View source for बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता

{{Short description|Generalization of the BRST formalism}}
[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, बटालिन-विलकोविस्की (बीवी) औपचारिकता (इगोर बटालिन और ग्रिगोरी विलकोविस्की के नाम पर रखा गया है) को गुरुत्वाकर्षण और [[अतिगुरुत्वाकर्षण]] जैसे लैग्रैंगियन [[गेज सिद्धांत|गेज सिद्धांतों]] के लिए घोस्ट संरचना का निर्धारण करने के लिए एक विधि के रूप में विकसित किया गया था, जिसका [[हैमिल्टनियन सूत्रीकरण]] बाधाओं से संबंधित नहीं हैं, [[झूठ बीजगणित|अभिसंधि बीजगणित]] (अर्थात, अभिसंधि बीजगणित संरचना स्थिरांक की भूमिका अधिक सामान्य संरचना कार्यों द्वारा निभाई जाती है)। बीवी औपचारिकता, एक ऐसी [[क्रिया (भौतिकी)]] पर आधारित है, जिसमें दोनों क्षेत्र और "एंटीफिल्ड्स" सम्मलित हैं, को शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए मूल बीआरएसटी औपचारिकता के विशाल सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है, जो एक स्वेच्छ लैग्रेंजियन गेज सिद्धांत है। बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता के लिए अन्य नाम क्षेत्र-एंटीफिल्ड औपचारिकता, लाग्रैंगियन बीआरएसटी औपचारिकता, या बीवी-बीआरएसटी औपचारिकता हैं। इसे बटालिन-फ्राडकिन-विलकोविस्की (बीएफवी) औपचारिकता के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो हैमिल्टनियन समकक्ष है।

== बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित ==
गणित में, बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित डिग्री -1 के दूसरे क्रम के नीलपोटेंट ऑपरेटर Δ के साथ, एक ग्रेडेड सुपरकम्यूटेटिव (इकाई 1 के साथ) बीजगणित है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, यह पहचानों को संतुष्ट करता है
*<math>|ab| = |a| + |b| </math> (उत्पाद की डिग्री 0 है।)
*<math>|\Delta(a)| = |a| - 1    </math> (Δ की डिग्री -1 है।)
*<math>(ab)c = a(bc)     </math> (उत्पाद साहचर्य है।)
*<math>ab = (-1)^{|a||b|}ba   </math> (उत्पाद (सुपर-) क्रमविनिमेय है।)
*<math>\Delta^2 = 0      </math> (निलपोटेंसी (का क्रम 2 है।))
*<math>\Delta(abc)-\Delta(ab)c+\Delta(a)bc-(-1)^{|a|}a\Delta(bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta(ac)+(-1)^{|a|}a\Delta(b)c+(-1)^{|a|+|b|}ab\Delta(c)-\Delta(1)abc=0  </math> (Δ ऑपरेटर दूसरे क्रम का है।)

एक को अधिकांशतः सामान्यीकरण की भी आवश्यकता होती है:

*<math>\Delta(1)=0  </math> (सामान्यीकरण)

== एंटीकोष्ठक ==
बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित एक गेरस्टेनहेबर बीजगणित बन जाता है, यदि कोई [[गेरस्टेनहैबर ब्रैकेट|गेरस्टेनहैबर कोष्ठक]] को परिभाषित करता है।
:<math>(a,b) := (-1)^{\left|a\right|}\Delta(ab) - (-1)^{\left|a\right|}\Delta(a)b - a\Delta(b)+a\Delta(1)b </math>
जेरस्टेनहैबर कोष्ठक के अन्य नाम बटिन कोष्ठक, एंटीकोष्ठक, या विचित्र पॉसॉन कोष्ठक हैं, एंटीकोष्ठक संतुष्ट करता है।
* <math>|(a,b)| = |a|+|b| - 1 </math> (प्रतिकोष्ठक (,) की डिग्री -1 होती है।)
* <math> (a,b) = -(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a) </math> (विषम सममित)
* <math> (-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c)) +   (-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a)) +  (-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b)) = 0 </math> (जैकोबी पहचान)
* <math> (ab,c) = a(b,c) + (-1)^{|a||b|}b(a,c)</math> (पॉसों की संपत्ति; लीबनिज नियम)

