View source for वर्ण सिद्धांत

{{About|गणित में वर्ण सिद्धांत शब्द का उपयोग|
शब्द वर्ण के संबंधित भाव|वर्ण (गणित)}}
गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, [[समूह प्रतिनिधित्व]] का [[समूह (गणित)|वर्ण समूह]] पर फलन है, जो प्रत्येक समूह तत्व को संबंधित [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)|चिह्न]] से युग्मित करता है। वर्ण अधिक संक्षिप्त रूप में प्रतिनिधित्व के सम्बन्ध में आवश्यक सूचना रखता है। [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने प्रारंभ में [[परिमित समूह|परिमित समूहों]] के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को विकसित किया, जो  प्रत्येक प्रकार से पात्रों पर आधारित था, और स्वयं प्रतिनिधित्व के किसी भी स्पष्ट आव्यूह प्राप्ति के बिना होता है। यह संभव है क्योंकि परिमित समूह का सम्मिश्र संख्या निरूपण उसके वर्ण द्वारा निर्धारित (समरूपता तक) होता है। तथाकथित मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सकारात्मक [[विशेषता (बीजगणित)|विशेषता]] के [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] पर प्रतिनिधित्व के साथ स्थिति अधिक कोमल है, किन्तु [[रिचर्ड ब्राउर]] ने इस स्थिति में भी वर्णों का शक्तिशाली सिद्धांत विकसित किया है। परिमित समूहों की संरचना पर विभिन्न गंभीर प्रमेय [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के वर्णों का उपयोग करते हैं।

== अनुप्रयोग ==
अलघुकरणीय अभ्यावेदन के वर्ण समूह के अनेक महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करते हैं और इस प्रकार इसका उपयोग इसकी संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में वर्ण सिद्धांत आवश्यक उपकरण है। फ़ीट-थॉम्पसन प्रमेय के [[गणितीय प्रमाण|प्रमाण]] के अर्ध के निकट वर्ण मानों के साथ जटिल गणना सम्मिलित है। सरल, किन्तु फिर भी आवश्यक, परिणाम जो वर्ण सिद्धांत का उपयोग करते हैं उनमें बर्नसाइड के प्रमेय सम्मिलित हैं (बर्नसाइड के प्रमेय का विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक प्रमाण तब से पाया गया है, किन्तु वह प्रमाण बर्नसाइड के मूल प्रमाण के अर्ध दशक पश्चात आया), और रिचर्ड ब्राउर का प्रमेय और मिचियो सुज़ुकी ने कहा कि परिमित सरल समूह में अपने साइलो {{math|2}}-उपसमूह प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत चतुष्कोणीय समूह नहीं हो सकता है।

== परिभाषाएँ ==
मान लीजिये कि {{mvar|V}} क्षेत्र {{mvar|F}} पर परिमित-आयामी [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] है और {{math|''ρ'' : ''G'' → GL(''V'')}} {{mvar|V}}  पर समूह {{mvar|G}} का प्रतिनिधित्व करते हैं। {{mvar|ρ}} का वर्ण फलन {{math|''χ<sub>ρ</sub>'' : ''G'' → ''F''}} द्वारा दिया गया है:

:<math>\chi_{\rho}(g) = \operatorname{Tr}(\rho(g))</math>
जहां {{math|Tr}} ट्रेस है।

वर्ण {{math|''χ<sub>ρ</sub>''}} को अलघुकरणीय या सरल कहा जाता है यदि {{mvar|ρ}} अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है। वर्ण {{mvar|χ}} की डिग्री {{mvar|ρ}} का आयाम है; विशेषता शून्य में यह मान {{math|''χ''(1)}} के समान है। डिग्री 1 के वर्ण को रैखिक कहा जाता है। जब {{mvar|G}} परिमित है और {{mvar|F}} में विशेषता शून्य है, तो वर्ण {{math|''χ<sub>ρ</sub>''}} का कर्नेल [[सामान्य उपसमूह]] है:

:<math>\ker \chi_\rho := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace, </math>
जो वास्तव में प्रतिनिधित्व {{mvar|ρ}} का कर्नेल है। चूँकि, वर्ण सामान्य रूप से समूह समरूपता नहीं है।

