View source for वॉन न्यूमैन बीजगणित

{{Short description|*-algebra of bounded operators on a Hilbert space}}गणित में, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित या W*-बीजगणित एक [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |हिल्बर्ट स्पेस]] पर [[परिबद्ध रैखिक संचालिका]] का एक *-[[बीजगणित]] है जो [[कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी]] में बंद है और इसमें [[पहचान ऑपरेटर]] सम्मलित है। यह एक विशेष प्रकार का C*-बीजगणित है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित मूल रूप से [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, जो एकल [[ऑपरेटर सिद्धांतों]], [[समूह प्रतिनिधित्व]], [[एर्गोडिक सिद्धांत]] और [[क्वांटम यांत्रिकी]] के अपने अध्ययन से प्रेरित थे, उसका [[वॉन न्यूमैन डबल कम्यूटेंट प्रमेय]] यह दर्शाता है कि [[गणितीय विश्लेषण]] परिभाषा समद्स्य बीजगणित की बीजगणित के रूप में शुद्ध बीजगणितीय परिभाषा के समतुल्य होती है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित के दो मूल उदाहरण इस प्रकार हैं:
*वास्तविक रेखा पर अनिवार्य रूप से परिबद्ध मापनीय कार्यों का वलय <math>L^\infty(\mathbb R)</math> एक क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित है, जिसके तत्व स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के हिल्बर्ट स्पेस <math>L^2(\mathbb R)</math> पर बिंदुवार गुणन द्वारा गुणन संचालकों के रूप में कार्य करते हैं।
*हिल्बर्ट स्पेस पर सभी बाउंडेड ऑपरेटरों का बीजगणित <math>\mathcal B(\mathcal H)</math>, <math>\mathcal H</math> एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है, गैर-कम्यूटेटिव यदि हिल्बर्ट स्पेस में आयाम कम से कम 2 है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित का पहली बार अध्ययन [[वॉन न्यूमैन]] (1930) द्वारा 1929 में किया गया था; उन्होंने और [[फ्रांसिस जोसेफ मरे|फ्रांसिस जोसेफ]] [[मुरे|मूर्रे]] ने 1930 और 1940 के दशक में लिखे गए पत्रों की एक श्रृंखला में, ऑपरेटरों के छल्ले के मूल नाम के अनुसार मूल सिद्धांत विकसित किया (एफ.जे. मूर्रे और जे. वॉन न्यूमैन [[1936, 1937, 1943]]; जे. वॉन न्यूमैन [[1938, 1940]]) , [[1943, 1949]]), [[वॉन न्यूमैन (1961)]] के एकत्रित कार्यों में पुनर्मुद्रित किया था।

वॉन न्यूमैन बीजगणित के परिचयात्मक खाते [[जोन्स (2003)]] और [[वासरमैन (1991)]] के ऑनलाइन नोट्स और [[डिक्समियर (1981), श्वार्ट्ज (1967), ब्लैकडार (2005)]] और [[सकाई (1971)]] की पुस्तकों में दिए गए हैं। [[ताकेसाकी (1979)]] द्वारा तीन खंडों का काम सिद्धांत का एक विश्वकोषीय विवरण देता है। [[कॉन्स (1994)]] की पुस्तक अधिक उन्नत विषयों पर चर्चा करती है।

== परिभाषाएँ ==
वॉन न्यूमैन बीजगणित को परिभाषित करने के तीन सामान्य विधि हैं।

पहला और सबसे सामान्य विधि उन्हें पहचान वाले (हिल्बर्ट स्पेस पर) बंधे [[ऑपरेटर टोपोलॉजी]] के कमजोर बंद * बीजगणित के रूप में परिभाषित करना है। इस परिभाषा में कमजोर (ऑपरेटर) टोपोलॉजी को [[मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी]], [[अल्ट्रास्ट्रॉन्ग टोपोलॉजी]] या [[अल्ट्रावीक]] [[ अल्ट्रा कमजोर टोपोलॉजी |टोपोलॉजी]] ऑपरेटर टोपोलॉजी सहित कई अन्य सामान्य टोपोलॉजी से बदला जा सकता है। बाउंडेड ऑपरेटरों के *-बीजगणित जो [[मानक टोपोलॉजी]] में बंद हैं, C*-बीजगणित हैं, इसलिए विशेष रूप से कोई भी वॉन न्यूमैन बीजगणित एक C*-बीजगणित है।

दूसरी परिभाषा यह है कि एक वॉन न्यूमैन बीजगणित इनवोल्यूशन (* -ऑपरेशन) के अनुसार बंद किए गए बाउंडेड ऑपरेटरों का एक उपबीजगणित है और इसके डबल [[ वे विनिमय करते हैं |विनिमय]] कम्यूटेंट के बराबर है, या समतुल्य रूप से * के अनुसार बंद कुछ उपबीजगणित का कम्यूटेंट है। वॉन न्यूमैन डबल कम्यूटेंट प्रमेय ([[वॉन न्यूमैन 1930]]) कहता है कि पहली दो परिभाषाएँ समकक्ष हैं।

पहली दो परिभाषाएँ एक वॉन न्यूमैन बीजगणित का ठोस रूप से वर्णन करती हैं, जो कुछ दिए गए हिल्बर्ट स्पेस पर काम करने वाले ऑपरेटरों के एक समूह के रूप में हैं। {{harvtxt|सकाई|1971}} ने दिखाया कि वॉन न्यूमैन बीजगणित को अमूर्त रूप से C * - बीजगणित के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें एक पूर्ववर्ती है; दूसरे शब्दों में, वॉन न्यूमैन बीजगणित, जिसे बनच स्थान माना जाता है, कुछ अन्य बनच स्थान का दोहरा है जिसे पूर्ववर्ती कहा जाता है। वॉन न्यूमैन बीजगणित का पूर्ववर्ती वास्तव में समरूपता तक अद्वितीय है। कुछ लेखक हिल्बर्ट स्पेस क्रिया के साथ बीजगणित के लिए वॉन न्यूमैन बीजगणित का उपयोग करते हैं, और अमूर्त अवधारणा के लिए W*-बीजगणित, इसलिए एक वॉन न्यूमैन बीजगणित एक हिल्बर्ट स्पेस के साथ एक W*-बीजगणित है और पर एक उपयुक्त वफादार एकात्मक कार्रवाई है। वॉन न्यूमैन बीजगणित की ठोस और अमूर्त परिभाषाएँ C * बीजगणित की ठोस और अमूर्त परिभाषाओं के समान हैं, जिन्हें या तो हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के मानदंड-बंद * बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, या बनच * बीजगणित के रूप में ||''aa*''||=||''a''|| ||''a*''|| परिभाषित किया जा सकता है।

== शब्दावली ==
वॉन न्यूमैन बीजगणित सिद्धांत में कुछ शब्दावली भ्रमित करने वाली हो सकती हैं, और विषय के बाहर अधिकांशतः शब्दों के भिन्न-भिन्न अर्थ होते हैं।

