View source for सतही अवस्थाएँ

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'''सतह अवस्था''' पदार्थ की [[सतह (टोपोलॉजी)|सतह (सांस्थिति)]] पर पाए जाने वाले [[इलेक्ट्रॉनिक राज्य|इलेक्ट्रॉनिक अवस्था]] हैं। वे ठोस पदार्थ से तेज संक्रमण के कारण बनते हैं जो एक सतह के साथ समाप्त होते हैं और सतह के निकटतम परमाणु परतों पर ही पाए जाते हैं। एक सतह के साथ एक पदार्थ की समाप्ति विस्तृत पदार्थ से [[ खालीपन |निर्वात]] तक [[इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना]] के परिवर्तन की ओर ले जाती है। सतह पर दुर्बल विभव में, नए इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाों का निर्माण किया जा सकता है जिन्हें सतह अवस्था कहते हैं।<ref name="BasicSurfaceStates">{{cite book|author1=Sidney G. Davison |author2=Maria Steslicka |title= भूतल राज्यों का मूल सिद्धांत|publisher=Clarendon Press|year=1992|url=https://books.google.com/books?id=rR-PUXTHXIkC|isbn=0-19-851990-7}}</ref>


== संघनित पदार्थ अंतराफलक पर उत्पत्ति ==
[[File:FigPotential.PNG|thumbnail|350px|चित्रा 1. एक आदर्श सतह पर समाप्त होने वाली आवधिक क्रिस्टल विभव का सरलीकृत एक-आयामी मॉडल। सतह पर, मॉडल की विभव निर्वात स्तर (ठोस रेखा) पर अचानक सम्मिलित होजाती है। असतत रेखा एक अधिक यथार्थवादी तस्वीर का प्रतिनिधित्व करती है, जहां कुछ दूरी पर संभावित निर्वात स्तर तक पहुंच जाता है।]]
[[File:Solution1.PNG|thumbnail|350px|चित्रा 2. विस्तृत अवस्थाों के अनुरूप एक-आयामी श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के प्रकार का वास्तविक हिस्सा। इन अवस्थाों में विस्तृत में बलोच संकेत होता है, जबकि निर्वात में तेजी से क्षय होता है।]]
[[File:Solution2.PNG|thumbnail|350px|चित्र 3. एक-आयामी श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के प्रकार का वास्तविक भाग जो सतह की अवस्थाओं से अनुरूप है। ये अवस्थाएँ निर्वात और विस्तृत क्रिस्टल दोनों में क्षय होती हैं और इस प्रकार क्रिस्टल सतह पर स्थानीयकृत अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं।]]जैसा कि [[बलोच लहरें|बलोच तरंगें]] द्वारा कहा गया है। बलोच प्रमेय, एक पूर्ण आवधिक विभव वाले एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण, एक क्रिस्टल, के आइजेन-अवस्था, बलोच तरंगें हैं।<ref name="Kittel">{{cite book|author=C. Kittel|title= [[Introduction to Solid State Physics]]|publisher=Wiley|year=1996|pages=80–150|isbn=0-471-14286-7}}</ref>
:<math>
\begin{align}
 \Psi_{n\boldsymbol{k}} &=\mathrm{e}^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u_{n\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}).
\end{align}
</math>
यहाँ <math>u_{n\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})</math> क्रिस्टल के समान आवधिकता वाला एक फलन है, और n बैंड सूचकांक है और '''<nowiki/>'k'''<nowiki/>' तरंग संख्या है। किसी दिए गए विभव के लिए अनुमत तरंग संख्या सामान्य बोर्न-वॉन कर्मन चक्रीय सीमा स्थितियों को प्रयुक्त करके पाई जाती है।<ref name="Kittel" /> एक क्रिस्टल की समाप्ति, अर्थात एक सतह का निर्माण, स्पष्ट रूप से पूर्ण आवधिकता से विचलन का कारण बनता है। परिणामस्वरूप, यदि चक्रीय सीमा स्थितियों को सतह के सामान्य दिशा में छोड़ दिया जाता है तो इलेक्ट्रॉनों का व्यवहार विस्तृत में व्यवहार से विचलित हो जाएगा और इलेक्ट्रॉनिक संरचना के कुछ संशोधनों की अपेक्षा की जानी चाहिए।

