View source for व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)

गणित में, '''व्युत्पत्ति''' [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]] का फलन है जो अवकलज की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या [[क्षेत्र (गणित)]] ''K'' पर बीजगणित ''A'' दिया गया है, ''K''-व्युत्पत्ति एक ''K''-रैखिक मानचित्र है {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''A''}} जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है:

:<math> D(ab) = a D(b) + D(a) b.</math>
सामान्यतः यदि ''M'' एक ''A''-द्विप्रतिरूपक है, तो ''K-''रैखिक मानचित्र {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''M''}} जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे व्युत्पत्ति भी कहा जाता है। ''A'' के सभी ''K-''व्युत्पत्ति का संग्रह Der<sub>''K''</sub>(''A'') द्वारा निरूपित किया जाता है। ''A''-मापांक ''M'' में ''A'' के ''K''-व्युत्पत्ति का संग्रह {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}} द्वारा दर्शाया गया है।

गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में व्युत्पत्ति होती हैं। एक चर के संबंध में [[आंशिक व्युत्पन्न|आंशिक व्युत्पत्ति]] '''R'''<sup>''n''</sup> पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-व्युत्पत्ति । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में [[झूठ व्युत्पन्न|लाई व्युत्पत्ति]] अलग-अलग [[अलग करने योग्य कई गुना|डिफरेंशियल मैनिफोल्ड]] पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-व्युत्पत्ति है; सामान्यतः यह कई गुना अधिक के [[टेंसर बीजगणित|प्रदिश बीजगणित]] पर व्युत्पत्ति है। यह इस प्रकार है कि [[झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व|लाई बीजगणित का संलग्न  प्रतिरूपण]] उस बीजगणित पर व्युत्पत्ति है। पिंचरले व्युत्पत्ति [[सार बीजगणित|अमूर्त बीजगणित]] में व्युत्पत्ति का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] A के रैखिक [[एंडोमोर्फिज्म|अंतःरूपता]] को परिभाषित करता है, जो कि ''K'' पर व्युत्पत्ति है।
:<math>[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]</math>
जहाँ <math>[\cdot,N]</math> के संबंध में कम्यूटेटर है<math>N</math>। बीजगणित A एक विशिष्ट व्युत्पत्ति से सुसज्जित है जो [[अंतर बीजगणित|अवकल बीजगणित]] बनाता है, और यह स्वयं अंतर गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है।

== गुण ==

यदि ''A'' एक ''K''-बीजगणित है, ''K'' के लिए एक वलय है, और {{math|''D'': ''A'' → ''A''}} एक ''K''-व्युत्पत्ति है, फिर

* यदि ''A'' की इकाई 1 है, तो ''D(1) = D(1<sup>2</sup>) = 2D(1)'', जिससे कि ''D(1) = 0,'' इस प्रकार ''K-''रैखिकता द्वारा, ''D(k) = 0'' सभी {{math|''k'' ∈ ''K''}} के लिए
* यदि A क्रमविनिमेय है, तो ''D(x<sup>2</sup>) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x)'', और ''D(x<sup>n</sup>) '''=''''' ''nx<sup>n−1</sup>D(x)'', लीबनिज़ नियम द्वारा।
* सामान्यतः किसी के लिए {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub> ∈ ''A''}}, यह [[गणितीय प्रेरण|गणितीय आगमन]] द्वारा अनुसरण करता है
::<math>D(x_1x_2\cdots x_n) = \sum_i x_1\cdots x_{i-1}D(x_i)x_{i+1}\cdots x_n  </math>
: जो है <math display="inline">\sum_i D(x_i)\prod_{j\neq i}x_j</math> यदि {{mvar|i}} सभी के लिए, {{math|''D''(''x<sub>i</sub>'')}}, <math>x_1,x_2,\ldots, x_{i-1}</math>के साथ अभिगम है
* ''n'' > 1 के लिए, ''D<sup>n</sup>'' व्युत्पत्ति नहीं है, इसके बजाय उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:
::<math>D^n(uv) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot D^{n-k}(u)\cdot  D^k(v).</math>
: इसके अतिरिक्त, यदि ''M'' एक ''A''-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें
:: <math> \operatorname{Der}_K(A,M)</math>
: ''A'' से ''M'' तक ''K''-व्युत्पत्ति के समुच्चय के लिए।
* {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}}, K के ऊपर [[मॉड्यूल (गणित)|मापांक (गणित)]] है।
* Der<sub>''K''</sub>(''A'') दिक्परिवर्तक द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ लाई बीजगणित है:
::<math>[D_1,D_2] = D_1\circ D_2 - D_2\circ D_1.</math>
: चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का दिक्परिवर्तक फिर से एक व्युत्पत्ति है।
* A-मापांक {{math|Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} है  (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-व्युत्पत्ति के साथ {{math|''d'': ''A'' → Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} जिसके माध्यम से कोई व्युत्पत्ति {{math|''D'': ''A'' → ''M''}} कारक है। यही है, किसी भी व्युत्पत्ति ''D'' के लिए A-मापांक मैप {{mvar|φ}} है
:: <math> D: A\stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{A/K}\stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M </math>
: समतुल्यता <math> D\leftrightarrow \varphi</math> A-मापांक का समरूपता है:
:: <math> \operatorname{Der}_K(A,M)\simeq \operatorname{Hom}_{A}(\Omega_{A/K},M)</math>
*यदि {{math|''k'' ⊂ ''K''}} एक [[सबरिंग]] है, तो ''A'' को ''k''-बीजगणित संरचना आनुवंसिक है, इसलिए इसमें समावेश है
::<math>\operatorname{Der}_K(A,M)\subset \operatorname{Der}_k(A,M) ,</math>
: चूँकि कोई भी ''K''-व्युत्पत्ति एक फोर्टियरी ''k''-व्युत्पत्ति है।

