View source for प्रायिकता संभावना (कम्यूटिंग प्रोबेबिलिटी)

{{Short description|The probability that two uniform random elements of a finite group commute with each other}}

गणित में अधिक त्रुटिहीन रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, [[परिमित समूह]] के आने की प्रायिकता (जिसे क्रमविनिमेयता या क्रमविनिमेयता डिग्री भी कहा जाता है) [[संभावना]] है कि दो अनियमित रूप से चयन किये गए तत्व [[ क्रमचयी गुणधर्म ]]हैं।<ref>{{cite journal|doi=10.1080/00029890.1973.11993437|title=What is the Probability that Two Group Elements Commute?|journal=The American Mathematical Monthly|volume=80|issue=9|pages=1031–1034|year=1973|last1=Gustafson|first1=W. H.}}</ref><ref>{{cite journal|title=परिमित समूहों में क्रमविनिमेयता के आकलन पर एक सर्वेक्षण|journal=Southeast Asian Bulletin of Mathematics|volume=37|issue=2|pages=161–180|year=2013|last1=Das|first1=A. K.|last2=Nath|first2=R. K.|last3=Pournaki|first3=M. R.}}</ref>इसका उपयोग यह मापने के लिए किया जा सकता है कि परिमित समूह [[एबेलियन समूह]] के कितने निकट है। इसे उपयुक्त [[संभाव्यता माप]] से लैस अनंत [[समूह (गणित)]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है,<ref name=":0" />और अन्य [[बीजगणितीय संरचना]] जैसे रिंग (गणित) के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।<ref name=":1" />


== परिभाषा ==
<math>G</math> परिमित समूह है। जिसे <math>p(G)</math> के तत्वों के जोड़े की औसत संख्या के रूप में <math>G</math> द्वारा परिभाषित किया गया है:
:<math>p(G) := \frac{1}{\# G^2} \#\!\left\{ (x,y) \in G^2 \mid xy=yx \right\}</math>
जहाँ <math>\# X</math> परिमित समुच्चय की [[प्रमुखता]] <math>X</math> को दर्शाता है।

यदि कोई [[असतत समान वितरण]] <math>G^2</math>, <math>p(G)</math> पर विचार करता है कि दो अनियमित रूप से चयन किये गए तत्व <math>G</math> आने-जाने की संभावना होती है। इस प्रकार <math>G</math> को <math>p(G)</math> पर आने वाली संभावना कहा जाता है।

== परिणाम ==
* परिमित समूह <math>G</math> एबेलियन है [[अगर और केवल अगर|यदि]] <math>p(G) = 1</math>
* किसी के पास
::<math>p(G) = \frac{k(G)}{\# G}</math>
: जहाँ <math>k(G)</math> के संयुग्मी वर्गों की संख्या <math>G</math> है।
* यदि <math>G</math> एबेलियन नहीं है तो <math>p(G) \leq 5/8</math> (इस परिणाम को कभी-कभी 5/8 प्रमेय कहा जाता है<ref>{{cite web|url=https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/16/the-5-8-theorem/|title=The 5/8 Theorem|last=Baez|first=John C.|date=2018-09-16|website=Azimut}}</ref>) और ऊपरी सीमा स्पष्ट है: अनंत रूप से कई परिमित समूह हैं <math>G</math> ऐसा है कि <math>p(G) = 5/8</math>, सबसे छोटा [[डायहेड्रल समूह]] है।
* कोई समान निचली सीमा <math>p(G)</math> नहीं है तो वास्तव में, प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] के लिए <math>n</math> परिमित समूह उपस्तिथ है <math>G</math> ऐसा है कि  <math>p(G) = 1/n</math>.
* यदि <math>G</math> एबेलियन नहीं अन्यथा सरल समूह है, फिर <math>p(G) \leq 1/12</math> (ऊपरी सीमा <math>\mathfrak{A}_5</math> द्वारा प्राप्त की जाती है, डिग्री 5 [[वैकल्पिक समूह]]) है।
* परिमित समूहों की आने-जाने की संभावनाओं का समुच्चय रिवर्स-वेल-ऑर्डर है, और इसके ऑर्डर प्रकार के रिवर्स को या तो <math>\omega^\omega</math> या <math>\omega^{\omega^2}</math>द्वारा जाना जाता है <ref>{{cite journal|title=परिमित समूहों की कम्यूटिंग संभावनाएं|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|volume=47|issue=5|pages=796-808|year=2015|last=Eberhard|first=Sean|arxiv=1411.0848}}</ref>


== सामान्यीकरण ==

* आने-जाने की संभावना को अन्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे परिमित वलय के लिए परिभाषित किया जा सकता है।<ref name=":1">{{cite journal|doi=10.1080/00029890.1976.11994032|title=परिमित रिंगों में क्रमविनिमेयता|journal=The American Mathematical Monthly|volume=83|pages=30–32|year=1976|last1=Machale|first1=Desmond}}</ref>
* आने-जाने की संभावना को अनंत [[कॉम्पैक्ट समूह|कॉम्पैक्ट समूहों]] के लिए परिभाषित किया जा सकता है; संभाव्यता माप तब, पुनर्सामान्यीकरण के पश्चात, हार उपाय है।<ref name=":0">{{cite journal|doi=10.1017/S0305004112000308|title=संभावना है कि एक्स और वाई एक कॉम्पैक्ट समूह में यात्रा करते हैं|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=153|issue=3|pages=557–571|year=2012|last1=Hofmann|first1=Karl H.|last2=Russo|first2=Francesco G.|arxiv=1001.4856}}</ref>


== संदर्भ ==
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