View source for विलगित विलक्षणता (आइसोलेटेड सिंगुलेरिटी)

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[[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] में, गणित की एक शाखा, एक '''विलगित विलक्षणता (आइसोलेटेड सिंगुलेरिटी)''' वह है जिसके निकट कोई अन्य [[गणितीय विलक्षणता]] नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक सम्मिश्र संख्या ''z<sub>0</sub>'' एक फलन ''f'' की एक अलग विलक्षणता है यदि z<sub>0</sub> पर केंद्रित एक विवृत ''[[डिस्क (गणित)]] D'' उपस्थित है जैसे कि f ''D'' \ {z<sub>0</sub>} पर ''[[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]]'' है, जो कि z<sub>0</sub> को निकालकर D से प्राप्त ''[[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]]'' पर है।

औपचारिक रूप से, और [[सामान्य टोपोलॉजी]] के सामान्य सीम के अन्दर, एक होलोमोर्फिक फलन की एक अलग विलक्षणता एक फलन <math>f: \Omega\to \mathbb {C}</math> डोमेन <math>\Omega</math> की सीमा <math>\partial \Omega</math> का कोई [[पृथक बिंदु]] है। दूसरे शब्दों में, यदि <math>U</math>, <math>\mathbb {C}</math>, <math>a\in U</math> का एक खुला उपसमुच्चय है और <math>f: U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}</math> एक होलोमोर्फिक फलन है, तो <math>a</math>, <math>f</math> की एक आइसोलेटेड सिंगुलेरिटी है।

खुले उपसमुच्चय पर [[मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक फलन]] की प्रत्येक विलक्षणता <math>U\subset \mathbb{C}</math> पृथक है, लेकिन केवल विलक्षणताओं का पृथक्करण यह गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है कि कोई फलन मेरोमोर्फिक है। सम्मिश्र विश्लेषण के कई महत्वपूर्ण उपकरण जैसे [[लॉरेंट श्रृंखला]] और अवशेष प्रमेय के लिए आवश्यक है कि फलन की सभी प्रासंगिक विलक्षणताओं को अलग किया जाए।

आइसोलेटेड सिंगुलेरिटीएँ तीन प्रकार की होती हैं: [[हटाने योग्य विलक्षणता]], [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)|ध्रुव (सम्मिश्र विश्लेषण)]] और [[आवश्यक विलक्षणता]]।

==उदाहरण==

*फलन <math>\frac {1} {z}</math> आइसोलेटेड सिंगुलेरिटी के रूप में 0 है।
* सहसंयोजक फलन <math>\csc \left(\pi z\right)</math> प्रत्येक [[पूर्णांक]] आइसोलेटेड सिंगुलेरिटी के रूप में है।

==असंबद्ध विलक्षणताएं==
आइसोलेटेड सिंगुलेरिटीओं के अतिरिक्त, वेरिएबल के सम्मिश्र फलन अन्य विलक्षण व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं। अर्थात्, दो प्रकार की असंबद्ध विलक्षणताएँ उपस्थित हैं:

* '''क्लस्टर बिंदु''', अर्थात् आइसोलेटेड सिंगुलेरिटीओं के सीमा बिंदु: यदि वे सभी ध्रुव हैं, तो उनमें से प्रत्येक पर लॉरेंट श्रृंखला के विस्तार को स्वीकार करने के अतिरिक्त, इसकी सीमा पर ऐसा कोई विस्तार संभव नहीं है।
* '''प्राकृतिक सीमाएँ''', अर्थात् कोई भी गैर-पृथक समुच्चय (उदाहरण के लिए वक्र) जिसके चारों ओर फलन [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] (या उनके बाहर यदि वे [[रीमैन क्षेत्र]] में बंद वक्र हैं) नहीं हो सकते हैं।

===उदाहरण===
* फलन <math display="inline">\tan\left(\frac{1}{z}\right)</math> <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> पर [[मेरोमोर्फिक]] है, जिसमें प्रत्येक <math> n\in\mathbb{N}_0</math> के लिए <math display="inline">z_n = \left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^{-1}</math> पर सरल ध्रुव होते हैं। चूँकि <math>z_n\rightarrow 0</math>, <math>0</math> पर केन्द्रित प्रत्येक छिद्रित डिस्क के अन्दर इसके अन्दर अनंत संख्या में विलक्षणताएँ होती हैं, इसलिए <math>0</math> के आसपास <math display="inline">\tan\left(\frac{1}{z}\right)</math> के लिए कोई लॉरेंट विस्तार उपलब्ध नहीं है, जो वास्तव में इसके ध्रुवों का एक क्लस्टर बिंदु है। जो वास्तव में इसके ध्रुवों का क्लस्टर बिंदु है। 
* फलन <math display="inline">\csc \left(\frac {\pi} {z}\right)</math> 0 पर विलक्षणता होती है जो पृथक नहीं होती है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक के गुणन व्युत्क्रम में अतिरिक्त विलक्षणताएँ होती हैं, जो स्वैच्छिक रूप से 0 के निकट स्थित होती हैं (चूँकि इन व्युत्क्रमों पर विलक्षणताएँ स्वयं पृथक होती हैं)।
*[[मैकलॉरिन श्रृंखला]] <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}</math> के माध्यम से परिभाषित फलन <math>0</math> केन्द्रित विवृत इकाई डिस्क के अंदर एकत्रित होती है और इकाई वृत्त इसकी प्राकृतिक सीमा है।

== बाहरी संबंध ==

*  [[Lars Ahlfors|Ahlfors, L.]], ''Complex Analysis, 3 ed.'' (McGraw-Hill, 1979).

*  [[Walter Rudin|Rudin, W.]], ''Real and Complex Analysis, 3 ed.'' (McGraw-Hill, 1986).

* {{MathWorld | urlname= Singularity | title= Singularity}}

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