View source for प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा

{{Short description|Mean kinetic energy per unit mass of eddies in turbulent flow}}{{Infobox physical quantity
| name = विक्षोभ गतिक ऊर्जा
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| baseunits = [[Joule|J]]/[[kilogram|kg]] = [[meter|m]]{{sup|2}}⋅[[second|s]]{{sup|−2}}
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द्रव गतिकी में, '''प्रक्षोभ [[गतिज ऊर्जा]]''' (टीकेई) [[अशांत प्रवाह|विक्षुब्ध प्रवाह]] में आवर्त (द्रव गतिशीलता) से जुड़ी प्रति इकाई द्रव्यमान की औसत गतिज ऊर्जा है। भौतिक रूप से, गतिज ऊर्जा विक्षोभ को वर्ग माध्य मूल (आरएमएस) वेग से अभिलक्षित किया जाता है। रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में, प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा की गणना संवरण विधि, यानी [[ अशांति मॉडलिंग |प्रक्षोभ प्रतिरूपण]] के आधार पर की जा सकती है।

सामान्यतः, टीकेई को वेग घटकों के प्रसरण (मानक विचलन का वर्ग) के आधे योग के रूप में परिभाषित किया जाता है:
<math display="block"> k = \frac12 \left(\, \overline{(u')^2} + \overline{(v')^2} + \overline{(w')^2} \,\right), </math>
जहां प्रक्षुब्ध वेग घटक तात्कालिक और औसत वेग <math> u' = u - \overline{u}</math> के बीच का अंतर है, जिसका माध्य और विचरण निम्न है <math display="block">
\begin{align}
\overline{u'} &= \frac{1}{T} \int_0^T (u(t) - \overline{u}) \, dt = 0, \\[4pt]
\overline{(u')^2} &= \frac{1}{T}\int_0^T (u(t) - \overline{u})^2 \, dt \geq 0,
\end{align}</math> क्रमशःक्रमश

टीकेई का उत्पादन द्रव कतरनी, घर्षण या उछाल, या कम आवृत्ति आवर्त मापक्रम (अभिन्न मापक्रम) पर बाहरी बल के माध्यम से किया जा सकता है। फिर प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा को प्रक्षोभ [[ऊर्जा झरना|ऊर्जा सोपान]] के नीचे स्थानांतरित किया जाता है, और [[कोलमोगोरोव सूक्ष्म पैमाने|कोलमोगोरोव सूक्ष्म मापक्रम]] पर विस्कासी ताकतों द्वारा नष्ट कर दिया जाता है। उत्पादन, अभिगमन और अपव्यय की इस प्रक्रिया को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
<math display="block"> \frac{Dk}{Dt} + \nabla \cdot T' = P - \varepsilon, </math>
जहाँ:<ref>{{cite book|last=Pope|first=S. B.|date=2000|title=अशांत प्रवाह| url=https://archive.org/details/turbulentflows00pope | url-access=limited|location=Cambridge|pages=[https://archive.org/details/turbulentflows00pope/page/n147 122]–134 |publisher=[[Cambridge University Press]]| isbn=978-0521598866}}</ref>
* {{tmath|\tfrac{Dk}{Dt} }} टीकेई का माध्य-प्रवाह [[सामग्री व्युत्पन्न|स्थूल व्युत्पन्न]] है;
* {{math|∇ · ''T′''}} टीकेई का प्रक्षोभ अभिगमन है;
* {{mvar|P}} टीकेई का उत्पादन है, और
* {{mvar|ε}} टीकेई अपव्यय है।

