View source for फ़िल्टर (गणित)

{{short description|In mathematics, a special subset of a partially ordered set}}
{{for|समुच्चय पर फ़िल्टर|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)}}
{{other uses|फ़िल्टर (बहुविकल्पी)}}
[[File:Filter vs ultrafilter.svg|thumb|समुच्चय की पावर समुच्चय फिल्टर {{Math|{{brace|1, 2, 3, 4}}}}, [[ऊपरी सेट|ऊपरी समुच्चय]] के साथ {{Math|&uparrow;{{brace|1, 4}}}} गहरे हरे रंग का। यह ऊपरी समुच्चय फिल्टर है, और यहां तक कि {{em|प्रमुख फ़िल्टर}}. यह नहीं है {{em|अल्ट्रा फिल्टर}}, क्योंकि इसमें हल्के हरे रंग के तत्व भी सम्मिलित हैं जो इसे बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर तक विस्तारित करते हैं {{Math|&uparrow;{{brace|1}}}}. चूँकि उत्तरार्द्ध को आगे नहीं बढ़ाया जा सकता है, {{Math|&uparrow;{{brace|1}}}} अल्ट्राफिल्टर है.]]गणित में, '''फ़िल्टर''' या ऑर्डर फ़िल्टर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए [[सबसेट|उपसमुच्चय]] (पोसमुच्चय) का विशेष उपसमुच्चय है, जो बड़े या अंतिम तत्वों का वर्णन करता है। फ़िल्टर ऑर्डर सिद्धांत और [[जाली सिद्धांत|फिल्टर सिद्धांत]] में दिखाई देते हैं, अपितु [[टोपोलॉजी]] में भी, जहां से उनकी उत्पत्ति होती है। इस प्रकार फिल्टर के लिए द्वैत ([[आदेश सिद्धांत]]) की धारणा [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)]] है।

फिल्टर की विशेष स्थितियों में [[ अल्ट्राफ़िल्टर |अल्ट्राफ़िल्टर]] सम्मिलित है, जो ऐसे फिल्टर हैं जिन्हें बड़ा नहीं किया जा सकता है, और [[गणितीय तर्क]] में गैर-रचनात्मक तकनीकों का वर्णन करते हैं।

[[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] 1937 में [[ हेनरी कर्तन |हेनरी कर्तन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था। इस प्रकार [[निकोलस बॉर्बकी]] ने अपनी पुस्तक ''टोपोलोगी जेनरल'' में ई. एच. मूर और हरमन एल. स्मिथ की 1922 की [[नेट (टोपोलॉजी)]] की धारणा के विकल्प के रूप में फिल्टर को लोकप्रिय बनाया गया हैं, इस प्रकार ऑर्डर फ़िल्टर इस धारणा को [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|समावेशन (समुच्चय सिद्धांत)]] के अनुसार [[ सत्ता स्थापित |असेम्बली स्थापित]] के विशिष्ट स्थितियों से लेकर मनमाने ढंग से आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय तक सामान्यीकृत करते हैं। फिर भी फ़िल्टर के समुच्चय सिद्धांत या पावर-समुच्चय फ़िल्टर का सिद्धांत टोपोलॉजी में पर्याप्त फ़िल्टर के लिए, अपने आप में रुचि निरंतर रखता है।

==प्रेरणा==

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय को ठीक करें या आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय (पोसमुच्चय) को {{Mvar|P}} द्वारा ठीक करते हैं। इस प्रकार सहजता से, फ़िल्टर{{Mvar|F}} का उपसमुच्चय {{Mvar|P}} है, इस प्रकार जिनके सदस्य किसी मानदंड को पूरा करने के लिए पर्याप्त बड़े तत्व हैं।{{sfn|Koutras|Moyzes|Nomikos|Tsaprounis|2021|p=}} उदाहरण के लिए, यदि {{Math|''x'' &isin; ''P''}}, फिर उपरोक्त तत्वों का समुच्चय {{Mvar|x}} फिल्टर है, जिसे प्रिंसिपल फिल्टर को {{Mvar|x}} कहा जाता है, इस प्रकार यदि {{Mvar|x}} और {{Mvar|y}} तुलनीयता तत्व {{Mvar|P}} हैं, इस प्रकार न तो प्रिंसिपल फ़िल्टर पर {{Mvar|x}} और न {{Mvar|y}} दूसरे में समाहित है।

इसी प्रकार समुच्चय पर फिल्टर {{Mvar|S}} में इस प्रकार के उपसमुच्चय सम्मिलित रहते हैं जो दिए गए कुछ को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त रूप से बड़े हैं, उदाहरण के लिए, यदि {{Mvar|S}} वास्तविक रेखा है और {{Math|''x'' &isin; ''S''}}, फिर समुच्चय समूह के लिए {{Mvar|x}} भी सम्मिलित है, इनके [[ आंतरिक (टोपोलॉजी) |आंतरिक (टोपोलॉजी)]] में फिल्टर होता है, जिसे नेबरहुड फिल्टर एट {{Mvar|x}} कहा जाता है, इस प्रकार इस स्थिति में इससे {{Mvar|x}} का मान थोड़ा अधिक रहता है, अपितु इसमें अभी भी रेखा का कोई अन्य विशिष्ट बिंदु सम्मिलित नहीं होते है।