*एक कारक एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है जिसमें तुच्छ केंद्र होता है, अर्थात एक ऐसा केंद्र जिसमें मात्र स्केलर ऑपरेटर होते हैं।
*एक परिमित वॉन न्यूमैन बीजगणित वह है जो प्रत्यक्ष अभिन्न है, परिमित कारकों के वॉन न्यूमैन बीजगणित का प्रत्यक्ष अभिन्न अंग (जिसका अर्थ है वॉन न्यूमैन बीजगणित में एक वफादार सामान्य ट्रेसियल स्थिति T: M →ℂ है, देखें http://perso.ens- lyon.fr/gaboriau/evenements/IHP-trimester/IHP-CIRएम/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf)। इसी प्रकार, उचित रूप से अनंत वॉन न्यूमैन बीजगणित उचित रूप से अनंत कारकों का प्रत्यक्ष अभिन्न अंग हैं।
*एक वॉन न्यूमैन बीजगणित जो एक वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस पर कार्य करता है, वियोज्य कहलाता है। ध्यान दें कि इस प्रकार के बीजगणित मानक टोपोलॉजी में संभवतः ही कभी [[वियोज्य स्थान]] होते हैं।
*वॉन न्यूमैन बीजगणित एक हिल्बर्ट स्पेस पर बाउंडेड ऑपरेटरों के एक समूह द्वारा उत्पन्न होता है, जो उन सभी ऑपरेटरों को सम्मलित करने वाला सबसे छोटा वॉन न्यूमैन बीजगणित है।
*दो हिल्बर्ट स्पेस पर अभिनय करने वाले दो वॉन न्यूमैन बीजगणित के टेंसर उत्पाद को उनके बीजगणितीय टेंसर उत्पाद द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे हिल्बर्ट स्पेस के हिल्बर्ट स्पेस टेंसर उत्पाद पर ऑपरेटर के रूप में माना जाता है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित पर टोपोलॉजी के बारे में (गणित) भूलकर, हम इसे एक (इकाई) स्टार-बीजगणित * - बीजगणित, या सिर्फ एक रिंग मान सकते हैं। वॉन न्यूमैन बीजगणित अर्ध-वंशानुगत वलय हैं: एक प्रक्षेपी मॉड्यूल का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न सबमॉड्यूल स्वयं प्रक्षेपी होता है। बेयर *-रिंग्स और ऐडब्लू* [[तारा-बीजगणित]] सहित वॉन न्यूमैन बीजगणित के अंतर्निहित रिंगों को स्वयंसिद्ध करने के कई प्रयास किए गए हैं। एक परिमित वॉन न्यूमैन बीजगणित के [[संबद्ध ऑपरेटर|संबद्ध]] [[ऑपरेटरों]] का *-बीजगणित एक [[वॉन न्यूमैन नियमित रिंग]] है। (वॉन न्यूमैन बीजगणित स्वयं सामान्य रूप से वॉन न्यूमैन नियमित नहीं है।)

== न्यूमन बीजगणित के क्रमविनिमेय ==
{{Main|एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित}}

क्रम[[विनिमेय]] वॉन न्यूमैन बीजगणित और माप स्थान के बीच का संबंध क्रमविनिमेय C*-बीजगणित और [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] हौसडॉर्फ स्पेस स्थान के बीच के समान है। न्यूमैन बीजगणित का प्रत्येक क्रमविनिमेय एलपी स्थान L<sup>∞</sup> के लिए आइसोमोर्फिक है (X) कुछ माप स्थान (X, μ) के लिए और इसके विपरीत, प्रत्येक σ-परिमित माप स्थान X के लिए, *-बीजगणित L<sup>∞</sup>(X) एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है।

इस समानता के कारण, वॉन न्यूमैन बीजगणित के सिद्धांत को गैर-अनुक्रमिक माप सिद्धांत कहा जाता है, जबकि C*-बीजगणित के सिद्धांत को कभी-कभी गैर-अनुक्रमिक टोपोलॉजी कहा जाता है। {{harv|कोन्स|1994}}.

== प्रक्षेपण ==
एक वॉन न्यूमैन बीजगणित में संचालक E जिसके लिए E = EE = E* 'अनुमान' कहलाते हैं; वे वास्तव में संकारक हैं जो कुछ बंद उप-स्थान पर एच का एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण देते हैं। हिल्बर्ट स्पेस एच के एक उप-स्थान को वॉन न्यूमैन बीजगणित एम से 'संबंधित' कहा जाता है यदि यह एम में कुछ प्रक्षेपण की छवि है। यह एम के अनुमानों और एम से संबंधित उप-स्थानों के बीच 1: 1 पत्राचार स्थापित करता है। अनौपचारिक रूप से ये बंद उप-स्थान हैं जिन्हें एम के तत्वों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, या एम के बारे में जानता है।

यह दिखाया जा सकता है कि एम में किसी भी ऑपरेटर की छवि को बंद करना और एम में किसी भी ऑपरेटर की कर्नेल एम से संबंधित है। साथ ही, एम से संबंधित किसी उप-स्थान के एम के ऑपरेटर के अनुसार छवि को बंद करना भी एम से संबंधित है। (ये परिणाम [[ध्रुवीय अपघटन]] का परिणाम हैं)।

=== अनुमानों की तुलना सिद्धांत ===
अनुमानों के मूल सिद्धांत द्वारा काम किया गया था {{harvtxt|मूर्रे|वॉन न्यूमैन|1936}}. एम से संबंधित दो उप-स्थानों को ('मूर्रे-वॉन न्यूमैन') 'समतुल्य' कहा जाता है, यदि [[आंशिक आइसोमेट्री]] मानचित्रण पहले आइसोमोर्फिक रूप से दूसरे पर होता है जो वॉन न्यूमैन बीजगणित का एक तत्व है। (अनौपचारिक रूप से, यदि एम जानता है कि उप-स्थान हैं आइसोमॉर्फिक) यह E को F के समतुल्य होने के लिए परिभाषित करके अनुमानों पर एक प्राकृतिक [[तुल्यता संबंध]] को प्रेरित करता है यदि संबंधित उप-स्थान समतुल्य हैं, या दूसरे शब्दों में यदि H का आंशिक आइसोमेट्री है जो E की छवि को F की छवि के लिए आइसोमेट्रिक रूप से मैप करता है और एक है वॉन न्यूमैन बीजगणित का तत्व, यदि E=uu* और F=u*u कुछ आंशिक आइसोमेट्री u के लिए एम में इसे बताने का एक और विधि यह है कि E, F के समतुल्य है।

इस प्रकार परिभाषित तुल्यता संबंध ~ निम्नलिखित अर्थों में योज्य है: मान लीजिए E1 ~ F1 और E2 ~ F2। यदि E1 ⊥ E2 और F1 ⊥ F2, तो E1 + E2 ~ F1 + F2, यदि किसी को ~ की परिभाषा में एकात्मक तुल्यता की आवश्यकता होती है, अर्थात यदि हम कहते हैं कि E, F के समतुल्य है, यदि u*Eu = F कुछ एकात्मक u के लिए है, तो सामान्यतः योगात्मकता मान्य नहीं होगी। संचालक बीजगणित के लिए श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय मूर्रे-वॉन न्यूमैन समकक्षता के लिए पर्याप्त स्थिति प्रदान करता है।

एम से संबंधित उप-स्थानों को आंशिक रूप से सम्मलित करने का आदेश दिया गया है, और यह अनुमानों के आंशिक आदेश ≤ को प्रेरित करता है। अनुमानों के आंशिक क्रम ≤ द्वारा प्रेरित अनुमानों के समतुल्य वर्गों के समूह पर एक प्राकृतिक आंशिक आदेश भी है। यदि एम एक कारक है, तो ≤ अनुमानों के समतुल्य वर्गों पर कुल आदेश है, जो नीचे दिए गए अंशों पर अनुभाग में वर्णित है।

