View source for संवृत और विवृत प्रतिचित्र (ओपन एंड क्लोज्ड मैप)

{{Short description|A function that sends open (resp. closed) subsets to open (resp. closed) subsets}}
गणित में, विशेष रूप से [[टोपोलॉजी]] में, संवृत ('''ओपन''') '''प्रतिचित्र''' दो [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थानों]] के मध्य [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है जो ओपन समुच्चय को ओपन समुच्चय में मैप करता है।<ref>{{cite book|last=Munkres|first=James R.|author-link=James Munkres|title=टोपोलॉजी|edition=2nd|publisher=[[Prentice Hall]]|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}</ref><ref name="mendelson">{{cite book|last=Mendelson|first=Bert|date=1990|orig-year=1975|title=टोपोलॉजी का परिचय|edition=Third|publisher=Dover|isbn=0-486-66352-3|page=89|quote=It is important to remember that Theorem 5.3 says that a function <math>f</math> is continuous if and only if the {{em|inverse}} image of each open set is open. This characterization of continuity should not be confused with another property that a function may or may not possess, the property that the image of each open set is an open set (such functions are called {{em|open mappings}}).}}</ref><ref name="lee550">{{cite book|last=Lee|first=John M.|date=2003|title=स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=218|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780387954486|page=550|quote=A map <math>F : X \to Y</math> (continuous or not) is said to be an {{em|open map}} if for every closed subset <math>U \subseteq X,</math> <math>F(U)</math> is open in <math>Y,</math> and a {{em|closed map}} if for every closed subset <math>K \subseteq U,</math> <math>F(K)</math> is closed in <math>Y.</math> Continuous maps may be open, closed, both, or neither, as can be seen by examining simple examples involving subsets of the plane.}}</ref> अर्थात फलन <math>f : X \to Y</math> यदि किसी ओपन समुच्चय के लिए ओपन है <math>U</math> में <math>X,</math> [[छवि (गणित)]] <math>f(U)</math> में ओपन है <math>Y.</math> इसी प्रकार, विवृत (क्लोज्ड) प्रतिचित्र ऐसा फलन है जो [[बंद सेट|विवृत समुच्चयों]] को विवृत समुच्चयों में मैप करता है।<ref name=lee550/><ref name=ludu15>{{cite book|last=Ludu|first=Andrei|title=समोच्चों और बंद सतहों पर अरेखीय तरंगें और सॉलिटॉन|series=Springer Series in Synergetics|date=15 January 2012|isbn=9783642228940|page=15|quote=An ''open map'' is a function between two topological spaces which maps open sets to open sets. Likewise, a '''closed map''' is a function which maps closed sets to closed sets. The open or closed maps are not necessarily continuous.}}</ref> प्रतिचित्र ओपन, विवृत, दोनों या एक भी नहीं हो सकता है;<ref>{{cite book|last=Sohrab|first=Houshang H.|date=2003|title=बुनियादी वास्तविक विश्लेषण|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780817642112|url=https://books.google.com/books?id=QnpqBQAAQBAJ&pg=PA203|page=203|quote=Now we are ready for our examples which show that a function may be open without being closed or closed without being open. Also, a function may be simultaneously open and closed or neither open nor closed.}} (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.)</ref> विशेष रूप से, इसके विपरीत भी ओपन प्रतिचित्र को विवृत करने की आवश्यकता नहीं है।<ref>{{cite book|last=Naber|first=Gregory L.|date=2012|title=यूक्लिडियन स्पेस में टोपोलॉजिकल तरीके|edition=reprint|series=Dover Books on Mathematics|publisher=Courier Corporation|isbn=9780486153445|page=18|quote=''Exercise 1-19.'' Show that the projection map <math>\pi_i : X_i \times \cdots \times X_k \to X_i</math>π<sub>1</sub>:''X''<sub>1</sub> × ··· × ''X''<sub>''k''</sub> → ''X''<sub>i</sub> is an open map, but need not be a closed map. Hint: The projection of '''R'''<sup>2</sup> onto <math>\R</math> is not closed. Similarly, a closed map need not be open since any constant map is closed. For maps that are one-to-one and onto, however, the concepts of 'open' and 'closed' are equivalent.}}</ref>

