View source for रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन

{{short description|Catalan solid with 30 faces}}

{{Semireg dual polyhedra db|Semireg dual polyhedron stat table|dID}}
[[File:Rhombic triacontahedron.stl|thumb|एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन का 3डी मॉडल]][[ज्यामिति]] में, रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रोन, जिसे कभी-कभी केवल ट्राइकॉन्टाहेड्रोन कहा जाता है क्योंकि यह सबसे सामान्य तीस-सामना करने वाला [[ बहुतल |बहुतल]] है, 30 [[ विषमकोण |विषमकोण]] फलक (ज्यामिति) के साथ एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है। इसमें 60 किनारे (ज्यामिति) और 32 शीर्ष (ज्यामिति) दो प्रकार के होते हैं। यह एक कातालान ठोस है, और [[icosidodecahedron|आईकोसिडोडेकेड्रोन]] का [[दोहरी पॉलीहेड्रॉन]] है। यह एक [[ज़ोनोहेड्रॉन]] है।

{|style="float: right; border: 1px solid #BBB; margin: .5em 0 0 .2em;"
|- style="font-size: 88%;"
|valign="top" |[[File:GoldenRhombus.svg|240px]]<br/> A face of the rhombic triacontahedron. The lengths<br/> of the diagonals are in the [[golden ratio]].
|}
[[File:Cube-R30.gif|thumb|यह एनीमेशन चौकोर फलक को 4 वर्गों में विभाजित करके और मध्य किनारों को नए विषमकोणीय फलक में विभाजित करके एक घन से एक विषमकोण त्रिभुज में परिवर्तन दिखाता है।]]प्रत्येक फलक के लंबे विकर्ण और छोटे विकर्ण का अनुपात बिल्कुल सुनहरे अनुपात {{mvar|φ}} के सामान्य होता है, जिससे प्रत्येक फलक पर पर तीव्र कोण {{math|2 tan{{sup|−1}}({{sfrac|1|''φ''}}) {{=}} tan{{sup|−1}}(2),}} या लगभग 63.43°मापें । इस प्रकार प्राप्त एक समचतुर्भुज स्वर्ण समचतुर्भुज कहलाता है।

एक आर्किमिडीयन ठोस के दोहरे होने के कारण, रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रॉन चेहरा-संक्रमणीय है, जिसका अर्थ है कि ठोस क्रियाओं का [[समरूपता समूह]] फलक के समुह पर [[सकर्मक क्रिया]] करता है। इसका अर्थ है कि किसी भी दो फलक के लिए, {{mvar|A}} और {{mvar|B}}, ठोस का एक घूर्णन या परावर्तन (गणित) होता है जो फलक {{mvar|A}} को {{mvar|B}} की ओर ले जाने के समय स्थान के समान क्षेत्र पर ग्रहण कर लेता है।

रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन नौ किनारे-संक्रमणीय उत्तल पॉलीहेड्रा में से एक होने में कुछ विशेष है, अन्य पांच [[प्लेटोनिक ठोस]], [[cuboctahedron|क्यूबोक्टाहेड्रोन]] , इकोसिडोडेकेड्रॉन और रोम्बिक [[ द्वादशफ़लक |द्वादशफ़लक]] हैं।

रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन भी दिलचस्प है क्योंकि इसके कोने में चार प्लेटोनिक ठोस पदार्थों की व्यवस्था सम्मिलित है। इसमें दस [[ चतुर्पाश्वीय |चतुर्पाश्वीय]] , पांच घन, एक [[विंशतिफलक]] और एक डोडेकेहेड्रोन सम्मिलित हैं। फलकों के केंद्र में पाँच [[अष्टफलक]] होते हैं।

यह षट्कोणीय फलकों को 3 [[समचतुर्भुज द्वादशफलक]] विभाजित करके एक छोटा अष्टफलक से बनाया जा सकता है:
[[File:Rhombic triacontahedron in truncated octahedron.png|thumb|[[कटा हुआ ऑक्टाहेड्रॉन]] में एक टोपोलॉजिकल रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन]]

== कार्तीय निर्देशांक ==

माना <math>\phi</math> सुनहरा अनुपात हो।<math>(0, \pm 1, \pm \phi)</math> द्वारा दिए गए 12 बिंदु और इन निर्देशांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन [[नियमित आईकोसाहेड्रॉन]] के शिखर हैं। इसके दोहरे [[नियमित द्वादशफलक]], जिनके किनारे समकोण पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, के शीर्ष 8 बिंदु हैं <math>(\pm 1, \pm 1, \pm 1)</math> एक साथ 12 बिंदुओं के साथ <math>(0, \pm\phi, \pm 1/\phi)</math> और इन निर्देशांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन। सभी 32 बिंदु एक साथ मूल पर केंद्रित एक विषमकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। इसके किनारों की लम्बाई है <math>\sqrt{3-\phi}\approx 1.175\,570\,504\,58</math> है इसके फलकों की लंबाई <math>2</math> और <math>2/\phi</math> के साथ विकर्ण होते हैं.

