View source for मोत्ज़किन संख्या

{{Infobox integer sequence
| named_after = थियोडोर मोत्जकिन
| publication_year = 1948
| author = थियोडोर मोत्जकिन
| terms_number = [[अनंत]]
| formula = [[#गुण|गुण]] देखा जाता हैं
| first_terms = 1, [[1 (number)|1]], [[2 (number)|2]], [[4 (number)|4]], [[9 (number)|9]], [[21 (number)|21]], [[51 (number)|51]]
| OEIS = A001006
| OEIS_name = मोत्जकिन
}}
गणित में, {{mvar|n}}वें '''मोत्जकिन संख्या''' एक वृत्त पर {{mvar|n}} बिंदु (आवश्यक नहीं कि प्रत्येक बिंदु को जीवा से स्पर्श किया जाता हैं) के बीच अप्रतिछेदी जीवा खींचने के विभिन्न प्रकारो की संख्या है। मोत्जकिन संख्याओं का नाम [[थिओडोर मोत्ज़किन]] के नाम पर रखा गया है और [[ज्यामिति]], [[साहचर्य]] और [[संख्या सिद्धांत]] में इसके विविध अनुप्रयोग हैं।

मोत्ज़किन संख्याएँ <math>M_n</math> के लिए <math>n = 0, 1, \dots</math> अनुक्रम बनाया जाता हैं:

: 1, [[1 (संख्या)|1]], [[2 (संख्या)|2]], [[4 (संख्या)|4]], [[9 (संख्या)|9]], [[21 (संख्या)|21]], [[51 (संख्या)|51]], [[127 (संख्या)|127]], 323, 835, ... {{OEIS|id=A001006}}

== उदाहरण ==

निम्नलिखित चित्र वृत्त ({{math|1=''M''<sub>4</sub> = 9}}) पर 4 बिंदुओं के बीच अप्रतिछेदी जीवाएँ खींचने के 9 प्रकारो को दिखाता है:

:[[Image:MotzkinChords4.svg]]निम्नलिखित चित्र वृत्त {{math|1=''M''<sub>5</sub> = 21}} पर 5 बिंदुओं के बीच अप्रतिछेदी जीवाएँ खींचने के 21 प्रकारो को दिखाता है:

:[[Image:MotzkinChords5.svg]]

== गुण ==

मोत्ज़किन संख्याएँ [[पुनरावृत्ति संबंध|पुनरावृत्ति सम्बन्धो]] को संतुष्ट करती हैं

:<math>M_{n}=M_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}M_iM_{n-2-i}=\frac{2n+1}{n+2}M_{n-1}+\frac{3n-3}{n+2}M_{n-2}.</math>
मोत्ज़किन संख्याओं को [[द्विपद गुणांक]] और [[कैटलन संख्या|कैटलन संख्याओं]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

:<math>M_n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} C_k,</math>
और इसके विपरीत,<ref>{{cite journal|last1=Yi Wang and Zhi-Hai Zhang|title=सामान्यीकृत मोट्ज़किन संख्याओं का संयोजन| journal=Journal of Integer Sequences|issue=18|date=2015|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Wang/wang21.pdf}}</ref>
:<math>C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} M_k</math>
यह देता है

:<math>\sum_{k=0}^{n}C_{k} = 1 + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} M_{k-1}.</math>
जनक फलन <math>m(x) = \sum_{n=0}^\infty M_n x^n</math> को मोत्ज़किन संख्याएँ संतुष्ट करती हैं
:<math>x^2 m(x)^2 + (x - 1) m(x) + 1 = 0</math>
और स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है
:<math>m(x) = \frac{1-x-\sqrt{1-2x-3x^2}}{2x^2}.</math>
मोत्ज़किन संख्याओं का अभिन्न प्रतिनिधित्व किया गया है
:<math>M_{n}=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(x)^2(2\cos(x)+1)^n dx</math>.

उनका व्यवहार अनन्तस्पर्शी है
:<math>M_{n}\sim \frac{1}{2 \sqrt{\pi}}\left(\frac{3}{n}\right)^{3/2} 3^n,~ n \to \infty</math>.