उपरोक्त विचार फ़िल्टर (गणित) परिभाषा में ऊपर की ओर बंद होने की आवश्यकता को प्रेरित करते हैं: इसके लिए पर्याप्त वस्तुओं को सदैव बड़ा बनाया जा सकता है।

अन्य दो स्थितियों को समझने के लिए भूमिकाओं को व्युत्क्रम करके और इसके अतिरिक्त इस प्रकार इस पर विचार करें तो {{Mvar|F}} को खोजने के लिए स्थान निर्धारण योजना के रूप में {{Mvar|x}} के लिए इस व्याख्या में व्यक्ति किसी स्थान में {{Mvar|X}} को खोजा जाता है, और इस प्रकार {{Mvar|F}} की अपेक्षा करता है, जिसके लिए उन उपसमुच्चय का वर्णन करने के लिए {{Mvar|X}} जिसमें लक्ष्य सम्मिलित है। इस प्रकार यह लक्ष्य कहीं न कहीं स्थित होना चाहिए, इस प्रकार [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] {{Math|&emptyset;}} कभी भी {{Mvar|F}} के अंदर नहीं आ सकता, और यदि दो उपसमूहों में लक्ष्य सम्मिलित है, तो उन्हें उनके सामान्य क्षेत्र पर ज़ूम करना चाहिए।

एक अल्ट्राफिल्टर आदर्श स्थान निर्धारण योजना का वर्णन करता है जहां प्रत्येक योजना घटक नई जानकारी देता है। इसके कारण कॉम्पैक्टनेस ऑर्डर्ड स्पेस वह गुण है जिसके कारण प्रत्येक खोज लाभकारी होती है, या, इसे दूसरे तरीके से कहें तो, प्रत्येक पता लगाने की योजना खोज परिणाम में समाप्त होती है।

फ़िल्टर का सामान्य उपयोग उन गुणों को परिभाषित करना है जो कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के सामान्य तत्वों से संतुष्ट होते हैं।<ref>{{cite arXiv|last1=Igarashi|first1=Ayumi|last2=Zwicker|first2=William S.|date=16 February 2021|title=ग्राफ़ और उलझे हुए केक का उचित विभाजन|class=math.CO|eprint=2102.08560}}</ref> यह एप्लिकेशन उन बिंदुओं को ढूंढने के लिए स्थान निर्धारण योजना को सामान्यीकृत करता है जिन्हें स्पष्ट रूप से लिखना कठिन हो सकता है।

==परिभाषा==
उपसमुच्चय {{Mvar|F}} आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय का{{Math|(''P'', &leq;)}} फ़िल्टर या दोहरा आदर्श है यदि:

; गैर-तुच्छता: समुच्चय {{Mvar|F}} रिक्त समुच्चय है।
; [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]]: प्रत्येक के लिए {{Math|''x'', ''y'' &isin; ''F''}}, वहाँ कुछ {{Math|''z'' &isin; ''F''}} ऐसा है कि {{Math|''z'' &leq; ''x''}} और {{Math|''z'' &leq; ''y''}} के समान हों।
; उच्च समुच्चय: प्रत्येक के लिए {{Math|''x'' &isin; ''F''}} और {{Math|''p'' &isin; ''P''}}, स्थिति {{Math|''x'' &leq; ''p''}} तात्पर्य  {{Math|''p'' &isin; ''F''}} के समान हैं।:इस प्रकार यदि {{Math|''F'' &NotEqual; ''P''}} फिर भी {{Mvar|F}} को उचित फ़िल्टर कहा जाता है। समुच्चय सिद्धांत और गणितीय तर्क में लेखकों को अधिकांशतः सभी फ़िल्टर उचित होने की आवश्यकता होती है, यह लेख उस परंपरा को ''त्याग'' देता हैं।{{sfn|Dugundji|1966|pp=211-213}} इस प्रकार अल्ट्राफ़िल्टर ऐसा फ़िल्टर है जो किसी अन्य उचित फ़िल्टर में सम्मिलित नहीं होता है।
=== फ़िल्टर का आधार ===
उपसमुच्चय {{Mvar|S}} का {{Mvar|F}} का आधार या आधार {{Mvar|F}} है, इस प्रकार यदि ऊपरी समुच्चय द्वारा {{Mvar|S}} उत्पन्न होता है, अर्थात, सबसे छोटा ऊपर की ओर बंद युक्त {{Mvar|S}}) सब है {{Mvar|F}}. प्रत्येक फ़िल्टर अपने लिए आधार है।

