View source for फिबोनाची अनुक्रम

{{Short description|Numbers obtained by adding the two previous ones}}
[[File:Fibonacci Squares.svg|thumb|300x300px जिसकी भुजाओं की लंबाई उत्तरोत्तर फाइबोनैचि संख्याएँ हैं: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 और 21।]]गणित में, '''फाइबोनैचि अनुक्रम''' एक [[पूर्णांक अनुक्रम]] है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले दो का योग है। फाइबोनैचि अनुक्रम में अलग-अलग संख्याओं को '''फाइबोनैचि संख्या''' के रूप में जाना जाता है, जिसे सामान्यतः निरूपित किया जाता है {{nowrap|{{math|''F<sub>n</sub>''}}{{space|hair}}}}. अनुक्रम सामान्यतः 0 और 1 से प्रारम्भ होता है, हालांकि कुछ लेखक 1 और 1 से अनुक्रम प्रारम्भ करते हैं या कभी-कभी (जैसा कि फाइबोनैचि ने किया था) 1 और 2 से। 0 और 1 से प्रारम्भ करते हुए, अनुक्रम में पहले कुछ मान हैं:<ref name=oeis>{{Cite OEIS|1=A000045|mode=cs2}}</ref>
: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144।

[[भारतीय गणित]] में पहली बार फिबोनैकी संख्या का वर्णन किया गया था,<ref name="GlobalScience" /><ref name="HistoriaMathematica" /><ref name="Donald Knuth 2006 50" />दो लंबाई के शब्दांशों से निर्मित संस्कृत कविता के संभावित पैटर्न की गणना पर [[पिंगला]] द्वारा 200 ईसा पूर्व के कार्य में। उनका नाम पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो के नाम पर रखा गया है, जिन्हें बाद में [[फाइबोनैचि]] के नाम से जाना जाता है, जिन्होंने अपनी 1202 पुस्तक [[अबेकस की किताब]] में पश्चिमी यूरोपीय गणित के अनुक्रम की प्रारम्भ की।{{Sfn|Sigler|2002|pp=404–05}}

फाइबोनैचि संख्याएँ अक्सर गणित में अप्रत्याशित रूप से दिखाई देती हैं, इतना अधिक कि उनके अध्ययन के लिए समर्पित एक संपूर्ण पत्रिका, [[फाइबोनैचि त्रैमासिक]] है। फाइबोनैचि संख्याओं के अनुप्रयोगों में कंप्यूटर एल्गोरिदम सम्मिलित हैं जैसे [[फाइबोनैचि खोज तकनीक]] और फाइबोनैचि हीप [[डेटा संरचना]], और [[ग्राफ (असतत गणित)]] जिसे फाइबोनैचि क्यूब्स कहा जाता है जो समानांतर और वितरित प्रणालियों को आपस में जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है। वे प्रकृति #सर्पिल में पैटर्न भी दिखाई देते हैं, जैसे कि पेड़ों में शाखाओं में बँटना, [[phyllotaxis|फ़ाइलोटैक्सिस]], एक अनानास के फल के अंकुर, एक आटिचोक का फूलना, एक अघुलनशील [[फ़र्न]], और एक [[पाइन शंकु]] के सहपत्रों की व्यवस्था।

फाइबोनैचि संख्याएं भी गोल्डन रेश्यो से दृढ़ता से संबंधित हैं: #बिनेट का सूत्र बिनेट का सूत्र व्यक्त करता है {{mvar|n}}वें फाइबोनैचि संख्या के संदर्भ में {{mvar|n}} और गोल्डन रेश्यो, और इसका अर्थ है कि लगातार दो फाइबोनैचि संख्याओं का अनुपात गोल्डन रेश्यो की ओर जाता है {{mvar|n}} बढ़ती है। फाइबोनैचि संख्याएँ भी [[लुकास संख्या]] से निकटता से संबंधित हैं, जो समान [[पुनरावृत्ति संबंध]] का पालन करती हैं और फाइबोनैचि संख्याओं के साथ [[लुकास अनुक्रम]] की एक पूरक जोड़ी बनाती हैं।

== परिभाषा ==
[[File:Fibonacci Spiral.svg|thumb|300x300px|फाइबोनैचि सर्पिल: फाइबोनैचि टाइलिंग में वर्गों के विपरीत कोनों को जोड़ने वाले वृत्ताकार चापों को खींचकर बनाए गए सुनहरे सर्पिल का एक अनुमान; (पिछली छवि देखें)]]फाइबोनैचि संख्याओं को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जा सकता है{{Sfn | Lucas | 1891 | p=3}}
<math display=block>F_0=0,\quad F_1= 1,</math>
और
<math display=block>F_n=F_{n-1} + F_{n-2}</math>
के लिए {{math|''n'' > 1}}.

कुछ पुरानी परिभाषाओं के तहत, मान <math>F_0 = 0</math> छोड़ दिया जाता है, ताकि क्रम से प्रारम्भ हो <math>F_1=F_2=1,</math> और पुनरावृत्ति <math>F_n=F_{n-1} + F_{n-2}</math> के लिए मान्य है {{math|''n'' > 2}}.{{Sfn | Beck | Geoghegan | 2010}}{{Sfn | Bóna | 2011 | p=180}} 
पहले 20 फाइबोनैचि संख्याएँ {{math|''F<sub>n</sub>''}} हैं:<ref name=oeis/>:{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
| ''F''<sub>0</sub>
| ''F''<sub>1</sub>
| ''F''<sub>2</sub>
| ''F''<sub>3</sub>
| ''F''<sub>4</sub>
| ''F''<sub>5</sub>
| ''F''<sub>6</sub>
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| ''F''<sub>8</sub>
| ''F''<sub>9</sub>
| ''F''<sub>10</sub>
| ''F''<sub>11</sub>
| ''F''<sub>12</sub>
| ''F''<sub>13</sub>
| ''F''<sub>14</sub>
| ''F''<sub>15</sub>
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| ''F''<sub>17</sub>
| ''F''<sub>18</sub>
| ''F''<sub>19</sub>
|-
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
| 233
| 377
| 610
| 987
| 1597
| 2584
| 4181
|}
== इतिहास ==

=== भारत ===
{{see also|गोल्डन रेश्यो (अनुपात)#इतिहास}}
[[File:Fibonacci Sanskrit prosody.svg|thumb|तेरह (F<sub>7</sub>) लंबाई छह की ताल में लंबे और छोटे सिलेबल्स की व्यवस्था करने के तरीके। आठ (F<sub>6</sub>) एक छोटे शब्दांश के साथ समाप्त होता है और पाँच (F<sub>5</sub>) एक लंबे शब्दांश के साथ समाप्त करें।|257x257px]]फाइबोनैचि अनुक्रम भारतीय गणित में संस्कृत छंद के संबंध में प्रकट होता है।<ref name="HistoriaMathematica">{{Citation|first=Parmanand|last=Singh|title= The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India|journal=Historia Mathematica|volume=12|issue=3|pages=229–44|year=1985|doi = 10.1016/0315-0860(85)90021-7|doi-access=free}}</ref><ref name="knuth-v1">{{Citation|title=The Art of Computer Programming|volume=1|first=Donald|last=Knuth| author-link =Donald Knuth |publisher=Addison Wesley|year=1968|isbn=978-81-7758-754-8|url=https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100|page=100|quote=Before Fibonacci wrote his work, the sequence Fn had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns... both Gopala (before 1135&nbsp;AD) and Hemachandra (c.&nbsp;1150) mentioned the numbers 1,2,3,5,8,13,21 explicitly [see P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed)...}}</ref>{{sfn|Livio|2003|p=197}} संस्कृत काव्य परंपरा में, 2 इकाई अवधि के लंबे (L) अक्षरों के सभी पैटर्नों की गणना करने में रुचि थी, जो 1 इकाई अवधि के लघु (S) अक्षरों के साथ जुड़ा हुआ था। दी गई कुल अवधि के साथ लगातार L और S के अलग-अलग पैटर्न की गणना करने पर फ़ाइबोनैचि संख्याएँ मिलती हैं: अवधि के पैटर्न की संख्या {{math|''m''}} इकाइयां हैं {{math|''F''<sub>''m''+1</sub>}}.<ref name="Donald Knuth 2006 50">{{Citation|title = The Art of Computer Programming | volume = 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation | first = Donald | last = Knuth | author-link = Donald Knuth |publisher= Addison–Wesley |year= 2006 | isbn= 978-0-321-33570-8 | page = 50 | url= https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&q=rhythms&pg=PA50 | quote = it was natural to consider the set of all sequences of [L] and [S] that have exactly m beats.  ...there are exactly Fm+1 of them.  For example the 21 sequences when ''m''&nbsp;=&nbsp;7 are: [gives list].  In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)}}</ref>
फाइबोनैचि अनुक्रम का ज्ञान पिंगला के रूप में बहुत पहले व्यक्त किया गया था ({{circa}} 450 ईसा पूर्व–200 ईसा पूर्व)। सिंह पिंगला के गूढ़ सूत्र मिसरौ चा (दोनों मिश्रित हैं) का हवाला देते हैं और विद्वानों ने संदर्भ में इसकी व्याख्या करते हुए कहा है कि पैटर्न की संख्या {{math|''m''}} धड़कता है ({{math|''F''<sub>''m''+1</sub>}}) में एक [S] जोड़कर प्राप्त किया जाता है {{math|''F''<sub>''m''</sub>}} परिस्थितियों और एक [एल] को {{math|''F''<sub>''m''−1</sub>}} स्थिति।<ref>{{Citation | last = Agrawala | first = VS | year = 1969 | title = ''Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa'' (Hn.). Varanasi-I: TheChowkhamba Vidyabhawan | quote = SadgurushiShya writes that Pingala was a younger brother of Pāṇini [Agrawala 1969, lb]. There is an alternative opinion that he was a maternal uncle of Pāṇini [Vinayasagar 1965, Preface, 121]. ... Agrawala  [1969,  463–76],  after a careful investigation, in which he considered the views of earlier scholars, has concluded that Pāṇini lived between 480 and 410 BC}}</ref> [[भरत मुनि]] भी [[नाट्य शास्त्र]] (सी। 100 ईसा पूर्व-सी। 350 ईस्वी) में अनुक्रम के ज्ञान को व्यक्त करते हैं।<ref>{{citation|title=The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India|last=Singh|first=Parmanand|journal=[[Historia Mathematica]]|year=1985|publisher=[[Academic Press]]|volume=12|issue=3|page=232|doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7|doi-access=free}}</ref><ref name=GlobalScience>{{Citation|title=Toward a Global Science|first=Susantha|last=Goonatilake|publisher=Indiana University Press|year=1998|page=126|isbn=978-0-253-33388-9|url=https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126}}</ref>
हालांकि, अनुक्रम की सबसे स्पष्ट व्याख्या विरहंका (सी. 700 ईस्वी) के काम में उत्पन्न होती है, जिसका अपना काम खो गया है, लेकिन गोपाल (सी. 1135) के एक उद्धरण में उपलब्ध है:{{sfn|Livio|2003|p=197}}

<blockquote>पहले के दो मीटरों की विविधता [भिन्नता है]... उदाहरण के लिए, [लंबाई का एक मीटर] चार के लिए, दो [और] तीन के मीटरों की विविधताएं मिश्रित होने पर, पांच होता है। [उदाहरण 8, 13, 21 पर काम करता है]... इस तरह, सभी मात्रा-वृतों [प्रोसोडिक संयोजन] में प्रक्रिया का पालन किया जाना चाहिए।{{efn|"For four, variations of meters of two [and] three being mixed, five happens. For five, variations of two earlier&nbsp;– three [and] four, being mixed, eight is obtained. In this way, for six, [variations] of four [and] of five being mixed, thirteen happens. And like that, variations of two earlier meters being mixed, seven [[Mora (linguistics)|morae]] [is] twenty-one. In this way, the process should be followed in all mātrā-vṛttas" <ref>{{Citation|last=Velankar|first=HD|year=1962|title='Vṛttajātisamuccaya' of kavi Virahanka|publisher=Rajasthan Oriental Research Institute|location=Jodhpur|page=101}}</ref>}}</blockquote>

[[हेमचंद्र]] (सी। 1150) को अनुक्रम के ज्ञान के साथ-साथ श्रेय दिया जाता है,<ref name=GlobalScience/>यह लिखते हुए कि अंतिम का योग और अंतिम से पहले का योग अगली मात्रा-वृत की संख्या है।{{sfn|Livio|2003|p=197–198}}<ref>{{citation|last1=Shah|first1=Jayant|year=1991|title=A History of Piṅgala's Combinatorics|url=https://web.northeastern.edu/shah/papers/Pingala.pdf|journal=[[Northeastern University]]|page=41|access-date=4 January 2019}}</ref>
===यूरोप===
[[File:Liber abbaci magliab f124r.jpg|thumb|right|[[नेशनल सेंट्रल लाइब्रेरी (फ्लोरेंस)]] से फाइबोनैचि के लिबर एबाकी का एक पृष्ठ फिबोनाची अनुक्रम की 13 प्रविष्टियाँ दिखा रहा है (दाईं ओर बॉक्स में):<br /> वर्तमान से बारहवीं (महीने) तक के सूचकांक लैटिन क्रमसूचक और रोमन अंकों और संख्याओं के रूप में (खरगोश जोड़े के) 1, 2, 3, 5 से प्रारम्भ होने वाले और 377 के साथ समाप्त होने वाले हिंदू-अरबी अंकों के रूप में।|322x322px]]फाइबोनैचि अनुक्रम सबसे पहले फाइबोनैचि की पुस्तक लिबर एबाकी (द बुक ऑफ कैलकुलेशन, 1202) में दिखाई देता है{{Sfn|Sigler|2002|pp=404–405}}<ref>{{citation|url=https://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html|title=Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation)|date=13 December 2009|website=[[The University of Utah]]|access-date=28 November 2018}}</ref> जहां इसका उपयोग खरगोशों की आबादी के विकास की गणना करने के लिए किया जाता है।<ref>{{citation|last=Hemenway|first=Priya|title=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science|year=2005|publisher=Sterling|location=New York|isbn=1-4027-3522-7|pages=20–21}}</ref><ref>{{citation|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|title=The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature – 1|last=Knott|first=Dr. Ron|date=25 September 2016|website=[[University of Surrey]]|access-date=27 November 2018}}</ref> फाइबोनैचि एक आदर्श (जीव विज्ञान अवास्तविक) [[खरगोश]] की आबादी के विकास पर विचार करता है, यह मानते हुए कि: खरगोशों के एक नवजात प्रजनन जोड़े को एक क्षेत्र में रखा जाता है; प्रत्येक प्रजनन जोड़ी एक महीने की उम्र में संभोग करती है, और अपने दूसरे महीने के अंत में वे हमेशा खरगोशों की एक और जोड़ी पैदा करते हैं; और खरगोश कभी नहीं मरते, बल्कि हमेशा के लिए प्रजनन करते रहते हैं। फाइबोनैचि ने पहेली पेश की: एक वर्ष में कितने जोड़े होंगे?

