View source for बोल्ट्जमैन समीकरण

{{short description|Equation of statistical mechanics}}[[File:StairsOfReduction.svg|thumb|माइक्रोस्कोपिक डायनामिक्स से मैक्रोस्कोपिक कॉन्टिनम डायनामिक्स (पुस्तक की सामग्री के लिए चित्रण) में मॉडल की कमी की सीढ़ियों पर बोल्ट्ज़मैन गतिज समीकरण का स्थान<ref>
{{cite book |last1=Gorban |first1= Alexander N.|last2= Karlin |first2= Ilya V. |date=2005 |title= Invariant Manifolds for Physical and Chemical Kinetics|url= https://www.academia.edu/17378865| location= Berlin, Heidelberg |publisher= Springer|series= Lecture Notes in Physics (LNP, vol. 660)| isbn= 978-3-540-22684-0|doi= 10.1007/b98103}} [https://archive.org/details/gorban-karlin-lnp-2005 Alt URL]</ref>)]]'''बोल्ट्जमैन समीकरण''' या बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण (बीटीई)[[ थर्मोडायनामिक प्रणाली | ऊष्मागतिकी प्रणाली]] के सांख्यिकीय व्यवहार का वर्णन करता है जो 1872 में [[ लुडविग बोल्ट्जमैन |लुडविग बोल्ट्जमैन]] द्वारा तैयार [[ थर्मोडायनामिक संतुलन |ऊष्मागतिकी संतुलन]] की स्थिति में नहीं है।<ref name="Encyclopaediaof">Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), [[Rita G. Lerner|R. G. Lerner]], G. L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3.</ref>
इस तरह की प्रणाली का उत्कृष्ट उदाहरण अंतरिक्ष में [[ तापमान प्रवणता |तापमान प्रवणता]] के साथतरल पदार्थ है, जिससे उस तरल पदार्थ को बनाने वाले [[ कण |कण]] के यादृच्छिक लेकिन पक्षपाती परिवहन द्वारा गर्म क्षेत्रों से ठंडे क्षेत्रों में गर्मी प्रवाहित होती है। आधुनिक साहित्य में बोल्ट्जमैन समीकरण शब्द का प्रयोग अधिकांशतः अधिक सामान्य अर्थों में किया जाता है, किसी भी [[ गति |गतिज]] समीकरण को प्रदर्शित करते हुए जो ऊष्मागतिकी प्रणाली में मैक्रोस्कोपिक मात्रा के परिवर्तन का वर्णन करता है, जैसे कि ऊर्जा, आवेश या कणों की संख्या।

समीकरण अलग-अलग स्थिति वैक्टर और [[ द्रव |द्रव]] में प्रत्येक कण की गति का विश्लेषण करके नहीं बल्कि विशिष्ट कण की स्थिति और संवेग के लिए संभाव्यता वितरण पर विचार करके उत्पन्न होता है - अर्थात, [[ संभावना |संभावना]] है कि कण अंतरिक्ष के दिए गए असीम क्षेत्र पर कब्जा कर लेता है। (गणितीय रूप से आयतन तत्व <math>d^3 \mathbf{r}</math>) स्थिति पर केंद्रित है <math>\mathbf{r}</math>, और संवेग किसी दिए गए संवेग सदिश <math> \mathbf{p}</math> के लगभग बराबर है (इस प्रकार संवेग स्थान <math>d^3 \mathbf{p}</math> के बहुत छोटे क्षेत्र पर अपना स्थापत्य स्थापित कर लिया)।

बोल्ट्ज़मैन समीकरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि भौतिक मात्राएँ कैसे परिवर्तित होती हैं, जैसे कि ऊष्मा ऊर्जा और संवेग, जब कोई द्रव परिवहन में होता है। तरल पदार्थ जैसे चिपचिपापन, तापीय चालकता और [[ विद्युत चालकता |विद्युत चालकता]] (गैस के रूप में सामग्री में आवेश वाहकों का उपचार करके) जैसे अन्य गुणों को भी प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="Encyclopaediaof" /> संवहन-प्रसार समीकरण भी देखें।

समीकरण[[ नॉनलाइनियर सिस्टम | नॉनलाइनियर प्रणाली]] [[ अभिन्न-विभेदक समीकरण |अभिन्न-विभेदक समीकरण]] है, और समीकरण में अज्ञात फ़ंक्शन के कण की स्थिति और संवेग के छह-आयामी स्थान में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है। इसके अस्तित्व की समस्या और समाधानों की विशिष्टता अभी भी पूरी तरह से हल नहीं हुई है, लेकिन हाल के कुछ परिणाम बहुत आशाजनक हैं।<ref>{{cite journal | last1=DiPerna | first1= R. J. |last2 = Lions | first2 = P.-L. | title= बोल्ट्जमैन समीकरणों के लिए कॉची समस्या पर: वैश्विक अस्तित्व और कमजोर स्थिरता| journal= Ann. of Math. |series= 2 | volume=130 | pages= 321–366 | year=1989 | doi=10.2307/1971423 | issue=2| jstor= 1971423 }}</ref><ref>{{cite journal |author1=Philip T. Gressman |author-link1=Philip Gressman |author2=Robert M. Strain |name-list-style=amp|year=2010 |title= लंबी दूरी की बातचीत के साथ बोल्ट्ज़मैन समीकरण का वैश्विक शास्त्रीय समाधान|journal= Proceedings of the National Academy of Sciences |volume=107 |pages= 5744–5749 | doi = 10.1073/pnas.1001185107 |bibcode = 2010PNAS..107.5744G |arxiv = 1002.3639 |issue= 13 |pmid=20231489 |pmc=2851887|doi-access=free }}</ref>
== अवलोकन ==

