View source for लॉग-लॉजिस्टिक वितरण

{{Probability distribution
| name       =Log-logistic|
| type       =density|
|  pdf_image  =Loglogisticpdf.svg
|  pdf_caption =<math>\alpha=1,</math> values of <math>\beta</math> as shown in legend
|  cdf_image  =Loglogisticcdf.svg
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|  parameters =<math>\alpha>0</math> [[scale parameter|scale]]<br /><math>\beta> 0</math> [[shape parameter|shape]]
|  support    =<math>x\in[0,\infty)</math>
|  pdf        =<math> \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }
                       { \left (1+(x/\alpha)^{\beta} \right)^2  }</math>
|  cdf        =<math>{ 1 \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} }</math>
|  mean       =<math>{\alpha\,\pi/\beta \over \sin(\pi/\beta)}</math><br />if <math>\beta>1</math>, else undefined
|  median     =<math>\alpha\,</math>
|  mode       =<math>\alpha\left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)^{1/\beta}</math><br />if <math>\beta> 1</math>, 0 otherwise
|  variance   =[[#Moments|See main text]]
| entropy    =<math>\ln \alpha\ - \ln \beta\  + 2</math>
|  mgf        = <math>\beta\alpha^{-\beta}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{tx}x^{\beta-1}}{(1+(x/\alpha)^{\beta})^{2}}dx</math><ref name=mgf_cite>http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Loglogistic.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref><math>= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha t)^{n}}{n!}\Beta(1+\frac{n}{\beta},1-\frac{n}{\beta})</math> where <math>\Beta</math> is the [[Beta function]].<ref name=mgf_cite2>{{cite journal|last=Ekawati|first=D.|last2=Warsono|last3=Kurniasari|first3=D.|year=2014|title=On the Moments, Cumulants, and Characteristic Function of the Log-Logistic Distribution|journal=IPTEK, The Journal for Technology and Science|volume=25|issue=3|pages=78–82}}</ref>
|  char       = <math>\beta\alpha^{-\beta}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{itx}x^{\beta-1}}{(1+(x/\alpha)^{\beta})^{2}}dx</math><ref name=mgf_cite /><math>= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\alpha t)^{n}}{n!}\Beta(1+\frac{n}{\beta},1-\frac{n}{\beta})</math> where <math>\Beta</math> is the [[Beta function]].<ref name=mgf_cite2 />
}}
प्रायिकता और सांख्यिकी में, लॉग-लॉजिस्टिक वितरण ([[अर्थशास्त्र]] में फिस्क वितरण के रूप में जाना जाता है) एक ऋणेतर संख्या यादृच्छिक चर के लिए सतत [[संभावना|प्रायिकता]] वितरण है। इसका उपयोग अतिजीविता रहने के विश्लेषण में उन स्थितियो के लिए एक [[पैरामीट्रिक मॉडल|प्राचलिक मॉडल]] के रूप में किया जाता है जिनकी दर प्रारंभ में बढ़ती है और बाद में घट जाती है, उदाहरण के लिए, निदान या उपचार के बाद कैंसर से होने वाली [[मृत्यु दर]] है। अर्थशास्त्र में धन या आय के वितरण के एक सरल मॉडल के रूप में, और संजाल और सॉफ्टवेयर दोनों पर विचार करने वाले आकड़ो के संचरण समय को मॉडल करने के लिए नेटवर्किंग में मॉडल धारा प्रवाह और अवक्षेपण के लिए भी उपयोग किया जाता है। 

लॉग-लॉजिस्टिक वितरण एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण है जिसका लघुगणक एक लॉजिस्टिक वितरण है। यह[[ लॉग-सामान्य वितरण ]]के आकार के समान है लेकिन[[ भारी पूंछ वाला वितरण | भारी पृष्ठभाग वाला वितरण]] है। लॉग-[[ लॉग-सामान्य वितरण |सामान्य]] के विपरीत, इसके संचयी वितरण फलन को [[बंद रूप अभिव्यक्ति|बंद रूप]] में लिखा जा सकता है।