* पहले महीने के अंत में, वे संभोग करते हैं, लेकिन अभी भी केवल 1 जोड़ा है।
* दूसरे महीने के अंत में वे एक नई जोड़ी पैदा करते हैं, इसलिए मैदान में 2 जोड़े हैं।
* तीसरे महीने के अंत में, मूल जोड़ी एक दूसरी जोड़ी पैदा करती है, लेकिन दूसरी जोड़ी केवल एक महीने के लिए गर्भधारण करती है, इसलिए कुल मिलाकर 3 जोड़े होते हैं।
* चौथे महीने के अंत में, मूल जोड़ी ने अभी तक एक और नई जोड़ी बनाई है, और दो महीने पहले पैदा हुई जोड़ी भी अपनी पहली जोड़ी पैदा करती है, जिससे 5 जोड़े बनते हैं।

के अंत में {{math|''n''}}वें महीने, खरगोशों के जोड़े की संख्या परिपक्व जोड़े की संख्या के बराबर है (यानी, महीने में जोड़े की संख्या {{math|''n'' – 2}}) साथ ही पिछले महीने (माह) जीवित जोड़े की संख्या {{math|''n'' – 1}}). संख्या में {{math|''n''}}वाँ महीना है {{math|''n''}}वें फाइबोनैचि संख्या।<ref>{{citation | last = Knott | first = Ron
 | title = Fibonacci's Rabbits | url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits | publisher =[[University of Surrey]] Faculty of Engineering and Physical Sciences}}</ref>
फाइबोनैचि अनुक्रम नाम का पहली बार उपयोग 19वीं सदी के संख्या सिद्धांतकार एडुआर्ड लुकास द्वारा किया गया था।<ref>{{Citation | first = Martin | last = Gardner | author-link = Martin Gardner |title=Mathematical Circus |publisher = The Mathematical Association of America |year=1996 |isbn= 978-0-88385-506-5 | quote = It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas...  attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci | page = 153}}</ref>

[[File:Fibonacci Rabbits.svg|left|thumb|एक बढ़ती हुई आदर्श आबादी में, खरगोश जोड़े की संख्या फाइबोनैचि अनुक्रम बनाती है। nवें महीने के अंत में जोड़े की संख्या F<sub>n</sub> के बराबर है<sub>.</sub>|237x237px]]











== गोल्डन रेश्यो (अनुपात) से संबंध ==
{{main|गोल्डन रेश्यो (अनुपात)}}

=== [[ बंद रूप अभिव्यक्ति |  संवृत रूप अभिव्यक्ति]] ===
स्थिर गुणांकों के साथ एक रेखीय पुनरावृत्ति द्वारा परिभाषित प्रत्येक [[अनुक्रम]] की तरह, फाइबोनैचि संख्याओं में एक सवृत-रूप अभिव्यक्ति होती है। इसे फ्रांसीसी गणितज्ञ [[जैक्स फिलिप मैरी बिनेट]] के नाम पर '''बिनेट के सूत्र''' के रूप में जाना जाता है, हालांकि यह पहले से ही [[अब्राहम डी मोइवरे]] और [[डेनियल बर्नौली]] द्वारा जाना जाता था:<ref>{{citation | last1 = Beutelspacher | first1 = Albrecht | last2 = Petri | first2 = Bernhard | contribution = Fibonacci-Zahlen | doi = 10.1007/978-3-322-85165-9_6 | pages = 87–98 | publisher = Vieweg+Teubner Verlag | title = Der Goldene Schnitt | year = 1996}}</ref>

<math display=block>F_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi} = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt 5},</math>
जहाँ
<math display=block>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\ldots</math>
गोल्डन रेश्यो है, और {{mvar|ψ}} इसका [[संयुग्म (वर्गमूल)]] है:{{Sfn | Ball | 2003 | p = 156}}
<math display=block>\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi = - {1 \over \varphi} \approx -0.61803\,39887\ldots.</math>
तब से <math>\psi = -\varphi^{-1}</math>, इस सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है
<math display=block>F_n = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5} = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{2 \varphi - 1}.</math>
अनुक्रम और इन स्थिरांकों के बीच संबंध देखने के लिए,{{Sfn | Ball | 2003 | pp = 155–156}} ध्यान दें कि {{mvar|φ}} और {{mvar|ψ}} समीकरण के दोनों समाधान हैं
<math display=block>x^2 = x + 1 \quad\text{and, thus,}\quad x^n = x^{n-1} + x^{n-2},</math>
इसलिए की घात {{mvar|φ}} और {{mvar|ψ}} फाइबोनैचि पुनरावर्तन को संतुष्ट करें। दूसरे शब्दों में,
:<math>\varphi^n  = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}\ </math>और<math>\ \psi^n = \psi^{n-1} + \psi^{n-2}.</math>
यह इस प्रकार है कि किसी भी मूल्य के लिए {{math|''a''}} और {{math|''b''}}, द्वारा परिभाषित अनुक्रम
<math display=block>U_n=a \varphi^n + b \psi^n</math>
समान पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है।
<math display=block>U_n = a\varphi^n +  b\psi^n = a(\varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}) +  b(\psi^{n-1} + \psi^{n-2}) = a\varphi^{n-1} + b\psi^{n-1} + a\varphi^{n-2} + b\psi^{n-2} = U_{n-1} + U_{n-2}</math>
अगर {{math|''a''}} और {{math|''b''}} को चुना जाता है ताकि {{math|1=''U''<sub>0</sub> = 0}} और {{math|1=''U''<sub>1</sub> = 1}} फिर परिणामी अनुक्रम {{math|''U''<sub>''n''</sub>}} फाइबोनैचि अनुक्रम होना चाहिए। यह आवश्यकता के समान ही है {{math|''a''}} और {{math|''b''}} समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करें:
<math display=block>\left\{\begin{array}{l} a + b = 0\\ \varphi a + \psi b = 1\end{array}\right.</math>
जिसका समाधान हो
<math display=block>a = \frac{1}{\varphi-\psi} = \frac{1}{\sqrt 5},\quad  b = -a,</math>
आवश्यक सूत्र तैयार करना।

प्रारम्भी मान ले {{math|''U''<sub>0</sub>}} और {{math|''U''<sub>1</sub>}} स्वेच्छन्दता से स्थिरांक होने के लिए, एक अधिक सामान्य समाधान है:
<math display=block> U_n=a\varphi^n+b\psi^n </math>
जहाँ
<math display=block> a=\frac{U_1-U_0\psi}{\sqrt 5}</math>
<math display=block> b=\frac{U_0\varphi-U_1}{\sqrt 5}.</math>
=== पूर्णांकन द्वारा गणना ===
तब से
<math display=block>\left|\frac{\psi^{n}}{\sqrt 5}\right| < \frac{1}{2}</math>
सभी के लिए {{math|''n'' ≥ 0}}, जो नंबर {{math|''F''<sub>''n''</sub>}} का निकटतम [[पूर्णांक]] है <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}</math>. इसलिए, इसे निकटतम पूर्णांक फलन का उपयोग करके गोल करके पाया जा सकता है:
<math display=block>F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}\right\rceil,\ n \geq 0.</math>
वास्तव में, राउंडिंग एरर बहुत छोटा है, 0.1 से कम होने के कारण {{math|''n'' ≥ 4}}, और 0.01 से कम के लिए {{math|''n'' ≥ 8}}.

[[फर्श समारोह|फ्लोर फलन]] के संदर्भ में, फाइबोनैचि संख्याओं की गणना ट्रंकेशन द्वारा भी की जा सकती है:
<math display=block>F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\right\rfloor,\ n \geq 0.</math>
जैसा कि फ्लोर फलन [[मोनोटोनिक]] है, इंडेक्स खोजने के लिए बाद वाला फॉर्मूला उलटा हो सकता है {{math|''n''(''F''&hairsp;)}} सबसे छोटी फाइबोनैचि संख्या जो किसी धनात्मक पूर्णांक से कम नहीं है {{math|''F''}}:
<math display=block>n(F) = \left\lceil \log_\varphi \left(F\cdot\sqrt{5} - \frac{1}{2}\right) \right\rceil,</math>जहाँ <math>\log_\varphi(x) = \ln(x)/\ln(\varphi) = \log_{10}(x)/\log_{10}(\varphi)</math>, <math>\ln(\varphi) = 0.481211\ldots</math>,<ref>{{Cite OEIS|1=A002390|mode=cs2}}</ref> और <math>\log_{10}(\varphi) = 0.208987\ldots</math>.<ref>{{Cite OEIS|1=A097348|mode=cs2}}</ref>
=== परिमाण ===
चूंकि F<sub>n</sub> [[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] है <math>\varphi^n/\sqrt5</math>, F<sub>''n''</sub> में अंकों की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख है <math>n\log_{10}\varphi\approx 0.2090\, n</math>. परिणामस्वरूप, प्रत्येक पूर्णांक d > 1 के लिए d दशमलव अंकों के साथ या तो 4 या 5 फाइबोनैचि संख्याएँ होती हैं।

अधिक सामान्यतः[[ मूलांक ]] बी प्रतिनिधित्व में, F<sub>''n''</sub> में अंकों की संख्याके लिए स्पर्शोन्मुख है <math>n\log_b\varphi.</math>

=== लगातार भागफल की सीमा ===
[[जोहान्स केप्लर]] ने देखा कि क्रमागत फिबोनाची संख्याओं का अनुपात [[अभिसरण अनुक्रम]] है। उन्होंने लिखा है कि जैसे 5 से 8 है वैसे ही व्यवहारिक रूप से 8 से 13 है, और जैसे 8 से 13 है, वैसे ही लगभग 13 से 21 है, और निष्कर्ष निकाला कि ये अनुपात गोल्डन रेशियो तक पहुंचते हैं <math>\varphi\colon </math> <ref>{{Citation|last=Kepler |first=Johannes |title=A New Year Gift: On Hexagonal Snow |year=1966 |isbn=978-0-19-858120-8 |publisher=Oxford University Press |page= 92}}</ref><ref>{{Citation | title = Strena seu de Nive Sexangula | year = 1611}}</ref>
<math display=block>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.</math>
यह अभिसरण प्रारम्भी मूल्यों की परवाह किए बिना रहता है <math>U_0</math> और <math>U_1</math>, जब तक <math>U_1 = -U_0/\varphi</math>. इसे #बिनेट के सूत्र|बिनेट के सूत्र का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक मान 3 और 2 अनुक्रम 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ...  उत्पन्न करते हैं। इस क्रम में लगातार पदों का अनुपात गोल्डन रेश्यो की ओर समान अभिसरण दर्शाता है।

सामान्य रूप में, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+m}}{F_n}=\varphi^m
</math>, क्योंकि क्रमागत फाइबोनैचि संख्याओं के बीच का अनुपात निकट आ रहा है <math>\varphi</math>.

