View source for बर्नौली संख्या

{| class=wikitable style="text-align: right; float:right; clear:right; margin-left:1em;"
|+ '''बर्नौली संख्याएँ''' {{math|''B''{{su|p=±|b=''n''}}}}
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! {{mvar|n}} !! भिन्न !! दशमलव
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गणित में, '''बर्नौली संख्याएँ''' {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} [[तर्कसंगत संख्या|परिमेय संख्याओं]] का एक क्रम है जो [[गणितीय विश्लेषण]] में प्रायः होता है। बर्नौली संख्याएँ स्पर्शरेखा और [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिपरवलीय स्पर्शरेखा]] फलन के [[टेलर श्रृंखला]] विस्तार में दिखाई देती है (और इसके द्वारा परिभाषित की जा सकती है) यूलर-मैकलॉरिन सूत्र में, पहले ''n'' धनात्मक पूर्णांकों की ''m''-वें घातों के योग के लिए फॉलहैबर के सूत्र में, और रीमैन [[स्पर्शरेखा कार्य|जीटा फलन]] के कुछ मानों के लिए व्यंजकों में हैं।

पहले 20 बर्नौली संख्याओं के मान आसन्न तालिका में दिए गए हैं। साहित्य में दो परंपराओं का उपयोग किया जाता है, जिन्हें <math>B^{-{}}_n</math> और <math>B^{+{}}_n</math> द्वारा यहां दर्शाया गया है; वे केवल {{math|''n'' {{=}} 1}} के लिए भिन्न हैं, जहां <math>B^{-{}}_1=-1/2</math> और <math>B^{+{}}_1=+1/2</math> है।  प्रत्येक विषम  {{math|''n'' > 1}}, के लिए {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}} है। प्रत्येक सम {{math|''n'' > 0}} के लिए, यदि {{math|''n''}} 4 से विभाज्य है तो {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} ऋणात्मक है और अन्यथा धनात्मक है। बर्नौली संख्याएँ [[बर्नौली बहुपद]] <math>B_n(x)</math> के विशेष मान हैं, जिनमें<math>B^{-{}}_n=B_n(0)</math> और <math>B^+_n=B_n(1)</math>हैं।{{r|Weisstein2016}}

बर्नौली संख्याओं की खोज लगभग उसी समय स्विस गणितज्ञ [[जैकब बर्नौली]] द्वारा की गई थी, जिनके नाम पर इनका नाम रखा गया था, और स्वाधीनतः जापानी गणितज्ञ [[सीटों की संख्या|सेकी ताकाकाज़ू]] द्वारा इसे किया गया। [[सेकी की खोज]] को मरणोपरांत 1712 में ''कात्सुयो संपो'' में उनके काम को प्रकाशित{{r|Selin1997_891|SmithMikami1914_108}}<ref>{{Cite journal|last=Kitagawa|first=Tomoko L.|date=2021-07-23|title=The Origin of the Bernoulli Numbers: Mathematics in Basel and Edo in the Early Eighteenth Century|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=44 |pages=46–56 |language=en|doi=10.1007/s00283-021-10072-y|issn=0343-6993|doi-access=free}}</ref>  किया गया था ; बर्नौली ने भी, मरणोपरांत, 1713 के अपने [[प्रक्षेपित करने की कला|आर्स कॉन्जेक्टैंडी]] में किया गया था। 1842 से [[विश्लेषणात्मक इंजन|एनालिटिकल इंजन]] पर [[वहाँ लवलेस है|एडा लवलेस]] के नोट्स G में [[चार्ल्स बैबेज|बैबेज]] की मशीन के साथ बर्नौली नंबर उत्पन्न करने के लिए एक [[कलन विधि|एल्गोरिदम]] का वर्णन किया गया है।{{r|Menabrea1842_noteG}}परिणामस्वरूप, बर्नौली संख्याओं को पहले प्रकाशित जटिल [[कंप्यूटर प्रोग्राम]] का विषय होने का गौरव प्राप्त है।

==नोटेशन==
इस आलेख में प्रयुक्त सुपरस्क्रिप्ट {{math|±}} बर्नौली संख्याओं के लिए दो संकेत कन्वेंशन को अलग करता है। केवल {{math|''n'' {{=}} 1}} पद प्रभावित होता है:
* {{math|''B''{{su|p=−|b=''n''}} }}के साथ {{math|''B''{{su|p=−|b=1}} {{=}}  −{{sfrac|1|2}} }} ({{OEIS2C|id=A027641}} / {{OEIS2C|id=A027642}}) [[एनआईएसटी]] और अधिकांश आधुनिक पाठ्यपुस्तकों द्वारा निर्धारित संकेत कन्वेंशन है।{{sfnp|Arfken|1970|p=278}}
* {{math|''B''{{su|p=+|b=''n''}}}} साथ {{math|''B''{{su|p=+|b=1}} {{=}} +{{sfrac|1|2}} }} ({{OEIS2C|id=A164555}} / {{OEIS2C|id=A027642}}) का उपयोग पुराने साहित्य में किया गया था,{{r|Weisstein2016}} और (2022 से) [[डोनाल्ड नुथ]] द्वारा<ref>[[Donald Knuth]] (2022), [https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/news22.html Recent News (2022): Concrete Mathematics and Bernoulli]. {{quote|But last year I took a close look at Peter Luschny's Bernoulli manifesto, where he gives more than a dozen good reasons why the value of $B_1$ should really be plus one-half. He explains that some mathematicians of the early 20th century had unilaterally changed the conventions, because some of their formulas came out a bit nicer when the negative value was used. It was their well-intentioned but ultimately poor choice that had led to what I'd been taught in the 1950s. […]  By now, hundreds of books that use the “minus-one-half” convention have unfortunately been written. Even worse, all the major software systems for symbolic mathematics have that 20th-century aberration deeply embedded. Yet Luschny convinced me that we have all been wrong, and that it's high time to change back to the correct definition before the situation gets even worse.
}}</ref> पीटर लुश्नी के "बर्नौली घोषणापत्र" का अनुसरण करते हुए किया गया था।<ref>Peter Luschny (2013), [http://luschny.de/math/zeta/The-Bernoulli-Manifesto.html The Bernoulli Manifesto]</ref>
नीचे दिए गए सूत्रों में, कोई भी संबंध के साथ एक संकेत कन्वेंशन से दूसरे में स्विच कर सकता है <math>B_n^{+}=(-1)^n B_n^{-}</math>, या पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} = 2 या अधिक, बस इसे अनदेखा करें।

तब से {{math|''B''{{sub|''n''}} {{=}} 0}} सभी विषम के लिए {{math|''n'' > 1}}, और कई सूत्रों में केवल सम-सूचकांक बर्नौली संख्याएं सम्मिलित होती हैं, कुछ गणितज्ञ {{math|''B''{{sub|2''n''}}&nbsp;}} के बदले "{{math|''B''{{sub|''n''}}}}" लिखते हैं। यह आलेख उस संकेतन का पालन नहीं करता है।

==इतिहास==

=== प्रारंभिक इतिहास ===
बर्नौली संख्याएँ पूर्णांक घातों के योग की गणना के प्रारंभिक इतिहास में निहित हैं, जो प्राचीन काल से गणितज्ञों के लिए रुचिकर रही हैं।

[[File:Seki Kowa Katsuyo Sampo Bernoulli numbers.png|thumb|right|सेकी ताकाकाज़ु के कात्सुयो सानपो (1712) का एक पृष्ठ, द्विपद गुणांक और बर्नौली संख्याओं को सारणीबद्ध करता है]]{{mvar|n}} धनात्मक पूर्णांकों के योग,वर्गों के योग और पहले {{mvar|n}} धनात्मक पूर्णांकों के घनों के योग की गणना करने के उपाय ज्ञात थे, लेकिन कोई वास्तविक 'सूत्र' नहीं थे, केवल पूरी तरह से शब्दों में दिए गए विवरण थे। इस समस्या पर विचार करने वाले प्राचीन काल के महान गणितज्ञों में [[पाइथागोरस]] (लगभग 572-497 ईसा पूर्व, ग्रीस), [[आर्किमिडीज]] (287-212 ईसा पूर्व, इटली), [[आर्यभट्ट]] (जन्म 476, भारत), [[अबू बक्र अल-करजी]] (मृत्यु 1019, फारस)  सम्मिलित थे। और अबू अली अल-हसन इब्न अल-हसन इब्न [[ अल हैदम ]] (965-1039, इराक) थे।

सोलहवीं शताब्दी के अंत और सत्रहवीं शताब्दी के प्रारंभ में गणितज्ञों ने महत्वपूर्ण प्रगति की। पश्चिम में इंग्लैंड के [[थॉमस हैरियट]] (1560-1621), जर्मनी के [[जॉन फ़ौल्हाबर]] (1580-1635), [[पियरे डी फ़र्मेट]] (1601-1665) और साथी फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ब्लेस पास्कल]] (1623-1662) सभी ने महत्वपूर्ण भूमिकाएँ निभाईं।

ऐसा प्रतीत होता है कि थॉमस हैरियट प्रतीकात्मक संकेतन का उपयोग करके घातों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करने और लिखने वाले पहले व्यक्ति थे, लेकिन उन्होंने भी केवल चौथी घातों के योग तक की गणना की। जोहान फ़ौल्हाबर ने अपने 1631 एकेडेमिया बीजगणित में 17वीं घात तक की घातों के योग के लिए सूत्र दिए, जो उनसे पहले के किसी भी घात से कहीं अधिक थे, लेकिन उन्होंने कोई सामान्य सूत्र नहीं दिया।

1654 में ब्लेज़ पास्कल ने {{math|''p'' {{=}} 0, 1, 2, ..., ''k''}}  के लिए पहले {{math|''n''}} धनात्मक पूर्णांकों की {{math|''p''}}वी घातों के योग से संबंधित ''पास्कल की पहचान'' को सिद्ध किया।

स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली (1654-1705) ने सबसे पहले स्थिरांक {{math|''B''<sub>0</sub>, ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>,...}} के एकल अनुक्रम के अस्तित्व को समझने वाले पहले व्यक्ति थे, जो सभी घातों के योग के लिए एक समान सूत्र प्रदान करता है।{{sfnp|Knuth|1993}}

जब बर्नौली ने किसी धनात्मक पूर्णांक {{mvar|c}} के लिए {{math|''c''}}वी घातों के योग के लिए अपने सूत्र के गुणांकों की त्वरित और आसानी से गणना करने के लिए आवश्यक पैटर्न पर प्रहार किया, तो उन्हें जो खुशी अनुभव हुई, उसे उनकी टिप्पणी से देखा जा सकता है। उन्होंने लिखा है:

: "इस तालिका की मदद से, मुझे यह पता लगाने में आधे घंटे से भी कम समय लगा कि पहली 1000 संख्याओं की दसवीं घातों को एक साथ जोड़ने पर योग 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500 प्राप्त होगा।"

बर्नौली का परिणाम मरणोपरांत 1713 में ''अर्स कॉन्जेक्टैंडी'' में प्रकाशित किया गया था। सेकी ताकाकाज़ू ने स्वतंत्र रूप से बर्नौली संख्याओं की खोज की और उनका परिणाम एक साल पहले, मरणोपरांत, 1712 में प्रकाशित किया गया था।{{r|Selin1997_891}} हालाँकि, सेकी ने अपनी पद्धति को स्थिरांक के अनुक्रम पर आधारित सूत्र के रूप में प्रस्तुत नहीं किया।

घातों के योग के लिए बर्नौली का सूत्र अब तक का सबसे उपयोगी और सामान्यीकरण योग्य सूत्रीकरण है। [[अब्राहम डी मोइवरे]] के संसूचन के बाद, बर्नौली के सूत्र में गुणांक को अब बर्नौली संख्या कहा जाता है।

बर्नौली के सूत्र को कभी-कभी जोहान फौल्हाबर के बाद फाउलहाबर का सूत्र कहा जाता है, जिन्होंने घातों के योग की गणना करने के उल्लेखनीय उपाय खोजे लेकिन बर्नौली के सूत्र से कभी नहीं बताया। नुथ के अनुसार{{sfnp|Knuth|1993}} फ़ौल्हाबर के सूत्र का एक कठोर प्रमाण पहली बार 1834 में [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी|कार्ल जैकोबी]] द्वारा प्रकाशित किया गया था।{{r|Jacobi1834}} नुथ के फ़ौल्हाबर के सूत्र के गहन अध्ययन का निष्कर्ष है (एलएचएस पर गैरमानक संकेतन को आगे समझाया गया है):

: "''फ़ौल्हाबर ने कभी बर्नौली संख्याओं की खोज नहीं की; यानी, उन्हें कभी भी यह एहसास नहीं हुआ कि स्थिरांक'' {{math|''B''<sub>0</sub>, ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>,}} ... ''का एक एकल अनुक्रम एक समान प्रदान करेगा''
::<math display="inline">\sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}-\binom{m+1} 1 B_1 n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}-\cdots +(-1)^m\binom{m+1}mB_mn\right) </math>
:''सभी घातों के योग के लिए। उदाहरण के लिए, उन्होंने इस तथ्य का कभी उल्लेख नहीं किया कि {{math|Σ ''n<sup>m</sup>''}} के लिए अपने सूत्रों को {{mvar|N}} में बहुपदों से {{mvar|n}} में बहुपदों में परिवर्तित किया था, तो लगभग आधे गुणांक शून्य थे।''"{{sfnp|Knuth|1993|p=14}}

उपरोक्त में नुथ का तात्पर्य <math>B_1^-</math> था; इसके बदले <math>B_1^+</math>का उपयोग करने से सूत्र घटाव से बचाता है:
:<math display=inline> \sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}+\binom{m+1} 1 B^+_1 n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}+\cdots+\binom{m+1}mB_mn\right). </math>