ओपन<ref name="mendelson2">{{cite book|last=Mendelson|first=Bert|date=1990|orig-year=1975|title=टोपोलॉजी का परिचय|edition=Third|publisher=Dover|isbn=0-486-66352-3|page=89|quote=There are many situations in which a function <math>f : \left( X, \tau\right) \to \left( Y, \tau' \right)</math> has the property that for each open subset <math>A</math> of <math>X,</math> the set <math>f(A)</math> is an open subset of <math>Y,</math> and yet <math>f</math> is {{em|not}} continuous.}}</ref>और विवृत<ref>{{cite book|last=Boos|first=Johann|date=2000|title=सारांश में शास्त्रीय और आधुनिक तरीके|series=Oxford University Press|isbn=0-19-850165-X|url=https://books.google.com/books?id=kZ9cy6XyidEC&pg=PA332|page=332|quote=Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.}}</ref> प्रतिचित्र आवश्यक रूप से सतत कार्य (टोपोलॉजी) नहीं हैं।<ref name="ludu15" />इसके अतिरिक्त, निरंतरता सामान्य स्तिथि में ओपन और विवृत से स्वतंत्र है और निरंतर कार्य में दोनों, या कोई भी गुण नहीं हो सकते है;<ref name="lee550" />यह तथ्य सत्य है, जब कोई स्वयं को मीट्रिक स्थानों तक सीमित रखता है।<ref>{{cite book|last=Kubrusly|first=Carlos S.|date=2011|title=संचालक सिद्धांत के तत्व|url=https://archive.org/details/elementsoperator00kubr|url-access=limited|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780817649982|page=[https://archive.org/details/elementsoperator00kubr/page/n131 115]|quote=In general, a map <math>F : X \to Y</math> of a metric space <math>X</math> into a metric space <math>Y</math> may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).}}</ref> चूँकि उनकी परिभाषाएँ अधिक स्वाभाविक लगती हैं, ओपन और विवृत प्रतिचित्र निरंतर प्रतिचित्रों की तुलना में अधिक कम महत्वपूर्ण हैं। याद रखें, परिभाषा के अनुसार, फलन <math>f : X \to Y</math> यदि प्रत्येक ओपन समुच्चय की [[पूर्वछवि]] <math>Y</math> निरंतर है और <math>Y</math>ओपन है <math>X.</math><ref name="mendelson" />(समान रूप से, यदि प्रत्येक विवृत समुच्चय की पूर्वछवि <math>Y</math> में विवृत <math>X</math> है)।

ओपन प्रतिचित्रों का प्रारंभिक अध्ययन सिमिओन स्टोइलो और गॉर्डन थॉमस व्हाईबर्न द्वारा किया गया था।<ref>{{cite book|editor1-last=Hart|editor1-first=K. P.|editor2-last=Nagata|editor2-first=J.|editor3-last=Vaughan|editor3-first=J. E.|date=2004|title=सामान्य टोपोलॉजी का विश्वकोश|url=https://archive.org/details/encyclopediagene00hart_882|url-access=limited|publisher=Elsevier|isbn=0-444-50355-2|page=[https://archive.org/details/encyclopediagene00hart_882/page/n96 86]|quote=It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by [[Simion Stoilow|S. Stoïlow]]. Clearly, openness of maps was first studied extensively by [[Gordon Thomas Whyburn|G.T. Whyburn]] [19,20].}}</ref>

== परिभाषाएँ और लक्षण वर्णन ==
यदि <math>S</math>  टोपोलॉजिकल स्थानों का उपसमुच्चय है तो मान लीजिये <math>\overline{S}</math> और <math>\operatorname{Cl} S</math> (सम्मान <math>\operatorname{Int} S</math>) के [[ समापन (टोपोलॉजी) |समापन (टोपोलॉजी)]] (संबंधित [[ आंतरिक (टोपोलॉजी) |आंतरिक (टोपोलॉजी)]] ) को दर्शाता है मान लीजिये <math>S</math> उस स्थान में है, टोपोलॉजिकल स्थान के मध्य <math>f : X \to Y</math> फलन हो। यदि <math>S</math> कोई समुच्चय है <math>f(S) := \left\{ f(s) ~:~ s \in S \cap \operatorname{domain} f \right\}</math> <math>S</math> के अंतर्गत <math>f.</math> की छवि कहलाती है।   

===प्रतिस्पर्धी परिभाषाएँ===

"{{em|ओपन मानचित्र}}" की दो भिन्न-भिन्न प्रतिस्पर्धी, किन्तु सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएं हैं, जिनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां इन दोनों परिभाषाओं को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: यह वह प्रतिचित्र है जो ओपन समुच्चय को ओपन समुच्चय में भेजता है। निम्नलिखित शब्दावली का उपयोग कभी-कभी दो परिभाषाओं के मध्य अंतर करने के लिए किया जाता है।

प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> को a कहा जाता है।
*{{em|"दृढ़ता से ओपन मानचित्र"}} यदि जब भी <math>U</math> डोमेन का ओपन उपसमुच्चय है <math>X</math> तब <math>f(U)</math> का ओपन उपसमुच्चय है <math>f</math> का [[कोडोमेन]] <math>Y.</math> है।
**{{em|अपेक्षाकृत ओपन मानचित्र}} यदि जब भी <math>U</math> डोमेन का ओपन उपसमुच्चय है <math>X</math> तब <math>f(U)</math> का ओपन उपसमुच्चय है <math>f</math> की छवि (गणित) <math>\operatorname{Im} f := f(X),</math> जहां सदैव के जैसे, यह समुच्चय इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है <math>f</math> का कोडोमेन <math>Y.</math> है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

प्रत्येक स्थिरता से ओपन प्रतिचित्र अपेक्षाकृत ओपन प्रतिचित्र होता है। चूँकि, ये परिभाषाएँ सामान्य रूप से समकक्ष नहीं हैं।