== आयाम ==
यदि एक समचतुर्भुज त्रिभुज के किनारे की लंबाई एक, सतह क्षेत्र, आयतन है, तो एक खुदे हुए गोले की त्रिज्या (रंबिक त्रिभुज के प्रत्येक फलक के लिए [[स्पर्शरेखा]]) और मध्यत्रिज्या, जो प्रत्येक किनारे के मध्य को छूती है:<ref>[[Stephen Wolfram]], "[http://www.wolframalpha.com/input/?i=rhombic+triacontahedron]" from [[Wolfram Alpha]]. Retrieved 7 January 2013.</ref>

:<math>\begin{align}
S &= 12\sqrt{5}\,a^2 &&\approx 26.8328 a^2 \\
V &= 4\sqrt{5+2\sqrt{5}}\,a^3 &&\approx 12.3107 a^3 \\
r_\mathrm{i} &= \frac{\varphi^2}{\sqrt{1 + \varphi^2}}\,a = \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}\,a &&\approx 1.37638 a \\
r_\mathrm{m} &= \left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\,a &&\approx 1.44721 a
\end{align}</math>
जहां φ सुनहरा अनुपात है।

यह क्षेत्र उनके फलक के केन्द्रक पर फलक को स्पर्श करता है। लघु विकर्ण केवल उत्कीर्ण नियमित द्वादशफ़लक के किनारों से संबंधित हैं, जबकि लंबे विकर्ण केवल अंकित आईकोसाहेड्रॉन के किनारों में सम्मिलित हैं।

== विच्छेदन ==
समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक को 20 स्वर्ण समचतुर्भुजों 10 तीक्ष्ण वाले और 10 कुंठित में विच्छेदित किया जा सकता है।।<ref>{{Cite web|url=http://www.cutoutfoldup.com/979-golden-rhombohedra.php|title = How to make golden rhombohedra out of paper}}</ref><ref>[http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/dissection-rt.html Dissection of the rhombic triacontahedron]</ref>
{| class=wikitable
!10 ||10
|- align=center
|[[File:Acute golden rhombohedron.png|105px]]<BR>Acute form
|[[File:Flat golden rhombohedron.png|120px]]<BR>Obtuse form
|}


==ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण==
रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन में चार समरूपता की स्थिति होती है, दो कोने पर केंद्रित होती है, एक मध्य-मुख और एक मध्य-किनारे पर होती है। प्रोजेक्शन 10 में एंबेडेड मोटे रोम्बस और स्किनी रोम्बस हैं जो गैर-आवधिक टेसलेशन का उत्पादन करने के लिए एक साथ टाइल करते हैं जिसे अधिकांशतः [[पेनरोज़ टाइलिंग]] कहा जाता है।
{|class=wikitable
|+ ओर्थोगोनल प्रक्षेपण
|- align=center
!प्रक्षेपीय
समरूपता
|[2]
|[2]
|[6]
|[10]
|-
!छवि
|[[File:Dual_dodecahedron_t1_v.png|120px]]
|[[File:Dual dodecahedron_t1_e.png|120px]]
|[[File:Dual dodecahedron_t1_A2.png|120px]]
|[[File:Dual dodecahedron_t1_H3.png|120px]]
|-
!दोहरी
छवि
|[[File:Dodecahedron_t1_v.png|120px]]
|[[File:Dodecahedron_t1_e.png|120px]]
|[[File:Dodecahedron_t1_A2.png|120px]]
|[[File:Dodecahedron_t1_H3.png|120px]]
|}


