View source for लाप्लास परिवर्तन अवकल समीकरणों अनुप्रयुक्त

गणित में, लाप्लास परिवर्तन एक शक्तिशाली [[ अभिन्न परिवर्तन |अभिन्न परिवर्तन]] है जिसका उपयोग किसी फलन को समय क्षेत्र से लाप्लास परिवर्तन या एस-डोमेन समतुल्य परिपथ और प्रतिबाधा या एस-डोमेन में स्विच करने के लिए किया जाता है। लाप्लास परिवर्तन का उपयोग कुछ स्थिति में दी गई [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] के साथ रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।                                                 

पहले लाप्लास परिवर्तन की निम्नलिखित गुण पर विचार करें:

:<math>\mathcal{L}\{f'\}=s\mathcal{L}\{f\}-f(0)</math>
:<math>\mathcal{L}\{f''\}=s^2\mathcal{L}\{f\}-sf(0)-f'(0)</math>
इसे [[गणितीय प्रेरण]] द्वारा सिद्ध किया जा सकता है

:<math>\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^n\mathcal{L}\{f\}-\sum_{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)</math>
अब हम निम्नलिखित अवकल समीकरण पर विचार करते हैं:

:<math>\sum_{i=0}^{n}a_if^{(i)}(t)=\phi(t)</math>
दी गई प्रारंभिक नियमो के साथ 

:<math>f^{(i)}(0)=c_i</math>
लाप्लास परिवर्तन की [[रैखिकता]] का उपयोग करना समीकरण को फिर से लिखने के समान है

:<math>\sum_{i=0}^{n}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}</math>
जिसमे यह प्राप्त होता है

:<math>\mathcal{L}\{f(t)\}\sum_{i=0}^{n}a_is^i-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_is^{i-j}f^{(j-1)}(0)=\mathcal{L}\{\phi(t)\}</math>
<math> \mathcal{L}\{f(t)\}</math> के लिए समीकरण को हल करने और <math>f^{(i)}(0)</math> को <math>c_i</math> से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

:<math>\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{\mathcal{L}\{\phi(t)\}+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_is^{i-j}c_{j-1}}{\sum_{i=0}^{n}a_is^i}</math>
f(t) का समाधान व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को <math>\mathcal{L}\{f(t)\}.</math> पर प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है।

ध्यान दें कि यदि प्रारंभिक स्थितियाँ सभी शून्य हैं, अर्थात।

:<math>f^{(i)}(0)=c_i=0\quad\forall i\in\{0,1,2,...\ n\}</math>
तब सूत्र सरल हो जाता है

:<math>f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{{\mathcal{L}\{\phi(t)\}\over\sum_{i=0}^{n}a_is^i}\right\}</math>


==एक उदाहरण==
हम समाधान करना चाहते हैं की 

:<math>f''(t)+4f(t)=\sin(2t)                                                                                                                                                                            
                                                                                        </math>
प्रारंभिक नियमो f(0) = 0 और f′(0)=0 के साथ इसका उपयोग किया जाता है ।

हमने ध्यान दिया कि

:<math>\phi(t)=\sin(2t)</math>
और हमें यह प्राप्त होता है

:<math>\mathcal{L}\{\phi(t)\}=\frac{2}{s^2+4}</math>
जिसमे तब समीकरण समतुल्य होता है

:<math>s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}</math>
हम निष्कर्ष निकालते हैं की 

:<math>\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2}{(s^2+4)^2}</math>
अब हम प्राप्त करने के लिए लाप्लास व्युत्क्रम परिवर्तन प्रयुक्त करते हैं

:<math>f(t)=\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{t}{4}\cos(2t)</math>


==ग्रन्थसूची                                                                                                  ==
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. {{isbn|1-58488-299-9}}

[[Category:Created On 21/07/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:अंतर कलन]]
[[Category:अभिन्न परिवर्तन]]
[[Category:विभेदक समीकरण]]
[[Category:साधारण अवकल समीकरण|साधारण अवकल समीकरण]]