== गुण ==
* वर्ण वर्ग फलन हैं, अर्थात, वे प्रत्येक दिए गए [[संयुग्मन वर्ग]] पर स्थिर मान लेते हैं। अधिक त्रुटिहीन रूप से, किसी दिए गए समूह {{mvar|G}} के क्षेत्र {{math|'''K'''}} में अलघुकरणीय वर्णों का समुच्चय सभी वर्ग फलनों {{math|''G'' → '''K'''}} के {{math|'''K'''}}-सदिश स्थान का [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] बनाते हैं। 
* आइसोमॉर्फिक प्रतिनिधित्व में समान वर्ण होते हैं। विशेषता {{math|0}} के क्षेत्र में, दो अभ्यावेदन आइसोमॉर्फिक हैं यदि केवल उनके समान वर्ण हैं।<ref>Nicolas Bourbaki, ''Algèbre'', Springer-Verlag, 2012, Chap. 8, p392</ref>
* यदि निरूपण उप-निरूपणों का प्रत्यक्ष योग है, तो संबंधित वर्ण उन उप-प्रतिनिधियों के वर्णों का योग है।
* यदि परिमित समूह {{mvar|G}} का लक्षण [[उपसमूह]] {{mvar|H}} तक सीमित है, तो परिणाम भी {{mvar|H}} का वर्ण है। 
* प्रत्येक वर्ण मान {{math|''χ''(''g'')}} एकता के {{mvar|n}}-{{mvar|m}}वें मूल का योग है, जहाँ {{mvar|n}} वर्ण {{mvar|χ}} के साथ निरूपण की डिग्री (अर्थात संबंधित सदिश स्थान का आयाम) है और {{mvar|m}}, {{mvar|g}} की कोटि है। विशेष रूप से, जब {{math|1=''F'' = '''C'''}}, ऐसा प्रत्येक वर्ण मान [[बीजगणितीय पूर्णांक]] होता है।
* यदि {{math|1=''F'' = '''C'''}} और {{mvar|χ}} तब अलघुकरणीय है: <math display="block">[G:C_G(x)]\frac{\chi(x)}{\chi(1)}</math>{{mvar|G}} में सभी {{mvar|x}} के लिए बीजगणितीय पूर्णांक है।
* यदि {{mvar|F}} [[बीजगणितीय रूप से बंद]] है और{{math|[[अंगूठी की विशेषता | चार]](''F'')}} {{mvar|G}} के क्रम को विभाजित नहीं करता है, तो {{mvar|G}} के अलघुकरणीय वर्णों की संख्या {{mvar|G}} के संयुग्मन वर्गों की संख्या के समान है। इसके अतिरिक्त, इस स्थिति में, अलघुकरणीय वर्णों की डिग्री {{mvar|G}} के क्रम के विभाजक हैं (और वे {{math|[''G'' : ''Z''(''G'')]}} को भी विभाजित करते हैं यदि {{math|''F'' {{=}} '''C'''}} हैं)।