== तारक ==
[[File:Rhombic_hexecontahedron.png|100px|thumb|रोम्बिक हेक्सेकोंटाहेड्रोन]]
[[File:Construction of Rhombic hexecontahedron from Rhombic Triacontahedron.gif|thumb|रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन के तारों का एक उदाहरण।]]
{{See|रोम्बिक हेक्सेकोंटाहेड्रोन}}
समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक में 227 पूर्ण समर्थित तारकीय हैं।<ref>{{cite journal | last = Pawley | first = G. S. | title = The 227 triacontahedra | journal = Geometriae Dedicata | volume = 4 | issue = 2–4 | pages = 221–232 | publisher = Kluwer Academic Publishers | date = 1975 | issn = 1572-9168 | doi = 10.1007/BF00148756| s2cid = 123506315 }}</ref><ref>{{cite journal | last = Messer | first = P. W. | title = रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन और परे के तारामंडल| journal = Structural Topology | volume = 21 | pages = 25–46 | date = 1995}}</ref> रम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन का एक और तारामंडल पांच घन का यौगिक है।

समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक के तारों की कुल संख्या 358,833,097 है।

== संबंधित पॉलीहेड्रा ==
{{Icosahedral truncations}}

यह पॉलीहेड्रॉन [n,3] [[कॉक्सेटर समूह]] समरूपता के साथ [[रोम्बिक पॉलीहेड्रॉन]] और टाइलिंग के अनुक्रम का एक भाग है। घन को समचतुर्भुज षट्फलक के रूप में देखा जा सकता है जहाँ समचतुर्भुज भी आयत होते हैं।
{{Dual quasiregular3 table}}
यह पॉलीहेड्रॉन [n,3] कॉक्सेटर समूह समरूपता के साथ रोम्बिक पॉलीहेड्रा और टाइलिंग के अनुक्रम का एक भाग है। घन को समचतुर्भुज षट्फलक के रूप में देखा जा सकता है जहाँ समचतुर्भुज भी आयत होते हैं।<gallery widths="200px" heights="200px">
File:Spherical rhombic triacontahedron.png|गोलाकार रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन
File:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.png|खुदा हुआ चतुष्फलक (लाल) और घन (पीला) वाला एक समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक।<br />:
File:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.gif|(रोटेटिंग मॉडल के लिए यहां क्लिक करें)
File:Rhombic tricontahedron icosahedron dodecahedron.png|एक खुदा हुआ द्वादशफलक (नीला) और आईकोसाहेड्रॉन (बैंगनी) के साथ एक समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक।<br />:
File:Rhombic tricontahedron icosahedron dodecahedron.gif|(रोटेटिंग मॉडल के लिए यहां क्लिक करें)
File:StellaTruncRhombicTriaconta.png|पूरी तरह से छोटा रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन
</gallery>


=== [[6-घन]] ===
रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रोन 6-घन से तीन आयामों के एक प्रक्षेपण के 32 शिखर उत्तल हल बनाता है।

{|class=wikitable width=480
<!--colspan=2|2D
!colspan=2|3D
|- 
!D<sub>6</sub> [[Coxeter plane]]
!H<sub>3</sub> Coxeter plane-->
|- valign=top
<!--|[[File:6-cube t0 B5.svg|240px]]<BR>[[6-cube]]<BR>As 2 rings of 32 vertices
|[[File:Dual dodecahedron t1 H3.png|240px]]<BR>Rhombic triacontahedron<BR>32 vertices-->
|[[File:6Cube-QuasiCrystal.png|240px]]<br>3डी आधार वैक्टर [यू, वी, डब्ल्यू] हैं:
यू = (1, φ, 0, -1, φ, 0)

वी = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)

डब्ल्यू = (0, 1, φ, 0, -1, φ)
|[[File:RhombicTricontrahedron.png|240px]]<br>भीतरी किनारों को छिपाकर दिखाया गया है
32 आंतरिक शीर्षों में से 20 एक द्वादशफलक बनाते हैं, और शेष 12 एक समकोणीय फलक बनाते हैं।
|}


== उपयोग करता है ==
[[File:IQ-light. Design by Holger Strøm.jpg|thumb|एक लैंप के डिजाइन में एक रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रॉन के उपयोग का एक उदाहरण]]डेनिश डिजाइनर होल्गर स्ट्रॉम ने अपने निर्माण योग्य लैंप आईक्यू-प्रकाश (इंटरलॉकिंग क्वाड्रिलेटरल्स के लिए आईक्यू) के डिजाइन के लिए एक आधार के रूप में रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रोन का उपयोग किया।

