View source for प्रतिबंध (गणित)

{{Short description|Function with a smaller domain}}
[[File:Inverse square graph.svg|thumb|फलन <math>x^2</math> कार्यक्षेत्र के साथ <math>\mathbb{R}</math> कोई उलटा कार्य नहीं है। यदि हम प्रतिबंधित करते हैं <math>x^2</math> अ-ऋणात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं के लिए, तो इसका व्युत्क्रम फलन होता है, जिसे का [[वर्गमूल]] कहा जाता है <math>x.</math>]]गणित में फलन का प्रतिबंध (गणित) <math>f</math> नया कार्य है, निरूपित <math>f\vert_A</math> या <math>f {\restriction_A},</math> किसी फलन का छोटा कार्यक्षेत्र चुनकर प्राप्त किया गया <math>A</math> मूल फलन के लिए <math>f.</math> फलन <math>f</math> विस्तार कहा जाता है <math>f\vert_A.</math>


== औपचारिक परिभाषा ==

<math>f : E \to F</math> [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] से कार्य बनें <math>E</math> समुच्चय के लिए <math>F.</math> यदि समुच्चय <math>A</math> का उपसमुच्चय है <math>E,</math> फिर का प्रतिबंध<math>f</math> को<math>A</math> कार्य है<ref name="Stoll">
{{Cite book|last=Stoll|first=Robert|title=Sets, Logic and Axiomatic Theories|publisher=W. H. Freeman and Company|date=1974|location=San Francisco|pages=[36]|edition=2nd|isbn=0-7167-0457-9|url=https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol/page/5}}</ref>
<math display=block>{f|}_A : A \to F</math>
द्वारा दिए गए <math>{f|}_A(x) = f(x)</math> के लिए <math>x \in A.</math> अनौपचारिक रूप से, प्रतिबंध <math>f</math> को <math>A</math> के समान कार्य है <math>f,</math> किन्तु केवल परिभाषित किया गया है <math>A</math>.

यदि फलन <math>f</math> [[संबंध (गणित)]] के रूप में माना जाता है <math>(x,f(x))</math> कार्तीय उत्पाद पर <math>E \times F,</math> प्रतिबंध <math>f</math> को <math>A</math> किसी फलन के ग्राफ़ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है {{nowrap|<math>G({f|}_A) = \{ (x,f(x))\in G(f) : x\in A \} = G(f)\cap (A\times F),</math>}} जहां जोड़े <math>(x,f(x))</math> ग्राफ में आदेशित जोड़े का प्रतिनिधित्व करें <math>G.</math>


=== विस्तार ===

फलन <math>F</math> विस्तार कहा जाता है। दूसरे फलन का <math>f</math> यदि जब भी <math>x</math> के अधिकार क्षेत्र में है <math>f</math> तब <math>x</math> के क्षेत्र में भी है <math>F</math> और <math>f(x) = F(x).</math> अर्थात यदि <math>\operatorname{domain} f \subseteq \operatorname{domain} F</math> और <math>F\big\vert_{\operatorname{domain} f} = f.</math> फलन का रेखीय विस्तार | क्रमशः, सतत विस्तार, आदि फलन के <math>f</math> का विस्तार है <math>f</math> वह भी रेखीय मानचित्र है।

== उदाहरण ==

# [[इंजेक्शन समारोह|अन्तःक्षेपण फलन]] का प्रतिबंध | अ-अन्तःक्षेपण फलन <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2</math> कार्यक्षेत्र के लिए <math>\mathbb{R}_{+} = [0,\infty)</math> अन्तःक्षेपण है<math>f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2.</math>
# [[कारख़ाने का]] फलन [[गामा समारोह|गामा फलन]] का सकारात्मक पूर्णांकों तक प्रतिबंध है, जिसमें तर्क द्वारा स्थानांतरित किया गया है <math>{\Gamma|}_{\mathbb{Z}^+}\!(n) = (n-1)!</math>


== प्रतिबंधों के गुण ==

* किसी फलन को प्रतिबंधित करना <math>f:X\rightarrow Y</math> इसके पूरे कार्यक्षेत्र के लिए <math>X</math> मूल कार्य को वापस देता है, अर्थात <math>f|_X = f.</math>
* किसी फलन को दो बार प्रतिबंधित करना उसे बार प्रतिबंधित करने के समान है, अर्थात यदि <math>A \subseteq B \subseteq \operatorname{dom} f,</math> तब <math>\left(f|_B\right)|_A = f|_A.</math>
* समुच्चय पर [[पहचान समारोह|तत्समक फलन]] का प्रतिबंध <math>X</math> उपसमुच्चय के लिए <math>A</math> का <math>X</math> से केवल समावेशन मानचित्र है <math>A</math> में <math>X.</math><ref>{{cite book|author-link=Paul Halmos|last=Halmos|first=Paul|title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]|location=Princeton, NJ|publisher=D. Van Nostrand|year=1960}} Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. {{isbn|0-387-90092-6}} (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. {{isbn|978-1-61427-131-4}} (Paperback edition).</ref>
* सतत कार्य का प्रतिबंध निरंतर है।<ref>{{cite book|last=Munkres|first=James R.|title=टोपोलॉजी|edition=2nd|location=Upper Saddle River|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}</ref><ref>{{cite book|last=Adams|first=Colin Conrad|first2=Robert David|last2=Franzosa|title=Introduction to Topology: Pure and Applied|publisher=Pearson Prentice Hall|year=2008|isbn=978-0-13-184869-6}}</ref>