=== [[ चरण स्थान | चरण स्थान]] और घनत्व फंक्शन ===
सभी संभावित स्थितियों r और संवेग p के समुच्चय की प्रणाली के लिए इसे चरण स्थान कहा जाता है; दूसरे शब्दों में प्रत्येक स्थिति के लिए तीन निर्देशांकों के समु्च्चय समन्वय ''x, y, z'', और प्रत्येक गति घटक के लिए तीन और {{math|''p<sub>x</sub>''}}, {{math|''p<sub>y</sub>''}}, {{math|''p<sub>z</sub>''}}. संपूर्ण स्थान 6-[[ आयाम | आयाम]] है: इस स्थान मेंबिंदु है {{math|1=('''r''', '''p''') = (''x, y, z, p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>'')}}, और प्रत्येक निर्देशांक समय t द्वारा [[ पैरामीट्रिक समीकरण |पैरामीट्रिक समीकरण]] है। छोटी मात्रा (अंतर मात्रा तत्व) लिखा है
<math display="block"> d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} = dx \, dy \, dz \, dp_x \, dp_y \, dp_z. </math>
चूंकि की {{mvar|N}} अणु संभावना है, जो सभी {{math|'''r'''}} और {{math|'''p'''}} अंदर <math> d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}</math> के पास है जो इस प्रश्न में है, समीकरण के केंद्र में इसकी मात्रा {{math|''f''}} है जो इस संभाव्यता को प्रति इकाई चरण-स्थान आयतन देता है, या प्रति इकाई लंबाई घन प्रति इकाई संवेग घन, समय के {{mvar|t}} क्षणिक में संभावना देता है, यह प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है: {{math|''f''('''r''', '''p''', ''t'')}}, परिभाषित किया गया है जिससे कि,
<math display="block">dN = f (\mathbf{r},\mathbf{p},t) \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}</math>
अणुओं की संख्या है, जिनकी सभी स्थितियाँ आयतन तत्व के भीतर होती हैं <math> d^3\mathbf{r}</math> के बारे में {{math|'''r'''}} और मोमेंटामोमेंटम स्पेस एलिमेंट <math> d^3\mathbf{p}</math> के बारे में {{math|'''p'''}}, समय पर {{mvar|t}} के भीतर पड़ा हुआ है।<ref>{{Cite book |last=Huang |first=Kerson |year=1987 |title=सांख्यिकीय यांत्रिकी|url=https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_475 |url-access=limited |location=New York |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-81518-1 |page=[https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_475/page/n65 53] |edition=Second }}</ref> इस स्थिति के लिए इसके स्थान और संवेग स्थान के क्षेत्र पर एकीकरण के लिए इसे इस क्षेत्र में स्थिति और गति वाले कणों की कुल संख्या देता है:

<math display="block">\begin{align}
N & = \int\limits_\mathrm{momenta} d^3\mathbf{p} \int\limits_\mathrm{positions} d^3\mathbf{r}\,f (\mathbf{r},\mathbf{p},t) \\[5pt]
& = \iiint\limits_\mathrm{momenta} \quad \iiint\limits_\mathrm{positions} f(x,y,z, p_x,p_y,p_z, t) \, dx \, dy \, dz \, dp_x \, dp_y \, dp_z
\end{align}</math>
जो बहु समाकल या 6 गुना समाकल है जबकि {{math|''f''}} कई कणों से जुड़ा हुआ है, इसके चरण स्थान के एक-कण के लिए है (उन सभी के लिए नहीं, जो सामान्यतः [[ नियतात्मक |नियतात्मक]] [[ कई शरीर की समस्या |कई शरीर की समस्या]] के स्थिति में होता है। कई-शरीर प्रणाली), क्योंकि केवल {{math|'''r'''}} और {{math|'''p'''}} विचार करने योग्य हैं। यह उपयोग करने के लिए विश्लेषण को इसका भाग नहीं माना गया हैं, इस प्रकार {{math|'''r'''<sub>1</sub>}}, {{math|'''p'''<sub>1</sub>}} कण 1 के लिए, {{math|'''r'''<sub>2</sub>}}, {{math|'''p'''<sub>2</sub>}} कण 2, आदि के लिए। अप करने के लिए {{math|'''r'''<sub>''N''</sub>}}, {{math|'''p'''<sub>''N''</sub>}} कण एन के लिए

यह माना जाता है कि प्रणाली में कण समान हैं (इसलिए प्रत्येक कासमान [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] है {{mvar|m}}).से अधिक रासायनिक प्रजातियों के मिश्रण के लिए, प्रत्येक के लिएवितरण आवश्यक है, नीचे देखें।

=== प्रधान वक्तव्य ===

सामान्य समीकरण तब के रूप में लिखा जा सकता है<ref name="McGrawHill">McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), S. P. Parker, 1993, {{ISBN|0-07-051400-3}}.</ref>
<math display="block">
 \frac{df}{dt} =
 \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{force} +
 \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{diff} +
 \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{coll},
</math>
जहां बल शब्द बाहरी प्रभाव (स्वयं कणों द्वारा नहीं) द्वारा कणों पर लगाए गए बलों से मेल खाता है, भिन्न शब्द कणों के [[ प्रसार |प्रसार]] का प्रतिनिधित्व करता है, और कोल टकराव शब्द है - टकराव में कणों के बीच कार्य करने वाली शक्तियों के लिए लेखांकन। दाईं ओर प्रत्येक पद के लिए भाव नीचे दिए गए हैं।<ref name="McGrawHill" />

ध्यान दें कि कुछ लेखक कण वेग का उपयोग करते हैं {{math|'''v'''}} गति के अतिरिक्त {{math|'''p'''}}वे संवेग की परिभाषा में संबंधित हैं {{math|1='''p''' = ''m'''''v'''}}.

