View source for संघ (समुच्चय सिद्धान्त)

{{short description|Set of elements in any of some sets}}
[[File:Venn0111.svg|thumb|200px|दो समुच्चयों का संघ:<br /><math>~A \cup B</math>]]
[[File:Venn 0111 1111.svg|thumb|200px|तीन समुच्चयों का संघ:<br /><math>~A \cup B \cup C</math>]]
[[File:Example of a non pairwise disjoint family of sets.svg|200px|thumb|चित्र में सफ़ेद क्षेत्र को छोड़कर संपूर्ण क्षेत्र समुच्चयों A, B, C, D और E का संघ है।]]समुच्चय सिद्धांत में, [[ सेट (गणित) |समुच्चयों]] के एक संग्रह का संघ (∪ द्वारा निरूपित), उस संग्रह के सभी तत्वों का समुच्चय होता है।<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/संघ.html|title=संघ|author=Weisstein, Eric W|publisher=Wolfram's Mathworld|access-date=2009-07-14|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20090207202412/http://mathworld.wolfram.com/संघ.html|archive-date=2009-02-07}}</ref> यह मूलभूत संक्रियाओं में से एक होता है, जिसके माध्यम से समुच्चयों को संयोजित और परस्पर संबंधित किया जा सकता है। एक शून्य संघ, शून्य (<math>0</math>) समुच्चयों के एक संघ को संदर्भित करता है, और परिभाषा के अनुसार यह [[ खाली सेट |रिक्त समुच्चय]] के बराबर होता है।

इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए [[ गणितीय प्रतीकों की सूची |गणितीय प्रतीकों की तालिका]] देखें।

== दो समुच्चयों का संघ ==
दो समुच्चय ''A'' और ''B'' का संघ, उन तत्वों का समुच्चय है जो ''A'' में, ''B'' में या ''A'' और ''B'' दोनों में हैं।<ref name=":3">{{Cite web|title=संचालन सेट करें {{!}} संघ {{!}} प्रतिच्छेदन {{!}} पूरक {{!}} अंतर {{!}} परस्पर अनन्य {{!}} विभाजन {{!}} डी मॉर्गन का नियम {{! }} वितरण कानून {{!}} कार्टेशियन उत्पाद|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|access-date=2020-09-05|website=www.probabilitycourse.com}}</ref> [[ सेट-बिल्डर नोटेशन |समुच्चय-निर्माण निरूपण]] में,

:<math>A  \cup B = \{ x: x \in A \text{  or  } x \in B\}</math>.<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=LBvpfEMhurwC|title=मूल सेट सिद्धांत|last=Vereshchagin|first=Nikolai Konstantinovich|last2=Shen|first2=Alexander|date=2002-01-01|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=9780821827314|language=en}}</ref>

उदाहरण के लिए, यदि ''A'' = {1, 3, 5, 7} और ''B'' = {1, 2, 4, 6, 7} तो A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}। इसका एक अधिक विस्तृत उदाहरण (दो अपरिमित समुच्चयों को सम्मिलित करते हुए) है:
: ''A'' = {''x'', 1 से बड़ा एक सम [[ पूर्णांक |पूर्णांक]] है}
: ''B'' = {''x'', 1 से बड़ा एक विषम पूर्णांक है}
: <math>A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}</math>
एक अन्य उदाहरण के रूप में, संख्या 9 अभाज्य [[ अभाज्य संख्या |अभाज्य संख्याओं]] के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} और [[ सम संख्या |सम संख्याओं]] के समुच्चय {2, 4, 6, 8, 10 , ...} के संघ में नहीं है, क्योंकि 9 न तो अभाज्य है और न ही सम।

किसी समुच्चय में एक तत्व की पुनरावृत्ति नहीं हो सकती है,<ref name=":0" /><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=2hM3-xxZC-8C&pg=PA24|title=डेटाबेस पेशेवरों के लिए अनुप्रयुक्त गणित|last=deHaan|first=Lex|last2=Koppelaars|first2=Toon|date=2007-10-25|publisher=Apress|isbn=9781430203483|language=en}}</ref> इसलिए समुच्चयों {1, 2, 3} और {2, 3, 4} का संघ {1, 2, 3, 4} है। समान तत्वों की एक से अधिक आवृत्ति का किसी समुच्चय या उसके तत्वों की [[ प्रमुखता |गणनांकता]] पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