[[File:Rhombic_triacontahedron_box.stl|thumb|क्यूबिक होल के चारों ओर छह पैनलों से बने एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रल बॉक्स का एसटीएल (फ़ाइल प्रारूप) - छेद को अंदर से देखने के लिए मॉडल में ज़ूम करें]]लकड़हारा जेन कोस्टिक एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन के आकार में बॉक्स बनाता है।<ref>[http://kosticks.com/triacontahedron-box.html triacontahedron box - KO Sticks LLC]</ref> सरल निर्माण समचतुर्भुज त्रिभुज और घन के बीच स्पष्ट संबंध से कम पर आधारित है।

[[रोजर वॉन ओच]] की बॉल ऑफ व्हेक्स एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन के आकार में आती है।

रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रोन का उपयोग "डी 30" तीस-पक्षीय डाई के रूप में किया जाता है, कभी-कभी कुछ निभाने वाले खेलों या अन्य स्थानों में उपयोगी होता है।

[[पौधों का गुप्त जीवन]] के सह-लेखक क्रिस्टोफर बर्ड ने मई, 1975 में न्यू एज जर्नल के लिए एक लेख लिखा था, जो पृथ्वी (टेल्यूरिक) ऊर्जा ग्रिड के एक मॉडल, पृथ्वी की क्रिस्टलीय संरचना के रूप में दोहरे आइकोसैहेड्रोन और डोडेकाहेड्रॉन को लोकप्रिय बनाता है। बिल बेकर और बेथे ए. हेगेंस द्वारा द अर्थस्टार ग्लोब पृथ्वी की प्राकृतिक ज्यामिति और महान पिरामिड, बरमूडा त्रिभुज और ईस्टर द्वीप जैसे पवित्र स्थानों के बीच ज्यामितीय संबंध दिखाने का दावा करता है। यह 30 हीरों पर एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन के रूप में मुद्रित होता है, और एक ग्लोब में बदल जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://www.vortexmaps.com/grid-history.php|title=History of the World Grid Theory}}</ref>
== यह भी देखें ==
* गोल्डन रोम्बस
* [[रॉम्बिल टाइलिंग]]
* [[काटे गए रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन]]

==संदर्भ==

<references />
* {{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)}} (Section 3-9)
* {{Citation |last=Wenninger |first=Magnus |author-link=Magnus Wenninger |title=Dual Models |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-54325-5 |mr=730208 |year=1983 |doi=10.1017/CBO9780511569371}} (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, p.&nbsp;22, Rhombic triacontahedron)
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, {{isbn|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p.&nbsp;285, Rhombic triacontahedron )


==बाहरी संबंध==
* {{Mathworld2 |urlname=RhombicTriacontahedron |title=Rhombic triacontahedron |urlname2=CatalanSolid |title2=Catalan solid}}
* [https://web.archive.org/web/20070701185550/http://polyhedra.org/poly/show/39/rhombic_triacontahedron Rhombic Triacontrahedron] – Interactive Polyhedron Model
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] – The Encyclopedia of Polyhedra
* [http://bulatov.org/polyhedra/rtc/ Stellations of Rhombic Triacontahedron]
* [http://www.vortexmaps.com/ EarthStar globe – Rhombic Triacontahedral map projection]
* [http://www.iqlight.com/ IQ-light]—Danish designer Holger Strøm's lamp
* [http://www.instructables.com/id/E7P30WYB6IEVYDYWFG/ Make your own] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070717022841/http://www.instructables.com/id/E7P30WYB6IEVYDYWFG/ |date=17 July 2007 }}
* [http://www.kosticks.com/triacontahedron-box.html a wooden construction of a rhombic triacontahedron box] &ndash; by woodworker Jane Kostick
* ''[http://demonstrations.wolfram.com/120RhombicTriacontahedra/ 120 Rhombic Triacontahedra]'', [http://demonstrations.wolfram.com/3012RhombicTriacontahedra/ 30+12 Rhombic Triacontahedra], and [http://demonstrations.wolfram.com/12RhombicTriacontahedra/ 12 Rhombic Triacontahedra] by Sándor Kabai, [[The Wolfram Demonstrations Project]]
* [https://web.archive.org/web/20071219100912/http://www.pythagoras.nu/gallery/Escher98/selection/b0089.jpg A viper drawn on a rhombic triacontahedron].

{{Polyhedra}}
{{Catalan solids}}
{{Polyhedron navigator}}

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[[Category:Created On 17/04/2023]]
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[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
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[[Category:Templates generating microformats]]
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[[Category:कैटलन ठोस]]
[[Category:क्वासिरेगुलर पॉलीहेड्रा]]
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