View source for श्रृंखला (गणित)

{{Short description|Infinite sum}}
{{About|अनंत संकलन|परिमित संकलन|संकलन}}
{{Calculus}}
गणित में, '''श्रेणी''' साधारणतः, किसी दी गई प्रारंभिक राशि में एक के बाद एक अनंततः कई राशिओं के [[योग]] की संक्रिया का वर्णन है।<ref>{{cite book |title=कैलकुलस मेड ईज़ी|last1=Thompson |first1=Silvanus |author-link1=Silvanus P. Thompson |last2=Gardner |first2=Martin |author-link2=Martin Gardner |date=1998 |isbn=978-0-312-18548-0 |url=https://archive.org/details/calculusmadeeasy00thom_0 }}</ref> श्रेणी का अध्ययन कलन और इसके सामान्यीकरण, [[गणितीय विश्लेषण]] का एक महत्वपूर्ण भाग है। श्रेणी का उपयोग गणित के अधिकांश फील्डों में किया जाता है, यहां तक कि जनक (जनरेटिंग) फलनों के माध्यम से परिमित संरचनाओं (जैसे कि साहचर्य (कॉम्बीनेटरिक्स) में) का अध्ययन करने के लिए भी। गणित में उनकी सर्वविद्यमानता के अतिरिक्त, अनंत श्रेणियों का व्यापक रूप से अन्य परिमाणात्मक विषयों जैसे कि भौतिकी, [[कंप्यूटर विज्ञान|संगणक विज्ञान]], सांख्यिकी और [[वित्त]] में भी उपयोग किया जाता है।

लंबे समय तक, यह विचार कि इस तरह के एक [[संभावित अनंत]] संकलन एक परिमित परिणाम उत्पन्न कर सकता है, [[विरोधाभास]] माना जाता था। 17वीं शताब्दी के दौरान एक [[सीमा (गणित)|सीमा]] की अवधारणा का उपयोग करके इस विरोधाभास को हल किया गया था। एचिल्स और टोर्टोइस के ज़ेनो का विरोधाभास अनंत राशियों की इस प्रतिगामी गुणधर्म को दर्शाता है: एचिल्स टोर्टोइस के पीछे दौड़ता है, लेकिन जब वह दौड़ की शुरुआत में टोर्टोइस की स्थिति तक पहुँचता है, तो टोर्टोइस दूसरे समष्टि पर पहुँच जाता है; जब वह इस दूसरे समष्टि पर पहुंचता है, तो टोर्टोइस तीसरे समष्टि पर होता है, और इसी तरह आगे भी। ज़ेनो ने निष्कर्ष निकाला कि एचिल्स कभी भी टोर्टोइस तक नहीं पहुँच सकता, और इस तरह वह गतिविधि विद्यमान नहीं है। ज़ेनो ने दौड़ को असीम रूप से कई उप-दौड़ों में विभाजित किया, जिनमें से प्रत्येक को एक सीमित समय की आवश्यकता थी, ताकि एचिल्स को टोर्टोइस को पकड़ने का कुल समय एक श्रेणी द्वारा दिया जा सके। विरोधाभास का हल यह है कि, हालांकि श्रेणी में पदों की अनंत संख्या है, इसकी एक परिमित राशि है, जो एचिल्स को टोर्टोइस के साथ पकड़ने के लिए आवश्यक समय प्रदान करती है।

आधुनिक पदावली में, कोई भी (क्रमित) पदों का [[अनुक्रम (गणित)|अनंत अनुक्रम]] <math>(a_1,a_2,a_3,\ldots)</math> (अर्थात, संख्याएँ, फलन, या कुछ भी जो जोड़ा जा सकता है) एक श्रेणी को परिभाषित करता है, जो ''a<sub>i</sub>'' को एक के पश्चात एक योग की संक्रिया है। इस बात पर बल देने के लिए कि पदों की संख्या अनंत है, एक श्रेणी को '''अनंत श्रेणी''' कहा जा सकता है। एक निम्नलिखित [[अभिव्यक्ति (गणित)|व्यंजक]] द्वारा दर्शाया (या निरूपित) जाता है।<math display=block>a_1+a_2+a_3+\cdots,</math>या, [[योग चिह्न|संकलन चिह्न]] का उपयोग करके,<math display="block">\sum_{i=1}^\infty a_i.</math>श्रेणी द्वारा अंतर्निहित योग के अनंत अनुक्रम को प्रभावी रूप से अग्रसारित नहीं किया जा सकता है (कम से कम एक सीमित समय में)। हालाँकि, यदि वह [[सेट (गणित)|समुच्चय]] जिससे पद और उनके परिमित योग संबंधित हैं, उनकी सीमा की धारणा होती है, अतः इन्हे कभी-कभी श्रेणी के लिए मान निर्दिष्ट करना संभव होता है, जिसे श्रेणी का योग कहा जाता है। यह मान सीमा है क्योंकि {{math|''n''}} श्रेणी के पहले {{math|''n''}} पदों के परिमित योगों की [[अनंतता|अनन्तता]] (यदि सीमा विद्यमान है) की ओर जाता है, जिसे श्रेणी के {{math|''n''}}वां '''आंशिक संकलन''' कहा जाता है। अर्थात्,

<math display="block">\sum_{i=1}^\infty a_i  = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i.</math>जब यह सीमा विद्यमान होती है, तो कोई कहता है कि श्रेणी '''कनवर्जेंट''' या '''संकलन''' करने योग्य है, या यह कि अनुक्रम <math>(a_1,a_2,a_3,\ldots)</math> '''संकलन''' करने योग्य है। इस स्थिति में, सीमा को श्रेणी का '''संकलन फल''' कहा जाता है। अन्यथा, श्रेणी को '''डाइवर्जेन्ट''' कहा जाता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=श्रृंखला|url=https://mathworld.wolfram.com/श्रृंखला.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
अंकन <math display="inline">\sum_{i=1}^\infty a_i</math> दोनों श्रेणियों को दर्शाता है- जो एक के बाद एक अनिश्चित काल के लिए पदों को जोड़ने की अंतर्निहित प्रक्रिया है- और, यदि श्रेणी कनवर्जेंट है, तो श्रेणी का संकलन—प्रक्रिया का परिणाम। यह <math>a+b</math> के योग—योग की प्रक्रिया—और उसके परिणाम—{{mvar|a}} और {{mvar|b}} के ''योग'' दोनों को दर्शाने के समान परिपाटी का सामान्यीकरण है।

सामान्यतः, श्रेणी की पद एक [[अंगूठी (गणित)|रिंग]] से प्राप्त होते हैं, प्रायः [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] का फ़ील्ड <math>\mathbb R</math> या [[जटिल संख्या|समिश्र संख्याओं]] का फ़ील्ड <math>\mathbb C</math> । इस स्थिति में, सभी श्रेणियों का समुच्चय स्वयं में एक रिंग (और यहां तक कि [[साहचर्य बीजगणित]]) होता है, जिसमें योग में पद द्वारा श्रेणी पद को जोड़ना सम्मिलित है, और गुणन [[कॉची उत्पाद|कॉची गुणनफल]] होता है।

== मूल गुणधर्म ==

एक अनंत श्रेणी या केवल श्रेणी एक अनंत संकलन है, जिसे [[अनंत अभिव्यक्ति|अनंत व्यंजक]] द्वारा निम्नलिखित रूप में निरूपित किया जा सकता है<ref name="SW501">{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 501}}</ref><math display=block>a_0 + a_1 + a_2 + \cdots, </math>
जहाँ <math>(a_n)</math> पदों का कोई क्रमित [[क्रम|अनुक्रम]] है, जैसे कि [[संख्या|संख्याएँ]], फलन, या कुछ और जो जोड़ा जा सकता है ([[एबेलियन समूह]])। यह एक व्यंजक है जो <math>a_0,a_1,\dots</math> पदों की सूची से उन्हें एक साथ रखकर और उन्हें "+" प्रतीक के साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है। संकलन संकेतन का उपयोग करके एक श्रेणी का भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, जैसे<math display="block">\sum_{n=0}^{\infty} a_n . </math>

यदि पदों के एबेलियन समूह {{math|''A''}} में सीमा की अवधारणा है (उदाहरण के लिए, यदि यह एक [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] है), अतः कुछ श्रेणी, [[अभिसरण श्रृंखला|कनवर्जेंट श्रेणी]], को {{math|''A''}} में मान होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसे ''श्रेणी का संकलन'' कहा जाता है। इसमें कलन के सामान्य स्थिति सम्मिलित हैं, जिसमें समूह वास्तविक संख्याओं का फील्ड है या समिश्र संख्याओं का फील्ड है। दी गई श्रेणी <math display="inline">s=\sum_{n=0}^\infty a_n</math> को प्रेक्षित करते हुए, इसका {{math|''k''}}वाँ आंशिक संकलन निम्नलिखित है<ref name=":0" />

<math display="block">s_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.</math>
परिभाषा के अनुसार, श्रेणी <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> सीमा {{math|''L''}} तक ''कनवर्ज'' होती है (या केवल {{math|''L''}} तक संकलन करते है), यदि इसके आंशिक संकलन के अनुक्रम की सीमा {{math|''L''}} है।<ref name="SW501" /> इस स्थिति में, सामान्यतः इसे निम्नलिखित रूप से व्यक्त किया जा सकता है

<math display="block">L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n.</math>
किसी श्रेणी को कनवर्जेंट कहा जाता है यदि यह किसी सीमा तक ''कनवर्ज'' किया जाता है, या जब कनवर्ज नहीं होता है तो यह ''डाईवेर्जेंट'' होता है। इस सीमा का मान, यदि यह विद्यमान है, तब यह श्रेणी का मान होता है।

