View source for रैंकिन-ह्यूगोनियट की स्थिति

[[File:Rankine Hugoniot Shock.png|thumb|200px|घनत्व के साथ प्रघाती तरंग स्थिति का योजनाबद्ध आरेख <math>\rho</math>, वेग <math>u</math>, और तापमान <math>T</math> प्रत्येक क्षेत्र के लिए संकेत दिया।]]'''''रैंकिन-ह्यूगोनियट की स्थिति''''', जिसे रैन्किन ह् यूगोनियो प्लुति की की स्थिति या रैंकिन-ह्यूगोनियट संबंधों के रूप में भी जाना जाता है, प्रघाती तरंग के दोनों किनारों पर अवस्थाओ के बीच संबंधों का वर्णन करता है ( उद्दहन या अधिस्फोटी) या तरल पदार्थ में एकविम प्रवाह या ठोस पदार्थों में एक-आयामी विरूपण में एक दहन तरंग है। उनका नाम स्कॉटिश इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी विलियम जॉन मैककॉर्न रैंकिन<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#:~:text=John%20Macquorn%20Rankine-,%5B1%5D,-and%20French%20engineer</ref> और फ्रांसीसी इंजीनियर पियरे हेनरी ह्यूगोनियोट<ref name= [Hug-87]>{{Cite journal|last=Hugoniot |first=H. |author-link=Pierre Henri Hugoniot |year=1887 |language=fr |title=निकायों में आंदोलनों के प्रसार पर संस्मरण, विशेष रूप से सही गैसें (पहला भाग)|url=https://books.google.com/books?id=wccAAAAAYAAJ&pg=PA3|journal=[[Journal de l'École Polytechnique]] |volume=57 |pages=3–97}} इन्हें भी देखें: ह्यूगोनियोट, एच. (1889) [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4337130/f5.image मेमॉयर ऑन द प्रोपेगेशन ऑफ़ मूवमेंट्स इन बॉडीज़ एंड ख़ासकर इन आइडियल गैस्स (दूसरा भाग ) ] [निकायों में गति के प्रसार पर संस्मरण, विशेष रूप से पूर्ण गैसें (दूसरा भाग)], जर्नल डे ल'कोले पॉलिटेक्निक, वॉल्यूम। 58, पृष्ठ 1–125।</ref><ref name= [Sal-06] >{{Cite web|last=Salas |first=M. D. |year=2006 |title=द क्यूरियस इवेंट्स लीडिंग टू द थ्योरी ऑफ़ शॉक वेव्स, आमंत्रित व्याख्यान,'' 17वीं शॉक इंटरेक्शन संगोष्ठी'', रोम'', 4–8 सितंबर।|url=https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20060047586_2006228914.pdf}}</ref> द्वारा किए गए कार्यों की पहचान के लिए रखा गया है।

निर्देशांक प्रणाली में जो विच्छिन्नता के साथ विचलन करती है, रैंकिन-ह्यूगोनियट स्थितियों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#:~:text=be%20expressed%20as%3A-,%5B4%5D,-%EF%BF%BD</ref>:

:{|
 | style="text-align: right; padding-right: 1em;" | <math>\rho_1\,u_1 = \rho_2\,u_2 \equiv m</math>
 | द्रव्यमान का संरक्षण
 |-
 | style="text-align: right; padding-right: 1em;" | <math>\rho_1\,u_1^2 + p_1 = \rho_2\,u_2^2 + p_2</math>
 | संवेग का संरक्षण
 |-
 | style="text-align: right; padding-right: 1em;" | <math>h_1 + \frac{1}{2}u_1^2 = h_2 + \frac{1}{2}u_2^2</math>
 | ऊर्जा का संरक्षण
 |}
जहां m प्रति इकाई क्षेत्र में द्रव्यमान प्रवाह दर है, ''ρ''<sub>1</sub> और ''ρ''<sub>2</sub> तरंग के प्रतिप्रवाह और अनुप्रवाह द्रव का द्रव्यमान घनत्व है, ''u''<sub>1</sub> और ''u''<sub>2</sub> तरंग के प्रतिप्रवाह और अनुप्रवाह द्रव वेग हैं, और ''ρ''<sub>1</sub> और ''ρ''<sub>2</sub> दबाव के दो क्षेत्र हैं, और ''h''<sub>1</sub> और ''h''<sub>2</sub> दो क्षेत्रों में विशिष्ट (प्रति इकाई द्रव्यमान की दिशा के साथ) एन्थैल्पी हैं। यदि इसके अतिरिक्त, प्रवाह प्रतिघाती है, तो वर्ग संरक्षण समीकरण इसकी अपेक्षा करते हैं

