View source for रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)

{{short description|Quantum operator}}
{{Other uses|रोटेशन ऑपरेटर (बहुविकल्पी)}}
{{Quantum mechanics}}

यह आलेख रोटेशन ऑपरेटर से संबंधित है क्योंकि यह क्वांटम यांत्रिकी में प्रकट होता है।
== क्वांटम यांत्रिक घुमाव ==
हर भौतिक घुमाव के साथ <math>R</math>, हम क्वांटम यांत्रिक रोटेशन ऑपरेटर <math>D(R)</math> को पोस्ट करते हैं जो क्वांटम यांत्रिक अवस्थाओं को घुमाता है।
<math display="block">| \alpha \rangle_R = D(R) |\alpha \rangle</math>
रोटेशन के जनरेटर के संदर्भ में,
<math display="block">D (\mathbf{\hat n},\phi) = \exp \left( -i \phi \frac{\mathbf{\hat n} \cdot \mathbf J }{ \hbar} \right),</math>
जहाँ <math>\mathbf{\hat n}</math> घूर्णन अक्ष है, <math> \mathbf{J} </math> [[कोणीय गति ऑपरेटर]] है, और <math>\hbar</math> प्लैंक स्थिरांक या मान है।

== अनुवाद ऑपरेटर ==
{{Main|अनुवाद संचालिका (क्वांटम यांत्रिकी)}}
रोटेशन ऑपरेटर (भौतिकी) <math>\operatorname{R}(z, \theta)</math>, पहले तर्क <math>z</math> के साथ रोटेशन अक्ष को इंगित करता है और दूसरा <math>\theta</math> रोटेशन कोण, [[विस्थापन ऑपरेटर]] <math>\operatorname{T}(a)</math> के माध्यम से काम कर सकता है जैसा कि नीचे समझाया गया है, असीम घुमावों के लिए। यही कारण है कि, यह पहली बार दिखाया गया है कि अनुवाद ऑपरेटर स्थिति x पर कण पर कैसे कार्य कर रहा है (कण क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार स्थिति <math>|x\rangle</math> में है)।

स्थिति <math>x</math> से स्थिति में कण का अनुवाद <math>x + a</math>: <math>\operatorname{T}(a)|x\rangle = |x + a\rangle</math> 

क्योंकि 0 का अनुवाद हमारे पास उपस्थित कण की स्थिति को नहीं बदलता है, (1 अर्थ के साथ पहचान कार्य, जो कुछ भी नहीं करता है):<math display="block">\operatorname{T}(0) = 1</math><math display="block">\operatorname{T}(a) \operatorname{T}(da)|x\rangle = \operatorname{T}(a)|x + da\rangle = |x + a + da\rangle = \operatorname{T}(a + da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname{T}(a) \operatorname{T}(da) = \operatorname{T}(a + da)</math>
[[टेलर श्रृंखला]] विकास देता है:
<math display="block">\operatorname{T}(da) = \operatorname{T}(0) + \frac{d\operatorname{T}(0)}{da} da + \cdots = 1 - \frac{i}{\hbar} p_x da</math>
साथ <math display="block">p_x = i \hbar \frac{d\operatorname{T}(0)}{da}</math>
इससे निम्न है:
<math display="block">\operatorname{T}(a + da) = \operatorname{T}(a) \operatorname{T}(da) = \operatorname{T}(a)\left(1 - \frac{i}{\hbar} p_x da\right) \Rightarrow \frac{\operatorname{T}(a + da) - \operatorname{T}(a)}{da} = \frac{d\operatorname{T}}{da} = - \frac{i}{\hbar} p_x \operatorname{T}(a)</math>
यह हल के साथ अवकल समीकरण है