== बीजगणितीय गुण ==
{{See also|समुच्चय की सर्वसमिकाओं और संबंधों की सूची|समुच्चयों का बीजगणित}}

द्विआधारी संघ एक साहचर्य संक्रिया है; अर्थात् समुच्चयों <math>A, B, \text{ औ  र } C</math> के लिए<math display="block">A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C</math>इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी <math>A \cup B \cup C</math> के रूप में लिखा जा सकता है। साथ ही, संघ [[ विनिमेय |क्रमविनिमेय]] भी होता है, इसलिए समुच्चयों को किसी भी क्रम में लिखा जा सकता है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=jV_aBwAAQBAJ|title=भोले सेट सिद्धांत|last=Halmos|first=P. R.|date=2013-11-27|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781475716450|language=en}}</ref> संघ की संक्रिया के लिए रिक्त समुच्चय एक तत्समक तत्व है, अर्थात्, किसी भी समुच्चय <math>A</math> के लिए <math>A \cup \varnothing = A,</math> इसके अतिरिक्त, संघ की संक्रिया वर्गसम भी होती है: अर्थात् <math>A \cup A = A.</math> इन सभी गुणों का अनुसरण समरूप तथ्यों द्वारा तार्किक संयोजन के सम्बन्ध में   किया जाता है।

सर्वनिष्ठ, संघ पर वितरण संक्रिया का पालन करता है<math display="block">A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)</math>संघ, सर्वनिष्ठ पर वितरण संक्रिया का पालन करता है<ref name=":3" /><math display="block">A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math>किसी समुच्चय का [[ सत्ता स्थापित |अधि-समुच्चय]] <math>U,</math> संघ, सर्वनिष्ठ और [[ पूरक (सेट सिद्धांत) |पूरक]] द्वारा दी गई संक्रियाओं के साथ एक [[ बूलियन बीजगणित (संरचना) |बूलियन बीजगणित]] है। इस बूलियन बीजगणित में, संघ को निम्न सूत्र द्वारा सर्वनिष्ठ और पूरक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<math display="block">A \cup B = \left(A^\text{c} \cap B^\text{c} \right)^\text{c}</math>जहाँ, अभिलेखित (सुपरस्क्रिप्ट) <math>{}^\text{c}</math>, समष्टीय समुच्चय <math>U</math> में पूरक को प्रदर्शित करता है। 

== परिमित संघ ==
एक साथ कई समुच्चयों का संघ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन समुच्चयों A, B और C के संघ में A, B और C के सभी तत्वों के अतिरिक्त कुछ भी सम्मिलित नहीं होता है। इस प्रकार, ''x'', A ∪ B ∪ C का एक तत्त्व है यदि और केवल यदि x कम से कम A, B और C में से किसी एक समुच्चय में है।

एक परिमित संघ, समुच्चयों की एक परिमित संख्या का संघ है; इस वाक्यांश का अर्थ यह नहीं है कि संघ समुच्चय, एक परिमित समुच्चय है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=u06-BAAAQBAJ|title=सेट थ्योरी: रियल पॉइंट सेट्स के परिचय के साथ|last=Dasgupta|first=Abhijit|date=2013-12-11|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461488545|language=en}}</ref><ref>{{cite web|url=https://proofwiki.org/wiki/Finite_Union_of_Finite_Sets_is_Finite|title=परिमित सेटों का परिमित संघ परिमित है - प्रूफविकी|website=proofwiki.org|access-date=29 April 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20140911224545/https://proofwiki.org/wiki/Finite_Union_of_Finite_Sets_is_Finite|archive-date=11 September 2014}}</ref>
== स्वेच्छ संघ ==