इसके अतिरिक्त, यदि {{Math|''B'' &subseteq; ''P''}} तो फिर रिक्त नहीं है, और नीचे की ओर {{Mvar|B}} निर्देशित है,  इसका ऊपरी समुच्चय {{Mvar|F}} का मान उत्पन्न करता है, जो इसका मुख्य फ़िल्टर है, जिसके लिए {{Mvar|B}} आधार है, ऐसे समुच्चय को प्रीफ़िल्टर कहा जाता है, इसके साथ ही उपरोक्त फ़िल्टर बेस/आधार भी कहा जाता है, जिसके लिए {{Mvar|F}} द्वारा उत्पन्न या फैला हुआ {{Mvar|B}} कहा जाता है, इस प्रकार प्रीफ़िल्टर तभी उचित है जब यह उचित फ़िल्टर उत्पन्न करता है।

इसके कारण दिए गए {{Math|''p'' &isin; ''P''}}, समुच्चय {{Math|{{brace|''x'' : ''p'' &leq; ''x''}}}} सबसे छोटा फ़िल्टर {{Math|''p''}} है, और कभी-कभी इसे {{Math|&uparrow; ''p''}} द्वारा भी लिखा जाता है, ऐसे फ़िल्टर को प्रिंसिपल फ़िल्टर {{Math|''p''}} कहा जाता है,  जिसका प्रमुख तत्व {{Mvar|F}} कहा जाता है , जो {{Mvar|F}} का मान उत्पन्न करता हैं।

==== परिष्कार ====
कल्पना करना {{Mvar|B}} और {{Mvar|C}} दो प्रीफ़िल्टर {{Mvar|P}} हैं, और, प्रत्येक के लिए {{Mvar|''c'' &isin; ''C''}},  {{Math|''b'' &isin; ''B''}}, का मान इस प्रकार हैं कि {{Math|''b'' &leq; ''c''}}. तो फिर हम कहते हैं कि {{Mvar|B}} फाइनर हैं। इससे बहिष्कृत या परिष्कृत {{Mvar|C}}, वैसे ही, {{Mvar|C}} से अधिक मोटा {{Mvar|B}} है, इसके लिए प्रीफ़िल्टर के समुच्चय पर शोधन [[पूर्व आदेश]] है। इस प्रकार यदि {{Mvar|C}} परिष्कृत भी {{Mvar|B}} द्वारा करता है, तब {{Mvar|B}} और {{Mvar|C}} समतुल्य कहलाते हैं, क्योंकि वे समान फ़िल्टर उत्पन्न करते हैं। इस प्रकार प्रीफ़िल्टर से फ़िल्टर तक का मार्ग प्रीऑर्डरिंग से संबद्ध आंशिक ऑर्डरिंग तक जाने का उदाहरण है।

== विशेष स्थिति ==
ऐतिहासिक रूप से, फ़िल्टर को इससे आंशिक आदेशों से पहले [[ जाली (आदेश) |फिल्टर (आदेश)]] या ऑर्डर-सैद्धांतिक लैटिस के लिए सामान्यीकृत किया गया है। इस प्रकार फिल्टर की इस स्थिति में नीचे की दिशा को परिमित मीट (गणित) के अनुसार समापन के रूप में लिखा जा सकता है: इस प्रकार सभी {{Math|''x'', ''y'' &isin; ''F''}} के लिए किसी के पास {{Math|''x'' &and; ''y'' &isin; ''F''}} का मान रहता हैं।<ref>{{cite book |last1=Davey |first1=B. A. |title=लैटिस और ऑर्डर का परिचय|title-link=लैटिस और ऑर्डर का परिचय|last2=Priestley |first2=H. A. |publisher=Cambridge University Press |year=1990 |series=Cambridge Mathematical Textbooks |page=184}}</ref> 

=== रैखिक फिल्टर ===
इसके रैखिक (अल्ट्रा) फिल्टर किसी दिए गए [[सदिश स्थल]] के वेक्टर उप-स्थान के फिल्टर (क्रम) पर (अल्ट्रा) फिल्टर है, जो समावेशन द्वारा क्रमबद्ध है। इस प्रकार स्पष्ट रूप से, सदिश स्थान पर रैखिक फ़िल्टर{{Mvar|X}} समूह है{{Math|{{mathcal|B}}}} सदिश उप-स्थानों का {{Mvar|X}} ऐसे कि यदि {{Math|''A'', ''B'' &isin; {{mathcal|B}}}} और {{Mvar|C}} का सदिश उपसमष्टि {{Mvar|X}} है, इस प्रकार इसमें {{Mvar|A}} का मान सम्मिलित है, इस स्थिति में {{Math|''A'' &cap; ''B'' &isin; {{mathcal|B}}}} और {{Math|''C'' &isin; {{mathcal|B}}}} के समान हैं।{{sfn|Bergman|Hrushovski|1998|p=}}

यदि इसमें सम्मिलित नहीं है तो रैखिक फ़िल्टर {{Math|{{brace|0}}}} उचित है।{{sfn|Bergman|Hrushovski|1998|p=}}

