View source for सतत-परिवर्तनीय क्वांटम जानकारी

{{Short description|Continuous (non-quantized) quantities in quantum information science}}'''सतत -परिवर्तनीय (सीवी) क्वांटम जानकारी''' [[क्वांटम सूचना विज्ञान]] का क्षेत्र है जो [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र की शक्ति की तरह अवलोकन योग्य का उपयोग करता है, जिसका संख्यात्मक मान सतत से संबंधित गणितीय विषयों की सूची [[अंतराल (गणित)]] से संबंधित है।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Weedbrook|first1=Christian|last2=Pirandola|first2=Stefano|last3=García-Patrón|first3=Raúl|last4=Cerf|first4=Nicolas J.|last5=Ralph|first5=Timothy C.|last6=Shapiro|first6=Jeffrey H.|last7=Lloyd|first7=Seth|date=2012-05-01|title=गाऊसी क्वांटम जानकारी|journal=Reviews of Modern Physics|volume=84|issue=2|pages=621–669|arxiv=1110.3234|doi=10.1103/RevModPhys.84.621|bibcode=2012RvMP...84..621W|s2cid=119250535}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Braunstein|first1=Samuel L.|last2=van Loock|first2=Peter|date=2005-06-29|title=निरंतर चर के साथ क्वांटम जानकारी|journal=[[Reviews of Modern Physics]]|volume=77|issue=2|pages=513–577|arxiv=quant-ph/0410100|doi=10.1103/RevModPhys.77.513|bibcode=2005RvMP...77..513B|s2cid=118990906}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Adesso|first1=Gerardo|last2=Ragy|first2=Sammy|last3=Lee|first3=Antony R.|date=2014-03-12|title=Continuous Variable Quantum Information: Gaussian States and Beyond|journal=[[Open Systems & Information Dynamics]]|volume=21|issue=1n02|pages=1440001|arxiv=1401.4679|doi=10.1142/S1230161214400010|s2cid=15318256|issn=1230-1612}}</ref> प्राथमिक अनुप्रयोग [[ क्वांटम कम्प्यूटिंग |क्वांटम कम्प्यूटिंग]] है। जिसके अर्थ में, सतत -परिवर्तनीय क्वांटम गणना एनालॉग है, जबकि क्वैब का उपयोग करके क्वांटम गणना डिजिटल है। अधिक तकनीकी शब्दों में, पूर्व हिल्बर्ट रिक्त स्थान का उपयोग करता है जो [[आयाम]] या अनंत-आयामी हैं, जबकि क्वैबिट के संग्रह वाले प्रणाली के लिए हिल्बर्ट रिक्त स्थान परिमित-आयामी हैं।<ref>{{Cite book|title=सतत चर के साथ क्वांटम सूचना|last1=Braunstein|first1=S. L.|last2=Pati|first2=A. K.|date=2012-12-06|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9789401512589|language=en|doi=10.1007/978-94-015-1258-9|citeseerx=10.1.1.762.4959}}</ref> सतत -परिवर्तनीय क्वांटम गणना का अध्ययन करने के लिए प्रेरणा यह समझना है कि क्वांटम कंप्यूटरों को मौलिक कंप्यूटरों की तुलना में अधिक शक्तिशाली बनाने के लिए कौन से संसाधन आवश्यक हैं।<ref name=":4">{{Cite journal|last1=Lloyd|first1=Seth|author-link=Seth Lloyd|last2=Braunstein|first2=Samuel L.|author-link2=Samuel L. Braunstein|date=1999-01-01|title=सतत चर पर क्वांटम गणना|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=82|issue=8|pages=1784–1787|arxiv=quant-ph/9810082|doi=10.1103/PhysRevLett.82.1784|bibcode=1999PhRvL..82.1784L|s2cid=119018466}}</ref>