'''चित्र 1''' में दिखाए गए अनुसार एक आयाम में क्रिस्टल विभव का एक सरलीकृत मॉडल स्थूल वर्णन किया जा सकता है।<ref name="Oura">{{cite book|author1=K. Oura |author2=V.G. Lifshifts |author3=A.A. Saranin |author4=A. V. Zotov |author5=M. Katayama |title=भूतल विज्ञान|publisher=Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York|year=2003|chapter=11}}</ref> क्रिस्टल में, विभव में आवधिकता a लेटिस की होती है, जबकि सतह के समीप इसे किसी तरह निर्वात स्तर का मान प्राप्त करना होता है। '''<nowiki/>'चित्र 1'''<nowiki/>' में दिखाई गई चरण विभव (ठोस रेखा) एक अत्यधिक सरलीकरण है जो साधारण मॉडल गणनाओं के लिए अधिकतम सुविधाजनक है। एक वास्तविक सतह पर विभव छवि आवेशों और सतह द्विध्रुवों के निर्माण से प्रभावित होती है और यह असतत रेखा द्वारा संकेतित दिखती है।

''''चित्र 1'''<nowiki/>' में विभव को देखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि एक-आयामी एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण दो गुणात्मक रूप से भिन्न प्रकार के समाधान देता है।<ref name="Feng">{{cite book|author1=Feng Duan |author2=Jin Guojin | title=Condensed Matter Physics:Volume 1|publisher=World Scientific| year=2005|chapter=7|isbn=981-256-070-X}}</ref>
* पहले प्रकार की अवस्थाएँ (चित्र 2 देखें) क्रिस्टल में विस्तृत हुई हैं और वहाँ बलोच संकेत है। इस प्रकार के समाधान विस्तृत अवस्थाओ के अनुरूप होते हैं जो निर्वात में पहुंचने वाली एक घातीय रूप से क्षयमान वाले अंतिम भाग में समाप्त हो जाते हैं।
* दूसरे प्रकार के अवस्था (चित्र 3 देखें) निर्वात और विस्तृत क्रिस्टल दोनों में तेजी से घटते हैं। इस प्रकार के समाधान क्रिस्टल सतह के समीप स्थानीय तरंग फलनों के साथ सतह अवस्थाों के अनुरूप होते हैं।

[[धातु]] और [[अर्धचालक]] दोनों के लिए पहले प्रकार का समाधान प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि अर्धचालकों में, संबंधित ईजेन-ऊर्जा को अनुमत ऊर्जा बैंडों में से एक से संबंधित होना चाहिए। दूसरे प्रकार का समाधान अर्ध-चालकों के [[ऊर्जा अंतराल]] के साथ-साथ धातुओं के अनुमानित बैंड संरचना के स्थानीय अंतराल में सम्मिलित है। यह दिखाया जा सकता है कि इन सभी अवस्थाओं की ऊर्जा ऊर्जा-अंतराल के अंदर है। एक परिणाम के रूप में, क्रिस्टल में इन अवस्थाों को एक काल्पनिक तरंग संख्या द्वारा चित्रित किया जाता है, जो विस्तृत में एक [[घातीय क्षय]] के लिए अग्रणी होता है।

===शॉक्ली अवस्थाओ और टैम अवस्थाओ ===
सतही अवस्थाओं की चर्चा में, सामान्य रूप से अमेरिकी भौतिक विज्ञानी विलियम शॉक्ले और रूसी भौतिक विज्ञानी इगोर टैम के नाम पर शॉकली अवस्थाओ<ref name="Shockley">{{cite journal|author=W. Shockley| journal= Phys. Rev.|volume=56|issue=4|pages=317–323|year=1939|doi=10.1103/PhysRev.56.317|title=ऑन द सरफेस स्टेट्स एसोसिएटेड विद ए पीरियोडिक पोटेंशियल|bibcode = 1939PhRv...56..317S }}</ref> और टैम अवस्थाओ,<ref name="Tamm">{{cite journal|author=I. Tamm| journal= Phys. Z. Sowjetunion|title=एक क्रिस्टल सतह पर इलेक्ट्रॉनों की संभावित बाध्य अवस्थाओं पर|volume=1|pages=733|year=1932}}</ref> के बीच अंतर किया जाता है। दो प्रकार के अवस्थाों के बीच कोई स्थायी भौतिक भेद नहीं है, लेकिन गुणात्मक संकेत और उनका वर्णन करने में प्रयुक्त गणितीय दृष्टिकोण अलग है।