=== एक समुच्चय पर फ़िल्टर, उपआधार ===
{{Main|फिल्टर (समुच्चय सिद्धांत)}}
{{Families of sets}}
{{Mvar|S}} द्वारा दिया गया समुच्चय मुख्य रूप से {{Math|{{mathcal|P}}(''S'')}} पावर समुच्चय को आंशिक रूप से समुच्चय समावेशन द्वारा निर्धारित आदेश देता है, इस पोसमुच्चय पर फ़िल्टर को अधिकांशतः केवल फ़िल्टर ऑन {{Mvar|S}} कहा जाता है, ऐसे पोसमुच्चय के लिए, नीचे की दिशा और ऊपर की ओर बंद होना कम हो जाता है:{{sfn|Dugundji|1966|pp=211-213}}
; परिमित प्रतिच्छेदन के अंतर्गत समापन: यदि {{Math|''A'', ''B'' &isin; ''F''}}, तो भी {{Math|''A'' &cap; ''B'' &isin; ''F''}} का मान ऐसा ही है।
; आइसोटोनी{{sfn|Dolecki|Mynard| 2016|pp=27-29}}: इस प्रकार यदि {{Math|''A'' &isin; ''F''}} और {{Math|''A'' &subseteq; ''B'' &subseteq; ''S''}}, तब {{Math|''B'' &isin; ''F''}} के समान हैं। :इसके लिए उचित<ref>{{cite book |last1=Goldblatt |first1=R |url=https://archive.org/stream/springer_10.1007-978-1-4612-0615-6/10.1007-978-1-4612-0615-6#page/n31/mode/2up/search/proper+filter |title=Lectures on the Hyperreals: an Introduction to Nonstandard Analysis |page=32}}</ref>/गैर पतित{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}}फ़िल्टर वह है जिसमें {{Math|&emptyset;}} सम्मिलित नहीं है, और इस प्रकार ये तीन स्थितियाँ (गैर-अध: पतन सहित) हेनरी कार्टन की फ़िल्टर की मूल परिभाषा हैं।{{sfn|Cartan|1937a|p=}}{{sfn|Cartan|1937b|p=}} यह सामान्य है - चूंकि सार्वभौमिक नहीं - समुच्चय पर फ़िल्टर को उचित होना आवश्यक है, इस प्रकार पोसमुच्चय फ़िल्टर पर किसी का रुख चाहे जो भी हो, हम फिर से इस सम्मेलन से बचेंगे।

किसी समुच्चय पर प्रीफ़िल्टर तभी उचित होते हैं जब उनमें ऐसा न हो {{Math|&emptyset;}} दोनों में से एक हैं।

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए{{Mvar|T}} का {{Math|{{mathcal|P}}(''S'')}}, सबसे छोटा फ़िल्टर है, इस प्रकार {{Mvar|F}} युक्त {{Mvar|T}} प्रीफ़िल्टर के समान {{Mvar|T}} उत्पन्न होने वाला {{Mvar|F}} कहा जाता है, जिसके लिए आधार {{Mvar|F}} समुच्चय है, जहाँ {{Mvar|U}} के सभी परिमित प्रतिच्छेदनों में से {{Mvar|T}} को समुच्चय {{Mvar|T}} के लिए फ़िल्टर सबबेस कहा जाता है जब {{Mvar|F}} और इस प्रकार {{Mvar|U}} का मान उचित रहता हैं।

समुच्चय पर उचित फ़िल्टर में परिमित प्रतिच्छेदन गुण होता है।

अगर {{Math|''S'' {{=}} &emptyset;}}, तब {{Mvar|S}} केवल अनुचित फ़िल्टर {{Math|{{brace|&emptyset;}}}} को स्वीकार करता है।

==== निःशुल्क फ़िल्टर ====
एक फ़िल्टर को मुफ़्त कहा जाता है, यदि उसके सदस्यों का प्रतिच्छेदन रिक्त है। उचित प्रिंसिपल फ़िल्टर निःशुल्क नहीं है।

चूँकि फ़िल्टर के सदस्यों की किसी भी सीमित संख्या का प्रतिच्छेदन भी सदस्य है, परिमित समुच्चय पर कोई भी उचित फ़िल्टर मुफ़्त नहीं है, और वास्तव में इसके सभी सदस्यों के सामान्य प्रतिच्छेदन द्वारा उत्पन्न प्रमुख फ़िल्टर है। अपितु अनंत समुच्चय पर गैर-प्रमुख फ़िल्टर इस प्रकार आवश्यक रूप से मुफ़्त नहीं है: इस प्रकार फ़िल्टर तभी रिक्त है जब इसमें फ़्रेचेट फ़िल्टर के लिए {{Slink||Examples}} सम्मिलित रहता हैं।

