View source for फिन्सलर कई गुना

गणित में, विशेष रूप से अवकल ज्यामिति, कोई फिन्सलर मैनिफोल्ड एक भिन्नात्मक मैनिफोल्ड है, जहां {{math|''M''}} एक (संभवतः असममित मानदंड) मिंकोवस्की के रूप में फलनात्मक फलन {{math|''F''(''x'', −)}} प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर प्रदान किया गया है, जो किसी भी धरातलीय समतल वक्र {{math|T<sub>''x''</sub>''M''}} की लंबाई {{math|''γ'' : [''a'', ''b''] → ''M''}} को परिभाषित करने में सक्षम बनाता है। 

:जैसा कि <math>L(\gamma) = \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\,\mathrm{d}t.</math> में दर्शाया गया है।
[[रीमैनियन कई गुना|रीमैनियन मैनिफोल्ड]] की तुलना में फिन्सलर मैनिफोल्ड्स अधिक सामान्य हैं क्योंकि स्पर्शरेखा मानदंडों को आंतरिक उत्पादों द्वारा प्रेरित करने की आवश्यकता नहीं है।

प्रत्येक फिन्सलर मैनिफोल्ड एक [[आंतरिक मीट्रिक|आंतरिक]] क्वासिमीट्रिक स्थान बन जाता है जब दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके साथ जुड़ने वाले घटता की न्यूनतम लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है।

{{harvs|txt|authorlink=एली कार्टन|last=कार्टन|first=एली|year1=1933}} द्वारा पॉल फिन्सलर के नाम पर फिन्सलर मैनिफोल्ड्स नाम दिया गया, जिन्होंने अपने शोध प्रबंध में इस ज्यामिति का अध्ययन किया था {{harv|फिन्सलर|1918}}।

== परिभाषा ==
फिन्सलर मैनिफोल्ड एक असममित मानदंड योग्य मैनिफोल्ड है। फिन्सलर मीट्रिक {{math|''M''}} के साथ, जो एक निरंतर गैर-नकारात्मक फलन {{math|''F'': T''M'' → [0, +∞)}} है। मैनिफोल्ड [[स्पर्शरेखा बंडल]] पर परिभाषित किया गया है ताकि प्रत्येक बिंदु के लिए {{math|''x''}} का {{math|''M''}} निम्न हो,

* {{math|''F''(''v'' + ''w'') ≤ ''F''(''v'') + ''F''(''w'')}}, हर दो वैक्टर के लिए {{math|''v'',''w''}} स्पर्शरेखा {{math|''M''}} पर {{math|''x''}} ([[उप-विषमता]]) व्यक्त करता है।
* {{math|''F''(λ''v'') {{=}} λ''F''(''v'')}}, सभी के लिए {{math|λ ≥ 0}} (किन्तु आवश्यक नहीं कि इसके लिए {{math|λ < 0)}} (सकारात्मक एकरूपता)।
* {{math|''F''(''v'') > 0}} (सकारात्मक-निश्चित फलन) होगा जब तक {{math|''v'' {{=}} 0}} है।

दूसरे शब्दों में, {{math|''F''(''x'', −)}} प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक असममित मानदंड {{math|T<sub>''x''</sub>''M''}} है। द फिन्सलर मीट्रिक {{math|''F''}} धरातलीय समतल होने पर अधिक यथार्थ होने की भी आवश्यकता है जैसे कि:

* {{math|''F''}} के शून्य खंड के पूरक पर सुचारू फलन {{math|T''M''}}  है।

उप-योगात्मकता अभिगृहीत को निम्नलिखित प्रबल उत्तल स्थिति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

* प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश v ≠ 0 के लिए, v पर F<sup>2</sup> का [[हेस्सियन आव्यूह]] सकारात्मक निश्चित है।

यहाँ पर हेसियन, {{math|''F''<sup>2</sup>}} पर {{math|''v''}} सममित टेन्सर [[द्विरेखीय रूप]] है

:<math>\mathbf{g}_v(X, Y) := \frac{1}{2}\left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left[F(v + sX + tY)^2\right]\right|_{s=t=0},</math>
इस प्रकार के फलन को मूलभूत काल के रूप में भी जाना जाता है, {{math|''F''}} पर {{math|''v''}} की प्रबल उत्तलता {{math|''F''}} एक सुदृण असमानता के साथ उप-विषमता का सार्थक तात्पर्य निर्गत करती है यदि {{math|{{frac|''u''|''F''(''u'')}} ≠ {{frac|''v''|''F''(''v'')}}}}. {{math|''F''}} दृढ़ता से उत्तल है, तो यह प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर मिंकोव्स्की मानदंड है।