=== <nowiki>''सुम्मा पोटेस्टैटम''</nowiki> का '''पुनर्निर्माण''' ===
[[File:JakobBernoulliSummaePotestatum.png|thumb|right|upright=1.5|जैकब बर्नौली की <nowiki>''सुम्मा पोटेस्टैटम''</nowiki>, 1713{{efn|Translation of the text: 
" ... And if [one were] to proceed onward step by step to higher powers, one may furnish, with little difficulty, the following list:<br>
Sums of powers<br>
<math>\textstyle \int n = \sum_{k=1}^n k = \frac {1}{2} n^2 + \frac {1}{2} n </math><br>
::::⋮
<math>\textstyle \int n^{10} = \sum_{k=1}^n k^{10} = \frac {1}{11} n^{11} + \frac {1}{2} n^{10} + \frac {5}{6} n^9 - 1 n^7 + 1 n^5 - \frac {1}{2} n^3 + \frac {5}{66} n </math><br>
Indeed [if] one will have examined diligently the law of arithmetic progression there, one will also be able to continue the same without these circuitous computations:  For [if] <math>\textstyle c </math> is taken as the exponent of any power, the sum of all <math>\textstyle n^c </math> is produced or<br>
<math>\textstyle \int n^c = \sum_{k=1}^n k^c = \frac {1}{c+1} n^{c+1} + \frac {1}{2} n^c + \frac {c}{2} An^{c-1} + \frac {c(c-1)(c-2)}{2\cdot 3\cdot4} Bn^{c-3} + \frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)}{2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} Cn^{c-5} + \frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(c-5)(c-6)}{2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7  \cdot 8} Dn^{c-7} + \cdots </math><br>
and so forth, the exponent of its power <math>n</math> continually diminishing by 2 until it arrives at <math>n</math> or <math>n^2</math>.  The capital letters <math>\textstyle  A, B, C, D, </math> etc. denote in order the coefficients of the last terms for <math>\textstyle \int n^2 , \int n^4 , \int n^6 , \int n^8 </math>, etc. namely<br>
<math>\textstyle  A = \frac {1}{6} , B = - \frac {1}{30} , C = \frac {1}{42} , D = - \frac {1}{30} </math>."<br>
[Note:  The text of the illustration contains some typos:  ''ensperexit'' should read ''inspexerit'', ''ambabimus'' should read ''ambagibus'', ''quosque'' should read ''quousque'', and in Bernoulli's original text ''Sumtâ'' should read ''Sumptâ'' or ''Sumptam''.]
* {{cite book |last=Smith |first=David Eugene |date= 1929 |chapter=Jacques (I) Bernoulli: On the 'Bernoulli Numers' |title= A Source Book in Mathematics |chapter-url=https://archive.org/details/sourcebookinmath00smit/page/85 |location=New York |publisher=McGraw-Hill Book Co. |pages=85–90 }}
* {{cite book |last=Bernoulli |first=Jacob |date=1713 |title=Ars Conjectandi |url=https://archive.org/details/jacobibernoulli00bern/page/97 |location=Basel |publisher=Impensis Thurnisiorum, Fratrum |pages=97–98 |language=la |doi=10.5479/sil.262971.39088000323931}}
}}]]बर्नौली संख्याएँ {{OEIS2C|id=A164555}}(एन)/{{OEIS2C|id=A027642}}(एन) को जैकब बर्नौली द्वारा 1713 पृष्ठ 97 में मरणोपरांत प्रकाशित पुस्तक आर्स कॉन्जेक्टैंडी में प्रस्तुत किया गया था। मुख्य सूत्र को संबंधित प्रतिकृति के दूसरे भाग में देखा जा सकता है। निरंतर गुणांक निरूपित {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} और {{math|''D''}} बर्नौली द्वारा उस अंकन में मैप किया गया है जो अब {{math|''A'' {{=}} ''B''<sub>2</sub>}}, {{math|''B'' {{=}} ''B''<sub>4</sub>}}, {{math|''C'' {{=}} ''B''<sub>6</sub>}}, {{math|''D'' {{=}} ''B''<sub>8</sub>}} के रूप में प्रचलित है। अभिव्यक्ति{{math|''c''·''c''−1·''c''−2·''c''−3}} का अर्थ है {{math|''c''·(''c''−1)·(''c''−2)·(''c''−3)}} - छोटे बिंदुओं का उपयोग समूहीकरण प्रतीकों के रूप में किया जाता है। आज की शब्दावली का प्रयोग करते हुए ये अभिव्यक्तियाँ घटती हुई भाज्य घात {{math|''c''<sup>{{underline|''k''}}</sup>}} हैं। भाज्य संकेतन {{math|''k''!}} {{math|1 × 2 × ... × ''k''}} के शॉर्टकट के रूप में 100 साल बाद तक प्रस्तुत नहीं किया गया था। बायीं ओर का अभिन्न चिह्न 1675 में [[गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़]] के समय का है, जिन्होंने इसे "सुम्मा" (योग) एक लंबे अक्षर {{math|''S''}} के रूप में उपयोग किया था।{{efn|The {{harvp|''Mathematics Genealogy Project''|n.d.}} shows Leibniz as the academic<!--not doctoral--> advisor of Jakob Bernoulli. See also {{harvp|Miller|2017}}.}} अक्षर {{math|''n''}} बाईं ओर [[योग]] का सूचकांक नहीं है बल्कि योग की सीमा की ऊपरी सीमा दी गई है जिसे {{math|1, 2, ..., ''n''}} इस प्रकार समझा जाना चाहिए। चीजों को एक साथ रखकर, धनात्मकता {{math|''c''}} के लिए, आज एक गणितज्ञ के बर्नौली के सूत्र को इस प्रकार लिखने की संभावना है:

: <math> \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac 1 2 n^c+\sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}}n^{c-k+1}.</math>
यह सूत्र तथाकथित 'पुरातन' गणना से स्विच करते समय {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}} सेट करने का संसूचन देता है जो केवल सम सूचकांक 2, 4, 6... का उपयोग आधुनिक रूप में करता है (अगले पैराग्राफ में विभिन्न कन्वेंशन पर अधिक)। इस संदर्भ में सबसे चौंकाने वाला तथ्य यह है [[गिरता हुआ भाज्य|घटते फैक्टोरियल]] {{math|''c''<sup>{{underline|''k''−1}}</sup>}} में {{math|''k'' {{=}} 0}} के लिए मान {{math|{{sfrac|1|''c'' + 1}}}} है।{{sfnp|Graham|Knuth|Patashnik|1989|loc=Section 2.51}} इस प्रकार बर्नौली का सूत्र लिखा जा सकता है
: <math> \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!}c^{\underline{k-1}} n^{c-k+1}</math>
यदि {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} 1/2}}, बर्नौली द्वारा उस स्थिति में गुणांक को दिए गए मान को पुनः प्राप्त करना।

उपरोक्त बर्नौली द्वारा उद्धरण के पहले भाग में <math>\textstyle \sum_{k=1}^n k^9</math> के लिए सूत्र अंतिम पद पर एक त्रुटि है; यह <math>-\tfrac {1}{12}n^2</math> के बदले <math>-\tfrac {3}{20}n^2</math> होना चाहिए।

== परिभाषाएँ ==
पिछले 300 वर्षों में बर्नौली संख्याओं के कई लक्षण पाए गए हैं, और प्रत्येक का उपयोग इन संख्याओं को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है। यहां केवल तीन सबसे उपयोगी का उल्लेख किया गया है:

* एक पुनरावर्ती समीकरण,
* एक स्पष्ट सूत्र,
* एक जनरेटिंग फलन।

तीन दृष्टिकोणों की [[तार्किक तुल्यता]] के प्रमाण के लिए।<ref>See {{harvp|Ireland|Rosen|1990}} or {{harvp|Conway|Guy|1996}}.</ref>


=== पुनरावर्ती परिभाषा ===
बर्नौली संख्याएँ योग सूत्रों का पालन करती हैं{{r|Weisstein2016}}
: <math> \begin{align} \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{-{}}_k &= \delta_{m, 0} \\ \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{+{}}_k &= m+1 \end{align}</math>
जहां <math>m=0,1,2...</math> और {{math|''δ''}} [[क्रोनकर डेल्टा]] को दर्शाता है। <math>B^{\mp{}}_m</math> को हल करने पर पुनरावर्ती सूत्र प्राप्त होते हैं
: <math>\begin{align}
  B_m^{-{}} &= \delta_{m, 0} - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^{-{}}_k}{m - k + 1} \\
  B_m^+ &= 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^+_k}{m - k + 1}.
\end{align}</math>


=== स्पष्ट परिभाषा ===
1893 में लुई साल्सचुट्ज़ ने बर्नौली संख्याओं के लिए कुल 38 स्पष्ट सूत्र सूचीबद्ध किए,{{r|Saalschütz1893}} प्रायः पुराने साहित्य में कुछ संदर्भ दिए गए। उनमें से एक है (<math>m\geq 1</math> के लिए ):
:<math>\begin{align}
  B^{-{}}_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{v^m}{k + 1} \\
  B^+_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{(v + 1)^m}{k + 1}.
\end{align}</math>


=== [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनरेटिंग फलन]] ===
घातीय फलन हैं
:<math>\begin{alignat}{3}
  \frac{t}{e^t - 1}    &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} -1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^{-{}}_m t^m}{m!}\\
  \frac{t}{1 - e^{-t}} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} +1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^+_m t^m}{m!}.
\end{alignat}</math>
जहां प्रतिस्थापन <math>t \to - t</math> है। यदि हम <math>F(t)=\sum_{i=1}^\infty f_it^i</math> और <math>G(t)=1/(1+F(t))=\sum_{i=0}^\infty g_it^i</math> मान लें तब

:<math>G(t)=1-F(t)G(t).</math>
तब <math>g_0=1</math> और  <math>m>0</math> के लिए <math>G(t)</math>की श्रृंखला में mवाँ पद है:

:<math>g_mt^i=-\sum_{j=0}^{m-1}f_{m-j}g_jt^m</math>
यदि

:<math>F(t)=\frac{e^t-1}t-1=\sum_{i=1}^\infty \frac{t^i}{(i+1)!}</math>
तब हम उसे पाते हैं

:<math>G(t)=t/(e^t-1)</math>
:<math>\begin{align}
m!g_m&=-\sum_{j=0}^{m-1}\frac{m!}{j!}\frac{j!g_j}{(m-j+1)!}\\
&=-\frac 1{m+1}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}jj!g_j\\
\end{align}</math>
यह दर्शाता है कि <math>i!g_i</math> के मान बर्नौली संख्या <math>B^-_i</math> के लिए पुनरावर्ती सूत्र का पालन करते हैं।

(साधारण) जनक फलन
: <math> z^{-1} \psi_1(z^{-1}) = \sum_{m=0}^{\infty} B^+_m z^m</math>
एक [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] है। इसमें [[ट्राइगामा फ़ंक्शन|ट्राइगामा फलन]] {{math|''ψ''<sub>1</sub>}} सम्मिलित है।

== बर्नौली संख्या और रीमैन जीटा फलन ==

[[File:BernoulliNumbersByZetaLowRes.png|thumb|right|रीमैन जीटा फलन द्वारा दिए गए बर्नौली नंबर।]]बर्नौली संख्याओं को रीमैन जीटा फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

:{{math|1=''B''{{su|p=+|b=''n''}} = −''nζ''(1 − ''n'')}}       {{math|''n'' ≥ 1}}    के लिए है।

यहां जीटा फलन का तर्क 0 या ऋणात्मक है।

जीटा कार्यात्मक समीकरण और गामा प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से निम्नलिखित संबंध प्राप्त किया जा सकता है:{{sfnp|Arfken|1970|p=279}}

:<math> B_{2n} = \frac {(-1)^{n+1}2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \zeta(2n) \quad </math>{{math|''n'' ≥ 1}} के लिए है।

अब जीटा फलन का तर्क धनात्मक है।

इसके बाद यह {{math|''&zeta;'' &rarr; 1}} ({{math|''n'' &rarr; &infin;}}) और स्टर्लिंग के सूत्र से निकलता है कि
: <math> |B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n} \quad </math> {{math|''n'' &rarr; &infin;}} के लिए है।

== बर्नौली संख्याओं की कुशल गणना ==

कुछ अनुप्रयोगों में बर्नौली संख्या {{math|''B''<sub>0</sub>}} से {{math|''B''<sub>''p'' − 3</sub>}} मापांक {{mvar|p}} की गणना करने में सक्षम होना उपयोगी है, जहां {{mvar|p}} एक अभाज्य है; उदाहरण के लिए यह परीक्षण करने के लिए कि क्या वैंडिवर का अनुमान {{mvar|p}} के लिए सही है, या यहां तक कि सिर्फ यह निर्धारित करने के लिए कि क्या {{mvar|p}} एक अनियमित अभाज्य है। उपरोक्त पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके ऐसी गणना करना संभव नहीं है, क्योंकि कम से कम (एक निरंतर गुणक) {{math|''p''<sup>2</sup>}} अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होगी। सौभाग्य से, तेज़ विधियाँ विकसित की गई हैं{{r|BuhlerCraErnMetShokrollahi2001}} जिसके लिए केवल {{math|''O''(''p'' (log ''p'')<sup>2</sup>)}} संक्रिया की आवश्यकता होती है (बड़ा {{mvar|O}} संकेतन देखें)।

डेविड हार्वे{{r|Harvey2010}} कई छोटे अभाज्य संख्याओं {{mvar|p}} के लिए {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} मापांक {{mvar|p}} की गणना करके और फिर [[चीनी शेषफल प्रमेय]] के माध्यम से {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} का पुनर्निर्माण करके बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन करता है। हार्वे लिखते हैं कि इस एल्गोरिदम की स्पर्शोन्मुख कम्प्यूटेशनल जटिलता {{math|''O''(''n''<sup>2</sup> log(''n'')<sup>2 + ''ε''</sup>)}} है और दावा करते हैं कि यह [[कार्यान्वयन]] अन्य तरीकों पर आधारित कार्यान्वयन की तुलना में काफी तेज़ है। इस कार्यान्वयन का उपयोग करके हार्वे ने {{math|''n'' {{=}} 10<sup>8</sup>}} के लिए {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} गणना की। हार्वे के कार्यान्वयन को संस्करण 3.1 से [[सेजमैथ]] में सम्मिलित किया गया है। उनसे पहले, बर्नड केल्नर{{r|Kellner2002}} ने दिसंबर 2002 में {{math|''n'' {{=}} 10<sup>6</sup>}} के लिए पूर्ण परिशुद्धता के साथ  {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} की गणना की थी और अप्रैल 2008 में [[मेथेमेटिका]] के साथ ऑलेक्ज़ेंडर पावलिक{{r|Pavlyk29Apr2008}} ने {{math|''n'' {{=}} 10<sup>7</sup>}} के लिए {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} की गणना की थी।

:{| class=wikitable style="text-align:right"
! परिकलक !! साल !! ''n'' !! अंक *
|-
|align=left| जे. बर्नौली || ~1689 || 10 || 1
|-
|align=left| एल. यूलर || 1748 || 30 || 8
|- 
|align=left| जे. सी. एडम्स || 1878 || 62 || 36
|- 
|align=left| डी. ई. नुथ, टी. जे. बखोल्ट्ज़ || 1967 || {{val|1672|fmt=gaps}} || {{val|3330|fmt=gaps}}
|- 
|align=left| जी. फी, [[S. Plouffe|एस. प्लौफ़े]]|| 1996 || {{val|10000}} || {{val|27677}}
|- 
|align=left| जी. फी, एस. प्लौफ़े || 1996 || {{val|100000}} || {{val|376755}}
|- 
|align=left| बी. सी. केल्नर || 2002 || {{val|1000000}} || {{val|4767529}}
|- 
|align=left| ओ. पावलिक || 2008 || {{val|10000000}} || {{val|57675260}}
|- 
|align=left| डी. हार्वे || 2008 || {{val|100000000}} || {{val|676752569}}
|}
::<nowiki>*</nowiki> जब {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} को सामान्यीकृत [[वैज्ञानिक संकेतन]] में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है ''अंकों'' को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना जाता है।

[[जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा)|जूलिया प्रोग्रामिंग भाषा]] में बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक संभावित एल्गोरिदम दिया गया है{{r|Saalschütz1893}}

<syntaxhighlight lang=julia>
b    = Array{Float64}(undef, n+1)
b[1] = 1
b[2] = -0.5
for m=2:n 
    for k=0:m
        for v=0:k
            b[m+1] += (-1)^v * binomial(k,v) * v^(m) / (k+1)
        end
    end
end
return b
</syntaxhighlight>


== बर्नौली संख्या के अनुप्रयोग ==

=== स्पर्शोन्मुख विश्लेषण ===
गणित में बर्नौली संख्याओं का संभवतः सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यूलर-मैकलॉरिन सूत्र में उनका उपयोग है। ये मानते हुए  {{mvar|f}}  एक पर्याप्त रूप से प्रायः विभेदित फलन है जिसे यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है{{sfnp|Graham|Knuth|Patashnik|1989|loc=9.67}}