== बल और प्रसार की शर्तें ==

{{math|''f''}} द्वारा वर्णित कणों पर विचार करें, {{math|'''F'''}} प्रत्येक बाहरी बल का अनुभव कर रहा है बल्कि अन्य कणों के कारण नहीं (बाद के उपचार के लिए टकराव शब्द देखें)।

मान लीजिए {{mvar|t}} समय पर कुछ कणों की सभी स्थिति {{math|'''r'''}} तत्व के भीतर <math> d^3\mathbf{r}</math> और गति {{math|'''p'''}} अंदर <math> d^3\mathbf{p}</math> पर होती है, इस प्रकार यदि {{math|'''F'''}} बल तुरंत प्रत्येक कण पर कार्य करता है, फिर समय पर {{math|''t'' + Δ''t''}} उनकी स्थिति होगी <math> \mathbf{r} + \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r} +\frac{\mathbf{p}}{m} \, \Delta t </math> और गति {{math|1='''p''' + Δ'''p''' = '''p''' + '''F'''Δ''t''}}. फिर, टक्करों के अभाव में, {{math|''f''}} इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

<math display="block">
f \left (\mathbf{r}+\frac{\mathbf{p}}{m} \, \Delta t,\mathbf{p}+\mathbf{F} \, \Delta t, t+\Delta t \right )\,d^3\mathbf{r}\,d^3\mathbf{p} = f(\mathbf{r}, \mathbf{p},t) \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}
</math>
ध्यान दें कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि चरण स्थान आयतन तत्व <math> d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}</math> स्थिर है, जिसे हैमिल्टन के समीकरणों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है (लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) के अनुसार चर्चा देखें। लिउविल के प्रमेय)। चूंकि टकराव होते हैं, चरण-स्थान मात्रा में कण घनत्व <math> d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}</math> परिवर्तन, इसलिए
{{NumBlk||
<math display="block">\begin{align}
dN_\mathrm{coll} & = \left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_\mathrm{coll}\Delta t \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} \\[5pt]
& = f \left (\mathbf{r}+\frac{\mathbf{p} }{m}\Delta t,\mathbf{p} + \mathbf{F}\Delta t, t+\Delta t \right) d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} - f(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t) \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} \\[5pt]
& = \Delta f \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} 
\end{align}</math>
|{{EquationRef|1}}}}

जहां {{math|Δ''f''}} में पूर्ण परिवर्तन है {{math|''f''}}. विभाजित करना ({{EquationNote|1}}) द्वारा <math> d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} \, \Delta t</math> और सीमाएँ लेना {{math|Δ''t'' → 0}} और {{math|Δ''f'' → 0}}, इस प्रकार प्राप्त समीकरण कुछ इस प्रकार होगा
{{NumBlk||
<math display="block">\frac{d f}{d t} = \left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_\mathrm{coll}</math>
|{{EquationRef|2}}}}

के फंक्शन का कुल अंतर {{math|''f''}} है:

जहां {{math|∇}} [[ ढाल |ढाल]] ऑपरेटर है, {{math|'''·'''}} [[ डॉट उत्पाद |डॉट उत्पाद]] है,
<math display="block">
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} = \mathbf{\hat{e}}_x\frac{\partial f}{\partial p_x} + \mathbf{\hat{e}}_y\frac{\partial f}{\partial p_y} + \mathbf{\hat{e}}_z \frac{\partial f}{\partial p_z}= \nabla_\mathbf{p}f
</math>
के संवेग अनुरूप के लिएआशुलिपि है {{math|∇}}, और {{math|'''ê'''<sub>''x''</sub>}}, {{math|'''ê'''<sub>''y''</sub>}}, {{math|'''ê'''<sub>''z''</sub>}} [[ कार्तीय निर्देशांक |कार्तीय निर्देशांक]] इकाई वैक्टर हैं।

=== अंतिम वक्तव्य ===

विभाजित करना ({{EquationNote|3}}) द्वारा {{math|''dt''}} और में प्रतिस्थापन ({{EquationNote|2}}) देता है:

<math display="block">\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla f + \mathbf{F} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} = \left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_\mathrm{coll}</math>
इस संदर्भ में, {{math|'''F'''('''r''', ''t'')}} [[ बल क्षेत्र (रसायन विज्ञान) |बल क्षेत्र (रसायन विज्ञान)]] द्रव में कणों पर कार्य कर रहा है, और {{mvar|m}} कणों का द्रव्यमान है। कणों के बीच टकराव के प्रभाव का वर्णन करने के लिए दाहिनी ओर शब्द जोड़ा गया है, यदि यह शून्य है तो कण आपस में नहीं टकराते हैं। और होने वाली टकराव से '''बोल्ट्जमैन समीकरण''', जहां अलग-अलग टकरावों को लंबी दूरी की एकत्रित बातचीत से बदल दिया जाता है, उदाहरण केलिए [[ कूलम्ब इंटरेक्शन |कूलम्ब इंटरेक्शन]] , को अधिकांशतः [[ व्लासोव समीकरण |व्लासोव समीकरण]] कहा जाता है।

यह समीकरण उपरोक्त नियम के अनुसार तुलना करने पर यह अधिक उपयोगी होता है, फिर भी यह अभी भी अधूरा है, {{math|''f''}} के टकराव की अवधि में जब तक इसे हल नहीं किया जाता तब {{math|''f''}} ज्ञात होता है। यह शब्द सरलता से या सामान्यतः दूसरों के रूप में नहीं पाया जा सकता है - यह कण टकराव का प्रतिनिधित्व करने वाले सांख्यिकीय शब्द है, और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण या मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन, फर्मी-डिराक वितरण या फर्मी -डिराक या बोस-आइंस्टीन वितरण|बोस-आइंस्टीन वितरण जैसे कणों का पालन करने वाले आंकड़ों के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