 <math display="block">\operatorname{T}(a) = \exp\left(- \frac{i}{\hbar} p_x a\right).</math>
इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि हैमिल्टनियन <math>H</math> <math>x</math> स्थिति से स्वतंत्र है क्योंकि अनुवाद ऑपरेटर के संदर्भ में लिखा जा सकता है <math>p_x</math>, और <math>[p_x,H] = 0</math>, हम वह जानते हैं <math>[H, \operatorname{T}(a)]=0.</math> इस परिणाम का अर्थ है कि प्रणाली के लिए रैखिक [[गति]] संरक्षित है।

== कक्षीय कोणीय गति के संबंध में ==
{{Further|बलोच क्षेत्र या घूर्णन}} कक्षीय कोणीय संवेग के संबंध में <math>\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p.</math><math>\mathbf r</math> और <math>\mathbf p</math>को ध्यान में रखते हुए यह क्वांटम यांत्रिकी में समान है। ऑपरेटरों। मौलिक रूप से, सदिश <math>\mathbf r = (x,y,z)</math> <math>\mathbf r' = (x',y',z)</math> के बारे में <math>z</math> को छोड़कर एक अपरिमेय घूर्णन <math>dt</math> अपरिवर्तित को निम्नलिखित अपरिमेय अनुवाद (टेलर सन्निकटन का उपयोग करके) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:
<math display="block">\begin{align}
x' &= r \cos(t + dt) = x - y \, dt + \cdots \\
y' &= r \sin(t + dt) = y + x \, dt + \cdots
\end{align}</math>
इससे स्थिति लिए निम्नानुसार है:
<math display="block">\operatorname{R}(z, dt)|r\rangle = \operatorname{R}(z, dt)|x, y, z\rangle = |x - y \, dt, y + x \, dt, z\rangle = \operatorname{T}_x(-y \, dt) \operatorname{T}_y(x \, dt)|x, y, z\rangle = \operatorname{T}_x(-y \, dt) \operatorname{T}_y(x \, dt) |r\rangle</math>
और इसके परिणामस्वरूप:
<math display="block">\operatorname{R}(z, dt) = \operatorname{T}_x (-y \, dt) \operatorname{T}_y(x \, dt)</math>
का उपयोग करते हुए
 <math display="block">T_k(a) = \exp\left(- \frac{i}{\hbar} p_k a\right)</math>
ऊपर से साथ <math>k = x,y</math> और टेलर विस्तार हमें मिलता है:
<math display="block">\operatorname{R}(z,dt)=\exp\left[-\frac{i}{\hbar} \left(x p_y - y p_x\right) dt\right] = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} L_z dt\right) = 1-\frac{i}{\hbar}L_z dt + \cdots</math>
साथ <math>L_z = x p_y - y p_x</math> मौलिक क्रॉस उत्पाद के अनुसार कोणीय गति का <math>z</math> घटक है।

कोण <math>t</math> के लिए रोटेशन प्राप्त करने के लिए , हम स्थिति का उपयोग करके निम्नलिखित अंतर समीकरण <math>\operatorname{R}(z, 0) = 1 </math>का निर्माण करते हैं :<math display="block">\begin{align}
&\operatorname{R}(z, t + dt) = \operatorname{R}(z, t) \operatorname{R}(z, dt) \\[1.1ex]
\Rightarrow {} & \frac{d\operatorname{R}}{dt} = \frac{\operatorname{R}(z, t + dt) - \operatorname{R}(z, t)}{dt} = \operatorname{R}(z, t) \frac{\operatorname{R}(z, dt) - 1}{dt} = - \frac{i}{\hbar} L_z \operatorname{R}(z, t) \\[1.1ex]
\Rightarrow {}& \operatorname{R}(z, t) = \exp\left(- \frac{i}{\hbar}\, t \, L_z\right)
\end{align}</math>



अनुवाद ऑपरेटर के समान, अगर हमें हैमिल्टनियन दिया जाता है <math>H</math> जो घूर्णी रूप से सममित है <math>z</math>-एक्सिस, <math>[L_z,H]=0</math> तात्पर्य <math>[\operatorname{R}(z,t),H]=0</math>. इस परिणाम का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है।