:[[File:Fibonacci tiling of the plane and approximation to Golden Ratio.gif|thumb|left|विमान के उत्तरोत्तर टाइलिंग और प्रत्येक फिबोनाची संख्या को पिछली संख्या से विभाजित करके गणना किए गए गोल्डन रेश्यो के सन्निकटन का ग्राफ|238x238px]]










=== घात का विघटन ===
चूंकि गोल्डन रेश्यो समीकरण को संतुष्ट करता है
<math display=block>\varphi^2 = \varphi + 1,</math>
इस अभिव्यक्ति का उपयोग उच्च घात को विघटित करने के लिए किया जा सकता है <math>\varphi^n</math> निचली घात के एक रैखिक कार्य के रूप में, जो बदले में एक रैखिक संयोजन के नीचे सभी तरह से विघटित हो सकता है <math>\varphi</math> और 1. परिणामी पुनरावृत्ति संबंधों से रेखीय गुणांक के रूप में फाइबोनैचि संख्याएं प्राप्त होती हैं:
<math display=block>\varphi^n = F_n\varphi + F_{n-1}.</math>
[[गणितीय प्रेरण]] द्वारा यह समीकरण [[गणितीय प्रमाण]] हो सकता है {{nowrap|''n'' ≥ 1}}:
<math display=block>\varphi^{n+1} = (F_n\varphi + F_{n-1})\varphi = F_n\varphi^2 + F_{n-1}\varphi = F_n(\varphi+1) + F_{n-1}\varphi = (F_n + F_{n-1})\varphi + F_n = F_{n+1}\varphi + F_n.</math>
के लिए <math>\psi = -1/\varphi</math>, ऐसा भी होता है <math>\psi^2 = \psi + 1</math> और ऐसा भी है
<math display=block>\psi^n = F_n\psi + F_{n-1}.</math>
ये भाव के लिए भी सत्य हैं {{nowrap|''n'' < 1}} यदि फाइबोनैचि अनुक्रम F<sub>n</sub> फाइबोनैचि संख्याओं का सामान्यीकरण है # फाइबोनैचि नियम का उपयोग करके ऋणात्मक पूर्णांकों का विस्तार <math>F_n = F_{n+2} - F_{n+1}.</math>
=== पहचान ===
बिनेट का सूत्र इस बात का प्रमाण देता है कि धनात्मक पूर्णांक x एक फाइबोनैचि संख्या है यदि और केवल यदि कम से कम एक <math>5x^2+4</math> या <math>5x^2-4</math> [[वर्ग संख्या]] है।<ref>{{Citation | title = Fibonacci is a Square | last1 = Gessel | first1 = Ira | journal = [[The Fibonacci Quarterly]] | volume = 10 | issue = 4 | pages = 417–19 |date=October 1972 | url = http://www.fq.math.ca/Scanned/10-4/advanced10-4.pdf | access-date = April 11, 2012 }}</ref> ऐसा इसलिए है क्योंकि बिनेट का सूत्र, जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है <math>F_n = (\varphi^n - (-1)^n \varphi^{-n}) / \sqrt{5}</math> से गुणा किया जा सकता है <math>\sqrt{5} \varphi^n</math> और [[द्विघात समीकरण]] के रूप में हल किया गया <math>\varphi^n</math> [[द्विघात सूत्र]] द्वारा:

<math display=block>\varphi^n = \frac{F_n\sqrt{5} \pm \sqrt{5{F_n}^2 + 4(-1)^n}}{2}.</math>
इसकी तुलना <math>\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1} = (F_n\sqrt{5} + F_n + 2 F_{n-1})/2</math>, यह इस प्रकार है कि
:<math display=block>5{F_n}^2 + 4(-1)^n = (F_n + 2F_{n-1})^2\,.</math>
विशेष रूप से, बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग है।

== आव्यूह फॉर्म ==
फाइबोनैचि अनुक्रम का वर्णन करने वाले रैखिक [[अंतर समीकरण]]ों की एक द्वि-आयामी प्रणाली है

<math display=block> {F_{k+2} \choose F_{k+1}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{k+1} \choose F_{k}} </math>
वैकल्पिक रूप से निरूपित
<math display=block> \vec F_{k+1} = \mathbf{A} \vec F_{k},</math>
जो <math>\vec F_n = \mathbf{A}^n  \vec F_0</math>. आव्यूह के [[eigenvalue|ईजेनवैल्यू]]  (गणित) {{math|'''A'''}} हैं <math>\varphi=\frac12(1+\sqrt5)</math> और <math>\psi=-\varphi^{-1}=\frac12(1-\sqrt5)</math> संबंधित [[eigenvector|ईजेन]][[eigenvector|वेक्टर]] के अनुरूप
<math display=block>\vec \mu={\varphi \choose 1}</math>
और
<math display=block>\vec\nu={-\varphi^{-1} \choose 1}.</math>
जैसा कि प्रारंभिक मूल्य है
<math display=block>\vec F_0={1 \choose 0}=\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\mu}-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\nu},</math>
यह इस प्रकार है कि {{mvar|n}}वाँ पद है
<math display=block>\begin{align}\vec F_n &= \frac{1}{\sqrt{5}}A^n\vec\mu-\frac{1}{\sqrt{5}}A^n\vec\nu \\
&= \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n\vec\mu-\frac{1}{\sqrt{5}}(-\varphi)^{-n}\vec\nu~\\
& =\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n{\varphi \choose 1}-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n{-\varphi^{-1}\choose 1},
\end{align}</math>
इससे, फिबोनैकी श्रृंखला में }वां तत्व
संवृत रूप अभिव्यक्ति के रूप में सीधे पढ़ा जा सकता है:
<math display=block>F_n = \cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n.</math>
समतुल्य रूप से, एक ही संगणना के [[मैट्रिक्स विकर्णकरण|आव्यूह विकर्णकरण]] द्वारा की जा सकती है {{math|'''A'''}} इसके [[eigendecomposition|ईजेनडोम्पोसिशन]] के उपयोग के माध्यम से:
<math display=block>\begin{align} A & = S\Lambda S^{-1} ,\\
 A^n & = S\Lambda^n S^{-1},
\end{align}</math>
जहाँ <math>\Lambda=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & -\varphi^{-1} \end{pmatrix}</math> और <math>S=\begin{pmatrix} \varphi & -\varphi^{-1} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.</math>
के लिए संवृत रूप अभिव्यक्ति फिबोनैकी श्रृंखला में }वाँ तत्व इसलिए द्वारा दिया गया है

<math display=block>\begin{align} {F_{n+1} \choose F_n} & = A^{n} {F_1 \choose F_0} \\
 & = S \Lambda^n S^{-1} {F_1 \choose F_0} \\
 & = S \begin{pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (-\varphi)^{-n} \end{pmatrix} S^{-1} {F_1 \choose F_0} \\
 & = \begin{pmatrix} \varphi & -\varphi^{-1} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
     \begin{pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (-\varphi)^{-n} \end{pmatrix}
     \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & \varphi^{-1} \\ -1 & \varphi \end{pmatrix} {1 \choose 0},
\end{align}</math>
जो फिर से उपजता है
<math display=block>F_n = \cfrac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}.</math>
गणित का सवाल {{math|'''A'''}} का निर्धारक -1 है, और इस प्रकार यह एक 2 × 2 यूनिमॉड्यूलर आव्यूह है।

इस '''गुण को''' गोल्डन रेश्यो के लिए निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व के रूप में समझा जा सकता है:

<math display=block>\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}.</math>
फाइबोनैचि संख्याएं निरंतर अंश के क्रमिक [[अभिसरण (निरंतर अंश)]] के अनुपात के रूप में होती हैं {{mvar|φ}}, और किसी भी निरंतर अंश के लगातार अभिसरण से बने आव्यूह में +1 या -1 का निर्धारक होता है। आव्यूह प्रतिनिधित्व फाइबोनैचि संख्याओं के लिए निम्नलिखित सवृत-रूप अभिव्यक्ति देता है:

<math display=block>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.</math>
किसी प्रदत्त के लिए {{math|''n''}}, इस आव्यूह की गणना की जा सकती है {{math|''O''(log(''n''))}} अंकगणितीय संचालन, वर्ग विधि द्वारा घातांक का उपयोग करना।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का निर्धारक लेने पर कैसिनी की तत्समक प्राप्त होती है,
<math display=block>(-1)^n = F_{n+1}F_{n-1} - {F_n}^2.</math>
इसके अलावा, चूंकि {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>'''A'''<sup>''m''</sup> {{=}} '''A'''<sup>''n''+''m''</sup>}} किसी भी [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर आव्यूह]] के लिए {{math|'''A'''}}, निम्नलिखित [[पहचान (गणित)]] प्राप्त की जा सकती है (वे [[मैट्रिक्स उत्पाद|आव्यूह उत्पाद]] के दो अलग-अलग गुणांक से प्राप्त की जाती हैं, और कोई आसानी से दूसरे को पहले वाले को बदलकर घटा सकता है {{math|''n''}} में {{math|''n'' + 1}}),
<math display=block>\begin{align}
 {F_m}{F_n} + {F_{m-1}}{F_{n-1}} &= F_{m+n-1},\\
 F_{m} F_{n+1} + F_{m-1} F_n &= F_{m+n} .
\end{align}</math>
विशेष रूप से, के साथ {{math|1=''m'' = ''n''}},
<math display=block>\begin{array}{ll}
 F_{2 n-1} &= {F_n}^2 + {F_{n-1}}^2\\
 F_{2 n}   &= (F_{n-1}+F_{n+1})F_n\\
          &= (2 F_{n-1}+F_n)F_n\\
          &= (2 F_{n+1}-F_n)F_n.
\end{array}</math>
ये अंतिम दो पहचान फाइबोनैचि संख्या [[रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)]] की गणना करने का एक तरीका प्रदान करती हैं {{math|''O''(log(''n''))}} अंकगणितीय संचालन और समय में {{math|''O''(''M''(''n'')&thinsp;log(''n''))}}, जहाँ {{math|''M''(''n'')}} की दो संख्याओं के गुणन का समय है {{math|''n''}} अंक। यह कंप्यूटिंग के लिए समय से मेल खाता है {{math|''n''}}वाँ फाइबोनैचि संख्या क्लोज-फॉर्म आव्यूह फॉर्मूला से, लेकिन कम अनावश्यक चरणों के साथ अगर कोई पहले से ही गणना की गई फाइबोनैचि संख्या ([[memoization|मेमोइजेशन]] के साथ पुनरावर्तन) से बचता है।<ref>{{citation|title=In honour of Fibonacci|first=Edsger W.|last=Dijkstra|author-link=Edsger W. Dijkstra|year=1978|url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd06xx/EWD654.PDF}}</ref>
== मिश्रित पहचान ==

=== मिश्रित प्रमाण ===

फाइबोनैचि संख्याओं को सम्मिलित करने वाली अधिकांश सर्वसमिकाओं को इस तथ्य का उपयोग करते हुए संयोजी प्रमाण का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है <math>F_n</math> 1s और 2s के अनुक्रमों की संख्या (संभवतः खाली) के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसका योग है <math>n-1</math>. इसे की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है <math>F_n</math> सम्मेलनों के साथ <math>F_0 = 0</math>, जिसका अर्थ है कि ऐसा कोई अनुक्रम उपस्थित नहीं है जिसका योग -1 है, और <math>F_1 = 1</math>, जिसका अर्थ है कि खाली अनुक्रम 0. तक जोड़ता है। निम्नलिखित में, <math>|{...}|</math> एक [[सेट (गणित)|समुच्चय  (गणित)]] की [[प्रमुखता]] है:

: <math>F_0 = 0 = |\{\}|</math>
: <math>F_1 = 1 = |\{\{\}\}|</math>
: <math>F_2 = 1 = |\{\{1\}\}|</math>
: <math>F_3 = 2 = |\{\{1,1\},\{2\}\}|</math>
: <math>F_4 = 3 = |\{\{1,1,1\},\{1,2\},\{2,1\}\}|</math>
: <math>F_5 = 5 = |\{\{1,1,1,1\},\{1,1,2\},\{1,2,1\},\{2,1,1\},\{2,2\}\}|</math>
इस प्रकार पुनरावृत्ति संबंध
<math display=block>F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math>
को विभाजित करके समझा जा सकता है <math>F_n</math> अनुक्रमों को दो गैर-अतिव्यापी समुच्चय ों में जहां सभी अनुक्रम या तो 1 या 2 से प्रारम्भ होते हैं:
<math display=block>F_n = |\{\{1,...\},\{1,...\},...\}| + |\{\{2,...\},\{2,...\},...\}|</math>
पहले तत्व को छोड़कर, प्रत्येक क्रम में शेष पदों का योग है <math>n-2</math> या <math>n-3</math> और प्रत्येक समुच्चय  की प्रमुखता है <math>F_{n-1}</math> या <math>F_{n-2}</math> कुल दे रहा है <math>F_{n-1}+F_{n-2}</math> अनुक्रम, यह दिखा रहा है के बराबर है <math>F_n</math>.

इसी तरह से यह दिखाया जा सकता है कि एनवें तक की पहली फाइबोनैचि संख्याओं का योग (n + 2) दूसरी फाइबोनैचि संख्या माइनस 1 के बराबर है।{{Sfn | Lucas | 1891 | p = 4}} प्रतीकों में:
<math display=block>\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>
इसे योग के सभी अनुक्रमों को विभाजित करके देखा जा सकता है <math>n+1</math> पहले 2 के स्थान के आधार पर। विशेष रूप से, प्रत्येक समुच्चय  में वे क्रम होते हैं जो प्रारम्भ होते हैं <math>\{2,...\}, \{1,2,...\}, ..., </math> अंतिम दो समुच्चय  तक <math>\{\{1,1,...,1,2\}\}, \{\{1,1,...,1\}\}</math> कार्डिनैलिटी 1 के साथ प्रत्येक।

पहले की तरह ही तर्क का पालन करते हुए, प्रत्येक समुच्चय  की कार्डिनैलिटी को जोड़कर हम देखते हैं
: <math>F_{n+2} = F_n + F_{n-1} + ... + |\{\{1,1,...,1,2\}\}| + |\{\{1,1,...,1\}\}|</math>
... जहां अंतिम दो पदों का मूल्य है <math>F_1 = 1</math>. इससे यह अनुसरण करता है <math>\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2}-1</math>.