== अभिलक्षणन ==
उपयोग में वितरण के कई भिन्न पैरामीटर हैं। यहाँ दिखाया गया एक समुचित व्याख्या करने योग्य पैरामीटर और संचयी वितरण फलन के लिए एक सरल रूप देता है।<ref name=Shoukri>
{{Citation| title=Sampling Properties of Estimators of the Log-Logistic Distribution with Application to Canadian Precipitation Data| first=M.M.|last= Shoukri| first2= I.U.M.| last2=Mian| first3=D.S.| last3=Tracy |journal=[[The Canadian Journal of Statistics]] |volume=16 | year=1988| pages=223–236| issue=3| doi=10.2307/3314729| jstor=3314729}}</ref><ref name=Ashkar06>
{{Citation|first1=Fahim |last1=Ashkar|first2= Smail|last2= Mahdi |title=Fitting the log-logistic distribution by generalized moments|journal=[[Journal of Hydrology]]| volume=328| year=2006| pages=694–703| doi=10.1016/j.jhydrol.2006.01.014|issue=3–4|bibcode=2006JHyd..328..694A}}</ref> पैरामीटर <math>\alpha>0</math> मापक पैरामीटर है और वितरण का औसत भी है। पैरामीटर <math>\beta>0</math> एक आकृति पैरामीटर है। वितरण [[एकरूप]] होता है जब <math>\beta>1</math> और <math>\beta</math> बढ़ने पर इसका परिक्षेपण घट जाता है।

संचयी वितरण फलन है
:<math>\begin{align}
F(x; \alpha, \beta) & = {       1         \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} } \\[5pt]
                    & = {(x/\alpha)^\beta \over 1+(x/\alpha)^   \beta  } \\[5pt]
                    & = {x^\beta \over \alpha^\beta+x^\beta}
\end{align}</math>
जहाँ <math>x>0</math>, <math>\alpha>0</math>, <math>\beta>0</math>

प्रायिकता घनत्व फलन है
:<math>f(x; \alpha, \beta) = \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }
                      {  \left( 1+(x/\alpha)^{\beta} \right)^2  }</math>
=== वैकल्पिक प्राचलीकरण ===
तर्कगणित वितरण के साथ समानता में जोड़ी <math>\mu, s</math> द्वारा एक वैकल्पिक प्राचलीकरण दिया गया है:

: <math>\mu = \ln (\alpha)</math>
: <math>s = 1 / \beta</math>
== गुण ==

=== क्षण ===
<math>k</math>वां अपरिष्कृत क्षण तभी उपस्थित होता है जब <math>k<\beta,</math> इसके द्वारा दिया जाता है<ref name="Tadi82">
{{Citation| title=Systems of Frequency Curves Generated by Transformations of Logistic Variables |first=Pandu R. |last=Tadikamalla|first2= Norman L. |last2=Johnson| journal=Biometrika| volume=69 | year=1982| pages= 461–465| issue=2| doi=10.1093/biomet/69.2.461 | jstor=2335422|citeseerx=10.1.1.153.9487 }}</ref><ref name="TadiBurr80">{{Citation|title=A Look at the Burr and Related Distributions| first=Pandu R.| last=Tadikamalla| journal=International Statistical Review| volume=48| year=1980| pages=337–344|issue=3|doi=10.2307/1402945| jstor=1402945}}</ref>
:<math>\begin{align}
\operatorname{E}(X^k)
&  = \alpha^k\operatorname{B}(1-k/\beta, 1+k/\beta) \\[5pt]
& = \alpha^k\, {k\pi/\beta \over \sin(k\pi/\beta)}
\end{align}</math>
जहां B [[बीटा समारोह|बीटा फलन]] है। माध्य, विचरण, [[तिरछापन|वैषम्य]] और [[कुकुदता]] के लिए अभिव्यक्तियाँ प्राप्त की जा सकती हैं। सुविधा के लिए <math>b=\pi/\beta</math>, लिखने पर माध्य है
:<math> \operatorname{E}(X) = \alpha b / \sin b , \quad \beta>1,</math>
और प्रसरण है
:<math> \operatorname{Var}(X) = \alpha^2 \left( 2b / \sin 2b -b^2 / \sin^2 b \right), \quad \beta>2.</math>
[[तिरछापन|वैषम्य]] और [[कुकुदता]] के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ लंबी हैं।<ref>
{{Citation|title=A Compendium of Common Probability Distributions|page=A–37|first=Michael P. |last=McLaughlin|url=http://www.causascientia.org/math_stat/Dists/Compendium.pdf|access-date=2008-02-15| year=2001}}</ref> जब <math>\beta</math> अनंत की ओर प्रवृत्त होता है तो माध्य <math>\alpha</math> की ओर प्रवृत्त होता है, विचरण और वैषम्य शून्य हो जाते है और अतिरिक्त कुकुदता 6/5 हो जाती है (नीचे संबंधित वितरण भी देखें)।