* ऐतिहासिक रूप से, सतही अवस्थाएँ जो स्पष्ट और आदर्श सतहों के लिए [[लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] के रूपरेखा में श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में उत्पन्न होती हैं, उन्हें शॉक्ली अवस्थाओ कहा जाता है। शॉक्ले अवस्थाओ इस प्रकार हैं जो केवल क्रिस्टल समाप्ति के साथ जुड़े इलेक्ट्रॉन विभव में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होते हैं। यह दृष्टिकोण सामान्य धातुओं और कुछ संकीर्ण अंतर वाले अर्धचालकों का वर्णन करने के लिए अनुकूल है। '''चित्र 3''' शॉकली अवस्था का एक उदाहरण दिखाता है, जो लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। क्रिस्टल के अंदर, शॉक्ले अवस्थाओ घातीय रूप से क्षयमान वाली बलोच तरंगों के समान हैं।
* सतह अवस्थाओ जिनकी गणना एक [[टाइट बाइंडिंग|दृढ बंधन]] मॉडल के रूपरेखा में की जाती है, उन्हें प्रायः टैम अवस्थाओ कहा जाता है। तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलनों को सामान्य रूप से परमाणु कक्षाओं (एलसीएओ) के रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। शॉकले अवस्थाों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के विपरीत, टैम अवस्था भी [[संक्रमण धातु]]ओं और व्यापक अंतर वाले अर्धचालकों का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं।<ref name="Oura" /> गुणात्मक रूप से, टैम अवस्था सतह पर स्थानीयकृत परमाणु या आणविक कक्षा के समान हैं।

=== सांस्थितिकीय सतह अवस्थाएं ===
{{See also|सांस्थितिक विद्युत-रोधी}}

सभी पदार्थों को एक संख्या, एक सामयिक अपरिवर्तनीय द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है; इसका निर्माण विस्तृत इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन से किया गया है, जो ब्रिलुवां क्षेत्र में एकीकृत हैं, इसी तरह से [[जीनस (गणित)]] की गणना [[ज्यामितीय टोपोलॉजी|ज्यामितीय सांस्थिति]] में की जाती है। कुछ पदार्थों में सांस्थितिक निश्चर को तब बदला जा सकता है जब प्रबल प्रचक्रण-कक्षीय युग्मन के कारण कुछ विस्तृत एनर्जी बैंड प्रतिवर्त हो जाते हैं। गैर-सामान्य सांस्थिति के साथ एक विद्युत-रोधी के बीच अंतराफलक पर, एक तथाकथित सांस्थितिक विद्युत-रोधी, और एक सामान्य सांस्थिति के साथ, अन्तराफलक को धात्विक होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, सतह की स्थिति में एक परिच्छेद बिंदु के साथ रैखिक डायराक जैसा विस्तारित होना चाहिए जो समय उत्क्रमण समरूपता द्वारा संरक्षित है। इस तरह की स्थिति को अव्यवस्था के अंतर्गत प्रबल होने की भविष्यवाणी की जाती है, और इसलिए इसे आसानी से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है।<ref name="Hasan2010">{{cite journal | last1=Hasan | first1=M. Z. | last2=Kane | first2=C. L. | title=Colloquium: Topological insulators | journal=Rev. Mod. Phys. | volume=82 | issue=4 | date=2010 | pages=3045–3067 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.82.3045| arxiv=1002.3895 | bibcode=2010RvMP...82.3045H | s2cid=16066223 }}</ref>


==शॉक्ली अवस्थाओ==

=== धातुओं में सतह की स्थिति ===
धातु की सतह पर अवस्थाों के मूल गुणों की व्युत्पत्ति के लिए एक सरल मॉडल समान परमाणुओं की अर्ध-अनंत आवधिक श्रृंखला है।<ref name="BasicSurfaceStates"/> इस मॉडल में, श्रृंखला की समाप्ति सतह का प्रतिनिधित्व करती है, जहां विभव V<sub>0</sub> मान प्राप्त करती है[[ समारोह की ओर कदम बढ़ाएं | फलन की ओर बढ़ने]] के रूप में निर्वात का '''चित्र 1''' क्रिस्टल के अंदर विभव को लेटिस की आवधिकता के साथ आवधिक माना जाता है। शॉकली अवस्थाों को तब '''a''' आयामी एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में पाया जाता है