== उदाहरण ==
परिमित पोसमुच्चय पर फ़िल्टर के सरल उदाहरण के लिए इस आलेख के शीर्ष पर {{Math|{{mathcal|P}}({1, 2, 3, 4})}} की छवि देखें।

इसके आधार पर आंशिक रूप से ऑर्डर {{Math|{{mathbb|R}} &rarr; {{mathbb|R}}}} करें, जहाँ वास्तविक मूल्यवान कार्यों का स्थान {{Math|{{mathbb|R}}}}, बिन्दुवार तुलना द्वारा प्राप्त होता हैं। फिर इसके पश्चात अनंत पर बड़े फलनों का समुच्चय इस प्रकार प्राप्त होता हैं-<math display="block">\left\{f:\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\infty\right\}\text{,}</math>


एक फ़िल्टर चालू है {{Math|{{mathbb|R}} &rarr; {{mathbb|R}}}}. कोई इस निर्माण को डोमेन को कॉम्पेक्टिफिकेशन (गणित) और कोडोमेन को पूरा करने (ऑर्डर सिद्धांत) द्वारा अधिकांशतः सामान्यीकृत कर सकता है: यदि {{Mvar|X}} विशिष्ट उपसमुच्चय वाला समुच्चय है, इस प्रकार {{Mvar|S}} और {{Mvar|Y}} विशिष्ट तत्व वाले पोसमुच्चय {{Mvar|m}} है, तब इस स्थिति में {{Math|{{brace|''f'' : ''f''&thinsp;&verbar;<sub>''S''</sub> &geq; ''m''}}}} फिल्टर {{Math|''X'' &rarr; ''Y''}} है, जहाँ समुच्चय {{Math|{{brace|{{brace|''k'' : ''k'' &geq; ''N''}} : ''N'' &isin; {{mathbb|N}}}}}} फिल्टर {{Math|{{mathcal|P}}({{mathbb|N}})}} है, इस प्रकार सामान्यतः यदि {{Mvar|D}}  सामान्य हो तो इस स्थिति में निर्देशित समुच्चय इस प्रकार होगा-<math display="block">\{\{k:k\geq N\}:N\in D\}</math>


जिसमें फिल्टर {{Math|{{mathcal|P}}(''D'')}} है, जिसे टेल फिल्टर कहा जाता है। इसी प्रकार कोई भी नेट (टोपोलॉजी){{Math|{{brace|''x''<sub>&alpha;</sub>}}<sub>&alpha;&isin;&Alpha;</sub>}}संभावितता फ़िल्टर {{Math|{{brace|{{brace|''x''<sub>&beta;</sub> : &alpha; &leq; &beta;}} : &alpha; &isin; &Alpha;}}}} उत्पन्न करता है, इस प्रकार टेल फ़िल्टर इसके लिए संभावित फ़िल्टर {{Math|''x''<sub>&alpha;</sub> {{=}} &alpha;}} है, इसके आधार पर अनंत समुच्चय पर फ़्रेचेट फ़िल्टर {{Mvar|X}}  है-<math display="block">\{A:X\setminus A\text{ finite}\}\text{.}</math>


यदि {{Math|(''X'', &mu;)}} माप स्थान है, इस स्थिति में संग्रह {{Math|{{brace|''A'' : &mu;(''A'') > 0}}}} फ़िल्टर है, यहाँ पर यदि {{Math|&mu;(''X'') {{=}} &infin;}}, तब {{Math|{{brace|''A'' : &mu;(''X'' &setminus; ''A'') < &infin;}}}} भी फ़िल्टर है, इस प्रकार फ़्रेचेट फ़िल्टर ऐसी स्थिति है जहां {{Math|&mu;}} [[गिनती का माप|गिनती की माप]] को प्रदर्शित करता है।

इस प्रकार इस आदेश के लिए {{Mvar|a}} का उपसमुच्चय {{Mvar|a}} को [[क्लब सेट|क्लब समुच्चय]] कहा जाता है, यदि इसे [[ऑर्डर टोपोलॉजी]] में बंद किया जाता है, तो {{Mvar|a}} नेट-सैद्धांतिक सीमा {{Mvar|a}} को प्रदर्शित करती है, जिसके क्लब {{Mvar|a}} फ़िल्टर बनाएं जाते हैं: जो [[क्लब फ़िल्टर]],{{Math|&clubs;(''a'')}} के द्वारा प्रदर्शित किये जाते हैं।