=== कनवर्जेंट श्रेणी ===
[[File:Geometric sequences.svg|thumb|right|1 से 6 पदों के आंशिक योग के साथ 3 गुणोत्तर श्रेणी का चित्रण। धराशायी रेखा सीमा का प्रतिनिधित्व करती है।]]एक श्रेणी {{math|Σ''a''<sub>''n''</sub>}} को कनवर्ज या ''कनवर्जेंट'' होना तब कहा जाता है जब आंशिक संकलनों के अनुक्रम {{math|(''s''<sub>''k''</sub>)}} की एक परिमित सीमा होती है। यदि {{math|''s''<sub>''k''</sub>}} की सीमा अनंत है या अस्तित्व में नहीं है, अतः वह श्रेणी डाइवर्ज कहलाती है।<ref>{{citation|title=Calculus|author=Michael Spivak}}</ref><ref name=":0" /> जब आंशिक संकलन की सीमा विद्यमान होती है, तो इसे श्रेणी का मान (या योग) कहा जाता है<math display=block>\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{k\to\infty} s_k = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^k a_n.</math>एक सरल व सहज विधि यह है कि एक अनंत श्रेणी कनवर्ज कर सकती है यदि पर्याप्त रूप से बड़े {{math|''n''}} के लिए सभी {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} शून्य हैं। इस तरह की श्रेणी को परिमित संकलन के द्वारा पहचाना जा सकता है, इसलिए यह केवल नगण्य रूप से अनंत है।

श्रेणी के प्रगुणों का पता लगाना जो कनवर्ज करते हैं, भले ही असीम रूप से कई पद अशून्य हों, श्रेणी के अध्ययन का सार है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें

<math display="block"> 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots.</math>
वास्तविक संख्या रेखा पर इसके कनवर्जेन्स की "कल्पना" करना संभव है: हम लंबाई 2 की एक [[रेखा (ज्यामिति)|रेखा]] की कल्पना कर सकते हैं, जिसमें लगातार [[रेखा खंड|खंड]] 1, 1/2, 1/4, आदि की लंबाई से चिह्नित हैं। आगामी खंड को चिह्नित करने के लिए सदैव कक्ष होते है, क्योंकि शेष रेखा की राशि सदैव अंतिम खंड के रूप में चिह्नित होती है: जब हमने 1/2 को चिन्हित कर लिया है, तब भी हमारे पास 1/2 लंबाई का एक टुकड़ा है, अतः हम निश्चित रूप से अगले 1/4 को चिह्नित कर सकते हैं। यह तर्क यह प्रमाणित नहीं करता है कि योग 2 के ''बराबर'' है (हालांकि यह होता है), लेकिन यह प्रमाणित करता है कि यह अधिक से ''अधिक'' 2 है। दूसरे पदों में, श्रेणी की ऊपरी सीमा होती है। यह देखते हुए कि श्रेणी कनवर्ज करती है, यह प्रमाणित करते हुए कि यह 2 के बराबर है, केवल प्राथमिक बीजगणित की आवश्यकता है। यदि श्रेणी को {{math|''S''}} के रूप में निरूपित किया जाता है, तो यह देखा जा सकता है

<math display="block">S/2 = \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots}{2} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} +\cdots.</math>
अतः,

<math display=block>S-S/2 = 1 \Rightarrow S = 2.</math>
सिद्धप्रयोग को श्रेणी के अन्य समान विचारों के लिए बढ़ाया जा सकता है।उदाहरण के लिए, एक आवर्ती दशमलव, जैसा कि निम्नलिखित है

<math display=block>x = 0.111\dots , </math>
श्रेणी को एनकोड करता है

<math display=block>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}.</math>
चूँकि ये श्रेणियाँ सदैव [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] में परिवर्तित होती हैं (क्योंकि जिसे वास्तविक संख्याओं की पूर्णता गुणधर्म कहा जाता है), श्रेणी के बारे में इस प्रकार से बात करना वैसा ही है जैसा कि उन नंबरों के बारे में बात करना जिनके वे प्रतीक हैं। विशेष रूप से, दशमलव विस्तार 0.111... की पहचान 1/9 से की जा सकती है। यह एक तर्क की ओर ले जाता है कि {{nowrap|1=9 × 0.111... = 0.999... = 1}}, जो केवल इस तथ्य पर निर्भर करता है कि श्रेणी के लिए सीमा नियम अंकगणितीय संक्रियाओं को संरक्षित करते हैं; इस तर्क पर अधिक विवरण के लिए, 0.999 देखें ....

== संख्यात्मक श्रेणी के उदाहरण ==
{{For|अन्य उदाहरण|गणितीय श्रेणी की सूची|व्युत्क्रमों का योग#अपरिमित रूप से अनेक पद}}
* ''गुणोत्तर (जियोमेट्रिक) श्रेणी'' वह है जहां प्रत्येक क्रमिक पद पूर्ववर्ती पद को एक [[गणितीय स्थिरांक|स्थिरांक]] से गुणा करके निर्मित किया जाता है (इस संदर्भ में सामान्य अनुपात कहा जाता है)। उदाहरण के लिए:<ref name=":0" /><math display=block>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n} = 2.</math><p>सामान्य तौर पर, गुणोत्तर श्रेणी</p> <math display=block>\sum_{n=0}^\infty z^n</math> <p>[[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] <math display="inline">|z| < 1</math> कनवर्ज होता है, तो किस स्थिति में यह <math display="inline"> {1 \over 1 - z}</math> में कनवर्ज होता है।</p>
* [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)|''हार्मोनिक श्रेणी'']] एक श्रेणी है<ref>{{Cite web|title=अनंत श्रृंखला|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/infinite-series.html|access-date=2020-08-30|website=www.mathsisfun.com}}</ref> <math display=block>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.</math> <p>हार्मोनिक श्रेणी डाइवर्जेन्ट है।</p>
* [[वैकल्पिक श्रृंखला|''एकांतर (अल्टेरनेटिंग) श्रेणी'']] एक ऐसी श्रेणी है जहां पद एकांतर संकेत हैं। उदाहरण:<math display=block>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2) \quad </math> <p>([[वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला|एकांतर हार्मोनिक श्रेणी]]) और</p> <math display=block>-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4}</math>
* [[दूरबीन श्रृंखला|अंतर्वेधन (टेलीस्कोपिंग) श्रेणी]] <math display=block>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math> <p>कनवर्ज होता है यदि अनुक्रम ''b<sub>n</sub>'' एक सीमा ''L'' पर कनवर्ज होता है—जैसा कि ''n'' अनंत तक जाता है। तब श्रृंखला का मान ''b''<sub>1</sub> − ''L'' होता है।</p>
* [[अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रृंखला|''समान्तर-गुणोत्तर श्रेणी'']] गुणोत्तर श्रेणी का एक सामान्यीकरण है, जिसमें समान्तर (अर्थमैटिक) अनुक्रम में पदों के बराबर सामान्य अनुपात के गुणांक होते हैं। उदाहरण :<math display=block>3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.</math>
* ''p''-श्रेणी<math display="block">\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}</math> <p>यदि ''p'' > 1 कनवर्ज होता है और ''p'' ≤ 1 के लिए अपसरित होता है, जिसे कनवर्जेंट परीक्षण में नीचे वर्णित समाकल मानदंड के साथ दिखाया जा सकता है। ''p'' के एक फलन के रूप में, इस श्रेणी का योग रीमैन का ज़ीटा फलन है।</p>
* [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला|अति गुणोत्तर (हाइपरजियोमेट्रिक) श्रेणी]]: <math display=block>_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n</math> <p>और उनके सामान्यीकरण (जैसे बुनियादी अति गुणोत्तर श्रेणी और दीर्घवृत्तीय अति गुणोत्तर श्रेणी) प्रायः समाकलनीय प्रणालियों और [[गणितीय भौतिकी]] में दिखाई देते हैं।<ref>Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. [[Cambridge University Press]].</ref></p>
* कुछ प्राथमिक श्रेणियाँ ऐसी हैं जिनका कन्वर्जेन्स अभी तक ज्ञात/सिद्ध नहीं है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि फ्लिंट हिल्स श्रेणी<math display=block>\sum_{n=1}^\infty \frac{\csc^{2} n}{n^{3}}</math> <p>कनवर्ज है या नहीं। कन्वर्जेन्स इस बात पर निर्भर करता है कि <math>\pi</math> को [[परिमेय संख्या|परिमेय संख्याओं]] (जो अभी तक अज्ञात है) के साथ कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है। अधिक विशिष्ट रूप से, संकलन में बड़े संख्यात्मक योगदान के साथ ''n'' के मान <math>\pi</math> के सतत घटक कनवर्जेंट के घटक हैं, 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... {{OEIS|A046947}} से शुरू होने वाला एक अनुक्रम है। ये पूर्णांक हैं जो कुछ पूर्णांक ''n'' के लिए <math>n\pi</math> के निकट हैं, ताकि <math>\sin n\pi</math> 0 के निकट हो और इसका व्युत्क्रम बड़ा होता है। अलेक्सेयेव (2011) ने प्रमाणित किया कि यदि श्रेणी कनवर्ज होती है, तो 55 की अपरिमेयता माप 2.5 से छोटी होती है, जो कि 7.10320533 की वर्तमान ज्ञात सीमा से बहुत छोटी है....<ref>Max A. Alekseyev, [https://arxiv.org/abs/1104.5100 On convergence of the Flint Hills series],   arXiv:1104.5100, 2011.</ref><ref>{{MathWorld|FlintHillsSeries|Flint Hills Series}}</ref></p>

=== पाई ===
{{Main|पाई#अनंत श्रेणी|π का सन्निकटन|हार्मोनिक संख्या#πसे जुड़ी सर्वसमिकाएं}}

=== <math display="block"> \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math><math display="block"> \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}(4)}{2i-1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots = \pi</math>2 का प्राकृतिक लघुगणक ===
{{Main|2#श्रेणी निरूपण का प्राकृतिक लघुगणक}}

<math display="block">\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \ln 2</math><ref name=":0" />

<math display=block>\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)(2i+2)} = \ln 2</math><math display=block>\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(i+1)(i+2)} = 2\ln(2) -1</math><math display=block>\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i \left(4i^2-1\right)} = 2\ln(2) -1</math><math display=block> \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i}i} = \ln 2</math><math display=block> \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i}\right)\frac{1}{i} = \ln 2</math><math display=block> \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2i(2i-1)} = \ln 2</math>
=== प्राकृतिक लघुगणक आधार e ===
{{Main|e (गणितीय स्थिरांक)}}