एक प्रक्षेपण (या एम से संबंधित उप-स्पेस) ई को 'सीमित प्रक्षेपण' कहा जाता है यदि कोई प्रक्षेपण एफ <ई (मतलब एफ ≤ ई और एफ ≠ ई) नहीं है जो ई के बराबर है। उदाहरण के लिए, सभी परिमित-आयामी अनुमान (या उप-स्थान) सीमित हैं (चूंकि हिल्बर्ट स्पेस स्थान के बीच आइसोमेट्रीज़ आयाम को छोड़ देते हैं), लेकिन अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्पेस पर पहचान ऑपरेटर उस पर सभी बाध्य ऑपरेटरों के वॉन न्यूमैन बीजगणित में सीमित नहीं है, क्योंकि यह आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है स्वयं के उचित उपसमूह के लिए चूंकि अनंत आयामी उप-स्थानों का परिमित होना संभव है।

ऑर्थोगोनल अनुमान L<sup>∞</sup> में संकेतक कार्यों के गैर-अनुरूप हैं ''L''<sup>∞</sup>('''R'''). ''L''<sup>∞</sup>('''R''') है, ||·||<sub>∞</sub>संकेतक कार्यों द्वारा उत्पन्न उप-स्थान का बंद होना इसी प्रकार, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित इसके अनुमानों से उत्पन्न होता है; यह स्वयं-संलग्न संकारक स्पेक्ट्रल प्रमेय स्व-संलग्न संकारकों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का परिणाम है।

परिमित कारक के प्रक्षेपण एक सतत ज्यामिति बनाते हैं।

== कारक ==
एक वॉन न्यूमैन बीजगणित एन जिसके [[केंद्र (बीजगणित)]] में मात्र पहचान ऑपरेटर के गुणक होते हैं, एक 'कारक' कहलाता है। {{harvtxt|वॉन न्यूमैन|1949}} ने दिखाया कि एक वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस पर प्रत्येक वॉन न्यूमैन बीजगणित कारकों के [[प्रत्यक्ष अभिन्न]] अंग के लिए आइसोमोर्फिक है। यह अपघटन अनिवार्य रूप से अद्वितीय है। इस टाइप, वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस स्थान पर वॉन न्यूमैन बीजगणित के समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने की समस्या को कारकों के समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने के लिए कम किया जा सकता है।

{{harvtxt|मूर्रे|वॉन न्यूमैन|1936}} ने दिखाया कि नीचे वर्णित प्रत्येक कारक में 3 टाइपों में से एक है। टाइप वर्गीकरण को वॉन न्यूमैन बीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है जो कारक नहीं हैं, और एक वॉन न्यूमैन बीजगणित टाइप X का है यदि इसे टाइप X कारकों के प्रत्यक्ष अभिन्न अंग के रूप में विघटित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, प्रत्येक क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित का टाइप I<sub>1</sub> है, प्रत्येक वॉन न्यूमैन बीजगणित को टाइप I, II और III के वॉन न्यूमैन बीजगणित के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

कारकों को वर्गों में विभाजित करने के कई अन्य विधि हैं जो कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं:

* एक कारक को असतत (या कभी-कभी वश में) कहा जाता है यदि उसका टाइप I है, और निरंतर (या कभी-कभी जंगली) यदि उसका टाइप II या III है।
* एक कारक को अर्ध-परिमित कहा जाता है यदि उसका टाइप I या II है, और विशुद्ध रूप से अनंत है यदि उसका टाइप III है।
* एक कारक को परिमित कहा जाता है यदि प्रक्षेपण 1 परिमित है और ठीक से अन्यथा अनंत है। टाइप I और II के कारक या तो परिमित या ठीक से अनंत हो सकते हैं, लेकिन टाइप III के कारक निरंतर उचित रूप से अनंत होते हैं।

=== टाइप I कारक ===
एक कारक को टाइप I कहा जाता है यदि न्यूनतम प्रक्षेपण 'ई ≠ 0'' है, अर्थात एक प्रक्षेपण 'ई' ऐसा है कि 0 <'एफ' के साथ कोई अन्य प्रक्षेपण 'एफ' नहीं है '<' ई'' टाइप I का कोई भी कारक कुछ हिल्बर्ट स्पेस पर 'सभी' परिबद्ध ऑपरेटरों के वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए समरूप है; चूंकि प्रत्येक कार्डिनल संख्या के लिए एक हिल्बर्ट स्पेस है, टाइप I के कारकों के आइसोमोर्फिज्म वर्ग पूरी प्रकार से [[ बुनियादी संख्या |मौलिक]] [[संख्यो]] के अनुरूप हैं। चूंकि कई लेखक वॉन न्यूमैन बीजगणित को मात्र वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस स्थान पर मानते हैं, यह परिमित आयाम ''n'' के हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे हुए ऑपरेटरों को टाइप I का एक कारक कहने के लिए प्रथागत है और भिन्न-भिन्न अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे हुए ऑपरेटर, टाइप I<sub>∞</sub> का एक कारक है।

=== टाइप II कारक ===
एक कारक को द्वितीय टाइप का कहा जाता है यदि न्यूनतम अनुमान नहीं हैं लेकिन गैर-शून्य वॉन न्यूमैन बीजगणित अनुमानों की तुलना सिद्धांत हैं। इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक प्रक्षेपण ''ई'' को इस अर्थ में "आधा" किया जा सकता है कि दो प्रक्षेपण ''एफ'' और ''जी'' हैं जो वॉन न्यूमैन बीजगणित हैं अनुमानों की तुलना सिद्धांत|मूर्रे-वॉन न्यूमैन समकक्ष और ''ई'' = ''एफ'' + ''जी'' को संतुष्ट करें यदि किसी टाइप II कारक में पहचान संकारक परिमित है, तो कारक को टाइप II का कहा जाता है; अन्यथा, इसे टाइप II<sub>∞</sub> का कहा जाता है, टाइप II के सबसे अच्छे समझे जाने वाले कारक हैं हाइपरफिनिट टाइप II-1 फैक्टर कारक और अतिपरमित टाइप II-इन्फिनिटी कारक अतिपरमित टाइप II<sub>∞</sub> कारक, द्वारा पाया गया {{harvtxt|मूर्रे|वॉन न्यूमैन|1936}} ये टाइप II के अद्वितीय अतिपरिमित कारक हैं और द्वितीय<sub>∞</sub>; इस टाइप के अन्य कारकों की एक बेशुमार संख्या है जो गहन अध्ययन का विषय हैं। {{harvtxt|Murray|von Neumann|1937}} ने मौलिक परिणाम सिद्ध किया कि टाइप II<sub>1</sub> का कारक एक अद्वितीय परिमित ट्रेसियल अवस्था है, और अनुमानों के निशान का समूह [0,1] है।

टाइप II<sub>∞</sub> का एक कारक एक अर्धसूत्रीय निशान है, जो बनावट बदलने के लिए अद्वितीय है, और अनुमानों के निशान का समूह [0,∞] है। वास्तविक संख्याओं का समूह λ जैसे कि λ के एक कारक द्वारा ट्रेस को दोबारा बदलने वाला एक ऑटोमोर्फिज्म है, जिसे टाइप II<sub>∞</sub> का मौलिक समूह कारक कहा जाता है।