=== अंकगणितीय गुण ===
मान लीजिए ρ और σ, {{mvar|G}} का प्रतिनिधित्व करते हैं। तब निम्नलिखित पहचान धारण करते हैं:
*<math>\chi_{\rho \oplus \sigma} = \chi_\rho + \chi_\sigma</math>
*<math>\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_\rho \cdot \chi_\sigma</math>
*<math>\chi_{\rho^*} = \overline {\chi_\rho}</math>
*<math>\chi_{{\scriptscriptstyle \rm{Alt}^2} \rho}(g) = \tfrac{1}{2}\! \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 - \chi_\rho (g^2) \right]</math>
*<math>\chi_{{\scriptscriptstyle \rm{Sym}^2} \rho}(g) = \tfrac{1}{2}\! \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 + \chi_\rho (g^2) \right]</math>
जहां {{math|''ρ''⊕''σ''}} प्रत्यक्ष योग है, {{math|''ρ''⊗''σ''}} [[टेंसर उत्पाद|टेंसर गुणनफल]] है, जो {{math|''ρ''<sup>∗</sup>}}{{mvar|ρ}} के संयुग्मी स्थानांतरण को दर्शाता है, और {{math|Alt<sup>2</sup>}} [[बाहरी बीजगणित|वैकल्पिक उत्पाद]] है {{math|Alt<sup>2</sup>''ρ'' {{=}} ''ρ'' ∧ ''ρ''}} और {{math|Sym<sup>2</sup>}} [[सममित वर्ग]] है,  जो इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है:
<math display="block">\rho \otimes \rho = \left(\rho \wedge \rho \right) \oplus \textrm{Sym}^2 \rho.</math>
== वर्ण तालिका ==
{{Further|वर्ण तालिका}}
परिमित समूह के अलघुकरणीय जटिल संख्या वर्ण तालिका बनाते हैं जो सघन रूप में समूह {{mvar|G}} के सम्बन्ध में अधिक उपयोगी सूचना को कूटबद्ध करता है। प्रत्येक पंक्ति को अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किया जाता है और पंक्ति में प्रविष्टियाँ  {{mvar|G}} के संबंधित संयुग्मन वर्ग पर प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं। स्तंभों को {{mvar|G}} के संयुग्मन वर्गों (प्रतिनिधियों) द्वारा लेबल किया जाता है। यह [[तुच्छ प्रतिनिधित्व|अल्प प्रतिनिधित्व]] के वर्ण द्वारा प्रथम पंक्ति को लेबल करने के लिए प्रथागत है, जो कि 1-आयामी सदिश स्थान पर {{mvar|G}} की अल्प क्रिया है, <math> \rho(g)=1</math> सभी के लिए <math> g\in G </math> होती है। प्रथम पंक्ति में प्रत्येक प्रविष्टि इसलिए 1 है। इसी प्रकार, प्रथम स्तंभ को पहचान के आधार पर लेबल करने की प्रथा है। इसलिए, प्रथम स्तंभ में प्रत्येक अलघुकरणीय वर्ण की डिग्री होती है।

यहाँ की वर्ण तालिका है:

:<math>C_3 = \langle u \mid u^{3} = 1 \rangle,</math>
तीन तत्वों और जनरेटर ''u'' के साथ [[चक्रीय समूह|चक्रीय समूह है]]:

{| class="wikitable"
|-
|&nbsp;
|{{math|(1)}}
|{{math|(''u'')}}
|{{math|(''u''<sup>2</sup>)}}
|-
|{{math|'''1'''}}
|{{math|1}}
|{{math|1}}
|{{math|1}}
|-
|{{math|''χ''<sub>1</sub>}}
|{{math|1}}
|{{mvar|ω}}
|{{math|''ω''<sup>2</sup>}}
|-
|{{math|''χ''<sub>2</sub>}}
|{{math|1}}
|{{math|''ω''<sup>2</sup>}}
|{{mvar|ω}}
|-
|}
जहाँ {{mvar|ω}} [[एकता की आदिम जड़|एकता का प्रारंभिक]] तीसरा मूल है।

वर्ण तालिका सदैव वर्गाकार होती है, क्योंकि अलघुकरणीय निरूपणों की संख्या संयुग्मन वर्गों की संख्या के समान होती है।<ref>Serre, §2.5</ref>
===लंबकोणीयता संबंध===
{{main|शूर लंबकोणीयता संबंध}}
परिमित समूह {{mvar|G}} के जटिल-मूल्यवान वर्ग फलनों के स्थान में प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद है:

:<math>\left \langle \alpha, \beta\right \rangle := \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)}</math>
जहां {{math|{{overline|''β''(''g'')}}}}  {{math|''β''(''g'')}} का जटिल संयुग्म है। इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अप्रासंगिक वर्ण वर्ग-फलनों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं, और यह वर्ण तालिका की पंक्तियों के लिए लंबकोणीयता संबंध उत्पन्न करता है:

:<math>\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle  = \begin{cases} 0 & \mbox{ if } i \ne j, \\ 1 & \mbox{ if } i = j. \end{cases}</math>
{{math|''g'', के लिए ''h''}} में {{mvar|G}}, उसी आंतरिक उत्पाद को वर्ण तालिका के स्तंभों पर प्रारंभ करने से प्राप्त होता है:

:<math>\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases} \left | C_G(g) \right |, & \mbox{ if } g, h \mbox{ are conjugate } \\ 0 & \mbox{ otherwise.}\end{cases}</math>
जहां योग {{mvar|G}} के सभी अप्रासंगिक वर्णों {{math|''χ<sub>i</sub>''}} और प्रतीक {{math|{{pipe}}''C<sub>G</sub>''(''g''){{pipe}}}} के ऊपर है {{mvar|g}} के [[केंद्रक]] के आदेश को दर्शाता है। ध्यान दें कि चूंकि {{mvar|g}} और {{mvar|h}} संयुग्मित हैं यदि वे वर्ण तालिका के स्तंभ में हैं, इसका तात्पर्य है कि वर्ण तालिका के स्तंभ लंबकोणीय हैं।

लंबकोणीयता संबंध अनेक संगणनाओं में सहायता कर सकते हैं जिनमें सम्मिलित हैं:
* अलघुकरणीय वर्णों के रेखीय संयोजन के रूप में अज्ञात वर्ण को विघटित किया जाता है।
* पूर्ण वर्ण तालिका का निर्माण जब केवल कुछ अलघुकरणीय वर्णों को जाना जाता है।
* समूह के संयुग्मन वर्गों के प्रतिनिधियों के केंद्रीकरणकर्ताओं के आदेशों को ज्ञात किया जाता है।
* समूह के क्रम को ज्ञात किया जाता है।

=== वर्ण तालिका गुण ===
समूह {{mvar|G}} के कुछ गुण इसकी वर्ण तालिका से निकाले जा सकते हैं:

* {{mvar|G}} का क्रम प्रथम स्तंभ की प्रविष्टियों के वर्गों के योग द्वारा दिया जाता है (अलघुकरणीय वर्णों की डिग्री)। (परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत शूर के लेम्मा को प्रारम्भ करना, देखें।) सामान्यतः, किसी भी स्तंभ में प्रविष्टियों के [[निरपेक्ष मूल्य|पूर्ण मानों]] के वर्गों का योग संबंधित संयुग्मन वर्ग के तत्व के केंद्रक का क्रम देता है।
* {{mvar|G}} के सभी सामान्य उपसमूह (और इस प्रकार {{mvar|G}} सरल है या नहीं है) इसकी वर्ण तालिका से पहचाना जा सकता है। वर्ण {{mvar|χ}} का [[कर्नेल (समूह सिद्धांत)|कर्नेल]] {{mvar|G}} में तत्वों {{mvar|g}} का समुच्चय है जिसके लिए {{math|''χ''(''g'') {{=}} ''χ''(1)}} होता है; यह {{mvar|G}} का सामान्य उपसमूह है। {{mvar|G}} का प्रत्येक सामान्य उपसमूह {{mvar|G}} की कुछ अलघुकरणीय वर्णों के कर्नेल का प्रतिच्छेदन है।
* {{mvar|G}} का [[कम्यूटेटर उपसमूह]] {{mvar|G}} के रैखिक वर्णों के कर्नेल का प्रतिच्छेदन है। 
*यदि {{mvar|G}} परिमित है, तो चूँकि वर्ण तालिका वर्गाकार है और इसमें संयुग्मन वर्गों के रूप में अनेक पंक्तियाँ हैं, इसलिए यह अनुसरण करता है कि {{mvar|G}} [[एबेलियन समूह]] है यदि प्रत्येक संयुग्मन वर्ग सिंगलटन है यदि {{mvar|G}}  वर्ण तालिका की है <math>|G| \!\times\! |G|</math> यदि प्रत्येक अलघुकरणीय वर्ण रैखिक है।
* यह इस प्रकार है, मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत से रिचर्ड ब्राउर के कुछ परिणामों का उपयोग करते हुए, कि परिमित समूह के प्रत्येक संयुग्मी वर्ग के तत्वों के आदेशों के प्रमुख विभाजकों को इसकी वर्ण तालिका ([[ग्राहम हिगमैन]] का अवलोकन) से घटाया जा सकता है।