:<math>\omega_{i,1}=\omega_{i,2}=0,\quad i = 1,2,3,\dots,N, \qquad \text{Conservation of species}</math>
प्रतिप्रवाह और असांतत्य के अनुप्रवाह दोनों को नष्ट करने के लिए यहाँ, <math>\omega</math> प्रतिक्रिया में सम्मिलित कुल N वर्गों की i-वे वर्गों की बड़े पैमाने पर उत्पादन दर है। द्रव्यमान और संवेग के संरक्षण का संयोजन हमें देता है

:<math>\frac{p_2-p_1}{1/\rho_2-1/\rho_1}=-m^2</math>
जो अल्बर्ट ए. माइकलसन और लॉर्ड रेले के नाम पर माइकलसन-रेले रेखा के रूप में पहचानी जाने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, जिसके (चूंकि <math>m^2</math> सदैव धनात्मक होता है)  <math>p-\rho^{-1}</math> तल में एक ऋणात्मक प्रवणता है। ''u''<sub>1</sub> और ''u''<sub>2</sub> को नष्ट करने के लिए द्रव्यमान और संवेग के संरक्षण के लिए रैंकिन-ह्यूगोनियट समीकरणों का उपयोग करते हुए, ऊर्जा के संरक्षण के लिए समीकरण को ह्यूगोनियोट समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
:<math>  h_2 - h_1 = \frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{\rho_2}+\frac{1}{\rho_1}\right)\,(p_2 - p_1).</math>
घनत्व के व्युत्क्रम को [[विशिष्ट आयतन]] <math>v=1/\rho</math> के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। इनके साथ ही अवस्था के प्रतिप्रवाह और अनुप्रवाह समीकरण के बीच के संबंध को निर्दिष्ट करना होगा
:<math>f(p_1,\rho_1,T_1,Y_{i,1})=f(p_2,\rho_2,T_2,Y_{i,2})</math>
जहाँ <math>Y_i</math> वर्गों का [[द्रव्यमान अंश (रसायन विज्ञान)]] है। अंत में, अवस्था का उष्मीय समीकरण <math>h=h(p,\rho,Y_i)</math> ज्ञात माना जाता है, अर्थात,
:<math>h(p_1,\rho_1,Y_{i,1})=h(p_2,\rho_2,Y_{i,2}).</math>


== सरलीकृत रैंकिन-ह्यूगोनियट संबंध<ref>Williams, F. A. (2018). Combustion theory. CRC Press.</ref>==
रैंकिन-ह्यूगोनियट समीकरणों को सरल बनाने के लिए निम्नलिखित धारणाएँ बनाई गई हैं। यह माना जाता है कि मिश्रण आदर्श गैस नियम का अनुसरण करता है, ताकि स्थिति के अनुप्रवाह और ऊर्ध्वप्रवाह समीकरण के बीच संबंध को इस प्रकार लिखा जा सके

:[[File:Hugoniot curves.pdf|thumb|ह्यूगोनियट वक्र <math>{\displaystyle \gamma =1.4}</math> के लिए। छायांकित क्षेत्र अप्राप्य है क्योंकि रेले रेखा में एक धनात्मक प्रवणता <math>({\displaystyle \mu <0})</math> है।]]<math>\frac{p_2}{\rho_2T_2}=\frac{p_1}{\rho_1T_1}=\frac{R}{\overline W}</math>
जहाँ <math>R</math> [[सार्वभौमिक गैस स्थिरांक]] और औसत आणविक भार <math>\overline W</math> स्थिर माना जाता है (अन्यथा, <math>\overline W</math> सभी वर्गों के द्रव्यमान अंश पर निर्भर करेगा)। यदि कोई मानता है कि निरंतर दबाव पर विशिष्ट ताप <math>c_p </math> तरंग के आगे भी स्थिर है, पूर्ण ऊष्मा में परिवर्तन (अवस्था का उष्मीय समीकरण) सरल रूप में लिखा जा सकता है