एक समान तर्क, योग को पहले 2 के बजाय पहले 1 की स्थिति के अनुसार समूहीकृत करने पर दो और सर्वसमिकाएं मिलती हैं:
<math display=block>\sum_{i=0}^{n-1} F_{2 i+1} = F_{2 n}</math>
और
<math display=block>\sum_{i=1}^{n} F_{2 i} = F_{2 n+1}-1.</math>
शब्दों में, [[समता (गणित)]] सूचकांक के साथ पहली फाइबोनैचि संख्याओं का योग <math>F_{2 n-1}</math> (2n)वीं फाइबोनैचि संख्या है, और समता (गणित) सूचकांक के साथ पहली फाइबोनैचि संख्याओं का योग है <math>F_{2 n}</math> (2n + 1) वां फाइबोनैचि नंबर माइनस 1 है।<ref>{{Citation|title = Fibonacci Numbers |last1 = Vorobiev |first1 = Nikolaĭ Nikolaevich |first2 = Mircea|last2= Martin |publisher = Birkhäuser |year = 2002 |isbn = 978-3-7643-6135-8 |chapter=Chapter 1 |pages = 5–6}}</ref>

साबित करने के लिए एक अलग तरीके (ट्रिक) का उपयोग किया जा सकता है
<math display="block">\sum_{i=1}^n F_i^2 = F_n F_{n+1}</math>
या शब्दों में, पहले फाइबोनैचि संख्याओं के वर्गों का योग तक <math>F_n</math> nवें और (n + 1)st फाइबोनैचि संख्याओं का गुणनफल है। इसे देखने के लिए, आकार के एक फाइबोनैचि आयत से प्रारम्भ करें <math>F_n \times F_{n+1}</math> और इसे आकार के चौकोर टुकड़ों में तोड़ लें <math>F_n, F_{n-1}, ..., F_1</math>; इससे [[क्षेत्र]]ों की तुलना करके पहचान इस प्रकार है:

[[File:Fibonacci Squares.svg|260x260पीएक्स|239x239px]]

=== प्रतीकात्मक विधि ===

क्रम <math>(F_n)_{n\in\mathbb N}</math> सांकेतिक विधि (कॉम्बिनेटरिक्स) का उपयोग करने पर भी विचार किया जाता है।<ref>{{citation |last1=Flajolet |first1=Philippe |last2=Sedgewick |first2=Robert |title=Analytic Combinatorics|title-link= Analytic Combinatorics |date=2009 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0521898065 |page=42}}</ref> अधिक सटीक रूप से, यह क्रम एक विशिष्ट संयोजक वर्ग से मेल खाता है। इस क्रम की विशिष्टता है <math>\operatorname{Seq}(\mathcal{Z+Z^2})</math>. दरअसल, जैसा कि ऊपर बताया गया है, <math>n</math>-वें फाइबोनैचि संख्या की सं[[रचना (संयोजन)]] (आदेशित [[विभाजन (संख्या सिद्धांत)]]) की संख्या के बराबर है <math>n-1</math> शर्तों 1 और 2 का उपयोग करना।

यह इस प्रकार है कि फाइबोनैचि अनुक्रम का [[सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन|सामान्य जनरेटिंग फलन]], अर्थात। <math>\sum_{i=0}^\infty F_iz^i</math>, जटिल कार्य है <math>\frac{z}{1-z-z^2}.</math>
=== प्रेरण प्रमाण ===

फाइबोनैचि सर्वसमिकाओं को अक्सर गणितीय आगमन का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, पुनर्विचार करें
<math display=block>\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1.</math>
जोड़ा जा रहा है <math>F_{n+1}</math> दोनों पक्षों को देता है
:<math>\sum_{i=1}^n F_i + F_{n+1} = F_{n+1} + F_{n+2} - 1</math>
और इसलिए हमारे पास इसका सूत्र है <math>n+1</math>
<math display=block>\sum_{i=1}^{n+1} F_i = F_{n+3} - 1</math>
इसी तरह, जोड़ें <math>{F_{n+1}}^2</math> के दोनों ओर
<math display=block>\sum_{i=1}^n F_i^2 = F_n F_{n+1}</math>
दे देना
<math display=block>\sum_{i=1}^n F_i^2 + {F_{n+1}}^2 = F_{n+1}\left(F_n + F_{n+1}\right)</math>
<math display=block>\sum_{i=1}^{n+1} F_i^2 = F_{n+1}F_{n+2}</math>
=== बिनेट सूत्र प्रमाण ===

बिनेट सूत्र है
<math display=block>\sqrt5F_n = \varphi^n - \psi^n.</math>
इसका उपयोग फाइबोनैचि पहचानों को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए <math display=inline>\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>
ध्यान दें कि बाएं हाथ की ओर से गुणा किया गया <math>\sqrt5</math> बन जाता है
<math display=block>
\begin{align}
1 +& \varphi + \varphi^2 + \dots + \varphi^n - \left(1 + \psi + \psi^2 + \dots + \psi^n \right)\\
&= \frac{\varphi^{n+1}-1}{\varphi-1} - \frac{\psi^{n+1}-1}{\psi-1}\\
&= \frac{\varphi^{n+1}-1}{-\psi} - \frac{\psi^{n+1}-1}{-\varphi}\\
&= \frac{-\varphi^{n+2}+\varphi + \psi^{n+2}-\psi}{\varphi\psi}\\
&= \varphi^{n+2}-\psi^{n+2}-(\varphi-\psi)\\
&= \sqrt5(F_{n+2}-1)\\
\end{align}</math>
आवश्यकतानुसार, तथ्यों का उपयोग करते हुए <math display=inline>\varphi\psi =- 1</math> और <math display=inline>\varphi-\psi=\sqrt5</math> समीकरणों को सरल बनाने के लिए

== अन्य पहचान ==
विभिन्न तरीकों का उपयोग करके कई अन्य पहचान प्राप्त की जा सकती हैं। उनमें से कुछ यहां हैं:<ref name="MathWorld">{{MathWorld|urlname=FibonacciNumber |title=Fibonacci Number|mode=cs2}}</ref>
=== कैसिनी और कैटलन की पहचान ===
{{Main|कैसिनी और कैटलन की पहचान}}
कैसिनी की पहचान बताती है कि
<math display=block>{F_n}^2 - F_{n+1}F_{n-1} = (-1)^{n-1}</math>
कैटलन की पहचान एक सामान्यीकरण है:
<math display=block>{F_n}^2 - F_{n+r}F_{n-r} = (-1)^{n-r}{F_r}^2</math>
=== d ओकैग्ने का की पहचान ===
<math display=block>F_m F_{n+1} - F_{m+1} F_n = (-1)^n F_{m-n}</math>
<math display=block>F_{2 n} = {F_{n+1}}^2 - {F_{n-1}}^2 = F_n \left (F_{n+1}+F_{n-1} \right ) = F_nL_n</math>
जहां ''L<sub>n</sub>'' n-वाँ लुकास संख्या है। अंतिम n को दोगुना करने के लिए एक तत्समक है; इस प्रकार की अन्य पहचान हैं
<math display=block>F_{3 n} = 2{F_n}^3 + 3 F_n F_{n+1} F_{n-1} = 5{F_n}^3 + 3 (-1)^n F_n</math>
कैसिनी की पहचान से।

<math display=block>F_{3 n+1} = {F_{n+1}}^3 + 3 F_{n+1}{F_n}^2 - {F_n}^3</math>
<math display=block>F_{3 n+2} = {F_{n+1}}^3 + 3 {F_{n+1}}^2 F_n + {F_n}^3</math>
<math display=block>F_{4 n} = 4 F_n F_{n+1} \left ({F_{n+1}}^2 + 2{F_n}^2 \right ) - 3{F_n}^2 \left ({F_n}^2 + 2{F_{n+1}}^2 \right )</math>
इन्हें  [[जाली कमी|लैटिस रिडक्शन]] का प्रयोग करके प्रयोगात्मक रूप से पाया जा सकता है, और एक फाइबोनैचि संख्या को [[गुणन]] करने के लिए विशेष संख्या फ़ील्ड छलनी स्थापित करने में उपयोगी होते हैं।

सामान्यतः अधिक,<ref name="MathWorld" />

<math display=block>F_{k n+c} = \sum_{i=0}^k {k\choose i} F_{c-i} {F_n}^i {F_{n+1}}^{k-i}.</math>
या वैकल्पिक रूप से

<math display=block>F_{k n+c} = \sum_{i=0}^k {k\choose i} F_{c+i} {F_n}^i {F_{n-1}}^{k-i}.</math>
लाना {{math|1=''k'' = 2}} इस सूत्र में, एक बार फिर से उपरोक्त खंड के अंत के सूत्र आव्यूह रूप में मिलते हैं।

== फलन उत्पन्न करना ==
फाइबोनैचि अनुक्रम का [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनरेटिंग फलन]] [[बिजली की श्रृंखला]] है
<math display=block>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k = \sum_{k=1}^{\infty} F_k x^k = 0+x+x^2+2 x^3+3 x^4+\dots.</math>
यह श्रृंखला के लिए अभिसरण है <math>|x| < \frac{1}{\varphi},</math> और इसके योग का सरल संवृत रूप है:<ref>{{Citation | last = Glaister | first = P | title = Fibonacci power series | journal = The Mathematical Gazette | year = 1995 | doi = 10.2307/3618079 | volume = 79 | issue = 486| pages = 521–25 | jstor = 3618079 | s2cid = 116536130 }}</ref>
<math display=block>s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}</math>
अनंत योग में प्रत्येक गुणांक का विस्तार करने के लिए फाइबोनैचि पुनरावृत्ति का उपयोग करके यह साबित किया जा सकता है:
<math display=block>\begin{align}
  s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
       &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_k x^k \\
       &= 0 + 1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_k x^k \\
       &= x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\
       &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\
       &= x + x\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^{k-1} + x^2\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^{k-2} \\
       &= x + x\sum_{k=1}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
       &= x + x s(x) + x^2 s(x).
  \end{align}</math>
समीकरण को हल करना
<math display=block>s(x)=x+xs(x)+x^2 s(x)</math>
के लिए <math>s(x)</math> संवृत रूप में परिणाम।

[[आंशिक अंश अपघटन]] द्वारा दिया जाता है
<math display=block>s(x) = \frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1}{1 - \varphi x} - \frac{1}{1 - \psi x}\right)</math>
जहाँ <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> गोल्डन रेश्यो है और <math>\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}</math> इसका संयुग्म (वर्गमूल) है।

<math>-s\!\left(-\frac{1}{x}\right)</math> फाइबोनैचि संख्या # अनुक्रम गुण संख्याओं के लिए जनरेटिंग फलन देता है, और <math>s(x)</math> [[कार्यात्मक समीकरण]] को संतुष्ट करता है
<math display=block>s(x) = s\!\left(-\frac{1}{x}\right).</math>
== पारस्परिक रकम ==
गुणनात्मक व्युत्क्रम फाइबोनैचि संख्याओं पर अनंत राशियों का कभी-कभी थीटा कार्यों के संदर्भ में मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक विषम-अनुक्रमित पारस्परिक फाइबोनैचि संख्या का योग इस रूप में लिखा जा सकता है

<math display=block>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{F_{2 k-1}} = \frac{\sqrt{5}}{4} \; \vartheta_2\!\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right)^2 ,</math>
और व्युत्क्रम फाइबोनैचि संख्याओं के वर्गों का योग इस प्रकार है
<math display=block>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{{F_k}^2} = \frac{5}{24} \!\left(\vartheta_2\!\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right)^4 - \vartheta_4\!\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right)^4 + 1 \right).</math>
यदि हम पहले योग में प्रत्येक फाइबोनैचि संख्या में 1 जोड़ते हैं, तो इसका संवृत रूप भी है
<math display=block>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{1+F_{2 k-1}} = \frac{\sqrt{5}}{2},</math>
और स्वर्णिम अनुपात का व्युत्क्रम देते हुए वर्गाकार फाइबोनैचि संख्याओं का नेस्टेड योग है,
<math display=block>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{\sum_{j=1}^k {F_{j}}^2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} .</math>
सभी सम-अनुक्रमित पारस्परिक फाइबोनैचि संख्याओं का योग है<ref>[[Edmund Landau|Landau]] (1899)<!-- most probably: {{Citation | author = Landau, E. | title = Sur la Série des Invers de Nombres de Fibonacci | journal = Bull. Soc. Math. France | volume = 27 | year = 1899 | pages = 298–300}}
--> quoted according [[#Borwein|Borwein]], Page 95, Exercise 3b.</ref>
<math display=block>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_{2 k}} = \sqrt{5} \left(L(\psi^2) - L(\psi^4)\right) </math>
[[लैम्बर्ट श्रृंखला]] के साथ <math>\textstyle L(q) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{q^k}{1-q^k} ,</math> तब से <math>\textstyle \frac{1}{F_{2 k}} = \sqrt{5} \left(\frac{\psi^{2 k}}{1-\psi^{2 k}} - \frac{\psi^{4 k}}{1-\psi^{4 k}} \right)\!.</math>
तो [[पारस्परिक फाइबोनैचि स्थिरांक]] है<ref>{{Cite OEIS|1=A079586|mode=cs2}}</ref>
<math display=block>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{F_{2 k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{F_{2 k}} = 3.359885666243 \dots</math>
इसके अलावा, रिचर्ड आंद्रे-जीनिन द्वारा इस संख्या को [[अपरिमेय संख्या]] सिद्ध किया गया है।<ref>{{citation
 | last = André-Jeannin
 | first = Richard
 | title = Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes
 | journal = [[Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I]]
 | volume = 308
 | year = 1989
 | issue = 19
 | pages = 539–41
 |mr=0999451}}</ref>
मिलिन की सीरीज पहचान देती है<ref>{{citation|title=Mathematical Gems III|volume=9|series=Dolciani Mathematical Expositions|first=Ross|last=Honsberger|publisher=American Mathematical Society|year=1985|isbn=9781470457181|contribution=Millin's series|pages=135–136|contribution-url=https://books.google.com/books?id=vl_0DwAAQBAJ&pg=PA135}}</ref>
<math display=block>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{F_{2^k}} = \frac{7 - \sqrt{5}}{2},</math>
जो इसके आंशिक योगों के लिए संवृत रूप से अनुसरण करता है क्योंकि N अनंत की ओर जाता है:
<math display=block>\sum_{k=0}^N \frac{1}{F_{2^k}} = 3 - \frac{F_{2^N-1}}{F_{2^N}}.</math>
== प्रधान और विभाज्यता ==

=== विभाज्यता गुण ===
अनुक्रम की प्रत्येक तीसरी संख्या सम है (का गुणक <math>F_3=2</math>) और, सामान्यतः, अनुक्रम की प्रत्येक kवीं संख्या F<sub>k</sub> का गुणक होती है. इस प्रकार फाइबोनैचि अनुक्रम [[विभाज्यता अनुक्रम]] का एक उदाहरण है। वास्तव में, फाइबोनैचि अनुक्रम मजबूत विभाज्यता गुण को संतुष्ट करता है<ref>{{Citation | first = Paulo | last = Ribenboim | author-link = Paulo Ribenboim | title = My Numbers, My Friends | publisher = Springer-Verlag | year = 2000}}</ref><ref>{{Citation | last1 = Su | first1 = Francis E | others = et al | publisher = HMC | url = http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20004.5.shtml | contribution = Fibonacci GCD's, please | year = 2000 | title = Mudd Math Fun Facts | access-date = 2007-02-23 | archive-url = https://web.archive.org/web/20091214092739/http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20004.5.shtml | archive-date = 2009-12-14 | url-status = dead }}</ref>
<math display=block>\gcd(F_a,F_b,F_c,\ldots) = F_{\gcd(a,b,c,\ldots)}\,</math>
जहाँ {{math|gcd}} महत्तम समापवर्तक फलन है।

विशेष रूप से, कोई भी तीन लगातार फाइबोनैचि संख्याएँ जोड़ीदार [[कोप्राइम पूर्णांक]] हैं क्योंकि दोनों <math>F_1=1</math> और <math>F_2 = 1</math>. वह है,
:<math>\gcd(F_n, F_{n+1}) = \gcd(F_n, F_{n+2}) = \gcd(F_{n+1}, F_{n+2}) = 1</math>
हर n के लिए

प्रत्येक [[अभाज्य संख्या]] p एक फाइबोनैचि संख्या को विभाजित करती है जिसे p [[मॉड्यूलर अंकगणित]] 5 के मान द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यदि p 1 या 4 मॉड्यूल 5 के सर्वांगसम है, तो p, F<sub>''p''−1</sub> को विभाजित करता है, और यदि p 2 या 3 सापेक्ष 5 के सर्वांगसम है, तो p, F को विभाजित करता है<sub>''p''+1</sub>. शेष स्थिति यह है कि p = 5, और इस स्थिति में p, F को विभाजित करता है<sub>p</sub>.