== क्रियान्वयन ==
प्रयोगशाला में सतत -परिवर्तनीय क्वांटम सूचना प्रोटोकॉल को प्रयुक्त करने का विधि [[ क्वांटम प्रकाशिकी |क्वांटम प्रकाशिकी]] की तकनीकों के माध्यम से है।<ref name=":1">{{Cite journal|last1=Bartlett|first1=Stephen D.|last2=Sanders|first2=Barry C.|date=2002-01-01|title=Universal continuous-variable quantum computation: Requirement of optical nonlinearity for photon counting|journal=[[Physical Review A]]|volume=65|issue=4|pages=042304|arxiv=quant-ph/0110039|doi=10.1103/PhysRevA.65.042304|bibcode=2002PhRvA..65d2304B|s2cid=118896298}}</ref><ref name=":1b">{{Cite journal|last1= Menicucci |first1=Nicolas C.|last2= Flammia |first2=Steven T.|last3= Pfister |first3=Olivier|date=2008-07-14|title=ऑप्टिकल फ़्रीक्वेंसी कंघी में एक तरफ़ा क्वांटम कंप्यूटिंग|journal=[[Physical Review Letters]]|volume= 101 |issue=13|pages=130501|doi=10.1103/PhysRevLett.101.130501|pmid=18851426|arxiv=0804.4468|bibcode=2008PhRvL.101m0501M|s2cid=1307950}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal|last1=Tasca|first1=D. S.|last2=Gomes|first2=R. M.|last3=Toscano|first3=F.|last4=Souto Ribeiro|first4=P. H.|last5=Walborn|first5=S. P.|date=2011-01-01|title=फोटॉन की स्वतंत्रता की स्थानिक डिग्री के साथ निरंतर-परिवर्तनीय क्वांटम गणना|journal=[[Physical Review A]]|volume=83|issue=5|pages=052325|arxiv=1106.3049|doi=10.1103/PhysRevA.83.052325|bibcode=2011PhRvA..83e2325T|s2cid=118688635}}</ref> विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के प्रत्येक मोड को उसके संबंधित निर्माण और विलोपन ऑपरेटरों के साथ [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] के रूप में मॉडलिंग करके, प्रत्येक मोड के लिए चर की संयुग्म चर जोड़ी को परिभाषित किया जाता है, तथाकथित चतुर्भुज, जो स्थिति और गति अंतरिक्ष वेधशालाओं की भूमिका निभाते हैं। ये वेधशालाएँ [[चरण स्थान]] स्थापित करती हैं जिस पर [[विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण]] को परिभाषित किया जा सकता है। ऐसी प्रणाली पर क्वांटम माप होमोडाइन और हेटेरोडाइन डिटेक्टरों का उपयोग करके किया जा सकता है।

1998 में प्रकाशीय विधियों द्वारा सतत -परिवर्तनीय क्वांटम जानकारी का [[क्वांटम टेलीपोर्टेशन]] प्राप्त किया गया था।<ref>{{Cite journal|last1=Furusawa|first1=A.|last2=Sørensen|first2=J. L.|last3=Braunstein|first3=S. L.|last4=Fuchs|first4=C. A.|last5=Kimble|first5=H. J.|last6=Polzik|first6=E. S.|date=1998-10-23|title=बिना शर्त क्वांटम टेलीपोर्टेशन|journal=Science|language=en|volume=282|issue=5389|pages=706–709|doi=10.1126/science.282.5389.706|issn=0036-8075|pmid=9784123|bibcode=1998Sci...282..706F}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Braunstein|first1=Samuel L.|last2=Fuchs|first2=Christopher A.|last3=Kimble|first3=H. J.|date=2000-02-01|title=सतत-परिवर्तनीय क्वांटम टेलीपोर्टेशन के लिए मानदंड|journal=Journal of Modern Optics|volume=47|issue=2–3|pages=267–278|arxiv=quant-ph/9910030|doi=10.1080/09500340008244041|issn=0950-0340|bibcode=2000JMOp...47..267B|s2cid=16713029}}</ref> जो कि (साइंस (जर्नल) ने इस प्रयोग को वर्ष की शीर्ष 10 प्रगतियों में से माना।<ref>{{Cite journal|date=1998-12-18|title=The Runners-Up: The News and Editorial Staffs|journal=Science|language=en|volume=282|issue=5397|pages=2157–2161|doi=10.1126/science.282.5397.2157|issn=0036-8075|bibcode=1998Sci...282.2157.|s2cid=220101560}}</ref>) 2013 में, [[क्लस्टर स्थिति]] बनाने के लिए क्वांटम-प्रकाशिकी तकनीकों का उपयोग किया गया था, एक-पक्ष (माप-आधारित) क्वांटम गणना के लिए आवश्यक तैयारी का प्रकार, जिसमें 10,000 से अधिक क्वांटम अस्पष्टता अस्थायी मोड सम्मिलित थे, जो समय में दो उपलब्ध थे।<ref>{{Cite journal|last1=Yokoyama|first1=Shota|last2=Ukai|first2=Ryuji|last3=Armstrong|first3=Seiji C.|last4=Sornphiphatphong|first4=Chanond|last5=Kaji|first5=Toshiyuki|last6=Suzuki|first6=Shigenari|last7=Yoshikawa|first7=Jun-ichi|last8=Yonezawa|first8=Hidehiro|last9=Menicucci|first9=Nicolas C.|title=अल्ट्रा-बड़े पैमाने पर निरंतर-परिवर्तनीय क्लस्टर राज्यों को समय डोमेन में बहुसंकेतन किया जाता है|journal=Nature Photonics|volume=7|issue=12|pages=982–986|arxiv=1306.3366|doi=10.1038/nphoton.2013.287|bibcode=2013NaPho...7..982Y|year=2013|s2cid=53575929}}</ref> अन्य कार्यान्वयन में, प्रकाशीय पैरामीट्रिक ऑसिलेटर के प्रकाशीय आवृत्ति कोंब में, 60 मोड साथ आवृत्ति डोमेन में उलझ गए थे।<ref>{{Cite journal|last1= Chen |first1=Moran|last2= Menicucci |first2=Nicolas C.|last3= Pfister |first3=Olivier|date=2014-03-28|title=Experimental realization of multipartite entanglement of 60 modes of a quantum optical frequency comb|journal=[[Physical Review Letters]]|volume= 112 |issue=12|pages= 120505 |doi= 10.1103/PhysRevLett.112.120505|pmid=24724640|arxiv=1311.2957|bibcode=2014PhRvL.112l0505C|s2cid=18093254}}</ref>