== अनुप्रयोग ==

=== उलटा कार्य ===

{{main|प्रतिलोम फलन}}

किसी फलन का व्युत्क्रम होने के लिए उसे अंतःक्षेपी फलन से होना चाहिए। यदि कोई फलन <math>f</math> नहीं है, तो इसका आंशिक व्युत्क्रम परिभाषित करना संभव हो सकता है <math>f</math> कार्यक्षेत्र को प्रतिबंधित करके। उदाहरण के लिए, फलन 
<math display=block>f(x) = x^2</math>
समग्र रूप से परिभाषित <math>\R</math> नहीं है <math>x^2 = (-x)^2</math> किसी के लिए <math>x \in \R.</math> यद्यपि, यदि हम कार्यक्षेत्र तक सीमित हैं तो फलन से हो जाता है <math>\R_{\geq 0} = [0, \infty),</math> किस स्थिति में
<math display=block>f^{-1}(y) = \sqrt{y} .</math>
यदि हम इसके अतिरिक्त कार्यक्षेत्र तक सीमित हैं <math>(-\infty, 0],</math> तो व्युत्क्रम के वर्गमूल का ऋणात्मक है <math>y.</math>) वैकल्पिक रूप से, यदि हम प्रतिलोम को बहुमूल्यवान फलन होने देते हैं तो प्रांत को प्रतिबंधित करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

=== चयन अनुरूप ===
{{main|चयन (संबंधपरक बीजगणित)}}
[[संबंधपरक बीजगणित]] में [[चयन (संबंधपरक बीजगणित)]] कभी-कभी [[SQL]] के चयन के उपयोग के साथ भ्रम से बचने के लिए प्रतिबंध कहा जाता है [[एकात्मक ऑपरेशन|एकात्मक संचालन]] है जिसे लिखा गया है
<math>\sigma_{a \theta b}(R)</math> या <math>\sigma_{a \theta v}(R)</math> जहाँ 
* <math>a</math> और <math>b</math> विशेष नाम हैं,
* <math>\theta</math> समुच्चय में [[बाइनरी ऑपरेशन|द्वि-आधारी संक्रिया]] है <math>\{<, \leq, =, \neq, \geq, >\},</math>
* <math>v</math> मान स्थिरांक है,
* <math>R</math> [[संबंध (डेटाबेस)]] है।

चयन <math>\sigma_{a \theta b}(R)</math> उन सभी टुपल्स का चयन करता है <math>R</math> जिसके लिए <math>\theta</math> के बीच रखता है <math>a</math> और यह <math>b</math> गुण।

चयन <math>\sigma_{a \theta v}(R)</math> उन सभी टुपल्स का चयन करता है <math>R</math> जिसके लिए <math>\theta</math> के बीच रखता है <math>a</math> विशेषता और मूल्य <math>v.</math>इस प्रकार चयन अनुरूप संपूर्ण डेटाबेस के उप-समूचय तक सीमित रहता है।

=== पेस्टिंग लेम्मा ===
{{main|पेस्टिंग लेम्मा}}
पेस्टिंग लेम्मा सांस्थिति में परिणाम है जो किसी फलन की निरंतरता को उप-समूचय के प्रतिबंधों की निरंतरता से संबंधित करता है।

<math>X,Y</math> सांस्थिति स्थान के दो बंद उपसमुच्चय या दो खुले उपसमुच्चय हों <math>A</math> ऐसा है कि <math>A = X \cup Y,</math> और <math>B</math> सांस्थिति स्थान भी हो। यदि <math>f: A \to B</math> दोनों के लिए प्रतिबंधित होने पर निरंतर है <math>X</math> और <math>Y,</math> तब <math>f</math> निरंतर है।

यह परिणाम टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद (या खुले) उप-समूचय पर परिभाषित दो निरंतर कार्यों को लेने और नया बनाने की अनुमति देता है।

=== शीश ===
{{main|शीफ सिद्धांत}}
[[शीफ सिद्धांत]] कार्यों के अतिरिक्त वस्तुओं पर प्रतिबंधों को सामान्यीकृत करने का विधि प्रदान करता है।