=== विभाजक ===

[[मात्रात्मक समारोह|विभाजक फलन]] (प्रतिलोम संचयी वितरण फलन) है:
:<math>F^{-1}(p;\alpha, \beta) = \alpha\left( \frac{p}{1-p} \right)^{1/\beta}.</math>
इससे पता चलता है कि माध्यिका <math>\alpha</math> है, लघु [[चतुर्थक]] <math>3^{-1/\beta} \alpha </math> है और लघु चतुर्थक <math>3^{1/\beta} \alpha</math> है।

== अनुप्रयोग ==

[[Image:Loglogistichaz.svg|thumb|right|[[खतरा कार्य|हैजार्ड फलन]] <math>\alpha=1,</math> <math>\beta</math> के मान जैसा कि आलेख में दिखाया गया है]]

=== अतिजीविता विश्लेषण ===

लॉग-लॉजिस्टिक वितरण अतिजीविता विश्लेषण के लिए एक प्राचलिक मॉडल प्रदान करता है। अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले वेइबुल वितरण के विपरीत, इसमें एक गैर-[[मोनोटोनिक]] हैजार्ड फलन हो सकता है: जब <math>\beta>1,</math> हैजार्ड फलन एकरूपात्मक होता है (जब <math>\beta</math>≤ 1,  हैजार्ड मोनोटोनिक रूप से कम होता है)। तथ्य यह है कि संचयी वितरण फलन को बंद रूप में लिखा जा सकता है, सेंसरिंग के साथ अतिजीविता आकड़ो के विश्लेषण के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।<ref>
{{Citation | title=Log-Logistic Regression Models for Survival Data | first=Steve |last=Bennett | volume=32 | year=1983 |pages=165–171 | issue=2 | doi=10.2307/2347295 | journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series C | jstor=2347295}}
</ref> लॉग-लॉजिस्टिक त्वरित विफल समय मॉडल के आधार के रूप में <math>\alpha</math> को समूहों के मध्य अंतर करने की अनुमति देकर उपयोग किए जा सकते हैं, या अधिक सामान्यतः सहप्रसरण को प्रस्तुत करके जो सहप्रसरण के एक रैखिक कार्य के रूप में मॉडल <math>\log(\alpha)</math> द्वारा <math>\alpha</math> को प्रभावित करते हैं लेकिन <math>\beta</math> को प्रभावित नहीं करते हैं।<ref>
{{Citation | title =Modelling Survival Data in Medical Research|first=Dave |last=Collett | year=2003 | edition=2nd | publisher=CRC press| isbn=978-1-58488-325-8}}</ref>