:<math>h_2-h_1 = -q + c_p(T_2-T_1)</math>
जहां उपरोक्त अभिव्यक्ति में पहला पद संकेत द्वारा प्रतिप्रवाह मिश्रण के प्रति इकाई द्रव्यमान में जारी ऊष्मा की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा पद संवेद्य ऊष्मन का प्रतिनिधित्व करता है। अवस्था के समीकरण का उपयोग करके तापमान को नष्ट करना और ह्यूगोनियोट समीकरण में एन्थैल्पी में परिवर्तन के लिए उपरोक्त पद को प्रतिस्थापित करना, केवल दबाव और घनत्व के संदर्भ में व्यक्त एक ह्यूगोनियोट समीकरण प्राप्त करता है,

:<math>\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)\left(\frac{p_2}{\rho_2}-\frac{p_1}{\rho_1}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\rho_2} + \frac{1}{\rho_1}\right)(p_2-p_1) = q,</math>
जहाँ <math>\gamma</math> विशिष्ट ऊष्मा अनुपात है। हगोनियट वक्र बिना ऊष्मा विमोचन (<math>q=0</math>) को प्रायः प्रघात ह्यूगोनियट कहा जाता है। रैले रेखा समीकरण के साथ, उपरोक्त समीकरण प्रणाली की स्थिति को पूरी तरह से निर्धारित करता है। इन दो समीकरणों को निम्नलिखित गैर-आयामी पैमानों को प्रस्तुत करके संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है,

:<math>\tilde p = \frac{p_2}{p_1},\quad \tilde v = \frac{\rho_1}{\rho_2}, \quad \alpha = \frac{q\rho_1}{p_1}, \quad \mu = \frac{m^2}{p_1\rho_1}.</math>
रेले रेखा समीकरण और ह्यूगोनियट समीकरण तब सरल हो जाते हैं

:<math>\begin{align}
  \frac{\tilde p-1}{\tilde v-1} &= -\mu \\
                       \tilde p &= \frac{[2\alpha + (\gamma+1)/(\gamma-1)]-\tilde v}{[(\gamma+1)/(\gamma-1)]\tilde v-1}.
\end{align}</math>
प्रतिप्रवाह स्थितियों को देखते हुए <math>\tilde v</math>-<math>\tilde p</math> उपरोक्त दो समीकरणों का प्रतिच्छेदन में <math>\tilde v</math>-<math>\tilde p</math> तल अनुप्रवाह की स्थिति निर्धारित करता है, प्रतिप्रवाह स्थिति बिंदु <math>(\tilde v,\tilde p)=(1,1)</math> के अनुरूप है। यदि कोई ऊष्मा विमोचन नहीं होता है, उदाहरण के लिए, रासायनिक प्रतिक्रिया के बिना आघात तरंगें, तब <math>\alpha=0</math> ह्यूगोनियट रेखाओं के लिए अनंतस्पर्शी <math>\tilde v = (\gamma-1)/(\gamma+1)</math> और <math>\tilde p=-(\gamma-1)/(\gamma+1)</math> को वक्रित करता है, जो चित्र में असतत रेखाओं के रूप में दर्शाए गए हैं। जैसा कि चित्र में उल्लेख किया गया है, केवल इन दो स्पर्शोन्मुखों से परिबद्ध सफेद क्षेत्र की स्वीकृति होती है ताकि <math>\mu</math> धनात्मक है। प्रघात तरंगें और विस्फोट शीर्ष-बाएं <math>\tilde p>1</math> और <math>\tilde v<1</math> सफेद क्षेत्र के अनुरूप होते हैं, अर्थात दबाव बढ़ता है और विशिष्ट मात्रा तरंग के आगे कम हो जाती है (विस्फोट के लिए चैपमैन-जौगेट स्थिति वह है जहां रेले रेखा ह्यूगोनियट वक्र के स्पर्शरेखा है)। दूसरी ओर, अपस्फीति नीचे-दाहिने सफेद क्षेत्र <math>\tilde p<1</math> और <math>\tilde v>1</math>के अनुरूप होती है। अर्थात्, दबाव कम हो जाता है और तरंग के आगे विशिष्ट आयतन कम हो जाता है; और दबाव भी कम हो जाता है और आवेग सामान्य रूप से बहुत कम होता है जिसे अपस्फीति का अध्ययन करते समय संभव्यता ही कभी माना जाता है।