मोत्ज़किन अभाज्य एक मोत्ज़किन संख्या है जो [[अभाज्य संख्या]] है। {{Asof|2019}}, केवल चार ऐसे अभाज्य ज्ञात हैं:

: 2, 127, 15511, 953467954114363 {{OEIS|id=A092832}}

== संयोगिक व्याख्याएँ ==

{{mvar|n}} के लिए मोत्जकिन संख्या {{math|1=''n'' &minus; 1}} लंबाई के धनात्मक पूर्णांक अनुक्रमों की संख्या भी है जिसमें प्रारंभिक और अंतिम अवयव या तो 1 या 2 हैं, और किन्हीं दो क्रमागत अवयवों के बीच का अंतर −1, 0 या 1 है। समान रूप से, {{mvar|n}} मोत्ज़किन संख्या {{math|1=''n'' + 1}} लंबाई के धनात्मक पूर्णांक अनुक्रमों की संख्या है जिसमें प्रारंभिक और अंतिम अवयव 1 हैं, और किन्हीं दो क्रमागत अवयवों के बीच का अंतर −1, 0 या 1 है।

इसके अतिरिक्त, {{mvar|n}} के लिए मोत्जकिन संख्या {{mvar|n}} चरण में निर्देशांक (0, 0) से निर्देशांक ({{mvar|n}}, 0) तक ग्रिड के ऊपरी दाएं चतुर्थांश पर मार्गों की संख्या देता है यदि किसी को प्रत्येक चरण पर केवल दाईं ओर (ऊपर, नीचे या सीधे) जाने की अनुमति है लेकिन नीचे {{mvar|y}} = 0 अक्ष पर नहीं जाने दिया जाता हैं। 

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित चित्र (0, 0) से (4, 0) तक 9 वैध मोत्ज़किन पथ दिखाता है:

:[[Image:Motzkin4.svg]]जैसा कि गणना की गई है, गणित की विभिन्न शाखाओं में मोत्ज़किन संख्याओं की कम से कम चौदह अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ हैं जो मोत्ज़किन संख्याओं के अपने सर्वेक्षण में {{harvtxt|डोनाघे|शापिरो |1977}} द्वारा प्रागणित किया गया हैं। 
{{harvtxt|गुइबर्ट|पर्गोला|पिंजानि|2001}} ने दिखाया कि [[ वेक्सिलरी इन्वोल्यूशन |वेक्सिलरी प्रत्यावर्तन]] की गणना मोत्ज़किन संख्याओं द्वारा की जाती है।

==यह भी देखें==
* [[टेलीफोन नंबर (गणित)|टेलीफोन संख्या]] जो प्रतिच्छेदन की अनुमति होने पर जीवाएँ बनाने के प्रकारो की संख्या को दर्शाता है
* [[डेलानॉय नंबर|डेलानॉय संख्या]] 
*[[नारायण संख्या]]
* श्रोडर संख्या

==संदर्भ==
{{Reflist}}
* {{citation
 | last = Bernhart
 | first = Frank R.
 | title = Catalan, Motzkin, and Riordan numbers 
 | journal = [[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]
 | volume = 204
 | year = 1999
 | pages = 73–112
 | doi = 10.1016/S0012-365X(99)00054-0
 | issue = 1–3| doi-access = free
 }}
* {{citation
 | last1 = Donaghey
 | first1 = R.
 | last2 = Shapiro
 | first2 = L. W.
 | title = Motzkin numbers
 | journal = [[Journal of Combinatorial Theory]] | series = Series A
 | volume = 23
 | issue = 3
 | year = 1977
 | pages = 291–301
 | mr = 0505544
 | doi = 10.1016/0097-3165(77)90020-6| doi-access = free
 }}
* {{Citation | last1=Guibert | first1=O. | last2=Pergola | first2=E. | last3=Pinzani | first3=R. | title=Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers | doi=10.1007/PL00001297 | year=2001 | journal=Annals of Combinatorics | issn=0218-0006 | volume=5 | issue=2 | pages=153–174 | mr=1904383| s2cid=123053532 }}
* {{citation
 | last = Motzkin
 | first = T. S. | author-link = Theodore Motzkin
 | title = Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | volume = 54
 | year = 1948
 | pages = 352–360
 | doi = 10.1090/S0002-9904-1948-09002-4
 | issue = 4| doi-access = free
 }}


==बाहरी संबंध==
* {{MathWorld|title=Motzkin Number|urlname=MotzkinNumber}}

{{Classes of natural numbers}}

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[[Category:Articles containing potentially dated statements from 2019]]
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