:'''चेतावनी:''' कई लेखक ओपन प्रतिचित्र को {{em|अपेक्षाकृत}} ओपन प्रतिचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं (उदाहरण के लिए, गणित का विश्वकोश) जबकि अन्य ओपन प्रतिचित्र को "{{em|दृढ़ता}} से ओपन प्रतिचित्र" के रूप में परिभाषित करते हैं। सामान्यतः ये परिभाषाएँ समतुल्य {{em|नहीं}}  हैं इसलिए यह विचार दिया जाता है कि सदैव यह परीक्षण करे कि लेखक ओपन प्रतिचित्र की किस परिभाषा का उपयोग कर रहा है।

विशेषण फलन प्रतिचित्र अपेक्षाकृत ओपन होता है यदि केवल यह दृढ़ता से ओपन हो; इसलिए इस महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि के लिए परिभाषाएँ समतुल्य हैं। अधिक सामान्यतः, प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> अपेक्षाकृत ओपन है यदि केवल विशेषण फलन <math>f : X \to f(X)</math> दृढ़ता से ओपन प्रतिचित्र है।

क्योंकि <math>X</math> सदैव ओपन उपसमुच्चय है <math>X,</math> छवि <math>f(X) = \operatorname{Im} f</math> दृढ़ता से ओपन प्रतिचित्र का <math>f : X \to Y</math> को इसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय होना चाहिए, <math>Y.</math> वास्तव में,  अपेक्षाकृत ओपन प्रतिचित्र दृढ़ता से ओपन प्रतिचित्र होता है यदि केवल तभी जब इसकी छवि इसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय हो। सारांश,

:प्रतिचित्र दृढ़ता से ओपन होता है यदि केवल तभी जब वह अपेक्षाकृत ओपन हो और उसकी छवि उसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय हो।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग करके, ओपन प्रतिचित्र की इन दो परिभाषाओं में से जुड़े परिणामों को दूसरी परिभाषा से जुड़ी स्थिति में प्रारम्भ करना प्रायः सरल होता है।

उपरोक्त वर्णन विवृत प्रतिचित्रों पर भी प्रारम्भ होगे यदि ओपन शब्द के प्रत्येक उदाहरण को विवृत शब्द से परिवर्तित कर दिया जाए।

===ओपन प्रतिचित्र ===

प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> को {{em|ओपन मानचित्र}}  या {{em|दृढ़ता}}  से ओपन प्रतिचित्र कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से किसी को संतुष्ट करता है:

<ol>
<li>परिभाषा: <math>f : X \to Y</math> अपने डोमेन के ओपन उप-समुच्चय को उसके कोडोमेन के ओपन उप-समुच्चय के साथ मैप करता है; अर्थात्, किसी भी ओपन उप-समुच्चय के लिए <math>U</math> का <math>X</math>, <math>f(U)</math> का ओपन उपसमुच्चय <math>Y.</math> है। </li>
<li><math>f : X \to Y</math> यह अपेक्षाकृत ओपन प्रतिचित्र और उसकी छवि <math>\operatorname{Im} f := f(X)</math> है, इसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय <math>Y.</math> है। 
</li>
<li>प्रत्येक के लिए <math>x \in X</math> और प्रत्येक [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|निकट (टोपोलॉजी)]] का <math>N</math>, <math>x</math> (चूँकि छोटा), <math>f(N)</math> के निकटम <math>f(x)</math> है, हम इस स्थिति में निकट शब्द के पहले या दोनों उदाहरणों को ओपन निकटता से परिवर्तित कर सकते हैं और परिणाम की समकक्ष स्थिति होगी:
* प्रत्येक के लिए <math>x \in X</math> और प्रत्येक ओपन निकटता <math>N</math> का <math>x</math>, <math>f(N)</math> का ओपन निकटता <math>f(x)</math> है।  
* प्रत्येक के लिए <math>x \in X</math> और प्रत्येक ओपन निकटता <math>N</math> का <math>x</math>, <math>f(N)</math> का ओपन निकटता <math>f(x)</math> है। </li>
<li>यहाँ <math>f\left( \operatorname{Int}_X A \right) \subseteq \operatorname{Int}_Y ( f(A) )</math> सभी उपसमुच्चय के लिए <math>A</math> का <math>X,</math> जहाँ <math>\operatorname{Int}</math> समुच्चय के [[टोपोलॉजिकल इंटीरियर]] को दर्शाता है। </li>
<li>जब भी <math>C</math> का विवृत समुच्चय है <math>X</math> फिर समुच्चय <math>\left\{ y \in Y ~:~ f^{-1}(y) \subseteq C \right\}</math> का विवृत उपसमुच्चय <math>Y.</math> है।  
* यह [[निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची]] का परिणाम है <math>f(X \setminus R) = Y \setminus \left\{ y \in Y : f^{-1}(y) \subseteq R \right\},</math> जो सभी उपसमुच्चय के लिए <math>R \subseteq X.</math> मान्य है। </li>
</ol>

यदि <math>\mathcal{B}</math> के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] है <math>X</math> तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

6. <math>f</math> अपने कोडोमेन में बेसिक ओपन समुच्चय को मैप करता है (अर्थात, किसी भी बेसिक ओपन समुच्चय के लिए <math>B \in \mathcal{B},</math> <math>f(B)</math> का ओपन उपसमुच्चय <math>Y</math> है)। 