अतिजीविता फलन है
:<math>S(t) = 1 - F(t) = [1+(t/\alpha)^{\beta}]^{-1},\,  </math>
और इसलिए हैजार्ड फलन है
:<math> h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{(\beta/\alpha)(t/\alpha)^{\beta-1}}
                                       {1+(t/\alpha)^\beta}.</math>
आकार पैरामीटर <math>\beta = 1</math> के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण एक ज्यामितीय-वितरित गणना प्रक्रिया में अंतर-समय का सीमांत वितरण है।<ref>
{{Citation | title=Some results and applications of geometric counting processes | first=Antonio |last=Di Crescenzo | first2=Franco |last2=Pellerey | volume=21 | year=2019 |pages=203–233 | issue=1 | doi=10.1007/s11009-018-9649-9 | journal=Methodology and Computing in Applied Probability}}
</ref>
=== जलविज्ञान ===
[[File:FitLog-logisticdistr.tif|thumb|208x208px|कमफ्रीक का उपयोग करके अधिकतम एक दिन में अक्टूबर वर्षा के लिए संचयी लॉग-लॉजिस्टिक वितरण, वितरण फिटिंग भी देखें]]
लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का उपयोग जलविज्ञान में धारा प्रवाह दर और अवक्षेपण के मॉडलिंग के लिए किया गया है।<ref name=Shoukri/><ref name=Ashkar06/>

प्रति माह या प्रति वर्ष अधिकतम एक दिन वर्षा और नदी के निर्वहन जैसे अत्यधिक मूल्य प्रायः एक लॉग-सामान्य वितरण का अनुकरण करते हैं।<ref>{{Citation|editor-last=Ritzema|editor-first=H.P.|title=Frequency and Regression Analysis|year=1994|publisher=Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands|pages=[https://archive.org/details/drainageprincipl0000unse/page/175 175–224]|url=https://archive.org/details/drainageprincipl0000unse/page/175|isbn=978-90-70754-33-4}}</ref> लॉग-सामान्य वितरण, तथापि, एक संख्यात्मक सन्निकटन की आवश्यकता है। लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के रूप में, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है, लॉग-सामान्य वितरण के समान है, इसका उपयोग इसके बदले में किया जा सकता है।

नीला चित्र अधिकतम एक दिन अक्टूबर में वर्षा के लिए लॉग-लॉजिस्टिक वितरण को उपयुक्त करने का एक उदाहरण दिखाता है और यह [[द्विपद वितरण]] के आधार पर 90% विश्वास्यता बेल्ट दिखाता है। [[संचयी आवृत्ति विश्लेषण]] के भाग के रूप में वर्षा आकड़े आलेखन स्थिति r/(n+1) द्वारा दर्शाए जाते हैं।

=== अर्थशास्त्र ===

लॉग-लॉजिस्टिक का उपयोग अर्थशास्त्र में धन या आय के वितरण के एक सरल मॉडल के रूप में किया गया है, जहां इसे फिस्क वितरण के रूप में जाना जाता है।<ref>
{{Citation|last=Fisk|first= P.R.| year=1961| title=The Graduation of Income Distributions |journal= Econometrica| volume=29 |pages=171–185|doi=10.2307/1909287|issue=2|jstor=1909287}}</ref>
Its [[Gini coefficient]] is <math>1/\beta</math>.<ref name=KK>
{{Citation|last1=Kleiber |first1=C. |last2=Kotz| first2= S| year=2003 |title=Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences | publisher=Wiley | isbn=978-0-471-15064-0}}</ref>

{{Collapse top|title=Derivation of Gini coefficient}}
The Gini coefficient for a continuous probability distribution takes the form:

:<math>G = {1\over{\mu}}\int_{0}^{\infty}F(1-F)dx</math>

where <math>F</math> is the CDF of the distribution and <math>\mu</math> is the expected value. For the log-logistic distribution, the formula for the Gini coefficient becomes:

:<math>G = {\sin(\pi/\beta) \over{\alpha\pi/\beta}} \int_{0}^{\infty}{dx\over{[1+(x/\alpha)^{-\beta}][1+(x/\alpha)^{\beta}]}}</math>