== संघट्टन शब्द (स्टोसज़ाह्लांसत्ज़) और आणविक अराजकता ==

=== दो-निकाय टकराव शब्द ===
लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा लागू की गईमहत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि टकराव की अवधि निर्धारित करने के लिए थी, जिसके परिणामस्वरूप कणों के बीच केवल दो-निकाय टकराव होते हैं जिन्हें टक्कर से पहले असंबद्ध माना जाता है। इस धारणा को बोल्ट्जमैन ने इस रूप में संदर्भित किया था जिसमें {{lang|de|स्टोसज़ाह्लांसत्ज़}}और [[ आणविक अराजकता |आणविक अराजकता]] धारणा के रूप में भी जाना जाता है। इस धारणा के अनुसार टकराव शब्द को एक-कण वितरण कार्यों के उत्पाद परगति-अंतरिक्ष अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:<ref name="Encyclopaediaof" />
<math display="block">
 \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{coll} =
 \iint g I(g, \Omega)[f(\mathbf{r},\mathbf{p'}_A, t) f(\mathbf{r},\mathbf{p'}_B,t) - f(\mathbf{r},\mathbf{p}_A,t) f(\mathbf{r},\mathbf{p}_B,t)] \,d\Omega \,d^3\mathbf{p}_B,
</math>
जहां {{math|'''p'''<sub>''A''</sub>}} और {{math|'''p'''<sub>''B''</sub>}} टकराव से पहले किन्हीं दो कणों (सुविधा के लिए A और B के रूप में लेबल किए गए) के संवेग हैं, {{math|'''p&prime;'''<sub>''A''</sub>}} और {{math|'''p&prime;'''<sub>''B''</sub>}} टक्कर के बाद क्षण हैं,
<math display="block">
 g = |\mathbf{p}_B - \mathbf{p}_A| = |\mathbf{p'}_B - \mathbf{p'}_A|
</math>
सापेक्ष संवेग का परिमाण है (इस अवधारणा पर अधिक जानकारी के लिए [[ सापेक्ष वेग |सापेक्ष वेग]] देखें), और {{math|''I''(''g'', Ω)}} टक्कर का विभेदक क्रॉस सेक्शन है, जिसमें टकराने वाले कणों का सापेक्ष संवेगकोण से घूमता है {{mvar|θ}} [[ ठोस कोण |ठोस कोण]] के तत्व में {{math|''d''Ω}}, टक्कर के कारण होती हैं।

=== टक्कर शब्द का सरलीकरण ===
चूंकि बोल्ट्ज़मैन समीकरण को हल करने में अधिकांश चुनौती जटिल टकराव की अवधि से उत्पन्न होती है, टकराव की अवधि को मॉडल और सरल बनाने के प्रयास किए गए हैं। सबसे प्रसिद्ध मॉडल समीकरण भटनागर, सकल और क्रूक के कारण है।<ref>{{Cite journal | title = गैसों में संघट्टन प्रक्रियाओं के लिए एक मॉडल। I. आवेशित और तटस्थ एक-घटक प्रणालियों में लघु आयाम प्रक्रियाएं| journal = Physical Review|date = 1954-05-01|pages = 511–525|volume = 94|issue = 3|doi = 10.1103/PhysRev.94.511|first1 = P. L.|last1 = Bhatnagar|first2 = E. P.|last2 = Gross|first3 = M.|last3 = Krook|bibcode = 1954PhRv...94..511B }}</ref> बीजी के सन्निकटन में धारणा यह है कि आणविक टकराव का प्रभाव भौतिक स्थान मेंबिंदु परगैर-संतुलन वितरण फ़ंक्शन को मैक्सवेलियन संतुलन वितरण फ़ंक्शन पर वापस लाने के लिए है और जिस दर पर यह होता है वह आणविक टकराव आवृत्ति के समानुपाती होता है। इसलिए बोल्ट्जमान समीकरण को बीजी के रूप में संशोधित किया गया है:

<math display="block">\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla f + \mathbf{F} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} = \nu (f_0 - f),</math>
जहां <math>\nu</math> आणविक टक्कर आवृत्ति है, और <math>f_0</math> अंतरिक्ष में इस बिंदु पर गैस का तापमान दिया गया स्थानीय मैक्सवेलियन वितरण फंक्शन है।

== सामान्य समीकरण (मिश्रण के लिए) ==

सूचकांकों द्वारा लेबल की गई रासायनिक प्रजातियों के मिश्रण के लिए {{math|1=''i'' = 1, 2, 3, ..., ''n''}} प्रजातियों के लिए समीकरण {{mvar|i}} है<ref name="Encyclopaediaof" />

<math display="block">\frac{\partial f_i}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}_i}{m_i} \cdot \nabla f_i + \mathbf{F} \cdot \frac{\partial f_i}{\partial \mathbf{p}_i} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial t} \right)_\text{coll},</math>
जहां {{math|1=''f<sub>i</sub>'' = ''f<sub>i</sub>''('''r''', '''p'''<sub>''i''</sub>, ''t'')}}, और टक्कर शब्द है

<math display="block"> \left(\frac{\partial f_i}{\partial t} \right)_{\mathrm{coll}} = \sum_{j=1}^n \iint g_{ij} I_{ij}(g_{ij}, \Omega)[f'_i f'_j - f_i f_j] \,d\Omega\,d^3\mathbf{p'},</math>
जहां {{math|1=''f&prime;'' = ''f&prime;''('''p&prime;'''<sub>''i''</sub>, ''t'')}}, सापेक्ष संवेग का परिमाण है

<math display="block">g_{ij} = |\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_j| = |\mathbf{p'}_i - \mathbf{p'}_j|,</math>
और {{math|''I<sub>ij</sub>''}} पहले की तरह, कणों i और j के बीच का अंतर क्रॉस-सेक्शन है। एकीकरण इंटीग्रैंड में संवेग घटकों पर है (जिन्हें i और j लेबल किया गया है)। इंटीग्रल्स का योग चरण-स्थान तत्व में या बाहर प्रजातियों के कणों के प्रवेश और निकास का वर्णन करता है।

== एप्लीकेशन और एक्सटेंशन ==

=== संरक्षण समीकरण ===

द्रव्यमान, आवेश, संवेग और ऊर्जा के लिए तरल गतिशील संरक्षण नियम को प्राप्त करने के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण का उपयोग किया जा सकता है।<ref name="dG1984">{{cite book |last1=de Groot |first1=S. R.|last2=Mazur|first2=P.|title=गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स|year=1984 |publisher=Dover Publications Inc. |location=New York |isbn=978-0-486-64741-8}}</ref>{{rp|p=163}} केवल इस प्रकार के कण से बने द्रव के लिए, संख्या घनत्व {{mvar|n}} द्वारा दिया गया है
<math display="block">n = \int f \,d^3\mathbf{p}.</math>
किसी भी फंक्शन का औसत मूल्य {{math|''A''}} है
<math display="block">\langle A \rangle = \frac 1 n \int A f \,d^3\mathbf{p}.</math>
चूंकि संरक्षण समीकरणों में टेन्सर सम्मलित हैं, आइंस्टीन समेशन कन्वेंशन का उपयोग किया जाएगा, जहां किसी उत्पाद में दोहराए गए इंडेक्स इनके इंडेक्स पर योग का संकेत देते हैं। इस प्रकार <math>\mathbf{x} \mapsto x_i</math> और <math>\mathbf{p} \mapsto p_i = m w_i</math>, कहां <math>w_i</math> कण वेग वेक्टर है। परिभाषित करना <math>A(p_i)</math> गति के कुछ कार्य के रूप में <math>p_i</math> केवल, जो टकराव में संरक्षित है। यह भी मान लें कि बल <math>F_i</math> केवल स्थिति का कार्य है, और वह f शून्य है <math>p_i \to \pm\infty</math>. बोल्ट्ज़मैन समीकरण को A से गुणा करने और गति से अधिक एकीकरण करने से चार पद प्राप्त होते हैं, जिन्हें भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है