===विवृत प्रतिचित्र===

प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> को {{em|अपेक्षाकृत बंद मानचित्र}}  कहा जाता है यदि जब भी <math>C</math> डोमेन का विवृत समुच्चय है <math>X</math> तब <math>f(C)</math> का विवृत उपसमुच्चय है <math>f</math> की छवि (गणित) <math>\operatorname{Im} f := f(X),</math> जहां सदैव के जैसे, यह समुच्चय इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है <math>f</math> का कोडोमेन <math>Y.</math> है। 

प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> को {{em|बंद मानचित्र}}  या {{em|दृढ़ता}}  से विवृत प्रतिचित्र कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से किसी को संतुष्ट करता है:

<ol>
<li>'''परिभाषा:''' <math>f : X \to Y</math> इसके डोमेन के विवृत उप-समुच्चय को इसके कोडोमेन के विवृत उप-समुच्चय से मैप करता है; अर्थात्, किसी भी विवृत उप-समुच्चय के लिए <math>C</math> का <math>X,</math> <math>f(C)</math> का  विवृत उपसमुच्चय <math>Y.</math> है। </li>
<li><math>f : X \to Y</math> यह अपेक्षाकृत विवृत प्रतिचित्र और उसकी छवि <math>\operatorname{Im} f := f(X)</math> है इसके को-डोमेन का विवृत उप-समुच्चय <math>Y.</math> है।
</li>
<li><math>\overline{f(A)} \subseteq f\left(\overline{A}\right)</math> प्रत्येक उप-समुच्चय के लिए <math>A \subseteq X.</math> है।
</li>
<li><math>\overline{f(C)} \subseteq f(C)</math> प्रत्येक विवृत उप-समुच्चय के लिए <math>C \subseteq X.</math> है।
</li>
<li><math>\overline{f(C)} = f(C)</math>  प्रत्येक विवृत उप-समुच्चय के लिए <math>C \subseteq X.</math>  है।
</li>
<li>जब भी <math>U</math> ओपन उपसमुच्चय है <math>X</math> फिर समुच्चय <math>\left\{y \in Y ~:~ f^{-1}(y) \subseteq U\right\}</math> का  ओपन उपसमुच्चय <math>Y.</math> है।     
</li>
<li>यदि <math>x_{\bull}</math> में [[नेट (गणित)]] है <math>X</math> और <math>y \in Y</math> बिंदु ऐसा है <math>f\left(x_{\bull}\right) \to y</math> में <math>Y,</math> तब <math>x_{\bull}</math> में अभिसरण होता है <math>X</math> समुच्चय पर <math>f^{-1}(y).</math> है।                                                </li>
<li>अभिसरण <math>x_{\bull} \to f^{-1}(y)</math> का अर्थ है कि प्रत्येक ओपन उपसमुच्चय <math>X</math> जिसमें <math>f^{-1}(y)</math> सम्मिलित है <math>x_j</math> सभी पर्याप्त बड़े सूचकांकों के लिए <math>j.</math> है।
</li>
</ol>

विशेषण फलन प्रतिचित्र दृढ़ता से विवृत होता है यदि केवल यह अपेक्षाकृत विवृत होता है। तो इस महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि के लिए, दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। परिभाषा के अनुसार, प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> अपेक्षाकृत विवृत प्रतिचित्र है यदि केवल विशेषण फलन <math>f : X \to \operatorname{Im} f</math> दृढ़ता से विवृत प्रतिचित्र है।

यदि सतत फलन का ओपन समुच्चय परिभाषा में (जो कि कथन है: ओपन समुच्चय की प्रत्येक पूर्व छवि ओपन है), ओपन शब्द के दोनों उदाहरणों को विवृत के साथ परिवर्तित कर दिया जाता है, तो परिणामों का विवरण (विवृत समुच्चय की प्रत्येक पूर्व छवि विवृत है) निरंतरता के {{em|समान}}  है। ऐसे ओपन प्रतिचित्र की परिभाषा के साथ ऐसा नहीं होता है (जो है: ओपन समुच्चय की प्रत्येक छवि ओपन है) क्योंकि जो कथन परिणाम देता है (विवृत समुच्चय की प्रत्येक छवि विवृत है) वह "विवृत" की परिभाषा है प्रतिचित्र", जो सामान्यतः ओपन के समकक्ष {{em|नहीं}}  है। ऐसे ओपन प्रतिचित्र भी उपस्थित हैं जो विवृत नहीं हैं और ऐसे विवृत प्रतिचित्र भी उपस्थित हैं जो ओपन नहीं हैं। ओपन/विवृत प्रतिचित्रों और सतत प्रतिचित्रों के मध्य यह अंतर अंततः किसी भी समुच्चय के कारण होता है <math>S,</math> केवल <math>f(X \setminus S) \supseteq f(X) \setminus f(S)</math> सामान्य रूप से आश्वासन दिया जाता है, जबकि पूर्वछवियों के लिए समानता का आश्वासन होता है <math>f^{-1}(Y \setminus S) = f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(S)</math> सदैव स्थापित रहता है।.