:<math>
\begin{align}
 \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dz^2}+V(z)\right]\Psi(z) &=& E\Psi(z),
\end{align}
</math>
आवधिक विभव के साथ

:<math>
\begin{align}
V(z)=\left\{
\begin{array}{cc}
  P\delta(z+la),& \textrm{for}\quad z<0 \\
  V_0,&\textrm{for} \quad z>0
\end{array}\right.,
\end{align}
</math>
जहाँ l एक पूर्णांक है, और P सामान्यीकरण कारक है। समाधान दो प्रक्षेत्र z<0 और z>0 के लिए स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया जाना चाहिए, जहां प्रक्षेत्र सीमा (z=0) पर तरंग फलन की निरंतरता और इसके अवकल पर सामान्य शर्तें प्रयुक्त होती हैं। चूंकि विभव क्रिस्टल के अंदर आवधिक रूप से गहन होती है, इसलिए यहां इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्य बलोच तरंगें होनी चाहिए। क्रिस्टल में समाधान तब आने वाली तरंग और सतह से परावर्तित तरंग का एक रैखिक संयोजन होता है। और Z> 0 के लिए निर्वात में तेजी से कम होने के लिए समाधान की आवश्यकता होगी

:<math>
\begin{align}
 \Psi(z) &=& \left\{
\begin{array}{cc}
  Bu_{-k}e^{-ikz}+Cu_{k}e^{ikz},&\textrm{for} \quad z<0\\
   A\exp\left[-\sqrt{2m(V_0-E)}\frac{z}{\hbar}\right],& \textrm{for}\quad z>0
\end{array}\right.,
\end{align}
</math>
एक धातु की सतह पर एक अवस्था के लिए तरंग फलन गुणात्मक रूप से चित्र 2 में दिखाया गया है। यह क्रिस्टल के अंदर एक विस्तारित बलोच तरंग है जो सतह के बाहर एक घातीय रूप से क्षयमान वाले अंतिम भाग के साथ है। अंतिम भाग का परिणाम क्रिस्टल के अंदर ऋणात्मक आवेशित घनत्व की कमी है और सतह के परिशुद्ध रूप से बाहर ऋणात्मक आवेशित घनत्व में वृद्धि हुई है, जिससे एक द्विध्रुवीय [[दोहरी परत (इंटरफेसियल)|दोहरी परत (अंतराफलक)]] का निर्माण होता है। द्विध्रुव सतह की ओर ले जाने वाली विभव को प्रभावित करता है, उदाहरण के लिए, धातु के काम के फलन में बदलाव के लिए होता है।

=== अर्धचालकों में सतह की स्थिति ===
[[File:BandstructureNFE.PNG|thumbnail|350px|चित्रा 4. लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन चित्र में इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना। ब्रिलॉइन क्षेत्र की सीमा से दूर इलेक्ट्रॉन तरंग फलन में समतल तरंग वर्ण होता है और विस्तारित संबंध परवलयिक होता है। ब्रिलॉइन क्षेत्र की सीमा पर तरंग फलन एक आने वाली तरंग है जो एक आने वाली और एक ब्रैग-परावर्तित तरंग से बना है। यह अंततः एक ऊर्जा-अंतराल के निर्माण की ओर ले जाता है।]]लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग संकीर्ण अंतराल अर्धचालकों के लिए सतह अवस्थाों के मूल गुणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। अर्ध-अनंत रैखिक श्रृंखला मॉडल भी इस स्थितियों में उपयोगी है।<ref name="Feng" /> हालाँकि, अब परमाणु श्रृंखला के साथ विभव को कोसाइन फलन के रूप में भिन्न माना जाता है

<math>
\begin{alignat}{2}
V(z)&= V\left[\exp\left(i\frac{2\pi z}{a}\right)+\exp\left(-i\frac{2\pi z}{a}\right)\right] \\
&=2 V\cos\left(\frac{2\pi z}{a}\right), \\
\end{alignat}
</math>