इस प्रकार निम्नानुसार यह इसे सामान्यीकृत करता है: जहाँ पर क्लब{{Mvar|C}} भी सघन उपसमुच्चय क्रमिक टोपोलॉजी में इसका संग्रह करता है, यहाँ पर {{Mvar|a}}, और {{Math|&clubs;(''a'')}} के प्रत्येक तत्व से मिलता है, जहाँ {{Mvar|C}} के स्थान पर {{Mvar|C}} के संग्रह के साथ{{Mvar|C&#771;}} [[सघन सेट (आदेश)|सघन समुच्चय (आदेश)]] के लिए इसके ऑर्डर में सामान्यतः प्रत्येक तत्व को पूरा करने वाला फ़िल्टर उपस्थित होता है, यहाँ पर इस प्रकार {{Mvar|C&#771;}}, जिसे [[सामान्य फ़िल्टर]] कहा जाता है। इसकी गणना के लिए {{Mvar|C&#771;}}, रसियोवा-सिकोरस्की लेम्मा का तात्पर्य है कि ऐसा फ़िल्टर उपस्थित होना चाहिए, इस प्रकार कम मान वाले [[बेशुमार सेट|समुच्चय]] के लिए {{Mvar|C&#771;}}, ऐसे फिल्टर का अस्तित्व मार्टिन के स्वयंसिद्ध के माध्यम से अनुपयोगी हो सकता है।

इसके आधार पर {{Math|''P''}} इस ब्रह्मांड के आंशिक क्रम (गणित), [[मोडुलो (गणित)]] [[समरूपता (बीजगणित)]] के समुच्चय को निरूपित करता हैं। यहाँ पर आंशिक रूप से {{Mvar|P}} ऑर्डर द्वारा उक्त मान प्राप्त होता हैं।
:{{Math|''A'' &leq; ''B''}} यदि यह {{Math|''f'' : ''A'' &rarr; ''B''}} से वृद्धि को सम्मिलित करता है।
फिर परमाणु का उपसमुच्चय आदेश सिद्धांत या गैर-परमाणु आंशिक आदेश फ़िल्टर बनाता है। इसी प्रकार यदि {{Mvar|I}} सीमित कार्डिनैलिटी, मॉड्यूलो आइसोमोर्फिज्म के कुछ दिए गए [[ क्रमविनिमेय वलय |क्रमविनिमेय वलय]] पर [[ इंजेक्शन मॉड्यूल |इंजेक्शन मॉड्यूल]] का समुच्चय है, फिर आंशिक क्रम {{Mvar|I}} है:
:{{Math|''A'' &leq; ''B''}} यदि कोई [[इंजेक्शन समारोह|इंजेक्शन फलन]] [[मॉड्यूल समरूपता]] {{Math|''f'' : ''A'' &rarr; ''B''}} उपस्थित है,<ref>{{Cite journal |last=Bumby |first=R. T. |date=1965-12-01 |title=मॉड्यूल जो एक दूसरे के सबमॉड्यूल के समरूपी होते हैं|url=https://doi.org/10.1007/BF01220018 |journal=Archiv der Mathematik |language=en |volume=16 |issue=1 |pages=184–185 |doi=10.1007/BF01220018 |issn=1420-8938}}</ref> किसी अनंत कार्डिनल को देखते हुए {{Math|&kappa;}}, मॉड्यूल में {{Mvar|I}} जो इससे कम से उत्पन्न नहीं किया जा सकता {{Math|&kappa;}} तत्व फिल्टर बनाते हैं।

समुच्चय पर हर समान संरचना{{Mvar|X}} फ़िल्टर {{Math|''X'' &times; ''X''}}. है। 

==आदर्शों से संबंध==
{{Main|आदर्श (आदेश सिद्धांत)}}

एक फिल्टर के लिए द्वंद्व गणित अर्थात, सभी को व्युत्क्रम करके इसके द्वारा प्राप्त की गई अवधारणा {{Math|&leq;}} और आदान-प्रदान {{Math|&and;}} साथ {{Math|&or;}}— ऑर्डर आदर्श है। इस प्रकार इस द्वंद्व के कारण, फ़िल्टर के किसी भी प्रश्न को यांत्रिक रूप से आदर्शों के बारे में प्रश्न में अनुवादित किया जा सकता है और इसके विपरीत, विशेष रूप से, अभाज्य या अधिकतम फ़िल्टर ऐसा फ़िल्टर होता है, जिसका संगत आदर्श (क्रमशः) इस प्रकार अभाज्य या अधिकतम होता है।

यहाँ पर फिल्टर अल्ट्राफिल्टर है, जिसके कारण यदि इससे संबंधित आदर्श न्यूनतम होता हैं।

==मॉडल सिद्धांत में==
{{See also|फ़िल्टर परिमाणक}}

प्रत्येक फ़िल्टर के लिए {{Mvar|F}} समुच्चय पर {{Mvar|S}} द्वारा परिभाषित समुच्चय फलन इस प्रकार होगा-<math display=block>m(A) = \begin{cases}
1 & \text{if }A \in F \\
0 & \text{if }S \smallsetminus A \in F \\
\text{is undefined} & \text{otherwise}
\end{cases}</math>