<math display=block>\begin{cases} p =5 & \Rightarrow p \mid F_{p}, \\ p \equiv \pm1 \pmod 5 & \Rightarrow p \mid F_{p-1}, \\ p \equiv \pm2 \pmod 5 &  \Rightarrow p \mid F_{p+1}.\end{cases}</math>
लीजेंड्रे प्रतीक का उपयोग करके इन परिस्थितियों को एकल, गैर-टुकड़ेवार सूत्र में जोड़ा जा सकता है:<ref>{{citation
 | last = Williams | first = H. C.
 | doi = 10.4153/CMB-1982-053-0 | doi-access=free
 | issue = 3
 | journal = [[Canadian Mathematical Bulletin]]
 | mr = 668957
 | pages = 366–70
 | title = A note on the Fibonacci quotient <math>F_{p-\varepsilon}/p</math>
 | volume = 25
 | year = 1982| hdl = 10338.dmlcz/137492
 | hdl-access = free
 }}. Williams calls this property "well known".</ref>
<math display=block>p \mid F_{p \;-\, \left(\frac{5}{p}\right)}.</math>
=== प्राथमिक परीक्षण ===
उपरोक्त सूत्र का उपयोग इस अर्थ में एक प्राथमिक परीक्षण के रूप में किया जा सकता है कि यदि
<math display=block>n \mid F_{n \;-\, \left(\frac{5}{n}\right)},</math>
जहां लीजेंड्रे प्रतीक को [[जैकोबी प्रतीक]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, तो यह प्रमाण है कि n एक अभाज्य संख्या है, और यदि यह धारण करने में विफल रहता है, तो n निश्चित रूप से अभाज्य नहीं है। यदि n [[समग्र संख्या]] है और सूत्र को संतुष्ट करता है, तो n एक फाइबोनैचि स्यूडोप्राइम है। जब m बड़ा होता है{{snd}}500-[[ अंश ]] संख्या बोलें{{snd}} तो हम ''F<sub>m</sub>'' की गणना कर सकते हैं (मॉड ''n'') आव्यूह फॉर्म का कुशलता से उपयोग करना। इस प्रकार

<math display=block> \begin{pmatrix} F_{m+1} & F_m \\ F_m & F_{m-1} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^m \pmod n.</math>
यहां आव्यूह पावर ए<sup>m</sup> की गणना [[मॉड्यूलर घातांक]] का उपयोग करके की जाती है, जो मॉड्यूलर घातांक मैट्रिसेस हो सकता है।<ref>''Prime Numbers'', Richard Crandall, Carl Pomerance, Springer, second edition, 2005, p. 142.</ref>
=== फाइबोनैचि अभाज्य ===
{{Main|फाइबोनैचि प्राइम}}
एक फाइबोनैचि अभाज्य एक फाइबोनैचि संख्या है जो कि अभाज्य संख्या है। पहले कुछ हैं:<ref>{{Cite OEIS|1=A005478|mode=cs2}}</ref>
: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...

हजारों अंकों के साथ फाइबोनैचि अभाज्य पाए गए हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि असीम रूप से बहुत से हैं या नहीं।<ref>{{citation
 | last = Diaconis | first = Persi | author-link = Persi Diaconis
 | editor1-last = Butler | editor1-first = Steve | editor1-link = Steve Butler (mathematician)
 | editor2-last = Cooper | editor2-first = Joshua
 | editor3-last = Hurlbert | editor3-first = Glenn
 | contribution = Probabilizing Fibonacci numbers
 | contribution-url = https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/probabilizing-fibonacci.pdf
 | isbn = 978-1-107-15398-1
 | mr = 3821829
 | pages = 1–12
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = Connections in Discrete Mathematics: A Celebration of the Work of Ron Graham
 | year = 2018}}</ref>
''F<sub>kn</sub>'' F<sub>''n''</sub> से विभाज्य है, इसलिए, ''F''<sub>4</sub>  = 3 के अलावा, किसी भी फाइबोनैचि प्राइम का एक प्राइम इंडेक्स होना चाहिए। चूंकि संमिश्र संख्याओं के स्वेच्छन्दता से बड़े रन होते हैं, इसलिए समग्र फाइबोनैचि संख्याओं के स्वेच्छन्दता से लंबे रन भी होते हैं।

F<sub>6</sub> = 8  से बड़ी कोई फाइबोनैचि संख्या नहीं हैl 

एक अभाज्य संख्या से एक बड़ी या एक कम है।<ref>{{Citation | first = Ross | last = Honsberger | title = Mathematical Gems III | journal = AMS Dolciani Mathematical Expositions | year = 1985 | isbn = 978-0-88385-318-4 | page = 133 | issue = 9}}</ref>
एकमात्र गैर-तुच्छ वर्ग संख्या फाइबोनैचि संख्या 144 है।<ref>{{citation | last = Cohn | first = J. H. E. | doi = 10.1112/jlms/s1-39.1.537 | journal = The Journal of the London Mathematical Society | mr = 163867 | pages = 537–540 | title = On square Fibonacci numbers | volume = 39 | year = 1964}}</ref> एटिला पेथो ने 2001 में सिद्ध किया कि [[पूर्ण शक्ति]] फाइबोनैचि संख्याओं की केवल एक सीमित संख्या होती है।<ref>{{Citation | first = Attila | last = Pethő | title = Diophantine properties of linear recursive sequences II | journal = Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis | volume = 17 | year = 2001 | pages = 81–96}}</ref> 2006 में, वाई. बुगौड, एम. मिग्नोटे और एस. सिकसेक ने साबित किया कि 8 और 144 ही ऐसी गैर-तुच्छ पूर्ण घात हैं।<ref>{{Citation|first1=Y|last1=Bugeaud|first2=M|last2= Mignotte|first3=S|last3=Siksek|title = Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers | journal = Ann. Math.|volume = 2 | year = 2006 | pages = 969–1018 | issue = 163 | bibcode = 2004math......3046B | arxiv = math/0403046| doi = 10.4007/annals.2006.163.969|s2cid=10266596}}</ref>

1, 3, 21, और 55 एकमात्र त्रिकोणीय संख्या फाइबोनैचि संख्याएं हैं, जो वर्नर एमिल हॉगट जूनियर द्वारा [[अनुमान]]ित की गई थी और लुओ मिंग द्वारा सिद्ध की गई थी।<ref>{{Citation|first=Ming|last=Luo|title = On triangular Fibonacci numbers | journal = Fibonacci Quart. | volume = 27 | issue = 2 | year = 1989 | pages = 98–108 | url = http://www.fq.math.ca/Scanned/27-2/ming.pdf }}</ref> कोई फिबोनाची संख्या पूर्ण संख्या नहीं हो सकती।<ref name="Luca2000">{{citation | first=Florian | last=Luca | title=Perfect Fibonacci and Lucas numbers | journal=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo | year=2000 | volume=49 | issue=2 | pages=313–18 | doi=10.1007/BF02904236 | mr=1765401 | s2cid=121789033 | issn=1973-4409 }}</ref> 

अधिक सामान्यतः, 1 के अलावा कोई भी फाइबोनैचि संख्या पूर्ण संख्या नहीं हो सकती है,<ref name="BGLLHT2011">{{citation | first1=Kevin A. | last1=Broughan | first2=Marcos J. | last2=González | first3=Ryan H. | last3=Lewis | first4=Florian | last4=Luca | first5=V. Janitzio | last5=Mejía Huguet | first6=Alain | last6=Togbé | title=There are no multiply-perfect Fibonacci numbers | journal=Integers | year=2011 | volume=11a | page=A7 | url=http://math.colgate.edu/~integers/vol11a.html | mr=2988067 }}</ref> और दो फाइबोनैचि संख्याओं का कोई भी अनुपात पूर्ण नहीं हो सकता है।<ref name="LucaMH2010">{{citation | first1=Florian | last1=Luca | first2= V. Janitzio | last2=Mejía Huguet | title=On Perfect numbers which are ratios of two Fibonacci numbers | journal=Annales Mathematicae at Informaticae | year=2010 | volume=37 | pages=107–24 | url=http://ami.ektf.hu/index.php?vol=37 | mr=2753031 | issn=1787-6117 }}</ref>
=== प्रधान विभाजक ===
1, 8 और 144 के अपवादों के साथ (F<sub>1</sub> = F<sub>2</sub>, F<sub>6</sub> और F<sub>12</sub>) प्रत्येक फाइबोनैचि संख्या का एक अभाज्य गुणनखंड होता है जो किसी भी छोटी फाइबोनैचि संख्या (कारमाइकल प्रमेय) का गुणनखंड नहीं होता है।<ref>{{Citation | first = Ron | last = Knott | url = http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html | title = The Fibonacci numbers | publisher = Surrey | place = UK}}</ref> नतीजतन, 8 और 144 (F<sub>6</sub> और F<sub>12</sub>) केवल फाइबोनैचि संख्याएँ हैं जो अन्य फाइबोनैचि संख्याओं का गुणनफल हैं।<ref>{{Cite OEIS|1=A235383|mode=cs2}}</ref>

अभाज्य p द्वारा फाइबोनैचि संख्याओं की विभाज्यता लीजेंड्रे प्रतीक से संबंधित है <math>\left(\tfrac{p}{5}\right)</math> जिसका मूल्यांकन इस प्रकार किया जाता है:
<math display="block">\left(\frac{p}{5}\right) = \begin{cases} 0 & \text{if } p = 5\\ 1 & \text{if } p \equiv \pm 1 \pmod 5\\ -1 & \text{if } p \equiv \pm 2 \pmod 5.\end{cases}</math>
यदि p एक अभाज्य संख्या है तो
<math display=block> F_p \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p \quad \text{and}\quad F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p.</math><ref>{{Citation | first = Paulo | last = Ribenboim | author-link = Paulo Ribenboim | year = 1996 | title = The New Book of Prime Number Records | place = New York | publisher = Springer | isbn = 978-0-387-94457-9 | page = 64}}</ref>{{Sfn | Lemmermeyer | 2000 | loc = ex. 2.25–28 | pp = 73–74}}

उदाहरण के लिए,
<math display=block>\begin{align}
(\tfrac{2}{5}) &= -1, &F_3  &= 2, &F_2&=1, \\
(\tfrac{3}{5}) &= -1, &F_4  &= 3,&F_3&=2, \\
(\tfrac{5}{5}) &= 0, &F_5  &= 5, \\
(\tfrac{7}{5}) &= -1, &F_8  &= 21,&F_7&=13, \\
(\tfrac{11}{5})& = +1, &F_{10}&  = 55, &F_{11}&=89.
\end{align}</math>
यह ज्ञात नहीं है कि क्या कोई अभाज्य p उपस्थित है या नहीं

<math display=block>F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod{p^2}.</math>
ऐसे अभाज्य (यदि कोई हैं) को दीवार-सूर्य-सूर्य अभाज्य कहा जाएगा।