== विषम लाप्लासियन ==
सामान्यीकृत ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है।
:<math> {\Delta}_{\rho} := \Delta-\Delta(1)  </math>
विशेष रूप से विषम पॉसों ज्यामिति के संदर्भ में इसे अधिकांशतः विषम लाप्लासियन कहा जाता है। यह एंटीकोष्ठक को "भिन्न" करता है।
* <math>  {\Delta}_{\rho}(a,b) = ({\Delta}_{\rho}(a),b) - (-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta}_{\rho}(b)) </math> (<math>{\Delta}_{\rho}</math> ऑपरेटर अंतर करता (,)) है।
चौराहा <math>{\Delta}_{\rho}^{2}=(\Delta(1),\cdot)</math> सामान्यीकृत की <math>{\Delta}_{\rho}</math> ऑपरेटर विषम हैमिल्टनियन Δ(1) के साथ हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र है।
* <math> {\Delta}_{\rho}^{2}(ab) = {\Delta}_{\rho}^{2}(a)b+ a{\Delta}_{\rho}^{2}(b) </math> (लीबनिज नियम)
जिसे मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है। सामान्यीकरण मानकर Δ(1)=0, विषम लाप्लासियन <math> {\Delta}_{\rho} </math> केवल Δ संचालिका है, जिसमे <math> {\Delta}_{\rho}^{2} </math> विलुप्त हो जाता है, और मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र है।

== नेस्टेड कम्यूटेटर के संदर्भ में कॉम्पैक्ट फॉर्मूलेशन ==
यदि कोई बाएं गुणन संकारक का परिचय देता है <math>L_{a}</math> जैसा
:<math> L_{a}(b) := ab  ,  </math>
और [[ supercommutator |सुपरकम्यूटेटर]] [,] के रूप में,
:<math>[S,T]:=ST - (-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS </math>
दो स्वेच्छ ऑपरेटरों एस और टी के लिए, फिर एंटीकोष्ठक की परिभाषा को संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है।
:<math> (a,b) := (-1)^{\left|a\right|} [[\Delta,L_{a}],L_{b}]1  , </math>
और Δ के लिए दूसरे क्रम की स्थिति को संक्षेप में लिखा जा सकता है।
:<math> [[[\Delta,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1 = 0   </math> (Δ ऑपरेटर दूसरे क्रम का है।)
जहां यह समझा जाता है कि प्रासंगिक ऑपरेटर इकाई तत्व 1 पर कार्य करता है। दूसरे शब्दों में, <math> [\Delta,L_{a}] </math> प्रथम-क्रम (ऐफ़ीन) ऑपरेटर है, और <math> [[\Delta,L_{a}],L_{b}] </math> शून्य-क्रम ऑपरेटर है।