Defining the substitution <math>z = x/\alpha</math> leads to the simpler equation:

:<math>G = {\sin(\pi/\beta) \over{\pi/\beta}} \int_{0}^{\infty}{dz\over{(1+z^{-\beta})(1+z^{\beta})}}</math>

And making the substitution <math>u = 1/(1 + z^{\beta})</math> further simplifies the Gini coefficient formula to:

:<math>G = {\sin(\pi/\beta)\over{\pi}} \int_{0}^{1}u^{-1/\beta}(1-u)^{1/\beta}du</math>

The integral component is equivalent to the standard [[beta function]] <math>\text{B}(1-1/\beta,1+1/\beta)</math>. The beta function may also be written as:

:<math>\text{B}(x,y) = {\Gamma(x)\Gamma(y)\over{\Gamma(x+y)}}</math>

where <math>\Gamma(\cdot)</math> is the [[gamma function]]. Using the properties of the gamma function, it can be shown that:

:<math>\text{B}(1-1/\beta,1+1/\beta) = {1\over{\beta}}\Gamma(1-1/\beta)\Gamma(1/\beta)</math>

From [[Euler's reflection formula]], the expression can be simplified further:

:<math>\text{B}(1-1/\beta,1+1/\beta) = {1\over{\beta}} {\pi\over{\sin(\pi/\beta)}}</math>

Finally, we may conclude that the Gini coefficient for the log-logistic distribution <math>G = 1/\beta</math>.
{{Collapse bottom}}












=== नेटवर्किंग ===

लॉग-लॉजिस्टिक का उपयोग उस समय की अवधि के लिए एक मॉडल के रूप में किया गया है जब कुछ डेटा कंप्यूटर में एक सॉफ़्टवेयर उपयोगकर्ता अनुप्रयोग को छोड़ देते है और उसी अनुप्रयोग द्वारा अन्य कंप्यूटरों, अनुप्रयोगों और नेटवर्क के माध्यम से यात्रा करने और संसाधित किए जाने के बाद प्रतिक्रिया प्राप्त करते है। खंड, अधिकांश या उनमें से सभी कठिन [[रीयल-टाइम कंप्यूटिंग|वास्तविक समय गारंटी]] के बिना (उदाहरण के लिए, जब कोई अनुप्रयोग इंटरनेट से जुड़े दूरस्थ [[सेंसर|संवेदक]] से आने वाले डेटा को प्रदर्शित कर रहे हो)। यह लॉग-सामान्य वितरण या अन्य की तुलना में अधिक सटीक प्रायिकतात्मक मॉडल के रूप में दिखाए गए है, जब तक कि उस समय के क्रम में शासन के आकस्मिक परिवर्तन का ठीक से पता लगाया जाता है।<ref>{{Citation|author1=Gago-Benítez, A. |author2=Fernández-Madrigal J.-A., Cruz-Martín, A. |title=Log-Logistic Modeling of Sensory Flow Delays in Networked Telerobots|journal=IEEE Sensors Journal |volume=13 |issue=8 |year=2013|publisher=IEEE Sensors 13(8)|pages=2944–2953 |doi=10.1109/JSEN.2013.2263381 |bibcode=2013ISenJ..13.2944G }}</ref>
== संबंधित वितरण ==