प्रघाती तरंगों और विस्फोटों के लिए, तरंग में दबाव <math>0\leq \tilde p<\infty</math> में वृद्धि के बीच कोई भी मान हो सकता है; रेले रेखा की प्रवणता जितनी अधिक होगी, तरंग उतनी ही प्रबल होगी। इसके विपरीत, यहाँ विशिष्ट आयतन अनुपात <math>(\gamma-1)/(\gamma+1)\leq \tilde v \leq 2\alpha + (\gamma+1)/(\gamma-1)</math>परिमित अंतराल तक ही सीमित है (ऊपरी सीमा स्थिति <math>\tilde p\rightarrow 0</math> के लिए ली गई है क्योंकि दबाव ऋणात्मक मान नहीं ले सकता)। यदि <math>\gamma=1.4</math> (कंपनिक विधा वृद्धि के बिना द्वि-परमाणुक गैस) अंतराल है, दूसरे शब्दों में <math>1/6\leq \tilde v\leq 2\alpha + 6</math>, प्रघाती तरंग घनत्व को अधिकतम 6 गुणक से बढ़ा सकती है। एक-परमाणुक गैस <math>\gamma=5/3</math> के लिए, <math>1/4\leq \tilde v\leq 2\alpha + 4</math> अनुमत अंतराल है। कंपनिक विधा के साथ द्वि-परमाणुक गैसों के लिए <math>\gamma=9/7</math>, हमारे पास है, अंतराल के लिए मुख्य <math>1/8\leq \tilde v\leq 2\alpha + 8</math> है। वास्तव में, आणविक पृथक्करण और आयनीकरण के कारण प्रघाती तरंग में विशिष्ट ऊष्मा अनुपात स्थिर नहीं होता है, लेकिन इन स्थितियों में भी, सामान्य रूप से घनत्व अनुपात लगभग एक कारक <math>11-13</math> से अधिक नहीं होता है।<ref>Zel’Dovich, Y. B., & Raizer, Y. P. (2012). Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena. Courier Corporation.</ref>


==यूलर समीकरणों से व्युत्पत्ति==
आयामी कंटेनर (जैसे, एक लंबी पतली नलिका) में गैस पर विचार करें। मान लें कि द्रव अश्यानता प्रवाह है (अर्थात, यह कोई श्यानता प्रभाव नहीं दिखाता है, उदाहरण के लिए नलिका की भित्ति के साथ घर्षण)। इसके अतिरिक्त, मान लें कि संचरण या विकिरण द्वारा कोई ऊष्मा हस्तांतरण नहीं होता है और गुरुत्वाकर्षण त्वरण को उपेक्षित किया जा सकता है। इस तरह की प्रणाली को [[संरक्षण कानून (भौतिकी)|संरक्षण नियम (भौतिकी)]] की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे 1D [[यूलर समीकरण (द्रव गतिकी)]] के रूप में जाना जाता है, जो कि संरक्षण रूप में है:

{{NumBlk|:|<math> \frac{\partial\rho}{\partial t} \;\; = -\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho u\right)</math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math> \frac{\partial}{\partial t}(\rho u) \, = -\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho u^2 + p\right)</math>|{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk|:|<math> \frac{\partial}{\partial t}\left(E^t\right) =  -\frac{\partial}{\partial x}\left[u\left(E^t + p\right)\right],</math>|{{EquationRef|3}}}}

जहाँ
*<math>\rho,</math> द्रव द्रव्यमान घनत्व,
*<math>u,</math> द्रव [[वेग]],
*<math>e,</math> द्रव की विशिष्ट [[आंतरिक ऊर्जा]],
*<math>p,</math> द्रव [[दबाव]], और
*<math>E^t = \rho e + \rho\tfrac{1}{2}u^2,</math> द्रव का कुल ऊर्जा घनत्व है, [J/m<sup>3</sup>], जबकि ''e'' इसकी विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा है

आगे मान लें कि गैस कैलोरिक की दृष्टि से आदर्श है और इसलिए सरल रूप की स्थिति का एक बहुपद समीकरण है

{{NumBlk|:|<math> p = \left(\gamma - 1\right)\rho e,</math>|{{EquationRef|4}}}}

प्रमाणित है, जहाँ <math>\gamma</math> विशिष्ट ऊष्मा <math>c_p/c_v</math> का स्थायी अनुपात है। यह मात्रा द्वारा वर्णित बहुदैशिक प्रक्रिया के बहुदैशिक घातांक के रूप में भी दिखाई देती है