* एक फिन्सलर मीट्रिक उत्क्रमणीय है, यदि इसके अतिरिक्त {{math|''F''(−''v'') {{=}} ''F''(''v'')}} सभी स्पर्शरेखा सदिशों के लिए v, किसी प्रतिवर्ती फिन्सलर मीट्रिक प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक [[मानदंड (गणित)]] (सामान्य अर्थ में) को परिभाषित करता है।

== उदाहरण ==
* परिमित आयाम के एक आदर्श सदिश स्थान के धरातलीय समतल सबमनीफोल्ड (विवृत उपसमुच्चय सहित) फिन्सलर मैनिफोल्ड हैं यदि सदिश स्थान का मानदंड मूल के बाहर धरातलीय समतल है।
* रीमैनियन मैनिफोल्ड्स (लेकिन स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड नहीं) फिन्सलर मैनिफोल्ड्स के विशेष प्रकरण हैं।

===रेंडर मैनिफोल्ड ===
सरल <math>(M, a)</math> एक रीमैनियन मैनिफोल्ड हो और b एक अंतर रूप m के साथ अवकल रूप में निर्दिष्ट होता है
:<math>\|b\|_a := \sqrt{a^{ij}b_i b_j} < 1,</math>
जहाँ <math>\left(a^{ij}\right)</math> का व्युत्क्रम मैट्रिक्स <math>(a_{ij})</math> है और इसमें [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग किया जाता है। तब
:<math>F(x, v) := \sqrt{a_{ij}(x)v^i v^j} + b_i(x)v^i</math>
'm' पर एक रैंडर्स मीट्रिक को परिभाषित करता है और <math>(M, F)</math> एक रैंडर्स मैनिफोल्ड है, जो कि एक गैर-प्रतिवर्ती फिन्सलर मैनिफोल्ड का विशेष प्रकरण है।<ref>{{cite journal |first=G. |last=Randers |author-link=Gunnar Randers |year=1941 |title=सामान्य सापेक्षता के चार-अंतरिक्ष में एक असममित मीट्रिक पर|journal=[[Physical Review|Phys. Rev.]] |volume=59 |issue=2 |pages=195–199 |doi=10.1103/PhysRev.59.195 |hdl=10338.dmlcz/134230 |hdl-access=free }}</ref><!--

=== चिकनी अर्धमितीय रिक्त स्थान ===
चलो (एम, डी) एक [[क्वासिमेट्रिक]] हो ताकि एम भी एक अलग-अलग कई गुना हो और डी निम्नलिखित अर्थों में एम के अंतर संरचना के साथ संगत हो:
* एम पर किसी भी बिंदु जेड के आसपास एम का एक चिकनी चार्ट (यू, φ) और एक स्थिर सी ≥ 1 मौजूद है जैसे कि हर एक्स, y ∈ यू के लिए
*: <math> \frac{1}{C}\|\phi(y) - \phi(x)\| \leq d(x, y) \leq C\|\phi(y) - \phi(x)\|.</math>
* फ़ंक्शन d: M × M → [0, ∞] विकर्ण के कुछ छिद्रित पड़ोस में सुचारू कार्य है।

तब कोई फिन्सलर फ़ंक्शन F: TM →[0, ∞] द्वारा परिभाषित कर सकता है

:<math>F(x, v) := \lim_{t \to 0+} \frac{d(\gamma(0), \gamma(t))}{t},</math>
जहां γ एम में γ(0) = x और γ'(0) =v के साथ कोई वक्र है। इस तरह से प्राप्त फिन्सलर फ़ंक्शन एफ एम के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक असममित (आमतौर पर गैर-मिन्कोव्स्की) मानदंड तक सीमित करता है। आंतरिक मीट्रिक {{nowrap|''d''<sub>''L''</sub>: ''M'' × ''M'' → [0, ∞]}} मूल क्वासिमेट्रिक से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है

:<math>d_L(x, y) := \inf\left\{\ \left.\int_0^1 F\left(\gamma(t), \dot\gamma(t)\right) \, dt \ \right| \ \gamma\in C^1([0, 1], M) \ , \ \gamma(0) = x \ , \ \gamma(1) = y \ \right\},</math>
और वास्तव में कोई भी फिन्सलर फ़ंक्शन F: TM → <nowiki>[</nowiki>0, ∞) एक आंतरिक मीट्रिक क्वासिमेट्रिक d परिभाषित करता है<sub>''L''</sub> एम पर इस सूत्र द्वारा।