जबकि सतह पर विभव को ऊँचाई V<sub>0</sub>के एक चरण फलन के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है। श्रोडिंगर समीकरण के समाधान दो प्रक्षेत्र z < 0 और z > 0 के लिए अलग-अलग प्राप्त किए जाने चाहिए। लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन के अर्थ में, z < 0 के लिए प्राप्त समाधानों में तरंग सदिश के लिए समतल तरंग वर्ण होगा ब्रिलौइन क्षेत्र की सीमा <math>k=\pm\pi/a</math>, जहां विस्तारित संबंध परवलयिक होगा, जैसा कि '''चित्र 4''' में दिखाया गया है। ब्रिलॉइन क्षेत्र की सीमाओं पर, ब्रैग प्रतिबिंब होता है, जिसके परिणामस्वरूप तरंग सदिश <math>k = \pi/a</math> और तरंग सदिश <math>k=-\pi/a</math> के साथ एक तरंग होती है

:<math>
\begin{align}
 \Psi(z) &= Ae^{ik z}+ Be^{i[k -(2\pi/a) ]z}.
\end{align}
</math>
यहाँ <math>G=2\pi/a</math> [[पारस्परिक जाली|पारस्परिक लेटिस]] का एक [[जाली वेक्टर|लेटिस सदिश]] (चित्र 4 देखें) है। चूंकि संबंध के समाधान ब्रिलॉइन क्षेत्र सीमा के समीप हैं, हम <math>k_\perp=\bigl(\pi/a\bigr)+\kappa</math> समायोजित करते हैं, जहां κ एक छोटी मात्रा है। स्वैच्छिक स्थिरांक a, b श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा पाए जाते हैं। यह निम्नलिखित आइगेनमान की ओर जाता है

:<math>
\begin{align}
 E &= \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{a}+\kappa\right)^2\pm |V|\left[-\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{m a |V|}\pm \sqrt{\left(\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{ma |V|}\right)^2+1}\right]
\end{align}
</math>
[[ब्रिलौइन क्षेत्र]] के कोरों पर [[बैंड विभाजन]] का प्रदर्शन, जहाँ [[निषिद्ध अंतराल]] की चौड़ाई 2V द्वारा दी गई है। इलेक्ट्रॉनिक तरंग क्रिस्टल के अंदर गहन कार्य करती है, जिसके लिए विभिन्न बैंडों को अधीन किया जाता है

:<math>
\begin{align}
 \Psi_i &= Ce^{i\kappa z} \left(
 e^{i\pi z/a} + \left[-\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{m a |V|}\pm \sqrt{\left(\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{ma |V|}\right)^2+1}\right]e^{-i\pi z/a}\right)
\end{align}
</math>
जहाँ C एक सामान्यीकरण स्थिरांक z = 0 पर सतह के पास है। विस्तृत समाधान को एक घातीय रूप से क्षयमान वाले समाधान के लिए निर्धारित किया जाना है, जो निरंतर संभावित V<sub>0</sub>के साथ संगत है। 

:<math>
\begin{align}
 \Psi_0 &= D\exp\left[-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)}z\right]
\end{align}
</math>
यह दिखाया जा सकता है कि अनुमत बैंड में निहित हर संभव ऊर्जा [[eigenvalue|आइगेनमान]] के लिए मिलान की शर्तों को पूरा किया जा सकता है। जैसा कि धातुओं के स्थितियों में होता है, इस प्रकार का समाधान क्रिस्टल में विस्तृत उपस्थित बलोच तरंगों का प्रतिनिधित्व करता है जो सतह पर निर्वात में विस्तृत की जाती हैं। तरंग फलन का गुणात्मक आरेखित चित्र 2 में दिखाया गया है।

यदि κ के काल्पनिक मानो पर विचार किया जाता है, अर्थात z ≤ 0 के लिए κ = - i·q और एक परिभाषित करता है
 
:<math>
\begin{align}
  i \sin(2\delta) &= -i\frac{\hbar^2 \pi q}{maV}
 \end{align}
</math>
एक क्रिस्टल में क्षयकारी आयाम के साथ समाधान प्राप्त करता है

:<math>
\begin{align}
 \Psi_i(z\leq0) &= Fe^{qz}\left[\exp\left[i\left(\frac{\pi}{a}z\pm\delta\right)\right]\pm\exp\left[-i\left(\frac{\pi}{a}z\pm\delta\right)\right]\right]e^{\mp i\delta}
\end{align}
</math>
ऊर्जा आइगेनमान द्वारा दिया जाता है