* अगर <math> X \sim LL(\alpha,\beta)</math> तो <math> kX \sim LL(k \alpha, \beta)</math>
* अगर <math> X \sim LL(\alpha, \beta)</math> तो <math> X^k \sim LL(\alpha^k, \beta/|k|)</math>
* <math> LL(\alpha,\beta) \sim \textrm{Dagum}(1,\alpha,\beta)</math> ([[सुई वितरण|दागम वितरण]])।
* <math> LL(\alpha,\beta) \sim \textrm{SinghMaddala}(1,\alpha,\beta)</math> (सिंह-मददला वितरण)।
* <math>\textrm{LL}(\gamma,\sigma) \sim \beta'(1,1,\gamma,\sigma)</math> ([[बीटा प्राइम वितरण]])।
*यदि ''X'' के पास मापक पैरामीटर <math>\alpha</math> और आकार पैरामीटर <math>\beta</math> के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण है तो Y = log(X) में स्थान पैरामीटर <math>\log(\alpha)</math> और मापक पैरामीटर <math>1/\beta</math> के साथ लॉजिस्टिक वितरण है।
* जैसे-जैसे लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का आकार पैरामीटर <math>\beta</math> बढ़ता है, इसका आकार तेजी से एक (बहुत संकीर्ण) लॉजिस्टिक वितरण जैसा दिखता है। अनौपचारिक रूप से:
::<math>LL(\alpha, \beta) \to L(\alpha,\alpha/\beta) \quad \text{as} \quad \beta \to \infty.</math>
* आकार पैरामीटर <math>\beta=1</math> और मापक पैरामीटर <math>\alpha</math> के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण स्थान पैरामीटर <math>\mu=0</math>, आकार पैरामीटर <math>\xi=1</math> और मापक पैरामीटर <math>\alpha</math> के साथ सामान्यीकृत पारेटो वितरण के समान है:
::<math>LL(\alpha,1) = GPD(1,\alpha,1).</math>
* एक अन्य पैरामीटर (एक शिफ्ट पैरामीटर) के अतिरिक्त एक [[स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक वितरण]] में औपचारिक रूप से परिणाम होता है, लेकिन इसे सामान्यतः एक अलग प्राचलीकरण में माना जाता है ताकि वितरण को ऊपर या नीचे बाध्य किया जा सके।

=== सामान्यीकरण ===
कई भिन्न वितरणों को कभी-कभी सामान्यीकृत लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, क्योंकि उनमें लॉग-लॉजिस्टिक एक विशेष प्रकरण के रूप में होते है।<ref name=KK/>इनमें बूर प्रकार XII वितरण (सिंह-मदला वितरण के रूप में भी जाना जाता है) और डगम वितरण सम्मिलित हैं, जिनमें से दोनों में एक दूसरा पैरामीटर आकार सम्मिलित है। बदले में दोनों दूसरे प्रकार के अधिक सामान्य सामान्यीकृत बीटा वितरण के विशेष प्रकरण हैं। लॉग-लॉजिस्टिक का एक और अधिक सरल सामान्यीकरण स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक वितरण है।

एक अन्य सामान्यीकृत लॉग-लॉजिस्टिक वितरण [[मेटलॉग वितरण]] का लॉग-परिवर्तन है, जिसमें <math>p</math> के संदर्भ में घात श्रेणी प्रसार को लॉजिस्टिक वितरण पैरामीटर <math>\mu</math> और <math>\sigma</math> के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है। परिणामी लॉग-मेटलॉग वितरण अत्यधिक आकार का लचीला होता है, साधारण बंद फॉर्म पीडीएफ और क्वांटाइल फलन है, रैखिक कम से कम वर्गों के साथ आकड़ो के लिए अनुरूप हो सकता है, और लॉग-लॉजिस्टिक वितरण विशेष प्रकरण है।

== यह भी देखें ==

*प्रायिकता वितरण: अर्ध-अनंत अंतराल पर समर्थित महत्वपूर्ण वितरणों की सूची

==संदर्भ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Log-Logistic Distribution}}

[[Category:All articles with bare URLs for citations|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:Articles with PDF format bare URLs for citations|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:Articles with bare URLs for citations from March 2022|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:Articles with invalid date parameter in template|Log-Logistic Distribution]]
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[[Category:Created On 21/03/2023|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:Machine Translated Page|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:Pages with script errors|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:आर्थिक असमानता|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:उत्तरजीविता विश्लेषण|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:गैर-सीमित विचरण के साथ संभाव्यता बंटन|Log-Logistic Distribution]]
[[Category:निरंतर वितरण|Log-Logistic Distribution]]