एक अन्य प्रस्ताव [[ट्रैप्ड आयन क्वांटम कंप्यूटर]] को संशोधित करने का है। आयन-ट्रैप क्वांटम कंप्यूटर: आयन के आंतरिक ऊर्जा स्तरों में एकल क्वबिट को संग्रहीत करने के अतिरिक्त , कोई सिद्धांत रूप से सतत क्वांटम चर के रूप में आयन की स्थिति और गति का उपयोग कर सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ortiz-Gutiérrez|first1=Luis|last2=Gabrielly|first2=Bruna|last3=Muñoz|first3=Luis F.|last4=Pereira|first4=Kainã T.|last5=Filgueiras|first5=Jefferson G.|last6=Villar|first6=Alessandro S.|date=2017-08-15|title=एकल फंसे हुए आयन के कंपन मोड पर निरंतर चर क्वांटम गणना|journal=Optics Communications|volume=397|pages=166–174|arxiv=1603.00065|doi=10.1016/j.optcom.2017.04.011|bibcode=2017OptCo.397..166O|s2cid=118617424}}</ref>



== अनुप्रयोग ==

सतत-परिवर्तनीय क्वांटम प्रणाली का उपयोग क्वांटम क्रिप्टोग्राफी और विशेष रूप से क्वांटम कुंजी वितरण के लिए किया जा सकता है।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Weedbrook|first1=Christian|last2=Pirandola|first2=Stefano|last3=García-Patrón|first3=Raúl|last4=Cerf|first4=Nicolas J.|last5=Ralph|first5=Timothy C.|last6=Shapiro|first6=Jeffrey H.|last7=Lloyd|first7=Seth|date=2012-05-01|title=गाऊसी क्वांटम जानकारी|journal=Reviews of Modern Physics|volume=84|issue=2|pages=621–669|arxiv=1110.3234|doi=10.1103/RevModPhys.84.621|bibcode=2012RvMP...84..621W|s2cid=119250535}}</ref> क्वांटम कंप्यूटिंग एक अन्य संभावित अनुप्रयोग है, और विभिन्न दृष्टिकोणों पर विचार किया गया है।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Weedbrook|first1=Christian|last2=Pirandola|first2=Stefano|last3=García-Patrón|first3=Raúl|last4=Cerf|first4=Nicolas J.|last5=Ralph|first5=Timothy C.|last6=Shapiro|first6=Jeffrey H.|last7=Lloyd|first7=Seth|date=2012-05-01|title=गाऊसी क्वांटम जानकारी|journal=Reviews of Modern Physics|volume=84|issue=2|pages=621–669|arxiv=1110.3234|doi=10.1103/RevModPhys.84.621|bibcode=2012RvMP...84..621W|s2cid=119250535}}</ref> जो कि 1999 में सेठ लॉयड और सैमुअल एल. ब्रौनस्टीन द्वारा प्रस्तावित पहली विधि, परिपथ मॉडल की परंपरा में थी: क्वांटम लॉजिक गेट्स हैमिल्टनवासियों द्वारा बनाए गए हैं, जो इस स्थिति में, हार्मोनिक-ऑसिलेटर क्वाडरेचर के द्विघात कार्य हैं। इसके बाद में, माप-आधारित क्वांटम गणना को अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्थानों की सेटिंग के लिए अनुकूलित किया गया।<ref name=":3">{{Cite journal|last1=Menicucci|first1=Nicolas C.|last2=van Loock|first2=Peter|last3=Gu|first3=Mile|last4=Weedbrook|first4=Christian|last5=Ralph|first5=Timothy C.|last6=Nielsen|first6=Michael A.|author-link6=Michael Nielsen|date=2006-09-13|title=सतत-परिवर्तनीय क्लस्टर राज्यों के साथ सार्वभौमिक क्वांटम गणना|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=97|issue=11|pages=110501|arxiv=quant-ph/0605198|doi=10.1103/PhysRevLett.97.110501|pmid=17025869|bibcode=2006PhRvL..97k0501M|s2cid=14715751}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Zhang|first1=Jing|last2=Braunstein|first2=Samuel L.