<math display="block">\int A \frac{\partial f}{\partial t} \,d^3\mathbf{p} = \frac{\partial }{\partial t} (n \langle A \rangle),</math><math display="block">\int \frac{p_j A}{m}\frac{\partial f}{\partial x_j} \,d^3\mathbf{p} = \frac{1}{m}\frac{\partial}{\partial x_j}(n\langle A p_j \rangle),</math><math display="block">\int A F_j \frac{\partial f}{\partial p_j} \,d^3\mathbf{p} = -n F_j\left\langle \frac{\partial A}{\partial p_j}\right\rangle,</math><math display="block">\int A \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{coll} \,d^3\mathbf{p} = 0,</math>
जहाँ अंतिम पद शून्य है, चूँकि {{math|''A''}} टकराव में संरक्षित है। के मान {{math|''A''}} वेग के आघूर्ण (गणित) के अनुरूप <math>v_i</math> (और गति <math>p_i</math>, क्योंकि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं)।

==== शून्य क्षण ====

<math>A = m(v_i)^0 = m</math> द्वारा दिए गए कण का द्रव्यमान, एकीकृत बोल्ट्जमैन समीकरण द्रव्यमान समीकरण का संरक्षण बन जाता है:<ref name="dG1984" />{{rp|pp=12,168}}
<math display="block">\frac{\partial}{\partial t}\rho + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho V_j) = 0,</math>
जहां <math>\rho = mn</math> द्रव्यमान घनत्व है, और <math>V_i = \langle w_i\rangle</math> औसत द्रव वेग है।

==== पहला क्षण ====

<math>A = m(v_i)^1 = p_i</math>, कण की गति, एकीकृत बोल्ट्जमैन समीकरण संवेग समीकरण का संरक्षण बन जाता है:<ref name="dG1984" />{{rp|pp=15,169}}

<math display="block">\frac{\partial}{\partial t}(\rho V_i) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho V_i V_j+P_{ij}) - n F_i = 0,</math>
जहां <math>P_{ij} = \rho \langle (w_i-V_i) (w_j-V_j) \rangle</math> [[ दबाव |दबाव]] टेंसर ([[ चिपचिपा तनाव टेंसर |चिपचिपा तनाव टेंसर]] प्लस हाइड्रोस्टैटिक दबाव) है।

==== दूसरा क्षण ====

<math>A = \frac{m(v_i)^2}{2} = \frac{p_i p_i}{2m}</math>, कण की [[ गतिज ऊर्जा |गतिज ऊर्जा]] , एकीकृत बोल्ट्जमैन समीकरण ऊर्जा समीकरण का संरक्षण बन जाता है:<ref name="dG1984" />{{rp|pp=19,169}}

<math display="block">\frac{\partial}{\partial t}(u + \tfrac{1}{2}\rho V_i V_i) + \frac{\partial}{\partial x_j} (uV_j + \tfrac{1}{2}\rho V_i V_i V_j + J_{qj} + P_{ij}V_i) - nF_iV_i = 0,</math>
जहां <math display="inline">u = \tfrac{1}{2} \rho \langle (w_i-V_i) (w_i-V_i) \rangle</math> गतिज तापीय ऊर्जा घनत्व है, और <math display="inline">J_{qi} = \tfrac{1}{2} \rho \langle(w_i - V_i)(w_k - V_k)(w_k - V_k)\rangle</math> ऊष्मा प्रवाह वेक्टर है।

=== [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी ]] ===

'''हैमिल्टनियन यांत्रिकी''' में, बोल्ट्जमैन समीकरण को अधिकांशतः अधिक सामान्य रूप से लिखा जाता है
<math display="block">\hat{\mathbf{L}}[f]=\mathbf{C}[f], </math>
जहां {{math|'''L'''}} [[ लिउविल ऑपरेटर |लिउविल ऑपरेटर]] है (लिउविल ऑपरेटर के बीचअसंगत परिभाषा है जैसा कि यहां परिभाषित किया गया है और लिंक किए गए आलेख में से है) इस चरण से अंतरिक्ष की मात्रा के विकास का वर्णन करता है और यहाँ {{math|'''C'''}} टक्कर संचालक है जिसका गैर-सापेक्ष रूप {{math|'''L'''}} है
<math display="block">\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{NR} = \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}}{m} \cdot \nabla + \mathbf{F}\cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}\,.</math>
=== क्वांटम सिद्धांत और कण संख्या संरक्षण का उल्लंघन ===