समुच्चयों के एक स्वेच्छ संग्रह का संघ, सबसे सामान्य धारणा है, जिसे कभी-कभी एक ''अपरिमित संघ'' कहा जाता है। यदि '''M''' एक समुच्चय या वर्ग है जिसके अवयव, समुच्चय हैं, तो ''x'', '''M''' के संघ का एक अवयव होगा यदि और केवल यदि इसमें '''M''' का कम से कम एक अवयव ''A'' हो, जैसे कि ''x'', ''A'' का एक अवयव हो।<ref name=":1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=DOUbCgAAQBAJ|title=उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण|last=Smith|first=Douglas|last2=Eggen|first2=Maurice|last3=Andre|first3=Richard St|date=2014-08-01|publisher=Cengage Learning|isbn=9781285463261|language=en}}</ref> प्रतीकों में:
: <math>x \in \bigcup \mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A</math>
यह विचार पिछले अनुभागों को सम्मिलित करता है—उदाहरण के लिए, A ∪ B ∪ C, संग्रह {A, B, C} का संघ है। साथ ही, यदि '<nowiki/>'''M'''<nowiki/>' रिक्त संग्रह है, तो ''''M''' का संघ एक रिक्त समुच्चय है।

=== संकेतन ===
सामान्य अवधारणा के लिए संकेतन भिन्न हो सकते हैं। समुच्चयों <math>S_1, S_2, S_3, \dots , S_n</math> के परिमित संघ के लिए, प्रायः <math>S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n</math> या <math>\bigcup_{i=1}^n S_i</math> लिखा जाता है। स्वेच्छ संघों के लिए विभिन्न सामान्य संकेतों में <math>\bigcup \mathbf{M}</math>,<math>\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A</math>, तथा <math>\bigcup_{i\in I} A_{i}</math> सम्मिलित हैं I इनमें से अंतिम संकेत, संग्रह <math>\left\{A_i : i \in I\right\}</math> के संघ को संदर्भित करता है, जहाँ ''I'' एक [[ सूचकांक सेट |सूचक समुच्चय]] है और, <math>A_i</math>, प्रत्येक <math>i \in I</math> के लिए एक समुच्चय है।सूचक समुच्चय ''I'' के [[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्याओं]] का समुच्चय होने की स्थिति में, संकेत <math>\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}</math> का उपयोग किया जाता है, जो श्रेणी में अपरिमित योगों के अनुरूप है।<ref name=":1" />

जब प्रतीक "∪" को अन्य प्रतीकों से पहले (उनके मध्य के स्थान पर) रखा जाता है, तो इसे सामान्यतः बड़े आकार के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

== संकेतों का संकेतीकरण ==

एकल कूट (यूनिकोड) में, संघ को {{unichar|222A|Union}} वर्ण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। टीईएक्स (TeX) में, <math>\cup</math> को \cup द्वारा प्रस्तुत किया जाता है।

==यह भी देखें==

* {{Portal|Mathematics}}{{annotated link|समुच्चयों का बीजगणित}} - समुच्चयों को सम्मिलित करने वाली सर्वसमिकाएँ और सम्बन्ध

* {{annotated link|वैकल्पिक (औपचारिक भाषा सिद्धांत)}} - श्रृंखलाओं के समुच्चयों का संघ
* {{annotated link|संघ का अभिगृहीत}} - अभिगृहीत समुच्चय सिद्धांत में अवधारणा
* {{annotated link|विसंघीत संघ}} - गणित में, समुच्चयों पर संक्रियाएँ 
* {{annotated link|अंतर्वेशन-बहिर्वेशन सिद्धांत}} - साहचर्य में गणना तकनीक
* {{annotated link|सर्वनिष्ठ (सेट सिद्धांत)}} - कुछ समुच्चयों के सभी उभयनिष्ठ तत्वों का समुच्चय
* {{annotated link|पुनरावृत्त द्विआधारी संक्रिया}} - किसी अनुक्रम में एक संक्रिया का पुनरावृत्त अनुप्रयोग
* {{annotated link|समुच्चय की सर्वसमिकाओं और संबंधों की सूची}} - समुच्चयों के संयोजन के लिए समानताएँ
* {{annotated link|सरल समुच्चय सिद्धांत}} - अनौपचारिक समुच्चय सिद्धांत
* {{annotated link|सममित अंतर}} - दो समुच्चयों में से किसी एक समुच्चय के तत्व 
== टिप्पणियाँ ==

{{Reflist|2}}


==बाहरी संबंध==
{{commons category}}
* {{springer|title=Union of sets|id=p/u095390}}
* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Infinite Union and Intersection at ProvenMath] De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

{{Set theory}}
{{Mathematical logic}}

{{Improve categories|date=May 2021}}

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[[Category:बूलियन बीजगणित]]
[[Category:सेट पर संचालन]]
[[Category:सेट सिद्धांत]]
[[Category:सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएं]]