|date=2006-03-16|title=क्लस्टर राज्यों का सतत-परिवर्तनीय गाऊसी एनालॉग|journal=Physical Review A|volume=73|issue=3|pages=032318|doi=10.1103/PhysRevA.73.032318|bibcode=2006PhRvA..73c2318Z|arxiv=quant-ph/0501112|s2cid=119511825 }}</ref> फिर भी सतत-परिवर्तनीय क्वांटम गणना का एक तीसरा मॉडल परिमित-आयामी प्रणाली (क्विबिट्स का संग्रह) को अनंत-आयामी प्रणाली में एन्कोड करता है। यह मॉडल डैनियल गॉट्समैन, एलेक्सी किताएव और जॉन प्रेस्किल के कारण है।
== मौलिक अनुकरण ==

क्वांटम कंप्यूटिंग के सभी दृष्टिकोणों में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या विचाराधीन कार्य को मौलिक कंप्यूटर द्वारा कुशलतापूर्वक किया जा सकता है। [[कलन विधि]] को क्वांटम यांत्रिकी की भाषा में वर्णित किया जा सकता है, किन्तु निकट से विश्लेषण करने पर पता चलता है कि इसे केवल मौलिक संसाधनों का उपयोग करके प्रयुक्त किया जा सकता है। ऐसा एल्गोरिदम क्वांटम भौतिकी द्वारा उपलब्ध अतिरिक्त संभावनाओं का पूरा लाभ नहीं उठा पाएगा। परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान का उपयोग करके क्वांटम गणना के सिद्धांत में, गोट्समैन-निल प्रमेय दर्शाता है कि क्वांटम प्रक्रियाओं का सेट उपस्थित है जिसे मौलिक कंप्यूटर पर कुशलतापूर्वक अनुकरण किया जा सकता है। इस प्रमेय को सतत -परिवर्तनीय स्थिति में सामान्यीकृत करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि, इसी तरह, सतत -परिवर्तनीय क्वांटम संगणनाओं के वर्ग को केवल मौलिक एनालॉग संगणनाओं का उपयोग करके अनुकरण किया जा सकता है। वास्तव में, इस वर्ग में कुछ कम्प्यूटेशनल कार्य सम्मिलित हैं जो क्वांटम अस्पष्टता का उपयोग करते हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Bartlett|first1=Stephen D.|last2=Sanders|first2=Barry C.|last3=Braunstein|first3=Samuel L.|last4=Nemoto|first4=Kae|author4-link= Kae Nemoto |date=2002-02-14|title=सतत परिवर्तनशील क्वांटम सूचना प्रक्रियाओं का कुशल शास्त्रीय अनुकरण|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=88|issue=9|pages=097904|arxiv=quant-ph/0109047|doi=10.1103/PhysRevLett.88.097904|pmid=11864057|bibcode=2002PhRvL..88i7904B|s2cid=2161585}}</ref> जब किसी गणना में सम्मिलित सभी मात्राओं-अवस्थाओ , समय के विकास और मापों का विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण गैर-ऋणात्मक होता है, तो उन्हें सामान्य संभाव्यता वितरण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जो दर्शाता है कि गणना को अनिवार्य रूप से मौलिक के रूप में मॉडल किया जा सकता है।<ref name=":3" /> इस प्रकार के निर्माण को [[स्पेकेन का खिलौना मॉडल]] के सातत्य सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Bartlett|first1=Stephen D.|last2=Rudolph|first2=Terry|last3=Spekkens|first3=Robert W.|date=2012-07-10|title=ज्ञानमीमांसीय प्रतिबंध के साथ लिउविले यांत्रिकी से गाऊसी क्वांटम यांत्रिकी का पुनर्निर्माण|journal=[[Physical Review A]]|volume=86|issue=1|pages=012103|arxiv=1111.5057|doi=10.1103/PhysRevA.86.012103|bibcode=2012PhRvA..86a2103B|s2cid=119235025}}</ref>