वर्ण तालिका सामान्य रूप से [[समूह समरूपता|समाकृतिकता]] [[तक]] के समूह को निर्धारित नहीं करती है: उदाहरण के लिए, [[चतुर्धातुक समूह]] {{mvar|Q}} और {{math|8}} तत्वों के [[डायहेड्रल समूह]] {{math|''D''<sub>4</sub>}}, में समान वर्ण तालिका होती है। ब्राउर ने पूछा कि क्या वर्ण तालिका, इसके संयुग्मन वर्गों के तत्वों की शक्तियों को कैसे वितरित किया जाता है, इसके ज्ञान के साथ, समरूपता तक परिमित समूह निर्धारित करता है। 1964 में, इसका उत्तर ई.सी. डेड ने नकारात्मक में दिया।

{{mvar|G}} के रैखिक प्रतिनिधित्व स्वयं टेंसर उत्पाद के अंतर्गत समूह हैं, क्योंकि 1-आयामी सदिश रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद पुनः 1-आयामी है। यानी अगर <math>\rho_1:G\to V_1</math> और <math> \rho_2:G\to V_2</math> रैखिक प्रतिनिधित्व हैं, फिर <math> \rho_1\otimes\rho_2 (g)=(\rho_1(g)\otimes\rho_2(g))</math> नया रैखिक प्रतिनिधित्व परिभाषित करता है। यह ऑपरेशन के तहत वर्ण समूह नामक रैखिक वर्णों के समूह को जन्म देता है <math> [\chi_1*\chi_2](g)=\chi_1(g)\chi_2(g)</math>. यह समूह डिरिचलेट पात्रों और [[फूरियर विश्लेषण]] से जुड़ा है।

== प्रेरित वर्ण और फ्रोबेनियस पारस्परिकता ==
{{main|प्रेरित वर्ण|फ्रोबेनियस पारस्परिकता}}
इस खंड में वर्णन किए गए वर्णों को जटिल-मूल्यवान माना जाता है। मान लीजिए {{mvar|H}}, परिमित समूह {{mvar|G}} का उपसमूह है। {{mvar|G}} का वर्ण {{mvar|χ}} दिया गया है, मान लीजिए  {{math|''χ<sub>H</sub>''}}, {{mvar|H}} के लिए इसके प्रतिबंध को निरूपित करता है। माना {{mvar|θ}}, {{mvar|H}} का वर्ण है। [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने दिखाया कि {{mvar|θ}} से {{mvar|G}} के वर्ण का निर्माण कैसे किया जाता है, जिसे अब [[फ्रोबेनियस पारस्परिकता]] के रूप में जाना जाता है। चूँकि {{mvar|G}} के अलघुकरणीय वर्ण, {{mvar|G}} के जटिल-मूल्यवान वर्ग फलनों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं, वहाँ {{mvar|G}} अद्वितीय वर्ग फलन {{math|''θ<sup>G</sup>''}} है जिसकी विशेषता है:

:<math> \langle \theta^{G}, \chi \rangle_G = \langle \theta,\chi_H \rangle_H </math>
{{mvar|G}} के प्रत्येक अपूरणीय वर्ण {{mvar|χ}} के लिए (सबसे बायां आंतरिक उत्पाद {{mvar|G}} के वर्ग फलनों के लिए है और सबसे दाहिना आंतरिक उत्पाद {{mvar|H}} के वर्ग फलनों के लिए है) है। चूंकि उपसमूह {{mvar|H}} के लिए {{mvar|G}} के प्रतिबंध के बाद से  उपसमूह के फिर से वर्ण है {{mvar|H}}, यह परिभाषा यह स्पष्ट करती है कि {{math|''θ<sup>G</sup>''}} के अलघुकरणीय वर्णों का गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] संयोजन है {{mvar|G}}, तो वास्तव में का वर्ण है {{mvar|G}}. के वर्ण के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} से प्रेरित {{mvar|θ}} फ्रोबेनियस पारस्परिकता के परिभाषित सूत्र को सामान्य जटिल-मूल्यवान वर्ग फलनों तक बढ़ाया जा सकता है।