यह मानते हुए कि आणविक श्यानता स्थिर है, और [[बाउसिनस्क सन्निकटन (उछाल)]] बनाते हुए, टीकेई समीकरण निम्न है:
<math display="block">
	\underbrace{ \frac{\partial k}{\partial t}}_{\text{Local} \atop \text{derivative}}
	\!\!\! + \ \underbrace{\overline{u}_j \frac{\partial k}{\partial x_j}}_{\text{Advection} \atop {}} 
    = - \underbrace{ \frac{1}{\rho_o} \frac{\partial \overline{u'_i p'}}{\partial x_i} } _{\text{Pressure} \atop \text{diffusion}}
	- \underbrace{ \frac{1}{2} \frac{\partial \overline{u_j' u_j' u_i'}}{\partial x_i} } _{{\text{Turbulent} \atop \text{transport}} \atop \mathcal{T}}
	+ \underbrace{ \nu\frac{\partial^2 k}{\partial x^2_j} }_{ {\text{Molecular} \atop \text{viscous}} \atop \text{transport}}
	- \underbrace{\overline{u'_i u'_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} } _{\text{Production} \atop \mathcal{P}}
	- \underbrace{ \nu \overline{\frac{\partial u'_i}{\partial x_j}\frac{\partial u'_i}{\partial x_j}} } _{\text{Dissipation} \atop \varepsilon_k}
	- \underbrace{ \frac{g}{\rho_o} \overline{\rho' u'_i}\delta_{i3} } _{\text{Buoyancy flux} \atop b}
</math>
इन घटनाओं की जांच करके, किसी विशेष प्रवाह के लिए प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा बजट पाया जा सकता है। <ref>Baldocchi, D. (2005), ''[http://nature.berkeley.edu/biometlab/espm129/notes/Lecture%2016%20Wind%20and%20Turbulence%20Part%201%20Surface%20Boundary%20Layer%20Theory%20and%20Principles%20notes.pdf Lecture 16, Wind and Turbulence, Part 1, Surface Boundary Layer: Theory and Principles ]'', Ecosystem Science Division, Department of Environmental Science, Policy and Management, University of California, Berkeley, CA: USA.</ref>


==कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी==

कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता (सीएफडी) में, कोलमोगोरोव सूक्ष्म मापक्रम तक प्रवाह-क्षेत्र को अलग किए बिना संख्यात्मक रूप से प्रक्षोभ का अनुकरण करना असंभव है, जिसे प्रत्यक्ष संख्यात्मक अनुकरण (डीएनएस) कहा जाता है। क्योंकि मेमोरी, कम्प्यूटेशनल और संचयन शिरोपरि के कारण डीएनएस अनुकरण अत्यधिक महंगे हैं, प्रक्षोभ के प्रभावों को अनुकरण करने के लिए प्रक्षोभ प्रतिरूप का उपयोग किया जाता है। विभिन्न प्रकार के प्रतिरूपों का उपयोग किया जाता है, लेकिन सामान्यतः टीकेई एक मौलिक प्रवाह विशेषता है जिसकी गणना द्रव प्रक्षोभ को प्रतिरूप करने के लिए की जानी चाहिए।

===रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स समीकरण===
रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर-स्टोक्स (आरएएनएस) अनुकरण बौसिनस्क आवर्त श्यानता परिकल्पना का उपयोग करते हैं, <ref>{{cite journal|authorlink=Joseph Valentin Boussinesq|last=Boussinesq|first=J. V.|date=1877| title=Théorie de l'Écoulement Tourbillant|journal=Mem. Présentés Par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr.|volume=23|pages=46–50}}</ref> औसत प्रक्रिया से उत्पन्न होने वाले [[रेनॉल्ड्स तनाव|रेनॉल्ड्स प्रतिबल]] की गणना करने के लिए:
<math display="block"> \overline{u'_i u'_j} = \frac23 k \delta_{ij} - \nu_t \left( \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i} \right), </math>
जहाँ <math display="block"> \nu_t = c \cdot \sqrt{k} \cdot l_m. </math>
टीकेई को हल करने की सटीक विधि प्रयुक्त प्रक्षोभ प्रतिरूप पर निर्भर करती है; {{mvar|k}}–{{mvar|ε}} (के-एप्सिलॉन) प्रतिरूप प्रक्षोभ की समदैशिकता मानते हैं जिससे सामान्य प्रतिबल बराबर होते हैं:
<math display="block"> \overline{(u')^2} = \overline{(v')^2} = \overline{(w')^2}. </math>
यह धारणा प्रक्षोभ मात्राओं ({{mvar|k}} और {{mvar|ε}}) का प्रतिरूपण करती है, लेकिन उन परिदृश्यों में सटीक नहीं होगा जहां प्रक्षोभ प्रतिबल का विषमदैशिक व्यवहार हावी है, और प्रक्षोभ के उत्पादन में इसके निहितार्थ भी अति-भविष्यवाणी की ओर ले जाते हैं क्योंकि उत्पादन प्रतिबल सामान्य प्रतिबलों के बीच (जैसा कि वे हैं, धारणा के अनुसार, बराबर हैं) की औसत दर पर निर्भर करता है न कि अंतर पर निर्भर करता है। <ref>{{cite book|last=Laurence|first=D. |date=2002 |contribution=Applications of Reynolds Averaged Navier Stokes Equations to Industrial Flows |editor-last=van Beeck |editor-first=J. P. A. J. |editor2-last=Benocci |editor2-first=C. |title=Introduction to Turbulence Modelling, Held March 18–22, 2002 at Von Karman Institute for Fluid Dynamics |location=[[Sint-Genesius-Rode]] |publisher=[[Von Karman Institute for Fluid Dynamics]]}}</ref>