== असतत क्वांटम प्रणाली के साथ सतत कार्यों की गणना ==

कभी-कभी, और कुछ सीमा तक भ्रामक रूप से, सतत क्वांटम गणना शब्द का उपयोग क्वांटम कंप्यूटिंग के अलग क्षेत्र को संदर्भित करने के लिए किया जाता है: जो सतत कार्यों से जुड़े गणितीय प्रश्नों के उत्तरों की गणना या अनुमान लगाने के लिए परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान वाले क्वांटम प्रणाली का उपयोग कैसे करें इसका अध्ययन। सतत कार्यों की क्वांटम गणना की जांच करने के लिए प्रमुख प्रेरणा यह है कि अनेक वैज्ञानिक समस्याओं में सतत मात्राओं के संदर्भ में गणितीय सूत्रीकरण होते हैं।<ref>{{Cite web|url=http://quantum.cs.columbia.edu/html/project.html|title=Continuous Quantum Computation: Project Description|last=Papageorgiou|first=A.|website=quantum.cs.columbia.edu|access-date=2017-05-15}}</ref> दूसरी प्रेरणा उन विधियों का पता लगाना और समझना है जिनसे क्वांटम कंप्यूटर मौलिक कंप्यूटरों की तुलना में अधिक सक्षम या शक्तिशाली हो सकते हैं। किसी समस्या के [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत|कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी सिद्धांत]] को इसे हल करने के लिए आवश्यक न्यूनतम कम्प्यूटेशनल संसाधनों के संदर्भ में निर्धारित किया जा सकता है। क्वांटम कंप्यूटिंग में, संसाधनों में कंप्यूटर के लिए उपलब्ध क्वैब की संख्या और उस कंप्यूटर पर बनाए जा सकने वाले [[क्वांटम जटिलता सिद्धांत|क्वांटम कॉम्प्लेक्सिटी सिद्धांत]] की संख्या सम्मिलित होती है। अनेक सतत समस्याओं की मौलिक कॉम्प्लेक्सिटी ज्ञात है। इसलिए, जब इन समस्याओं की क्वांटम कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त हो जाती है, तो इस प्रश्न का उत्तर दिया जा सकता है कि क्या क्वांटम कंप्यूटर मौलिक कंप्यूटरों की तुलना में अधिक शक्तिशाली हैं। इसके अतिरिक्त , सुधार की मात्रा निर्धारित की जा सकती है। इसके विपरीत, अलग-अलग समस्याओं की कॉम्प्लेक्सिटी समान्य रूप से अज्ञात होती है। उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक गुणनखंडन]] की मौलिक कॉम्प्लेक्सिटी अज्ञात है।