== जियोडेसिक्स ==
F की लंबाई की एकरूपता के कारण

:<math>L[\gamma] := \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt</math>
एक अलग-अलग वक्र γ: [ए, बी] → एम में एम सकारात्मक रूप से उन्मुख [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] के तहत अपरिवर्तनीय है। एक स्थिर गति वक्र γ एक फिन्सलर मैनिफोल्ड का [[ geodesic ]] है यदि इसके छोटे पर्याप्त खंड γ|<sub>[''c'',''d'']</sub> M में γ(c) से γ(d) तक लंबाई कम कर रहे हैं। समतुल्य रूप से, γ एक जियोडेसिक है यदि यह कार्यात्मक ऊर्जा के लिए स्थिर है

:<math>E[\gamma] := \frac{1}{2}\int_a^b F^2\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt</math>
इस अर्थ में कि इसका [[कार्यात्मक व्युत्पन्न]] अवकलनीय वक्रों के बीच लुप्त हो जाता है {{nowrap|''γ'': [''a'', ''b''] &rarr; ''M''}} फिक्स्ड एंडपॉइंट्स के साथ {{nowrap|''γ''(''a'') {{=}} ''x''}} और {{nowrap|''γ''(''b'') {{=}} ''y''}}.

=== फिन्सलर मैनिफोल्ड === पर कैनोनिकल स्प्रे संरचना
एनर्जी फंक्शनल E[γ] के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण स्थानीय निर्देशांक (x<sup>1</सुप>, ..., एक्स<sup>एन</सूप>, में<sup>1</sup>, ..., वी<sup>n</sup>) टीएम के रूप में

:<math>
  g_{ik}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)\ddot\gamma^i(t) + \left(
               \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big) -
    \frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)
  \right) \dot\gamma^i(t)\dot\gamma^j(t) = 0,
</math>
जहां के = 1, ..., एन और जी<sub>ij</sub> मौलिक टेंसर का समन्वय प्रतिनिधित्व है, जिसे परिभाषित किया गया है

:<math>
g_{ij}(x,v) := g_v\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_x, \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_x\right).
</math>
उत्तल फलन को मानते हुए#F का सशक्त रूप से उत्तल फलन<sup>2</sup>(x, v) v ∈ T के संबंध में<sub>''x''</sub>एम, मैट्रिक्स जी<sub>''ij''</sub>(x, v) व्युत्क्रमणीय है और इसके व्युत्क्रम को g द्वारा निरूपित किया जाता है<sup>आई</sup>(एक्स, वी)। तब {{nobreak|''γ'': [''a'', ''b''] &rarr; ''M''}} (M, F) का जियोडेसिक है अगर और केवल अगर इसकी स्पर्शरेखा वक्र है {{nobreak|''γ''': [''a'', ''b''] → T''M''&setminus;{0} }} स्थानीय रूप से परिभाषित TM&setminus;{0} पर सदिश क्षेत्र H का [[अभिन्न वक्र]] है

:<math>
\left.H\right|_{(x, v)} := \left.v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{(x,v)}\!\! - \left.2G^i(x, v)\frac{\partial}{\partial v^i}\right|_{(x,v)},
</math>
जहां स्थानीय स्प्रे गुणांक G<sup>i</sup> द्वारा दिया गया है

:<math>
G^i(x, v) := \frac{1}{4}g^{ij}(x, v)\left(2\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^\ell}(x, v) - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^j}(x, v)\right)v^k v^\ell.
</math>
TM&setminus;{0} पर सदिश फ़ील्ड H, JH = V और [V, H] = H को संतुष्ट करता है, जहां J और V डबल स्पर्शरेखा बंडल हैं#स्पर्शी बंडल पर विहित टेंसर फ़ील्ड और डबल स्पर्शरेखा बंडल#कैनोनिकल टेंसर फ़ील्ड TM&setminus;{0} पर स्पर्शरेखा बंडल। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, H, M पर एक [[स्प्रे (गणित)]] है। स्प्रे H [[फाइबर बंडल]] पर [[एह्रेसमैन कनेक्शन]] को परिभाषित करता है {{nowrap|T''M''&setminus;{0} → ''M''}} एह्रेस्मान कनेक्शन के माध्यम से

:<math>v: T(\mathrm{T}M \setminus \{0\}) \to T(\mathrm{T}M \setminus \{0\});\quad v := \frac{1}{2}\big(I + \mathcal{L}_H J\big).</math>
रीमैनियन मैनिफोल्ड केस के अनुरूप, एक संस्करण है