:<math>
\begin{align}
 E &= \frac{\hbar^2}{2m}\left[\left(\frac{\pi}{a}\right)^2-q^2\right]\pm V\sqrt{1-\left(\frac{\hbar^2\pi q}{maV}\right)^2}
\end{align}
</math>
E बड़े ऋणात्मक Z के लिए वास्तविक है, जैसा कि आवश्यक है। वह भी परास में <math>0\leq q\leq q_{max}=\frac{m a V} {\hbar^2 \pi}</math> सतही अवस्थाओं की सभी ऊर्जा निषिद्ध अंतराल में पतित होती हैं। पूर्ण समाधान फिर से विस्तृत समाधान को घातीय रूप से क्षय करने वाले निर्वात समाधान से मिलान करके पाया जाता है। परिणाम क्रिस्टल और निर्वात दोनों में क्षयमान वाली सतह पर स्थानीयकृत अवस्था है। एक गुणात्मक आरेखित '''चित्र 3''' में दिखाया गया है।

=== त्रि-आयामी क्रिस्टल की सतह अवस्था ===
[[File:Orbitals.PNG|thumbnail|350px|चित्रा 5. एक पीटी-परमाणु के परमाणु जैसे कक्षीय। दिखाए गए कक्षीय घनत्व कार्यात्मक गणनाओं में उपयोग किए जाने वाले द्वैत-जेटा आधार समुच्चय का हिस्सा हैं। कक्षीय को सामान्य क्वांटम संख्या (n,l,m) के अनुसार अनुक्रमित किया जाता है।]]एकपरमाणुक रैखिक श्रृंखला की सतह अवस्थाओं के परिणाम त्रि-आयामी क्रिस्टल की स्थितियों में आसानी से सामान्यीकृत किए जा सकते हैं। सतह लेटिस की द्वि-आयामी आवधिकता के कारण, बलोच के प्रमेय को सतह के समानांतर अनुवादों के लिए धारण करना चाहिए। परिणामस्वरूप, सतही अवस्थाओं को k-मानों वाली बलोच तरंगों के गुणन <math>\textbf{k}_{||}=(k_x,k_y)</math> के रूप में लिखा जा सकता है सतह के समानांतर और एक आयामी सतह की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक फलन

:<math>
\begin{align}
\Psi_0(\textbf{r}) &=& \psi_0(z)u_{\textbf{k}_{||}}(\textbf{r}_{||})e^{-i\textbf{r}_{||}\cdot\textbf{k}_{||}}
\end{align}
</math>
इस अवस्था की ऊर्जा <math>E_{||}</math> एक पद से बढ़ जाती है ताकि हमारे पास हो

:<math>
\begin{align}
E_s = E_0 + \frac{\hbar^2\textbf{k}^2_{||}}{2m^*},
\end{align}
</math>
जहां m<sup>*</sup> इलेक्ट्रॉन का प्रभावी द्रव्यमान है। क्रिस्टल सतह पर मिलान की स्थिति, अर्थात z = 0 पर, प्रत्येक <math>\textbf{k}_{||}</math> के लिए अलग से संतुष्ट होना चाहिए और प्रत्येक <math>\textbf{k}_{||}</math> के लिए एकल, लेकिन सामान्य रूप से सतह की स्थिति के लिए अलग ऊर्जा स्तर प्राप्त होता है।