साथ ही, यदि p ≠ 5 एक विषम अभाज्य संख्या है, तो:{{Sfn | Lemmermeyer | 2000 | loc = ex. 2.28 | pp = 73–74}}
<math display=block>5 {F_{\frac{p \pm 1}{2}}}^2 \equiv \begin{cases}
\tfrac{1}{2} \left (5\left(\frac{p}{5}\right)\pm 5 \right ) \pmod p & \text{if } p \equiv 1 \pmod 4\\
\tfrac{1}{2} \left (5\left(\frac{p}{5}\right)\mp 3 \right ) \pmod p & \text{if } p \equiv 3 \pmod 4.
\end{cases}</math>
उदाहरण 1. ''p'' = 7, इस स्थिति में ''p'' ≡ 3 (mod 4) और हमारे पास:
<math display=block>(\tfrac{7}{5}) = -1: \qquad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{7}{5})+3 \right ) =-1, \quad \tfrac{1}{2} \left (5(\tfrac{7}{5})-3 \right )=-4.</math>
<math display=block>F_3=2 \text{ and } F_4=3.</math>
<math display=block>5{F_3}^2=20\equiv -1 \pmod {7}\;\;\text{ and }\;\;5{F_4}^2=45\equiv -4 \pmod {7}</math>
उदाहरण 2. ''p'' = 11, इस स्थिति में ''p'' ≡ 3 (mod 4) और हमारे पास:
<math display=block>(\tfrac{11}{5}) = +1: \qquad  \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{11}{5})+3 \right )=4, \quad \tfrac{1}{2} \left (5(\tfrac{11}{5})- 3 \right )=1.</math>
<math display=block>F_5=5 \text{ and } F_6=8.</math>
<math display=block>5{F_5}^2=125\equiv 4 \pmod {11} \;\;\text{ and }\;\;5{F_6}^2=320\equiv 1 \pmod {11}</math>
उदाहरण 3. ''p'' = 13, इस स्थिति में ''p'' ≡ 1 (mod 4) और हमारे पास:
<math display=block>(\tfrac{13}{5}) = -1: \qquad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{13}{5})-5 \right ) =-5, \quad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{13}{5})+ 5 \right )=0.</math>
<math display=block>F_6=8 \text{ and } F_7=13.</math>
<math display=block>5{F_6}^2=320\equiv -5 \pmod {13} \;\;\text{ and }\;\;5{F_7}^2=845\equiv 0 \pmod {13}</math>
उदाहरण 4. ''p'' = 29, इस स्थिति में ''p'' ≡ 1 (mod 4) और हमारे पास:
<math display=block>(\tfrac{29}{5}) = +1: \qquad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{29}{5})-5 \right )=0, \quad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{29}{5})+5 \right )=5.</math>
<math display=block>F_{14}=377 \text{ and } F_{15}=610.</math>
<math display=block>5{F_{14}}^2=710645\equiv 0 \pmod {29} \;\;\text{ and }\;\;5{F_{15}}^2=1860500\equiv 5 \pmod {29}</math>
विषम n के लिए, F<sub>''n''</sub> के सभी विषम अभाज्य भाजक 1 सापेक्ष 4 के सर्वांगसम हैं, जिसका अर्थ है कि F<sub>''n''</sub> के सभी विषम विभाजक (विषम अभाज्य भाजक के गुणनफल के रूप में) 1 मॉड्यूल 4 के सर्वांगसम हैं।{{Sfn | Lemmermeyer | 2000 | loc = ex. 2.27 | p = 73}}

उदाहरण के लिए,
<math display=block>F_1 = 1,\ F_3 = 2,\ F_5 = 5,\ F_7 = 13,\ F_9 = 34 = 2 \cdot 17,\ F_{11} = 89,\ F_{13} = 233,\ F_{15} = 610 = 2 \cdot 5 \cdot 61.</math>
सभी i <50000 के लिए फाइबोनैचि संख्या F(i&hairsp;) के सभी ज्ञात कारकों को संबंधित रिपॉजिटरी में एकत्र किया जाता है।<ref>{{Citation | url = http://mersennus.net/fibonacci/ | title = Fibonacci and Lucas factorizations | publisher = Mersennus}} collects all known factors of ''F''(''i'') with ''i'' < 10000.</ref><ref>{{Citation | url =http://fibonacci.redgolpe.com/ | title = Factors of Fibonacci and Lucas numbers | publisher = Red golpe}} collects all known factors of ''F''(''i'') with 10000 < ''i'' < 50000.</ref>
=== आवधिकता मॉड्यूल ''n'' ===
{{Main|पिसानो अवधि}}

यदि फाइबोनैचि अनुक्रम के सदस्यों को mod n लिया जाता है, तो परिणामी अनुक्रम अधिकतम 6''n'' अवधि के साथ [[आवधिक अनुक्रम]] होता है।<ref>{{Citation | title = Problems and Solutions: Solutions: E3410 | last1 = Freyd | first1 = Peter | last2 = Brown | first2 = Kevin S. | journal = The American Mathematical Monthly | volume = 99 | issue = 3 | pages = 278–79 |date= 1993 | doi=10.2307/2325076| jstor = 2325076 }}</ref> विभिन्न एन के लिए अवधियों की लंबाई तथाकथित पिसानो अवधि बनाती है।<ref>{{Cite OEIS|1=A001175|mode=cs2}}</ref> पिसानो अवधियों के लिए एक सामान्य सूत्र निर्धारित करना एक [[खुली समस्या]] है, जिसमें एक उप-समस्या के रूप में एक मॉड्यूलर अंकगणित या [[परिमित क्षेत्र]] में एक तत्व के गुणात्मक क्रम को खोजने की समस्या का एक विशेष उदाहरण सम्मिलित है। हालाँकि, किसी विशेष ''n'' के लिए, पिसानो अवधि को चक्र पहचान के एक उदाहरण के रूप में पाया जा सकता है।

== सामान्यीकरण ==
{{Main|फाइबोनैचि संख्याओं का सामान्यीकरण}}

फाइबोनैचि अनुक्रम पुनरावृत्ति संबंध द्वारा और विशेष रूप से एक रेखीय अंतर समीकरण द्वारा परिभाषित सबसे सरल और प्रारम्भी ज्ञात अनुक्रमों में से एक है। इन सभी अनुक्रमों को फाइबोनैचि अनुक्रम के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, बिनेट के सूत्र को किसी भी अनुक्रम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो निरंतर गुणांक वाले रैखिक पुनरावृत्ति का समाधान है।

कुछ विशिष्ट उदाहरण जो कुछ अर्थों में फाइबोनैचि अनुक्रम के करीब हैं, उनमें सम्मिलित हैं:
* नेगाफाइबोनैचि संख्याओं का उत्पादन करने के लिए सूचकांक को ऋणात्मक पूर्णांकों में सामान्यीकृत करना।
* बिनेट के सूत्र के संशोधन का उपयोग करके सूचकांक को [[वास्तविक संख्या]] में सामान्यीकृत करना।<ref name="MathWorld" />* अन्य पूर्णांकों से प्रारंभ करें। लुकास संख्या में ''L'' है<sub>1</sub> = 1, ''L''<sub>2</sub> = 3, और ''L''<sub>n</sub>= ''L<sub>n</sub>''<sub>−1</sub> + ''L<sub>n</sub>''<sub>−2</sub>. [[प्राइमफ्री सीक्वेंस]] फाइबोनैचि पुनरावर्तन का उपयोग अन्य प्रारम्भी बिंदुओं के साथ अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए करते हैं जिसमें सभी संख्याएँ मिश्रित होती हैं।
* किसी संख्या को दो पूर्ववर्ती संख्याओं का एक रैखिक फलन (योग के अलावा) होने देना। [[पेल नंबर]]ों में ''P<sub>n</sub>'' = 2''P<sub>n</sub>''<sub>−1</sub> + ''P<sub>n</sub>''<sub>−2</sub> है. यदि पूर्ववर्ती मान के गुणांक को एक चर मान x निर्दिष्ट किया जाता है, तो परिणाम [[फाइबोनैचि बहुपद]]ों का अनुक्रम होता है।
* ठीक पहले वाली संख्याओं को न जोड़ना। [[पडोवन अनुक्रम]] और [[पेरिन संख्या]] में P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) है।
* 3 संख्याओं (ट्राइबोनैचि संख्याओं), 4 संख्याओं (टेट्रानैक्की संख्याओं), या अधिक को जोड़कर अगली संख्या उत्पन्न करना। परिणामी क्रम को n-चरण फाइबोनैचि संख्या के रूप में जाना जाता है।<ref>{{citation
 | last1 = Lü | first1 = Kebo
 | last2 = Wang | first2 = Jun
 | journal = Utilitas Mathematica
 | mr = 2278830
 | pages = 169–177
 | title = {{mvar|k}}-step Fibonacci sequence modulo {{mvar|m}}
 | url = http://utilitasmathematica.com/index.php/Index/article/view/410
 | volume = 71
 | year = 2006}}</ref>
== अनुप्रयोग ==

=== गणित ===

[[File:PascalTriangleFibanacci.svg|thumb|right|360px|फाइबोनैचि संख्याएं पास्कल के त्रिभुज के उथले विकर्णों (लाल रंग में दर्शाए गए) का योग हैं।]]फाइबोनैचि संख्या पास्कल के त्रिकोण में "उथले" (शेल्लोव) विकर्णों के जोड़ में होती है ([[द्विपद गुणांक]] देखें):{{Sfn | Lucas | 1891 | p = 7}}

जनरेटिंग फलन में विस्तारित किया जा सकता है
<math display=block>\frac{x}{1-x-x^2} = x + x^2(1+x) + x^3(1+x)^2 + \dots + x^{k+1}(1+x)^k + \dots = \sum\limits_{n=0}^\infty F_n x^n</math>
और की शर्तों की तरह इकट्ठा करना <math>x^n</math>, हमारी पहचान है
<math display=block>F_n = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \binom{n-k-1}{k}.</math>
यह देखने के लिए कि सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है, हम योगों को उपस्थित पदों की संख्या के अनुसार व्यवस्थित कर सकते हैं:
:{|
| {{math|5}}
| {{math|1== 1+1+1+1+1}}
|-
|
| {{math|1== 2+1+1+1}}
| {{math|1== 1+2+1+1}}
| {{math|1== 1+1+2+1}}
| {{math|1== 1+1+1+2}}
|-
|
| {{math|1== 2+2+1}}
| {{math|1== 2+1+2}}
| {{math|1== 1+2+2}}
|}
जो है <math>\binom{5}{0}+\binom{4}{1}+\binom{3}{2}</math>, जहां हम n−k−1 शर्तों से k दो की स्थिति चुन रहे हैं।

[[File:Fibonacci climbing stairs.svg|thumb|right|गिनती करने के लिए फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करें {{nowrap|{1,&thinsp;2}-restricted}} रचनाएँ|285x285px]]ये संख्याएँ कुछ गणनात्मक समस्याओं का समाधान भी देती हैं,<ref>{{citation|last=Stanley|first=Richard|title=Enumerative Combinatorics I (2nd ed.)|year=2011|publisher=Cambridge Univ. Press|isbn=978-1-107-60262-5|page=121, Ex 1.35}}</ref> इनमें से सबसे आम है किसी दी गई संख्या को लिखने के तरीकों की संख्या गिनना {{math|''n''}} 1s और 2s के क्रमित योग के रूप में (जिसे रचना (कॉम्बिनेटरिक्स)#रचनाओं की संख्या कहा जाता है); वहाँ हैं {{math|''F''<sub>''n''+1</sub>}} इसे करने के तरीके (समतुल्य रूप से, यह [[डोमिनोज़ टाइलिंग]] की संख्या भी है <math>2\times n</math> आयत)। उदाहरण के लिए, हैं {{math|1=''F''<sub>5+1</sub> = ''F''<sub>6</sub> = 8}} एक बार में एक या दो सीढ़ियाँ चढ़कर 5 सीढ़ियाँ चढ़ने के तरीके:
:{|
| {{math|5}}
| {{math|1== 1+1+1+1+1}}
| {{math|1== 2+1+1+1}}
| {{math|1== 1+2+1+1}}
| {{math|1== 1+1+2+1}}
| {{math|1== 2+2+1}}
|-
|
| {{math|1== 1+1+1+2}}
| {{math|1== 2+1+2}}
| {{math|1== 1+2+2}}
|}
चित्र दिखाता है कि 8 को 5 में विभाजित किया जा सकता है (4 सीढ़ियां चढ़ने के तरीकों की संख्या, उसके बाद एक सिंगल स्टेप) प्लस 3 (3 सीढ़ियां चढ़ने के तरीकों की संख्या, उसके बाद एक डबल-स्टेप)। उसी तर्क को एक एकल चरण तक पुनरावर्तन लागू किया जाता है, जिसमें चढ़ने का केवल एक ही तरीका होता है।