: <math>\sum_{k=a}^{b-1} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^-_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_-(f,m).</math>
यह सूत्रीकरण कन्वेंशन {{math|1=''B''{{su|p=−|b=1}} = −{{sfrac|1|2}}}} को मानता है। कन्वेंशन {{math|1=''B''{{su|p=+|b=1}} = +{{sfrac|1|2}}}} का उपयोग करना सूत्र बन जाता है

: <math>\sum_{k=a+1}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^+_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_+(f,m).</math>
यहाँ <math>f^{(0)}=f</math> (यानी <math>f</math> का शून्य-क्रम अवकलज केवल <math>f</math> है)। इसके अलावा, मान लीजिए कि <math>f^{(-1)}</math> <math>f</math> के एक प्रतिअवकलज को दर्शाता है। कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा,

: <math>\int_a^b f(x)\,dx = f^{(-1)}(b) - f^{(-1)}(a).</math>
इस प्रकार अंतिम सूत्र को यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के निम्नलिखित संक्षिप्त रूप में और सरल बनाया जा सकता है

: <math> \sum_{k=a}^{b}f(k)= \sum_{k=0}^m \frac{B_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m). </math>
उदाहरण के लिए, यह फॉर्म जीटा फलन के महत्वपूर्ण यूलर-मैकलॉरिन विस्तार का स्रोत है

: <math> \begin{align}
  \zeta(s) & =\sum_{k=0}^m \frac{B^+_k}{k!} s^{\overline{k-1}} + R(s,m) \\
           & = \frac{B_0}{0!}s^{\overline{-1}} + \frac{B^+_1}{1!} s^{\overline{0}} + \frac{B_2}{2!} s^{\overline{1}} +\cdots+R(s,m) \\
           & = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s + \cdots + R(s,m).
\end{align} </math>
यहाँ {{math|''s''<sup>{{overline|''k''}}</sup>}} बढ़ती भाज्य घात को दर्शाता है।{{sfnp|Graham|Knuth|Patashnik|1989|loc=2.44, 2.52}}

बर्नौली संख्याओं का उपयोग प्रायः अन्य प्रकार के [[स्पर्शोन्मुख विस्तार|स्पर्शोन्मुख विस्तारों]] में भी किया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण [[डिगामा फ़ंक्शन|डिगामा फलन]] {{math|''ψ''}} का चिरप्रतिष्ठित पोंकारे-प्रकार का स्पर्शोन्मुख विस्तार है।

:<math>\psi(z) \sim \ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{B^+_k}{k z^k} </math>


=== घातों का योग ===
{{main|फ़ौल्हेबर का सूत्र}}

बर्नौली संख्याएँ पहले  {{math|''n''}} धनात्मक पूर्णांकों की {{math|''m''}}वीं घातों के योग की [[बंद-रूप अभिव्यक्ति]] में प्रमुखता से प्रदर्शित होती हैं। {{math|''m'', ''n'' ≥ 0}} के लिए परिभाषित करना

:<math>S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m </math>है।
इस अभिव्यक्ति को हमेशा  {{math|''n''}} डिग्री {{math|''m'' + 1}} में एक [[बहुपद]] के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इन बहुपदों के गुणांक '''बर्नौली के सूत्र''' द्वारा बर्नौली संख्याओं से संबंधित हैं:
: <math>S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k} = m! \sum_{k=0}^m \frac{B^+_k n^{m + 1 - k}}{k! (m+1-k)!} ,</math>
जहां {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''m'' + 1|b=''k''|a=c}}<big><big>)</big></big>}} [[द्विपद गुणांक]] को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, लेना {{math|''m''}} को 1 मानने से [[त्रिकोणीय संख्या|त्रिकोणीय संख्याएँ]] {{math|0, 1, 3, 6, ...}} {{OEIS2C|id=A000217}} प्राप्त होती हैं। 

:<math> 1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2} (B_0 n^2 + 2 B^+_1 n^1) = \tfrac12 (n^2 + n).</math>
{{math|''m''}} को 2 मानने पर [[वर्ग पिरामिड संख्या|वर्गाकार पिरामिड संख्याएँ]] {{math|0, 1, 5, 14, ...}} {{OEIS2C|id=A000330}} प्राप्त होती हैं।

<math>1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3} (B_0 n^3 + 3 B^+_1 n^2 + 3 B_2 n^1) = \tfrac13 \left(n^3 + \tfrac32 n^2 + \tfrac12 n\right).</math>

कुछ गणितज्ञ बर्नौली संख्याओं के लिए वैकल्पिक परंपरा का उपयोग करते हैं और बर्नौली के सूत्र को इस प्रकार बताते हैं:
: <math>S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m + 1}{k} B^{-{}}_k n^{m + 1 - k}.</math>
बर्नौली के सूत्र को कभी-कभी जोहान फ़ौल्हाबर के बाद फ़ौल्हाबर का सूत्र भी कहा जाता है, जिन्होंने घातों के योग की गणना करने के उल्लेखनीय उपाय भी खोजे थे।

फ़ौल्हाबर के सूत्र को वी. गुओ और जे. ज़ेंग द्वारा {{mvar|q}}-एनालॉग में सामान्यीकृत किया गया था।{{r|GuoZeng2005}}

===टेलर श्रृंखला===
बर्नौली संख्याएँ कई [[त्रिकोणमितीय कार्य|त्रिकोणमितीय फलनों]] और अतिपरवलीय फलनों के टेलर श्रृंखला विस्तार में दिखाई देती हैं।

;स्पर्शरेखा
:<math> \begin{align}
\tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!}\; x^{2n-1},& \left |x \right | &< \frac \pi 2 \\
\end{align} </math>
;[[कोटैंजेंट]]
: <math> \begin{align}
\cot x & {} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!},&  \qquad 0 < |x| < \pi.
\end{align} </math>
;अतिपरवलीय स्पर्शज्या
:<math>\begin{align}
\tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\;x^{2n-1},& |x| &< \frac \pi 2.
\end{align}</math>
;[[अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट|अतिपरवलीय कोटैंजेंट]]
: <math> \begin{align}
\coth x & {} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!},&  \qquad \qquad 0 < |x| < \pi.
\end{align} </math>


===[[लॉरेंट श्रृंखला]]===
बर्नौली संख्याएँ निम्नलिखित लॉरेंट श्रृंखला में दिखाई देती हैं:{{sfnp|Arfken|1970|p=463}} }

दिगम्मा फलन: <math> \psi(z)= \ln z- \sum_{k=1}^\infty \frac {B_k^{+{}}} {k z^k} </math>


=== टोपोलॉजी में उपयोग ===
विजातीय {{math|(4''n'' − 1)}}-क्षेत्रों के भिन्नरूपता वर्गों के चक्रीय समूह के क्रम के लिए केरवायर-मिल्नोर सूत्र, जो समानांतर मैनिफोल्ड्स को बांधता है, में बर्नौली संख्याएं सम्मिलित हैं। मान लीजिए कि {{Math|''n'' ≥ 2}} के लिए {{math|''ES''<sub>''n''</sub>}} ऐसे विजातीय क्षेत्रों की संख्या हो, 

:<math>\textit{ES}_n = (2^{2n-2}-2^{4n-3}) \operatorname{Numerator}\left(\frac{B_{4n}}{4n} \right) .</math>
[[ आयाम |आयाम]] 4एन के एक चिकनी उन्मुख बंद मैनिफोल्ड के {{mvar|L}} श्रेणी के लिए हिरज़ेब्रुक हस्ताक्षर प्रमेय में बर्नौली संख्याएं भी सम्मिलित हैं।

== संयोजक संख्याओं के साथ संबंध ==
विभिन्न प्रकार के संयोजन संख्याओं के साथ बर्नौली संख्या का संबंध परिमित अंतर के चिरप्रतिष्ठित सिद्धांत और एक मौलिक संयोजन सिद्धांत, समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के उदाहरण के रूप में बर्नौली संख्याओं की संयोजन व्याख्या पर आधारित है।

=== वर्पिट्ज़की संख्याओं के साथ संबंध ===
आगे बढ़ने की परिभाषा 1883 में जूलियस वर्पिट्ज़की द्वारा विकसित की गई थी। प्रारंभिक अंकगणित के अलावा केवल फैक्टोरियल फलन {{math|''n''!}} और घात फलन {{math|''k<sup>m</sup>''}} कार्यरत है। साइनलेस वर्पिट्ज़की संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

: <math> W_{n,k}=\sum_{v=0}^k (-1)^{v+k} (v+1)^n \frac{k!}{v!(k-v)!} . </math>
इन्हें दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है

: <math> W_{n,k}=k! \left\{ {n+1\atop k+1} \right\}.</math>
फिर एक बर्नौली संख्या को [[हार्मोनिक प्रगति (गणित)|हार्मोनिक अनुक्रम]] 1, {{sfrac|1|2}}, {{sfrac|1|3}},... द्वारा भारित वर्पिट्ज़की संख्याओं के समावेशन-बहिष्करण योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। 

: <math> B_{n}=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{W_{n,k}}{k+1}\ =\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \sum_{v=0}^k (-1)^v (v+1)^n {k \choose v}\ . </math>
:{{math|1=''B''<sub>0</sub> = 1}}
:{{math|1=''B''<sub>1</sub> = 1 − {{sfrac|1|2}}}}
:{{math|1=''B''<sub>2</sub> = 1 − {{sfrac|3|2}} + {{sfrac|2|3}}}}
:{{math|1=''B''<sub>3</sub> = 1 − {{sfrac|7|2}} + {{sfrac|12|3}} − {{sfrac|6|4}}}}
:{{math|1=''B''<sub>4</sub> = 1 − {{sfrac|15|2}} + {{sfrac|50|3}} − {{sfrac|60|4}} + {{sfrac|24|5}}}}
:{{math|1=''B''<sub>5</sub> = 1 − {{sfrac|31|2}} + {{sfrac|180|3}} − {{sfrac|390|4}} + {{sfrac|360|5}} − {{sfrac|120|6}}}}
:{{math|1=''B''<sub>6</sub> = 1 − {{sfrac|63|2}} + {{sfrac|602|3}} − {{sfrac|2100|4}} + {{sfrac|3360|5}} − {{sfrac|2520|6}} + {{sfrac|720|7}}}}

यह निरूपण में {{math|''B''{{su|p=+|b=1}} {{=}} +{{sfrac|1|2}}}} है।

अनुक्रम {{math|''s<sub>n</sub>''}}, {{math|''n'' ≥ 0}} पर विचार करें। वर्पिट्ज़की की संख्याओं से {{OEIS2C|id=A028246}}, {{OEIS2C|id=A163626}}, {{math|''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ...}} {{math|''s<sub>n</sub>''}} पर अनुप्रयुक्त अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन के समान है (हली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)। इसे तालिका के माध्यम से देखा जा सकता है:

:{| style="text-align:center"
|+ '''वर्पिट्ज़की के निरूपण और अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन की पहचान'''
|-
|1|| || || || || ||0||1|| || || || ||0||0||1|| || || ||0||0||0||1|| || ||0||0||0||0||1|| 
|-
|1||−1|| || || || ||0||2||−2|| || || ||0||0||3||−3|| || ||0||0||0||4||−4|| || || || || || || 
|-
|1||−3||2|| || || ||0||4||−10||6|| || ||0||0||9||−21||12|| || || || || || || || || || || || || 
|-
|1||−7||12||−6|| || ||0||8||−38||54||−24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || 
|-
|1||−15||50||−60||24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || 
|-
|}
पहली पंक्ति {{math|''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ''s''<sub>4</sub>}} का निरूपण करती है।

इसलिए दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्याओं के लिए {{OEIS2C|id=A198631}} ({{math|''n''}}) / {{OEIS2C|id=A006519}} ({{math|''n'' + 1}}) है:

:{{math|1= ''E''<sub>0</sub> = 1}}
:{{math|1= ''E''<sub>1</sub> = 1 − {{sfrac|1|2}}}}
:{{math|1= ''E''<sub>2</sub> = 1 − {{sfrac|3|2}} + {{sfrac|2|4}}}}
:{{math|1= ''E''<sub>3</sub> = 1 − {{sfrac|7|2}} + {{sfrac|12|4}} − {{sfrac|6|8}}}}
:{{math|1= ''E''<sub>4</sub> = 1 − {{sfrac|15|2}} + {{sfrac|50|4}} − {{sfrac|60|8}} + {{sfrac|24|16}}}}
:{{math|1= ''E''<sub>5</sub> = 1 − {{sfrac|31|2}} + {{sfrac|180|4}} − {{sfrac|390|8}} + {{sfrac|360|16}} − {{sfrac|120|32}}}}
:{{math|1= ''E''<sub>6</sub> = 1 − {{sfrac|63|2}} + {{sfrac|602|4}} − {{sfrac|2100|8}} + {{sfrac|3360|16}} − {{sfrac|2520|32}} + {{sfrac|720|64}}}}

वर्पिट्ज़की संख्याओं द्वारा बर्नौली संख्याओं का निरूपण करने वाला दूसरा सूत्र {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए है 

: <math> B_n=\frac n {2^{n+1}-2}\sum_{k=0}^{n-1} (-2)^{-k}\, W_{n-1,k} . </math>
दूसरे बर्नौली संख्याओं का सरलीकृत दूसरा वर्पिट्ज़की का निरूपण है:

{{OEIS2C|id=A164555}} ({{math|''n'' + 1}}) / {{OEIS2C|id=A027642}}({{math|''n'' + 1}}) = {{math|{{sfrac|''n'' + 1|2<sup>''n'' + 2</sup> − 2}}}} × {{OEIS2C|id=A198631}}({{math|''n''}}) / {{OEIS2C|id=A006519}}({{math|''n'' + 1}})

जो दूसरे बर्नौली संख्याओं को दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्याओं से जोड़ता है। प्रारम्भ है:

:{{math|{{sfrac|1|2}}, {{sfrac|1|6}}, 0, −{{sfrac|1|30}}, 0, {{sfrac|1|42}}, ... {{=}} ({{sfrac|1|2}}, {{sfrac|1|3}}, {{sfrac|3|14}}, {{sfrac|2|15}}, {{sfrac|5|62}}, {{sfrac|1|21}}, ...) × (1, {{sfrac|1|2}}, 0, −{{sfrac|1|4}}, 0, {{sfrac|1|2}}, ...)}}

प्रथम कोष्ठक के अंश {{OEIS2C|id=A111701}} हैं (पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)।

=== दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध ===

यदि कोई बर्नौली बहुपद ''B<sub>k</sub>''(''j'') को इस प्रकार परिभाषित करता है:{{r|Comtet1974}} 

:<math> B_k(j)=k\sum_{m=0}^{k-1}\binom{j}{m+1}S(k-1,m)m!+B_k </math> 
जहां ''k'' = 0, 1, 2,... के लिए ''B<sub>k</sub>''  बर्नौली संख्याएं हैं।

बर्नौली बहुपदों के लिए निम्नलिखित भी निहित है,{{r|Rademacher1973}}

:<math>  B_k(j)=\sum_{n=0}^k \binom{k}{n} B_n j^{k-n}. </math>
{{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''j''|b=''m'' + 1|a=c}}<big><big>)</big></big>}} में  {{mvar|j}} का गुणांक {{math|{{sfrac|(−1)<sup>''m''</sup>|''m'' + 1}}}} है।

बर्नौली बहुपद के दो पदों में {{mvar|j}} के गुणांक की तुलना करने पर, एक यह है:

: <math> B_k=\sum_{m=0}^k (-1)^m \frac{m!}{m+1} S(k,m)</math>
(जिसके परिणामस्वरूप {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} +{{sfrac|1|2}}}}) जो बर्नौली संख्याओं के लिए एक स्पष्ट सूत्र है और इसका उपयोग वॉन-स्टॉड क्लॉसन प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।{{r|Boole1880|Gould1972|Apostol2010_197}}

=== पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध ===
पहली तरह के अहस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्याओं {{math|<big><big>[</big></big>{{su|p=''n''|b=''m''|a=c}}<big><big>]</big></big>}} को बर्नौली संख्याओं ( {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} +{{sfrac|1|2}}}} के साथ) से संबंधित दो मुख्य सूत्र हैं

: <math> \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1}, </math>
और इस योग का व्युत्क्रम ({{math|''n'' ≥ 0}}, {{math|''m'' ≥ 0}} के लिए)

: <math> \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k \left[{m+1\atop k+1}\right] B_{n+k} = A_{n,m}. </math>
यहाँ संख्या {{math|''A''<sub>''n'',''m''</sub>}} परिमेय अकीयामा-तानिगावा संख्याएं हैं, जिनमें से पहले कुछ निम्नलिखित तालिका में प्रदर्शित किए गए हैं।

:{| class="wikitable" style="text-align=center"
|+ अकीयामा–तनिगावा संख्या
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}|{{mvar|m}}}}!!0!!1!!2!!3!!4
|-
! 0 
| 1 || {{sfrac|1|2}} || {{sfrac|1|3}} || {{sfrac|1|4}} || {{sfrac|1|5}}
|-
! 1 
| {{sfrac|1|2}} || {{sfrac|1|3}} || {{sfrac|1|4}} || {{sfrac|1|5}} || ...
|-
! 2 
| {{sfrac|1|6}} || {{sfrac|1|6}} || {{sfrac|3|20}} || ... || ...
|-
! 3 
| 0 || {{sfrac|1|30}} || ... || ... || ...
|-
! 4 
| −{{sfrac|1|30}} || ... || ... || ... || ...
|}
अकियामा-तानिगावा संख्याएँ एक सरल पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं जिसका उपयोग बर्नौली संख्याओं की पुनरावृत्तीय गणना के लिए किया जा सकता है। यह उपरोक्त अनुभाग 'एल्गोरिदमिक विवरण' में दिखाए गए एल्गोरिदम की ओर ले जाता है।  {{OEIS2C|id=A051714}}/{{OEIS2C|id=A051715}} देखें।

ऑटोसीक्वेंस एक अनुक्रम है जिसका व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन हस्ताक्षरित अनुक्रम के बराबर होता है। यदि मुख्य विकर्ण शून्य = {{OEIS2C|id=A000004}} है, तो स्वत: अनुक्रम पहली तरह का है। उदाहरण: {{OEIS2C|id=A000045}}, फाइबोनैचि संख्याएँ है। यदि मुख्य विकर्ण पहले ऊपरी विकर्ण को 2 से गुणा किया जाता है, तो यह दूसरे प्रकार का होता है। उदाहरण: {{OEIS2C|id=A164555}}/{{OEIS2C|id=A027642}}, दूसरा बर्नौली संख्या (देखें {{OEIS2C|id=A190339}}) है।  {{math|''2''<sup>−''n''</sup>}} = 1/{{OEIS2C|id=A000079}} पर अनुप्रयुक्त अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन {{OEIS2C|id=A198631}} (n) / {{OEIS2C|id=A06519}} (n+ 1) की ओर ले जाता है।  इस तरह:

:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ दूसरे यूलर संख्याओं के लिए अकियामा-तानिगावा परिवर्तन
|-
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}|{{mvar|m}}}} !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4
|-
! 0
| 1 || {{sfrac|1|2}} || {{sfrac|1|4}} || {{sfrac|1|8}} || {{sfrac|1|16}}
|-
! 1 
| {{sfrac|1|2}} || {{sfrac|1|2}} || {{sfrac|3|8}} || {{sfrac|1|4}} || ...
|-
! 2 
| 0 || {{sfrac|1|4}} || {{sfrac|3|8}} || ... || ...
|-
! 3 
| −{{sfrac|1|4}} || −{{sfrac|1|4}} || ... || ... || ...
|-
! 4 
| 0 || ... || ... || ... || ...
|}
{{OEIS2C|id=A209308}} और {{OEIS2C|id=A227577}} देखें। {{OEIS2C|id=A198631}} ({{math|''n''}}) / {{OEIS2C|id=A006519}} ({{math|''n'' + 1}}) दूसरे (आंशिक) यूलर संख्या और दूसरे प्रकार का एक ऑटोसेक्वेंस हैं।

:({{sfrac|{{OEIS2C|id=A164555}} ({{math|''n'' + 2}})|{{OEIS2C|id=A027642}} ({{math|''n'' + 2}})}} = {{math|{{sfrac|1|6}}, 0, −{{sfrac|1|30}}, 0, {{sfrac|1|42}}, ...}}) × ( {{math|{{sfrac|2<sup>''n'' + 3</sup> − 2|''n'' + 2}}}} = {{math|3, {{sfrac|14|3}}, {{sfrac|15|2}}, {{sfrac|62|5}}, 21, ...}}) = {{sfrac|{{OEIS2C|id=A198631}} ({{math|''n'' + 1}})|{{OEIS2C|id=A006519}} ({{math|''n'' + 2}})}} = {{math|{{sfrac|1|2}}, 0, −{{sfrac|1|4}}, 0, {{sfrac|1|2}}, ...}}.

के लिए भी मूल्यवान {{OEIS2C|id=A027641}} / {{OEIS2C|id=A027642}} (वॉरपिट्ज़की संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)।

===पास्कल के त्रिकोण के साथ संबंध===
पास्कल के त्रिभुज को बर्नौली संख्याओं से जोड़ने वाले सूत्र हैं{{efn|this formula was discovered (or perhaps rediscovered) by Giorgio Pietrocola. His demonstration is available in Italian language {{harv|Pietrocola|2008}}.}}
:<math> B^{+}_n=\frac{|A_n|}{(n+1)!}~~~</math>
जहां <math>|A_n|</math> पास्कल त्रिभुज के n-by-n [[हेसेनबर्ग मैट्रिक्स]] भाग का निर्धारक है जिसके तत्व हैं: <math>
a_{i, k} = \begin{cases} 
0 & \text{if } k>1+i \\
{i+1 \choose k-1} & \text{otherwise}
\end{cases}
</math>

उदाहरण:

:<math> B^{+}_6 =\frac{\det\begin{pmatrix}
1& 2& 0& 0& 0& 0\\
1& 3& 3& 0& 0& 0\\
1& 4& 6& 4& 0& 0\\
1& 5& 10& 10& 5& 0\\
1& 6& 15& 20& 15& 6\\
1& 7& 21& 35& 35& 21
\end{pmatrix}}{7!}=\frac{120}{5040}=\frac 1 {42}
</math>


=== [[यूलेरियन संख्या]]ओं के साथ संबंध ===
यूलेरियन संख्याओं {{math|<big><big>⟨</big></big>{{su|p=''n''|b=''m''|a=c}}<big><big>⟩</big></big>}} को बर्नौली संख्याओं से जोड़ने वाले सूत्र हैं:

:<math>\begin{align}
\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle &= 2^{n+1} (2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \\
\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle \binom{n}{m}^{-1} &= (n+1) B_n.
\end{align}</math>
यदि {{math|''B''<sub>1</sub>}} को {{sfrac|1|2}} पर सेट किया गया है तो दोनों सूत्र {{math|''n'' ≥ 0}} के लिए मान्य हैं। यदि {{math|''B''<sub>1</sub>}} को -{{sfrac|1|2}} पर सेट किया गया है तो वे क्रमशः {{math|''n'' ≥ 1}} और {{math|''n'' ≥ 2}} क्रमशः के लिए ही मान्य हैं।

==एक बाइनरी ट्री निरूपण==
स्टर्लिंग बहुपद {{math|''σ''<sub>''n''</sub>(''x'')}} बर्नौली संख्याओं से {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} ''n''!''σ''<sub>''n''</sub>(1)}} द्वारा संबंधित हैं। एस. सी. वून ने एक बाइनरी ट्री के रूप में {{math|''σ''<sub>''n''</sub>(1)}} की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन किया:{{r|Woon1997}}

:[[File:SCWoonTree.png]]वून का पुनरावर्ती एल्गोरिदम ({{math|''n'' ≥ 1}} के लिए) रूट नोड {{math|''N'' {{=}} [1,2]}} को निर्दिष्ट करके प्रारंभ होता है। ट्री के एक नोड {{math|''N'' {{=}} [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>]}} को देखते हुए, नोड का बायां बच्चा {{math|''L''(''N'') {{=}} [−''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> + 1, ''a''<sub>3</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>]}} है और दायाँ बच्चा {{math|''R''(''N'') {{=}} [''a''<sub>1</sub>, 2, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>]}} है। एक नोड {{math|''N'' {{=}} [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>]}} को ऊपर दर्शाए गए ट्री के प्रारंभिक भाग में {{math|±[''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>]}} के रूप में लिखा जाता है, जिसमें ± {{math|''a''<sub>1</sub>}} के चिह्न को दर्शाता है।

एक नोड {{mvar|N}} को देखते हुए {{mvar|N}} के फैक्टोरियल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

:<math> N! = a_1 \prod_{k=2}^{\operatorname{length}(N)} a_k!. </math>
एक निश्चित वृक्ष-स्तर {{mvar|n}} के नोड्स {{mvar|N}} तक सीमित, {{math|{{sfrac|1|''N''!}}}} का योग {{math|''σ''<sub>''n''</sub>(1)}} है, इस प्रकार

:<math> B_n = \sum_\stackrel{N \text{ node of}}{\text{ tree-level } n} \frac{n!}{N!}. </math>
उदाहरण के लिए:
:{{math|1=''B''<sub>1</sub> = 1!({{sfrac|1|2!}})}}
:{{math|1=''B''<sub>2</sub> = 2!(−{{sfrac|1|3!}} + {{sfrac|1|2!2!}})}}
:{{math|1=''B''<sub>3</sub> = 3!({{sfrac|1|4!}} − {{sfrac|1|2!3!}} − {{sfrac|1|3!2!}} + {{sfrac|1|2!2!2!}})}}

==[[अभिन्न|समाकल]] निरूपण और निरंतरता==

{{math|''n'' > 0}} के लिए समाकल 
: <math> b(s) = 2e^{s i \pi/2}\int_0^\infty \frac{st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t} = \frac{s!}{2^{s-1}}\frac{\zeta(s)}{{   }\pi^s{  }}(-i)^s= \frac{2s!\zeta(s)}{(2\pi i)^s}</math>
का विशेष मान {{math|''b''(2''n'') {{=}} ''B''<sub>2''n''</sub>}} है।

उदाहरण के लिए, {{math|1=''b''(3) = {{sfrac|3|2}}''ζ''(3)''&pi;''<sup>−3</sup>''i''}} और {{math|1=''b''(5) = −{{sfrac|15|2}}''ζ''(5)''&pi;''<sup>−5</sup>''i''}} है। यहाँ, {{mvar|ζ}} रीमैन जीटा फलन है, और {{mvar|i}} [[काल्पनिक इकाई]] है। लियोनहार्ड यूलर (ओपेरा ओमनिया, क्रमांक 1, खंड 10, पृष्ठ 351) ने इन संख्याओं पर विचार किया और गणना की

: <math> \begin{align}
  p &=  \frac{3}{2\pi^3}\left(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots \right) = 0.0581522\ldots \\
  q &= \frac{15}{2\pi^5}\left(1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots \right) = 0.0254132\ldots
\end{align}</math>
एक और समान समाकल निरूपण है
: <math> b(s) = -\frac{e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{st^{s}}{\sinh\pi t} \frac{dt}{t}= \frac{2e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{e^{\pi t}st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t}. </math>


==यूलर संख्याओं और {{pi}} से संबंध==

[[यूलर संख्या]]एँ पूर्णांकों का एक क्रम है जो बर्नौली संख्याओं के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। बर्नौली और यूलर संख्याओं के स्पर्शोन्मुख विस्तार की तुलना करने से पता चलता है कि यूलर संख्या {{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} का परिमाण बर्नौली संख्या {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}}  से लगभग {{math|{{sfrac|2|π}}(4<sup>2''n''</sup> − 2<sup>2''n''</sup>)}} गुना बड़ा है। परिणामस्वरूप:

: <math> \pi \sim 2 (2^{2n} - 4^{2n}) \frac{B_{2n}}{E_{2n}}. </math>
इस स्पर्शोन्मुख समीकरण से पता चलता है कि {{pi}} बर्नौली और यूलर दोनों संख्याओं की सामान्य जड़ में निहित है। वस्तुत: {{pi}} की गणना इन परिमेय अनुमानों से की जा सकती है।

बर्नौली संख्याओं को यूलर संख्याओं के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है और इसके विपरीत व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि, विषम {{mvar|n}} के लिए, {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} ''E''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}} (अपवाद {{math|''B''<sub>1</sub>}} के साथ), यह उस स्थिति पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जब {{mvar|n}} सम है।

:<math>\begin{align}
 B_n &= \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} \frac{n}{4^n-2^n}E_k & n&=2, 4, 6, \ldots \\[6pt]
 E_n &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} \frac{2^k-4^k}{k} B_k & n&=2,4,6,\ldots
\end{align}</math>
ये रूपांतरण सूत्र बर्नौली और यूलर संख्याओं के बीच संबंध व्यक्त करते हैं। लेकिन इससे भी अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि दोनों प्रकार की संख्याओं के लिए एक गहरा अंकगणितीय मूल है, जिसे संख्याओं के अधिक मौलिक अनुक्रम के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, जो कि {{pi}} से भी निकटता से जुड़ा हुआ है। इन संख्याओं को {{math|''n'' > 1}} के रूप में परिभाषित किया गया है

:<math> S_n = 2 \left(\frac{2}{\pi}\right)^n \sum_{k=-\infty}^\infty (4k+1)^{-n} \qquad k=0,-1,1,-2,2,\ldots </math>
और परंपरा के अनुसार {{math|''S''<sub>1</sub> {{=}} 1}} है।{{r|Elkies2003}} इन संख्याओं का जादू इस तथ्य में निहित है कि ये परिमेय संख्याएँ बन जाती हैं। यह पहली बार [[लियोनहार्ड यूलर]] ने एक ऐतिहासिक पेपर ''डी सुमिस सेरीरम रेसिप्रोकैरम'' (पारस्परिक श्रृंखलाओं के योग पर) में सिद्ध किया गया था और तब से इसने गणितज्ञों को आकर्षित किया है।{{r|Euler1735}} इनमें से पहली कुछ संख्याएँ हैं

: <math> S_n = 1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{5}{24}, \frac{2}{15},\frac{61}{720},\frac{17}{315},\frac{277}{8064},\frac{62}{2835},\ldots  </math> ({{OEIS2C|id=A099612}} / {{OEIS2C|id=A099617}})

ये {{math|sec ''x'' + tan ''x''}} के विस्तार में गुणांक हैं।

बर्नौली संख्या और यूलर संख्या को अइन संख्याओं के विशेष दृश्यों के रूप में समझा जा सकता है, जिन्हें अनुक्रम {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} से चुना गया है और विशेष अनुप्रयोगों में उपयोग के लिए स्केल किया गया है।

: <math>\begin{align}
  B_{n} &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [ n \text{ even}] \frac{n! }{2^n - 4^n}\, S_{n}\ , & n&= 2, 3, \ldots \\
  E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [ n \text{ even}] n! \, S_{n+1}  & n &= 0, 1, \ldots
\end{align}</math>
यदि {{math|''n''}} सम है तो अभिव्यक्ति [सम {{math|''n''}}] का मान 1 है और अन्यथा ([[इवरसन ब्रैकेट|इवरसन कोष्ठक]]) 0 है।