<math display=block>\sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} =  1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots = \frac{1}{e}</math><math display=block> \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{i!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = e </math>
== अनुक्रमों  पर एक संक्रिया के रूप में कलन और आंशिक संकलन ==
आंशिक योग एक अनुक्रम (''a<sub>n</sub>'') निविष्ट (इनपुट) के रूप में लेता है, और निर्गत (आउटपुट) के रूप में एक अन्य अनुक्रम (''S<sub>N</sub>'') भी प्रदान करता है। इस प्रकार यह अनुक्रमों पर एकात्मक संक्रिया होती है। इसके अतिरिक्त, यह फलन रैखिक है, और इस प्रकार अनुक्रमों के [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] पर एक [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संक्रिया]] है, जिसे Σ निरूपित किया गया है। उलटा संक्रिया [[परिमित अंतर]] संक्रिया है, जिसे Δ दर्शाया गया है। ये एक वास्तविक चर के फलनों के बजाय केवल श्रेणी (एक प्राकृतिक संख्या के फलनों) के लिए [[अभिन्न]] और व्युत्पन्न के असतत अनुरूप व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1, 1, ...) में आंशिक योग के रूप में श्रेणी (1, 2, 3, 4, ...) है, जो कि <math display="inline">\int_0^x 1\,dt = x</math> के तथ्य के अनुरूप है।

संगणक विज्ञान में इसे उपसर्ग योग के नाम से जाना जाता है।

== श्रेणी के गुण ==
श्रेणी को न केवल कनवर्ज या डाईवर्ज द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, बल्कि a<sub>n</sub> पदों (पूर्ण या सप्रतिबंधी कनवर्ज) के गुणों द्वारा भी वर्गीकृत किया जाता है; श्रेणी के कन्वर्जेंस के प्रकार (बिंदुवार, एकसमान); पद a<sub>n</sub> का वर्ग (यदि यह एक वास्तविक संख्या है, समान्तर श्रेणी, त्रिकोणमितीय फलन); आदि।

=== अऋणात्मक पद ===
जब प्रत्येक ''n'' के लिए ''a<sub>n</sub>'' एक अऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है, तो आंशिक योग का क्रम ''S<sub>N</sub>''  गैर-ह्रासमान है। यह इस प्रकार है कि अऋणात्मक पदों के साथ एक श्रेणी Σ''a<sub>n</sub>'' कनवर्ज करती है यदि और केवल यदि आंशिक संकलन का अनुक्रम ''S<sub>N</sub>'' परिबद्ध है।

उदाहरण के लिए, श्रेणी

<math display=block>\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2}</math>
कनवर्जेंट है, असमानता के कारण

<math display=block>\frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2,</math>
और टेलीस्कोपिक संकलन तर्क का तात्पर्य है कि आंशिक संकलन 2 से घिरा है। मूल श्रेणी का यथार्थ मान [[बेसल समस्या]] है।

=== समूहीकरण ===
जब आप किसी श्रेणी का समूह बनाते हैं तो श्रेणी का पुनर्क्रमण नहीं होता है, इसलिए [[रीमैन श्रृंखला प्रमेय|रीमैन श्रेणी प्रमेय]] लागू नहीं होता है। एक नई श्रेणी का आंशिक योग मूल श्रेणी के अनुवर्ती होगा, जिसका अर्थ है कि यदि मूल श्रेणी कनवर्ज होती है, तो नई श्रेणी भी कनवर्ज होती है। लेकिन डाइवर्जेन्ट श्रेणी के लिए जो सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए 1-1+1-1+... प्रत्येक दो तत्वों को समूहीकृत करने से 0+0+0+... श्रेणी बनेगी, जो कनवर्जेंट है। दूसरी ओर, नई श्रेणी के डाइवर्ज का अर्थ है कि मूल श्रेणी केवल डाइवर्जेन्ट हो सकती है जो कभी-कभी उपयोगी होती है, जैसे कि ओरेस्मे सबूत।

=== निरपेक्ष कन्वर्जेन्स ===
{{Main|निरपेक्ष कन्वर्जेन्स}}
एक श्रेणी

<math display=block>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
[[निरपेक्ष मूल्य|निरपेक्ष मानों]] की श्रेणी यदि ''पूर्णतः कनवर्जे'' करती है

<math display=block>\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|</math>
कनवर्जे करती है। यह न केवल यह प्रत्याभुति देने के लिए पर्याप्त है कि मूल श्रेणी एक सीमा तक कनवर्ज करती है, बल्कि यह भी कि इसका कोई भी पुन: क्रम उसी सीमा तक परिवर्तित हो जाता है।

=== सापेक्ष कन्वर्जेन्स ===
{{Main|सापेक्ष कन्वर्जेन्स}}

वास्तविक या समिश्र संख्याओं की एक श्रेणी को '''सापेक्षतः कनवर्जेंट''' (या '''अर्ध-कनवर्जेंट''') कहा जाता है यदि यह कनवर्जेंट है लेकिन निरपेक्ष कन्वर्जेन्स नहीं है। एक प्रसिद्ध उदाहरण एकांतर श्रेणी निम्नलिखित है

<math display=block>\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}  \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots,</math>
जो कनवर्जेंट है (और इसका संकलन <math>\ln 2</math> के बराबर है), लेकिन प्रत्येक पद का निरपेक्ष मान लेकर बनाई गई श्रेणी डाइवर्जेन्ट हार्मोनिक श्रेणी होती है। रीमैन श्रेणी प्रमेय का कहना है कि किसी भी सापेक्ष रूप से कनवर्जेंट श्रेणी को अलग-अलग श्रेणी बनाने के लिए पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है, और इसके अतिरिक्त, यदि <math>a_{n}</math> वास्तविक हैं और <math>S</math> कोई वास्तविक संख्या है, तो कोई पुनर्क्रमित कर सकता है ताकि पुनर्क्रमित श्रेणी <math>S</math> के बराबर योग के साथ कनवर्जेंट हो।

एबेल का परीक्षण अर्ध-कनवर्जेंट श्रेणी को संभालने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है। यदि किसी श्रेणी का रूप है

<math display=block>\sum a_n = \sum \lambda_n b_n</math>
जहां आंशिक संकलन <math>B_{n} = b_{0} + \cdots + b_{n}</math> परिबद्ध हैं, <math>\lambda_{n}</math> परिबद्ध विचरण है, और <math>\lim \lambda_{n} b_{n}</math> विद्यमान है:

<math display=block>\sup_N \left| \sum_{n=0}^N b_n \right| < \infty, \ \ \sum \left|\lambda_{n+1} - \lambda_n\right| < \infty\ \text{and} \ \lambda_n B_n \ \text{converges,}</math>
फिर श्रेणी <math display="inline">\sum a_{n}</math> कनवर्जेंट है। यह कई त्रिकोणमितीय श्रेणियों के बिंदु-वार कनवर्जेंट पर लागू होता है, जैसे कि

<math display=block>\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n x)}{\ln n}</math>
<math>0 < x < 2\pi</math> के साथ। एबेल की विधि में <math>b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}</math> लिखना सम्मिलित है, और [[भागों द्वारा एकीकरण]] के समान परिवर्तन करने में ([[भागों द्वारा योग]] कहा जाता है), जो दी गई श्रेणी <math display="inline">\sum a_{n}</math> को बिल्कुल कनवर्जेंट श्रेणी से संबंधित करता है।

<math display=block> \sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n.</math>
=== ट्रंकेशन त्रुटियों का मूल्यांकन ===
ट्रंकेशन त्रुटियों का मूल्यांकन [[संख्यात्मक विश्लेषण]] (विशेष रूप से मान्य संख्यात्मक और संगणक-सहायता प्रमाण) में एक महत्वपूर्ण प्रक्रिया है।

==== एकांतर श्रेणी ====
जब [[वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण|एकांतर श्रेणी परीक्षण]] की स्थितियाँ <math display="inline">S:=\sum_{m=0}^\infty(-1)^m u_m</math> से संतुष्ट होती हैं, तो एक यथार्थ त्रुटि मूल्यांकन होता है।<ref>[https://www.ck12.org/book/CK-12-Calculus-Concepts/section/9.9/ Positive and Negative Terms: Alternating Series]</ref> <math>s_n</math> को दी गई एकांतर श्रेणी <math>S</math> का आंशिक संकलन  <math display="inline">s_n:=\sum_{m=0}^n(-1)^m u_m</math> के रूप में सेट करें। फिर अगली असमानता रखती है।
<math display=block>|S-s_n|\leq u_{n+1}.</math>
==== टेलर सीरीज ====
टेलर का प्रमेय एक ऐसा कथन है जिसमें [[टेलर श्रृंखला|टेलर श्रेणी]] को खंडित किए जाने पर त्रुटि पद का मूल्यांकन सम्मिलित होता है।

==== अति गुणोत्तर श्रेणी ====
[[अनुपात]] का उपयोग करके, हम त्रुटि पद का मूल्यांकन प्राप्त कर सकते हैं जब अति गुणोत्तर श्रेणी को खंडित कर दिया जाता है।<ref>Johansson, F. (2016). Computing hypergeometric functions rigorously. arXiv preprint arXiv:1606.06977.</ref>
==== [[मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल|आव्यूह घातांक (मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल)]] ====
आव्यूह घातांक के लिए:

<math display=block>\exp(X) := \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}X^k,\quad X\in\mathbb{C}^{n\times n},</math>
निम्नलिखित त्रुटि मूल्यांकन धारण करता है (स्केलिंग और स्क्वायरिंग विधि):<ref>Higham, N. J. (2008). Functions of matrices: theory and computation. [[Society for Industrial and Applied Mathematics]].</ref><ref>Higham, N. J. (2009). The scaling and squaring method for the matrix exponential revisited. SIAM review, 51(4), 747-764.</ref><ref>[http://www.maths.manchester.ac.uk/~higham/talks/exp10.pdf How and How Not to Compute the Exponential of a Matrix]</ref>

<math display=block>T_{r,s}(X) := \left[\sum_{j=0}^r\frac{1}{j!}(X/s)^j\right]^s,\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq\frac{\|X\|^{r+1}}{s^r(r+1)!}\exp(\|X\|).</math>
== कन्वर्जेन्स परीक्षण ==
{{Main|कन्वर्जेन्स परीक्षण}}