{{NumBlk|:|<math> \frac{p}{\rho^\gamma} = \text{constant}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

संपीड़ित प्रवाह समीकरणों आदि की विस्तृत सूची के लिए, वैमानिकी के लिए राष्ट्रीय सलाहकार समिति रिपोर्ट 1135 (1953) देखें।<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#:~:text=Report%201135%20(1953).-,%5B7%5D,-Note%3A%20For%20a</ref> 

नोट: कैलोरिक की दृष्टि से आदर्श गैस के लिए <math>\gamma </math> एक नियतांक है और तापीय दृष्टि से आदर्श गैस के लिये <math>\gamma </math> तापमान का फलन है। बाद के स्थिति में, द्रव्यमान घनत्व और आंतरिक ऊर्जा पर दबाव की निर्भरता समीकरण द्वारा दिए गए से भिन्न हो सकती है ({{EquationNote|4}})

=== प्लुति प्रतिबंध की स्थिति ===
आगे बढ़ने से पहले प्लुति की स्थिति की अवधारणा को प्रस्तुत करना आवश्यक है - एक ऐसी स्थिति जो एक अंतराल या अप्रत्याशित परिवर्तन पर होती है।

एक 1D स्थिति पर विचार करें जहां अदिश संरक्षित भौतिक मात्रा <math>w</math> में प्लुति आता है, जो समाकल संरक्षण नियम द्वारा नियन्त्रित है
{{NumBlk|:|<math> \frac{d}{dt} \int_{x_1}^{x_2}w \, dx = -f(w)\Big|_{x_1}^{x_2}</math>|{{EquationRef|6}}}}

किसी भी <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_1<x_2</math>, और, इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण द्वारा
{{NumBlk|:|<math> \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}f\left(w\right)=0</math>|{{EquationRef|6'}}}}

सरल समाधान के लिए।<ref>Note that the integral conservation law ({{EquationNote|6}}) could not, in general, be obtained from differential equation ({{EquationNote|6'}}) by integration over <math>[x_1;x_2]</math> because ({{EquationNote|6'}}) holds for smooth solutions only.</ref>

समाधान को <math>x=x_{s}(t)</math> पर प्लुति (या आघात) प्रदर्शित करने दें, जहाँ <math>x_{1} < x_{s}(t)</math> और <math>x_{s}(t) < x_{2}</math>, तब

{{NumBlk|:|<math> \frac{d}{dt}\left[ \left(\int_{x_1}^{x_s(t)}w \, dx + \int_{x_s(t)}^{x_2} w\,dx \right) \right] = -\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial}{\partial x}f\left(w\right)\,dx</math>|{{EquationRef|7}}}}
{{NumBlk|:|<math>\therefore w_1\frac{dx_s}{dt} - w_2\frac{dx_s}{dt} + \int_{x_1}^{x_s(t)} w_t \, dx + \int_{x_s(t)}^{x_2}w_t \, dx = -f(w)\Big|_{x_1}^{x_2}</math>|{{EquationRef|8}}}}

अधोलिखित 1 और 2 क्रमशः प्लुति के ठीक ऊपर और ठीक नीचे की ओर स्थितियों को इंगित करते हैं, अर्थात <math display="inline">w_1 = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} w\left(x_s - \epsilon\right)</math> और {{nowrap|<math display="inline">w_2 = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} w\left(x_s + \epsilon\right)</math>.}}

ध्यान दें, समीकरण पर पहुंचने के लिए ({{EquationNote|8}}) हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि <math>dx_1/dt = 0</math> और <math>dx_2/dt = 0</math>.

अब मान लीजिए <math>x_1 \to x_s(t) - \epsilon</math> और <math>x_2 \to x_s(t) + \epsilon</math>, जब <math display="inline">\int_{x_1}^{x_s(t)-\epsilon} w_t \, dx \to 0</math> और <math display="inline">\int_{x_s(t)+\epsilon}^{x_2} w_t \, dx \to 0</math> हमे प्राप्त है, और सीमा में

{{NumBlk|:|<math> u_s\left(w_1 - w_2\right) = f \left(w_1\right) - f \left(w_2\right),</math>|{{EquationRef|9}}}}

जहां हमने <math>u_s = dx_s(t)/dt </math> (प्रणाली की विशेषता या प्रघात गति) परिभाषित किया है, जिसे सरल विभाजन द्वारा दिया जाता है

