनुमान]] है, और विषम रूप से निष्पक्ष और सक्षम है, जिसका स्थूलतः अर्थ है कि प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक की तुलना में अधिक यथार्थ अनुमान बनाना असंभव है।
*यदि प्रतिदर्श आकार बड़ा है और जनसंख्या सामान्य नहीं है, तो प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक लगभग निष्पक्ष रहता है, लेकिन सक्षम नहीं हो सकता है।
*यदि प्रतिदर्श आकार बड़ा है, तो प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक जनसंख्या सहसंबंध गुणांक का एक सुसंगत अनुमानक है, जब तक कि प्रतिदर्श साधन, प्रसरण, और सहप्रसरण सुसंगत हैं (जो बड़ी संख्या के विधि को उपयोजित किए जाने पर गारंटीकृत है)।
*यदि प्रतिदर्श आकार छोटा है, तो प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक ''r ρ'' का निष्पक्ष अनुमान नहीं है।<ref name="RealCorBasic"/>इसके बदले समायोजित सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाना चाहिए: परिभाषा के लिए इस आलेख में कहीं और देखें।
*प्रतिदर्श में प्रसरण त्रुटि होने पर असंतुलित [[द्विबीजपत्री चर|द्विभाजी]] डेटा के लिए सहसंबंध भिन्न हो सकते हैं।<ref>{{cite journal |last1=Lai |first1=Chun Sing |last2=Tao |first2=Yingshan |last3=Xu |first3=Fangyuan |last4=Ng |first4=Wing W.Y. |last5=Jia |first5=Youwei |last6=Yuan |first6=Haoliang |last7=Huang |first7=Chao |last8=Lai |first8=Loi Lei |last9=Xu |first9=Zhao |last10=Locatelli |first10=Giorgio |title=अनिश्चितता के साथ असंतुलित और द्विबीजपत्री डेटा के लिए एक मजबूत सहसंबंध विश्लेषण ढांचा|journal=Information Sciences |date=January 2019 |volume=470 |pages=58–77 |doi=10.1016/j.ins.2018.08.017 |s2cid=52878443 |url=http://eprints.whiterose.ac.uk/134706/2/ELSEVI_3.pdf }}</ref>
=== पृष्टता ===
सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले अनेक सांख्यिकी की तरह, प्रतिदर्श सांख्यिकी r पृष्टता नहीं है,<ref name="wilcox">{{Cite book| title=मजबूत अनुमान और परिकल्पना परीक्षण का परिचय| last = Wilcox | first = Rand R. | publisher= Academic Press | year=2005}}</ref> इसलिए यदि [[ग़ैर|पुरांतःशायी]] उपस्तिथ हैं तो इसका मान भ्रामक हो सकता है।<ref>{{Cite journal |title=सहसंबंध गुणांक के साथ मजबूत अनुमान और बाहरी पहचान|author1=Devlin, Susan J. |author1-link=Susan J. Devlin |author2=Gnanadesikan, R. |author3=Kettenring J.R. |journal=Biometrika |volume=62 |issue=3 |year=1975 |pages=531–545 |doi=10.1093/biomet/62.3.531 |jstor=2335508}}</ref><ref>{{Cite book| title=मजबूत सांख्यिकी| last = Huber | first = Peter. J.| publisher= Wiley | year=2004}}{{Page needed|date=September 2010}}</ref> विशेष रूप से, पीएमसीसी न तो वितरण की दृष्टि से पृष्टता है,{{Citation needed|date=November 2009}} और न ही बाहरी प्रतिरोधी है<ref name="wilcox"/>(देखना {{section link| सुदृढ़ सांख्यिकी #परिभाषा देखें}})। ''X'' और ''Y'' के मध्य[[ स्कैटर प्लॉट | प्रकीर्ण प्लॉट]] का निरीक्षण सामान्यतः ऐसी स्थिति प्रकट करेगा जहां पृष्टता की कमी एक परिणाम हो सकता है, और ऐसे प्रकरणों में संयोजन के एक पुष्ट मापक का उपयोग करने की सलाह दी जा सकती है। हालांकि ध्यान दें कि संयोजन के सबसे पुष्ट अनुमानक किसी तरह से [[सांख्यिकीय निर्भरता]] को मापते हैं, वे सामान्यतः पियर्सन सहसंबंध गुणांक के समान पैमाने पर व्याख्या करने योग्य नहीं होते हैं।