शीफ थ्योरी में, कोई विषय असाइन करता है <math>F(U)</math> प्रत्येक खुले समुच्चय के लिए [[श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत)]] में <math>U</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति स्थान]] और यह आवश्यक है कि विषय कुछ अवस्था को पूरा करें। सबसे महत्वपूर्ण अवस्था यह है कि स्थिर खुले समुच्चय से जुड़ी वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच प्रतिबंध आकारिकी है , यदि <math>V\subseteq U,</math> फिर रूपवाद है <math>\operatorname{res}_{V,U} : F(U) \to F(V)</math> निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना, जो किसी फलन के प्रतिबंध की नकल करने के लिए संयोजन किए गए हैं 
* प्रत्येक खुले समुच्चय के लिए <math>U</math> का <math>X,</math> प्रतिबंध रूपवाद <math>\operatorname{res}_{U,U} : F(U) \to F(U)</math> परिचय रूपवाद चालू है <math>F(U).</math>
* यदि हमारे पास तीन खुले समुच्चय हैं <math>W \subseteq V \subseteq U,</math> फिर रचना <math>\operatorname{res}_{W,V} \circ \operatorname{res}_{V,U} = \operatorname{res}_{W,U}.</math>
* यदि <math>\left(U_i\right)</math> खुले समुच्चय का खुला [[आवरण (टोपोलॉजी)|आवरण (सांस्थिति)]] है <math>U,</math> और यदि <math>s, t \in F(U)</math> ऐसे हैं <math>s\big\vert_{U_i} = t\big\vert_{U_i}</math><अवधि वर्ग = text HTML> ''s''|<sub>''Ui''</sub> = ''t''|<sub>''Ui''</sub>प्रत्येक समुच्चय के लिए <math>U_i</math> आव</span>रण का, तब <math>s = t</math> और
* यदि <math>\left(U_i\right)</math> खुले समुच्चय का खुला आवरण है <math>U,</math> और यदि प्रत्येक के लिए <math>i</math> अनुभाग <math>x_i \in F\left(U_i\right)</math> ऐसा दिया जाता है कि प्रत्येक जोड़ी के लिए <math>U_i, U_j</math> आवरण के प्रतिबंध समुच्चय करता है <math>s_i</math> और <math>s_j</math> अधिव्यापन पर सहमत <math>s_i\big\vert_{U_i \cap U_j} = s_j\big\vert_{U_i \cap U_j},</math> फिर खंड है <math>s \in F(U)</math> ऐसा है कि <math>s\big\vert_{U_i} = s_i</math> प्रत्येक के लिए <math>i.</math>
ऐसी सभी वस्तुओं के संग्रह को पुलिया कहते हैं। यदि केवल पहले दो गुण संतुष्ट होते हैं, तो यह प्री-शेफ है।

== वाम- और दाएँ-प्रतिबंध ==

अधिक सामान्यतः, प्रतिबंध (या कार्यक्षेत्र प्रतिबंध या वाम-प्रतिबंध) <math>A \triangleleft R</math> [[द्विआधारी संबंध]] का <math>R</math> बीच में <math>E</math> और <math>F</math> कार्यक्षेत्र वाले संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>A,</math> को कार्यक्षेत्र <math>F</math> और ग्राफ <math>G(A \triangleleft R) = \{(x, y) \in F(R) : x \in A\}.</math> इसी तरह, कोई सही-प्रतिबंध या सीमा प्रतिबंध को परिभाषित कर सकता है <math>R \triangleright B.</math> उपरोक्त, कोई भी प्रतिबंध को परिभाषित कर सकता है<math>n</math>-आर्य संबंध, साथ ही उपसमुच्चय को संबंधों के रूप में समझा जाता है, जैसे कि कार्तीय उत्पाद के संबंध <math>E \times F</math> द्विआधारी संबंधों के लिए।ये मामले शेफ (गणित) की योजना में उपयुक्त नहीं होते हैं।



== विरोधी प्रतिबंध ==

किसी फलन या [[द्विआधारी संबंध|द्विआधारी]] संबंता है <math>A</math>ध का कार्यक्षेत्र विरोधी प्रतिबंध या कार्यक्षेत्र घटाव <math>R</math> (कार्यक्षेत्र के साथ <math>E</math> और कोकार्यक्षेत्र <math>F</math>) समुच्चय द्वारा <math>A</math> रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(E \setminus A) \triangleleft R</math> के सभी तत्वों को हटा देता है <math>A</math> कार्यक्षेत्र से <math>E.</math> इसे कभी-कभी निरूपित किया जा ⩤ <math>R.</math><ref>Dunne, S. and Stoddart, Bill ''Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues)''. Springer (2006)</ref> इसी तरह, किसी फलन या [[द्विआधारी संबंध|द्विआधारी]] संबंध की श्रेणी विरोधी प्रतिबंध या श्रेणी घटाव। <math>R</math> समुच्चय द्वारा <math>B</math> परिभाषित किया जाता है <math>R \triangleright (F \setminus B)</math> के सभी तत्वों को हटा देता है <math>B</math> कोकार्यक्षेत्र से <math>F.</math> इसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>R</math> ⩥ <math>B.</math>


== यह भी देखें ==

* {{annotated link|Constraints (mathematics)|प्रतिबंध}}
* {{annotated link|विरूपण वापस लेना}}
* {{annotated link|स्थानीय गुण}}
* {{section link|फलन (गणित)|प्रतिबंध और विस्तार}}
* {{section link|द्विआधारी संबंध|प्रतिबंध}}
* {{section link|संबंधपरक बीजगणित|चयन (σ)}}


==संदर्भ==

{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Restriction (Mathematics)}}

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