=== सही सतह की स्थिति और सतह अनुनाद ===
एक सतह अवस्था ऊर्जा द्वारा वर्णित है <math>E_s</math> और इसकी तरंग सदिश <math>\textbf{k}_{||}</math> सतह के समानांतर, जबकि एक विस्तृत अवस्था दोनों <math>\mathbf{k}_{||}</math> और <math>\mathbf{k}_\perp</math> तरंग संख्या की विशेषता है। सतह के द्वि-आयामी ब्रिलौइन क्षेत्र में, के प्रत्येक मान के लिए <math>\mathbf{k}_{||}</math> इसलिए की एक छड़ <math>\mathbf{k}_\perp</math> विस्तृत के त्रि-आयामी ब्रिलॉइन क्षेत्र में विस्तार हो रहा है। विस्तृत [[ऊर्जा बैंड|ऊर्जा अंतराल]] जो इन छड़ों द्वारा परिच्छेदित किए जा रहे हैं, उन अवस्थाों को स्वीकृति देते हैं जो क्रिस्टल में गहनता से प्रवेश करते हैं। एक इसलिए सामान्य रूप से वास्तविक सतह अवस्थाों और सतह अनुनादों के बीच अंतर करता है। दो सतह अवस्थाओ को ऊर्जा अंतराल की विशेषता होती है जो विस्तृत ऊर्जा अंतराल के साथ पतित नहीं होते हैं। ये अवस्थाएँ केवल ऊर्जा-अंतराल में सम्मिलित होती हैं और इसलिए सतह पर स्थानीयकृत होती हैं, '''चित्र 3''' में दी गई तस्वीर के समान होती है। ऊर्जा में जहाँ एक सतह और एक विस्तृत अवस्था पतित होती है, सतह और विस्तृत अवस्था मिश्रित हो सकती है, जिससे [[सतह प्रतिध्वनि]] बन सकती है। इस तरह की स्थिति बलोच तरंगों के समान विस्तार में गहनता तक विस्तृत की सकती है, जबकि सतह के समीप एक बढ़ाया आयाम बनाए रखती है।

== टैम अवस्थाओ ==
सतह अवस्थाओ जिनकी गणना एक दृढ बंधन मॉडल के रूपरेखा में की जाती है, उन्हें प्रायः टैम अवस्थाओ कहा जाता है। तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलनों को सामान्य रूप से परमाणु कक्षीय आणविक कक्षीय विधि (एलसीएओ) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है, '''चित्र 5''' देखें। इस तस्वीर में, यह समझना आसान है कि सतह का अस्तित्व उत्पन्न होगा विस्तृत अवस्थाओं की ऊर्जा से भिन्न ऊर्जा वाली सतह अवस्थाएँ: चूंकि सबसे ऊपरी सतह परत में रहने वाले परमाणु एक तरफ अपने बंधन भागीदारों को स्थापित कर रहे हैं, इसलिए उनके कक्षीय में प्रतिवेशी परमाणुओं के कक्षीय के साथ कम अधिव्याप्त होता है। इसलिए क्रिस्टल बनाने वाले परमाणुओं के ऊर्जा स्तरों का विभाजन और स्थानांतरण विस्तृत की तुलना में सतह पर छोटा होता है।

यदि रासायनिक बंधन के लिए एक विशेष [[परमाणु कक्षीय]] अधीन है, उदा। ''sp<sup>3</sup>'' Si या Ge में संकर, यह सतह की उपस्थिति से दृढ़ता से प्रभावित होता है, और आबन्ध टूट जाते हैं, और कक्षीय के शेष भाग सतह से बाहर निकल जाते हैं। उन्हें दोलनी बंधन कहा जाता है। ऐसे अवस्थाों के ऊर्जा स्तरों में विस्तृत मानो से अपेक्षाकृत बदलाव की उपेक्षा है।

शॉक्ले अवस्थाों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के विपरीत, टैम अवस्था भी संक्रमण धातुओं और [[वाइड-बैंडगैप सेमीकंडक्टर|विस्तृत ऊर्जा-अंतराल]] अर्ध-चालकों का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं।

== बाहरी सतह अवस्थाएँ ==
स्वच्छ और सुव्यवस्थित सतहों से उत्पन्न होने वाली सतही अवस्थाओं को सामान्य रूप से [[आंतरिक]] कहा जाता है। इन अवस्थाों में पुनर्निर्मित सतहों से उत्पन्न होने वाले अवस्था सम्मिलित हैं, जहां द्वि-आयामी स्थानांतरण समरूपता सतह के k स्थान में बैंड संरचना को उत्पन्न कर देती है।

बाहरी सतह अवस्थाों को सामान्य रूप से ऐसे अवस्थाों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक साफ और सुव्यवस्थित सतह से उत्पन्न नहीं होते हैं। बाहरी श्रेणी में आने वाली सतहें हैं:<ref name="Seidel">{{cite book|author1=Frederick Seitz |author2=Henry Ehrenreich |author3=David Turnbull |title= भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था|publisher=Academic Press|year=1996|pages=80–150|isbn=0-12-607729-0}}</ref>
# दोष वाली सतहें, जहां सतह की स्थानांतरण समरूपता अलग हो जाती है।
# अवशोषक के साथ सतहें
# दो पदार्थों के बीच अंतराफलक, जैसे अर्द्धचालक-ऑक्साइड या अर्द्धचालक-धात्विक अंतराफलक
# ठोस और तरल चरणों के बीच अंतराफलक।

