View source for बेरेज़िंस्की-कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण

{{short description|Phase transition in the two-dimensional (2-D) XY model}}
'''बेरेज़िंस्की-कोस्टरलिट्ज़-थूलेस (बीकेटी) संक्रमण''' [[सांख्यिकीय भौतिकी]] में द्वि-आयामी (2-डी) [[XY मॉडल]] का [[चरण संक्रमण|प्रावस्था संक्रमण]] है। यह निम्न तापमान पर बाध्य भ्रमिल-विरोधी भ्रमिल युग्म से अयुग्मित भ्रमिल और कुछ महत्वपूर्ण तापमान पर विरोधी-भ्रमिल में संक्रमण है। इस संक्रमण का नाम [[संघनित पदार्थ भौतिकी|संघनित पदार्थ]] भौतिकविदों [[वादिम बेरेज़िंस्की]], जॉन एम. कोस्टरलिट्ज़ और डेविड जे. थूलेस के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Kosterlitz|first1=J. M.|last2=Thouless|first2=D. J.|date=November 1972|title=द्वि-आयामी प्रणालियों में ऑर्डरिंग, मेटास्टेबिलिटी और चरण संक्रमण|journal=Journal of Physics C: Solid State Physics|language=en|volume=6|issue=7|pages=1181–1203|doi=10.1088/0022-3719/6/7/010|bibcode=1973JPhC....6.1181K |issn=0022-3719}}</ref> बीकेटी संक्रमण संघनित पदार्थ भौतिकी में कई 2-डी प्रणालियों में पाया जा सकता है जो XY मॉडल द्वारा अनुमानित हैं, जिसमें [[जोसेफसन जंक्शन]] सरणी और क्षीण अव्यवस्थित [[ अतिचालक |अतिचालक]] कणिकीय फिल्में सम्मिलित हैं।<ref>{{cite book |last1=Tinkham |first1=Michael |title=अतिचालकता का परिचय|date=1906 |publisher=Dover Publications, INC. |location=Mineola, New York |isbn=0486435032 |pages=237–239 |edition=2.}}</ref> हाल ही में, मूल भ्रमिल बीकेटी संक्रमण के साथ समानता के कारण, इस शब्द को 2-डी अतिचालक अवरोधक संक्रमण समुदाय द्वारा रोधी प्रणाली में कूपर युग्म की पिनिंग के लिए लागू किया गया है।

संक्रमण पर काम के कारण 2016 में [[भौतिकी में नोबेल पुरस्कार]] थूलेस और कोस्टरलिट्ज़ को दिया गया; बेरेज़िंस्की की 1980 में मृत्यु हो गई।

==XY मॉडल==
XY मॉडल द्वि-आयामी [[वेक्टर (ज्यामितीय)|सदिश (ज्यामितीय)]] प्रचक्रण मॉडल है जिसमें [[U(1)]] या वृत्तीय समरूपता होती है। इस प्रणाली में सामान्य द्वितीय-क्रम प्रावस्था संक्रमण होने की उम्मीद नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रणाली का अपेक्षित क्रमबद्ध प्रावस्था अनुप्रस्थ उतार-चढ़ाव से नष्ट हो जाता है, अर्थात इस टूटी हुई निरंतर समरूपता से जुड़े [[गोल्डस्टोन बोसोन|नंबू-गोल्डस्टोन मोड]], जो प्रणाली आकार के साथ लघुगणकीय रूप से भिन्न होते हैं। यह प्रचक्रण प्रणालियों में मर्मिन-वैग्नर प्रमेय का विशिष्ट स्थिति है।

अत्यधिक संक्रमण को पूरी तरह से समझा नहीं जा सका है, लेकिन दो चरणों का अस्तित्व {{harvtxt|मैकब्रायन |स्पेंसर|1977}} और {{harvtxt|फ्रोहलिच|स्पेंसर|1981}} द्वारा सिद्ध किया गया था।