{{NumBlk|:|<math> u_s =  \frac{f\left(w_1\right) - f\left(w_2\right)}{w_1 - w_2}.</math>|{{EquationRef|10}}}}

समीकरण ({{EquationNote|9}}) संरक्षण नियम के लिए प्लुति की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है ({{EquationNote|6}}) एक ऐसी प्रणाली में आघात की स्थिति उत्पन्न होती है जहां इसकी विशेषताएं प्रतिच्छेद करती हैं, और इन स्थितियों के अंर्तगत एक अद्वितीय एकल-मान समाधान के लिए एक आवश्यकता यह है कि समाधान को स्वीकार्यता की स्थिति या एन्ट्रापी स्थिति को पूरा करना चाहिए। भौतिक रूप से वास्तविक अनुप्रयोगों के लिए इसका तात्पर्य यह है कि समाधान को लैक एंट्रॉपी स्थिति को पूरा करना चाहिए

{{NumBlk|:|<math> f' \left(w_2\right) > u_s > f' \left( w_1 \right),</math>|{{EquationRef|11}}}}

जहाँ <math>f'\left(w_1\right)</math> और <math>f'\left(w_2\right)</math> क्रमशः प्रतिप्रवाह और अनुप्रवाह स्थितियों में विशिष्ट गति का प्रतिनिधित्व करते हैं।

=== प्रघाती प्रतिबंध ===
अतिपरवलयिक संरक्षण नियम के स्थिति में ({{EquationNote|6}}), हमने देखा है कि आघात की गति सामान्य विभाजन द्वारा प्राप्त की जा सकती है। हालाँकि, 1D यूलर समीकरणों के लिए ({{EquationNote|1}}), ({{EquationNote|2}}) और ({{EquationNote|3}}), हमारे पास सदिश स्थिति चर <math>\begin{bmatrix}\rho & \rho u & E\end{bmatrix}^\mathsf{T}</math>है, और प्लुति की स्थिति बन जाती है

{{NumBlk|:|<math> u_s\left(\rho_2 - \rho_1\right) = \rho_2 u_2 - \rho_1 u_1 </math>|{{EquationRef|12}}}}
{{NumBlk|:|<math> u_s\left(\rho_2 u_2 - \rho_1 u_1\right) = \left(\rho_2 u_2^2 + p_2\right) - \left(\rho_1 u_1^2 + p_1\right)</math>|{{EquationRef|13}}}}
{{NumBlk|:|<math> u_s\left(E_2 - E_1 \right) = \left[\rho_2 u_2 \left(e_2 + \frac{1}{2} u_2^2 + \frac{p_2}{\rho_2}\right)\right] - \left[\rho_1 u_1 \left(e_1 + \frac{1}{2} u_1^2 + \frac{p_1}{\rho_1}\right)\right].</math>|{{EquationRef|14}}}}

समीकरण ({{EquationNote|12}}), ({{EquationNote|13}}) और ({{EquationNote|14}}) यूलर समीकरणों के लिए रैंकिन-ह्यूगोनियट स्थितियों के रूप में जाना जाता है और संरक्षण नियमों को एक नियंत्रण मात्रा पर अभिन्न रूप में प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है जिसमें आघात सम्मिलित होता है। इस स्थिति के लिए <math>u_s</math> सरल विभाजन द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता। हालाँकि, समस्या को एक गतिमान निर्देशांक प्रणाली में परिवर्तित करके दिखाया जा सकता है ( समुच्चयन<math>u_s' := u_s - u_1</math>, <math>u'_1 := 0</math>, <math>u'_2 := u_2 - u_1</math> से <math>u_1</math> हटाना) और कुछ बीजगणितीय प्रकलन (जिसमें उन्मूलन <math>u'_2</math> सम्मिलित है रूपांतरित समीकरण से ({{EquationNote|13}}) परिवर्तित समीकरण का का उपयोग करके ({{EquationNote|12}})), कि प्रघात की गति द्वारा दी गई है

{{NumBlk|:|<math> u_s = u_1 + c_1 \sqrt{1 + \frac{\gamma+1}{2\gamma} \left( \frac{p_2}{p_1} - 1\right)},</math>|{{EquationRef|15}}}}