यहाँ पर परिमित रूप से [[माप (गणित)]] का मान योगात्मक है , इस प्रकार यदि उस शब्द का अर्थ शिथिल रूप से लगाया जाए तो इसके अतिरिक्त, इस प्रकार बनाए गए उपाय हर स्थान पर परिभाषित किए जाते हैं, यहाँ पर इस प्रकार {{mvar|F}} अल्ट्राफिल्टर है, इस प्रकार उक्त कथन के अनुसार-<math display="block">\left\{\,x \in S : \varphi(x)\,\right\} \in F</math>इस सीमा के लिए इसे उक्त कथन के अनुरूप माना जा सकता है, जहाँ {{math|&phi;}}लगभग हर स्थान पर उपस्थित रहता है। यहाँ पर फ़िल्टर में सदस्यता की व्याख्या का उपयोग किया जाता है, जहाँ इस प्रेरणा के लिए, वास्तविक प्रमाण नहीं हैं। इसके गणितीय तर्क की शाखा, [[मॉडल सिद्धांत]] में [[अल्ट्राप्रोडक्ट]] के सिद्धांत में प्रदर्शित होती हैं।

==टोपोलॉजी में==
{{Main|टोपोलॉजी में फ़िल्टर}}
[[सामान्य टोपोलॉजी]] और विश्लेषण में, [[मीट्रिक स्थान]] में [[अनुक्रम]] की भूमिका के समान अभिसरण को परिभाषित करने के लिए फ़िल्टर का उपयोग किया जाता है। वे विभिन्न प्रकार के मनमाने [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में [[सीमा (गणित)]] की अवधारणा को एकीकृत करते हैं।

फ़िल्टर की आवश्यकता को समझने के लिए, [[नेट (गणित)]] की समकक्ष अवधारणा से प्रारंभ करते हैं। इस अनुक्रम के लिए सामान्यतः [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, इस प्रकार इसके आधार पर {{Math|{{mathbb|N}}}}, जो [[पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट|पूर्ण रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय]] है। इसके आधार पर नेट अनुक्रम की धारणा को प्रतिस्थापित करके सामान्यीकृत करते हैं, जिसके आधार पर {{Math|{{mathbb|N}}}} द्वारा निर्देशित समुच्चय के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस की कुछ श्रेणियों में, जैसे कि प्रथम-गणनीय रिक्त स्थान, अनुक्रम अधिकांश टोपोलॉजिकल गुणों की विशेषता बताते हैं, अपितु यह सामान्य रूप से सच नहीं है। चूंकि इस प्रकार नेट को साथ ही फिल्टर के लिए सदैव उन टोपोलॉजिकल गुणों की विशेषता बताते हैं।

फ़िल्टर में टोपोलॉजिकल स्पेस के बाहर कोई भी समुच्चय सम्मिलित नहीं होता है, इस कारण {{Mvar|X}} के लिए इसके अनुक्रम और फिल्टर अन्य निर्देशित समुच्चयों पर निर्भर करते हैं। इस कारण सभी फ़िल्टर का संग्रह {{Mvar|X}} को निरूपित करते है, जहाँ सदैव [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] होता है, जबकि सभी का संग्रह {{Mvar|X}}-मूल्यवान फिल्टर [[उचित वर्ग]] है।

=== समीपस्थ आधार ===
किसी {{Mvar|x}} के टोपोलॉजिकल स्पेस में {{Mvar|X}} के समीपस्थ आधार को {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub>}} द्वारा परिभाषित करते है: अर्थात् इस प्रकार सभी समुच्चयों का समूह {{Mvar|x}} इसके इंटीरियर (टोपोलॉजी) में सम्मिलित होता हैं। इस प्रकार समुच्चय{{Math|{{mathcal|N}}}} के समीपस्थ {{Mvar|x}} इसका [[पड़ोस का आधार|समीपस्थ आधार]] है, इस प्रकार {{Mvar|x}} के लिए यदि {{Math|{{mathcal|N}}}} उत्पन्न करता है, जो {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub>}} मान प्राप्त होता हैं। जहाँ समान्य रूप से, {{Math|''S'' &subseteq; ''X''}} का समीपस्थ मान {{Mvar|x}} है, इस प्रकार यदि इसका मान {{Math|''N'' &isin; {{mathcal|N}}}}  के समान हैं तो {{Math|''N'' &subseteq; ''S''}} प्राप्त होता हैं।

==== अभिसरण फ़िल्टर और क्लस्टर बिंदु ====
एक प्रीफ़िल्टर {{Mvar|B}} बिंदु पर [[अभिसरण प्रीफ़िल्टर]] {{Mvar|x}} का मान {{Math|''B'' &rarr; ''x''}} होता हैं। इस कारण यदि {{Mvar|B}} फ़िल्टर {{Mvar|F}} उत्पन्न करता है, जो समीपस्थ फ़िल्टर {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub>}} में सम्मिलित रहता है, इस कारण स्पष्ट रूप से प्रत्येक पड़ोस के लिए{{Mvar|U}} का मान {{Mvar|x}} रहता हैं, जहाँ {{Math|''V'' &isin; ''B''}} का मान इस प्रकार हैं कि {{Math|''V'' &subseteq; ''U''}} का मान कम होता हैं और यह स्पष्ट रूप से, {{Math|''B'' &rarr; ''x''}} के लिए {{Mvar|B}} का मान {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub>}} के लिए परिष्कृत करता है, और इस प्रकार किसी भी समीपस्थ मान के आधार पर {{Mvar|x}} को {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub>}} द्वारा प्रतिस्थापित कर सकता है। इस प्रकार यह प्रदर्शित होता हैं कि हर समीपस्थ आधार {{Mvar|x}} में {{Mvar|x}} का मान एकत्रित हो जाता है।