===विभिन्न सहसंबंधों के साथ अव्यवस्थित प्रावस्था===
XY मॉडल में दो आयामों में, दूसरे क्रम का प्रावस्था संक्रमण नहीं देखा जाता है। चूंकि, किसी को सहसंबंध फलन ([[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] देखें) के साथ निम्न-तापमान अर्ध-क्रमबद्ध प्रावस्था मिलता है जो शक्ति की तरह दूरी के साथ घटता है, जो तापमान पर निर्भर करता है। घातीय सहसंबंध के साथ उच्च तापमान अव्यवस्थित प्रावस्था से इस निम्न तापमान अर्ध-आदेशित प्रावस्था में संक्रमण कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण है। यह अनंत क्रम का प्रावस्था संक्रमण है।

===भ्रमिल की भूमिका===
2-डी XY मॉडल में, [[क्वांटम भंवर|भंवर]] स्थलीय रूप से स्थिर विन्यास हैं। यह पाया गया है कि घातीय सहसंबंध क्षय के साथ उच्च तापमान अव्यवस्थित प्रावस्था भ्रमिल के गठन का परिणाम है। कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण के महत्वपूर्ण तापमान <math> T_c</math> पर भ्रमिल पीढ़ी ऊष्मागतिक रूप से अनुकूल हो जाती है। इससे नीचे के तापमान पर, भ्रमिल उत्पादन में घात नियम सहसंबंध होता है।

कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण को विपरीत परिसंचरण के साथ बंधे हुए भ्रमिल युग्म के पृथक्करण के रूप में वर्णित किया गया है, जिसे भ्रमिल-एंटीवोर्टेक्स युग्म कहा जाता है, जिसे सबसे पहले वादिम बेरेज़िंस्की द्वारा वर्णित किया गया है। इन प्रणालियों में, भ्रमिल की ऊष्मीय पीढ़ी विपरीत चिह्न के भ्रमिल की एक समान संख्या उत्पन्न करती है। बंधे हुए भ्रमिल-विरोधी भ्रमिल युग्म में मुक्त भ्रमिल की तुलना में कम ऊर्जा होती है, लेकिन साथ ही एन्ट्रापी भी कम होती है। मुक्त ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए, <math>F=E-TS</math>, प्रणाली एक महत्वपूर्ण तापमान <math> T_c</math> पर संक्रमण से गुजरता है। <math> T_c</math>के नीचे,केवल बंधे हुए भ्रमिल-विरोधी भ्रमिल युग्म हैं। <math> T_c</math> के ऊपर, मुक्त भ्रमिल हैं।

==अनौपचारिक विवरण==
कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण के लिए सुंदर ऊष्मागतिक तर्क है। एकल भ्रमिल की ऊर्जा<math>\kappa\ln(R/a)</math> है , जहां <math>\kappa</math> एक पैरामीटर है जो उस प्रणाली पर निर्भर करता है जिसमें भ्रमिल स्थित है, <math>R</math> प्रणाली का आकार है, और <math>a</math> भ्रमिल कोर की त्रिज्या है। एक मानता है <math>R\gg a</math>। 2डी प्रणाली में, भ्रमिल की संभावित स्थितियों की संख्या <math>(R/a)^2</math> लगभग होती है। बोल्ट्ज़मैन के एन्ट्रापी सूत्र से, <math> S= k_{\rm B} \ln W</math> (W के साथ अवस्था की संख्या है), [[एन्ट्रापी]]<math>S=2k_{\rm B}\ln(R/a)</math> है, जहां <math>k_{\rm B}</math> बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। इस प्रकार, [[हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा]] है

:<math>F = E - TS = (\kappa - 2k_{\rm B}T)\ln(R/a).</math>
जब <math>F>0</math>, प्रणाली में कोई भ्रमिल नहीं होगा। दूसरी ओर, जब <math>F<0</math>, एन्ट्रोपिक विचार भ्रमिल के निर्माण का पक्ष लेते हैं। वह महत्वपूर्ण तापमान जिसके ऊपर भ्रमिल बन सकते हैं, उसे <math> F=0 </math> सेट करके पाया जा सकता है और इसे इसके द्वारा दिया जाता है