इन पहचानों से पता चलता है कि इस खंड की प्रारम्भ में बर्नौली और यूलर संख्याओं का भागफल केवल {{math|''R''<sub>''n''</sub> {{=}} {{sfrac|2''S''<sub>''n''</sub>|''S''<sub>''n'' + 1</sub>}}}} का विशेष स्थिति है जब {{mvar|n}} सम है। {{math|''R''<sub>''n''</sub>}}, {{pi}} का परिमेय सन्निकटन है और दो क्रमिक पद हमेशा {{pi}} का सही मान दर्शाते हैं। {{math|''n'' {{=}} 1}} से प्रारंभ होकर अनुक्रम प्रारंभ होता है ({{OEIS2C|id=A132049}} / {{OEIS2C|id=A132050}}):

: <math> 2, 4, 3, \frac{16}{5}, \frac{25}{8}, \frac{192}{61}, \frac{427}{136}, \frac{4352}{1385}, \frac{12465}{3968}, \frac{158720}{50521},\ldots \quad \longrightarrow \pi. </math>
ये परिमेय संख्याएँ ऊपर उद्धृत यूलर के पेपर के अंतिम पैराग्राफ में भी दिखाई देती हैं।

अनुक्रम {{OEIS2C|id=A046978}} ({{math|''n'' + 2}}) / {{OEIS2C|id=A016116}} ({{math|''n'' + 1}}) के लिए अकियामा-तानिगावा परिवर्तन पर विचार करें :

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
! 0 
|1||{{sfrac|1|2}}||0||−{{sfrac|1|4}}||−{{sfrac|1|4}}||−{{sfrac|1|8}}||0
|-
! 1 
| {{sfrac|1|2}}|| 1|| {{sfrac|3|4}}|| 0|| −{{sfrac|5|8}}|| −{{sfrac|3|4}}||
|-
! 2 
| −{{sfrac|1|2}}|| {{sfrac|1|2}}|| {{sfrac|9|4}}|| {{sfrac|5|2}}|| {{sfrac|5|8}}|| ||
|-
! 3 
| −1|| −{{sfrac|7|2}}|| −{{sfrac|3|4}}|| {{sfrac|15|2}}|| || ||
|-
! 4 
| {{sfrac|5|2}}|| −{{sfrac|11|2}}|| −{{sfrac|99|4}}|| || || ||
|-
! 5 
| 8|| {{sfrac|77|2}}|| || || || ||
|-
! 6 
| −{{sfrac|61|2}}|| || || || || ||
|}
दूसरे से, पहले कॉलम के अंश यूलर के सूत्र के हर हैं। पहला कॉलम है -{{sfrac|1|2}} × {{OEIS2C|id=A163982}} है।

==एक एल्गोरिथम दृश्य: सीडेल त्रिकोण==

अनुक्रम ''S<sub>n</sub>'' में एक और अप्रत्याशित लेकिन महत्वपूर्ण गुण है: ''S<sub>n</sub>'' के हर भाज्य {{math|(''n''&nbsp;−&nbsp;1)!}} को विभाजित करते हैं! दूसरे शब्दों में: संख्याएँ {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''S''<sub>''n''</sub>(''n''&nbsp;−&nbsp;1)!}}, जिन्हें कभी-कभी [[वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन|यूलर ज़िगज़ैग]] संख्याएँ भी कहा जाता है, पूर्णांक हैं।

: <math> T_n = 1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0, 1, 2, 3, \ldots </math> ({{OEIS2C|id=A000111}}). देखना ({{OEIS2C|id=A253671}}).

इस प्रकार बर्नौली और यूलर संख्याओं के उपरोक्त निरूपण को इस अनुक्रम के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है

:<math>\begin{align}
 B_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ even}] \frac{n }{2^n-4^n}\, T_{n-1}\  & n &= 2, 3, \ldots \\
 E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ even}] T_{n+1} & n &= 0, 1, \ldots
\end{align}</math>
ये पहचान बर्नौली और यूलर संख्याओं की गणना करना आसान बनाती हैं: यूलर संख्या {{math|''E''<sub>''n''</sub>}} को तुरंत {{math|''T''<sub>2''n'' + 1</sub>}} द्वारा दिया जाता है और बर्नौली संख्या {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}} को परिमेय अंकगणित से बचते हुए, कुछ आसान स्थानांतरण द्वारा {{math|''T''<sub>2''n''</sub>}} से प्राप्त किया जाता है।

संख्याओं {{math|''T''<sub>''n''</sub>}} की गणना करने का एक सुविधाजनक तरीका ढूंढना बाकी है। हालाँकि, पहले से ही 1877 में [[फिलिप लुडविग वॉन सीडेल]] ने एक सरल एल्गोरिदम प्रकाशित किया था, जो {{math|''T''<sub>''n''</sub>}} की गणना करना आसान बनाता है।{{r|Seidel1877}}

{{image frame|align=none|caption=Seidel's algorithm for {{math|''T''<sub>''n''</sub>}}
|content=<math>
\begin{array}{crrrcc}
 { } & { } & {\color{red}1} & { } & { } & { } \\
 { } & {\rightarrow} & {\color{blue}1} & {\color{red}1} & { } \\
 { } & {\color{red}2} & {\color{blue}2} & {\color{blue}1} & {\leftarrow} \\
 {\rightarrow} & {\color{blue}2} & {\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{red}5} \\
 {\color{red}16} & {\color{blue}16} & {\color{blue}14} & {\color{blue}10} & {\color{blue}5} & {\leftarrow} 
\end{array}
</math>}}
#पंक्ति 0 में 1 डालकर प्रारंभ करें और {{math|''k''}} को वर्तमान में भरी जा रही पंक्ति की संख्या को दर्शाने दें
#यदि {{math|''k''}} विषम है, तो पंक्ति {{math|''k''}} के पहले स्थान पर पंक्ति {{math|''k'' − 1}} के बाएं छोर पर संख्या रखें, और पंक्ति को बाईं से दाईं ओर भरें, प्रत्येक प्रविष्टि में संख्या का योग हो बाएँ और ऊपर की संख्या हो
#पंक्ति के अंत में अंतिम संख्या को डुप्लिकेट करें।
#यदि {{math|''k''}} सम है, दूसरी दिशा में भी समान रूप से आगे बढ़ें।

सीडेल का एल्गोरिदम असल में बहुत अधिक सामान्य है (डोमिनिक ड्यूमॉन्ट की व्याख्या देखें)। {{r|Dumont1981}}) और उसके बाद कई बार पुनः खोजा गया।

सीडेल के दृष्टिकोण के समान डी. ई. नुथ और टी. जे. बखोल्ट्ज़ ने संख्याओं {{math|''T''<sub>2''n''</sub>}} के लिए एक पुनरावृत्ति समीकरण दिया और 'केवल पूर्णांकों पर सरल संचालन का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों पर {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}} और {{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} की गणना के लिए इस विधि की प्रशंसा की।'{{r|KnuthBuckholtz1967}}

वी. आई. अर्नोल्ड{{r|Arnold1991}} ने सीडेल के एल्गोरिदम को फिर से खोजा गया और बाद में मिलर, स्लोएन और यंग ने सीडेल के एल्गोरिदम को [[बुस्ट्रोफेडन परिवर्तन|बुस्ट्रोफेडन ट्रांसफॉर्म]] नाम से लोकप्रिय बनाया।

त्रिकोणीय रूप:

:{| style="text-align:right"
| || || || || || || 1|| || || || || || 
|-
| || || || || || 1|| || 1|| || || || || 
|-
| || || || || 2|| || 2|| || 1|| || || || 
|-
| || || || 2|| || 4|| || 5|| || 5|| || || 
|-
| || || 16|| || 16|| || 14|| || 10|| || 5|| || 
|-
| || 16|| || 32|| || 46|| || 56|| || 61|| || 61|| 
|-
|272|| ||272|| ||256|| ||224|| ||178|| ||122|| || 61
|}
केवल {{OEIS2C|id=A000657}}, एक 1 के साथ, और {{OEIS2C|id=A214267}}, दो 1 के साथ, OEIS में हैं।

निम्नलिखित पंक्तियों में एक पूरक 1 और एक 0 के साथ वितरण:

:{| style="text-align:right"
| || || || || || || 1|| || || || || ||   
|-
| || || || || || 0|| || 1|| || || || || 
|-
| || || || || −1|| || −1|| ||  0|| || || || 
|-
| || || || 0|| || −1|| || −2|| || −2|| || || 
|-
| || ||  5|| ||  5|| ||  4|| ||  2|| ||  0|| || 
|-
| || 0|| || 5|| || 10|| || 14|| || 16|| || 16|| 
|-
|−61|| ||−61|| ||−56|| ||−46|| ||−32|| ||−16|| || 0
|}
यह {{OEIS2C|id=A239005}}, {{OEIS2C|id=A008280}} का एक हस्ताक्षरित संस्करण है। मुख्य एंडियगोनल {{OEIS2C|id=A122045}} है। मुख्य विकर्ण {{OEIS2C|id=A155585}} है। केन्द्रीय स्तम्भ {{OEIS2C|id=A099023}} है। पंक्ति योग: 1, 1, −2, −5, 16, 61...देखें {{OEIS2C|id=A163747}}। नीचे 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 से प्रारम्भ होने वाली सरणी देखें।

अकीयामा-तानिगावा एल्गोरिदम {{OEIS2C|id=A046978}} पर अनुप्रयुक्त होता है: ({{math|''n'' + 1}}) / {{OEIS2C|id=A016116}}({{math|''n''}}) उत्पाद :

:{| style="text-align:right"
| 1|| 1|| {{sfrac|1|2}}|| 0|| −{{sfrac|1|4}}|| −{{sfrac|1|4}}|| −{{sfrac|1|8}}
|-
| 0|| 1|| {{sfrac|3|2}}|| 1|| 0|| −{{sfrac|3|4}}
|-
| −1|| −1|| {{sfrac|3|2}}|| 4|| {{sfrac|15|4}}
|-
| 0|| −5|| −{{sfrac|15|2}}|| 1
|-
| 5|| 5|| −{{sfrac|51|2}}
|-
| 0|| 61
|-
| −61
|}
'''1'''. पहला कॉलम है {{OEIS2C|id=A122045}}.  इसके द्विपद परिवर्तन की ओर जाता है:

:{| style="text-align:right"
|-
| 1|| 1|| 0|| −2|| 0|| 16|| 0
|-
|0||−1||−2||2||16||−16
|-
|−1||−1||4||14||−32
|-
|0||5||10||−46
|-
|5||5||−56
|-
|0||−61
|-
|−61
|}
इस सारणी की पहली पंक्ति {{OEIS2C|id=A155585}} है। 

बढ़ते प्रतिविकर्णों के निरपेक्ष मान {{OEIS2C|id=A008280}} हैं। प्रतिविकर्णों का योग  है।

'''2'''. दूसरा स्तंभ {{nowrap|1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385...}}. है। इसकी द्विपद परिवर्तन प्राप्त होता है:

:{| style="text-align:right"
|-
| 1|| 2|| 2|| −4|| −16|| 32|| 272
|-
|1||0||−6||−12||48||240
|-
|−1||−6||−6||60||192
|-
|−5||0||66||32
|-
|5||66||66
|-
|61||0
|-
|−61
|}
इस सारणी की पहली पंक्ति {{nowrap|1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584...}}. है। दूसरे द्विखंड के निरपेक्ष मान पहले द्विखंड के निरपेक्ष मान के दोगुने हैं।

OEIS पर अनुप्रयुक्त अकियामा-तानिगावा एल्गोरिथ्म पर विचार करें: {{OEIS2C|id=A046978}} ({{math|''n''}}) / ({{OEIS2C|id=A158780}} ({{math|''n'' + 1}}) = abs({{OEIS2C|id=A117575}} ({{mvar|n}})) + 1 = {{nowrap|1, 2, 2, {{sfrac|3|2}}, 1, {{sfrac|3|4}}, {{sfrac|3|4}}, {{sfrac|7|8}}, 1, {{sfrac|17|16}}, {{sfrac|17|16}}, {{sfrac|33|32}}...}}.

:{| style="text-align:right"
|1||2||2||{{sfrac|3|2}}||1||{{sfrac|3|4}}||{{sfrac|3|4}}
|-
|−1||0||{{sfrac|3|2}}||2||{{sfrac|5|4}}||0
|-
|−1||−3||−{{sfrac|3|2}}||3||{{sfrac|25|4}}
|-
|2||−3||−{{sfrac|27|2}}||−13
|-
|5||21||−{{sfrac|3|2}}
|-
|−16||45
|-
|−61
|}
पहला स्तंभ जिसका निरपेक्ष मान {{OEIS2C|id=A000111}} हैं, त्रिकोणमितीय फलन का अंश हो सकता है।

{{OEIS2C|id=A163747}} पहली तरह का एक ऑटोसीक्वेंस है (मुख्य विकर्ण है {{OEIS2C|id=A000004}} है)। संबंधित सरणी है:

:{| style="text-align:right"
|0||−1||−1||2||5||−16||−61
|-
|−1||0||3||3||−21||−45
|-
|1||3||0||−24||−24
|-
|2||−3||−24||0
|-
|−5||−21||24
|-
|−16||45
|-
|−61
|}
पहले दो ऊपरी विकर्ण {{nowrap|−1 3 −24 402...}} = {{math|(−1)<sup>''n'' + 1</sup>}} × {{OEIS2C|id=A002832}} हैं। 

प्रतिविकर्णों का योग  {{nowrap|0 −2 0 10...}} = 2 × {{OEIS2C|id=A122045}}(n+1) है।

−{{OEIS2C|id=A163982}}  दूसरे प्रकार का एक स्वत: अनुक्रम है, उदाहरण के लिए, {{OEIS2C|id=A164555}} / {{OEIS2C|id=A027642}}। इसलिए सरणी:

:{| style="text-align:right"
|-
|2||1||−1||−2||5||16||−61
|-
|−1||−2||−1||7||11||−77
|-
|−1||1||8||4||−88
|-
|2||7||−4||−92
|-
|5||−11||−88
|-
|−16||−77
|-
|−61
|}
मुख्य विकर्ण, यहाँ {{nowrap|2 −2 8 −92...}}, पहले ऊपरी विकर्ण का दोगुना है, यहाँ  {{OEIS2C|id=A099023}} है। प्रतिविकर्णों का योग  {{nowrap|2 0 −4 0...}} = 2 × {{OEIS2C|id=A155585}}({{math|''n'' + }}1) है। {{OEIS2C|id=A163747}} − {{OEIS2C|id=A163982}} = 2 × {{OEIS2C|id=A122045}}.