==उदाहरण==

प्रोग्राम <math>f : \R \to \R</math> द्वारा परिभाषित <math>f(x) = x^2</math> निरंतर, विवृत और अपेक्षाकृत ओपन है, किन्तु (दृढ़ता से) ओपन नहीं है। इसका कारण यह है कि यदि <math>U = (a, b)</math> में कोई ओपन अंतराल है <math>f</math> का डोमेन <math>\R</math> जिसमें सम्मिलित {{em|नहीं}}  है <math>0</math> तब <math>f(U) = (\min \{ a^2, b^2 \}, \max \{ a^2, b^2 \}),</math> जहां यह ओपन अंतराल दोनों का ओपन उपसमुच्चय <math>\R</math> है और <math>\operatorname{Im} f := f(\R) = [0, \infty).</math> चूँकि, यदि <math>U = (a, b)</math> में कोई ओपन अंतराल है <math>\R</math> उसमें सम्मिलित है <math>0</math> तब <math>f(U) = [0, \max \{ a^2, b^2 \}),</math> जो कि ओपन उपसमुच्चय नहीं है <math>f</math> का कोडोमेन <math>\R</math> किन्तु {{em|इसका}} ओपन उपसमुच्चय <math>\operatorname{Im} f = [0, \infty).</math> है, क्योंकि सभी ओपन अंतरालों का समुच्चय <math>\R</math> [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] है <math>\R,</math> इससे ज्ञात होता है कि <math>f : \R \to \R</math> अपेक्षाकृत ओपन है किन्तु (दृढ़ता से) ओपन नहीं है।

यदि <math>Y</math> में [[असतत टोपोलॉजी]] है (अर्थात, सभी उपसमुच्चय ओपन और विवृत हैं) फिर प्रत्येक फलन <math>f : X \to Y</math> ओपन और विवृत दोनों है (किन्तु आवश्यक नहीं कि निरंतर हो)। उदाहरण के लिए,   [[फर्श समारोह|फ़्लोर फलन]] से <math>\R</math> पूर्णांक से <math>\Z</math> ओपन और विवृत है, किन्तु निरंतर नहीं है। यह उदाहरण दिखाता है कि ओपन या विवृत प्रतिचित्र के अंतर्गत जुड़े स्थान की छवि को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

जब भी हमारे पास टोपोलॉजिकल स्थानों का [[उत्पाद टोपोलॉजी]] होता है <math>X=\prod X_i,</math> प्राकृतिक अनुमान <math>p_i : X \to  X_i</math> ओपन हैं<ref>{{cite book|title=सामान्य टोपोलॉजी|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0|url-access=registration|first=Stephen|last=Willard|publisher=Addison-Wesley|year=1970|isbn=0486131785}}</ref><ref>{{cite book|last=Lee|first=John M.|date=2012|title=स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय|edition=Second|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=218|isbn=978-1-4419-9982-5|doi=10.1007/978-1-4419-9982-5|page=606|url=https://zenodo.org/record/4461500|quote='''Exercise A.32.''' Suppose <math>X_1, \ldots, X_k</math> are topological spaces. Show that each projection <math>\pi_i : X_1 \times \cdots \times X_k \to X_i</math> is an open map.}}</ref> (साथ ही निरंतर)। चूंकि [[फाइबर बंडल|फाइबर बंडलों]] और [[कवरिंग मानचित्र|कवरिंग प्रतिचित्रों]] के प्रक्षेपण उत्पादों के स्थानीय रूप से प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं, इसलिए ये ओपन प्रतिचित्र भी हैं। चूँकि अनुमानों को विवृत करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए प्रक्षेपण पर विचार करें <math>p_1 : \R^2 \to \R</math> पहले घटक पर <math>A = \{(x, 1/x) : x \neq 0\}</math> समुच्चय में विवृत है <math>\R^2,</math> किन्तु  <math>p_1(A) = \R \setminus \{0\}</math> में विवृत नहीं किया गया है। <math>\R.</math> चूँकि, कॉम्पैक्ट स्थान के लिए <math>Y,</math> प्रक्षेपण <math>X \times Y \to X</math> बन्द है। यह मूलतः [[ट्यूब लेम्मा]] है।

[[इकाई चक्र]] के प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक [[कोण]] को जोड़ सकते हैं <math>x</math>-अक्ष बिंदु को मूल बिंदु से जोड़ने वाली किरण के साथ जोड़ा जाता है। इकाई चक्र से अर्ध ओपन [[अंतराल (गणित)]] [0,2π) तक यह फलन विशेषण, ओपन और विवृत है, किन्तु निरंतर नहीं है। यह दर्शाता है कि ओपन या विवृत प्रतिचित्र के नीचे [[सघन स्थान]] की छवि को कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। यह भी ध्यान दें कि यदि इसे इकाई वृत्त से वास्तविक संख्याओं तक का फलन मानें, तो यह न तो ओपन है और न ही विवृत है। कोडोमेन निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