:<math>T_c = \frac{\kappa}{2k_{\rm B}}.</math>
कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण को विद्युत प्रवाह और वोल्टेज (आई-वी) माप लेकर 2 डी जोसेफसन जंक्शन सरणी जैसी प्रणालियों में प्रयोगात्मक रूप से देखा जा सकता है। <math>T_c</math> के ऊपर, संबंध रैखिक <math>V \sim I</math> होगा। <math>T_c</math> के ठीक नीचे, संबंध होगा <math>V \sim I^3</math>, क्योंकि मुक्त भ्रमिल की संख्या <math>I^2</math> हो जाएगी। रैखिक निर्भरता से यह छलांग कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण का संकेत है और इसका उपयोग <math>T_c</math> निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग रेसनिक एट अल {{sfn|Resnick|Garland|Boyd|Shoemaker|1981}} निकटता-युग्मित जोसेफसन जंक्शन सरणियों में कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण की पुष्टि करने के लिए किया गया था।।

== क्षेत्र सैद्धांतिक विश्लेषण ==
निम्नलिखित चर्चा क्षेत्र सैद्धांतिक तरीकों का उपयोग करती है। समतल में परिभाषित क्षेत्र φ(x) मान लें जो <math>S^1</math> में मान लेता है, जिससे कि <math>\phi(x)</math> की पहचान <math>\phi(x) + 2\pi</math> से की जा सके। अर्थात् वृत्त को इस प्रकार साकार किया जाता है, जैसे कि <math>S^1 = \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}</math>.

ऊर्जा द्वारा दी जाती है

:<math> E = \int \frac{1}{2} \nabla\phi\cdot\nabla\phi \, d^2 x</math>
और [[बोल्ट्ज़मान कारक]] <math>\exp (-\beta E)</math> है

किसी भी अनुबंध योग्य बंद पथ <math>\gamma</math> पर [[समोच्च एकीकरण के तरीके|रूपरेखा समाकलन]] <math>\oint_\gamma d\phi = \oint_\gamma \frac{d\phi}{dx}dx</math> लेते हुए, अपेक्षा करेंगे कि शून्य हो (उदाहरण के लिए, कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा। चूंकि, भ्रमिल की विलक्षण प्रकृति (जो <math>\phi</math> कि विलक्षणताएं देते हैं) के कारण ऐसा नहीं है।

सिद्धांत को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, इसे केवल कुछ ऊर्जावान कट-ऑफ पैमाने <math>\Lambda</math> तक परिभाषित किया गया है, जिससे कि हम <math>1/\Lambda</math> क्रम के आकार वाले क्षेत्रों को हटाकर, उन बिंदुओं पर समतलीय को संवेधन कर सकें जहां भ्रमिल स्थित हैं। यदि <math>\gamma</math> एक संवेधन के चारों ओर एक बार वामावर्त वामावर्त घुमाता है, तो रूपरेखा समाकलन <math>\oint_\gamma d\phi</math> का <math>2\pi</math> गुणक है। इस पूर्णांक का मान सदिश क्षेत्र <math>\nabla \phi</math> का सूचकांक है।

मान लीजिए कि किसी दिए गए क्षेत्र संरूपण में <math>N</math> पंचर <math>x_i, i=1,\dots,N</math> पर स्थित हैं, जिनमें से प्रत्येक का सूचकांक <math>n_i=\pm 1</math> है। फिर <math>\phi</math> बिना किसी छिद्र के क्षेत्र संरूपण के योग में विघटित हो जाता है, <math>\phi_0</math> और <math>\sum_{i=1}^N n_i\arg(z-z_i)</math>, जहां हमने सुविधा के लिए जटिल समतलीय निर्देशांक पर परिवर्तन किया है। जटिल तर्क फलन में शाखा कटौती होती है, लेकिन, क्योंकि <math>\phi</math> को मॉड्यूल <math>2\pi</math> परिभाषित किया गया है, इसका कोई भौतिक परिणाम नहीं है।