पियर्सन के सहसंबंध गुणांक के लिए सांख्यिकीय निष्कर्ष डेटा वितरण के प्रति संवेदनशील है। यदि डेटा लगभग सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, लेकिन फ़िशर परिवर्तन पर आधारित यथार्थ परीक्षण और स्पर्शोन्मुख परीक्षण उपयोजित किए जा सकते हैं, लेकिन अन्यथा भ्रामक हो सकते हैं। कुछ स्थितियों में, बूटस्ट्रैपिंग (सांख्यिकी) को विश्वास्यता वितरण बनाने के लिए उपयोजित किया जा सकता है, और परिकल्पना परीक्षण करने के लिए क्रमचय परीक्षण उपयोजित किए जा सकते हैं। ये अप्राचल दृष्टिकोण कुछ स्थितियों में अधिक सार्थक परिणाम दे सकते हैं जहाँ द्विभाजित सामान्यता नहीं होती है। हालांकि इन दृष्टिकोणों के मानक संस्करण डेटा की [[विनिमेय यादृच्छिक चर|विनिमेयता]] पर निर्भर करते हैं, जिसका अर्थ है कि विश्लेषण किए जा रहे डेटा जोड़े का कोई क्रम या समूहीकरण नहीं है जो सहसंबंध अनुमान के व्यवहार को प्रभावित कर सकता है।

एक स्तरीकृत विश्लेषण या तो द्विभाजित सामान्यता की कमी को समायोजित करने का एक प्रकार है, या दूसरे के लिए नियंत्रण करते समय एक कारक से उत्पन्न सहसंबंध को अलग करना है। यदि ''W'' समूह सदस्यता या किसी अन्य कारक का प्रतिनिधित्व करता है जिसे नियंत्रित करना वांछनीय है, तो हम ''W'' के मान के आधार पर डेटा को स्तरीकृत कर सकते हैं, फिर प्रत्येक स्तर के अंतर्गत एक सहसंबंध गुणांक की गणना कर सकते हैं। ''W'' के लिए नियंत्रण करते समय समग्र सहसंबंध का अनुमान लगाने के लिए स्ट्रैटम-स्तर के अनुमानों को जोड़ा जा सकता है।<ref>Katz., Mitchell H. (2006) ''Multivariable Analysis – A Practical Guide for Clinicians''. 2nd Edition.  Cambridge University Press. {{isbn|978-0-521-54985-1}}. {{isbn|0-521-54985-X}}</ref>
== परिवर्तन ==
{{See also|सहसंबंध और निर्भरता#यादृच्छिक चर के मध्य निर्भरता के अन्य उपाय}}

सहसंबंध गुणांक की विविधताओं की गणना विभिन्न उद्देश्यों के लिए की जा सकती है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

=== समायोजित सहसंबंध गुणांक ===
प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक {{mvar|r}} {{mvar|ρ}} का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। द्विभाजित सामान्य वितरण के बाद आने वाले डेटा के लिए, एक सामान्य द्विचर के प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक ''r'' के लिए अपेक्षा {{math|E[''r'']}} हैं।<ref>{{Cite journal | first = H. | last = Hotelling | year = 1953 | title = सहसंबंध गुणांक और उसके परिवर्तन पर नई रोशनी| journal = Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) | volume = 15 | issue = 2 | pages = 193–232 | jstor = 2983768| doi = 10.1111/j.2517-6161.1953.tb00135.x }}</ref>
:<math>\operatorname\mathbb{E}\left[r\right] = \rho - \frac{\rho \left(1 - \rho^2\right)}{2n} + \cdots, \quad</math> इसलिए {{mvar|r}} <math>\rho</math> का एक पक्षपाती अनुमानक है। 
अद्वितीय न्यूनतम भिन्नता निष्पक्ष अनुमानक {{math|''r''<sub>adj</sub>}} द्वारा दिया गया है।<ref>{{Cite journal | first=Ingram | last=Olkin |author2=Pratt,John W.  |date=March 1958  | title=कुछ सहसंबंध गुणांकों का निष्पक्ष अनुमान| journal=The Annals of Mathematical Statistics | volume=29| issue=1 | pages=201–211 | jstor=2237306 | doi=10.1214/aoms/1177706717| doi-access=free }}.</ref>