आव्यूह  प्रतिनिधित्व दिया {{mvar|ρ}} का {{mvar|H}}, फ्रोबेनियस ने बाद में आव्यूह  प्रतिनिधित्व के निर्माण के लिए स्पष्ट तरीका दिया {{mvar|G}}, प्रतिनिधित्व [[प्रेरित प्रतिनिधित्व]] के रूप में जाना जाता है {{mvar|ρ}}, और समान रूप से लिखा गया है {{math|''ρ<sup>G</sup>''}}. इससे प्रेरित वर्ण का वैकल्पिक वर्णन हुआ {{math|''θ<sup>G</sup>''}}. यह प्रेरित वर्ण के सभी तत्वों पर गायब हो जाता है {{mvar|G}} जो किसी भी तत्व के संयुग्मी नहीं हैं {{mvar|H}} चूंकि प्रेरित वर्ण का वर्ग फलन है {{mvar|G}}, के तत्वों पर इसके मूल्यों का वर्णन करना अब केवल आवश्यक है {{mvar|H}}. अगर कोई लिखता है {{mvar|G}} के सही सहसमूहों के असंयुक्त संघ के रूप में {{mvar|H}}, कहना

:<math>G = Ht_1 \cup \ldots \cup Ht_n,</math>
फिर, तत्व दिया {{mvar|h}} का {{mvar|H}}, अपने पास:

:<math> \theta^G(h) = \sum_{i \ : \ t_iht_i^{-1} \in H} \theta \left (t_iht_i^{-1} \right ).</math>
क्योंकि {{mvar|θ}} का क्लास फंक्शन है {{mvar|H}}, यह मान कोसेट प्रतिनिधियों की विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

प्रेरित वर्ण का यह वैकल्पिक विवरण कभी-कभी एम्बेडिंग के बारे में अपेक्षाकृत कम जानकारी से स्पष्ट गणना की अनुमति देता है {{mvar|H}} में {{mvar|G}}, और विशेष वर्ण तालिकाओं की गणना के लिए प्रायः उपयोगी होता है। कब {{mvar|θ}} का तुच्छ वर्ण है {{mvar|H}}, प्राप्त प्रेरित वर्ण को क्रमचय वर्ण के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} (कोसेट्स पर {{mvar|H}}).

कैरेक्टर इंडक्शन की सामान्य तकनीक और बाद में परिशोधन ने [[एमिल आर्टिन]], रिचर्ड ब्राउर, [[वाल्टर फीट]] और मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ) जैसे गणितज्ञों के साथ-साथ खुद फ्रोबेनियस के हाथों में Group_theory#Finite_group_theory और गणित में कहीं और कई अनुप्रयोगों को पाया।

== मैकी अपघटन ==
मैकी अपघटन को लाइ समूहों के संदर्भ में जी मैके द्वारा परिभाषित और खोजा गया था, किन्तुवर्ण सिद्धांत और परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में शक्तिशाली उपकरण है। इसका मूल रूप उपसमूह से प्रेरित वर्ण (या मॉड्यूल) के तरीके से संबंधित है {{mvar|H}} परिमित समूह का {{mvar|G}} (संभावित रूप से अलग) उपसमूह पर प्रतिबंध पर व्यवहार करता है {{mvar|K}} का {{mvar|G}}, और के अपघटन का उपयोग करता है {{mvar|G}} में {{math|(''H'', ''K'')}}-डबल कोसेट।

अगर <math display="inline"> G = \bigcup_{t \in T} HtK </math> अलग संघ है, और {{mvar|θ}} का जटिल वर्ग फलन है {{mvar|H}}, तब मैके का सूत्र बताता है कि

:<math>\left( \theta^{G}\right)_K = \sum_{ t \in T} \left(\left [\theta^{t} \right ]_{t^{-1}Ht \cap K}\right)^{K},</math>
कहाँ {{math|''θ<sup>t</sup>''}} का वर्ग फलन है {{math|''t''<sup>−1</sup>''Ht''}} द्वारा परिभाषित {{math|''θ<sup>t</sup>''(''t''<sup>−1</sup>''ht'') {{=}} ''θ''(''h'')}} सभी के लिए {{mvar|h}} में {{mvar|H}}. उपसमूह के लिए प्रेरित मॉड्यूल के प्रतिबंध के लिए समान सूत्र है, जो किसी भी रिंग (गणित) पर प्रतिनिधित्व के लिए है, और बीजगणितीय और [[टोपोलॉजी]] संदर्भों की विस्तृत विविधता में अनुप्रयोग हैं।