फाइबोनैचि संख्याएं बाइनरी अंक प्रणाली [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] के समुच्चय  के बीच अलग-अलग तरीकों से पाई जा सकती हैं, या समतुल्य रूप से, किसी दिए गए समुच्चय  के [[सबसेट|सबसमुच्चय]]  के बीच।
* लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स की संख्या {{math|''n''}} लगातार बिना {{math|1}s फाइबोनैचि संख्या है {{math|''F''<sub>''n''+2</sub>}}. उदाहरण के लिए, लंबाई 4 के 16 बाइनरी स्ट्रिंग्स में से हैं {{math|1=''F''<sub>6</sub> = 8}} लगातार बिना {{math|1}}s – वे 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001, और 1010 हैं। इस तरह के तार [[फिबिनरी नंबर]]ों के द्विआधारी प्रतिनिधित्व हैं। समान रूप से, {{math|''F''<sub>''n''+2</sub>}} सबसमुच्चय  की संख्या है {{math|''S''}} का {{math|{{mset|1, ..., ''n''}}}} लगातार पूर्णांकों के बिना, यानी वो {{math|''S''}} जिसके लिए {{math|{{mset|''i'', ''i'' + 1}} ⊈ ''S''}} हरएक के लिए {{math|''i''}}. n+1 के योग के साथ एक आक्षेप 1 को 0 से और 2 को 10 से बदलना है, और अंतिम शून्य को छोड़ देना है।
* लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स की संख्या {{math|''n''}} लगातार विषम संख्या के बिना फाइबोनैचि संख्या है {{math|''F''<sub>''n''+1</sub>}}. उदाहरण के लिए, लंबाई 4 के 16 बाइनरी स्ट्रिंग्स में से हैं {{math|1=''F''<sub>5</sub> = 5}} लगातार विषम संख्या के बिना {{math|1}}s – वे 0000, 0011, 0110, 1100, 1111 हैं। समान रूप से, उपसमुच्चयों की संख्या {{math|''S''}} का {{math|{{mset|1, ..., ''n''}}}} लगातार पूर्णांकों की एक विषम संख्या के बिना है {{math|''F''<sub>''n''+1</sub>}}. n के योग के साथ एक आपत्ति 1 को 0 से और 2 को 11 से प्रतिस्थापित करना है।
* लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स की संख्या {{math|''n''}} लगातार सम संख्या के बिना 0 (शून्य) या 1 है {{math|2''F''<sub>''n''</sub>}}. उदाहरण के लिए, लंबाई 4 के 16 बाइनरी स्ट्रिंग्स में से हैं {{math|1=2''F''<sub>4</sub> = 6}} लगातार सम संख्या के बिना {{math|0}एस या {{math|1}}s – वे 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110 हैं। उपसमुच्चय के बारे में एक समान कथन है।
* यूरी मटियासेविच यह दिखाने में सक्षम थे कि फाइबोनैचि संख्याओं को एक [[डायोफैंटाइन समीकरण]] द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जिसके कारण मटियासेविच की प्रमेय हिल्बर्ट की दसवीं समस्या सामने आई।<ref>{{citation|title=Review of Yuri V. Matiyasevich, ''Hibert's Tenth Problem''|journal=Modern Logic|first=Valentina|last=Harizanov|volume=5|issue=3|year=1995|pages=345–55|url=http://projecteuclid.org/euclid.rml/1204900767}}</ref>
* फाइबोनैचि संख्याएँ भी पूर्ण अनुक्रम का एक उदाहरण हैं। इसका अर्थ है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ किसी एक संख्या का अधिकतम एक बार उपयोग किया जाता है।
* इसके अलावा, प्रत्येक घनात्मक पूर्णांक को एक या एक से अधिक अलग-अलग फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है, ताकि योग में लगातार दो फाइबोनैचि संख्याएँ सम्मिलित न हों। इसे ज़ेकेनडॉर्फ के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और इन शर्तों को पूरा करने वाली फाइबोनैचि संख्याओं के योग को ज़ेकेनडॉर्फ प्रतिनिधित्व कहा जाता है। किसी संख्या के ज़ेकेनडॉर्फ निरूपण का उपयोग उसके [[ फाइबोनैचि कोडिंग ]] को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।
* 5 से प्रारम्भ होकर, प्रत्येक दूसरी फाइबोनैचि संख्या पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज के [[कर्ण]] की लंबाई होती है, या दूसरे शब्दों में, पाइथागोरस के त्रिक में सबसे बड़ी संख्या, सूत्र से प्राप्त होती है <math display=block>(F_n F_{n+3})^2 + (2 F_{n+1}F_{n+2})^2 = {F_{2 n+3}}^2.</math> इस सूत्र से प्राप्त पाइथागोरस त्रिभुजों के अनुक्रम की लंबाई (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...  है। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज की मध्य भुजा पूर्ववर्ती त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग है।<ref>{{citation
 | last = Pagni | first = David
 | date = September 2001
 | issue = 4
 | journal = Mathematics in School
 | jstor = 30215477
 | pages = 39–40
 | title = Fibonacci Meets Pythagoras
 | volume = 30}}</ref>
* फाइबोनैचि क्यूब एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है जिसमें फाइबोनैचि नोड्स की संख्या होती है जिसे [[समानांतर कंप्यूटिंग]] के लिए [[नेटवर्क टोपोलॉजी]] के रूप में प्रस्तावित किया गया है।
* फाइबोनैचि संख्याएं [[रिंग लेम्मा]] में दिखाई देती हैं, जिनका उपयोग [[सर्कल पैकिंग प्रमेय]] और [[अनुरूप मानचित्र]]ों के बीच संबंध साबित करने के लिए किया जाता है।<ref>{{citation|last=Stephenson|first=Kenneth|isbn=978-0-521-82356-2|mr=2131318|publisher=Cambridge University Press|title=Introduction to Circle Packing: The Theory of Discrete Analytic Functions|title-link=Introduction to Circle Packing|year=2005}}; see especially Lemma 8.2 (Ring Lemma), [https://books.google.com/books?id=38PxEmKKhysC&pg=PA73 pp. 73–74], and Appendix B, The Ring Lemma, pp. 318–321.</ref>
=== कंप्यूटर विज्ञान ===
[[File:Fibonacci Tree 6.svg|thumb|right|360px|ऊंचाई का फाइबोनैचि ट्री 6. एवीएल ट्री#बैलेंस फैक्टर ग्रीन; ऊँचाई लाल।<br />बाईं रीढ़ की कुंजियाँ फाइबोनैचि संख्याएँ हैं।]]

* एल्गोरिदम के विश्लेषण में फाइबोनैचि संख्याएं महत्वपूर्ण हैं। यूक्लिडियन एल्गोरिदम का कम्प्यूटेशनल रन-टाइम विश्लेषण।<ref>{{Citation| first= Donald E |last= Knuth| author-link= Donald Knuth | year =1997|title=The Art of Computer Programming | volume = 1: Fundamental Algorithms|edition= 3rd | publisher = Addison–Wesley |isbn=978-0-201-89683-1 | page = 343}}</ref>

* फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग [[मर्ज़ सॉर्ट]] एल्गोरिथम के एक पॉलीफ़ेज़ संस्करण में किया जाता है जिसमें एक अनसोर्टेड सूची को दो सूचियों में विभाजित किया जाता है जिनकी लंबाई अनुक्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होती है - सूची को विभाजित करके ताकि दो भागों की लंबाई अनुमानित अनुपात φ में हो। द आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में [[पॉलीफ़ेज़ मर्ज सॉर्ट]] के टेप-ड्राइव कार्यान्वयन का वर्णन किया गया था।
* एक फाइबोनैचि ट्री एक [[बाइनरी ट्री]] है, जिसके चाइल्ड ट्री (रिकर्सिवली) ट्री की ऊंचाई में बिल्कुल 1 से भिन्न होते हैं। इसलिए यह एक एवीएल ट्री है, और दी गई ऊंचाई के लिए सबसे कम नोड्स वाला - सबसे पतला एवीएल ट्री। इन पेड़ों में कई कोने होते हैं जो एक फाइबोनैचि संख्या माइनस वन है, जो एवीएल पेड़ों के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण तथ्य है।<ref>{{citation|last1=Adelson-Velsky|first1=Georgy|last2=Landis|first2=Evgenii|year=1962|title=An algorithm for the organization of information|journal=[[Proceedings of the USSR Academy of Sciences]]|volume=146|pages=263–266|language=ru}} [https://zhjwpku.com/assets/pdf/AED2-10-avl-paper.pdf English translation] by Myron J. Ricci in ''Soviet Mathematics - Doklady'', 3:1259–1263, 1962.</ref>
* फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग कुछ [[छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर]] द्वारा किया जाता है।
* फाइबोनैचि संख्याएँ फाइबोनैचि हीप डेटा संरचना के विश्लेषण में उत्पन्न होती हैं।
* एक आयामी अनुकूलन पद्धति, जिसे फाइबोनैचि खोज तकनीक कहा जाता है, फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करती है।<ref>{{Citation| first1 = M | last1 = Avriel | first2 = DJ | last2 = Wilde | title= Optimality of the Symmetric Fibonacci Search Technique |journal=Fibonacci Quarterly|year=1966 |issue=3 |pages= 265–69}}</ref>
* फाइबोनैचि संख्या श्रृंखला का उपयोग [[अमिगा]] कंप्यूटरों पर उपयोग किए जाने वाले [[इंटरचेंज फ़ाइल स्वरूप]] [[8SVX|8एसवीएक्स]] ऑडियो फ़ाइल स्वरूप में वैकल्पिक [[हानिपूर्ण संपीड़न]] के लिए किया जाता है। लघुगणकीय विधियों जैसे μ-नियम के समान मूल ऑडियो तरंग का संयोजन करने वाली संख्या श्रृंखला।<ref>{{Citation | title = Amiga ROM Kernel Reference Manual | publisher = Addison–Wesley | year = 1991}}</ref><ref>{{Citation | url = http://wiki.multimedia.cx/index.php?title=IFF#Fibonacci_Delta_Compression | contribution = IFF | title = Multimedia Wiki}}</ref>
* कुछ फुर्तीली टीमें अनुमान लगाने के उपकरण के रूप में [[ योजना पोकर | योजना पोकर]]  में मॉडिफाइड फिबोनाची सीरीज नामक एक संशोधित श्रृंखला का उपयोग करती हैं। प्लानिंग पोकर [[स्केल्ड फुर्तीली रूपरेखा]] का एक औपचारिक हिस्सा है।<ref>{{citation|author=Dean Leffingwell |url=https://www.scaledagileframework.com/story/ |title=Story |publisher=Scaled Agile Framework |date=2021-07-01 |accessdate=2022-08-15}}</ref>
* फाइबोनैचि कोडिंग
* नेगाफाइबोनैचि कोडिंग

=== प्रकृति ===
{{Further |प्रकृति में पैटर्न}}
{{see also|स्वर्णिम अनुपात#प्रकृति}}
[[File:FibonacciChamomile.PNG|thumb|पीला कैमोमाइल सिर 21 (नीला) और 13 (एक्वा) सर्पिल में व्यवस्था दिखा रहा है। लगातार फाइबोनैचि संख्याओं वाली ऐसी व्यवस्था पौधों की एक विस्तृत विविधता में दिखाई देती है।]]फिबोनैकी अनुक्रम जैविक समुच्चय िंग्स में दिखाई देते हैं,<ref>{{Citation |first1=S |last1=Douady |first2=Y |last2=Couder |title=Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process |journal=Journal of Theoretical Biology |year=1996 |issue=3 |pages=255–74 |url=http://www.math.ntnu.no/~jarlet/Douady96.pdf |doi=10.1006/jtbi.1996.0026 |volume=178 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20060526054108/http://www.math.ntnu.no/~jarlet/Douady96.pdf |archive-date=2006-05-26 }}</ref> जैसे कि पेड़ों में शाखाओं में बंटना, फाइलोटैक्सिस, अनानास के फल,<ref>{{Citation | first1=Judy |last1=Jones | first2=William | last2=Wilson |title=An Incomplete Education |publisher=Ballantine Books |year=2006 |isbn=978-0-7394-7582-9 |page=544 |chapter=Science}}</ref> आटिचोक का फूलना, एक अनिश्चित फ़र्न और एक पाइन शंकु की व्यवस्था,<ref>{{Citation| first=A | last=Brousseau |title=Fibonacci Statistics in Conifers | journal=[[Fibonacci Quarterly]] |year=1969 |issue=7 |pages=525–32}}</ref> और मधुमक्खियों का वंश वृक्ष।<ref>{{citation|url = http://www.cs4fn.org/maths/bee-davinci.php |work = Maths | publisher = Computer Science For Fun: CS4FN |title = Marks for the da Vinci Code: B–}}</ref><ref>{{Citation|first1=T.C.|last1=Scott|first2=P.|last2=Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| date = March 2014}}</ref> [[ केपलर ]] ने प्रकृति में फाइबोनैचि अनुक्रम की उपस्थिति को इंगित किया, इसका उपयोग कुछ फूलों के (गोल्डन रेश्यो से संबंधित) [[पंचकोण]]ीय रूप को समझाने के लिए किया।{{sfn|Livio|2003|p=110}} फील्ड [[ल्यूकेंथेमम वल्गारे]] में अक्सर फाइबोनैचि संख्याओं की गिनती में पंखुड़ियां होती हैं। के.एफ. शिम्पर और ए. ब्रौन ने पता लगाया कि पौधों के [[पैरास्टीची]] (सर्पिल फाइलोटैक्सिस) को अक्सर फाइबोनैचि संख्याओं वाले अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता था।<ref>{{Citation |first =Franck |last = Varenne |title = Formaliser le vivant - Lois, Théories, Modèles | accessdate = 2022-10-30| url = https://www.numilog.com/LIVRES/ISBN/9782705670894.Livre?utm_source=PDF-excerpt | page = 28 | date = 2010| isbn = 9782705678128|publisher = Hermann|quote = En 1830, K. F. Schimper et A. Braun [...]. Ils montraient que si l'on représente cet angle de divergence par une fraction reflétant le nombre de tours par feuille ([...]), on tombe régulièrement sur un des nombres de la suite de Fibonacci pour le numérateur [...].|lang = fr}}</ref>
प्रेज़ेमिस्लाव प्रुसिंक्यूविज़ ने इस विचार को आगे बढ़ाया कि वास्तविक उदाहरणों को आंशिक रूप से [[मुक्त समूह]]ों पर कुछ बीजगणितीय बाधाओं की अभिव्यक्ति के रूप में समझा जा सकता है, विशेष रूप से कुछ ए[[ एल प्रणाली ]] के रूप में।<ref>{{Citation|first1 = Przemyslaw |last1 = Prusinkiewicz | first2 = James | last2 = Hanan| title = Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Lecture Notes in Biomathematics) |publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |year=1989 |isbn=978-0-387-97092-9}}</ref>

[[File:SunflowerModel.svg|thumb|के लिए वोगेल के मॉडल का चित्रण {{math|''n'' {{=}} 1 ... 500}}]][[सूरजमुखी]] के सिर में [[ खिलता ]]्स के पैटर्न के लिए एक मॉडल किसके द्वारा प्रस्तावित किया गया था? {{ill|हेल्मुट वोगेल|de|Helmut Vogel (Physiker)}} 1979 में।<ref>{{Citation | last =Vogel | first =Helmut | title =A better way to construct the sunflower head | journal = Mathematical Biosciences | issue =3–4 | pages = 179–89 | year = 1979 | doi = 10.1016/0025-5564(79)90080-4 | volume = 44}}</ref> इसका रूप है