अब,

:<math>E = \int \frac{1}{2} \nabla\phi_0\cdot\nabla\phi_0 \, d^2 x + \sum_{1\leq i < j \leq N} n_i n_j \int \frac{1}{2} \nabla \ \arg(z-z_i)\cdot\nabla \arg(z-z_j) \, d^2 x</math>
यदि <math>\sum_{i=1}^N n_i \neq 0</math>, दूसरा पद धनात्मक है और सीमा में विचलन करता है <math>\Lambda \to \infty</math>: प्रत्येक अभिविन्यास के भ्रमिल की असंतुलित संख्या वाले विन्यास कभी भी ऊर्जावान रूप से पसंदीदा नहीं होते हैं।

चूंकि, यदि तटस्थ स्थिति <math>\sum_{i=1}^N n_i=0</math> धारण करता है, दूसरा पद बराबर है <math>-2\pi \sum_{1\leq i < j \leq N}  n_i n_j \ln(|x_j-x_i|/L)</math>, जो द्वि-आयामी [[कूलम्ब गैस]] की कुल संभावित ऊर्जा है। स्केल एल एक यादृच्छिक पैमाना है जो लघुगणक के तर्क को आयामहीन बनाता है।

स्थितियों को केवल बहुलता <math>\pm 1</math> के भ्रमिल के साथ मानें, कम तापमान पर और बड़े पर <math>\beta</math> पर भ्रमिल और विरोधी भ्रमिल युग्म के बीच की दूरी अनिवार्य रूप से <math>1/\Lambda</math> क्रम में बेहद छोटी होती है। बड़े तापमान पर और छोटे पर <math>\beta</math> यह दूरी बढ़ती है, और पसंदीदा विन्यास प्रभावी रूप से मुक्त भ्रमिल और प्रतिवर्तियों की गैस में से एक बन जाता है। दो अलग-अलग विन्यासों के बीच संक्रमण कोस्टरलिट्ज़-थूलेस प्रावस्था संक्रमण है, और संक्रमण बिंदु भ्रमिल-एंटीवॉर्टेक्स युग्म के स्वैच्छिक से जुड़ा हुआ है।

==यह भी देखें==
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* [[केटीएचएनवाई सिद्धांत सिद्धांत]]
* गोल्डस्टोन बोसोन
* [[समग्र फर्मियन]]
* [[लैम्ब्डा संक्रमण]]
* [[आइसिंग मॉडल]]
* [[पॉट्स मॉडल]]
* [[सांस्थितिक दोष]]
*क्वांटम भंवर
* [[सुपरफ्लुइड फिल्म]]
* [[षट्कोणीय चरण]]
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==टिप्पणियाँ==
{{Reflist}}