==एक संयुक्त दृश्य: वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन==
{{main|वैकल्पिक क्रमचय }}

1880 के आसपास, सीडेल के एल्गोरिदम के प्रकाशन के तीन साल बाद, डेसिरे आंद्रे ने संयोजन विश्लेषण का अब एक उत्कृष्ट परिणाम सिद्ध किया।{{r|André1879|André1881}} त्रिकोणमितीय फलनों {{math|tan ''x''}} और {{math|sec ''x''}} के टेलर विस्तार के प्रथम पदों को देखते हुए आंद्रे ने एक चौंकाने वाली खोज की।

:<math>\begin{align}
 \tan x &= x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{16x^5}{5!} + \frac{272x^7}{7!} + \frac{7936x^9}{9!} + \cdots\\[6pt]
 \sec x &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{5x^4}{4!} + \frac{61x^6}{6!} + \frac{1385x^8}{8!} + \frac{50521x^{10}}{10!} + \cdots
\end{align}</math>
गुणांक क्रमशः विषम और सम सूचकांक की यूलर संख्याएँ हैं। परिणामस्वरूप {{math|tan ''x'' + sec ''x''}} के सामान्य विस्तार में गुणांक के रूप में परिमेय संख्याएँ {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} होती हैं।

: <math> \tan x + \sec x = 1 + x + \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{5}{24}x^4 + \tfrac{2}{15}x^5 + \tfrac{61}{720}x^6 + \cdots </math>
इसके बाद आंद्रे एक पुनरावृत्ति तर्क के माध्यम से यह दिखाने में सफल हुए कि विषम आकार के [[वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन]] को विषम सूचकांक के यूलर संख्याओं द्वारा गिना जाता है (जिसे स्पर्शरेखा संख्या भी कहा जाता है) और सम आकार के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन को सम सूचकांक के यूलर संख्याओं द्वारा गिना जाता है (जिन्हें छेदक संख्याएँ भी कहा जाता है)।

==संबंधित क्रम==
पहले और दूसरे बर्नौली संख्याओं का अंकगणित माध्य सहयोगी बर्नौली संख्याएँ हैं:

{{math|1=''B''<sub>0</sub> = 1}}, {{math|1=''B''<sub>1</sub> = 0}}, {{math|1=''B''<sub>2</sub> = {{sfrac|1|6}}}}, {{math|1=''B''<sub>3</sub> = 0}}, {{math|1=''B''<sub>4</sub> = −{{sfrac|1|30}}}}, {{OEIS2C|id=A176327}} / {{OEIS2C|id=A027642}}। इसके व्युत्क्रम अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन {{OEIS2C|id=A177427}} की दूसरी पंक्ति के माध्यम से, वे बामर श्रृंखला {{OEIS2C|id=A061037}} / {{OEIS2C|id=A061038}} की ओर ले जाते हैं

OEIS पर अनुप्रयुक्त अकीयामा-तानिगावा एल्गोरिथ्म: {{OEIS2C|id=A060819}} ({{math|''n'' + 4}}) / {{OEIS2C|id=A145979}} ({{mvar|n}}) बर्नौली संख्याओं की ओर ले जाता है {{OEIS2C|id=A027641}} / {{OEIS2C|id=A027642}}, {{OEIS2C|id=A164555}} / {{OEIS2C|id=A027642}}, या {{OEIS2C|id=A176327}} {{OEIS2C|id=A176289}} {{math|''B''<sub>1</sub>}} के बिना, आंतरिक बर्नौली संख्या  {{math|''B''<sub>''i''</sub>(''n'')}} नामित दिया गया है।

:{| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"
|-
|1||{{sfrac|5|6}}||{{sfrac|3|4}}||{{sfrac|7|10}}||{{sfrac|2|3}}
|-
|{{sfrac|1|6}}||{{sfrac|1|6}}||{{sfrac|3|20}}||{{sfrac|2|15}}||{{sfrac|5|42}}
|-
|0||{{sfrac|1|30}}||{{sfrac|1|20}}||{{sfrac|2|35}}||{{sfrac|5|84}}
|-
|&minus;{{sfrac|1|30}}||&minus;{{sfrac|1|30}}||&minus;{{sfrac|3|140}}||&minus;{{sfrac|1|105}}||0
|-
|0||&minus;{{sfrac|1|42}}||&minus;{{sfrac|1|28}}||&minus;{{sfrac|4|105}}||&minus;{{sfrac|1|28}}
|}
इसलिए {{OEIS2C|id=A145979}} ({{math|''n''}}) के माध्यम से आंतरिक बर्नौली संख्याओं और बामर श्रृंखला के बीच एक और लिंक है।

{{OEIS2C|id=A145979}} ({{math|''n'' − 2}}) = 0, 2, 1, 6,... गैर-ऋणात्मक संख्याओं का क्रमपरिवर्तन है।

पहली पंक्ति के पद f(n) = {{math|{{sfrac|1|2}} + {{sfrac|1|''n'' + 2}}}} हैं। 2, f(n) दूसरी तरह का एक स्वत:अनुक्रम है। 3/2, f(n) अपने व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन से 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + लघुगणक 2 की ओर जाता है।

g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3 पर विचार करें। अकियामा-तनागिवा परिवर्तन देता है:

:{| style="text-align:center; padding-left; padding-right:2em;"
|-
|0||{{sfrac|1|6}}||{{sfrac|1|4}}||{{sfrac|3|10}}||{{sfrac|1|3}}||{{sfrac|5|14}}||...
|-
|&minus;{{sfrac|1|6}}||&minus;{{sfrac|1|6}}||&minus;{{sfrac|3|20}}||&minus;{{sfrac|2|15}}||&minus;{{sfrac|5|42}}||&minus;{{sfrac|3|28}}||...
|-
|0||&minus;{{sfrac|1|30}}||&minus;{{sfrac|1|20}}||&minus;{{sfrac|2|35}}||&minus;{{sfrac|5|84}}||&minus;{{sfrac|5|84}}||...
|-
|{{sfrac|1|30}}||{{sfrac|1|30}}||{{sfrac|3|140}}||{{sfrac|1|105}}||0||&minus;{{sfrac|1|140}}||...
|}
0, g(n), दूसरे प्रकार का स्वत:अनुक्रम है।

यूलर {{OEIS2C|id=A198631}} ({{math|''n''}}) / {{OEIS2C|id=A006519}} ({{math|''n'' + 1}}) दूसरे पद ({{sfrac|1|2}})  के बिना भिन्नात्मक आंतरिक यूलर संख्याएँ {{math|''E''<sub>''i''</sub>(''n'') {{=}} 1, 0, −{{sfrac|1|4}}, 0, {{sfrac|1|2}}, 0, −{{sfrac|17|8}}, 0, ...}}हैं। संगत अकियामा परिवर्तन है:

:{| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"
|-
|1||1||{{sfrac|7|8}}||{{sfrac|3|4}}||{{sfrac|21|32}}
|-
|0||{{sfrac|1|4}}||{{sfrac|3|8}}||{{sfrac|3|8}}||{{sfrac|5|16}}
|-
|−{{sfrac|1|4}}||−{{sfrac|1|4}}||0||{{sfrac|1|4}}||{{sfrac|25|64}}
|-
|0||−{{sfrac|1|2}}||−{{sfrac|3|4}}||−{{sfrac|9|16}}||−{{sfrac|5|32}}
|-
|{{sfrac|1|2}}||{{sfrac|1|2}}||−{{sfrac|9|16}}||−{{sfrac|13|8}}||−{{sfrac|125|64}}
|}
पहली पंक्ति है {{math|''Eu''(''n'')}} है। {{math|''Eu''(''n'')}} के पहले शून्य आना पहली तरह का स्वत:अनुक्रम है। यह ओरेस्मे संख्याओं से जुड़ा हुआ है। दूसरी पंक्ति के अंश {{OEIS2C|id=A069834}} हैं  जिसके पहले 0 है। अंतर तालिका है:

:{| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"
|-
|0||1||1||{{sfrac|7|8}}||{{sfrac|3|4}}||{{sfrac|21|32}}||{{sfrac|19|32}}
|-
|1||0||−{{sfrac|1|8}}||−{{sfrac|1|8}}||−{{sfrac|3|32}}||−{{sfrac|1|16}}||−{{sfrac|5|128}}
|-
|−1||−{{sfrac|1|8}}||0||{{sfrac|1|32}}||{{sfrac|1|32}}||{{sfrac|3|128}}||{{sfrac|1|64}}
|}


==बर्नौली संख्याओं के अंकगणितीय गुण==

बर्नौली संख्याओं को रीमैन जीटा फलन के संदर्भ में पूर्णांक {{math|''n'' ≥ 0}} के लिए {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} −''nζ''(1 − ''n'')}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, बशर्ते {{math|''n'' {{=}} 0}} के लिए अभिव्यक्ति {{math|−''nζ''(1 − ''n'')}} को सीमित मान के रूप में समझा जाता है और कन्वेंशन {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}} का प्रयोग किया जाता है। यह उन्हें ऋणात्मक पूर्णांकों पर जीटा फलन के मानों से घनिष्ठ रूप से जोड़ता है। इस प्रकार, उनसे गहन अंकगणितीय गुण होने की उम्मीद की जा सकती है और होती भी है। उदाहरण के लिए, अगोह-गिउगा अनुमान यह बताता है {{mvar|p}} एक अभाज्य संख्या है यदि और केवल यदि {{math|''pB''<sub>''p'' − 1</sub>}} −1 मॉड्यूलो {{mvar|p}} के सर्वांगसम है। बर्नौली संख्याओं की विभाज्यता गुण कुमेर के प्रमेय द्वारा [[साइक्लोटोमिक क्षेत्र|साइक्लोटोमिक क्षेत्रों]] के [[आदर्श वर्ग समूह|आदर्श वर्ग समूहों]] से संबंधित हैं और [[हर्ब्रांड-रिबेट प्रमेय]] में इसकी मजबूती, और एंकेनी-आर्टिन-चौला द्वारा वास्तविक द्विघात क्षेत्रों की वर्ग संख्याओं से संबंधित हैं।

=== कुमेर प्रमेय ===
बर्नौली संख्याएँ [[गंभीर दुःख|कुमेर]] के प्रमेय द्वारा फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय (FLT) से संबंधित हैं,{{r|Kummer1850}} जो कहते हैं:

:यदि विषम अभाज्य {{mvar|p}} बर्नौली संख्या {{math|''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>4</sub>, ..., ''B''<sub>''p'' − 3</sub>}} के किसी भी अंश को विभाजित नहीं करता है तब {{math|''x''<sup>''p''</sup> + ''y''<sup>''p''</sup> + ''z''<sup>''p''</sup> {{=}} 0}} का गैर-शून्य पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है।

इस गुण वाली अभाज्य संख्याओं को नियमित अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है। कुमेर का एक अन्य चिरप्रतिष्ठित परिणाम निम्नलिखित सर्वांगसमताएँ है।{{r|Kummer1851}}

{{main|कुमेर की सर्वांगसमता}}

:मान लीजिए कि {{mvar|p}} एक विषम अभाज्य संख्या है और {{mvar|b}} एक सम संख्या है जिससे {{math|''p''&nbsp;−&nbsp;1}}, {{mvar|b}} को विभाजित नहीं करता है। फिर किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक {{mvar|k}} के लिए 
:: <math> \frac{B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b} \equiv \frac{B_{b}}{b} \pmod{p} </math>  है।
इन सर्वांगसमताओं का सामान्यीकरण  {{math|''p''}}-एडिक निरंतरता के नाम से जाना जाता है।

==={{math|''p''}}-एडिक निरंतरता===

यदि {{mvar|b}}, {{mvar|m}} और {{mvar|n}} ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि {{mvar|m}} और {{mvar|n}}, {{math|''p'' − 1}} और {{math|''m'' ≡ ''n'' (mod ''p''<sup>''b'' − 1</sup> (''p'' − 1))}} से विभाज्य नहीं हैं, तब

:<math>(1-p^{m-1})\frac{B_m}{m} \equiv (1-p^{n-1})\frac{B_n} n \pmod{p^b}.</math>
चूँकि {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} −''nζ''(1 − ''n'')}}, यह भी लिखा जा सकता है

:<math>\left(1-p^{-u}\right)\zeta(u) \equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta(v) \pmod{p^b},</math>
जहां {{math|''u'' {{=}} 1 − ''m''}} और {{math|''v'' {{=}} 1 − ''n''}}, ताकि {{mvar|u}} और {{mvar|v}} गैर-धनात्मक हैं और 1 मॉड्यूलो {{math|''p'' − 1}} के अनुरूप नहीं हैं। यह हमें बताता है कि रीमैन जीटा फलन, के साथ {{math|1 − ''p''<sup>−''s''</sup>}} को यूलर से बाहर ले जाता है उत्पाद सूत्र, किसी विशेष {{math|''a'' ≢ 1 mod (''p'' − 1)}} के लिए विषम ऋणात्मक पूर्णांक सर्वांगसम मॉड्यूल {{math|''p'' − 1}} पर पी-एडिक संख्याओं में निरंतर है, और इसलिए इसे सभी {{mvar|p}} के लिए एक निरंतर फलन {{math|''ζ''<sub>''p''</sub>(''s'')}} तक बढ़ाया जा सकता है। एडिक पूर्णांक <math>\mathbb{Z}_p,</math> {{mvar|p}}-एडिक जीटा फलन है।

=== [[रामानुजन]] की सर्वांगसमताएँ ===

निम्नलिखित संबंध, रामानुजन के कारण, बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक विधि प्रदान करते हैं जो उनकी मूल पुनरावर्ती परिभाषा द्वारा दी गई तुलना में अधिक कुशल है:

:<math>\binom{m+3}{m} B_m=\begin{cases}
\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 0\pmod 6;\\
\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-2}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 2\pmod 6;\\
-\frac{m+3}{6}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-4}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 4\pmod 6.\end{cases}</math>


=== वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसेन प्रमेय ===
{{main|वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसेन प्रमेय}}
वॉन स्टॉड-क्लॉसन प्रमेय [[कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टौड्ट]] {{r|vonStaudt1840}} और [[थॉमस क्लॉसन (गणितज्ञ)|थॉमस क्लॉसन]] {{r|Clausen1840}}द्वारा स्वतंत्र रूप से 1840 में दिया गया था। प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक {{math|''n'' > 0}}  के लिए ,
: <math> B_{2n} + \sum_{(p-1)\,\mid\,2n} \frac1p</math>
एक पूर्णांक है। योग सभी [[अभाज्य संख्या]]ओं {{math|''p''}} पर विस्तारित होता है जिसके लिए {{math|''p'' − 1}}  {{math|2''n''}} को विभाजित करता है।

इसका एक परिणाम यह है कि {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}} का हर सभी अभाज्य संख्याओं {{math|''p''}} के गुणनफल द्वारा दिया जाता है  जिसके लिए {{math|''p'' − 1}}, {{math|2''n''}} को विभाजित करता है। विशेष रूप से, ये हर वर्ग-मुक्त हैं और 6 से विभाज्य हैं।

=== विषम बर्नौली संख्याएँ क्यों लुप्त हो जाती हैं? ===
योग

:<math>\varphi_k(n) = \sum_{i=0}^n i^k - \frac{n^k} 2</math>
सूचकांक {{math|''n''}} के ऋणात्मक मूल्यों के लिए मूल्यांकन किया जा सकता है। ऐसा करने से पता चलेगा कि यह {{math|''k''}} सम मानों के लिए एक विषम फलन है, जिसका अर्थ है कि योग में केवल विषम सूचकांक के पद हैं। यह और बर्नौली योग के सूत्र का अर्थ है कि {{math|''B''<sub>2''k'' + 1 − ''m''</sub>}}, {{math|''m''}} सम के लिए 0 है और {{math|2''k'' + 1 − ''m'' > 1}}; और यह कि {{math|''B''<sub>1</sub>}} का पद घटाव द्वारा रद्द कर दिया गया है। वॉर्पिट्ज़की के निरूपण के साथ संयुक्त वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय भी इस प्रश्न का एक संयुक्त उत्तर देता है (n > 1 के लिए मान्य)।

वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि विषम के लिए {{math|''n'' > 1}} के लिए संख्या {{math|2''B''<sub>''n''</sub>}} एक पूर्णांक है। यदि कोई पहले से जानता है कि प्रश्न में पूर्णांक शून्य है तो यह मामूली लगता है। हालाँकि, वर्पिट्ज़की का निरूपण को अनुप्रयुक्त करने से कोई भी प्राप्त कर सकता है

: <math> 2B_n =\sum_{m=0}^n (-1)^m \frac{2}{m+1}m! \left\{{n+1\atop m+1} \right\} = 0\quad(n>1 \text{ is odd})</math>
''पूर्णांकों के योग'' के रूप में, जो नगण्य नहीं है। यहां एक संयुक्त तथ्य सामने आता है जो विषम सूचकांक पर बर्नौली संख्याओं के लुप्त होने की व्याख्या करता है। मान लीजिए {{math|''S''<sub>''n'',''m''</sub>}} {{math|1={1, 2, ..., ''n''}}} से {{math|1={1, 2, ..., ''m''}}} तक विशेषण मानचित्रों की संख्या हो, तब {{math|''S''<sub>''n'',''m''</sub> {{=}} ''m''!<big><big>{</big></big>{{su|p=''n''|b=''m''|a=c}}<big><big>}</big></big>}}है। अंतिम समीकरण केवल तभी कायम रह सकता है यदि

: <math> \sum_{\text{odd }m=1}^{n-1} \frac 2 {m^2}S_{n,m}=\sum_{\text{even } m=2}^n \frac{2}{m^2} S_{n,m} \quad (n>2 \text{ is even}). </math>
इस समीकरण को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। इस समीकरण के पहले दो उदाहरण हैं

:{{math|1=''n'' = 4: 2 + 8 = 7 + 3}},
:{{math|1=''n'' = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40}}.