== वर्गीकृत व्युत्पत्ति ==
[[वर्गीकृत बीजगणित]] ''A'' और वर्गीकरण के सजातीय रैखिक मानचित्र ''D'' को देखते हुए {{abs|''D''}} ''A'' पर, ''D'' '''सजातीय व्युत्पत्ति''' है यदि
:<math>{D(ab)=D(a)b+\varepsilon^{|a||D|}aD(b)}</math>
दिक्परिवर्तक कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व ''a'' और ''A'' के प्रत्येक तत्व ''b'' के लिए {{nowrap|1=''ε'' = ±1}}, '''वर्गीकृत व्युत्पत्ति''' समान ''ε'' वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।

यदि {{nowrap|1=''ε'' = 1}}, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। यदि {{nowrap|1=''ε'' = &minus;1}}, तथापि, तब
:<math>{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}</math> 
:विषम के लिए {{abs|''D''}}, और D को '''विरोधी-व्युत्पत्ति''' कहा जाता है।

विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में [[बाहरी व्युत्पन्न|बाह्य व्युत्पत्ति]] और [[विभेदक रूप]] पर कार्यकारी करने वाले [[आंतरिक उत्पाद]] सम्मिलित हैं।

[[algebra|सुपरएलजेब्रा]] की श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति (अर्थात '''Z'''<sub>2</sub>-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अधिकांशतः '''सुपरडेरिवेशन''' कहा जाता है।

== संबंधित धारणाएं ==

हस्से-श्मिट व्युत्पत्ति K-बीजगणित समाकारिता हैं

:<math>A \to A[[t]].</math>
मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] भेजता है <math>\sum a_n t^n</math> गुणांक के लिए <math>a_1</math> व्युत्पत्ति देता है।

== यह भी देखें ==
*[[ अंतर ज्यामिति |अवकल ज्यामिति]]  व्युत्पत्ति में टेंगेंट स्पेस डेफिनिशन वाया व्युत्पत्ति है
* काहलर अवकल
* हस्से [[डेरिवेटिव से नफरत है|व्युत्पत्ति]]
*p-व्युत्पत्ति
* [[विर्टिंगर डेरिवेटिव|विर्टिंगर व्युत्पत्ति]]
* [[घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न|घातीय मानचित्र का व्युत्पत्ति]]

==संदर्भ==
* {{Citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Algebra I|year=1989|publisher=Springer-Verlag|isbn=3-540-64243-9|series=Elements of mathematics}}.
* {{citation|first=David|authorlink=David Eisenbud|last=Eisenbud|title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|isbn=978-0-387-94269-8|publisher=Springer-Verlag|year=1999|edition=3rd.}}.
* {{citation|first=Hideyuki|last=Matsumura|title=Commutative algebra|publisher=W. A. Benjamin|year=1970|series=Mathematics lecture note series|isbn=978-0-8053-7025-6}}.
* {{citation|title=Natural operations in differential geometry|first1=Ivan|last1=Kolař|first2=Jan|last2=Slovák|first3=Peter W.|last3=Michor|year=1993|publisher=Springer-Verlag|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html}}.

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[[Category:विभेदक बीजगणित]]