स्पिन कोणीय गति के बारे में उदाहरण के लिए <math>y</math>-अक्ष हम अभी बदलते हैं <math>L_z</math> साथ <math display="inline">S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y</math> (जहाँ <math>\sigma_y</math> [[पॉल मैट्रिसेस]] है) और हमें [[स्पिन (भौतिकी)]] रोटेशन ऑपरेटर मिलता है
<math display="block">\operatorname{D}(y, t) = \exp\left(- i \frac{t}{2} \sigma_y\right).</math>


== स्पिन ऑपरेटर और क्वांटम स्थितियों पर प्रभाव ==
{{Main|स्पिन (भौतिकी) या घूर्णन}}
{{see also|रोटेशन ग्रुप एसओ (3) या झूठ बीजगणित पर एक नोट|आधार परिवर्तन या एंडोमोर्फिज्म}}
ऑपरेटरों को [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है। रैखिक बीजगणित से कोई जानता है कि निश्चित आव्यूह <math>A</math> परिवर्तन के माध्यम से दूसरे [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] में प्रदर्शित किया जा सकता है<math display="block">A' = P A P^{-1}</math>

जहाँ <math>P</math> आधार परिवर्तन आव्यूह है। यदि वैक्टर <math>b</math> क्रमश: <math>c</math> आधार पर क्रमशः z-अक्ष हैं y-अक्ष के लंबवत हैं उनके बीच एक निश्चित कोण <math>t</math> है। पहले आधार में स्पिन ऑपरेटर <math>S_b</math> को फिर निम्नलिखित परिवर्तन के माध्यम से दूसरे आधार के स्पिन ऑपरेटर <math>S_c</math> में रूपांतरित किया जा सकता है:
<math display="block">S_c = \operatorname{D}(y, t) S_b \operatorname{D}^{-1}(y, t)</math>
मानक क्वांटम यांत्रिकी से हमारे पास ज्ञात परिणाम हैं <math display="inline">S_b |b+\rangle = \frac{\hbar}{2} |b+\rangle</math> और <math display="inline">S_c |c+\rangle = \frac{\hbar}{2} |c+\rangle</math> जहाँ <math>|b+\rangle</math> और <math>|c+\rangle</math> उनके संबंधित आधारों में शीर्ष स्पिन हैं। तो हमारे पास:
<math display="block">\frac{\hbar}{2} |c+\rangle = S_c |c+\rangle = \operatorname{D}(y, t) S_b \operatorname{D}^{-1}(y, t) |c+\rangle \Rightarrow</math><math display="block">S_b \operatorname{D}^{-1}(y, t) |c+\rangle = \frac{\hbar}{2} \operatorname{D}^{-1}(y, t) |c+\rangle</math>
इसके साथ तुलना <math display="inline">S_b |b+\rangle = \frac{\hbar}{2} |b+\rangle</math> उपज <math>|b+\rangle = D^{-1}(y, t) |c+\rangle</math>.

इसका अर्थ है कि यदि स्थिति <math>|c+\rangle</math> को <math>y</math>-अक्ष के बारे में एक कोण <math>t</math>,से घुमाया जाता है यह स्थिति <math>|b+\rangle</math>,बन जाती है, एक परिणाम जिसे इच्छानुसार अक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

== यह भी देखें ==

* [[क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता]]
* [[गोलाकार आधार]]
* ऑप्टिकल चरण अंतरिक्ष

==संदर्भ==
*L.D. Landau and E.M. Lifshitz: ''Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory'', Pergamon Press, 1985
*P.A.M. Dirac: ''The Principles of Quantum Mechanics'', Oxford University Press, 1958
*R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands: ''The Feynman Lectures on Physics'', Addison-Wesley, 1965

{{Physics operator}}

{{DEFAULTSORT:Rotation Operator (Quantum Mechanics)}}

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