[[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत | क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] क्वांटम प्रणाली के लिए सापेक्षकीय [[ क्वांटम बोल्ट्जमैन समीकरण |क्वांटम बोल्ट्जमैन समीकरण]] लिखना संभव है जिसमें कणों की संख्या टकराव में संरक्षित नहीं होती है। भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में इसके कई अनुप्रयोग हैं,<ref name=KolbTurner>{{cite book|author1=Edward Kolb |author2=Michael Turner |name-list-style=amp|title=प्रारंभिक ब्रह्मांड|year=1990|publisher=Westview Press|isbn=9780201626742}}</ref> [[ बिग बैंग न्यूक्लियोसिंथेसिस |बिग बैंग न्यूक्लियोसिंथेसिस]] में प्रकाश तत्वों का निर्माण, [[ काला पदार्थ |काला पदार्थ]] और [[ बेरियोजेनेसिस |बेरियोजेनेसिस]] का उत्पादन सम्मलित है। यह प्राथमिकता स्पष्ट नहीं है किक्वांटम प्रणाली की स्थिति को मौलिक चरण अंतरिक्ष घनत्व F द्वारा वर्णित किया जा सकता है। चूंकि, अनुप्रयोगों कीविस्तृत श्रेणी के लिए F का अच्छी तरह से परिभाषित सामान्यीकरण सम्मलित है जोप्रभावी बोल्ट्जमान समीकरण का समाधान है जिसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पहले सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है।<ref name=BEfromQFT>{{cite journal|author1=M. Drewes |author2=C. Weniger |author3=S. Mendizabal |journal=Phys. Lett. B|date=8 January 2013|volume=718|issue=3|pages=1119–1124|doi=10.1016/j.physletb.2012.11.046|arxiv = 1202.1301 |bibcode = 2013PhLB..718.1119D |title=क्वांटम फील्ड थ्योरी से बोल्ट्जमान समीकरण|s2cid=119253828 }}</ref>
=== [[ सामान्य सापेक्षता | सामान्य सापेक्षता]] और खगोल विज्ञान ===

बोल्ट्जमैन समीकरण गांगेय गतिकी में उपयोग का है। आकाशगंगा, कुछ धारणाओं के अनुसार,सतत द्रव के रूप में सन्निकट हो सकती है; इसके बड़े पैमाने पर वितरण को f द्वारा दर्शाया गया है, आकाशगंगाओं में, तारों के बीच भौतिक टकराव बहुत कम होता है, और गुरुत्वीय टकरावों के प्रभाव को [[ ब्रह्मांड की आयु |ब्रह्मांड की आयु]] से कहीं अधिक लंबे समय तक उपेक्षित किया जा सकता है।

सामान्य सापेक्षता में इसका सामान्यीकरण।<ref>Ehlers J (1971) General Relativity and Cosmology (Varenna), R K Sachs (Academic Press NY);Thorne K S (1980) Rev. Mod. Phys., 52, 299; Ellis G F R, Treciokas R, Matravers D R, (1983) Ann. Phys., 150, 487}</ref> है
<math display="block">\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{GR} = p^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha} - \Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma} p^\beta p^\gamma \frac{\partial}{\partial p^\alpha},</math>
जहां {{math|Γ<sup>α</sup><sub>βγ</sub>}} दूसरी तरह का क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक है (यह मानता है कि कोई बाहरी बल नहीं हैं, जिससे कि कण टकराव की अनुपस्थिति में जियोडेसिक्स के साथ आगे बढ़ें), महत्वपूर्ण सूक्ष्मता के साथ कि घनत्व मिश्रित विपरीत-सहसंयोजक मेंकार्य है {{math|(''x<sup>i</sup>'', ''p<sub>i</sub>'')}} चरण स्थान पूरी तरह से विपरीत के विपरीत {{math|(''x<sup>i</sup>'', ''p<sup>i</sup>'')}} चरण स्थान।<ref>{{cite journal
 | last = Debbasch
 | first = Fabrice
 |author2=Willem van Leeuwen
 | title = सामान्य सापेक्षवादी बोल्ट्जमैन समीकरण I: सहपरिवर्ती उपचार| journal = Physica A
 | volume = 388
 | issue = 7
 | pages = 1079–1104
 | year = 2009|bibcode = 2009PhyA..388.1079D |doi = 10.1016/j.physa.2008.12.023 }}</ref><ref>{{cite journal
 | last = Debbasch
 | first = Fabrice
 | author2 = Willem van Leeuwen
 | title = सामान्य सापेक्षवादी बोल्ट्ज़मैन समीकरण II: प्रकट रूप से सहपरिवर्ती उपचार| journal = Physica A
 | volume = 388
 | issue = 9
 | pages = 1818–34
 | year = 2009 | bibcode = 2009PhyA..388.1818D | doi = 10.1016/j.physa.2009.01.009 }}</ref> भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण का अध्ययन करने के लिए पूरी तरह से सहसंयोजक दृष्टिकोण का उपयोग किया गया है।<ref>Maartens R, Gebbie T, Ellis GFR (1999). "Cosmic microwave background anisotropies: Nonlinear dynamics". Phys. Rev. D. 59 (8): 083506</ref> अधिक सामान्य रूप से [[ प्रारंभिक ब्रह्मांड |प्रारंभिक ब्रह्मांड]] में प्रक्रियाओं का अध्ययन अधिकांशतः [[ क्वांटम यांत्रिकी |क्वांटम यांत्रिकी]] और सामान्य सापेक्षता के प्रभावों को ध्यान में रखने का प्रयास करता है।<ref name=KolbTurner />[[ महा विस्फोट | महा विस्फोट]] के बाद आदिम प्लाज्मा द्वारा गठित बहुत घने माध्यम में, कण लगातार बनते और नष्ट होते रहते हैं। ऐसे वातावरण में [[ क्वांटम सुसंगतता |क्वांटम सुसंगतता]] और [[ तरंग क्रिया |तरंग क्रिया]] का स्थानिक विस्तार गतिशीलता को प्रभावित कर सकता है, जिससे यह संदेहास्पद हो जाता है कि क्या मौलिक चरण अंतरिक्ष वितरण f जो बोल्ट्जमैन समीकरण में प्रकट होता है, प्रणाली का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है। चूंकि, कई स्थितियों में, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पहले सिद्धांतों से सामान्यीकृत वितरण फंक्शन के लिए प्रभावी बोल्ट्जमैन समीकरण प्राप्त करना संभव है।<ref name=BEfromQFT /> इसमें बिग बैंग न्यूक्लियोसिंथेसिस में प्रकाश तत्वों का निर्माण, डार्क मैटर और बेरियोजेनेसिस का उत्पादन सम्मलित है।