मैके अपघटन, फ्रोबेनियस पारस्परिकता के संयोजन के साथ, दो वर्ग फलनों के आंतरिक उत्पाद के लिए प्रसिद्ध और उपयोगी सूत्र उत्पन्न करता है {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} संबंधित उपसमूहों से प्रेरित {{mvar|H}} और {{mvar|K}}, जिसकी उपयोगिता इस तथ्य में निहित है कि यह केवल इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार संयुग्मित होता है {{mvar|H}} और {{mvar|K}} दूसरे को काटते हैं। सूत्र (इसकी व्युत्पत्ति के साथ) है:

:<math>\begin{align}
\left \langle \theta^{G},\psi^{G} \right \rangle &= \left \langle \left(\theta^{G}\right)_{K},\psi \right \rangle \\
&= \sum_{ t \in T} \left \langle \left( \left [\theta^{t} \right ]_{t^{-1}Ht \cap K}\right)^{K}, \psi \right \rangle \\
&= \sum_{t \in T} \left \langle \left(\theta^{t} \right)_{t^{-1}Ht \cap K},\psi_{t^{-1}Ht \cap K} \right \rangle, 
\end{align}</math>
(कहाँ {{mvar|T}} का पूरा सेट है {{math|(''H'', ''K'')}}-डबल कोसेट प्रतिनिधि, पहले की तरह)। यह सूत्र प्रायः तब प्रयोग किया जाता है जब {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} रेखीय वर्ण हैं, जिस स्थिति में दाहिने हाथ में दिखाई देने वाले सभी आंतरिक गुणनफल या तो होते हैं {{math|1}} या {{math|0}}, रैखिक वर्ण हैं या नहीं, इस पर निर्भर करता है {{math|''θ<sup>t</sup>''}} और {{mvar|ψ}} पर समान प्रतिबंध है {{math|''t''<sup>−1</sup>''Ht'' ∩ ''K''}}. अगर {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} दोनों तुच्छ पात्र हैं, तो आंतरिक उत्पाद सरल हो जाता है {{math|{{pipe}}''T''{{pipe}}}}.

== मुड़ा हुआ आयाम ==
कोई प्रतिनिधित्व के वर्ण की व्याख्या सदिश स्थान के मुड़े आयाम के रूप में की जा सकती है।<ref name="Gannon">{{Harv|Gannon|2006}}</ref> वर्ण को समूह {{math|''χ''(''g'')}} के तत्वों के फलन के रूप में मानते हुए, [[पहचान तत्व]] पर इसका मान स्थान का आयाम है, क्योंकि {{math|''χ''(1) {{=}} Tr(''ρ''(1)) {{=}} Tr(''I<sub>V</sub>'') {{=}} dim(''V'')}} तदनुसार, वर्ण के अन्य मानों को मुड़े आयामों के रूप में देखा जा सकता है।{{clarify|date=June 2011|reason=recursive definition}}

वर्णों या अभ्यावेदन के सम्बन्ध में वर्णन के आयाम के अनुरूप या सामान्यीकरण पा सकते हैं। इसका परिष्कृत उदाहरण [[राक्षसी चन्द्रमा|मॉन्स्टरस मूनशाइन]] के सिद्धांत में मिलता है: जे-इनवेरिएंट [[राक्षस समूह|मॉन्स्टर समूह]] के अनंत-आयामी वर्गीकृत प्रतिनिधित्व का [[वर्गीकृत आयाम]] है, और वर्ण के साथ आयाम को  परिवर्तित करके प्रत्येक तत्व के लिए मैके-थॉम्पसन श्रृंखला देता है।<ref name="Gannon" />
== लाई समूहों और लाई बीजगणित के वर्ण ==
{{See also|वेइल वर्ण सूत्र|बीजगणितीय वर्ण}}