{{NumBlk|:|<math> r_\text{adj} = r \, \mathbf{_2F_1}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; \frac{n - 1}{2}; 1 - r^2\right),</math>|{{EquationRef|1}}}}

जहाँ:
*<math>r, n</math> को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है,
*<math>\mathbf{_2 F_1}(a, b; c; z)</math> गाऊसी अतिज्यामितीय फलन है।

एक लगभग निष्पक्ष अनुमानक {{math|''r''<sub>adj</sub>}} को {{math|E[''r'']}} छोटा करके{{citation needed|date=April 2012}} और इस संक्षिप्त समीकरण का समाधान करके प्राप्त किया जा सकता है:

{{NumBlk|:|<math> r = \operatorname\mathbb{E}[r] \approx r_\text{adj} - \frac{r_\text{adj} \left(1 - r_\text{adj}^2\right)}{2n}.</math>|{{EquationRef|2}}}}

समीकरण ({{EquationNote|2}}) का एक अनुमानित समाधान{{citation needed|date=April 2012}} है

{{NumBlk|:|<math> r_\text{adj} \approx r \left[1 + \frac{1 - r^2}{2n}\right],</math>|{{EquationRef|3}}}}

जहाँ ({{EquationNote|3}}) में
*<math>r, n</math> को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है,
*{{math|''r''<sub>adj</sub>}} एक उपइष्टतम अनुमानक है,{{citation needed|date=April 2012}}{{clarify|date=February 2015| reason=suboptimal in what sense?}}
*log(''f''(''r'')) को अधिकतम करके {{math|''r''<sub>adj</sub>}} भी प्राप्त किया जा सकता है,
*{{mvar|n}} के बड़े मानों के लिए {{math|''r''<sub>adj</sub>}} का न्यूनतम प्रसरण है,
*{{math|''r''<sub>adj</sub>}} का बायस अनुक्रम {{math|{{frac|1|(''n'' − 1)}}}} है।

एक अन्य प्रस्तावित<ref name="RealCorBasic"/>समायोजित सहसंबंध गुणांक है{{citation needed|date=February 2015|reason=is this in a published article?}}

:<math>r_\text{adj}=\sqrt{1-\frac{(1-r^2)(n-1)}{(n-2)}}.</math>

{{math|''r''<sub>adj</sub> ≈ ''r''}} {{mvar|n}} के बृहत मूल्यों के लिए।

=== भारित सहसंबंध गुणांक ===
मान लीजिए कि सहसंबद्ध होने वाली कथन में अलग-अलग डिग्री के महत्व होते हैं जिन्हें महत्व सदिश ''w'' के साथ व्यक्त किया जा सकता है। सदिश ''x'' और ''y'' के मध्य महत्व सदिश ''w'' (सभी लंबाई ''n'') के साथ सहसंबंध की गणना करने के लिए,<ref>{{cite web|url=http://sci.tech-archive.net/Archive/sci.stat.math/2006-02/msg00171.html|title=Re: Compute a weighted correlation|website=sci.tech-archive.net}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/20846-weighted-correlation-matrix|title=Weighted Correlation Matrix – File Exchange – MATLAB Central}}</ref>
* भारित माध्य: <math display="block">\operatorname{m}(x; w) = \frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i}.</math>
* भारित सहप्रसरण <math display="block">\operatorname{cov}(x,y;w) = \frac{\sum_i w_i \cdot (x_i - \operatorname{m}(x; w)) (y_i - \operatorname{m}(y; w))}{\sum_i w_i }.</math>
* भारित सहसंबंध <math display="block">\operatorname{corr}(x,y;w) = \frac{\operatorname{cov}(x,y;w)}{\sqrt{\operatorname{cov}(x,x;w) \operatorname{cov}(y,y;w)}}.</math>
===परावर्तक सहसंबंध गुणांक===
परावर्तक सहसंबंध पियर्सन के सहसंबंध का एक प्रकार है जिसमें डेटा उनके औसत मूल्यों के आसपास केंद्रित नहीं होता हैं।{{citation needed|date=January 2011}} जनसंख्या परावर्तक सहसंबंध है