ऐसे कई परीक्षण विद्यमान हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई विशेष श्रेणी कनवर्जेंट या डाइवर्ज करती है या नहीं।
* n-वाँ पद परीक्षण: यदि <math display="inline">\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> है, तो श्रेणी डाइवर्जेन्ट होती है; यदि <math display="inline">\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, तो परीक्षण अनिर्णायक है।
* तुलना परीक्षण 1 ([[प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण]] देखें): यदि <math display="inline">\sum b_n</math>[[पूर्ण अभिसरण|निरपेक्ष कन्वर्जेन्स]] श्रेणी है जैसे कि <math>\left\vert a_n \right\vert \leq C \left\vert b_n \right\vert</math> किसी संख्या <math>C</math> के लिए और पर्याप्त रूप से बड़े <math>n</math> के लिए, तो <math display="inline">\sum a_n</math> बिल्कुल भी कनवर्ज करता है। यदि <math display="inline">\sum \left\vert b_n \right\vert</math> डाइवर्ज करते हैं, और <math>\left\vert a_n \right\vert \geq \left\vert b_n \right\vert</math> सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा <math>n</math> है, तो <math display="inline">\sum a_n</math> भी पूरी तरह से कनवर्जेंट करने में विफल रहता है (हालांकि यह अभी भी सापेक्ष रूप से कनवर्जेंट हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि <math>a_n</math>)।
* तुलना परीक्षण 2 ([[सीमा तुलना परीक्षण]] देखें): यदि <math display="inline">\sum b_n</math> पूरी तरह से कनवर्जेंट श्रेणी है जैसे कि <math>\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \leq \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert</math> पर्याप्त रूप से बड़े <math>n</math> के लिए है, तो <math display="inline">\sum a_n</math> भी पूरी तरह से कनवर्ज करता है। यदि <math display="inline">\sum \left| b_n \right|</math> डाइवर्ज करते हैं, और <math>\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \geq \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert</math> सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा <math>n</math> है, तो <math display="inline">\sum a_n</math> भी पूरी तरह से कनवर्जेंट करने में विफल रहता है (हालांकि यह अभी भी सापेक्ष रूप से कनवर्जेंट हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि <math>a_n</math> एकांतर रूप से साइन में हैं)।
* अनुपात परीक्षण: यदि कोई स्थिरांक <math>C < 1</math> विद्यमान है जैसे कि <math>\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert < C</math> सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा <math>n</math> है, तो <math display="inline">\sum a_{n}</math> बिल्कुल कनवर्ज करता है। जब अनुपात <math>1</math> से कम है, लेकिन <math>1</math> से कम स्थिरांक से कम नहीं है, तो कनवर्जेंट संभव है लेकिन यह परीक्षण इसे स्थापित नहीं करता है।
* मूल परीक्षण: यदि कोई स्थिरांक <math>C < 1</math> विद्यमान है जैसे कि <math>\left\vert a_{n} \right\vert^{\frac{1}{n}} \leq C</math> सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा <math>n</math> है, तो <math display="inline">\sum a_{n}</math> पूरी तरह से कनवर्ज करता है।
* [[अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण|पूर्णांक परीक्षण]]: यदि <math>f(x)</math> एक धनात्मक मोनोटोन घटता हुआ फलन है जो [[अंतराल (गणित)|अंतराल]] <math>[1,\infty)</math> पर सभी <math display="inline">\sum a_{n}</math> के लिए <math>f(n)=a_{n}</math> के साथ परिभाषित किया गया है, तो <math>n</math> कनवर्ज करता है और केवल यदि इंटीग्रल <math display="inline">\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx</math> सीमित है।
* कॉची का संघनन परीक्षण: यदि <math>a_{n}</math> अऋणात्मक और गैर-बढ़ता हुआ है, तो दो श्रेणी <math display="inline">\sum a_{n}</math> और <math display="inline">\sum 2^{k} a_{(2^{k})}</math> एक ही प्रकृति के हैं: दोनों कनवर्जेंट, या दोनों डाइवर्ज।
*एकान्तर श्रेणी परीक्षण: फॉर्म <math display="inline">\sum (-1)^{n} a_{n}</math> (<math>a_{n} > 0</math> के साथ) की एक श्रेणी को ''एकान्तर'' कहा जाता है। इस तरह की श्रेणी कनवर्ज करती है यदि अनुक्रम <math>a_{n}</math> मोनोटोन कम हो रहा है और <math>0</math> में कनवर्ज करता है। विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है।
* कुछ विशिष्ट प्रकार की श्रेणियों के लिए अधिक विशिष्ट कनवर्जेंट परीक्षण होते हैं, उदाहरण के लिए फोरियर श्रेणी के लिए दीनी परीक्षण होता है।

== फलनों की श्रेणी ==
{{Main|क्रियात्मक श्रेणी}}

वास्तविक- या समिश्र-मूल्यवान फलन की एक श्रेणी

<math display=block>\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math>
समुच्चय ''E'' पर [[बिंदुवार अभिसरण|बिंदुवार]] कनवर्ज करता है, यदि श्रेणी ''E'' में प्रत्येक ''x'' के लिए वास्तविक या समिश्र संख्याओं की एक सामान्य श्रेणी के रूप में कनवर्ज करती है। समान रूप से, आंशिक संकलन

<math display=block>s_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)</math>
प्रत्येक ''x ∈ E'' के लिए ''ƒ(x)'' को ''N → ∞'' के रूप में कनवर्ज करता है।

फलनों की एक श्रेणी के कनवर्जेंट की दृढ़ धारणा [[एकसमान अभिसरण|एकएकसमान कन्वर्जेन्स]] है। एक श्रेणी समान रूप से कनवर्ज करती है यदि यह बिंदुवार फलन ƒ(x) में परिवर्तित होती है, और ''N''वां आंशिक संकलन द्वारा सीमा का अनुमान लगाने में त्रुटि होती है,

<math display=block>|s_N(x) - f(x)|</math>
पर्याप्त रूप से बड़ा ''N'' चुनकर ''x'' से ''स्वतंत्र रूप से'' न्यूनतम बनाया जा सकता है।

किसी श्रेणी के लिए एकसमान कन्वर्जेन्स वांछनीय है क्योंकि श्रेणी की पदों के कई गुण तब सीमा द्वारा बनाए रखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि निरंतर फलनों की एक श्रेणी समान रूप से कनवर्ज करती है, तो सीमा फलन भी निरंतर होता है। इसी तरह, यदि ''ƒ<sub>n</sub>'' एक संवृत और परिबद्ध अंतराल ''I'' पर पूर्णांक हैं और समान रूप से कनवर्ज होते हैं, तो श्रेणी ''I'' पर भी पूर्णांकित होती है और टर्म-दर-टर्म एकीकृत हो सकती है। एकएकसमान कन्वर्जेन्स के लिए परीक्षणों में वीयरस्ट्रास का M-परीक्षण, एबेल का एकसमान कन्वर्जेन्स परीक्षण, दीनी का परीक्षण और [[कॉची अनुक्रम]] सम्मिलित हैं।

फलनों की एक श्रेणी के अधिक परिष्कृत प्रकार के कनवर्जेंट को भी परिभाषित किया जा सकता है। [[माप सिद्धांत]] में, उदाहरण के लिए, फलनों की एक श्रेणी [[लगभग हर जगह]] कनवर्ज करती है यदि यह शून्य माप के एक निश्चित समुच्चय को छोड़कर बिंदुवार कनवर्ज करती है। कनवर्जेंट के अन्य तरीके विचाराधीन फलनों के समष्टि पर एक अलग मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, फलनों की एक श्रेणी एक समुच्चय ई पर एक सीमित फलन ƒ प्रदान करने के लिए '''माध्य में कनवर्ज''' होते है

<math display=block>\int_E \left|s_N(x)-f(x)\right|^2\,dx \to 0</math>
जब N→ ∞।

=== घात श्रेणी ===
:{{Main|घात श्रेणी}}
'''घात श्रेणी''' निम्नलिखित रूप की एक श्रेणी है

<math display=block>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.</math>
फलन के बिंदु ''c'' पर टेलर श्रेणी एक घात श्रेणी है, जो कई स्थितियों में, ''c'' के प्रतिवैस में फलन में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरण के लिए श्रेणी

<math display=block>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>
मूल बिंदु पर <math>e^x</math> की टेलर श्रेणी है और प्रत्येक x के लिए इसे कनवर्ज करता है।

जब तक यह केवल ''x=c'' पर कनवर्ज नहीं करता है, ऐसी श्रेणी समिश्र विमान में बिंदु सी पर केंद्रित कन्वर्जेन्स के एक निश्चित खुले डिस्क पर कनवर्ज करती है, और डिस्क की सीमा के कुछ बिंदुओं पर भी कनवर्जेंट कर सकती है। इस डिस्क की त्रिज्या को [[अभिसरण की त्रिज्या|कनवर्जेंट की त्रिज्या]] के रूप में जाना जाता है, और सिद्धांत रूप में गुणांक के अनंतस्पर्शी से निर्धारित किया जा सकता है। कनवर्जेंट की डिस्क के आंतरिक भाग के [[बंद सेट|संवृत]] और परिबद्ध (अर्थात, [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट]]) उपसमुच्चय पर कनवर्जेंट समान है: बुद्धि के लिए, यह [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] पर समान रूप से कनवर्जेंट है।

ऐतिहासिक रूप से, [[लियोनहार्ड यूलर]] जैसे गणितज्ञों ने अनंत श्रेणियों के साथ उदारतापूर्वक संचालन किया, भले ही वे कनवर्जेंट न हों। उन्नीसवीं शताब्दी में जब कलन को एक ठोस और सही नींव पर रखा गया था, तो श्रेणी के कनवर्जेंट के कठोर प्रमाण की सदैव आवश्यकता थी।

