View source for प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह

{{Image frame|width=340|align=right|caption=आकार 3 के सात प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह
|content=<math>\begin{matrix}
 \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 0
 \end{bmatrix}
\\
 \begin{bmatrix}
  0 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  0 &  1 & 0\\
  1 & -1 & 1\\
  0 &  1 & 0
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
  1 & 0 & 0
 \end{bmatrix}
\\
 \begin{bmatrix}
  0 & 0 & 1\\
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  0 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0
 \end{bmatrix}
\end{matrix}</math>}}
गणित में, '''प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह''' 0s, 1s, और -1s का एक वर्ग आव्यूह है, जैसे कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का योग 1 है और प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में गैर-शून्य प्रविष्टियां संकेत में प्रत्यावर्ती होती हैं। [[क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स|क्रमपरिवर्तन आव्यूह]] [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर आव्यूह]] को सामान्य करते हैं और निर्धारक की गणना करने के लिए डोडसन संघनन का उपयोग करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। वे [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] से डोमेन दीवार सीमा स्थितियों के साथ [[छह-शीर्ष मॉडल]] से भी निकटता से संबंधित हैं। पूर्व संदर्भ में उन्हें सबसे पहले विलियम मिल्स, डेविड पी. रॉबिंस और हावर्ड रुम्सी द्वारा परिभाषित किया गया था। 

== उदाहरण ==

एक क्रमचय आव्यूह एक प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह है, और प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह एक क्रमचय आव्यूह है यदि और केवल यदि कोई प्रविष्टि सामान्य नहीं है {{math|−1}}.

एक प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह का उदाहरण जो क्रमचय आव्यूह नहीं है
[[File:Matrice signes alternants 4x4.svg|thumbnail|पहेली चित्र]]:<math>
\begin{bmatrix} 
0&0&1&0\\
1&0&0&0\\
0&1&-1&1\\
0&0&1&0
\end{bmatrix}.
</math>


== प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह प्रमेय ==
प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह प्रमेय बताता है कि की संख्या <math>n\times n</math> प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह है
:<math>
\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(3k+1)!}{(n+k)!} = \frac{1!\, 4! \,7! \cdots (3n-2)!}{n!\, (n+1)! \cdots (2n-1)!}.
</math>
इस क्रम में n = 0, 1, 2, 3, … के लिए पहले कुछ पद हैं
:1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … {{OEIS|id=A005130}}.

यह प्रमेय पहली बार 1992 में [[डोरोन ज़िलबर्गर]] द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>Zeilberger, Doron, [http://www.combinatorics.org/Volume_3/Abstracts/v3i2r13.html "Proof of the alternating sign matrix conjecture"], ''[http://www.combinatorics.org/ Electronic Journal of Combinatorics]'' 3 (1996), R13.</ref> 1995 में, [[ ग्रेग कूपरबर्ग |ग्रेग कूपरबर्ग]] ने एक छोटा प्रमाण दिया<ref>[[Greg Kuperberg|Kuperberg, Greg]], [http://arxiv.org/abs/math.CO/9712207 "Another proof of the alternating sign matrix conjecture"], ''International Mathematics Research Notes'' (1996), 139-150.</ref> डोमेन-दीवार सीमा नियमो के साथ सिक्स-वर्टेक्स मॉडल के लिए यांग-बैक्सटर समीकरण पर आधारित, जो अनातोली इज़ेरगिन के कारण एक निर्धारक गणना का उपयोग करता है।<ref>"Determinant formula for the six-vertex model", A. G. Izergin et al. 1992 ''J. Phys. A'': Math. Gen. 25 4315.</ref> 2005 में, [[ इल फिशर |इल फिशर]] द्वारा तीसरा प्रमाण दिया गया था जिसे ऑपरेटर विधि कहा जाता है।<ref>{{Cite journal|last=Fischer|first=Ilse|title=परिष्कृत वैकल्पिक साइन मैट्रिक्स प्रमेय का एक नया प्रमाण|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|year=2005|volume=114|issue=2|pages=253–264|doi=10.1016/j.jcta.2006.04.004|arxiv=math/0507270|bibcode=2005math......7270F}}</ref>
== रज़ूमोव-स्ट्रोगनोव समस्या ==

2001 में, ए. रज़ूमोव और वाई. स्ट्रोगानोव ने ओ (1) लूप मॉडल, फुली पैक्ड लूप मॉडल (एफपीएल) और एएसएम के बीच संबंध का अनुमान लगाया।<ref>Razumov, A.V., Stroganov Yu.G., [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0012141 Spin chains and combinatorics], ''Journal of Physics A'', '''34''' (2001), 3185-3190.</ref> यह अनुमान 2010 में कैंटिनी और स्पोर्टिएलो द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>L. Cantini and A. Sportiello, [https://arxiv.org/abs/1003.3376 Proof of the Razumov-Stroganov conjecture]''Journal of Combinatorial Theory, Series A'', '''118 (5)''', (2011) 1549–1574,</ref>
==संदर्भ==
{{reflist}}


==अग्रिम पठन==
* [[David Bressoud|Bressoud, David M.]], ''Proofs and Confirmations'', MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.
* [[David Bressoud|Bressoud, David M.]] and Propp, James, [https://www.ams.org/notices/199906/fea-bressoud.pdf How the alternating sign matrix conjecture was solved], ''Notices of the American Mathematical Society'', 46 (1999), 637–646.
* Mills, William H., [[David P. Robbins|Robbins, David P.]], and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, ''Inventiones Mathematicae'', 66 (1982), 73–87.
* Mills, William H., [[David P. Robbins|Robbins, David P.]], and Rumsey, Howard Jr., Alternating sign matrices and descending plane partitions, ''Journal of Combinatorial Theory, Series A'', 34 (1983), 340–359.
* Propp, James, [https://arxiv.org/abs/math/0208125v1 The many faces of alternating-sign matrices], ''Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science'', Special issue on ''Discrete Models: Combinatorics, Computation, and Geometry'' (July 2001).
* Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., [https://arxiv.org/abs/math/0104216 Combinatorial nature of ground state vector of O(1) loop model], ''Theor. Math. Phys.'', '''138''' (2004), 333–337.
* Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., O(1) loop model with different boundary conditions and symmetry classes of alternating-sign matrices], ''Theor. Math. Phys.'', '''142''' (2005), 237–243, {{arxiv|cond-mat/0108103}}
* [[David P. Robbins|Robbins, David P.]], The story of <math>1, 2, 7, 42, 429, 7436, \dots</math>, ''The Mathematical Intelligencer'', 13 (2), 12–19 (1991), {{doi|10.1007/BF03024081}}.
* [[Doron Zeilberger|Zeilberger, Doron]], [http://nyjm.albany.edu:8000/j/1996/2-4.pdf Proof of the refined alternating sign matrix conjecture], ''New York Journal of Mathematics'' 2 (1996), 59–68.


==बाहरी संबंध==
* [http://mathworld.wolfram.com/AlternatingSignMatrix.html Alternating sign matrix] entry in [[MathWorld]]
* [http://www.findstat.org/AlternatingSignMatrices Alternating sign matrices] entry in the [http://www.findstat.org/ FindStat] database

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