इस प्रकार बर्नौली संख्याएं विषम सूचकांक पर लुप्‍त हो जाती हैं क्योंकि कुछ गैर-स्पष्ट संयोजक पहचान बर्नौली संख्याओं में सन्निहित हैं।

=== [[रीमैन परिकल्पना]] का पुनर्कथन ===
बर्नौली संख्याओं और रीमैन जीटा फलन के बीच का संबंध रीमैन परिकल्पना (आरएच) का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण प्रदान करने के लिए पर्याप्त मजबूत है जो केवल बर्नौली संख्याओं का उपयोग करता है। वस्तुत: [[मार्सेल रिज़्ज़]] ने सिद्ध किया कि आरएच निम्नलिखित दावे के बराबर है:{{r|Riesz1916}}

:प्रत्येक {{math|''ε'' > {{sfrac|1|4}}}} के लिए एक स्थिरांक {{math|''C''<sub>''ε''</sub> > 0}} निहित होता है ({{math|''ε''}} पर निर्भर करता है) जैसे कि {{math|{{abs|''R''(''x'')}} < ''C''<sub>''ε''</sub>''x''<sup>''ε''</sup>}} जैसा {{math|''x'' → ∞}} है।

यहाँ {{math|''R''(''x'')}} [[रिज़्ज़ फ़ंक्शन|रिज़्ज़ फलन]] है

: <math> R(x) = 2 \sum_{k=1}^\infty
\frac{k^{\overline{k}} x^{k}}{(2\pi)^{2k}\left(\frac{B_{2k}}{2k}\right)}
= 2\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{\overline{k}}x^k}{(2\pi)^{2k}\beta_{2k}}. </math>

डी. ई. नुथ के नोटेशन में {{math|''n''<sup>{{overline|''k''}}</sup>}} बढ़ती फैक्टोरियल घात को दर्शाता है। संख्या {{math|''β''<sub>''n''</sub> {{=}} {{sfrac|''B''<sub>''n''</sub>|''n''}}}} जीटा फलन के अध्ययन में प्रायः होते हैं और इसलिए महत्वपूर्ण हैं क्योंकि {{math|''β''<sub>''n''</sub>}} अभाज्य संख्या {{math|''p''}} के लिए एक {{math|''p''}}- पूर्णांक है जहाँ {{math|''p'' − 1}} {{math|''n''}} को विभाजित नहीं करता है। {{math|''β''<sub>''n''</sub>}} को ''विभाजित बर्नौली संख्या'' कहा जाता है।

==<span id= सामान्यीकृत बर्नौली संख्याएँ ></span>सामान्यीकृत बर्नौली संख्या==
'''सामान्यीकृत बर्नौली संख्याएँ''' कुछ [[बीजगणितीय संख्या]]एँ हैं, जिन्हें बर्नौली संख्याओं के समान परिभाषित किया गया है, जो कि डिरिचलेट एल-फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं। जैसे बर्नौली संख्याएं रीमैन जीटा फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं।

मान लीजिए {{mvar|χ}} एक [[डिरिचलेट चरित्र|डिरिचलेट वर्ण]] मॉड्यूलो {{mvar|f}} है। {{mvar|χ}} से जुड़ी सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं को परिभाषित किया गया है

: <math>\sum_{a=1}^f \chi(a) \frac{te^{at}}{e^{ft}-1} = \sum_{k=0}^\infty B_{k,\chi}\frac{t^k}{k!}.</math>
असाधारण {{math|''B''<sub>1,1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}} के अलावा, हमारे पास किसी भी डिरिचलेट वर्ण {{mvar|χ}} के लिए, वह {{math|''B''<sub>''k'',''χ''</sub> {{=}} 0}} है यदि {{math|''χ''(−1) ≠ (−1)<sup>''k''</sup>}} है।

गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर बर्नौली संख्याओं और रीमैन जीटा फलन के मानों के बीच संबंध को सामान्यीकृत करते हुए, सभी पूर्णांकों के लिए {{math|''k'' ≥ 1}} है :

: <math>L(1-k,\chi)=-\frac{B_{k,\chi}}k,</math>
जहां {{math|''L''(''s'',''χ'')}} {{mvar|χ}} का डिरिचलेट {{mvar|L}} -फलन है।{{r|Neukirch1999_VII2}}

===आइसेनस्टीन-क्रोनकर संख्या===
{{main|आइसेनस्टीन-क्रोनकर संख्या}}
ईसेनस्टीन-क्रोनकर संख्याएँ [[काल्पनिक द्विघात क्षेत्र|काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों]] के लिए सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं का एक एनालॉग हैं।<ref name="Charollois-Sczech">{{Cite journal |last1=Charollois |first1=Pierre |last2=Sczech |first2=Robert |year=2016 |title=Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker: An Update |journal=EMS Newsletter |language=en |volume=2016-9 |issue=101 |pages=8–14 |doi=10.4171/NEWS/101/4 |s2cid=54504376 |issn=1027-488X|doi-access=free }}</ref><ref name="BK">{{Cite journal |last1=Bannai |first1=Kenichi |last2=Kobayashi |first2=Shinichi |year=2010 |title=बीजगणितीय थीटा फ़ंक्शन और ईसेनस्टीन-क्रोनकर संख्याओं का पी-एडिक इंटरपोलेशन|url=https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-153/issue-2/Algebraic-theta-functions-and-the-p-adic-interpolation-of-Eisenstein/10.1215/00127094-2010-024.full |journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=153 |issue=2 |doi=10.1215/00127094-2010-024 |arxiv=math/0610163 |s2cid=9262012 |issn=0012-7094}}</ref> वे हेके वर्णों के महत्वपूर्ण एल-मूल्यों से संबंधित हैं।<ref name="BK"/>


==अनुबंध==

=== मिश्रित पहचान ===
{{unordered list
|1 = अम्ब्रल कैलकुलस एक अमूर्त प्रतीक {{math|'''B'''}} का उपयोग करके बर्नौली के सूत्र का एक संक्षिप्त रूप देता है:

: <math>S_m(n) = \frac 1 {m+1} ((\mathbf{B} + n)^{m+1} - B_{m+1}) </math>

जहां प्रतीक {{math|'''B'''<sup>''k''</sup>}} जो कोष्ठक में रखे गए पद के द्विपद विस्तार के दौरान दिखाई देता है, उसे बर्नौली संख्या {{math|''B<sub>k</sub>''}} (और {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} +{{sfrac|1|2}}}}) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है। अधिक सुझावात्मक और स्मरणीय रूप से, इसे एक निश्चित अभिन्न अंग के रूप में लिखा जा सकता है:

:<math>S_m(n) = \int_0^n (\mathbf{B}+x)^m\,dx </math>

कई अन्य बर्नौली पहचानों को इस प्रतीक के साथ संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है, जैसे
:<math> (1-2\mathbf{B})^m  = (2-2^m) B_m  </math>

|2 = मान लीजिए {{math|''n''}} गैर-ऋणात्मक और सम है

:<math> \zeta(n) = \frac{(-1)^{\frac{n}{2} - 1} B_n (2\pi)^n}{2(n!)}</math>

|3 = अंतराल [−1,&nbsp;0] पर एकसमान संभाव्यता वितरण का {{math|''n''}}वाँ संचयी {{sfrac|''B''<sub>''n''</sub>|''n''}} है।

|4 = मान लीजिए {{math|''n''? {{=}} {{sfrac|1|''n''!}}}} और {{math|''n'' ≥ 1}} है। तब {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} निम्नलिखित {{math|(''n'' + 1) × (''n'' + 1)}} निर्धारक है:{{r|Malenfant2011}}

: <math>
\begin{align}
B_n & = n! \begin{vmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
2? & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
n? & (n-1)? & \cdots & 1 & 0 \\
(n+1)? & n? & \cdots & 2? & 0
\end{vmatrix} \\[8pt]
& = n! \begin{vmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\frac{1}{2!} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\frac{1}{n!} & \frac{1}{(n-1)!} & \cdots & 1 & 0 \\
\frac{1}{(n+1)!} & \frac{1}{n!} & \cdots & \frac{1}{2!} & 0
\end{vmatrix}
\end{align}
</math>

इस प्रकार निर्धारक {{math|''σ''<sub>''n''</sub>(1)}} है,  {{math|''x'' {{=}} 1}} पर स्टर्लिंग बहुपद है।

|5 = सम-संख्या वाले बर्नौली संख्याओं के लिए, {{math|''B''<sub>2''p''</sub>}}  {{math|(''p'' + 1) × (''p'' + 1)}} निर्धारक द्वारा दिया जाता है::{{r|Malenfant2011}}

:<math> B_{2p} = -\frac{(2p)!}{2^{2p} - 2} \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\frac{1}{3!} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\frac{1}{5!} & \frac{1}{3!} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots& \vdots \\
\frac{1}{(2p+1)!} & \frac{1}{(2p-1)!} & \frac{1}{(2p-3)!} &\cdots & \frac{1}{3!} & 0
\end{vmatrix}</math>

|6 = मान लीजिए {{math|''n'' ≥ 1}} है। फिर([[लियोनहार्ड यूलर]])

: <math> \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}B_k B_{n-k}+B_{n-1}=-B_n </math>

|7 = मान लीजिए {{math|''n'' ≥ 1}} है।  फिर{{r|vonEttingshausen1827}}

: <math> \sum_{k=0}^n \binom{n+1}k (n+k+1)B_{n+k}=0 </math>

|8 = मान लीजिए {{math|''n'' ≥ 0}} है। फिर ([[लियोपोल्ड क्रोनकर]] 1883)

: <math> B_n = - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n+1}{k} \sum_{j=1}^k j^n </math>

|9 = मान लीजिए {{math|''n'' ≥ 1}} और {{math|''m'' ≥ 1}} है। फिर {{r|Carlitz1968}}

: <math> (-1)^m \sum_{r=0}^m \binom{m}{r} B_{n+r}=(-1)^n \sum_{s=0}^n \binom{n}{s} B_{m+s} </math>

|10 = मान लीजिए {{math|''n'' ≥ 4}} और 

: <math> H_n=\sum_{k=1}^n k^{-1} </math>

[[हार्मोनिक संख्या]] है। फिर ( एच. मिकी 1978)

: <math> \frac{n}{2}\sum_{k=2}^{n-2}\frac{B_{n-k}}{n-k}\frac{B_k}{k} - \sum_{k=2}^{n-2} \binom{n}{k}\frac{B_{n-k}}{n-k} B_k =H_n B_n</math>

|11 = मान लीजिए {{math|''n'' ≥ 4}} है। [[यूरी मटियासेविच]] ने पाया(1997)

: <math> (n+2)\sum_{k=2}^{n-2}B_k B_{n-k}-2\sum_{l=2}^{n-2}\binom{n+2}{l} B_l B_{n-l}=n(n+1)B_n </math>

|12 = ''फैबर–[[Rahul पंढरीपांडे|पंढरीपांडे]]–[[ज़ैगियर]]–गेसल पहचान '': {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए,,

: <math> \frac{n}{2}\left(B_{n-1}(x)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{B_{k}(x)}{k}
\frac{B_{n-k}(x)}{n-k}\right) -\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\frac{B_{n-k}}
{n-k} B_k(x) =H_{n-1}B_n(x).</math>

{{math|''x'' {{=}} 0}} या {{math|''x'' {{=}} 1}} चुनने से किसी न किसी परिपाटी में बर्नौली संख्या की पहचान हो जाती है।

|13 = अगला सूत्र {{math|''n'' ≥ 0}} के लिए सत्य है यदि {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} ''B''<sub>1</sub>(1) {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, लेकिन केवल {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए यदि {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} ''B''<sub>1</sub>(0) {{=}} −{{sfrac|1|2}}}} है।

:<math> \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{B_k}{n-k+2} = \frac{B_{n+1}}{n+1} </math>

|14 = मान लीजिए {{math|''n'' ≥ 0}} है। फिर

:<math> -1 + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{2^{n-k+1}}{n-k+1}B_k(1) = 2^n </math>

और 

:<math> -1 + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{2^{n-k+1}}{n-k+1}B_{k}(0) = \delta_{n,0} </math>

|15 = एम.&nbsp;बी.&nbsp;गेलफैंड का पारस्परिक संबंध:{{r|AgohDilcher2008}}

: <math> (-1)^{m+1} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \frac{B_{m+1+j}}{m+1+j} + (-1)^{k+1} \sum_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{B_{k+1+j}}{k+1+j} = \frac{k!m!}{(k+m+1)!} </math>

}}

== यह भी देखें ==
* बर्नौली बहुपद
* [[दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद]]
*बेल नंबर
* यूलर संख्या
* [[जेनोची संख्या]]
* कुमेर की सर्वांगसमताएँ
* [[पॉली-बर्नौली संख्या]]
* [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ जीटा फलन]]
* [[यूलर योग]]
* [[स्टर्लिंग बहुपद]]
* घातों का योग