=== क्रमसंगत घात श्रेणी ===
{{main|क्रमसंगत घात श्रेणी}}

जबकि घात श्रेणी के कई उपयोग उनके योगों को संदर्भित करते हैं, यह भी संभव है कि घात श्रेणी को ''औपचारिक राशियों'' के रूप में माना जाए, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जोड़ संचालन नहीं किया जाता है, और प्रतीक "+" संयुग्मन का एक सार प्रतीक है जिसे आवश्यक रूप से जोड़ के अनुरूप नहीं समझा जाता है। इस व्यवस्था में, श्रेणी के कनवर्जेंट के बजाय स्वयं [[गुणा|गुणांकों]] का अनुक्रम रुचिकर है। औपचारिक घात श्रेणी का उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में उन अनुक्रमों का वर्णन और अध्ययन करने के लिए किया जाता है जो अन्यथा संभालना मुश्किल होता है, उदाहरण के लिए, फलन उत्पन्न करने की विधि का उपयोग करना। हिल्बर्ट-पोंकेयर श्रेणी एक औपचारिक घात श्रेणी है जिसका उपयोग श्रेणीबद्ध बीजगणित का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

भले ही घात श्रेणी की सीमा पर विचार नहीं किया गया हो, यदि पद उचित संरचना का समर्थन करते हैं तो "औपचारिक रूप से" घात श्रेणी के लिए अतिरिक्त, गुणा, व्युत्पन्न, प्रतिपक्षी जैसे फलनों को परिभाषित करना संभव है, प्रतीक "+" का इलाज करना जैसे कि यह अतिरिक्त के अनुरूप है। सबसे सामान्य व्यवस्था में, पद एक [[क्रमविनिमेय अंगूठी|क्रमविनिमेय रिंग]] से आते हैं, ताकि औपचारिक घात श्रेणी को टर्म-दर-टर्म जोड़ा जा सके और कॉची गुणनफल के माध्यम से गुणा किया जा सके। इस स्थिति में औपचारिक घात श्रेणी का बीजगणित अंतर्निहित पद रिंग पर [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] के [[मोनोइड]] का [[कुल बीजगणित]] है।<ref>{{citation|author=Nicolas Bourbaki|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Algebra|publisher=Springer|year=1989}}: §III.2.11.</ref> यदि अंतर्निहित टर्म रिंग एक डिफरेंशियल बीजगणित है, तो औपचारिक घात श्रेणी का बीजगणित भी एक डिफरेंशियल बीजगणित है, जिसमें टर्म-बाय-टर्म भेदभाव किया जाता है।

=== लॉरेंट श्रेणी ===
{{Main|लॉरेंट श्रेणी}}

लॉरेंट श्रेणी ऋणात्मक और साथ ही धनात्मक घातांक के साथ श्रेणी में पदों को स्वीकार करके घात श्रेणी का सामान्यीकरण करती है। लॉरेंट श्रेणी इस प्रकार किसी भी प्रकार की श्रेणी निम्न है

<math display=block>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n.</math>यदि ऐसी श्रेणी कनवर्ज करती है, तो सामान्य तौर पर यह एक डिस्क के बजाय एक [[वलय (गणित)|रिंग]] में होती है, और संभवतः कुछ सीमा बिंदुओं पर। श्रेणी कनवर्जेंट के रिंग के आंतरिक भाग के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान रूप से कनवर्ज होती है।
=== डिरिचलेट श्रेणी ===
:{{Main|डिरिचलेट श्रेणी}}
[[डिरिचलेट श्रृंखला|डिरिचलेट श्रेणी]] निम्न रूप में दर्शाया गया है

<math display="block">\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s},</math>


जहाँ ''s'' एक सम्मिश्र संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि सभी ''a<sub>n</sub>'' 1 के बराबर हैं, तो डिरिचलेट श्रेणी [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन|रीमैन जीटा फलन]] होती है

<math display="block">\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.</math>
ज़ीटा फलन की तरह, डिरिचलेट श्रेणी सामान्य रूप से [[विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत]] में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। सामान्यतः एक डिरिचलेट श्रेणी कनवर्ज करती है यदि s का वास्तविक भाग एक संख्या से अधिक होता है जिसे कनवर्जेंट का भुज कहते हैं। कई स्थितियों में, एक डिरिचलेट श्रेणी को [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] द्वारा कनवर्जेंट के प्रान्त (डोमेन) के बाहर एक [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक फलन]] में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़ीटा फलन के लिए डिरिचलेट श्रेणी पूरी तरह से कनवर्ज करती है जब Re(''s'') > 1, लेकिन ज़ीटा फलन को <math>\Complex\setminus\{1\}</math> पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फलन तक बढ़ाया जा सकता है, जिसमें 1 पर एक साधारण [[पोल (जटिल विश्लेषण)|पोल]] होता है।

इस श्रेणी को सीधे [[सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला|सामान्य डिरिचलेट श्रेणी]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

===त्रिकोणमितीय श्रेणी===
{{Main|त्रिकोणमितीय श्रेणी}}

फलनों की एक श्रेणी जिसमें पद त्रिकोणमितीय फलन होते हैं, '''त्रिकोणमितीय श्रेणी''' कहलाती है:

<math display=block>\frac12 A_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos nx + B_n \sin nx\right).</math>
त्रिकोणमितीय श्रेणी का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण एक फलन की फोरियर श्रेणी है।

== अनंत श्रेणी के सिद्धांत का इतिहास ==

===अनंत श्रेणी का विकास===
[[ग्रीक गणित|ग्रीक गणितज्ञ]] [[आर्किमिडीज|आर्किमिडीज़]] ने एक विधि के साथ एक अनंत श्रेणी का पहला ज्ञात योग तैयार किया जो आज भी कलन के [[क्षेत्र|फील्ड]] में उपयोग किया जाता है। उन्होंने एक अनंत श्रेणी के योग के साथ एक [[परवलय|पररिंग]] के चाप के नीचे के फील्ड की गणना करने के लिए [[थकावट की विधि]] का उपयोग किया, और π का उल्लेखनीय रूप से सटीक अनुमान लगाया।<ref>{{cite web | title = कैलकुलस का इतिहास|author1=O'Connor, J.J.  |author2=Robertson, E.F.  |name-list-style=amp | publisher = [[University of St Andrews]]| url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html |date=February 1996|access-date= 2007-08-07}}</ref><ref>{{cite journal|url=http://eric.ed.gov/ERICWebPortal/custom/portlets/recordDetails/detailmini.jsp?_nfpb=true&_&ERICExtSearch_SearchValue_0=EJ502088&ERICExtSearch_SearchType_0=no&accno=EJ502088|title=आर्किमिडीज और पाई-रिविजिटेड।|first=Bidwell, James|last=K.|date=30 November 1993|journal=School Science and Mathematics|volume=94|issue=3}}</ref>

केरल, भारत के गणितज्ञों ने 1350 सीई के आस-पास अनंत श्रेणी का अध्ययन किया।<ref>{{cite web|url=http://www.manchester.ac.uk/discover/news/article/?id=2962|title=भारतीयों ने न्यूटन की 'खोज' को 250 साल पहले कर दिया था|website=manchester.ac.uk}}</ref>

17वीं शताब्दी में, जेम्स ग्रेगोरी ने नई [[दशमलव]] प्रणाली में अनंत श्रेणी पर काम किया और कई [[मैकलॉरिन श्रृंखला|मैकलॉरिन श्रेणी]] प्रकाशित कीं। 1715 में, सभी फलनों के लिए टेलर श्रेणी के निर्माण के लिए एक सामान्य विधि, जिसके लिए वे विद्यमान हैं, [[ब्रुक टेलर]] द्वारा प्रदान की गई थी। 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर ने अति गुणोत्तर श्रेणी और क्यू-श्रेणी के सिद्धांत को विकसित किया।

=== कन्वर्जेन्स मानदंड ===
अनंत श्रेणी की वैधता की जांच 19वीं शताब्दी में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस|गॉस]] से शुरू मानी जाती है। यूलर ने पहले से ही हाइपरजियोमेट्रिक श्रेणी पर विचार किया था

<math display=block>1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots</math>
जिस पर 1812 में गॉस ने एक संस्मरण प्रकाशित किया। इसने कन्वर्जेन्स के सरल मानदंड, और अवशेषों के प्रश्न और कनवर्जेंट की सीमा को स्थापित किया।

[[कॉची]] (1821) ने कनवर्जेंट के कठोर परीक्षण पर जोर दिया; उन्होंने दिखाया कि यदि दो श्रेणियाँ कनवर्जेंट हैं तो उनका गुणनफल आवश्यक रूप से ऐसा नहीं है, और उसके साथ प्रभावी मानदंडों की खोज शुरू होती है। ग्रेगरी (1668) द्वारा ''कनवर्जेंट'' और ''डाइवर्ज'' पद बहुत पहले पेश किए गए थे। लिओनहार्ड यूलर और गॉस ने विभिन्न मापदंड दिए थे, और [[कॉलिन मैकलॉरिन]] ने कॉची की कुछ खोजों का अनुमान लगाया था। कॉची ने इस तरह के रूप में एक समिश्र फलन के विस्तार के द्वारा घात श्रेणी के सिद्धांत को आगे बढ़ाया।

[[नील्स हेनरिक एबेल]] (1826) [[द्विपद श्रृंखला|द्विपद श्रेणी]] पर अपने संस्मरण में

<math display=block>1 + \frac{m}{1!}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots</math>
कॉची के कुछ निष्कर्षों को सही किया, और <math>m</math> और <math>x</math> के समिश्र मानों के लिए श्रेणी का एक पूर्ण वैज्ञानिक योग दिया। उन्होंने कनवर्जेंट के प्रश्नों में निरंतरता के विषय पर विचार करने की आवश्यकता को दिखाया।

कॉची के तरीकों ने सामान्य मानदंडों के बजाय विशेष का नेतृत्व किया, और [[जोसेफ लुडविग राबे|राबे]] (1832) के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जिन्होंने [[अगस्त डी मॉर्गन|डी मॉर्गन]] (1842 से) के विषय की पहली विस्तृत जांच की, जिनके लॉगरिदमिक परीक्षण [[पॉल डु बोइस-रेमंड|डुबोइस-रेमंड]] (1873) और [[अल्फ्रेड प्रिंगशाइम|प्रिंगशाइम]] (1889) ने एक निश्चित फील्ड में विफल होने को दिखाया है; बर्ट्रेंड (1842), [[पियरे ओसियन बोनट|बोनट]] (1843), [[कार्ल जोहान मालमस्टन|मालमस्टन]] (1846, 1847, एकीकरण के बिना बाद वाला); [[जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स|स्टोक्स]] (1847), [[पॉकर]] (1852), [[Chebyshev|चेबिशेव]] (1852), और अरंड्ट (1853)।

