View source for विपरीत समूह

[[File:Opposite_group_nature.svg|thumbnail|यह एक समूह से उसके विपरीत तक द्विआधारी संचालन का  एक [[प्राकृतिक परिवर्तन]] है। {{angbr|''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub>}} दो समूह अवयव की क्रमित युग्म को दर्शाता है। *' को + के स्वाभाविक रूप से प्रेरित जोड़ के रूप में देखा जा सकता है।]][[समूह सिद्धांत]] में, गणित की एक शाखा, विपरीत समूह दूसरे समूह से एक [[समूह (गणित)|समूह]] बनाने का एक प्रकार है जो किसी को [[समूह क्रिया (गणित)|बाईं क्रिया (गणित)]] के विशेष प्रकरण के रूप में दाहिनी क्रिया को परिभाषित करने की अनुमति देती है।

[[मोनोइड|एकाभ]], समूह, रिंग, और बीजगणित को एक ही वस्तु वाली [[श्रेणी (गणित)|श्रेणियों (गणित)]] के रूप में देखा जा सकता है। [[विपरीत श्रेणी]] का निर्माण विपरीत समूह, विपरीत रिंग आदि का सामान्यीकरण करता है।

== परिभाषा ==
मान लीजिए <math>G</math> संचालन <math>*</math> के अंतर्गत एक समूह है। <math>G</math> के विपरीत समूह, जिसे <math>G^{\mathrm{op}}</math> कहा जाता है, <math>G</math> के समान अंतर्निहित समुच्चय है, और इसके समूह संचालन <math>\mathbin{\ast}</math> को <math>g_1 \mathbin{\ast'} g_2 = g_2 * g_1</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।

अगर <math>G</math> एबेलियन है, तो यह इसके विपरीत समूह के समान है। साथ ही, प्रत्येक समूह <math>G</math> (आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं) अपने विपरीत समूह के लिए स्वाभाविक रूप से अपने विपरीत समूह के समरूपी है: एक समरूपता <math>\varphi: G \to G^{\mathrm{op}}</math> <math>\varphi(x) = x^{-1}</math> द्वारा दी जाती है। अधिक सामान्यतः, कोई भी [[antiautomorphism|एंटीऑटोमोर्फिज्म]] <math>\psi: G \to G</math> एक संगत समरूपता <math>\psi': G \to G^{\mathrm{op}}</math> को <math>\psi'(g)=\psi(g)</math> के माध्यम से उन्नति देता है, क्योंकि
: <math>\psi'(g * h) = \psi(g * h) = \psi(h) * \psi(g) = \psi(g) \mathbin{\ast'} \psi(h)=\psi'(g) \mathbin{\ast'} \psi'(h).</math>
== समूह क्रिया ==
मान लीजिए कि <math>X</math> किसी श्रेणी में एक वस्तु है, और <math>\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)</math> एक सही क्रिया है। तब <math>\rho^{\mathrm{op}}: G^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Aut}(X)</math> एक बाईं क्रिया है जिसे <math>\rho^{\mathrm{op}}(g)x = x\rho(g)</math>, या <math>g^{\mathrm{op}}x = xg</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।

== यह भी देखें ==
* विपरीत रिंग
* विपरीत वर्ग 

== बाहरी संबंध ==
* [http://planetmath.org/oppositegroup http://planetmath.org/oppositegroup]

[[Category:Created On 26/05/2023]]
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[[Category:प्रतिनिधित्व सिद्धांत]]
[[Category:समूह सिद्धांत]]