== समीकरण को हल करना ==
कुछ स्थितियों में बोल्ट्ज़मान समीकरणों के सटीक समाधान सम्मलित सिद्ध हुए हैं;<ref>{{cite journal | doi=10.1090/S0894-0347-2011-00697-8 |arxiv=1011.5441 |title=कोणीय कट-ऑफ के बिना बोल्ट्जमैन समीकरण का वैश्विक शास्त्रीय समाधान|authors=Philip T. Gressman, Robert M. Strain |journal=Journal of the American Mathematical Society |volume=24 |issue=3 |year=2011 |page=771|s2cid=115167686 }}</ref> यह विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, लेकिन व्यावहारिक समस्याओं में सामान्यतः प्रयोग करने योग्य नहीं है।

इसके अतिरिक्त, द्रव यांत्रिकी में संख्यात्मक तरीकों ([[ परिमित तत्व |परिमित तत्वों]] और जाली बोल्ट्ज़मैन विधियों सहित) का उपयोग सामान्यतः बोल्ट्जमैन समीकरण के विभिन्न रूपों के अनुमानित समाधान खोजने के लिए किया जाता है। दुर्लभ गैस प्रवाह में [[ हाइपरसोनिक गति |हाइपरसोनिक गति]] से उदाहरण अनुप्रयोगों की सीमा होती है<ref>{{Cite journal|title = मैक्रोस्कोपिक गैस प्रवाह के लिए टकराव रहित और बीजीके रूपों में बोल्ट्ज़मैन गतिज समीकरण का एक विच्छिन्न परिमित तत्व समाधान|url = https://cronfa.swan.ac.uk/Record/cronfa6256|journal = Applied Mathematical Modelling|date = 2011-03-01|pages = 996–1015|volume = 35|issue = 3|doi = 10.1016/j.apm.2010.07.027|first1 = Ben|last1 = Evans|first2 = Ken|last2 = Morgan|first3 = Oubay|last3 = Hassan}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Evans|first1=B.|last2=Walton|first2=S.P.|date=December 2017|title=बोल्ट्ज़मैन-बीजीके समीकरण और विकासवादी अनुकूलन के समाधान के आधार पर एक हाइपरसोनिक रीएंट्री वाहन का वायुगतिकीय अनुकूलन|journal=Applied Mathematical Modelling|volume=52|pages=215–240 | doi=10.1016/j.apm.2017.07.024|issn=0307-904X | url=https://cronfa.swan.ac.uk/Record/cronfa34688}}</ref> प्लाज्मा प्रवाह के लिए।<ref>{{Cite journal|title = बोल्ट्ज़मैन समीकरण I का संख्यात्मक समाधान: टक्कर ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम सटीक अनुमान|journal = SIAM Journal on Numerical Analysis|date = 2000-01-01|issn = 0036-1429|pages = 1217–1245|volume = 37|issue = 4|doi = 10.1137/S0036142998343300|first1 = L.|last1 = Pareschi|first2 = G.|last2 = Russo|citeseerx = 10.1.1.46.2853}}</ref> इलेक्ट्रोडायनामिक्स में बोल्ट्जमैन समीकरण काअनुप्रयोग विद्युत चालकता की गणना है - परिणाम अग्रणी क्रम में अर्धशास्त्रीय परिणाम के समान है।<ref>H.J.W. Müller-Kirsten, Basics of Statistical Mechanics, Chapter 13, 2nd ed., World Scientific (2013), {{ISBN|978-981-4449-53-3}}.</ref>

गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी के पास स्थानीय ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन, बोल्ट्जमैन समीकरण के समाधान को नुडसन संख्या की शक्तियों में[[ स्पर्शोन्मुख विस्तार | स्पर्शोन्मुख विस्तार]] द्वारा दर्शाया जा सकता है (चैपमैन-एनस्कॉग सिद्धांत। चैपमैन-एनस्कॉग विस्तार)<ref>Sydney Chapman; Thomas George Cowling [https://books.google.com/books?id=JcjHpiJPKeIC&hl=en&source=gbs_navlinks_s The mathematical theory of non-uniform gases: an account of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction, and diffusion in gases], Cambridge University Press, 1970. {{ISBN|0-521-40844-X}}</ref>). इस विस्तार के पहले दो पद [[ यूलर समीकरण (द्रव गतिकी) |यूलर समीकरण (द्रव गतिकी)]] और नेवियर-स्टोक्स समीकरण देते हैं। उच्च पदों में विलक्षणताएँ होती हैं। गणितीय रूप से सीमित प्रक्रियाओं को विकसित करने की समस्या, जो एटमिस्टिक व्यू (बोल्ट्ज़मान के समीकरण द्वारा प्रस्तुत) से निरंतरता की गति के नियमों तक ले जाती है, हिल्बर्ट की छठी समस्या का महत्वपूर्ण भाग है।<ref>{{cite journal | doi = 10.1098/rsta/376/2118 | volume=376 | year=2018 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A | title = थीम मुद्दा 'हिल्बर्ट की छठी समस्या'| issue=2118 | doi-access=free }}</ref>
== बोल्ट्जमैन समीकरण की सीमाएं और आगे के उपयोग ==
'''बोल्ट्जमैन समीकरण''' केवल कई धारणाओं के अनुसार मान्य है। उदाहरण के लिए, कणों को बिंदु जैसा अर्थात बिना परिमित आकार का माना जाता है। बोल्ट्जमैन समीकरण का सामान्यीकरण सम्मलित है जिसे एनस्कॉग समीकरण कहा जाता है।<ref name="sciencedirect.com">{{Cite web |title=Enskog समीकरण - एक सिंहावलोकन {{!}} ScienceDirect विषय|url=https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/enskog-equation |access-date=2022-05-10 |website=www.sciencedirect.com}}</ref> टक्कर शब्द को एन्स्कोग समीकरणों में संशोधित किया गया है जैसे कि कणों का परिमित आकार, उदाहरण के लिए कणनिश्चित त्रिज्या वाले क्षेत्र हो सकते हैं।

कणों के लिए स्थानांतरीय गति के अतिरिक्त और किसी प्रकार की स्वतंत्रता की कल्पना नहीं की जाती है। यदि स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री है, तो बोल्ट्जमैन समीकरण को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए और इसमें अयोग्य टकराव हो सकते हैं।<ref name="sciencedirect.com"/>