एक वैज्ञानिक समस्या का उदाहरण जो स्वाभाविक रूप से सतत शब्दों में व्यक्त किया जाता है, जो कि [[कार्यात्मक एकीकरण]] है। पथ एकीकरण की सामान्य तकनीक में [[क्वांटम यांत्रिकी]], क्वांटम रसायन विज्ञान, [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] और [[कम्प्यूटेशनल वित्त]] सहित अनेक अनुप्रयोग हैं। क्योंकि यादृच्छिकता पूरे क्वांटम सिद्धांत में उपस्थित है, समान्य रूप से किसी को क्वांटम कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया से सही उत्तर प्राप्त करने की आवश्यकता होती है, निश्चितता के साथ नहीं, किन्तु उच्च संभावना के साथ है। उदाहरण के लिए, कोई ऐसी प्रक्रिया का लक्ष्य रख सकता है जो कम से कम 3/4 संभावना के साथ सही उत्तर की गणना करती है। अनिश्चितता की डिग्री भी निर्दिष्ट करता है, समान्य रूप से अधिकतम स्वीकार्य त्रुटि निर्धारित करते है । इस प्रकार, क्वांटम गणना का लक्ष्य पथ-एकीकरण समस्या के संख्यात्मक परिणाम की गणना 3/4 या अधिक संभावना के साथ अधिकतम ε की त्रुटि के अंदर करना हो सकता है। इस संदर्भ में, यह ज्ञात है कि क्वांटम एल्गोरिदम अपने मौलिक समकक्षों से उत्तम प्रदर्शन कर सकते हैं, और पथ एकीकरण की कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी , जैसा कि अच्छा उत्तर पाने के लिए क्वांटम कंप्यूटर से क्वेरी करने की अपेक्षा की जाने वाली संख्या से मापा जाता है, जैसे-जैसे व्युत्क्रम ε बढ़ता है <ref>{{Cite journal|last1=Traub|first1=J. F.|last2=Woźniakowski|first2=H.|date=2002-10-01|title=क्वांटम कंप्यूटर पर पथ एकीकरण|journal=Quantum Information Processing|language=en|volume=1|issue=5|pages=365–388|arxiv=quant-ph/0109113|doi=10.1023/A:1023417813916|s2cid=5821196|issn=1570-0755}}</ref>