== टिप्पणियाँ ==
{{Notelist}}


== संदर्भ ==
* {{citation |last1=Abramowitz |first1=M. |last2=Stegun |first2=I. A. |contribution=§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula |title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |edition=9th printing |location=New York |publisher=Dover Publications|pages=804–806 |date=1972}}.
* {{cite book |last=Arfken |first=George |date=1970 |title=Mathematical methods for physicists |edition=2nd |publisher=Academic Press |isbn=978-0120598519}}
* {{citation |first=D. |last=Arlettaz |title=Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie |journal=Math. Semesterber |volume=45 |date=1998 |pages=61–75 |doi=10.1007/s005910050037|s2cid=121753654 }}.
* {{citation |first=A. |last=Ayoub |title=Euler and the Zeta Function |journal=Amer. Math. Monthly |volume=74 |date=1981 |issue=2 |pages=1067–1086 |jstor=2319041| doi=10.2307/2319041}}.
* {{citation |first1=John |last1=Conway |author-link1=John Horton Conway |first2=Richard |last2=Guy |author-link2=Richard K. Guy |title=The Book of Numbers |publisher=Springer-Verlag |date=1996}}.
* {{citation |title=Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990) |first1=K. |last1=Dilcher |first2=L. |last2=Skula |first3=I. Sh. |last3=Slavutskii |journal=Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics |location=Kingston, Ontario |date=1991 |url=http://www.mscs.dal.ca/~dilcher/bernoulli.html |issue=87}}.
*{{citation |first1=D. |last1=Dumont |first2=G. |last2=Viennot |title=A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers |journal=Ann. Discrete Math. |volume=6 |date=1980 |pages=77–87 |doi=10.1016/S0167-5060(08)70696-4 |series=Annals of Discrete Mathematics |isbn=978-0-444-86048-4}}.
* {{citation |last=Entringer |first=R. C. |title=A combinatorial interpretation of the Euler and Bernoulli numbers |journal=Nieuw. Arch. V. Wiskunde |volume=14 |date=1966 |pages=241–6}}.
* {{cite arXiv |first1=G. |last1=Fee |first2=S. |last2=Plouffe |date=2007 |title=An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers |eprint=math/0702300}}.
* {{Cite book |last1=Graham |first=R. |author-link1=Ronald Graham |last2=Knuth |first2=D. E. |author-link2=Donald Knuth |last3=Patashnik| first3=O. |date=1989 |title=Concrete Mathematics |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-55802-5 }}
* {{citation|first1=Kenneth|last1=Ireland|first2=Michael|last2=Rosen|title=A Classical Introduction to Modern Number Theory|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|date=1990|isbn=0-387-97329-X}}
* {{citation |first=Charles |last=Jordan |title=Calculus of Finite Differences |publisher=Chelsea Publ. Co. |location=New York |date=1950}}.
* {{citation |first=M. |last=Kaneko |title=The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers |journal=Journal of Integer Sequences |volume=12 |pages=29 |date=2000 |url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/vol3.html |bibcode=2000JIntS...3...29K}}.
* {{cite journal |last=Knuth |first=D. E. |author-link=Donald Knuth |date=1993 |title=Johann Faulhaber and the Sums of Powers |journal=Mathematics of Computation |volume=61 |issue=203 |pages=277–294 |arxiv=math/9207222 |doi=10.2307/2152953 |jstor=2152953 |publisher=American Mathematical Society}}
* {{citation |first=Peter |last=Luschny |url=http://www.luschny.de/math/primes/bernincl.html |title=An inclusion of the Bernoulli numbers |date=2007}}.
*{{citation |title=TheLostBernoulliNumbers |last=Luschny |first=Peter |work=OeisWiki |date=8 October 2011 |access-date=11 May 2019 |url= http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/TheLostBernoulliNumbers}}.
*{{citation |title=The Mathematics Genealogy Project |date=n.d. |location=Fargo |publisher=Department of Mathematics, North Dakota State University |access-date=11 May 2019 |url=https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/ |ref={{SfnRef|Mathematics Genealogy Project|n.d.}} |archive-url=https://web.archive.org/web/20190510171712/https://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/ |archive-date=10 May 2019 |url-status=dead }}.
*{{citation |title=Earliest Uses of Symbols of Calculus |last=Miller |first=Jeff |work=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |date=23 June 2017 |access-date=11 May 2019 |url= http://jeff560.tripod.com/calculus.html}}.
*{{citation |first1=John W. |last1=Milnor |author-link1=John Milnor |first2=James D. |last2=Stasheff |contribution=Appendix B: Bernoulli Numbers |pages=281–287 |title=Characteristic Classes |series=Annals of Mathematics Studies |volume=76 |publisher=Princeton University Press and University of Tokyo Press |date=1974}}.
* {{citation |url=http://www.maecla.it/Matematica/sommapotenze/teorema_1B.htm#teorema1b |title=Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di potenze di interi successivi (Corollario 2b)|last=Pietrocola |first=Giorgio |date=October 31, 2008 |website=Maecla |access-date=April 8, 2017|language=it}}.
* {{citation |first=Ilya Sh. |last=Slavutskii |title=Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers |journal=Historia Scientiarum |volume=2 |date=1995 |pages=69–74}}.
* {{citation |first=K. G. Ch. |last=von Staudt |contribution=De numeris Bernoullianis, commentationem alteram |title=Erlangen |date=1845}}.
*{{citation |first=Zhi-Wei |last=Sun |title=Some curious results on Bernoulli and Euler polynomials |date=2005–2006 |url=http://pweb.nju.edu.cn/zwsun |archive-url=https://web.archive.org/web/20011031073728/http://pweb.nju.edu.cn/zwsun/ |url-status=dead |archive-date=2001-10-31 }}.
* {{cite arXiv |first=S. C. |last=Woon |title=Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers |date=1998 |eprint=math.NT/9812143 }}.
* {{citation |first=J. |last=Worpitzky |title=Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=94 |date=1883 |pages=203–232 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002158698}}.

'''Footnotes'''
{{reflist|refs=
<ref name=Weisstein2016>{{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=4 January 2016 |title=Bernoulli Number |website=Wolfram MathWorld |access-date=2 July 2017 |url=http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html}}</ref>

<ref name=Selin1997_891>{{cite book |editor-last=Selin |editor-first=Helaine | editor-link=Helaine Selin |date=1997 |title=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures |journal=Encyclopaedia of the History of Science |isbn=0-7923-4066-3 |at=p. 819 (p. 891) |publisher=Springer |bibcode=2008ehst.book.....S}}</ref>

<ref name=SmithMikami1914_108>{{cite book |last1=Smith |first1=David Eugene |last2=Mikami |first2=Yoshio |date=1914 |title=A history of Japanese mathematics |publisher=Open Court publishing company |page=108 |isbn=9780486434827 |url=https://books.google.com/books?id=pTcQsvfbSu4C}}</ref>

<ref name=Menabrea1842_noteG>{{cite journal |last=Menabrea |first=L.F. |date=1842 |title=Sketch of the Analytic Engine invented by Charles Babbage, with notes upon the Memoir by the Translator Ada Augusta, Countess of Lovelace |journal=Bibliothèque Universelle de Genève |volume=82 |at=See ''Note G'' |url=http://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html}}</ref>

<ref name=Jacobi1834>{{cite journal |last=Jacobi |first=C.G.J. |author-link=Carl Gustav Jacob Jacobi |title=De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=12 |date=1834 |pages=263–272 |url=https://zenodo.org/record/1448824 }}</ref>

<ref name=Saalschütz1893>{{citation |last=Saalschütz |first=Louis |date=1893 |title=Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen |place=Berlin |publisher=Julius Springer |url=http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=00450002 }}.</ref>

<ref name=BuhlerCraErnMetShokrollahi2001>{{cite journal |last1=Buhler |first1=J. |last2=Crandall |first2=R. |last3=Ernvall |first3=R. |last4=Metsankyla |first4=T. |last5=Shokrollahi |first5=M. |title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million |journal=Journal of Symbolic Computation |volume=31 |issue=1–2 |date=2001 |pages=89–96 |doi=10.1006/jsco.1999.1011|doi-access=free }}</ref>

<ref name=Harvey2010>{{citation |last=Harvey |first=David |date=2010 |title=A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers |journal=Math. Comput. |volume=79 |issue=272 |pages=2361–2370 |arxiv=0807.1347 |doi=10.1090/S0025-5718-2010-02367-1 |zbl=1215.11016 |s2cid=11329343 }}</ref>

<ref name=Kellner2002>{{citation |last=Kellner |first=Bernd |date=2002 |title=Program Calcbn – A program for calculating Bernoulli numbers |url=http://www.bernoulli.org/}}.</ref>

<ref name=Pavlyk29Apr2008>{{cite web |last=Pavlyk |first=Oleksandr |date=29 April 2008 |title=Today We Broke the Bernoulli Record: From the Analytical Engine to Mathematica |website=Wolfram News |url=http://blog.wolfram.com/2008/04/29/today-we-broke-the-bernoulli-record-from-the-analytical-engine-to-mathematica/}}.</ref>

<ref name=GuoZeng2005>{{cite journal |last1=Guo |first1=Victor J. W. |last2=Zeng |first2=Jiang |date=30 August 2005 |title=A q-Analogue of Faulhaber's Formula for Sums of Powers |journal=The Electronic Journal of Combinatorics |volume=11 |issue=2 |doi=10.37236/1876 |bibcode=2005math......1441G |arxiv=math/0501441 |s2cid=10467873 }}</ref>

<ref name=Comtet1974>{{cite book |last=Comtet |first=L. |date=1974 |title=Advanced combinatorics. The art of finite and infinite expansions|edition=Revised and Enlarged |location=Dordrecht-Boston |publisher=D. Reidel Publ.}}</ref>

<ref name=Rademacher1973>{{citation |last=Rademacher |first=H. |date=1973 |title=Analytic Number Theory |location=New York City |publisher=Springer-Verlag}}.</ref>

<ref name=Boole1880>{{cite book |last=Boole |first=G. |date=1880 |title=A treatise of the calculus of finite differences |edition=3rd |place=London |publisher=Macmillan}}.</ref>

<ref name=Gould1972>{{cite journal |last=Gould |first=Henry W. |title=Explicit formulas for Bernoulli numbers |journal=Amer. Math. Monthly |volume=79 |issue=1 |date=1972 |pages=44–51 |doi=10.2307/2978125 |jstor=2978125}}</ref>

<ref name=Apostol2010_197>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |date=2010 |title=Introduction to Analytic Number Theory |publisher=Springer-Verlag |page=197}}</ref>

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<ref name=Elkies2003>{{cite journal |last=Elkies |first=N. D. |author-link=Noam Elkies |title=On the sums Sum_(k=-infinity...infinity) (4k+1)^(-n) |journal=Amer. Math. Monthly |volume=110 |issue=7 |date=2003 |pages=561–573 |doi=10.2307/3647742 |arxiv=math.CA/0101168 |jstor=3647742 }}</ref>

<ref name=Euler1735>{{cite journal |last=Euler |first=Leonhard |author-link=Leonhard Euler |title=De summis serierum reciprocarum |journal=Opera Omnia |volume=I.14, E 41 |date=1735 |pages=73–86 |arxiv=math/0506415 |bibcode=2005math......6415E }}</ref>

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<ref name=Dumont1981>{{cite journal |last=Dumont |first=D. |date=1981 |title=Matrices d'Euler-Seidel |journal=Séminaire Lotharingien de Combinatoire |volume=B05c |url=https://www.mat.univie.ac.at/~slc/opapers/s05dumont.html}}</ref>

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<ref name=Arnold1991>{{cite journal |last=Arnold |first=V. I. |date=1991 |title=Bernoulli-Euler updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics |journal=Duke Math. J. |volume=63 |issue=2 |pages=537–555 |doi=10.1215/s0012-7094-91-06323-4}}</ref>

<ref name=André1879>{{cite journal |last=André |first=D. |title=Développements de sec x et tan x |journal=Comptes Rendus Acad. Sci. |volume=88 |date=1879 |pages=965–967}}</ref>

<ref name=André1881>{{cite journal |last=André |first=D. |title=Mémoire sur les permutations alternées |journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |volume=7 |date=1881 |pages=167–184}}</ref>

<ref name=Kummer1850>{{cite journal |last=Kummer |first=E. E. |author-link=Ernst Kummer |title=Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x<sup>λ</sup> + y<sup>λ</sup> = z<sup>λ</sup> durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=40 |date=1850 |pages=131–138 |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002146738}}</ref>

<ref name=Kummer1851>{{cite journal |last=Kummer |first=E. E. |author-link=Ernst Kummer |title=Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=1851 |issue=41 |date=1851 |pages=368–372 |url=http://eudml.org/doc/147490 }}</ref>

<ref name=vonStaudt1840>{{cite journal |last=von Staudt |first=K. G. Ch. |title=Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=21 |date=1840 |pages=372–374}}</ref>

<ref name=Clausen1840>{{cite journal |last=Clausen |first=Thomas |title=Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen |journal=Astron. Nachr. |volume=17 |date=1840 |issue=22 |pages=351–352 |doi=10.1002/asna.18400172205}}</ref>

<ref name=Riesz1916>{{cite journal |last=Riesz |first=M. |title=Sur l'hypothèse de Riemann |journal=Acta Mathematica |volume=40 |date=1916 |pages=185–90 |doi=10.1007/BF02418544 |doi-access=free }}</ref>

<ref name=Neukirch1999_VII2>{{Neukirch ANT}} §VII.2.</ref>

<ref name=Malenfant2011>{{cite arXiv |eprint=1103.1585 |last=Malenfant |first=Jerome |date=2011 |title=Finite, closed-form expressions for the partition function and for Euler, Bernoulli, and Stirling numbers |class=math.NT}}</ref>

<ref name=vonEttingshausen1827>{{cite book |last=von Ettingshausen |first=A. |date=1827 |title=Vorlesungen über die höhere Mathematik |volume=1 |location=Vienna |publisher=Carl Gerold}}</ref>

<ref name=Carlitz1968>{{cite journal |last=Carlitz |first=L. |title=Bernoulli Numbers |journal=[[Fibonacci Quarterly]] |volume=6 |pages=71–85 |date=1968}}</ref>

<ref name=AgohDilcher2008>{{cite journal |last1=Agoh |first1=Takashi|last2=Dilcher |first2=Karl  |title=Reciprocity Relations for Bernoulli Numbers |journal=American Mathematical Monthly |volume=115 |issue=3 |date=2008 |pages=237–244 |jstor=27642447 |doi=10.1080/00029890.2008.11920520 |s2cid=43614118 }}</ref>
}}


==बाहरी संबंध==
* {{springerEOM |title=Bernoulli numbers|id=p/b015640}}
* ''[[:gutenberg:2586|The first 498 Bernoulli Numbers]]'' from [[Project Gutenberg]]
* [https://web.archive.org/web/20160304004018/http://web.maths.unsw.edu.au/~davidharvey/papers/bernmm/ A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers]
* [http://www.bernoulli.org The Bernoulli Number Page]
* [[:literateprograms:Category:Bernoulli numbers|Bernoulli number programs]] at [http://en.literateprograms.org LiteratePrograms]
* {{MathWorld|title=Bernoulli Number|urlname=BernoulliNumber}}
* {{cite web |author=P. Luschny |title= The Computation of Irregular Primes |url=http://www.luschny.de/math/primes/irregular.html}}
* {{cite web |author=P. Luschny |title=The Computation And Asymptotics Of Bernoulli Numbers |url=http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/ComputationAndAsymptoticsOfBernoulliNumbers}}
* {{cite web |author=Gottfried Helms |title= Bernoullinumbers in context of Pascal-(Binomial)matrix |url=http://go.helms-net.de/math/pascal/bernoulli_en.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://go.helms-net.de/math/pascal/bernoulli_en.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}
* {{cite web |author=Gottfried Helms |title=summing of like powers in context with Pascal-/Bernoulli-matrix |url=http://go.helms-net.de/math/binomial/04_3_SummingOfLikePowers.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://go.helms-net.de/math/binomial/04_3_SummingOfLikePowers.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}
* {{cite web |author=Gottfried Helms |title=Some special properties, sums of Bernoulli-and related numbers |url=http://go.helms-net.de/math/binomial/02_2_GeneralizedBernoulliRecursion.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://go.helms-net.de/math/binomial/02_2_GeneralizedBernoulliRecursion.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}

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