:<math>D_{\dot\gamma}D_{\dot\gamma}X(t) + R_{\dot\gamma}\left(\dot\gamma(t), X(t)\right) = 0</math>
एह्रेसमैन कनेक्शन और डबल टेंगेंट बंडल के संदर्भ में एक सामान्य स्प्रे संरचना (एम, एच) के लिए [[जैकोबी समीकरण]] का चिकनी मैनिफोल्ड्स पर नॉनलाइनियर सहसंयोजक डेरिवेटिव।

=== जियोडेसिक्स की विशिष्टता और न्यूनतम गुण ===
हॉफ-रिनो प्रमेय के अनुसार (एम, एफ) पर हमेशा लंबाई को कम करने वाले वक्र (कम से कम पर्याप्त छोटे पड़ोस में) मौजूद होते हैं। लंबाई को कम करने वाले घटता को हमेशा जियोडेसिक्स होने के लिए सकारात्मक रूप से पुनर्मूल्यांकित किया जा सकता है, और किसी भी जियोडेसिक को ई [γ] के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। एफ की मजबूत उत्तलता मानते हुए<sup>2</sup> अभिन्न वक्रों की विशिष्टता द्वारा किसी भी (x, v) ∈ TM&setminus;{0} के लिए γ(0) = x और γ'(0) = v के साथ एक अद्वितीय अधिकतम जियोडेसिक γ मौजूद है।

अगर एफ<sup>2</sup> दृढ़ता से उत्तल है, जियोडेसिक्स γ: [0, b] → M पास के वक्रों के बीच लंबाई-न्यूनतम कर रहे हैं जब तक कि पहला बिंदु γ(s) [[संयुग्म बिंदु]] γ(0) के साथ γ, और t > s के लिए हमेशा γ(0) से γ(t) के पास γ(t) से छोटे वक्र मौजूद होते हैं, जैसा कि रीमैनियन मैनिफोल्ड केस में है।

==टिप्पणियाँ==
{{reflist}}


==संदर्भ==

*{{Citation | editor1-last=Antonelli | editor1-first=Peter L.|editor1-link=Peter L. Antonelli | title=Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2 | url=https://books.google.com/books?id=b2B5_IUvPJgC | publisher=Kluwer Academic Publishers | location=Boston | isbn=978-1-4020-1557-1 | mr=2067663 | year=2003}}
* {{cite book|first1=David|last1= Bao| first2=Shiing-Shen |last2=Chern| authorlink2= Shiing-Shen Chern|first3= Zhongmin|last3=Shen|title=An introduction to Riemann–Finsler geometry|series=Graduate Texts in Mathematics|volume= 200|publisher= Springer-Verlag|location=New York|year= 2000|isbn=0-387-98948-X|mr=1747675|doi=10.1007/978-1-4612-1268-3}}
*{{Citation | last1=Cartan | first1=Élie | author1-link=Élie Cartan | title=Sur les espaces de Finsler | zbl=0006.22501 | year=1933 | journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]]  | volume=196 | pages=582–586}}
* {{citation|first=Shiing-Shen |last=Chern| authorlink= Shiing-Shen Chern|  title=Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction|journal= [[Notices of the American Mathematical Society]]|volume= 43 |year=1996|issue=9|pages=959–63|url=https://www.ams.org/notices/199609/chern.pdf|mr=1400859}}
*{{Citation | last1=Finsler | first1=Paul | title=Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen | publisher=Göttingen | series=Dissertation | jfm=46.1131.02 | year=1918}} (Reprinted by Birkhäuser (1951))
* {{cite book|first=Hanno|last= Rund|authorlink=Hanno Rund|title=The differential geometry of Finsler spaces|publisher= Springer-Verlag|series=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume=101| location=Berlin–Göttingen–Heidelberg| year= 1959|mr=0105726| doi=10.1007/978-3-642-51610-8|isbn=978-3-642-51612-2}}
* {{cite book|first=Zhongmin|last= Shen|title=Lectures on Finsler geometry|publisher= World Scientific|location=Singapore|year= 2001|isbn=981-02-4531-9|mr=1845637|doi=10.1142/4619}}


==बाहरी संबंध==
* {{springer|title=Finsler space, generalized|id=p/f040420}}
* [http://finsler.blogspot.com/ The (New) Finsler Newsletter]

{{Manifolds}}
{{Riemannian geometry}}
     




-->

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[[Category:Templates Vigyan Ready]]