== मास्टर समीकरण ==
बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित के समान डिग्री तत्व ''एस'' (जिसे क्रिया (भौतिकी) कहा जाता है) के लिए मौलिक मास्टर समीकरण समीकरण है।
:<math>(S,S) = 0   . </math>
बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित के सम अंश तत्व ''W'' के लिए क्वांटम मास्टर समीकरण समीकरण है।
:<math> \Delta\exp \left[\frac{i}{\hbar}W\right] = 0 ,</math>
या समकक्ष,
:<math>\frac{1}{2}(W,W) = i\hbar{\Delta}_{\rho}(W)+\hbar^{2}\Delta(1) . </math>
सामान्यीकरण मानकर Δ(1) = 0, क्वांटम मास्टर समीकरण पढ़ता है।
:<math>\frac{1}{2}(W,W) = i\hbar\Delta(W) . </math><br />
== सामान्यीकृत बीवी बीजगणित ==
सामान्यीकृत बीवी बीजगणित की परिभाषा में, Δ के लिए दूसरे क्रम की धारणा को हटा दिया जाता है। इसके बाद डिग्री -1 के उच्च कोष्ठकों के अनंत पदानुक्रम को परिभाषित किया जा सकता है।
:<math> \Phi^{n}(a_{1},\ldots,a_{n}) :=  \underbrace{[[\ldots[\Delta,L_{a_{1}}],\ldots],L_{a_{n}}]}_{n~{\rm nested~commutators}}1  .   </math>
कोष्ठक (वर्गीकृत) सममित हैं।
:<math> \Phi^{n}(a_{\pi(1)},\ldots,a_{\pi(n)}) = (-1)^{\left|a_{\pi}\right|}\Phi^{n}(a_{1},\ldots, a_{n})    </math> (सममित कोष्ठक)
जहाँ <math>\pi\in S_{n}</math> क्रमचय है, और <math>(-1)^{\left|a_{\pi}\right|}</math> क्रमपरिवर्तन का कोज़ुल चिह्न है।
:<math>a_{\pi(1)}\ldots a_{\pi(n)} = (-1)^{\left|a_{\pi}\right|}a_{1}\ldots a_{n}</math>.
कोष्ठक होमोटॉपी लाई बीजगणित का गठन करते हैं, जिसे <math>L_{\infty}</math> बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है, जो सामान्यीकृत जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है।
:<math>  \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n\!-\!k)!}\sum_{\pi\in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi}\right|}\Phi^{n-k+1}\left(\Phi^{k}(a_{\pi(1)}, \ldots, a_{\pi(k)}), a_{\pi(k+1)}, \ldots, a_{\pi(n)}\right) = 0. </math> (सामान्यीकृत जैकोबी पहचान)
पहले कुछ कोष्ठक हैं:
* <math> \Phi^{0} := \Delta(1) </math> (शून्य-कोष्ठक)
* <math> \Phi^{1}(a) := [\Delta,L_{a}]1 = \Delta(a) - \Delta(1)a =: {\Delta}_{\rho}(a) </math> (एक-कोष्ठक)
* <math> \Phi^{2}(a,b) := [[\Delta,L_{a}],L_{b}]1 =: (-1)^{\left|a\right|}(a,b) </math> (दो कोष्ठक)
* <math> \Phi^{3}(a,b,c) := [[[\Delta,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1 </math> (तीन कोष्ठक)
* <math> \vdots </math>
विशेष रूप से, एक-कोष्ठक <math> \Phi^{1}={\Delta}_{\rho}</math> विषम लाप्लासियन है, और दो-कोष्ठक है <math> \Phi^{2}</math> चिह्न तक का प्रतिकोष्ठक है। पहली कुछ सामान्यीकृत जैकोबी पहचानें हैं:
* <math> \Phi^{1}(\Phi^0) = 0 </math> (<math>\Delta(1)</math>, <math>\Delta_\rho</math>बंद है।)
* <math> \Phi^{2}(\Phi^{0},a)+\Phi^{1}\left(\Phi^{1}(a)\right)</math> (<math>\Delta(1)</math> मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र के लिए हैमिल्टनियन है। <math>{\Delta}_{\rho}^{2}</math>)
* <math> \Phi^{3}(\Phi^{0},a,b) + \Phi^{2}\left(\Phi^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Phi^{2}\left(a,\Phi^{1}(b)\right) +\Phi^{1}\left(\Phi^{2}(a,b)\right) = 0 </math> ( <math> {\Delta}_{\rho} </math>) ऑपरेटर अंतर करता है। (,) सामान्यीकृत)
* <math> \Phi^{4}(\Phi^{0},a,b,c) + {\rm Jac}(a,b,c)+ \Phi^{1}\left(\Phi^{3}(a,b,c)\right) + \Phi^{3}\left(\Phi^{1}(a),b,c\right) + (-1)^{\left|a\right|}\Phi^{3}\left(a,\Phi^{1}(b),c\right) +(-1)^{\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi^{3}\left(a,b,\Phi^{1}(c)\right) = 0 </math> (सामान्यीकृत जैकोबी पहचान)
* <math> \vdots </math>
जहां [[ जैकबिएटर |जैकबिएटर]] दो-कोष्ठक के लिए है <math>\Phi^{2}</math> परिभाषित किया जाता है
:<math> {\rm Jac}(a_{1},a_{2},a_{3}) := 
\frac{1}{2} \sum_{\pi\in S_{3}}(-1)^{\left|a_{\pi}\right|}
\Phi^{2}\left(\Phi^{2}(a_{\pi(1)},a_{\pi(2)}),a_{\pi(3)}\right) .  </math>
== बी.वी. n-बीजगणित ==
Δ संचालिका 'n'वें क्रम' की परिभाषा के अनुसार है यदि और केवल यदि (n + 1)-कोष्ठक <math> \Phi^{n+1} </math> विलुप्त हो जाता है। उस स्थिति में, कोई बीवी n-बीजगणित की बात करता है। इस प्रकार बीवी 2-बीजगणित परिभाषा के अनुसार केवल बीवी बीजगणित है। जैकबिएटर <math> {\rm Jac}(a,b,c)=0 </math> बीवी बीजगणित के भीतर विलुप्त हो जाता है, जिसका अर्थ है कि यहां एंटीकोष्ठक जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है। बीवी 1-बीजगणित जो सामान्यीकरण Δ(1) = 0 को संतुष्ट करता है[[अंतर वर्गीकृत बीजगणित|, अंतर वर्गीकृत बीजगणित]] बीजगणित के समान है। डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित (डीजीए) डिफरेंशियल Δ के साथ बीवी 1-बीजगणित में लुप्त एंटीकोष्ठक है।