रेनॉल्ड्स-प्रतिबल प्रतिरूप (आरएसएम) रेनॉल्ड्स प्रतिबल को बंद करने के लिए एक अलग विधि का उपयोग करते हैं, जिससे सामान्य प्रतिबल को समदैशिक नहीं माना जाता है, इसलिए टीकेई उत्पादन के साथ समस्या से बचा जाता है।

===प्रारंभिक स्थितियाँ===
सीएफडी अनुकरण में प्रारंभिक स्थितियों के रूप में टीकेई का सटीक निर्धारण प्रवाह विशेषतः उच्च रेनॉल्ड्स-संख्या अनुकरण की सटीक भविष्यवाणी करने के लिए महत्वपूर्ण है। एक निर्बाध वाहिनी का उदाहरण नीचे दिया गया है।
<math display="block"> k = \frac32 ( U I )^2, </math>
जहाँ {{mvar|I}} नीचे दी गई प्रारंभिक प्रक्षोभ तीव्रता [%] है, और {{mvar|U}} प्रारंभिक वेग परिमाण है। पाइप प्रवाह के लिए एक उदाहरण के रूप में, पाइप व्यास के आधार पर रेनॉल्ड्स संख्या के साथ:
<math display="block"> I = 0.16 Re^{-\frac{1}{8}}. </math>
यहाँ {{mvar|l}} प्रक्षोभ या आवर्त की लंबाई का मापक्रम है, जो नीचे दिया गया है, और {{mvar|c<sub>μ</sub>}} एक {{mvar|k}}–{{mvar|ε}} प्रतिरूप पैरामीटर है जिसका मान सामान्यतः 0.09 दिया गया है;

<math display="block"> \varepsilon = {c_\mu}^\frac34 k^\frac32 l^{-1}. </math>
अशांत लंबाई मापक्रम का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है
<math display="block"> l = 0.07L, </math>
साथ एक विशिष्ट लंबाई {{mvar|L}} है। आंतरिक प्रवाह के लिए इसमें प्रवेशिका वाहिनी (या पाइप) की चौड़ाई (या व्यास) या द्रवचालित व्यास का मान लिया जा सकता है। <ref>{{cite book|last1=Flórez Orrego |display-authors=etal |date=2012 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=gumvHDQmJD0C&q=Experimental+and+CFD+study+of+a+single+phase+cone-shaped+helical+coiled+heat+exchanger%3A+an+empirical+correlation&pg=PA302 |chapter=Experimental and CFD study of a single phase cone-shaped helical coiled heat exchanger: an empirical correlation |title=Proceedings of ECOS 2012 – The 25th International Conference on Efficiency, Cost, Optimization, Simulation and Environmental Impact of Energy Systems, June 26–29, 2012, Perugia, Italy |isbn=978-88-6655-322-9}}</ref>


==संदर्भ==
{{reflist}}


==बाहरी संबंध==
* [http://www.cfd-online.com/Wiki/Introduction_to_turbulence/Turbulence_kinetic_energy Turbulence kinetic energy] at CFD Online.
*{{cite journal|last=Absi|first=R.|title=Analytical solutions for the modeled {{mvar|k}}-equation |journal= Journal of Applied Mechanics|volume=75|date=2008|issue=44501|pages=044501|doi=10.1115/1.2912722|bibcode=2008JAM....75d4501A}}
[[Category: कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय]] [[Category: अशांति]] [[Category: ऊर्जा (भौतिकी)]] 



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[[Category:Created On 18/11/2023]]
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