टाइप II<sub>1</sub> के कारक का टेंसर उत्पाद और एक अनंत टाइप I कारक का टाइप II<sub>∞</sub> है, और इसके विपरीत टाइप II<sub>∞</sub> का कोई कारक इस टाइप बनाया जा सकता है। एक टाइप II<sub>1</sub> का मौलिक समूह कारक को I के अनंत (वियोज्य) कारक के साथ अपने टेंसर उत्पाद के मौलिक समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। कई वर्षों तक यह एक टाइप II कारक खोजने के लिए एक खुली समस्या थी जिसका मौलिक समूह [[सकारात्मक वास्तविक]]ताओं का समूह नहीं था, लेकिन [[ एलेन कोन्स |एलेन कोन्स]] ने तब दिखाया कि कज़दान की संपत्ति (T) के साथ एक गणनीय असतत समूह के वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित (दोहरी जगह में तुच्छ प्रतिनिधित्व भिन्न है), जैसे कि एसएल (3, Z), एक गणनीय मौलिक समूह है। इसके बाद, [[सोरिन पोपा]] ने दिखाया कि मौलिक समूह कुछ समूहों के लिए तुच्छ हो सकता है, जिसमें Z का [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] भी SL(2,Z) द्वारा सम्मलित है।

टाइप II<sub>1</sub> का एक उदाहरण कारक एक गणनीय अनंत असतत समूह का वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित है, जैसे कि प्रत्येक गैर-तुच्छ संयुग्मन वर्ग अनंत है।

{{harvtxt|McDuff|1969}} गैर-आइसोमोर्फिक वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित वाले ऐसे समूहों का एक बेशुमार परिवार मिला, इस टाइप बेशुमार रूप से कई भिन्न-भिन्न टाइप II कारक के अस्तित्व को दर्शाता है।

=== टाइप III कारक ===
अंत में, टाइप III कारक ऐसे कारक हैं जिनमें कोई भी गैर-परिमित परिमित प्रक्षेपण नहीं होता है। उनके पहले पेपर में {{harvtxt|मूर्रे|वॉन न्यूमैन|1936}} वे अस्तित्व में थे या नहीं, यह तय करने में असमर्थ थे; पहले उदाहरण पश्चात में द्वारा पाए गए {{harvtxt|वॉन न्यूमैन|1940}} चूंकि पहचान ऑपरेटर उन कारकों में निरंतर अनंत होता है, इसलिए उन्हें कभी-कभी टाइप III<sub>∞</sub> कहा जाता था अतीत में, लेकिन हाल ही में उस संकेतन को संकेतन III द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है, जहां λ अंतराल [0,1] में एक वास्तविक संख्या है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि कॉन्स स्पेक्ट्रम (इसके मॉड्यूलर समूह का) 1 है तो कारक टाइप III का है<sub>0</sub>, यदि कोन्स स्पेक्ट्रम 0 < λ < 1 के लिए λ की सभी अभिन्न पावर हैं, तो टाइप III है, और यदि कॉन्स स्पेक्ट्रम सभी धनात्मक वास्तविक हैं तो टाइप III है (कॉन्स स्पेक्ट्रम सकारात्मक वास्तविकताओं का एक बंद उपसमूह है, इसलिए ये एकमात्र संभावनाएं हैं।) टाइप III कारकों पर एकमात्र निशान सभी गैर-शून्य सकारात्मक तत्वों पर मान ∞ लेता है, और कोई भी दो गैर-शून्य प्रक्षेपण समकक्ष हैं। एक समय में III कारकों को अट्रैक्टिव ऑब्जेक्ट माना जाता था, लेकिन टोमिटा-ताकेसाकी सिद्धांत ने एक अच्छी संरचना सिद्धांत का नेतृत्व किया है। विशेष रूप से, किसी भी टाइप III कारक को एक टाइप II<sub>∞</sub> के पार किए गए उत्पाद के रूप में विहित विधि से लिखा जा सकता है कारक और वास्तविक संख्या होती है।

== प्रीडुअल ==
किसी भी वॉन न्यूमैन बीजगणित एम में एक पूर्ववर्ती एम∗ है, जो एम पर सभी अत्यंत कमजोर निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं का बनच स्थान है। जैसा कि नाम से पता चलता है, एम (एक बनच स्पेस के रूप में) इसके पूर्ववर्ती का दोहरा है। प्रीड्युअल इस अर्थ में अद्वितीय है कि कोई भी अन्य बैनच स्पेस जिसका दोहरा एम है, कैनोनिक रूप से एम∗ के लिए आइसोमॉर्फिक है। {{harvtxt|सकाई|1971}} ने दिखाया कि C* बीजगणित के बीच वॉन न्यूमैन बीजगणित की एक पूर्ववर्ती विशेषता का अस्तित्व है।

ऊपर दिए गए पूर्ववर्ती की परिभाषा हिल्बर्ट स्पेस की पसंद पर निर्भर करती है, जिस पर एम कार्य करता है, क्योंकि यह अल्ट्रावीक टोपोलॉजी निर्धारित करता है। (यहाँ "सामान्य" का अर्थ है कि यह स्व-संलग्न संचालकों के बढ़ते जालों पर लागू होने पर सर्वोच्चता को संरक्षित करता है; या समान रूप से अनुमानों के बढ़ते अनुक्रमों के लिए।) चूंकि प्रीडुअल को हिल्बर्ट स्पेस का उपयोग किए बिना भी परिभाषित किया जा सकता है, जिस पर एम कार्य करता है, इसे एम पर सभी सकारात्मक सामान्य रैखिक कार्यात्मकताओं द्वारा उत्पन्न स्थान के रूप में परिभाषित करता है। 

प्रीडुअल एम∗ दोहरे एम* का एक बंद उपस्थान है (जिसमें एम पर सभी मानक-निरंतर रैखिक कार्यात्मक होते हैं) लेकिन सामान्यतः छोटा होता है, प्रमाण है कि एम * (सामान्यतः) एम * के समान नहीं है गैर रचनात्मक है और एक आवश्यक विधि से पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है; एम* के स्पष्ट तत्वों को प्रदर्शित करना बहुत कठिन है जो एम* में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन बीजगणित ∞(Z) पर विदेशी सकारात्मक रैखिक रूप मुक्त [[अल्ट्राफिल्टर]] द्वारा दिए गए हैं; वे C में विदेशी *-होमोमोर्फिज्म के अनुरूप हैं और जेड के स्टोन-सीएच कॉम्पैक्टिफिकेशन का वर्णन करते हैं।

उदाहरण:
#R पर अनिवार्य रूप से परिबद्ध फलनों के वॉन न्यूमैन बीजगणित L∞(R) का पूर्ववर्ती समाकलनीय फलनों का बनच स्थान L1(R) है। L∞(R) का द्वैत L1(R) से सख्ती से बड़ा है उदाहरण के लिए, L∞(R) पर एक कार्यात्मक जो परिबद्ध निरंतर कार्यों C0b(R) के बंद उपस्थान पर डायराक माप δ0 का विस्तार करता है, को एक के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। एल1(आर) में कार्य करता है।
#हिल्बर्ट स्पेस एच पर बंधे ऑपरेटरों के वॉन न्यूमैन बीजगणित ''B''(''H'') का पूर्ववर्ती ट्रेस मानदंड के साथ सभी ट्रेस क्लास ऑपरेटरों का बानाच स्पेस है ||''A''||= Tr(|''A''|) ट्रेस क्लास ऑपरेटरों का बैनाच स्पेस कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के C * - बीजगणित का दोहरा है (जो वॉन न्यूमैन बीजगणित नहीं है)।

== वज़न, अवस्थाएँ और निशान ==
{{Further|गैर-अनुवर्ती उपाय और एकीकरण}}

बाट और उनके विशेष स्थितियों स्टेटों और निशानों पर विस्तार से चर्चा की गई है {{harv|Takesaki|1979}}.