== मात्रा घनत्व के साथ विषम पोइसन कई गुना ==
मान लीजिए कि एक (n | n) [[सुपरमैनिफोल्ड]] दिया गया है, जिसमें एक विषम पोइसन द्वि-सदिश <math> \pi^{ij}</math> और एक बेरेज़िन आयतन घनत्व <math>\rho</math> है, जिसे क्रमशः पी-संरचना और एस-संरचना के रूप में भी जाना जाता है। बता दें कि स्थानीय निर्देशांक को <math>x^{i}</math> कहा जाता है। माना व्युत्पन्न <math> \partial_{i}f </math> और
:<math> f\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{i}:=(-1)^{\left|x^{i}\right|(|f|+1)}\partial_{i}f </math>
फ़ंक्शन f डब्लूआरटी के [[सही व्युत्पन्न]] और दाएँ डेरिवेटिव को निरूपित करें, <math>x^{i}</math>, क्रमश विषम प्वासों द्वि-सदिश <math> \pi^{ij}</math> अधिक त्रुटिहीन रूप से संतुष्ट करता है।
* <math> \left|\pi^{ij}\right| = \left|x^{i}\right| + \left|x^{j}\right| -1  </math> (विषम पोइसन संरचना की डिग्री -1 है।)
* <math> \pi^{ji} = -(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)} \pi^{ij} </math> (विषम सममित)
* <math> (-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi^{i\ell}\partial_{\ell}\pi^{jk} + {\rm cyclic}(i,j,k) = 0 </math> (जैकोबी पहचान)
निर्देशांक के परिवर्तन के अनुसार <math>x^{i} \to x^{\prime i} </math> विषम पोइसन द्वि-सदिश <math> \pi^{ij}</math> और बेरेज़िन आयतन घनत्व <math>\rho</math> के रूप में रूपांतरित करें
* <math> \pi^{\prime k\ell} = x^{\prime k}\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{i} \pi^{ij} \partial_{j}x^{\prime \ell} </math>
* <math>\rho^{\prime} = \rho/{\rm sdet}(\partial_{i}x^{\prime j}) </math>
जहां सदेट सुपरडेटरमिनेंट को दर्शाता है, जिसे बेरेज़िनियन भी कहा जाता है। तब 'विषम प्वासों कोष्ठक' के रूप में परिभाषित किया गया है।
:<math> (f,g) := f\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{i}\pi^{ij}\partial_{j}g . </math>
एक हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र <math> X_{f}</math> हैमिल्टनियन एफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
:<math> X_{f}[g] := (f,g) .</math>
सदिश क्षेत्र का (सुपर-) [[विचलन]] <math> X=X^{i}\partial_{i} </math> परिभाषित किया जाता है।
:<math> {\rm div}_{\rho} X := \frac{(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho} \partial_{i}(\rho X^{i}) </math>
याद रखें कि लिउविले के प्रमेय के कारण हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र भी पॉइसन ज्यामिति में विचलन मुक्त हैं।
विषम प्वासों ज्यामिति में संगत कथन सही नहीं है। विचित्र लाप्लासियन <math> {\Delta}_{\rho}</math> लिउविल के प्रमेय की विफलता को मापता है। चिह्न कारक तक, इसे संबंधित हैमिल्टन सदिश क्षेत्र के आधे विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है,
:<math> {\Delta}_{\rho}(f) := \frac{(-1)^{\left|f\right|}}{2}{\rm div}_{\rho} X_{f} = \frac{(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho}\partial_{i}\rho \pi^{ij}\partial_{j}f.</math>
विषम पोइसन संरचना <math> \pi^{ij}</math> और बेरेज़िन आयतन घनत्व <math>\rho</math> मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र होने पर संगत कहा जाता है <math> {\Delta}_{\rho}^{2} </math> विलुप्त हो जाता है। उस स्थिति में विषम लाप्लासियन <math> {\Delta}_{\rho}</math> सामान्यीकरण के साथ बीवी Δ ऑपरेटर है Δ(1)=0 संबंधित बीवी बीजगणित कार्यों का बीजगणित है।