यहाँ पर फ़िल्टर {{Mvar|F}} जो स्वयं उत्पन्न होता है, जिसमें {{Mvar|x}} का मान परिवर्तित हो जाता है, यदि {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub> &subseteq; ''F''}}. के लिए इसका समीपस्थ फ़िल्टर को चिह्नित करने के लिए उपरोक्त को व्युत्क्रम भी किया जा सकता है, जहाँ इस प्रकार {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub>}}: {{Math|{{mathcal|N}}<sub>''x''</sub>}} प्रत्येक फ़िल्टर की तुलना में उत्तम फ़िल्टर {{Mvar|x}} प्राप्त होता हैं।

यदि {{Math|''B'' &rarr; ''x''}} के समान हैं तब इस स्थिति में {{Mvar|x}} को फ़िल्टर (बिंदु) की सीमा {{Mvar|B}} कहा जाता है, इस प्रकार इसके कारण प्रीफ़िल्टर {{Mvar|B}} को क्लस्टर {{Mvar|x}} कहा जाता है, जो या {{Mvar|x}} फ़िल्टर के क्लस्टर बिंदु के रूप में प्रदर्शित होता हैं। जिसके लिए यदि प्रत्येक तत्व {{Mvar|B}} के प्रत्येक समीपस्थ होने के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन {{Mvar|x}} के समान होता है। इसके लिए प्रत्येक सीमा बिंदु क्लस्टर बिंदु है, अपितु इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है। चूंकि प्रत्येक क्लस्टर बिंदु {{em|ultra}} फ़िल्टर सीमा बिंदु को दर्शाता है।

== यह भी देखें ==
* {{annotated link|निस्पंदन (गणित)}}
* {{annotated link|निस्पंदन (संभावना सिद्धांत)}}
* {{annotated link|निस्पंदन (अमूर्त बीजगणित)}}
* {{annotated link|सामान्य फ़िल्टर}}
* {{annotated link|आदर्श (समुच्चय सिद्धांत)}}

==टिप्पणियाँ==

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==संदर्भ==

* [[Nicolas Bourbaki]], <cite>General Topology</cite> (<cite>Topologie Générale</cite>), {{ISBN|0-387-19374-X}} (Ch. 1-4): Provides a good reference for filters in general topology (Chapter I) and for Cauchy filters in uniform spaces (Chapter II)
* {{Bourbaki Topological Vector Spaces Part 1 Chapters 1–5}}
* {{cite book|last1=Burris|first1=Stanley|last2=Sankappanavar|first2=Hanamantagouda P.|year=2012|title=A Course in Universal Algebra|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-9880552-0-9|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20220401154440/https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf|archive-date=1 April 2022}}
* {{cite journal|last=Cartan|first=Henri|author-link=Henri Cartan|title=Théorie des filtres|title-link=|journal=[[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]]|volume=205|year=1937a|pages=595–598|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3157c/f594.image}}
* {{cite journal|last=Cartan|first=Henri|author-link=Henri Cartan|title=Filtres et ultrafiltres|title-link=|journal=[[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]]|volume=205|year=1937b|pages=777–779|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3157c/f776.image}}
* {{Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology}}
* {{Dugundji Topology}}
* {{cite journal|last1=Koutras|first1=Costas D.|last2=Moyzes|first2=Christos|last3=Nomikos|first3=Christos|last4=Tsaprounis|first4=Konstantinos|last5=Zikos|first5=Yorgos|title=On Weak Filters and Ultrafilters: Set Theory From (and for) Knowledge Representation|journal=[[Logic Journal of the IGPL]]|date=20 October 2021|doi=10.1093/jigpal/jzab030}}
* {{cite web|last=MacIver R.|first=David|title=Filters in Analysis and Topology|date=1 July 2004|url=http://www.efnet-math.org/~david/mathematics/filters.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20071009170540/http://www.efnet-math.org/~david/mathematics/filters.pdf |archive-date=2007-10-09 }} (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}}
* {{Willard General Topology}}
* {{Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces|edition=1}}
==अग्रिम पठन==

* {{cite journal|last1=Bergman|first1=George M.|author-link1=George Mark Bergman|last2=Hrushovski|first2=Ehud|author-link2=Ehud Hrushovski|title=Linear ultrafilters|journal=Communications in Algebra|volume=26|issue=12|year=1998|pages=4079–4113|doi=10.1080/00927879808826396 |citeseerx=10.1.1.54.9927 }}

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