*वॉन न्यूमैन बीजगणित पर भार ω, C*-बीजगणित#स्व-संलग्न तत्वों ('a*a'' के रूप वाले) से [0,∞] के समूह का एक रेखीय नक्शा है।''
* एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक ω(1) परिमित (या अपितु रैखिकता द्वारा पूरे बीजगणित के लिए ω का विस्तार) के साथ एक वजन है।
*एक स्थिति (कार्यात्मक विश्लेषण) ω(1) = 1 के साथ एक भार है।
*ट्रेस सभी ''a'' के लिए ω(''aa*'') = ω(''a*a'') वाला वजन है।
*ट्रेसियल स्थिति ω(1) = 1 के साथ एक ट्रेस है।

किसी भी कारक में एक निशान होता है जैसे गैर-शून्य प्रक्षेपण का निशान गैर-शून्य होता है और प्रक्षेपण का निशान अनंत होता है और मात्र तभी प्रक्षेपण अनंत होता है। इस प्रकार का निशान पुनर्विक्रय तक अद्वितीय है। उन कारकों के लिए जो वियोज्य या परिमित हैं, दो प्रक्षेपण समतुल्य हैं यदि और मात्र यदि उनके पास एक ही निशान है। कारक के अनुमानों पर इस ट्रेस के संभावित मूल्यों से कारक के टाइप को निम्नानुसार पढ़ा जा सकता है:
* टाइप I<sub>''n''</sub>: 0, x, 2x, ...., nx कुछ सकारात्मक x के लिए (सामान्यतः 1/n या 1 होने के लिए सामान्यीकृत)
* टाइप I<sub>∞</sub>: 0, x, 2x, ....,∞ कुछ धनात्मक x के लिए (सामान्यतः 1 होने के लिए सामान्यीकृत)
* टाइप II<sub>1</sub>: [0,x] कुछ सकारात्मक x के लिए (सामान्यतः 1 होने के लिए सामान्यीकृत)
* टाइप II<sub>∞</sub>: [0,∞]
*टाइप III: {0,∞}

यदि एक वॉन न्यूमैन बीजगणित हिल्बर्ट स्पेस पर कार्य करता है जिसमें एक मानक 1 सदिश वी होता है, तो कार्यात्मक → (एवी, वी) एक सामान्य स्थिति है। सामान्य स्थिति से हिल्बर्ट स्पेस पर कार्रवाई करने के लिए इस निर्माण को उलटा किया जा सकता है: यह सामान्य स्टेटों के लिए [[जीएनएस निर्माण]] है।

== एक कारक से अधिक मॉड्यूल ==
एक अमूर्त वियोज्य कारक को देखते हुए, कोई इसके मॉड्यूल के वर्गीकरण के लिए पूछ सकता है, जिसका अर्थ है भिन्न-भिन्न हिल्बर्ट स्पेस जिस पर यह कार्य करता है। उत्तर इस प्रकार दिया गया है: ऐसे प्रत्येक मॉड्यूल H को एम-आयाम मंद दिया जा सकता है <sub>''एम''</sub>(एच) (एक जटिल सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम नहीं) जैसे कि मॉड्यूल आइसोमॉर्फिक हैं यदि और मात्र यदि उनके पास समान एम-आयाम है। एम-आयाम योगात्मक है, और एक मॉड्यूल दूसरे मॉड्यूल के एक उप-स्थान के लिए आइसोमॉर्फिक है यदि और मात्र यदि इसका छोटा या बराबर एम-आयाम है।

एक मॉड्यूल को 'मानक' कहा जाता है यदि इसमें एक चक्रीय पृथक्करण सदिश होता है। प्रत्येक कारक का एक मानक प्रतिनिधित्व होता है, जो समरूपता के लिए अद्वितीय है। मानक प्रतिनिधित्व में एक एंटीलाइनर इनवॉल्यूशन जे है जैसे कि जेएमजे = एम' परिमित कारकों के लिए मानक मॉड्यूल जीएनएस निर्माण द्वारा अद्वितीय सामान्य ट्रेसियल स्थिति पर लागू किया जाता है और एम-आयाम को सामान्यीकृत किया जाता है जिससे की मानक मॉड्यूल में एम-आयाम 1 हो, जबकि अनंत कारकों के लिए मानक मॉड्यूल एम- वाला मॉड्यूल है जो आयाम ∞ के बराबर है।

मॉड्यूल के संभावित एम-आयाम निम्नानुसार दिए गए हैं:
*टाइप I<sub>''n''</sub> (n परिमित): M-आयाम 0/n, 1/n, 2/n, 3/n, ..., ∞ में से कोई भी हो सकता है। मानक मॉड्यूल में एम-आयाम 1 (और जटिल आयाम n2) है।
* टाइप I<sub>∞</sub> एम-आयाम 0, 1, 2, 3, ..., ∞ में से कोई भी हो सकता है। B(H) का मानक प्रतिनिधित्व H⊗H है; इसका एम-आयाम ∞ है।
* टाइप II<sub>1</sub>: एम-डाइमेंशन [0, ∞] में कुछ भी हो सकता है। इसे सामान्यीकृत किया जाता है जिससे की मानक मॉड्यूल में एम-आयाम 1 हो। एम-आयाम को मॉड्यूल एच का 'युग्मन स्थिरांक' भी कहा जाता है।
* टाइप II<sub>∞</sub>: एम-डाइमेंशन [0, ∞] में कुछ भी हो सकता है। सामान्यतः इसे सामान्य करने का कोई प्रामाणिक विधि नहीं है; कारक में स्थिरांक द्वारा एम-आयाम को गुणा करने वाले बाहरी ऑटोमोर्फिज्म हो सकते हैं। मानक प्रतिनिधित्व एम-आयाम ∞ वाला एक है।
*टाइप III: एम-आयाम 0 या ∞ हो सकता है। कोई भी दो गैर-शून्य मॉड्यूल आइसोमॉर्फिक हैं, और सभी गैर-शून्य मॉड्यूल मानक हैं।

==एमनेबल वॉन न्यूमैन बीजगणित==
{{harvtxt|कोन्स|1976}} और अन्य ने सिद्ध किया कि एक वॉन न्यूमैन बीजगणित एम पर एक वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस एच पर निम्नलिखित शर्तें सभी 'समतुल्य' हैं:

* एम 'हाइपरफिनिट' या 'एएफडी' या 'लगभग परिमित आयामी' या 'लगभग परिमित' है: इसका मतलब है कि बीजगणित में घने संघ के साथ परिमित आयामी सबलेजेब्रस का आरोही क्रम होता है। (चेतावनी: कुछ लेखक एएफडी और परिमित अर्थ के लिए हाइपरफिनिट का उपयोग करते हैं।)
* एम 'एमेनेबल' है: इसका मतलब है कि एम के [[व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)]] एक सामान्य दोहरी बानाच बिमॉड्यूल में मूल्यों के साथ सभी आंतरिक हैं।<ref>{{Cite journal|last=Connes|first=A|date=May 1978|title=ऑपरेटर बीजगणित के कोहोलॉजी पर|journal=Journal of Functional Analysis|language=en|volume=28|issue=2|pages=248–253|doi=10.1016/0022-1236(78)90088-5|doi-access=free}}</ref>
* एम में श्वार्टज़ की 'संपत्ति पी' है: एच पर किसी भी बाध्य ऑपरेटर टी के लिए कमजोर ऑपरेटर तत्वों के उत्तल हल को बंद कर देता है * में एम के साथ आने वाला तत्व होता है।
*एम 'अर्धविच्छेद' है: इसका अर्थ है कि एम से एम तक का पहचान मानचित्र परिमित रैंक के पूरी प्रकार से सकारात्मक मानचित्रों की एक कमजोर बिंदुवार सीमा है।
*एम के पास 'प्रॉपर्टी ई' या 'हकेदा-तोमियामा एक्सटेंशन प्रॉपर्टी' है: इसका मतलब है कि एच से एम' पर बंधे ऑपरेटरों से मानक 1 का अनुमान है।
*एम 'इंजेक्शन' है: किसी भी स्व-संलग्न बंद उप-स्थान से कोई भी पूरी प्रकार से सकारात्मक रैखिक मानचित्र जिसमें किसी भी इकाई C*-बीजगणित A से एम का 1 हो, को A से एम तक पूरी प्रकार से सकारात्मक मानचित्र तक बढ़ाया जा सकता है।

उपरोक्त बीजगणित के वर्ग के लिए सामान्यतः स्वीकृत कोई शब्द नहीं है; कॉन्स ने सुझाव दिया है कि 'अमेनेबल' मानक शब्द होना चाहिए।

अनुमन्य कारकों को वर्गीकृत किया गया है: प्रत्येक टाइप I<sub>''n''</sub> में से एक अद्वितीय है, मैं<sub>∞</sub>, द्वितीय<sub>1</sub>, द्वितीय<sub>∞</sub>, तृतीय<sub>λ</sub>, 0 < λ ≤ 1 के लिए, और टाइप III<sub>0</sub> वाले कुछ एर्गोडिक प्रवाह के अनुरूप (टाइप III<sub>0</sub> के लिए इसे वर्गीकरण कहना थोड़ा भ्रामक है, क्योंकि यह ज्ञात है कि संबंधित एर्गोडिक प्रवाह को वर्गीकृत करने का कोई आसान विधि नहीं है।) टाइप I और II<sub>1</sub> वाले द्वारा वर्गीकृत किया गया था {{harvtxt|मूर्रे|वॉन न्यूमैन|1943}}, और शेष लोगों को इसके द्वारा वर्गीकृत किया गया था {{harvtxt|कोन्स|1976}}, टाइप III<sub>1</sub> को छोड़कर स्थिति जो हैगरअप द्वारा पूरा किया गया था।

एकल [[एर्गोडिक]] परिवर्तन के लिए फ्रांसिस जोसेफ मूर्रे और जॉन वॉन न्यूमैन के क्रॉस्ड उत्पाद समूह-माप स्पेस निर्माण का उपयोग करके सभी उत्तरदायी कारकों का निर्माण किया जा सकता है। वास्तव में वे एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित ''L'' पर ''Z'' या ''Z/nZ<sup>∞</sup>'' की मुक्त एर्गोडिक क्रियाओं द्वारा पार किए गए उत्पादों के रूप में उत्पन्न होने वाले कारक हैं। (एक्स) टाइप I कारक तब होते हैं जब माप स्थान X [[परमाणु (माप सिद्धांत)]] और क्रिया सकर्मक होता है। जब एक्स फैलाना या परमाणु (माप सिद्धांत) है, गैर-परमाणु, यह माप स्थान के रूप में [0,1] के लिए समानता (माप सिद्धांत) है। टाइप II कारक तब होते हैं जब X एक [[तुल्यता (माप सिद्धांत)]] परिमित स्वीकार करता है (II<sub>1</sub>) या अनंत (द्वितीय<sub>∞</sub>) माप, जेड की कार्रवाई के अनुसार अपरिवर्तनीय। टाइप III कारक शेष स्थितियों में होते हैं जहां कोई अपरिवर्तनीय माप नहीं होता है, लेकिन मात्र एक [[अर्ध-अपरिवर्तनीय उपाय]] होता है: इन कारकों को 'क्रेगर कारक' कहा जाता है।

== वॉन न्यूमैन बीजगणित के टेंसर उत्पाद ==
दो हिल्बर्ट स्पेस का हिल्बर्ट स्पेस टेंसर उत्पाद उनके बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना है, कोई वॉन न्यूमैन बीजगणित (अंगूठियों के रूप में माने जाने वाले बीजगणित के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना) के टेंसर उत्पाद को परिभाषित कर सकता है, जो फिर से वॉन न्यूमैन बीजगणित है, और संबंधित हिल्बर्ट स्पेस स्थान के टेंसर उत्पाद पर कार्य करता है। दो परिमित बीजगणित का टेंसर उत्पाद परिमित है, और एक अनंत बीजगणित और एक गैर-शून्य बीजगणित का टेंसर उत्पाद अनंत है। दो वॉन न्यूमैन बीजगणित (I, II, या III) के टेंसर उत्पाद का टाइप उनके टाइप का अधिकतम है। टेंसर उत्पादों के लिए कम्यूटेशन प्रमेय बताता है कि

:<math>(M\otimes N)^\prime = M^\prime\otimes N^\prime,</math>
जहाँ एम', एम के क्रमपरिवर्तन को दर्शाता है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित की अनंत संख्या का टेंसर उत्पाद, यदि किया जाता है, तो सामान्यतः एक हास्यास्पद रूप से बड़ा गैर-वियोज्य बीजगणित होता है। इसके अतिरिक्त {{harvtxt|वॉन न्यूमैन|1938}} ने दिखाया कि प्रत्येक को वॉन न्यूमैन बीजगणित में से प्रत्येक पर एक स्टेट का चयन करना चाहिए, इसका उपयोग बीजगणितीय टेंसर उत्पाद पर एक स्टेट को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिसका उपयोग हिल्बर्ट स्पेस और एक (उचित रूप से छोटा) वॉन न्यूमैन बीजगणित बनाने के लिए किया जा सकता है। {{harvtxt|अर्की|वुड्स|1968}} उस स्थितियों का अध्ययन किया जहां सभी कारक परिमित मैट्रिक्स बीजगणित हैं; इन कारकों को अराकी-वुड्स कारक या आईटीपीएफआई कारक कहा जाता है (आईटीपीएफआई का अर्थ परिमित टाइप I कारकों के अनंत टेंसर उत्पाद से है)। अनंत टेंसर उत्पाद का टाइप नाटकीय रूप से भिन्न हो सकता है क्योंकि स्टेट बदलते हैं; उदाहरण के लिए, टाइप I की अनंत संख्या का अनंत टेंसर उत्पाद<sub>2</sub> स्टेटों की पसंद के आधार पर कारक किसी भी टाइप के हो सकते हैं। विशेष रूप से {{harvtxt|Powers|1967}} को गैर-समरूपी अतिपरमित टाइप III का एक बेशुमार परिवार मिला<sub>λ</sub> 0 < λ < 1 के लिए गुणनखंड, I टाइप का अनंत टेंसर गुणनफल लेकर, घात गुणक कहलाते हैं<sub>2</sub> कारक, प्रत्येक द्वारा दिए गए स्टेट के साथ:

:<math>x\mapsto {\rm Tr}\begin{pmatrix}{1\over \lambda+1}&0\\ 0&{\lambda\over \lambda+1}\\ \end{pmatrix} x.</math>
सभी अतिपरिमित वॉन न्यूमैन बीजगणित टाइप III<sub>0</sub> के नहीं अर्की-वुड्स कारकों के लिए आइसोमोर्फिक हैं, लेकिन अनगिनत टाइप के III<sub>0</sub> हैं वह नहीं है।

== बिमॉड्यूल्स और [[सबफैक्टर्स]] ==
एक बाइमॉड्यूल (या पत्राचार) एक हिल्बर्ट स्पेस 'एच' है जिसमें दो कम्यूटिंग वॉन न्यूमैन बीजगणित की मॉड्यूल क्रियाएं होती हैं। बिमॉड्यूल में मॉड्यूल की तुलना में अधिक समृद्ध संरचना होती है। दो कारकों पर कोई भी बिमॉड्यूल निरंतर एक सबफैक्टर देता है क्योंकि कारकों में से एक निरंतर दूसरे के कम्यूटेंट में समाहित होता है। बाइमॉड्यूल्स पर एलेन कॉन्स के कारण एक सूक्ष्म सापेक्ष टेंसर उत्पाद संचालन भी होता है। [[वौघन जोंस]] द्वारा प्रारंभ किए गए सबफैक्टर्स का सिद्धांत, इन दो प्रतीत होने वाले भिन्न-भिन्न दृष्टिकोणों को समेटता है।

एक असतत समूह Γ के वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित ''एम'' के लिए बिमॉड्यूल्स भी महत्वपूर्ण हैं। वास्तव में, यदि ''V'' Γ का कोई [[एकात्मक प्रतिनिधित्व]] है, तो, Γ के संबंध में Γ × Γ के विकर्ण उपसमूह के रूप में, ''l'' पर संबंधित [[प्रेरित प्रतिनिधित्व]]<sup> </sup>(Γ, V) स्वाभाविक रूप से एम की दो आने-जाने वाली प्रतियों के लिए एक बिमॉड्यूल है। Γ के महत्वपूर्ण [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] गुणों को पूरी प्रकार से बिमॉड्यूल के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है और इसलिए वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए ही समझ में आता है। उदाहरण के लिए, कॉन्स और जोन्स ने इस प्रकार से वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए कज़्दान की संपत्ति (T) के एनालॉग की परिभाषा दी गई है।

== गैर-प्रतिशोधी कारक ==
टाइप I के वॉन न्यूमैन बीजगणित निरंतर अनुकूल होते हैं, लेकिन अन्य टाइपों के लिए विभिन्न गैर-सुसंगत कारकों की एक बेशुमार संख्या होती है, जिन्हें वर्गीकृत करना बहुत कठिन लगता है, या यहां तक कि एक दूसरे से भिन्न है फिर भी, डैन-विर्गिल वोइक्यूलस्कु ने दिखाया है कि समूह-माप स्पेस निर्माण से आने वाले गैर-सुदृढ़ कारकों का वर्ग मुक्त समूहों के समूह वॉन न्यूमैन बीजगणित से आने वाले वर्ग से भिन्न है। पश्चात में [[नारुताका ओज़वा]] ने सिद्ध किया कि [[अतिशयोक्तिपूर्ण समूह]]ों के समूह वॉन न्यूमैन बीजगणित प्रधान संख्या टाइप II<sub>1</sub> उत्पन्न करते हैं कारक, अर्थात जिन्हें टाइप II<sub>1</sub> के टेंसर उत्पादों के रूप में नहीं माना जा सकता है कारक, वोइक्यूलस्कु के मुक्त संभावना सिद्धांत का उपयोग करके मुक्त समूह कारकों के लिए लीमिंग जीई द्वारा पहली बार सिद्ध किया गया परिणाम पोपा का काम गैर-सहायक कारकों के मौलिक समूहों पर एक और महत्वपूर्ण प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है। अतिपरिमित से परे कारकों का सिद्धांत वर्तमान में कई नए और आश्चर्यजनक परिणामों के साथ तेजी से विस्तार कर रहा है; इसका [[ ज्यामितीय समूह सिद्धांत |ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] और एर्गोडिक थ्योरी में [[ग्रिगोरी मार्गुलिस]] के साथ घनिष्ठ संबंध है।

== उदाहरण ==
* एक σ-परिमित माप स्थान पर अनिवार्य रूप से बंधे हुए कार्य एक कम्यूटेटिव (टाइप I<sub>1</sub>) वॉन न्यूमैन बीजगणित एल पर अभिनय कर रहा है कार्य करता है। कुछ गैर-σ-परिमित माप स्थानों के लिए, सामान्यतः [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] माना जाता है, L<sup>∞</sup>(X) वॉन न्यूमैन बीजगणित नहीं है; उदाहरण के लिए, मापने योग्य समूहों का σ-बीजगणित एक बेशुमार समूह पर [[गणनीय-गणनीय बीजगणित]] हो सकता है। एक मौलिक सन्निकटन प्रमेय को [[कप्लान्स्की घनत्व प्रमेय]] द्वारा दर्शाया जा सकता है।
* किसी भी हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे हुए ऑपरेटर एक वॉन न्यूमैन बीजगणित बनाते हैं, वास्तव में एक टाइप I का कारक है।
*यदि हमारे पास हिल्बर्ट स्पेस H पर समूह G का कोई एकात्मक प्रतिनिधित्व है, तो G के साथ आने वाले बंधे हुए ऑपरेटर एक वॉन न्यूमैन बीजगणित G′ बनाते हैं, जिनके अनुमान G के अनुसार H अपरिवर्तनीय के बंद उप-स्थानों के बिल्कुल अनुरूप होते हैं। समतुल्य उप-प्रतिनिधि समकक्ष के अनुरूप होते हैं जी' में अनुमान। जी का डबल कम्यूटेंट जी भी एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है।
* असतत समूह G का 'वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित' H = l पर सभी परिबद्ध संकारकों का बीजगणित है<sup>2</sup>(G) सही गुणन के माध्यम से H पर G की क्रिया के साथ आगे बढ़ रहा है। कोई यह दिखा सकता है कि यह वॉन न्यूमैन बीजगणित है जो संचालकों द्वारा एक तत्व जी ∈ जी के साथ बाईं ओर से गुणन के अनुरूप उत्पन्न होता है। यह एक कारक है (टाइप II<sub>1</sub>) यदि G का प्रत्येक गैर-तुच्छ संयुग्मन वर्ग अनंत है (उदाहरण के लिए, एक गैर-अबेलियन मुक्त समूह), और टाइप II<sub>1</sub> का अतिपरिमित कारक है, या स्टेटों के साथ एक गणनीय संख्या का टेंसर उत्पाद, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है जैसा कि ऊपर के खंड में वर्णित है।
* एक असतत (या अधिक सामान्यतः स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट) समूह द्वारा एक वॉन न्यूमैन बीजगणित का पार उत्पाद परिभाषित किया जा सकता है, और एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है। विशेष स्थितियों मूर्रे और जॉन वॉन न्यूमैन और 'क्राइगर कारक' के 'समूह-माप स्पेस निर्माण' हैं।
*मापने योग्य तुल्यता संबंध और मापने योग्य [[ groupoid |ग्रुपॉयड]] के वॉन न्यूमैन बीजगणित को परिभाषित किया जा सकता है। ये उदाहरण वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित और समूह-माप स्पेस निर्माण को सामान्यीकृत करते हैं।