== विषम सहानुघोस्टि बहुगुण ==
यदि विषम प्वासों द्वि-सदिश <math> \pi^{ij}</math> व्युत्क्रमणीय है, किसी के पास विषम [[ सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति |सहानुघोस्टिपूर्ण ज्यामिति]] मैनिफोल्ड है। उस स्थिति में, विषम डार्बौक्स प्रमेय उपलब्ध है। यही है, वहां स्थानीय डार्बौक्स निर्देशांक उपलब्ध हैं, अर्थात निर्देशांक <math> q^{1}, \ldots, q^{n} </math>, और क्षण <math> p_{1},\ldots, p_{n} </math>, डिग्री का
:<math> \left|q^{i}\right|+\left|p_{i}\right|=1, </math>
जैसे कि विषम पोइसन कोष्ठक डार्बौक्स फॉर्म पर है,
:<math> (q^{i},p_{j}) = \delta^{i}_{j} . </math>
सैद्धांतिक भौतिकी में, निर्देशांक <math>q^{i} </math> और क्षण <math>p_{j} </math> क्षेत्र्स और एंटीफ़िल्ड्स कहलाते हैं, <math>\phi^{i} </math> और <math>\phi^{*}_{j} </math>, क्रमश सामान्यतः निरूपित होते हैं।
:<math>\Delta_{\pi} := (-1)^{\left|q^{i}\right|}\frac{\partial}{\partial q^{i}}\frac{\partial}{\partial p_{i}}  </math>
अर्ध-घनत्व के सदिश स्थान पर कार्य करता है, और डार्बौक्स पड़ोस के एटलस पर विश्व स्तर पर अच्छे प्रकार से परिभाषित ऑपरेटर है। खुदावेरडियन का <math>\Delta_{\pi}</math> ऑपरेटर केवल पी-संरचना पर निर्भर करता है। यह स्पष्ट रूप से शून्य है <math>\Delta_{\pi}^{2}=0</math>, और डिग्री −1. फिर भी, यह तकनीकी रूप से बीवी Δ संचालिका नहीं है क्योंकि अर्द्धघनत्व के सदिश स्थान में कोई गुणन नहीं है। (दो अर्ध-घनत्वों का गुणनफल अर्ध-घनत्व के अतिरिक्त घनत्व है।) निश्चित घनत्व दिया गया है <math>\rho</math>, निलपोटेंट बीवी Δ ऑपरेटर का निर्माण कर सकता है।
:<math> \Delta(f) :=\frac{1}{\sqrt{\rho}}\Delta_{\pi}(\sqrt{\rho}f),</math>
जिसका संबंधित बीवी बीजगणित कार्यों का बीजगणित है, या समकक्ष, स्केलर (भौतिकी) है। विषम सहानुघोस्टिपूर्ण संरचना <math> \pi^{ij}</math> और घनत्व <math>\rho</math> संगत हैं यदि और केवल यदि Δ(1) विषम स्थिरांक है।