[[ तरल |तरल]] पदार्थ या सघन गैसों जैसे कई वास्तविक तरल पदार्थों में टकराव के अधिक जटिल रूपों के ऊपर उल्लिखित सुविधाओं के अतिरिक्त, न केवल बाइनरी, बल्कि टर्नरी और उच्च क्रम के टकराव भी होंगे।<ref>{{cite arXiv |last1=van Noije |first1=T. P. C. |last2=Ernst |first2=M. H. |date=1997-06-03 |title=एक आदर्श दानेदार गैस के लिए रिंग काइनेटिक थ्योरी|eprint=cond-mat/9706020 }}</ref> इन्हें [[ बीबीजीकेवाई पदानुक्रम |बीबीजीकेवाई पदानुक्रम]] का उपयोग करके प्राप्त किया जाना चाहिए।

सेल (जीव विज्ञान) के संचलन के लिए बोल्ट्जमैन जैसे समीकरणों का भी उपयोग किया जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Chauviere, A.; Hillen, T.; Preziosi, L. |date=2007 |title=अनिसोट्रोपिक और विषम नेटवर्क ऊतकों में मॉडलिंग सेल आंदोलन|url=https://www.aimsciences.org/article/doi/10.3934/nhm.2007.2.333 |journal=American Institute of Mathematical Sciences |volume=2 |issue= 2|pages=333–357|doi= 10.3934/nhm.2007.2.333}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Conte |first1=Martina |last2=Loy |first2=Nadia |date=2022-02-12 |title=केमोटैक्सिस के साथ फाइबर नेटवर्क पर सेल माइग्रेशन के लिए नॉन-लोकल सेंसिंग के साथ मल्टी-क्यू काइनेटिक मॉडल|url=https://doi.org/10.1007/s11538-021-00978-1 |journal=Bulletin of Mathematical Biology |language=en |volume=84 |issue=3 |pages=42 |doi=10.1007/s11538-021-00978-1 |issn=1522-9602 |pmc=8840942 |pmid=35150333}}</ref> चूंकि कोशिकाएं संमिश्र कण हैं जो स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री को ले जाती हैं, सामान्यीकृत बोल्ट्ज़मैन समीकरणों में अनैच्छिक टक्कर अभिन्न अंग होने चाहिए। इस तरह के समीकरण ऊतक, [[ रूपजनन |रूपजनन]] और केमोटैक्सिस-संबंधी प्रभावों में [[ कैंसर |कैंसर]] कोशिकाओं के आक्रमण का वर्णन कर सकते हैं।

== यह भी देखें ==
{{Div col|colwidth=20em}}
* व्लासोव समीकरण
* व्लासोव समीकरण व्लासोव-पोएसन समीकरण या व्लासोव-पोएसन समीकरण
* फोकर-प्लैंक समीकरण
* विलियम्स स्प्रे समीकरण|विलियम्स-बोल्ट्जमैन समीकरण
* लैटिस बोल्ट्ज़मन पद्धतियाँ असतत LBE से नेवियर-स्टोक्स समीकरण की व्युत्पत्ति| LBE से नेवियर-स्टोक्स समीकरण की व्युत्पत्ति
* जीन्स समीकरण बोल्ट्जमैन समीकरण से व्युत्पत्ति
* जीन्स की प्रमेय
* [[ एच-प्रमेय ]]

{{Div col end}}

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|40em}}


==संदर्भ==
* {{cite book 
 | last1= Harris
 | first1= Stewart
 | title= An introduction to the theory of the Boltzmann equation | publisher=Dover Books|pages=221 | year= 1971 | isbn=978-0-486-43831-3|url=https://books.google.com/books?id=KfYK1lyq3VYC}}. Very inexpensive introduction to the modern framework (starting from a formal deduction from Liouville and the Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hierarchy (BBGKY) in which the Boltzmann equation is placed). Most statistical mechanics textbooks like Huang still treat the topic using Boltzmann's original arguments. To derive the equation, these books use a heuristic explanation that does not bring out the range of validity and the characteristic assumptions that distinguish Boltzmann's from other transport equations like [[Fokker–Planck equation|Fokker–Planck]] or [[Landau equation]]s.

* {{cite journal | last1= Arkeryd | first1= Leif | title= On the Boltzmann equation part I: Existence | journal= Arch. Rational Mech. Anal. | volume= 45 | issue= 1 | pages= 1–16 | year= 1972 | doi = 10.1007/BF00253392 | bibcode = 1972ArRMA..45....1A | s2cid= 117877311 }}
* {{cite journal 
 | last1= Arkeryd 
 | first1= Leif 
 |author1-link= Leif Arkeryd
 | title= On the Boltzmann equation part II: The full initial value problem | journal= Arch. Rational Mech. Anal. | volume= 45 | issue= 1 
 | pages= 17–34 | year= 1972 | doi = 10.1007/BF00253393 | bibcode = 1972ArRMA..45...17A | s2cid= 119481100 
 }}
* {{cite journal | last1= Arkeryd | first1= Leif | title= On the Boltzmann equation part I: Existence | journal= Arch. Rational Mech. Anal. | volume= 45 | issue= 1 | pages= 1–16 | year= 1972 | doi = 10.1007/BF00253392 | bibcode = 1972ArRMA..45....1A | s2cid= 117877311 }}
* {{cite journal | last1=DiPerna | first1= R. J. |last2 = Lions | first2 = P.-L. | title= On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability | journal= Ann. of Math. |series= 2 | volume=130 | issue= 2 | pages= 321–366 | year=1989 | doi=10.2307/1971423| jstor= 1971423 }}



*
==बाहरी कड़ियाँ==
* [http://homepage.univie.ac.at/franz.vesely/sp_english/sp/node7.html The Boltzmann Transport Equation by Franz Vesely]
* [https://web.archive.org/web/20151123214334/http://www.upenn.edu/pennnews/news/university-pennsylvania-mathematicians-solve-140-year-old-boltzmann-equation-gaseous-behaviors Boltzmann gaseous behaviors solved]

{{Statistical mechanics topics}}

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