== अनुप्रयोग ==
वॉन न्यूमैन बीजगणित ने गणित के विभिन्न क्षेत्रों जैसे [[गाँठ सिद्धांत]], [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]], [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]], [[स्थानीय क्वांटम भौतिकी]], [[मुक्त संभावना]], गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति, प्रतिनिधित्व सिद्धांत, [[अंतर ज्यामिति]] और गतिशील प्रणालियों में आवेदन पाया है।

उदाहरण के लिए, C * - बीजगणित संभाव्यता सिद्धांत के लिए वैकल्पिक स्वयंसिद्धता प्रदान करता है। इस स्थितियों में विधि गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण के नाम से जाती है। यह माप और एकीकरण के दो दृष्टिकोणों के अनुरूप है, जहां किसी के पास पहले समूह के माध्यमों का निर्माण करने और पश्चात में इंटीग्रल को परिभाषित करने, या पहले इंटीग्रल का निर्माण करने और समूह के माध्यमों को विशिष्ट कार्यों के इंटीग्रल के रूप में परिभाषित करने का विकल्प होता है।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|एडब्ल्यू * - बीजगणित}}
* [[केंद्रीय वाहक]]
* {{annotated link|तोमिता–तकेसकी थ्योरी}}

==संदर्भ==

{{reflist|group=note}}
{{reflist}}

*{{citation |first1=H. |last1=Araki |first2=E. J. |last2=Woods |title=A classification of factors |journal=Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A |volume=4 |year=1968 |issue=1 |pages=51–130 |doi=10.2977/prims/1195195263 |doi-access=free}}{{MathSciNet|id=0244773}}
*{{citation |first=B. |last=Blackadar |title=Operator algebras |isbn=3-540-28486-9 |publisher=Springer |year=2005}}, {{citation |url=http://wolfweb.unr.edu/homepage/bruceb/Cycr.pdf |title=corrected manuscript |year=2013}} 
*{{citation |doi=10.2307/1971057 |first=A. |last=Connes |title=Classification of Injective Factors |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=104 |issue=1 |year=1976 |pages=73–115 |jstor=1971057}}
*{{citation |first=A. |last=Connes |url=https://archive.org/details/noncommutativege0000conn |title=Non-commutative geometry |isbn=0-12-185860-X |year=1994 |publisher=Academic Press |url-access=registration}}.
*{{citation |first=J.|last=Dixmier |title=Von Neumann algebras |isbn=0-444-86308-7 |year=1981}} (A translation of {{citation |first=J. |last=Dixmier |title=Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann |publisher=Gauthier-Villars |year=1957}}, the first book about von Neumann बीजगणित.)
*{{citation |first=V.F.R. |last=Jones |year=2003 |url=http://www.math.berkeley.edu/~vfr/MATH20909/VonNeumann2009.pdf |title=von Neumann algebras}}; incomplete notes from a course.
*{{citation |first=R.P.|last=Kostecki |year=2013 |arxiv=1307.4818 |title=W*-algebras and noncommutative integration |bibcode=2013arXiv1307.4818P}}.
*{{citation |first=Dusa |last=McDuff |author-link=Dusa McDuff |title=Uncountably many II<sub>1</sub> factors |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=90 |year=1969 |pages=372–377 |doi=10.2307/1970730 |jstor=1970730 |issue=2}}
*{{citation |last=Murray |first=F. J.|contribution=The rings of operators papers |title=The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988) |pages=57–60 |series=Proc. Sympos. Pure Math. |year=2006 |volume=50 |publisher=Amer. Math. Soc. |isbn=0-8218-4219-6 |location=Providence, RI.}} A historical account of the discovery of von Neumann बीजगणित.
*{{citation |first1=F.J. |last1=Murray |first2=J. |last2=von Neumann |title=On rings of operators |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=37 |year=1936 |pages=116–229 |doi=10.2307/1968693 |jstor=1968693 |issue=1}}. This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.  
*{{citation |first1=F.J. |last1=Murray |first2=J. |last2=von Neumann |title=On rings of operators II |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |volume=41 |year=1937 |pages=208–248 |doi=10.2307/1989620 |issue=2 |jstor=1989620 |publisher=American Mathematical Society |doi-access=free}}. This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor. 
*{{citation |first1=F.J.|last1=Murray |first2=J. |last2=von Neumann |title=On rings of operators IV |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=44 |year=1943 |pages=716–808 |doi=10.2307/1969107 |jstor=1969107 |issue=4}}. This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II<sub>1</sub> are isomorphic. 
*{{citation |doi=10.2307/1970364 |title=Representations of Uniformly Hyperfinite Algebras and Their Associated von Neumann Rings |first=Robert T. |last=Powers |author1-link=Robert T. Powers |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=86 |issue=1 |year=1967 |pages=138–171 |jstor=1970364}}
*{{citation |first=S. |last=Sakai |author-link=Shoichiro Sakai |title=C*-algebras and W*-algebras |publisher=Springer |year=1971 |isbn=3-540-63633-1}}
*{{citation |author-link=Jacob T. Schwartz |first=Jacob |last=Schwartz |title=W-* Algebras |year=1967 |isbn=0-677-00670-5}}
*{{springer|id=V/v096900|title=von Neumann algebra|first=A.I.|last=Shtern}}
*{{citation |first=M. |last=Takesaki |title=Theory of Operator Algebras I, II, III |isbn=3-540-42248-X |year=1979}}
<!-- Please do NOT change von to Von: this breaks the citation links. -->
*{{citation |first=J. |last=von Neumann |doi=10.1007/BF01782352 |title=Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren |journal= Math. Ann. |volume=102 |issue=1 |year=1930 |pages=370–427 |bibcode=1930MatAn.102..685E |s2cid=121141866}}. The original paper on von Neumann बीजगणित.
*{{citation |doi=10.2307/1968692 |first=J. |last=von Neumann |title=On a Certain Topology for Rings of Operators |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=37 |issue=1 |year=1936 |pages=111–115 |jstor=1968692}}. This defines the ultrastrong topology.
*{{citation |first=J. |last=von Neumann |url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1939__6__1_0 |title=On infinite direct products |journal=Compos. Math. |volume=6 |year=1938 |pages=1–77}}. This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the बीजगणित acting on them.
*{{citation |first=J. |last=von Neumann |title=On rings of operators III |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=41 |year=1940 |pages=94–161 |doi=10.2307/1968823 |jstor=1968823 |issue=1}}. This shows the existence of factors of type III. 
*{{citation |doi=10.2307/1969106 |first=J. |last=von Neumann |title=On Some Algebraical Properties of Operator Rings |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=44 |issue=4 |year=1943 |pages=709–715 |jstor=1969106}}. This shows that some apparently topological properties in von Neumann बीजगणित can be defined purely algebraically.
*{{citation |doi=10.2307/1969463 |first=J. |last=von Neumann |title=On Rings of Operators. Reduction Theory |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=50 |issue=2 |year=1949 |pages=401–485 |jstor=1969463}}. This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
*{{citation |last=von Neumann |first=John |title=Collected Works, Volume III: Rings of Operators |editor-first=A.H. |editor-last=Taub |location=NY |publisher=Pergamon Press |year=1961}}. Reprints von Neumann's papers on von Neumann बीजगणित.
*{{citation |first=A. J. |last=Wassermann |author-link=Antony Wassermann |year=1991 |url=http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/OHS.ps |title=Operators on Hilbert space}}
{{Authority control}}

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