सामान्य मानदंड [[आन्ट|कुमेर]] (1835) के साथ शुरू हुआ, और ईसेनस्टीन (1847), [[विअरस्ट्रास|वेइरस्ट्रास]] द्वारा फलनों के सिद्धांत, दीनी (1867), डुबोइस-रेमंड (1873), और कई अन्य लोगों के लिए उनके विभिन्न योगदानों का अध्ययन किया गया है। प्रिंग्सहाइम के संस्मरण (1889) सबसे पूर्ण सामान्य सिद्धांत प्रस्तुत करते हैं।

=== एकसमान कन्वर्जेन्स ===
कॉची (1821) द्वारा एकसमान कन्वर्जेन्स के सिद्धांत का इलाज किया गया था, उसकी सीमाओं को हाबिल ने इंगित किया था, लेकिन सबसे पहले इस पर सफलतापूर्वक हमला करने वाले [[फिलिप लुडविग वॉन सेडेल|सेडेल]] और स्टोक्स (1847-48) थे। कॉची ने समस्या को फिर से उठाया (1853), एबेल की आलोचना को स्वीकार करते हुए, और उसी निष्कर्ष पर पहुंचे जो स्टोक्स पहले ही पा चुके थे। थोमे ने सिद्धांत (1866) का इस्तेमाल किया, लेकिन फलनों के सिद्धांत की मांग के बावजूद, वर्दी और गैर-एकसमान कन्वर्जेन्स के बीच अंतर करने के महत्व को पहचानने में बहुत देरी हुई।

=== अर्ध-कन्वर्जेन्स ===
एक श्रेणी को अर्ध-कनवर्जेंट (या सापेक्ष रूप से कनवर्जेंट) कहा जाता है यदि यह कनवर्जेंट है लेकिन पूर्णतः कनवर्जेंट नहीं है।

अर्ध-कनवर्जेंट श्रेणी का अध्ययन पोइसन (1823) द्वारा किया गया, जिन्होंने मैकलॉरिन सूत्र के शेष भाग के लिए एक सामान्य रूप भी दिया। हालाँकि, समस्या का सबसे महत्वपूर्ण हल जैकोबी (1834) के कारण है, जिन्होंने एक अलग दृष्टिकोण से शेष के प्रश्न पर हमला किया और एक अलग सूत्र पर पहुँचे। इस अभिव्यक्ति पर भी काम किया गया था, और एक अन्य माल्मस्टेन (1847) द्वारा दिया गया था। Schlömilch (Zeitschrift, Vol.I, पृष्ठ 192, 1856) ने भी जैकोबी के शेष में सुधार किया, और शेष और बरनौली के फलन के बीच के संबंध को दिखाया

<math display=block>F(x) = 1^n + 2^n + \cdots + (x - 1)^n.</math>
[[एंजेलो जेनोची]] (1852) ने सिद्धांत में और योगदान दिया है।

शुरुआती लेखकों में [[जोसेफ होएने-व्रोनस्की|व्रोनस्की]] थे, जिनके "लोई सुप्रीम" (1815) को [[आर्थर केली|केली]] (1873) ने इसे प्रमुखता में लाने तक मुश्किल से पहचाना था।

=== फोरियर श्रेणी ===
भौतिक विचारों के परिणाम के रूप में फोरियर श्रेणी की जांच की जा रही थी, उसी समय जब गॉस, एबेल और कौची अनंत श्रेणी के सिद्धांत पर काम कर रहे थे। ज्या और कोसाइन के विस्तार के लिए श्रेणी, चाप की ज्या और कोज्या की शक्तियों में कई चापों का उपचार [[जैकब बर्नौली]] (1702) और उनके भाई [[जोहान बर्नौली]] (1701) द्वारा किया गया था और इससे भी पहले विएटा द्वारा। यूलर और [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज|लाग्रेंज]] ने इस विषय को सरल बनाया, जैसा कि [[लुइस पॉइन्सॉट|पॉइन्सॉट]], श्रोटर, [[जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर|ग्लैशर]] और कुमेर ने किया।

फोरियर (1807) ने खुद के लिए एक अलग समस्या निर्धारित की, एक्स के गुणकों के ज्या या कोज्या के संदर्भ में एक्स के दिए गए फलन का विस्तार करने के लिए, एक समस्या जिसे उन्होंने अपने ''थ्योरी एनालिटिक डे ला चालेर'' (1822) में सम्मिलित किया। श्रेणी में गुणांकों के निर्धारण के लिए यूलर ने सूत्र पहले ही दे दिए थे; फोरियर पहले व्यक्ति थे जिन्होंने सामान्य प्रमेय को प्रमाणित करने का प्रयास किया। प्वासों (1820-23) ने भी समस्या पर एक भिन्न दृष्टिकोण से आक्रमण किया। फोरियर ने, हालांकि, अपनी श्रेणी के कनवर्जेंट के प्रश्न का हल नहीं किया, यह मामला [[ऑगस्टिन लुइस कॉची|कॉची]] (1826) के लिए प्रयास करने के लिए और डिरिचलेट (1829) के लिए पूरी तरह से वैज्ञानिक तरीके से संभालने के लिए छोड़ दिया गया था ([[फूरियर श्रृंखला का अभिसरण|फोरियर श्रेणी का कनवर्जेंट]] देखें)। त्रिकोणमितीय श्रेणी का डिरिचलेट का उपचार (क्रेले, 1829), रीमैन (1854), हेइन, [[रूडोल्फ लिपशिट्ज|लिपशिट्ज]], श्लाफली और डु बोइस-रेमंड द्वारा आलोचना और सुधार का विषय था। त्रिकोणमितीय और फोरियर श्रेणी के सिद्धांत के अन्य प्रमुख योगदानकर्ताओं में दीनी, [[चार्ल्स हर्मिट|हर्मिट]], [[जॉर्जेस हेनरी हलफेन|हलफेन]], क्रूस, बायरली और अपेल थे।

== सामान्यीकरण ==

=== उपगामी (असिम्पटोटिक) श्रेणी ===

[[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला|उपगामी श्रेणी]], अन्यथा [[स्पर्शोन्मुख विस्तार|उपगामी विस्तार]], अनंत श्रेणियाँ हैं जिनके आंशिक योग प्रान्त के कुछ बिंदुओं की सीमा में अच्छे सन्निकटन बन जाते हैं। सामान्य तौर पर वे कनवर्जेंट नहीं करते हैं, लेकिन वे सन्निकटन के अनुक्रम के रूप में उपयोगी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पदों की सीमित संख्या के लिए वांछित उत्तर के निकट एक मूल्य प्रदान करता है। अंतर यह है कि एक उपगामी श्रेणी को वांछित के रूप में सटीक उत्तर देने के लिए नहीं बनाया जा सकता है, जिस तरह से कनवर्जेंट श्रेणी हो सकती है। वास्तव में, पदों की एक निश्चित संख्या के बाद, एक विशिष्ट उपगामी श्रेणी अपने सर्वोत्तम सन्निकटन तक पहुँचती है; यदि अधिक शर्तें सम्मिलित की जाती हैं, तो ऐसी अधिकांश श्रेणियाँ खराब उत्तर उत्पन्न करेंगी।

=== डाइवर्जेन्ट श्रेणी ===

{{Main|डाइवर्जेन्ट श्रेणी}}

कई परिस्थितियों में, एक श्रेणी के लिए एक सीमा निर्धारित करना वांछनीय है जो सामान्य अर्थों में कनवर्जेंट करने में विफल रहता है। एक संकलनीयता विधि डाइवर्जेन्ट श्रेणी के समुच्चय के एक उपसमुच्चय की सीमा का एक ऐसा नियतन है जो कनवर्जेंट की शास्त्रीय धारणा को उचित रूप से विस्तारित करता है। [[संक्षेपण विधि|संक्षेपण विधियों]] में सामान्यता के बढ़ते क्रम में सिसैरा संकलन, (''C'',''k'') संकलन, और [[बोरेल योग|बोरेल संकलन]] सम्मिलित हैं (और इसलिए उत्तरोत्तर डाइवर्जेन्ट श्रेणी पर लागू होते हैं)।

संभव संकलनीयता पद्धतियों से संबंधित विभिन्न प्रकार के सामान्य परिणाम ज्ञात हैं। सिल्वरमैन-टूप्लेट्ज़ प्रमेय मैट्रिक्स सारांश विधियों की विशेषता है, जो गुणांक के सदिश के लिए एक अनंत मैट्रिक्स को लागू करके एक डाइवर्जेन्ट श्रेणी को संकलन करने के तरीके हैं। डाइवर्जेन्ट श्रेणी के संकलन के लिए सबसे सामान्य विधि गैर-रचनात्मक है, और बानाच सीमाओं से संबंधित है।

=== यादृच्छिक सूचकांक समुच्चय पर संकलन ===
यादृच्छिक सूचकांक समुच्चय <math>I</math> पर राशियों के लिए परिभाषाएँ दी जा सकती हैं।<ref>{{citation|author=Jean Dieudonné|title=Foundations of mathematical analysis|publisher=Academic Press}}</ref> श्रेणी की सामान्य धारणा के साथ दो मुख्य अंतर हैं: पहला, समुच्चय <math>I</math> पर कोई विशिष्ट क्रम नहीं दिया गया है; दूसरा, यह समुच्चय <math>I</math> असंख्य हो सकता है। कनवर्जेंट की धारणा को दृढ़ करने की आवश्यकता है, क्योंकि [[सशर्त अभिसरण|सापेक्ष कन्वर्जेन्स]] की अवधारणा सूचकांक समुच्चय के क्रम पर निर्भर करती है।

यदि <math>a : I \mapsto G</math> एक [[सूचकांक सेट|सूचकांक समुच्चय]] <math>I</math> से एक समुच्चय <math>G</math> तक का एक फलन है, तो <math>a</math> से जुड़ी "श्रेणी" सूचकांक अवयव <math>x \in I</math> पर <math>a(x) \in G </math> तत्वों का औपचारिक योग है जिसे निरूपित किया गया है