जहाँ <math display="inline">c_{1}=\sqrt{\gamma p_{1}/\rho_{1}}</math> धारा के प्रतिकूल परिस्थितियों में द्रव में ध्वनि की गति है।<ref>Liepmann, H. W., & Roshko, A. (1957). Elements of gasdynamics. Courier Corporation.</ref><ref>Landau, L. D. (1959). EM Lifshitz, Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics, 6.</ref><ref>Shapiro, A. H. (1953). The dynamics and thermodynamics of compressible fluid flow. John Wiley & Sons.</ref><ref>Anderson, J. D. (1990). Modern compressible flow: with historical perspective (Vol. 12). New York: McGraw-Hill.</ref><ref>Courant, R., & Friedrichs, K. O. (1999). Supersonic flow and shock waves (Vol. 21). Springer Science & Business Media.</ref><ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#:~:text=12%5D%5B13%5D-,%5B14%5D,-Shock%20Hugoniot%20and</ref>



== ठोस में प्रघात हगोनियट और रेले रेखा ==
[[File:HugoniotRaleigh.png|250px|thumb|''p''-''v'' तल में हगोनियट और रेले रेखा को झटका। वक्र समीकरण के एक भूखंड का प्रतिनिधित्व करता है ({{EquationNote|17}})  ''p''<sub>1</sub>, ''v''<sub>1</sub>, ''c''<sub>0</sub> के साथ  जाना जाता है। यदि {{nowrap|1=''p''<sub>1</sub> = 0}}, वक्र बिंदु ''v''<sub>1</sub> पर विशिष्ट आयतन अक्ष को काटेगा। ]]
[[File:HEL plain.svg|250px|thumb|प्रत्यास्थ-सुघट्य पदार्थ में प्रघात के लिए ''p''-''v'' तल में हगोनियोट प्रत्यास्थ सीमा।]]ठोस पदार्थों में प्रघात के लिए, एक संवृत रूप अभिव्यक्ति जैसे समीकरण ({{EquationNote|15}}) पहले सिद्धांतों से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, प्रायोगिक अवलोकन<ref>{{Citation|last=Ahrens|first=T.J.|year=1993|title=Equation of state|journal=High Pressure Shock Compression of Solids, Eds. J. R. Asay and M. Shahinpoor|pages=75–113|location=Springer-Verlag, New York|url=http://www.fas.harvard.edu/~planets/sstewart/ahrens/Papers_pdf/Seismo_1656.pdf|doi=10.1007/978-1-4612-0911-9_4|isbn=978-1-4612-6943-4}}</ref> इंगित करें कि एक रैखिक संबंध<ref name=Kerley> Though a linear relation is widely assumed to hold, experimental data suggest that almost 80% of tested materials do not satisfy this widely accepted linear behavior.  See Kerley, G. I, 2006, "The Linear US-uP Relation in Shock-Wave Physics", {{ArXiv|1306.6916}}; for details.</ref> इसके अतिरिक्त उपयोग किया जा सकता है (''u''<sub>s</sub>-''u''<sub>p</sub> तल में प्रघात ह्यूगोनियट कहा जाता है ) जिसका रूप है

{{NumBlk|:|<math>  u_s = c_0 + s\,u_p = c_0 + s \,u_2 </math>|{{EquationRef|16}}}}

जहां c<sub>0</sub> पदार्थ में ध्वनि की विस्तृत गति है (एक अक्षीय संपीड़न में), s एक पैरामीटर (प्रघात ह्यूगोनियट का प्रवणता) है, नियोजन से प्रायोगिक डेटा तक प्राप्त किया गया है, और {{nowrap|1=''u''<sub>p</sub> = ''u''<sub>2</sub>}} प्रघाताग्र के पीछे संकुचित क्षेत्र के अंदर कण वेग है।

उपरोक्त संबंध, जब द्रव्यमान और संवेग के संरक्षण के लिए ह्यूगोनियट समीकरणों के साथ जोड़ा जाता है, p-v तल में प्रघात ह्यूगोनियोट को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, जहां v विशिष्ट आयतन (प्रति इकाई द्रव्यमान) है:<ref>Poirier, J-P. (2008) "Introduction to the Physics of the Earth's Interior", Cambridge University Press.</ref>