== उदाहरण ==
* मल्टी-सदिश क्षेत्र्स के लिए स्काउटन-निजेनहुइस कोष्ठक एंटीकोष्ठक का उदाहरण है।
* यदि एल लाइ सुपरबीजगणित है, और Π सुपर स्पेस के सम और विषम भागों का आदान-प्रदान करने वाला ऑपरेटर है, तो Π (एल) (एल का [[बाहरी बीजगणित]]) का [[सममित बीजगणित]] बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित है, जिसमें Δ दिया गया है, लाई बीजगणित [[सह-समरूपता]] की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सामान्य अंतर होते है।

== यह भी देखें ==
* बीआरएसटी परिमाणीकरण
* गेरस्टेनहैबर बीजगणित
*सुपरमैनीफोल्ड
* [[प्रवाह का विश्लेषण]]
* ज़हर कई गुना

== संदर्भ ==

=== शैक्षणिक ===

* कॉस्टेलो, के. (2011)। [https://bookstore.ams.org/surv-170 पुनर्सामान्यीकरण और प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत]। {{ISBN|978-0-8218-5288-0}} (परेशान करने वाले क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और कठोर पहलुओं की व्याख्या करता है, जैसे कि चेर्न-सीमन्स सिद्धांत को परिमाणित करना | चेर्न-सिमंस सिद्धांत और यांग-मिल्स सिद्धांत | बीवी-औपचारिकता का उपयोग करते हुए यांग-मिल्स सिद्धांत)

=== संदर्भ ===
*{{Cite journal |first1=I. A. |last1=Batalin |name-list-style=amp |first2=G. A. |last2=Vilkovisky |title=Gauge Algebra and Quantization |journal=[[Physics Letters|Phys. Lett. B]] |volume=102 |year=1981 |issue=1 |pages=27–31 |doi=10.1016/0370-2693(81)90205-7 |bibcode = 1981PhLB..102...27B }}
*{{Cite journal |first1=I. A. |last1=Batalin |first2=G. A. |last2=Vilkovisky |title=Quantization of Gauge Theories with Linearly Dependent Generators |journal=Physical Review D |volume=28 |year=1983 |issue=10 |pages=2567–2582 |doi=10.1103/PhysRevD.28.2567 |bibcode = 1983PhRvD..28.2567B }} Erratum-ibid. '''30''' (1984) 508 {{doi|10.1103/PhysRevD.30.508}}.
*{{Cite journal |last=Getzler |first=E. |title=Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=159 |issue=2 |year=1994 |pages=265–285 |doi=10.1007/BF02102639 |arxiv = hep-th/9212043 |bibcode = 1994CMaPh.159..265G |s2cid=14823949 }}
*{{Citation | last1=Brandt | first1=Friedemann | last2=Barnich | first2=Glenn | last3=Henneaux | first3=Marc | title=Local BRST cohomology in gauge theories | doi=10.1016/S0370-1573(00)00049-1 | mr=1792979  | year=2000 | journal=Physics Reports | issn=0370-1573 | volume=338 | issue=5 | pages=439–569|arxiv = hep-th/0002245 |bibcode = 2000PhR...338..439B | s2cid=119420167 }}
*{{Cite book |first=Steven |last=Weinberg |authorlink=Steven Weinberg |year=2005 |title=The Quantum Theory of Fields Vol. II |location=New York |publisher=Cambridge Univ. Press |isbn=0-521-67054-3 }}

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[[Category:सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति|Batalin-Vilkovisky Formalism]]
[[Category:सुपरसिमेट्री|Batalin-Vilkovisky Formalism]]
[[Category:सैद्धांतिक भौतिकी|Batalin-Vilkovisky Formalism]]