==पर्याप्त स्थितियाँ==

प्रत्येक [[होमियोमोर्फिज्म]] ओपन, विवृत और निरंतर है। वास्तव में, विशेषण सतत प्रतिचित्र समरूपता है यदि केवल यह ओपन है, या समकक्ष रूप से, यदि केवल यह विवृत है।

दो (दृढ़ता से) ओपन प्रतिचित्रों की कार्यात्मक संरचना ओपन प्रतिचित्र है और दो (दृढ़ता से) विवृत प्रतिचित्रों की संरचना विवृत प्रतिचित्र है।<ref name=baues55>{{cite book|last1=Baues|first1=Hans-Joachim|last2=Quintero|first2=Antonio|date=2001|title=अनंत समरूपता सिद्धांत|series=''K''-Monographs in Mathematics|volume=6|isbn=9780792369820|page=53|quote=A composite of open maps is open and a composite of closed maps is closed. Also, a product of open maps is open. In contrast, a product of closed maps is not necessarily closed,...}}</ref><ref name=james49>{{cite book|last=James|first=I. M.|date=1984|title=सामान्य टोपोलॉजी और होमोटोपी सिद्धांत|url=https://archive.org/details/generaltopologyh00imja|url-access=limited|publisher=Springer-Verlag|isbn=9781461382836|page=[https://archive.org/details/generaltopologyh00imja/page/n56 49]|quote=...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.}}</ref> चूँकि, दो अपेक्षाकृत ओपन प्रतिचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत ओपन होने की आवश्यकता नहीं है और इसी प्रकार, दो अपेक्षाकृत विवृत प्रतिचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत विवृत करने की आवश्यकता नहीं है। यदि <math>f : X \to Y</math> दृढ़ता से ओपन है (क्रमशः, दृढ़ता से विवृत) और <math>g : Y \to Z</math> तब अपेक्षाकृत ओपन (क्रमशः, अपेक्षाकृत विवृत) है <math>g \circ f : X \to Z</math> अपेक्षाकृत ओपन है (क्रमशः, अपेक्षाकृत विवृत)।

मान लीजिये <math>f : X \to Y</math> प्रतिचित्र है। कोई उपसमुच्चय <math>T \subseteq Y,</math> दिया गया है, यदि <math>f : X \to Y</math> अपेक्षाकृत ओपन (क्रमशः, अपेक्षाकृत विवृत, दृढ़ता से ओपन, दृढ़ता से विवृत, निरंतर, विशेषण फलन) प्रतिचित्र है तो इसके प्रतिबंध के बारे में भी यही सत्य है:<math display=block>f\big\vert_{f^{-1}(T)} ~:~ f^{-1}(T) \to T</math><math>f</math> संतृप्त समुच्चय के लिए <math>f^{-1}(T).</math> है।



दो ओपन प्रतिचित्रों का स्पष्ट योग ओपन है, या दो विवृत प्रतिचित्रों का विवृत है।<ref name="james49" />दो ओपन प्रतिचित्रों का श्रेणीबद्ध [[उत्पाद (टोपोलॉजी)]] ओपन है, चूँकि, दो विवृत प्रतिचित्रों के श्रेणीबद्ध उत्पाद को विवृत करने की आवश्यकता नहीं है।<ref name="baues55" /><ref name="james49" /> 

विशेषण प्रतिचित्र तभी ओपन होता है जब वह विवृत हो। विशेषण सतत प्रतिचित्र का व्युत्क्रम विशेषण ओपन/विवृत प्रतिचित्र है (और इसके विपरीत)। विशेषण ओपन प्रतिचित्र आवश्यक रूप से विवृत प्रतिचित्र नहीं होता है, और इसी प्रकार, विशेषण विवृत प्रतिचित्र आवश्यक रूप से ओपन प्रतिचित्र नहीं होता है। सभी स्थानीय होमोमोर्फिज्म, जिसमें [[ कई गुना |मैनिफोल्ड्स]] पर सभी [[समन्वय चार्ट]] और सभी कवरिंग प्रतिचित्र सम्मिलित हैं, वह ओपन प्रतिचित्र हैं।

{{Math theorem|name=बंद मानचित्र लेम्मा|math_statement=
प्रत्येक सतत फलन <math>f : X \to Y</math> [[जटिल स्थान]] से <math>X</math> [[हौसडॉर्फ़ स्थान]] के लिए
<math>Y</math> बंद है और [[उचित मानचित्र ]] (जिसका अर्थ है कि कॉम्पैक्ट समुच्चय की पूर्व छवि जटिल हैं)।
}}

विवृत प्रतिचित्र लेम्मा का विशेष प्रकार बताता है कि यदि [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के मध्य सतत कार्य उचित है तो यह भी विवृत है।

[[जटिल विश्लेषण]] में, समान रूप से नामित [[ओपन मैपिंग प्रमेय (जटिल विश्लेषण)]] बताता है कि [[जटिल विमान]] के जुड़े ओपन उपसमुच्चय पर परिभाषित प्रत्येक अस्थिर [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] ओपन प्रतिचित्र है।

डोमेन प्रमेय का अपरिवर्तन बताता है कि दो के मध्य सतत और स्थानीय रूप से फलन <math>n</math>-डायमेंशनल टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स ओपन होने चाहिए।