:<math>\operatorname{corr}_r(X,Y) = \frac{\operatorname\mathbb{E}[\,X\,Y\,]}{\sqrt{\operatorname\mathbb{E}[\,X^2\,]\cdot \operatorname\mathbb{E}[\,Y^2\,]}}.</math>
परावर्तक सहसंबंध सममित है, लेकिन यह अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है:

:<math>\operatorname{corr}_r(X, Y) = \operatorname{corr}_r(Y, X) = \operatorname{corr}_r(X, bY) \neq \operatorname{corr}_r(X, a + b Y), \quad a \neq 0, b > 0.</math>
प्रतिदर्श परावर्तक सहसंबंध कोज्या समानता के समान है:

:<math>rr_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{\sqrt{(\sum x_i^2)(\sum y_i^2)}}.</math>
प्रतिदर्श परावर्तक सहसंबंध का भारित संस्करण है

:<math>rr_{xy, w} = \frac{\sum w_i x_i y_i}{\sqrt{(\sum w_i x_i^2)(\sum w_i y_i^2)}}.</math>
=== स्केल्ड सहसंबंध गुणांक ===
{{Main|स्केल सहसंबंध}}

स्केल्ड सहसंबंध पियर्सन के सहसंबंध का एक रूप है जिसमें समय श्रृंखला में तेजी से घटकों के मध्य सहसंबंधों को प्रकट करने के लिए डेटा की सीमा अभिप्राय और नियंत्रित प्रकार से प्रतिबंधित है।<ref name = "Nikolicetal">{{cite journal | last1 = Nikolić | first1 = D | last2 = Muresan | first2 = RC | last3 = Feng | first3 = W | last4 = Singer | first4 = W | year = 2012 | title = Scaled correlation analysis: a better way to compute a cross-correlogram | url = http://www.danko-nikolic.com/wp-content/uploads/2012/03/Scaled-correlation-analysis.pdf | journal = European Journal of Neuroscience | volume =  35| issue = 5| pages = 1–21 | doi = 10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x | pmid = 22324876 | s2cid = 4694570 }}</ref> स्केल्ड सहसंबंध को डेटा के छोटे खंडों में औसत सहसंबंध के रूप में परिभाषित किया गया है।

<math>K</math> को उन खंडों की संख्या होने दें जो किसी दिए गए पैमाने <math>s</math> के लिए सिग्नल <math>T</math> की कुल लंबाई में उपयुक्त हो सकते हैं:

:<math>K = \operatorname{round}\left(\frac{T}{s}\right).</math>
पूरे सिग्नल <math>\bar{r}_s</math> में स्केल किए गए सहसंबंध की गणना तब की जाती है

:<math>\bar{r}_s = \frac{1}{K} \sum\limits_{k=1}^K r_k,</math>
जहाँ <math>r_k</math> खंड <math>k</math> के लिए पियर्सन का सहसंबंध गुणांक है।

पैरामीटर <math>s</math> का चयन करके, मूल्यों की सीमा कम हो जाती है और लंबे समय के पैमाने पर सहसंबंधों को फ़िल्टर कर दिया जाता है, केवल कम समय के पैमाने पर सहसंबंधों का पता चलता है। इस प्रकार, मंदघटक के योगदान को अलग कर दिया जाता है और तीव्र घटक के योगदान को प्रतिधारित रखा जाता है।