{{NumBlk|:|<math>  p_2 - p_1
 = \frac{c_0^2\, \rho_1\, \rho_2\, \left(\rho_2 - \rho_1\right)}{\left[\rho_2 - s\left(\rho_2 - \rho_1\right)\right]^2}
 = \frac{c_0^2\,\left(v_1 - v_2\right)}{\left[v_1 - s\left(v_1 - v_2\right)\right]^2} \,. </math>|{{EquationRef|17}}}}

स्थिति के वैकल्पिक समीकरण, जैसे कि अवस्था के मी-ग्रुनेसेन समीकरण का भी उपरोक्त समीकरण के अतिरिक्त उपयोग किया जा सकता है।

प्रघात ह्यूगोनियट सभी संभावित ऊष्मप्रवैगिकी अवस्थाओ के बिंदुपथ का वर्णन करता है, एक पदार्थ एक प्रघात के पीछे सम्मिलित हो सकती है, जो दो आयामी अवस्था-अवस्था तल पर प्रक्षेपित होती है। इसलिए यह संतुलन अवस्थाओ का एक समूह है और विशेष रूप से उस पथ का प्रतिनिधित्व नहीं करता है जिसके माध्यम से एक पदार्थ परिवर्तन से निकलती है।

दुर्बल प्रघात [[isentropic|समऐन्ट्रॉपिक]] हैं और समएन्ट्रापी उस पथ का प्रतिनिधित्व करता है जिसके माध्यम से प्रारंभिक से अंतिम अवस्था तक पदार्थ को अभिसारी विशेषताओं के साथ एक संपीड़न तरंग द्वारा सुसंपन्न किया जाता है। दुर्बल प्रघातो के स्थिति में, हुगोनियट इसलिए प्रत्यक्ष समएन्ट्रापी पर नष्ट होगा और इसे प्रत्यक्ष रूप से समतुल्य पथ के रूप में उपयोग किया जा सकता है। एकप्रबल प्रघात के स्थिति में हम उस सरलीकरण को प्रत्यक्ष रूप से नहीं बना सकते हैं। हालांकि, अभियांत्रिकी गणनाओं के लिए, यह माना जाता है कि समएन्ट्रापी ह्यूगोनियट के अपेक्षाकृत अधिक समीप है कि समान धारणा बनाई जा सकती है।

यदि ह्यूगोनियट एक समतुल्य संपीड़न तरंग के लिए अवस्थाओ के बीच लगभग भारित पथ है, तो प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओ के बीच एक सीधी रेखा खींचकर प्रघाती भारित पथ के लिए प्लुति की स्थिति निर्धारित की जा सकती है। इस रेखा को रेले रेखा कहा जाता है और इसके निम्नलिखित समीकरण हैं:

{{NumBlk|:|<math> p_2 - p_1 = u_s^2\left(\rho_1 - \frac{\rho_1^2}{\rho_2}\right) </math>|{{EquationRef|18}}}}

=== ह्यूगोनियट प्रत्यास्थ सीमा ===
प्रबल प्रघात के अधीन होने पर अधिकांश ठोस पदार्थ [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)|पराप्रत्यास्थता (भौतिकी)]] विकृतियों से गुजरती हैं। प्रघात ह्यूगोनियट पर वह बिंदु जिस पर एक विशुद्ध रूप से [[लोच (भौतिकी)|प्रत्यास्थ (भौतिकी)]] अवस्था से एक प्रत्यास्थ-सुघट्य अवस्था में एक पदार्थ संक्रमण को ह्यूगोनियोट प्रत्यास्थ सीमा (एचईएल) कहा जाता है और जिस दबाव पर यह संक्रमण होता है उसे ''p''<sub>HEL</sub> कहा जाता है। और ''p''<sub>HEL</sub> का मान 0.2 GPa से 20 GPa तक हो सकता है। ह्यूगोनियोट प्रत्यास्थ सीमा के ऊपर, पदार्थ अपनी अपरूपण सामर्थ्य नष्ट कर देती है और द्रव की तरह व्यवहार करना प्रारंभ कर देती है।

== यह भी देखें ==
* यूलर समीकरण (द्रव गतिकी)
* [[शॉक पोलर|प्रघात ध्रुवी]]
* अवस्था का मी-ग्रुनेसेन समीकरण
* अभियांत्रिकी ध्वनिकी विकिबुक
* [[वायुमंडलीय ध्यान केंद्रित करना|वायुमंडलीय फ़ोकसन]]

==संदर्भ==
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{{Use dmy dates|date=August 2019}}

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