 {{Math theorem|name=[[डोमेन का अपरिवर्तन]]|math_statement=
यदि <math>U</math> का [[ओपन उपसमुच्चय]] है
<math>\R^n</math> और <math>f : U \to \R^n</math> तो फिर, [[इंजेक्टिव]] [[निरंतर मानचित्र]] है <math>V := f(U)</math> में ओपन है <math>\R^n</math> और <math>f</math> के मध्य [[होमोमोर्फिज्म]] है
<math>U</math> और <math>V.</math>
}}

[[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, [[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] बताता है कि बानाच रिक्त स्थान के मध्य प्रत्येक विशेषण निरंतर [[रैखिक ऑपरेटर]] ओपन प्रतिचित्र है। इस प्रमेय को केवल बानाच रिक्त स्थान से परे [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों]] के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

विशेषण प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> को प्रत्येक के लिए {{em|लगभग ओपन मानचित्र}}  कहा जाता है <math>y \in Y</math> में कुछ उपस्थित है <math>x \in f^{-1}(y)</math> ऐसा है कि <math>x</math> {{em|ओपन}}  का बिंदु है <math>f,</math> इस परिभाषा के अनुसार अर्थ है कि प्रत्येक ओपन निकट के लिए <math>U</math> का <math>x,</math> <math>f(U)</math> का निकट (टोपोलॉजी) है <math>f(x)</math> में <math>Y</math> (ध्यान दें कि निकट <math>f(U)</math> का {{em|ओपन}} निकट होना आवश्यक नहीं है)। प्रत्येक विशेषण ओपन प्रतिचित्र लगभग ओपन प्रतिचित्र होता है किन्तु सामान्यतः, इसके विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है। यदि अनुमान <math>f : (X, \tau) \to (Y, \sigma)</math> लगभग ओपन प्रतिचित्र है तो यह  ओपन प्रतिचित्र होगा यदि यह निम्नलिखित नियम को पूर्ण करता है (नियम जो किसी भी प्रकार से निर्भर {{em|नहीं}}  करती है <math>Y</math>की टोपोलॉजी <math>\sigma</math>) है:
:जब कभी भी <math>m, n \in X</math> के [[फाइबर (गणित)]] से संबंधित हैं <math>f</math> (अर्थात्, <math>f(m) = f(n)</math>) तो प्रत्येक निकट के लिए <math>U \in \tau</math> का <math>m,</math> वहाँ कुछ निकट उपस्थित है <math>V \in \tau</math> का <math>n</math> ऐसा है कि <math>F(V) \subseteq F(U).</math> है।
:यदि प्रतिचित्र निरंतर है तो प्रतिचित्र के ओपन होने के लिए भी उपरोक्त नियम आवश्यक है। अर्थात यदि <math>f : X \to Y</math> सतत प्रक्षेपण है तो यह ओपन प्रतिचित्र है यदि केवल यह लगभग ओपन है और यह उपरोक्त नियम को पूर्ण करता है।

==गुण==

===ओपन या विवृत प्रतिचित्र जो निरंतर हैं===

यदि <math>f : X \to Y</math> सतत प्रतिचित्र है जो ओपन भी {{em|या}}  विवृत भी होता है:
* यदि <math>f</math> अनुमान है तो यह [[भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी)|भागफल प्रतिचित्र (टोपोलॉजी)]] है और यहां तक कि आनुवंशिक रूप से भागफल प्रतिचित्र भी है।
** विशेषण प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>T \subseteq Y,</math> को {{em|वंशानुगत भागफल }} कहा जाता है यह प्रतिबंध <math>f\big\vert_{f^{-1}(T)} ~:~ f^{-1}(T) \to T</math> भागफल प्रतिचित्र है।
* यदि <math>f</math> [[इंजेक्शन का कार्य]] है तो यह [[टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग]] है।
* यदि <math>f</math> आक्षेप है तो यह समरूपता है।

पहले दो स्थितियों में, ओपन या विवृत होना आगे आने वाले निष्कर्ष के लिए पर्याप्त नियम मात्र है। तीसरी स्थिति में भी यह [[आवश्यक शर्त|आवश्यक नियम]] है।

===निरंतर प्रतिचित्र ओपन===

यदि <math>f : X \to Y</math> सतत (दृढ़ता से) ओपन प्रतिचित्र है, <math>A \subseteq X,</math> और <math>S \subseteq Y,</math> जो इस प्रकार है:

<ul>
<math>f^{-1}\left(\operatorname{Bd}_Y S\right) = \operatorname{Bd}_X \left(f^{-1}(S)\right)</math> जहाँ <math>\operatorname{Bd}</math> समुच्चय की [[सीमा (टोपोलॉजी)]] को दर्शाता है।                                                                                             <math>f^{-1}\left(\overline{S}\right) = \overline{f^{-1}(S)}</math> जहाँ <math>\overline{S}</math> किसी समुच्चय के विवृत होने को दर्शाता है।
<li>यदि <math>\overline{A} = \overline{\operatorname{Int}_X A},</math> जहाँ <math>\operatorname{Int} </math> तब, समुच्चय के इंटीरियर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है:<math display="block">\overline{\operatorname{Int}_Y f(A)} = \overline{f(A)} = \overline{f\left(\operatorname{Int}_X A\right)} = \overline{f \left(\overline{\operatorname{Int}_X A}\right)}</math>यह समुच्चय कहां है <math>\overline{f(A)}</math> यह भी आवश्यक रूप से [[नियमित बंद सेट|नियमित विवृत समुच्चय]] (इंच) है)<ref group=note name="DefOfRegularOpenClosed" /><math>Y</math> विशेषकर, यदि <math>A</math> नियमित विवृत समुच्चय है तो ऐसा ही <math>\overline{f(A)}.</math> और यदि <math>A</math> [[नियमित खुला सेट|नियमित ओपन समुच्चय]] है तो ऐसा ही <math>Y \setminus \overline{f(X \setminus A)}.</math> है।  </li>
<li>यदि निरंतर ओपन प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> तब यह भी विशेषण है <math>\operatorname{Int}_X f^{-1}(S) = f^{-1}\left(\operatorname{Int}_Y S\right)</math> और इसके अतिरिक्त, <math>S</math>  नियमित ओपन (सम्मानित नियमित विवृत)<ref group=note name="DefOfRegularOpenClosed" />का उप-समुच्चय है <math>Y</math> यदि केवल <math>f^{-1}(S)</math> का नियमित ओपन (सम्मानित नियमित विवृत) उप-समुच्चय <math>X.</math> है।   </li>
<li>यदि नेट (गणित) <math>y_{\bull} = \left(y_i\right)_{i \in I}</math> में [[अभिसारी जाल|अभिसरण]] होता है <math>Y</math> तक <math>y \in Y</math> और निरंतर ओपन प्रतिचित्र <math>f : X \to Y</math> विशेषण है, फिर किसी के लिए <math>x \in f^{-1}(y)</math> वहाँ नेट उपस्थित है <math>x_{\bull} = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> में <math>X</math> (कुछ [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] द्वारा अनुक्रमित <math>A</math>) ऐसा है कि <math>x_{\bull} \to x</math> में <math>X</math> और <math>f\left(x_{\bull}\right) := \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}</math>का [[सबनेट (गणित)]] <math>y_{\bull}.</math> है इसके अतिरिक्त, अनुक्रमण समुच्चय <math>A</math> माना जा सकता है <math>A := I \times \mathcal{N}_x</math> उत्पाद ऑर्डर के साथ जहां <math>\mathcal{N}_x</math> का कोई निकट आधार <math>x</math> द्वारा निर्देशक <math>\,\supseteq.\,</math>है।<ref group="note">Explicitly, for any <math>a := (i, U) \in A := I \times \mathcal{N}_x,</math> pick any <math>h_a \in I</math> such that <math>i \leq h_a \text{ and } y_{h_a} \in f(U)</math> and then let <math>x_a \in U \cap f^{-1}\left(y_{h_a}\right)</math> be arbitrary. The assignment <math>a \mapsto h_a</math> defines an [[order morphism]] <math>h : A \to I</math> such that <math>h(A)</math> is a [[cofinal subset]] of <math>I;</math> thus <math>f\left(x_{\bull}\right)</math> is a [[Willard-subnet]] of <math>y_{\bull}.</math></ref></li>
</ul>

==यह भी देखें==

* {{annotated link|लगभग ओपन मानचित्र}}
* {{annotated link|बंद ग्राफ़}}
* {{annotated link|बंद रैखिक ऑपरेटर}}
* {{annotated link|स्थानीय समरूपता}}
* {{annotated link|अर्ध-ओपन मानचित्र}}
* {{annotated link|भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी)}}
* {{annotated link|उत्तम मानचित्र}}
* {{annotated link|उचित मानचित्र}}
* {{annotated link|मानचित्र को कवर करने वाला अनुक्रम}}

==टिप्पणियाँ==

{{reflist|group=note|refs=
<ref name="DefOfRegularOpenClosed">A subset <math>S \subseteq X</math> is called a '''{{em|[[Regular closed set|{{visible anchor|regular closed set}}]]}}''' if <math>\overline{\operatorname{Int} S} = S</math> or equivalently, if <math>\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S,</math> where <math>\operatorname{Bd} S</math> (resp. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>) denotes the [[Boundary (topology)|topological boundary]] (resp. [[Interior (topology)|interior]], [[Closure (topology)|closure]]) of <math>S</math> in <math>X.</math> The set <math>S</math> is called a '''{{em|[[Regular open set|{{visible anchor|regular open set}}]]}}''' if <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> or equivalently, if <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S.</math> The interior (taken in <math>X</math>) of a closed subset of <math>X</math> is always a regular open subset of <math>X.</math> The closure (taken in <math>X</math>) of an open subset of <math>X</math> is always a regular closed subset of <math>X.</math></ref>
}}


==उद्धरण==

{{reflist}}


==संदर्भ==

* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}}
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}}
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}}



{{DEFAULTSORT:Open And Closed Maps}}

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