<math display=block>\theta = \frac{2\pi}{\varphi^2} n,\  r = c \sqrt{n}</math>
जहाँ {{math|''n''}} फ्लोरेट की इंडेक्स नंबर है और {{math|''c''}} एक निरंतर स्केलिंग कारक है; फ्लोरेट्स इस प्रकार फ़र्मेट के सर्पिल पर स्थित हैं। विचलन [[कोण]], लगभग 137.51°, स्वर्ण कोण है, जो वृत्त को स्वर्णिम अनुपात में विभाजित करता है। क्योंकि यह अनुपात अपरिमेय है, किसी भी फ्लोरेट का पड़ोसी केंद्र से ठीक उसी कोण पर नहीं है, इसलिए फ्लोरेट्स कुशलता से पैक होते हैं। क्योंकि गोल्डन रेश्यो के तर्कसंगत सन्निकटन रूप के हैं {{math|''F''(&thinsp;''j''):''F''(&thinsp;''j'' + 1)}}, पुष्पक संख्या के निकटतम पड़ोसी {{math|''n''}} वे हैं {{math|''n'' ± ''F''(&thinsp;''j'')}} कुछ सूचकांक के लिए {{math|''j''}}, जिस पर निर्भर करता है {{math|''r''}}, केंद्र से दूरी। सूरजमुखी और इसी तरह के फूलों में सामान्यतः निकटवर्ती फाइबोनैचि संख्याओं की मात्रा में दक्षिणावर्त और वामावर्त दिशाओं में फ्लोरेट्स के सर्पिल होते हैं,{{sfn|Livio|2003|p=112}} सामान्यतः रेडी की सबसे बाहरी सीमा से गिना जाता है।<ref>{{Citation | last1 = Prusinkiewicz | first1 = Przemyslaw | author1-link = Przemyslaw Prusinkiewicz | author2-link = Aristid Lindenmayer | last2 = Lindenmayer | first2 = Aristid | title = The Algorithmic Beauty of Plants | publisher = Springer-Verlag | year = 1990 | pages = [https://archive.org/details/algorithmicbeaut0000prus/page/101 101–107] | chapter = 4 | chapter-url = http://algorithmicbotany.org/papers/#webdocs | isbn = 978-0-387-97297-8 | url = https://archive.org/details/algorithmicbeaut0000prus/page/101 }}</ref>
निम्नलिखित नियमों के अनुसार, आदर्श मधुमक्खियों की वंशावली में फाइबोनैचि संख्याएं भी दिखाई देती हैं:
* यदि एक अविवाहित मादा द्वारा अंडा दिया जाता है, तो वह एक नर या द्रोण (मधुमक्खी) को जन्म देती है।
* हालांकि, अगर एक अंडे को नर द्वारा निषेचित किया गया था, तो वह मादा को जन्म देती है।

इस प्रकार, एक नर मधुमक्खी के हमेशा एक माता-पिता होते हैं, और एक मादा मधुमक्खी के दो होते हैं। यदि कोई किसी नर मधुमक्खी (1 मधुमक्खी) की वंशावली का पता लगाता है, तो उसके 1 माता-पिता (1 मधुमक्खी), 2 दादा-दादी, 3 परदादा, 5 परदादा-परदादा आदि हैं। माता-पिता की संख्या का यह क्रम फाइबोनैचि अनुक्रम है। प्रत्येक स्तर पर पूर्वजों की संख्या, {{math|''F''<sub>''n''</sub>}}, महिला पूर्वजों की संख्या है, जो है {{math|''F''<sub>''n''−1</sub>}}, प्लस पुरुष पूर्वजों की संख्या, जो है {{math|''F''<sub>''n''−2</sub>}}.<ref>{{Citation | url = http://www.fq.math.ca/Scanned/1-1/basin.pdf | title = The Fibonacci sequence as it appears in nature | journal = The Fibonacci Quarterly | volume = 1 | number = 1 | pages = 53–56 | year = 1963}}</ref> यह अवास्तविक धारणा के तहत है कि प्रत्येक स्तर पर पूर्वज अन्यथा असंबंधित हैं।

[[File:X chromosome ancestral line Fibonacci sequence.svg|thumb|360px|किसी पूर्वज पीढ़ी में X गुणसूत्र वंशानुक्रम रेखा पर संभावित पूर्वजों की संख्या फाइबोनैचि अनुक्रम का अनुसरण करती है। (हचिसन के बाद, एल. ग्रोइंग द फैमिली ट्री: द पावर ऑफ डीएनए इन रिकंस्ट्रक्टिंग फैमिली रिलेशनशिप्स।<ref name="xcs"/>)]]यह देखा गया है कि किसी पूर्वज पीढ़ी में मानव X गुणसूत्र वंशानुक्रम रेखा पर संभावित पूर्वजों की संख्या भी फाइबोनैचि अनुक्रम का अनुसरण करती है।<ref name="xcs">{{citation|last=Hutchison|first=Luke|date=September 2004|title=Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships|url=http://fhtw.byu.edu/static/conf/2005/hutchison-growing-fhtw2005.pdf|journal=Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04)|access-date=2016-09-03}}</ref> एक पुरुष व्यक्ति में एक X गुणसूत्र होता है, जो उसे अपनी माँ से प्राप्त होता है, और एक Y गुणसूत्र होता है, जो उसे अपने पिता से प्राप्त होता है। पुरुष अपने स्वयं के एक्स गुणसूत्र के मूल के रूप में गिना जाता है (<math>F_1=1</math>), और उसके माता-पिता की पीढ़ी में, उसका X गुणसूत्र एकल माता-पिता से आया था {{nowrap|(<math>F_2=1</math>)}}. पुरुष की मां को एक एक्स क्रोमोसोम अपनी मां (बेटे की नानी) से और एक अपने पिता (बेटे के नाना) से प्राप्त हुआ, इसलिए दो दादा-दादी ने पुरुष वंशज के एक्स क्रोमोसोम में योगदान दिया {{nowrap|(<math>F_3=2</math>)}}. नाना ने अपना X गुणसूत्र अपनी माँ से प्राप्त किया, और नानी ने अपने माता-पिता दोनों से X गुणसूत्र प्राप्त किए, इसलिए तीन परदादाओं ने पुरुष वंशज के X गुणसूत्र में योगदान दिया {{nowrap|(<math>F_4=3</math>)}}. पांच परदादाओं ने पुरुष वंश के X गुणसूत्र में योगदान दिया {{nowrap|(<math>F_5=5</math>)}}, आदि (यह मानता है कि किसी दिए गए वंश के सभी पूर्वज स्वतंत्र हैं, लेकिन यदि किसी वंशावली का काफी समय पहले पता लगाया जाता है, तो पूर्वज वंशावली की कई पंक्तियों पर दिखाई देने लगते हैं, जब तक कि सभी वंशों पर एक [[संस्थापक प्रभाव]] दिखाई नहीं देता वंशावली।)

=== अन्य ===
* [[प्रकाशिकी]] में, जब प्रकाश की एक किरण विभिन्न [[अपवर्तक सूचकांक]]ों की विभिन्न सामग्रियों की दो खड़ी पारदर्शी प्लेटों के माध्यम से एक कोण पर चमकती है, तो यह तीन सतहों से प्रतिबिंबित हो सकती है: दो प्लेटों की शीर्ष, मध्य और निचली सतहें। विभिन्न बीम पथों की संख्या जिनके पास है {{mvar|k}} प्रतिबिंब, के लिए {{math|''k'' > 1}}, है <math>k</math>वें फाइबोनैचि संख्या। (हालांकि,  जब {{math|1=''k'' = 1}}, तीन परावर्तन पथ हैं, दो नहीं, तीन सतहों में से प्रत्येक के लिए एक।){{sfn|Livio|2003|pp=98–99}}
* [[फाइबोनैचि रिट्रेसमेंट]] स्तर वित्तीय बाजार व्यापार के लिए तकनीकी विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
* चूंकि मील से किलोमीटर के लिए इकाइयों के कारक 1.609344 का रूपांतरण गोल्डन रेश्यो के करीब है, फिबोनाची संख्याओं के योग में मीलों में दूरी का अपघटन लगभग किलोमीटर योग बन जाता है जब फिबोनाची संख्याओं को उनके उत्तराधिकारियों द्वारा बदल दिया जाता है। यह विधि गोल्डन रेश्यो आधार φ में स्थानांतरित होने वाले रेडिक्स 2 नंबर [[प्रोसेसर रजिस्टर]] की मात्रा है। किलोमीटर से मील में बदलने के लिए, इसके बजाय रजिस्टर को फाइबोनैचि अनुक्रम में नीचे शिफ्ट करें।<ref>{{Citation | url = http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Zeckendorf_representation | contribution = Zeckendorf representation | title = Encyclopedia of Math}}</ref>
* अनंत प्रतिरोधक श्रृंखला सर्किट (जिसे प्रतिरोधक सीढ़ी या अनंत श्रृंखला-समानांतर सर्किट भी कहा जाता है) में वोल्टेज और धाराओं के मापा मूल्य फाइबोनैचि अनुक्रम का पालन करते हैं। वैकल्पिक श्रृंखला और समानांतर प्रतिरोधों को जोड़ने के मध्यवर्ती परिणाम लगातार फाइबोनैचि संख्याओं से बने अंशों का उत्पादन करते हैं। पूरे सर्किट का समतुल्य प्रतिरोध गोल्डन रेश्यो के बराबर होता है।<ref>{{citation
 | last1 = Patranabis | first1 = D.
 | last2 = Dana | first2 = S. K.
 | date = December 1985
 | doi = 10.1109/tim.1985.4315428
 | issue = 4
 | journal = [[IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement]]
 | pages = 650–653
 | title = Single-shunt fault diagnosis through terminal attenuation measurement and using Fibonacci numbers
 | volume = IM-34| bibcode = 1985ITIM...34..650P
 | s2cid = 35413237
 }}</ref>
* ब्रैश एट अल। 2012 दिखाता है कि कैसे एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम को भी [[अर्थशास्त्र]] के क्षेत्र से जोड़ा जा सकता है।<ref name="Brasch et al. 2012">{{Citation| first1 =T. von | last1 = Brasch | first2 = J. | last2 = Byström | first3 = L.P. | last3 = Lystad| title= Optimal Control and the Fibonacci Sequence |journal = Journal of Optimization Theory and Applications |year=2012 |issue=3 |pages= 857–78 |doi = 10.1007/s10957-012-0061-2
|volume=154 | hdl = 11250/180781 | s2cid = 8550726 | hdl-access = free }}</ref> विशेष रूप से, यह दिखाया गया है कि कैसे एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम एक राज्य और एक नियंत्रण चर के साथ परिमित-क्षितिज गतिशील अनुकूलन समस्याओं के नियंत्रण समारोह में प्रवेश करता है। प्रक्रिया को एक उदाहरण में दिखाया गया है जिसे अक्सर ब्रॉक-मिरमैन आर्थिक विकास मॉडल कहा जाता है।
* [[मारियो मर्ज़]] ने 1970 से प्रारम्भ होने वाली अपनी कुछ कलाकृतियों में फिबोनाची क्रम को सम्मिलित किया।{{sfn|Livio|2003|p=176}}
* [[जोसेफ शिलिंगर]] (1895-1943) ने [[ शिलिंगर प्रणाली ]] विकसित किया जो अपनी कुछ धुनों में फाइबोनैचि अंतराल का उपयोग करता है; उन्होंने इन्हें प्रकृति के भीतर स्पष्ट सामंजस्य के संगीत समकक्ष के रूप में देखा।{{sfn|Livio|2003|p=193}} यह सभी देखें {{slink|गोल्डन रेश्यो|म्यूजिक}}.

== यह भी देखें ==
* {{annotated link|फाइबोनैचि एसोसिएशन}}
* {{annotated link|लोकप्रिय संस्कृति में फाइबोनैचि संख्याएँ}}
* {{annotated link|फाइबोनैचि शब्द}}
* {{annotated link|यादृच्छिक फाइबोनैचि अनुक्रम}}
* {{annotated link|विथॉफ सरणी}}

== संदर्भ ==
=== व्याख्यात्मक फुटनोट ===
{{notelist}}

=== उद्धरण ===
{{Reflist|30em}}
=== उद्धृत कार्य ===
* {{Citation | title= Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations | first= Keith M | last = Ball |publisher= [[Princeton University Press]]| place= Princeton, NJ | year= 2003 | chapter= 8: Fibonacci's Rabbits Revisited |isbn= 978-0-691-11321-0}}.
* {{Citation |title= The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics |first1= Matthias |last1= Beck |first2 = Ross |last2=Geoghegan |publisher=Springer |place=New York |year= 2010 |isbn=978-1-4419-7022-0}}.
* {{Citation |title=A Walk Through Combinatorics |edition= 3rd |first= Miklós |last= Bóna |author-link=Miklós Bóna |publisher= World Scientific | place=New Jersey |year= 2011 |isbn= 978-981-4335-23-2}}.
* {{Citation
  | last1 =Borwein
  | first1 =Jonathan M.
  | authorlink =Jonathan Borwein
  | authorlink2=Peter Borwein|first2=Peter B.|last2= Borwein
  | title =Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
  | pages =91–101
  | publisher =Wiley
  | date=July 1998
  | url =http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047131515X.html
  | isbn = 978-0-471-31515-5 }}
* {{Citation | first = Franz | last = Lemmermeyer | year = 2000 | title = Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein | series = Springer Monographs in Mathematics | place = New York | publisher = Springer | isbn = 978-3-540-66957-9}}.
* {{citation | last = Livio | first = Mario | author-link = Mario Livio | title = The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number | url = https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C | orig-year = 2002 | edition = First trade paperback | year = 2003 | publisher = [[Random House|Broadway Books]] | location = New York City | isbn = 0-7679-0816-3 }}
* {{Citation |title=Théorie des nombres |first= Édouard |last= Lucas |publisher= Gauthier-Villars|year= 1891 | volume = 1 | language = fr | place = Paris | url = https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft}}.
* {{Citation | first = L. E. | last = Sigler | title = Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation |series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | publisher=Springer | year=2002 | isbn=978-0-387-95419-6}}

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