अन्य सतत समस्याएं जिनके लिए क्वांटम एल्गोरिदम का अध्ययन किया गया है उनमें मैट्रिक्स [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स]] खोजना सम्मिलित है,<ref>{{Cite journal|last1=Jaksch|first1=Peter|last2=Papageorgiou|first2=Anargyros|date=2003-12-19|title=आइजेनवेक्टर सन्निकटन से क्वांटम आइजेनवैल्यू गणना में तेजी आई|journal=Physical Review Letters|volume=91|issue=25|pages=257902|arxiv=quant-ph/0308016|doi=10.1103/PhysRevLett.91.257902|pmid=14754158|bibcode=2003PhRvL..91y7902J|s2cid=1855075}}</ref> चरण अनुमान,<ref>{{Cite journal|last=Bessen|first=Arvid J.|date=2005-04-08|title=क्वांटम चरण आकलन के लिए निचली सीमा|journal=Physical Review A|volume=71|issue=4|pages=042313|arxiv=quant-ph/0412008|doi=10.1103/PhysRevA.71.042313|bibcode=2005PhRvA..71d2313B|s2cid=118887469}}</ref> स्टर्म-लिउविले आइजेनवैल्यू समस्या,<ref>{{Cite journal|last1=Papageorgiou|first1=A.|last2=Woźniakowski|first2=H|title=Classical and Quantum Complexity of the Sturm–Liouville Eigenvalue Problem|journal=Quantum Information Processing|language=en|volume=4|issue=2|pages=87–127|arxiv=quant-ph/0502054|doi=10.1007/s11128-005-4481-x|year=2005|bibcode=2005quant.ph..2054P|s2cid=11089349}}<br />{{Cite journal|last1=Papageorgiou|first1=A.|last2=Woźniakowski|first2=H.|date=2007-04-01|title=The Sturm-Liouville Eigenvalue Problem and NP-Complete Problems in the Quantum Setting with Queries|journal=Quantum Information Processing|language=en|volume=6|issue=2|pages=101–120|arxiv=quant-ph/0504191|doi=10.1007/s11128-006-0043-0|s2cid=7604869|issn=1570-0755}}</ref> फेनमैन-केएसी सूत्र के साथ [[अंतर समीकरण]] को हल करना,<ref>{{cite arXiv|last=Kwas|first=Marek|date=2004-10-18|title=यादृच्छिक और क्वांटम सेटिंग्स में बहुभिन्नरूपी फेनमैन-केएसी पथ एकीकरण की जटिलता|eprint=quant-ph/0410134}}</ref> प्रारंभिक मूल्य समस्याएं,<ref>{{Cite journal|last=Kacewicz|first=Bolesław|title=यादृच्छिक और क्वांटम एल्गोरिदम प्रारंभिक-मूल्य समस्याओं के लिए गति प्रदान करते हैं|journal=Journal of Complexity|language=en|volume=20|issue=6|pages=821–834|doi=10.1016/j.jco.2004.05.002|year=2004|arxiv=quant-ph/0311148|s2cid=9949704}}<br />{{cite arXiv|last=Szczesny|first=Marek|date=2006-12-12|title=Randomized and Quantum Solution of Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations of Order k|eprint=quant-ph/0612085}}<br />{{Cite journal|last=Kacewicz|first=Bolesław|title=Improved bounds on the randomized and quantum complexity of initial-value problems|journal=Journal of Complexity|language=en|volume=21|issue=5|pages=740–756|doi=10.1016/j.jco.2005.05.003|year=2005|arxiv=quant-ph/0405018|s2cid=5934254}}</ref> फ़ंक्शन सन्निकटन<ref>{{Cite journal|last1=Novak|first1=Erich|last2=Sloan|first2=Ian H.|last3=Woźniakowski|first3=Henryk|date=2004-04-01|title=शास्त्रीय और क्वांटम कंप्यूटरों पर भारित कोरोबोव रिक्त स्थान के लिए अनुमान की ट्रैक्टिबिलिटी|journal=Foundations of Computational Mathematics|language=en|volume=4|issue=2|pages=121–156|arxiv=quant-ph/0206023|doi=10.1007/s10208-002-0074-6|s2cid=10519614|issn=1615-3375}}<br>
{{Cite journal|last=Heinrich|first=Stefan|title=Quantum approximation I. Embeddings of finite-dimensional Lp spaces|journal=Journal of Complexity|language=en|volume=20|issue=1|pages=5–26|arxiv=quant-ph/0305030|doi=10.1016/j.jco.2003.08.002|year=2004|s2cid=6044488}}<br>
{{Cite journal|last=Heinrich|first=Stefan|title=Quantum approximation II. Sobolev embeddings|journal=Journal of Complexity|language=en|volume=20|issue=1|pages=27–45|arxiv=quant-ph/0305031|doi=10.1016/j.jco.2003.08.003|year=2004|s2cid=6061625}}</ref> उच्च आयामी एकीकरण.<ref>{{Cite journal|last=Heinrich|first=Stefan|title=एकीकरण के लिए एक आवेदन के साथ क्वांटम योग|journal=Journal of Complexity|language=en|volume=18|issue=1|pages=1–50|arxiv=quant-ph/0105116|doi=10.1006/jcom.2001.0629|year=2002|s2cid=14365504}}<br />{{Cite journal|last=Heinrich|first=Stefan|date=2003-02-01|title=Quantum integration in Sobolev classes|journal=Journal of Complexity|volume=19|issue=1|pages=19–42|arxiv=quant-ph/0112153|doi=10.1016/S0885-064X(02)00008-0|s2cid=5471897}}<br />{{Cite journal|last=Novak|first=Erich|title=Quantum Complexity of Integration|journal=Journal of Complexity|language=en|volume=17|issue=1|pages=2–16|arxiv=quant-ph/0008124|doi=10.1006/jcom.2000.0566|year=2001|s2cid=2271590}}</ref>, और क्वांटम क्रिप्टोग्राफी<ref>{{Cite journal|last=Mu|first=Yi|title=प्रकाश के परिमाणित चतुर्भुज चरण आयामों के माध्यम से साझा क्रिप्टोग्राफ़िक बिट्स|journal=Journal of Optics Communication|language=en|volume=123|pages=334–352|doi=10.1016/0030-4018(95)00688-5|year=1996|issue=1–3 |bibcode=1996OptCo.123..344M |s2cid=18374270 }}<br /></ref>



== यह भी देखें ==

*[[क्वांटम असमानताएँ]]

==संदर्भ==
{{Reflist}}
[[Category: क्वांटम सूचना विज्ञान]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 18/11/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]