यदि <math>G</math> लाई समूह है और <math>\rho</math> का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व <math>G</math>, वर्ण <math>\chi_\rho</math> का <math>\rho</math> को त्रुटिहीन रूप से किसी भी समूह के रूप में परिभाषित किया गया है:
:<math>\chi_\rho(g)=\operatorname{Tr}(\rho(g))</math>
इस मध्य यदि <math>\mathfrak g</math> [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] है और <math>\rho</math> का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak g</math> हैं, तो वर्ण को <math>\chi_\rho</math> द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
:<math>\chi_\rho(X)=\operatorname{Tr}(e^{\rho(X)})</math>
वर्ण से संतोष होगा <math>\chi_\rho(\operatorname{Ad}_g(X))=\chi_\rho(X)</math> सभी के लिए <math>g</math> संबद्ध लाई समूह में <math> G</math> और <math>X\in\mathfrak g</math> होता है। यदि हमारे निकट लाई समूह प्रतिनिधित्व और संबद्ध लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व है, तो वर्ण <math>\chi_\rho</math> लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व वर्ण से संबंधित है <math>\Chi_\rho</math> सूत्र द्वारा समूह प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:
:<math>\chi_\rho(X)=\Chi_\rho(e^X)</math>

मान लीजिए कि अब <math>\mathfrak g</math> कार्टन उपबीजगणित के साथ जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित <math>\mathfrak h</math> है। वर्ण का मान <math>\chi_\rho</math> अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व <math>\rho</math> का <math>\mathfrak g</math> पर इसके मानों <math>\mathfrak h</math> द्वारा निर्धारित किया जाता है। वर्ण के प्रतिबंध <math>\mathfrak h</math> की गणना भार स्थान के रूप में सरलता से की जा सकती है, जो इस प्रकार है:
:<math>\chi_\rho(H) = \sum_\lambda m_\lambda e^{\lambda(H)},\quad H\in\mathfrak h</math>,
जहां योग सभी भारों से अधिक है <math>\lambda</math> का <math>\rho</math> और जहाँ <math>m_\lambda</math> की बहुलता <math>\lambda</math> है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Proposition 10.12</ref>

(प्रतिबंध <math>\mathfrak h</math>) वर्ण की गणना वेइल वर्ण सूत्र द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से की जा सकती है।

== यह भी देखें ==
*{{slink|अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व|सैद्धांतिक भौतिकी और रसायन विज्ञान में अनुप्रयोग}}
* [[संघ योजना]]एँ, समूह-वर्ण सिद्धांत का संयुक्त सामान्यीकरण।
* [[क्लिफर्ड सिद्धांत]], 1937 में ए. एच. क्लिफर्ड द्वारा पेश किया गया, परिमित समूह के जटिल इरेड्यूसिबल वर्ण के प्रतिबंध के बारे में जानकारी देता है {{mvar|G}} सामान्य उपसमूह के लिए {{mvar|N}}.
* [[फ्रोबेनियस सूत्र]]
* [[वास्तविक तत्व]], समूह तत्व g जैसे कि χ(g) सभी वर्णों χ के लिए वास्तविक संख्या है

==संदर्भ==
{{Reflist}}
{{refbegin}}
* Lecture 2 of {{Fulton-Harris}}  [http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic1381051.files/fulton-harris-representation-theory.pdf   online]
*{{Cite book | first = Terry | last = Gannon | title = Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics | year = 2006 | isbn = 978-0-521-83531-2 }}
* {{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
* {{cite book| last = Isaacs | first = I.M. | title=Character Theory of Finite Groups | publisher=Dover | year=1994 | isbn=978-0-486-68014-9 | edition=Corrected reprint of the 1976 original, published by Academic Press.}}
* {{cite book | last1 = James | first1 = Gordon |authorlink2=Martin Liebeck| last2 = Liebeck | first2 = Martin | title=Representations and Characters of Groups (2nd ed.) | year=2001 | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-00392-6}}
* {{cite book | author-link=J.-P. Serre | first=Jean-Pierre | last=Serre | title=Linear Representations of Finite Groups | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | isbn=978-0-387-90190-9 | location=New York-Heidelberg | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=42 | others=Translated from the second French edition by Leonard L. Scott | mr=0450380 | doi=10.1007/978-1-4684-9458-7 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr }}
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==बाहरी संबंध==
* {{PlanetMath|urlname=Character|title=Character}}

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