=== पियर्सन की दूरी ===
''पियर्सन की दूरी'' के रूप में ज्ञात दो चर ''X'' और ''Y'' के लिए एक दूरी मापीय को उनके सहसंबंध गुणांक से परिभाषित किया जा सकता है।<ref>Fulekar (Ed.), M.H. (2009) ''Bioinformatics: Applications in Life and Environmental Sciences'', Springer (pp. 110) {{isbn|1-4020-8879-5}}</ref>
:<math>d_{X,Y}=1-\rho_{X,Y}.</math>
यह मानते हुए कि पियर्सन सहसंबंध गुणांक [−1, +1] के मध्य आता है, पियर्सन की दूरी [0, 2] में है। अज्ञात लाभ और अंतरण के साथ संचार और भंडारण के लिए [[क्लस्टर विश्लेषण|गुच्छ विश्लेषण]] और डेटा संसूचन में पियरसन दूरी का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal
 |author1=Immink, K. Schouhamer
 |author2=Weber, J. 
 |title=Minimum Pearson distance detection for multilevel channels with gain and / or offset mismatch 
 |date=October 2010
 |journal=IEEE Transactions on Information Theory 
 |volume=60 |issue=10 |pages=5966–5974
 |doi=10.1109/tit.2014.2342744 |citeseerx=10.1.1.642.9971
 |s2cid=1027502 
 |url=https://www.researchgate.net/publication/265604603
 |access-date=11 February 2018}}</ref>

इस तरह परिभाषित पियर्सन <nowiki>''दूरी''</nowiki> नकारात्मक सहसंबंधों को 1 से अधिक की दूरी प्रदान करती है। वास्तव में, दृढ़ सकारात्मक सहसंबंध और नकारात्मक सहसंबंध दोनों अर्थपूर्ण हैं, इसलिए ध्यान रखना चाहिए जब पियर्सन <nowiki>''दूरी''</nowiki> का उपयोग निकटतम प्रतिवेशी कलनविधि के लिए किया जाता है क्योंकि इस तरह के कलनविधि में केवल सकारात्मक सहसंबंध वाले प्रतिवेशी को सम्मलित किया जाएगा और नकारात्मक सहसंबंध वाले प्रतिवेशी को बाहर कर दिया जाएगा। वैकल्पिक रूप से, एक पूर्ण मूल्यवान दूरी, <math>d_{X,Y}=1-|\rho_{X,Y}|</math>, उपयोजित की जा सकती है, जो सकारात्मक और नकारात्मक दोनों सहसंबंधों को ध्यान में रखी जाएगी। सकारात्मक और नकारात्मक संघ की जानकारी बाद में अलग-अलग निकाली जा सकती है।

=== परिपत्र सहसंबंध गुणांक===
{{further|परिपत्र सांख्यिकी}}

चर ''X'' = {''x''<sub>1</sub>,...,''x<sub>n</sub>''} और ''Y'' = {''y''<sub>1</sub>,...,''y<sub>n</sub>''} के लिए जो ईकाई वृत्त {{Not a typo|{{closed-open|0, 2π}}}} पर परिभाषित हैं, पियर्सन के गुणांक के एक परिपत्र अनुरूप को परिभाषित करना संभव है।<ref name="SRJ">{{cite book |title=परिपत्र सांख्यिकी में विषय|last1=Jammalamadaka |first1=S. Rao |last2=SenGupta |first2=A. |year=2001 |publisher=World Scientific |location=New Jersey |isbn=978-981-02-3778-3 |page=176 |url=https://books.google.com/books?id=sKqWMGqQXQkC&q=Jammalamadaka+Topics+in+circular |access-date=21 September 2016}}</ref> यह ''X'' और ''Y'' में डेटा बिंदुओं को एक[[ उन लोगों के | ज्या]] फलन के साथ परिवर्तित करके किया जाता है जैसे कि सहसंबंध गुणांक इस प्रकार दिया जाता है:

:<math>r_\text{circular} = \frac{\sum ^n _{i=1}\sin(x_i - \bar{x}) \sin(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum^n_{i=1} \sin(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum ^n_{i=1} \sin(y_i - \bar{y})^2}}</math>
जहां <math>\bar{x}</math> और <math>\bar{y}</math> ''X'' और ''Y'' के [[वृत्ताकार मात्राओं का माध्य|वृत्तीय माध्य]] हैं। यह माप मौसम विज्ञान जैसे क्षेत्रों में उपयोगी हो सकता है जहाँ डेटा की कोणीय दिशा महत्वपूर्ण होती है।

=== आंशिक सहसंबंध ===
{{Main|आंशिक सहसंबंध}}
यदि जनसंख्या या डेटा-समुच्चय को दो से अधिक चरों की विशेषता है, तो एक [[आंशिक सहसंबंध]] गुणांक उन चरों की एक जोड़ी के मध्य निर्भरता की शक्ति को मापता है, जिस तरह से वे दोनों अन्य चर के एक चयनित उपसमुच्चय में भिन्नता के प्रतिक्रिया में नहीं बदलते हैं।

== n यादृच्छिक चर का अलंकरण ==
{{main|अलंकरण}}

डेटा परिवर्तन का उपयोग करके यादृच्छिक चर की स्वेच्छाचारी संख्या के सभी जोड़े के मध्य सहसंबंधों को हटाना हमेशा संभव होता है, यद्यपि चर के मध्य संबंध अरैखिक होते है। जनसंख्या वितरण के लिए इस परिणाम की प्रस्तुति कॉक्स और हिंकले द्वारा दी गई है।<ref>{{cite book |author1=Cox, D.R. |author2=Hinkley, D.V. |year=1974 |title=सैद्धांतिक सांख्यिकी|publisher=Chapman & Hall |at=Appendix 3 |isbn=0-412-12420-3}}</ref>

प्रतिदर्श सहसंबंधों को शून्य तक कम करने के लिए एक संबंधित परिणाम उपस्तिथ है। मान लीजिए ''n'' यादृच्छिक चर का एक सदिश m बार देखा जाता है। मान लीजिए कि ''X'' एक आव्यूह है जहाँ <math>X_{i,j}</math> अवलोकन ''i'' का ''jवाँ'' चर है। मान लीजिए <math>Z_{m,m}</math> एक ''m'' प्रति ''m'' वर्ग आव्यूह है जिसमें प्रत्येक अवयव 1 है। तब ''D'' डेटा रूपांतरित होता है इसलिए प्रत्येक यादृच्छिक चर का शून्य माध्य होता है, और ''T'' रूपांतरित डेटा है इसलिए सभी चरों का शून्य माध्य होता है और अन्य सभी चरों के साथ शून्य सहसंबंध होता है - ''T'' का प्रतिदर्श सहसंबंध आव्यूह तत्समक आव्यूह होता है। इकाई प्रसरण प्राप्त करने के लिए इसे आगे मानक विचलन से विभाजित किया जाता है। रूपांतरित चर असंबद्ध होंगे, यद्यपि वे [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता|स्वतंत्रत]] नहीं होंगे।

:<math>D = X -\frac{1}{m} Z_{m,m} X</math>
:<math>T = D (D^{\mathsf{T}} D)^{-\frac{1}{2}},</math>
जहां {{frac|−|1|2}} का घातांक आव्यूह के व्युत्क्रम के [[मैट्रिक्स उलटा|आव्यूह वर्गमूल]] का प्रतिनिधित्व करता है। ''T'' का सहसंबंध आव्यूह तत्समक आव्यूह होता है। यदि एक नया डेटा अवलोकन ''x n'' तत्वों का एक पंक्ति सदिश है, तो रूपांतरित सदिश ''d'' और ''t'' प्राप्त करने के लिए ''x'' पर समान परिवर्तन उपयोजित किया जा सकता है:

:<math>d = x - \frac{1}{m} Z_{1,m} X,</math>
:<math>t = d (D^{\mathsf{T}} D)^{-\frac{1}{2}}.</math>
यह अलंकरण बहुभिन्नरूपी डेटा के लिए [[प्रमुख घटक विश्लेषण]] से संबंधित है।

== सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन ==
* [[ आर (प्रोग्रामिंग भाषा) |R's (प्रोग्रामिंग भाषा)]] के सांख्यिकी आधार-पैकेज <code>cor.test(x, y)</code> के साथ<code>cor(x, y)</code>या (P मान के साथ भी) सहसंबंध गुणांक को उपयोजित करते है।
*<code>pearsonr(x, y)</code>[https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.pearsonr.html के माध्यम से] [[SciPy]] Python (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) लाइब्रेरी।
* पंडास पायथन लाइब्रेरी विधि[https://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/reference/api/pandas.DataFrame.corr.html <code>pandas.DataFrame.corr</code>] के लिए व्यतिक्रम विकल्प के रूप में पियर्सन सहसंबंध गुणांक गणना को उपयोजित करते है।
* <code>Correlation</code>] फलन, के माध्यम से [[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]] या (P मान के साथ)[https://reference.wolfram.com/language/ref/CorrelationTest.html <code>CorrelationTest</code>]।
* <code>correlation_coefficient फलन</code>[https://www.boost.org/doc/libs/1_76_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/bivariate_statistics.html के माध्यम से अभिवर्धी]  लाइब्रेरी।
* पियर्सन के सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए [[एक्सेल]] में एक अंतर्निर्मित[https://support.microsoft.com/en-us/office/correl-function-995dcef7-0c0a-4bed-a3fb-239d7b68ca92 <code>correl(array1, array2)</code>] फलन है।

== यह भी देखें{{Portal|Mathematics}}==
* [[अंसकोम्बे चतुष्क]] 
* [[एसोसिएशन (सांख्यिकी)|संयोजन (सांख्यिकी)]]
* [[एकत्रीकरण का गुणांक]]
** [[यूल का Q]]
** [[यूल की Y]]
* [[सहसंबंध गुणांक|समरूपता सहसंबंध गुणांक]]
* [[सहसंबंध और निर्भरता]]
* [[सहसंबंध अनुपात]]
* [[विस्मृति]]
* [[दूरी सहसंबंध]]
* [[अधिकतम सूचना गुणांक]]
* [[एकाधिक सहसंबंध]]
* [[सामान्य रूप से वितरित और असंबद्ध का अर्थ स्वतंत्र नहीं है]]
* [[विषम अनुपात]]
* [[आंशिक सहसंबंध]]
* [[पॉलीकोरिक सहसंबंध|वृत्तपाद सहसंबंध]]
* [[चतुर्थांश गणना अनुपात]]
* [[आरवी गुणांक|RV गुणांक]]
* [[स्पीयरमैन श्रेणी सहसंबंध गुणांक]]

== फुटनोट्स ==
{{Notelist|1}}

==संदर्भ==
{{Reflist}}

==बाहरी संबंध==
{{Wikiversity|Linear correlation}}
* {{cite web |url=http://comparingcorrelations.org |title=cocor |website=comparingcorrelations.org}} – A free web interface and R package for the statistical comparison of two dependent or independent correlations with overlapping or non-overlapping variables.
* {{cite web |url=http://nagysandor.eu/AsimovTeka/correlation_en/index.html |title=Correlation |language=en |website=nagysandor.eu}} – an interactive Flash simulation on the correlation of two normally distributed variables.
* {{cite web |url=http://www.hackmath.net/en/calculator/linear-regression |title=Correlation coefficient calculator |series=Linear regression |website=hackmath.net}} – 
* {{cite web |url=http://frank.mtsu.edu/~dkfuller/tables/correlationtable.pdf |title=Critical values for Pearson's correlation coefficient |website=frank.mtsu.edu/~dkfuller}} – large table.
* {{cite web |url=http://guessthecorrelation.com |title=Guess the Correlation }} –  A game where players guess how correlated two variables in a scatter plot are, in order to gain a better understanding of the concept of correlation.

{{Statistics|descriptive}}
{{Machine learning evaluation metrics}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Pearson product-moment correlation coefficient}}

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[[Category:सहसंबंध संकेतक|Pearson product-moment correlation coefficient]]
[[Category:सांख्यिकीय अनुपात|Pearson product-moment correlation coefficient]]