<math display="block">\sum_{x \in I} a(x).</math>
जब सूचकांक समुच्चय प्राकृतिक संख्या <math>I=\N,</math> है, तो फलन <math>a : \N \mapsto G,</math> <math>a(n) = a_n</math> द्वारा चिह्नित अनुक्रम है। प्राकृतिक संख्याओं पर अनुक्रमित एक श्रेणी एक आदेशित औपचारिक योग है और इसलिए हम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा प्रेरित क्रम पर जोर देने के लिए <math display="inline">\sum_{n \in \N}</math> को <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty}</math> के रूप में फिर से लिखते हैं। इस प्रकार, हम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित एक श्रेणी के लिए सामान्य संकेतन प्राप्त करते हैं

==== <math display="block">\sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots.</math>अऋणात्मक संख्याओं के वर्ग ====
जब एक वर्ग का योग <math>\left\{a_i : i \in I\right\}</math> अऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की, परिभाषित करें

<math display="block">\sum_{i\in I}a_i = \sup \left\{ \sum_{i\in A} a_i\, : A \subseteq I,  A \text{ finite}\right\} \in [0, +\infty].</math>
जब सुपरमम परिमित होता है तो का समुच्चय <math>i \in I</math> ऐसा है कि <math>a_i > 0</math> गणनीय है। वास्तव में, प्रत्येक के लिए <math>n \geq 1,</math> [[प्रमुखता]] <math>\left|A_n\right|</math> समुच्चय का <math>A_n = \left\{i \in I : a_i > 1/n\right\}</math> परिमित है क्योंकि

<math display="block">\frac{1}{n} \, \left|A_n\right| = \sum_{i \in A_n} \frac{1}{n} \leq \sum_{i \in A_n} a_i \leq \sum_{i \in I} a_i < \infty.</math>
यदि <math>I</math> गणनीय रूप से अनंत है और इस रूप में गणना किया जाता है <math>I = \left\{i_0, i_1, \ldots\right\}</math> तब उपरोक्त परिभाषित राशि संतुष्ट होती है

<math display="block">\sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=0}^{+\infty} a_{i_k},</math>
बशर्ते मान <math>\infty</math> श्रेणी के योग के लिए अनुमत हो।

अऋणात्मक वास्तविक पर किसी भी राशि को गिनती के माप के संबंध में एक अऋणात्मक फलन के अभिन्न अंग के रूप में समझा जा सकता है, जो दो निर्माणों के बीच कई समानताएं रखता है।

==== एबेलियन सामयिक समूह ====

माना <math>a : I \to X</math> प्रतिचित्रित किया जाता है, जिसे <math>\left(a_i\right)_{i \in I},</math> से भी दर्शाया गया है, कुछ गैर-खाली समुच्चय <math>I</math> से हॉसडॉर्फ एबेलियन सामयिक ग्रुप <math>X</math> में। मान लीजिए <math>\operatorname{Finite}(I),</math> <math>I</math> के सभी परिमित उपसमुच्चय का संग्रह है, जिसमें <math>\operatorname{Finite}(I)</math> को एक [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] के रूप में प्रेक्षित किया जाता है, जो कि <math>\,\subseteq\,</math> के तहत [[संघ (सेट सिद्धांत)|संश्रय]], जॉइन के रूप में सम्मिलित है। वर्ग <math>\left(a_i\right)_{i \in I},</math> को {{em|[[बिना शर्त योग्य]]}} कहा जाता है यदि निम्नलिखित सीमा, जिसे <math>\sum_{i\in I} a_i</math> द्वारा निरूपित किया जाता है और <math>\left(a_i\right)_{i \in I},</math> का ''योग'' कहा जाता है, <math>X</math> में विद्यमान है:<math display=block>\sum_{i\in I} a_i := \lim_{A \in \operatorname{Finite}(I)} \ \sum_{i\in A} a_i = \lim \left\{\sum_{i\in A} a_i \,: A \subseteq I, A \text{ finite }\right\}</math>

माना योग <math>S := \sum_{i\in I} a_i</math> परिमित आंशिक संकलन की सीमा है जिसका मतलब है कि हर प्रतिवैस के लिए <math>V</math> मूल में <math>X,</math> परिमित उपसमुच्चय विद्यमान है <math>A_0</math> का <math>I</math> ऐसा है कि

<math display="block">S - \sum_{i \in A} a_i \in V \qquad \text{ for every finite superset} \; A \supseteq A_0.</math>
अतः <math>\operatorname{Finite}(I)</math> [[कुल आदेश]] नहीं है, यह आंशिक संकलन के अनुक्रम की सीमा नहीं है, बल्कि [[नेट (गणित)|नेट]] की है।<ref name="Bourbaki">{{cite book|title=सामान्य टोपोलॉजी: अध्याय 1-4|first=Nicolas|last=Bourbaki|author-link=Nicolas Bourbaki|year=1998|publisher=Springer|isbn=978-3-540-64241-1|pages=261–270}}</ref><ref name="Choquet">{{cite book|title=टोपोलॉजी|first=Gustave|last=Choquet|author-link=Gustave Choquet|year=1966|publisher=Academic Press|isbn=978-0-12-173450-3|pages=216–231}}</ref>

<math>X,</math> में उत्पत्ति के प्रत्येक प्रतिवैस <math>W</math> के लिए, एक खंडित प्रतिवैस <math>V</math> ऐसा है कि <math>V - V \subseteq W</math> है। यह इस प्रकार है कि एक अप्रतिबंधत: योग करने योग्य वर्ग <math>\left(a_i\right)_{i \in I},</math> के परिमित आंशिक योग, एक {{em|[[कॉची नेट]]}} बनाते हैं, जो कि प्रत्येक प्रतिवैस के <math>W</math> में मूल के लिए है। <math>X,</math> <math>I</math> में से एक परिमित उपसमुच्चय <math>A_0</math> का अस्तित्व है, जैसे कि

<math display="block">\sum_{i \in A_1} a_i - \sum_{i \in A_2} a_i \in W \qquad \text{ for all finite supersets } \; A_1, A_2 \supseteq A_0,</math>
जिसका तात्पर्य है <math>a_i \in W</math> हरएक के लिए <math>i \in I \setminus A_0</math> (ले कर <math>A_1 := A_0 \cup \{i\}</math> तथा <math>A_2 := A_0</math>).

जब <math>X</math> [[पूर्ण सामयिक समूह|पूर्ण]] हो जाता है, तो एक वर्ग <math>\left(a_i\right)_{i \in I}</math> अप्रतिबंधत: के <math>X</math> में संकलन करने योग्य होता है यदि और केवल यदि परिमित राशि बाद की कॉची शुद्ध स्थिति को पूरा करती है। जब <math>X</math> पूर्ण होता है और <math>\left(a_i\right)_{i \in I},</math> <math>X,</math>में अप्रतिबंधत: संकलन योग्य होता है, तो प्रत्येक उपसमुच्चय <math>J \subseteq I,</math> के लिए, संबंधित उपवर्ग <math>\left(a_j\right)_{j \in J},</math> <math>X</math>में भी अप्रतिबंधत: संकलन योग्य होता है।

जब अऋणात्मक संख्याओं के वर्ग का संकलन, पहले परिभाषित विस्तारित अर्थ में, परिमित है, तो यह सामयिक समूह में संकलन के साथ मेल खाता है <math>X = \R.</math>

यदि <math>X</math> में एक वर्ग <math>\left(a_i\right)_{i \in I}</math> अप्रतिबंधत: के संकलन करने योग्य है, तो <math>X</math> में मूल के प्रत्येक प्रतिवैस <math>W</math> के लिए, एक परिमित उपसमुच्चय <math>A_0 \subseteq I</math> है जैसे कि <math>a_i \in W</math> प्रत्येक सूचकांक <math>i</math> के लिए <math>A_0</math> में नहीं। यदि <math>X</math> [[प्रथम-गणनीय स्थान|प्रथम-गणनीय समष्टि]] है तो इसका पालन होता है कि <math>i \in I</math> का समुच्चय ऐसा है कि <math>a_i \neq 0</math> गणनीय है। यह एक सामान्य एबेलियन सामयिक समूह (नीचे उदाहरण देखें) में सच नहीं होना चाहिए।

==== अप्रतिबंधत: कनवर्जेंट श्रेणी ====

मान लीजिए कि <math>I = \N</math>। यदि एक वर्ग <math>a_n, n \in \N,</math> हॉसडॉर्फ [[एबेलियन टोपोलॉजिकल ग्रुप|एबेलियन सामयिक ग्रुप]] <math>X,</math> में अप्रतिबंधत: संकलन योग्य है, तो सामान्य अर्थों में श्रेणी कनवर्ज करती है और इसका संकलन समान होता है,<math display=block>\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n \in \N} a_n.</math>

स्वभावतः, अप्रतिबंधत: संकलन की परिभाषा संकलन के क्रम के प्रति अल्पग्राही है। जब <math>\sum a_n</math> अप्रतिबंधत: के संकलन करने योग्य होता है, तो अनुक्रमों के समुच्चय <math>\N</math> में से किसी भी क्रमचय <math>\sigma : \N \to \N</math> के बाद श्रेणी कनवर्जेंट बनी रहती है, समान संकलन के साथ,

<math display="block">\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n.</math>
इसके विपरीत, यदि किसी श्रेणी <math>\sum a_n</math> का प्रत्येक क्रमचय कनवर्ज करता है, तो श्रेणी अप्रतिबंधत: कनवर्जेंट होती है। जब <math>X</math> पूर्ण हो जाता है तो अप्रतिबंधत: कनवर्जेंट भी इस तथ्य के समतुल्य होता है कि सभी उपश्रेणियाँ कनवर्जेंट हैं; यदि <math>X</math> एक [[बनच स्थान|बांच समष्टि]] है, तो यह कहने के बराबर है कि संकेतों के प्रत्येक अनुक्रम के लिए <math>\varepsilon_n = \pm 1</math>, श्रेणी

<math display="block">\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n a_n</math><math>X</math> में कनवर्ज होता है।
==== सामयिक सदिश समष्टियों में श्रेणी ====