== संदर्भ ==
* {{citation|first=В. Л.|last=Березинский|title=Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии I. Классические системы|journal=ЖЭТФ|volume=59|issue=3|year=1970|pages=907–920|language=ru}}. Translation available: {{citation|first=V. L.|last=Berezinskii|title=Destruction of long-range order in one-dimensional and two-dimensional systems having a continuous symmetry group I. Classical systems|journal=Sov. Phys. JETP|volume=32|issue=3|pages=493–500|year=1971|url=http://www.jetp.ras.ru/cgi-bin/dn/e_032_03_0493.pdf|bibcode = 1971JETP...32..493B }}
* {{citation|first=В. Л.|last=Березинский|title=Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии II. Квантовые системы|journal=ЖЭТФ|volume=61|issue=3|year=1971|pages=1144–1156|language=ru}}. Translation available: {{citation|first=V. L.|last=Berezinskii|title=Destruction of long-range order in one-dimensional and two-dimensional systems having a continuous symmetry group II. Quantum systems|journal=Sov. Phys. JETP|volume=34|issue=3|pages=610–616|year=1972|url=http://www.jetp.ras.ru/cgi-bin/dn/e_034_03_0610.pdf|bibcode = 1972JETP...34..610B }}
* {{citation|first1=J. M.|last1=Kosterlitz|first2=D. J.|last2=Thouless|title=Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems|journal=Journal of Physics C: Solid State Physics|volume=6|issue=7|pages=1181–1203|year=1973|doi=10.1088/0022-3719/6/7/010|bibcode = 1973JPhC....6.1181K }}
* {{citation|first1=O.|title=On the decay of correlations in SO(n)-symmetric ferromagnets|last1=McBryan|first2=T.|last2=Spencer|journal=Commun. Math. Phys.|volume=53|issue=3|page=299|year=1977|bibcode = 1977CMaPh..53..299M |doi = 10.1007/BF01609854 |s2cid=119587247}}
* [[Bertrand Halperin|B. I. Halperin]], [[David Robert Nelson|D. R. Nelson]], Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
* A. P. Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979)
* {{citation | first1=D.J.|last1=Resnick|first2=J.C.| last2=Garland |first3=J.T.| last3=Boyd|first4=S.| last4=Shoemaker|first5=R.S.|last5=Newrock|title=Kosterlitz Thouless Transition in Proximity Coupled Superconducting Arrays|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=47|issue=21|page=1542|year=1981|bibcode = 1981PhRvL..47.1542R |doi = 10.1103/PhysRevLett.47.1542 }}
* {{citation|first1=Jürg|last1=Fröhlich|first2=Thomas|last2=Spencer|title=The Kosterlitz–Thouless transition in two-dimensional abelian spin systems and the Coulomb gas|journal=Comm. Math. Phys.|volume=81|year=1981|issue=4|pages=527–602|doi=10.1007/bf01208273|bibcode = 1981CMaPh..81..527F |s2cid=73555642|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103920388 }}
* {{citation|author= Z. Hadzibabic|title=Berezinskii–Kosterlitz–Thouless crossover in a trapped atomic gas|journal=Nature|volume=41|issue=7097|year=2006|pages=1118–21|doi=10.1038/nature04851|pmid=16810249|arxiv = cond-mat/0605291 |bibcode = 2006Natur.441.1118H |s2cid=4314014|display-authors=etal}}
* {{citation|author= M. Mondal|title=Role of the vortex-core energy on the Beresinkii-Kosterlitz-Thouless transition in thin films of NbN|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=107|issue=21|page=217003|year=2011|doi=10.1103/PhysRevLett.107.217003|pmid=22181915|arxiv = 1108.0912 |display-authors=etal|bibcode=2011PhRvL.107u7003M|s2cid=34729666}}


== पुस्तकें ==
* जे.वी. जोस, बेरेज़िंस्की-कोस्टरलिट्ज़-थूलेस थ्योरी के 40 वर्ष, [[विश्व वैज्ञानिक]], 2013, {{ISBN|978-981-4417-65-5}}
* हेगन क्लिनेर्ट|एच. क्लेनर्ट, गेज फील्ड्स इन कंडेंस्ड मैटर, वॉल्यूम। आई, सुपरफ्लो और वोर्टेक्स लाइन्स, पीपी. 1-742, [https://archive.today/20060514143926/http://www.worldscibooks.com/physics/0356.htm वर्ल्ड साइंटिफिक (सिंगापुर, 1989)]; किताबचा {{ISBN|9971-5-0210-0}} (ऑनलाइन भी उपलब्ध: [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb1/contents1.html खंड I]। पृष्ठ पढ़ें 618-688);
* हेगन क्लिनेर्ट|एच. क्लेनर्ट, संघनित पदार्थ, इलेक्ट्रोडायनामिक्स और गुरुत्वाकर्षण में बहुमूल्यवान क्षेत्र, [https://web.archive.org/web/20080315225354/http://www.worldscibooks.com/physics/6742.html विश्व वैज्ञानिक (सिंगापुर, 2008) ] (ऑनलाइन भी उपलब्ध: [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/re.html#B9 यहां])

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