यदि <math>X</math> [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सामयिक सदिश समष्टि]] (टीवीएस) है और <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> <math>X</math> में (संभवत: [[बेशुमार|असंख्य]]) वर्ग है अतः यह वर्ग '''संकलन''' करने योग्य है{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=179–180}} यदि शुद्ध <math>\left(x_A\right)_{A \in \operatorname{Finite}(I)}</math> की सीमा <math>\lim_{A \in \operatorname{Finite}(I)} x_A</math> <math>X,</math> में विद्यमान है, जहां <math>\operatorname{Finite}(I)</math> <math>\,\subseteq\,</math> और <math display="inline">x_A := \sum_{i \in A} x_i</math> को सम्मिलित करके निर्देशित <math>I</math> के सभी परिमित उपसमुच्चयों का निर्देशित समुच्चय है।

इसे पूर्णतः योग्य कहा जाता है यदि इसके अतिरिक्त, <math>X,</math> पर प्रत्येक सतत सेमिनोर्म <math>p</math> के लिए, कुल <math>\left(p\left(x_i\right)\right)_{i \in I}</math> योग योग्य है। यदि <math>X</math> एक सामान्य समष्टि है और यदि <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> <math>X,</math> में एक पूर्ण योग योग्य वर्ग है, तो आवश्यक रूप से <math>x_i</math> के एक गणनीय संग्रह के अतिरिक्त सभी शून्य हैं। इसलिए, आदर्श समष्टियों में, सामान्यतः केवल कई पदों के साथ श्रेणी पर विचार करना सदैव आवश्यक होता है।

सारांशित वर्ग परमाणु रिक्त समष्टि के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

===== बांच और अर्ध-मानकित समष्टि में श्रेणी =====

श्रेणी की धारणा को सेमीनॉर्मड समष्टि के स्थिति में आसानी से बढ़ाया जा सकता है। यदि <math>x_n</math> एक आदर्श समष्टि <math>X</math> के तत्वों का एक अनुक्रम है और यदि <math>x \in X</math> है तो श्रेणी <math>\sum x_n</math> <math>X</math> में <math>x</math> में परिवर्तित हो जाती है यदि श्रेणी <math display="inline">\left(\sum_{n=0}^N x_n\right)_{N=1}^{\infty}</math> के आंशिक योग का क्रम <math>X</math> में <math>x</math> में परिवर्तित हो जाता है; अर्थात्,<math display=block>\left\|x - \sum_{n=0}^N x_n\right\| \to 0 \quad \text{ as } N \to \infty.</math>



अधिक सामान्यतः, श्रेणी के कनवर्जेंट को किसी भी एबेलियन हौसडॉर्फ सामयिक समूह में परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस स्थिति में, <math>\sum x_n,</math> <math>x</math> में कनवर्ज करता है यदि आंशिक योगों का क्रम <math>x</math> में परिवर्तित हो जाता है।

यदि <math>(X, |\cdot|)</math> एक सेमिनोर्म्ड समष्टि है, तो निरपेक्ष कन्वर्जेन्स की धारणा बन जाती है: <math>X</math> में सदिशों की श्रेणी <math display="inline">\sum_{i \in I} x_i</math> '''पूर्णतः कनवर्ज''' करती है

<math display="block"> \sum_{i \in I} \left|x_i\right| < +\infty</math>
इस स्थिति में सभी लेकिन अधिक से अधिक गणनीय रूप से <math>\left|x_i\right|</math> के कई मान आवश्यक रूप से शून्य हैं।

यदि बांच समष्टि में सदिशों की एक गणनीय श्रेणी पूरी तरह से कनवर्ज करती है तो यह अप्रतिबंधत: के कनवर्ज करती है, लेकिन इसका विलोम केवल परिमित-आयामी बानाच रिक्त समष्टि ({{harvtxt|Dvoretzky|Rogers|1950}} का प्रमेय) में होता है।

==== सुव्यवस्थित योग ====

सापेक्ष रूप से कनवर्जेंट श्रेणी पर विचार किया जा सकता है यदि <math>I</math> [[सुव्यवस्थित]] समुच्चय है, उदाहरण के लिए, क्रमिक संख्या <math>\alpha_0</math>। इस स्थिति में, [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन|ट्रांसफिनिट पुनरावर्तन]] द्वारा परिभाषित किया गया है:

<math display=block>\sum_{\beta < \alpha + 1} a_\beta = a_{\alpha} + \sum_{\beta < \alpha} a_\beta</math>
और सीमा के लिए क्रमसूचक <math>\alpha,</math>

<math display=block>\sum_{\beta < \alpha} a_\beta = \lim_{\gamma\to\alpha} \sum_{\beta < \gamma} a_\beta</math>
यदि यह सीमा विद्यमान है। यदि सभी सीमाएं विद्यमान हैं <math>\alpha_0,</math> फिर श्रेणी कनवर्ज करती है।

==== उदाहरण ====

# एक फलन <math>f : X \to Y</math> दिया गया है, एक एबेलियन सामयिक समूह में <math>Y,</math> प्रत्येक के लिए परिभाषित करें <math>a \in X,</math> <math display=block>f_a(x)=
\begin{cases}
0 & x\neq a, \\
f(a) & x=a, \\
\end{cases}
</math> <p>फलन जिसका [[समर्थन (गणित)|सप्पोर्ट]] [[सिंगलटन (गणित)|एकल]] <math>\{a\}</math> है फिर</p> <math display=block>f = \sum_{a \in X}f_a</math> <p>बिन्दुवार कनवर्जेंट की पदावली में (अर्थात, योग को अनंत गुणनफल समूह <math>Y^X</math> में लिया जाता है)।</p>
# [[एकता के विभाजन|पूर्णत्व के विभाजन]] की परिभाषा में, यादृच्छिक सूचकांक समुच्चय पर फलनों के योग का निर्माण करता है <math>I,</math> <math display=block> \sum_{i \in I} \varphi_i(x) = 1.</math> <p>जबकि, औपचारिक रूप से, इसके लिए असंख्य श्रेणियों के योगों की धारणा की आवश्यकता होती है, निर्माण के द्वारा, प्रत्येक दिए गए <math>x,</math> के लिए, योग में केवल बहुत से गैर-शून्य पद होते हैं, इसलिए ऐसी राशियों के कनवर्जेंट के संबंध में कोई समस्या उत्पन्न नहीं होती है। वास्तव में, कोई सामान्यतः अधिक मानता है: फलनों का वर्ग ''स्थानतः परिमित'' है, अर्थात, प्रत्येक <math>x</math> के लिए <math>x</math> का एक प्रतिवैस है जिसमें फलनों की एक सीमित संख्या के अतिरिक्त सभी गायब हो जाते हैं। <math>\varphi_i,</math> की कोई भी नियमितता गुणधर्म, जैसे कि निरंतरता, भिन्नता, जो परिमित राशि के तहत संरक्षित है, फलनों के इस वर्ग के किसी भी उपसंग्रह के योग के लिए संरक्षित की जाएगी।</p>
# पहला असंख्य क्रमसूचक पर <math>\omega_1</math> [[आदेश टोपोलॉजी|अनुक्रम टोपोलॉजी]], सतत फलन में सामयिक समष्टि के रूप में देखा जाता है <math>f : \left[0, \omega_1\right) \to \left[0, \omega_1\right]</math> के द्वारा दिया गया <math>f(\alpha) = 1</math> संतुष्ट <math display=block>\sum_{\alpha \in [0,\omega_1)}f(\alpha) = \omega_1</math> <p>(दूसरे पदों में, <math>\omega_1</math> 1 की प्रतियां हैं <math>\omega_1</math>) केवल तभी जब कोई परिमित आंशिक योगों के बजाय सभी ''गणनीय'' आंशिक योगों पर एक सीमा प्राप्त करता है। यह समष्टि वियोज्य नहीं है।</p>

== यह भी देखें ==
* [[निरंतर अंश]]
* [[अभिसरण परीक्षण|कनवर्जेंट परीक्षण]]
* कनवर्जेंट श्रेणी
* अलग श्रेणी
* [[विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ|विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ]]
* [[अनंत अभिव्यक्ति (गणित)]]
* [[अनंत उत्पाद|अनंत गुणनफल]]
* [[पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन]]
* [[गणितीय श्रृंखला की सूची|गणितीय श्रेणी की सूची]]
* उपसर्ग राशि
* [[अनुक्रम परिवर्तन]]
* [[श्रृंखला विस्तार|श्रेणी विस्तार]]

==संदर्भ==
{{Reflist}}
==ग्रन्थसूची==
{{Refbegin}}
*[[Thomas John I'Anson Bromwich|Bromwich, T. J.]] ''An Introduction to the Theory of Infinite Series'' MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
* {{cite journal
| doi = 10.1073/pnas.36.3.192
| last1 = Dvoretzky
| first1 =  Aryeh
| last2 = Rogers
| first2 =  C.&nbsp;Ambrose
| title = Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces
| journal = Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
| volume = 36
| issue = 3
| year = 1950
| pages = 192–197
| pmid = 16588972
| pmc = 1063182
| bibcode = 1950PNAS...36..192D
| doi-access = free
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* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Narici | 2011 | p=}} -->
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* {{cite book | last=Ryan | first=Raymond | title=Introduction to tensor products of Banach spaces | publisher=Springer | publication-place=London New York | year=2002 | isbn=1-85233-437-1 | oclc=48092184 }} <!-- {{sfn | Ryan | 2002 | p=}} -->
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* {{cite book | last=Wong | title=Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products | publisher=Springer-Verlag | publication-place=Berlin New York | year=1979 | isbn=3-540-09513-6 | oclc=5126158 }} <!-- {{sfn | Wong | 1979 | p=}} -->
{{MathSciNet|id=0033975}}
{{Refend}}
==बाहरी संबंध==
{{Commons category|Series (mathematics)}}
* {{springer|title=Series|id=p/s084670}}
* [http://www.math.odu.edu/~bogacki/citat/series/index.html Infinite Series Tutorial]
* {{cite web |url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/Series_Basics.aspx |title=Series-TheBasics |publisher=Paul's Online Math Notes}}
* {{cite web |url=http://lesliegreen.byethost3.com/articles/series.pdf |title=Show-Me Collection of Series |publisher=Leslie Green}}

{{Series (mathematics)}}
{{Analysis-footer}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Series (Mathematics)}}

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