सामान्य रूप से, बाहरी सतह अवस्थाों को उनके रासायनिक, भौतिक या संरचनात्मक गुणों के संदर्भ में आसानी से वर्णित नहीं किया जा सकता है।

== प्रायोगिक अवलोकन ==

=== कोण समाधानित फोटो उत्सर्जन स्पेक्ट्रमदर्शी ===
सतह की अवस्थाओं के विस्तारित को मापने के लिए एक प्रायोगिक तकनीक कोण से संशोधित की गई प्रकाश उत्सर्जन स्पेक्ट्रमदर्शी (एआरपीईएस) या कोण समाधानित की गई [[पराबैंगनी फोटोइलेक्ट्रॉन स्पेक्ट्रोस्कोपी|पराबैंगनी प्रकाश-इलेक्ट्रॉन स्पेक्ट्रमदर्शी]] (एआरयूपीएस) है।

===[[स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप|क्रमवीक्षण टनलिंग]] सूक्ष्मदर्शी===
सतह अवस्था विस्तारित को क्रमवीक्षण टनलिंग सूक्ष्मदर्शी का उपयोग करके मापा जा सकता है; इन प्रयोगों में, सतह की स्थिति घनत्व में आवधिक मॉडुलन, जो सतह की अशुद्धियों या चरण कोरों के प्रकीर्णन से उत्पन्न होते हैं, जिसको किसी दिए गए पूर्वाग्रह वोल्टेज पर एसटीएम टिप द्वारा मापा जाता है। सतही अवस्था वाले इलेक्ट्रॉनों का तरंग सदिश बनाम बायस (ऊर्जा) प्रभावी द्रव्यमान और सतह अवस्था की प्रारम्भिक ऊर्जा के साथ एक मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल के लिए उपयुक्त हो सकता है।<ref name='"Oka 2014"'>{{cite journal |last1=Oka |first1=H. |display-authors=etal |title=Spin-polarized quantum confinement in nanostructures: Scanning tunneling microscopy |journal=Rev. Mod. Phys. |date=2014 |volume=86 |issue=4 |page=1127 |doi=10.1103/RevModPhys.86.1127 |bibcode=2014RvMP...86.1127O |url=https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.86.1127 |access-date=3 September 2021}}</ref>


== हाल ही का नया सिद्धांत ==
एक स्वाभाविक रूप से सरल लेकिन मौलिक प्रश्न यह है कि लंबाई के एक-आयामी क्रिस्टल <math> N a </math> (<math> a </math> संभावित अवधि है, और N एक धनात्मक पूर्णांक है) में ऊर्जा अंतराल में कितनी सतह अवस्था हैं? 1933 में पहली बार फाउलर<ref name="Fowler">{{cite journal | last = Fowler | first = R.H.| title = कंडक्टर और इंसुलेटर के कुछ इलेक्ट्रॉनिक गुणों पर नोट्स| year = 1933 |journal = Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character| volume = 141 |issue = 843 | pages = 56–71 | doi= 10.1098/rspa.1933.0103| bibcode = 1933RSPSA.141...56F| s2cid = 122900909}}</ref> द्वारा प्रस्तावित एक अच्छी तरह से स्वीकृत अवधारणा, फिर सेइट्स की उत्कृष्ट पुस्तक<ref name="Seitz"> {{cite book | last = Seitz | first = F. | title = The Modern Theory of Solids | pages =323 | year = 1940 | publisher = New York, McGraw-Hill}}</ref> में लिखा गया कि "एक परिमित एक-आयामी क्रिस्टल में सतह की स्थिति जोड़े में होती है, एक अवस्था क्रिस्टल के प्रत्येक सिरे से जुड़ा होता है।<ref name="Davison"> {{cite book | last1 = Davison | first1 = S. D. | last2= Stęślicka |first2 = M.| title = Basic Theory of Surface States| year = 1992 | publisher = Oxford, Clarendon Press |doi = 10.1007/978-3-642-31232-8_3 }}</ref> "ऐसा प्रतीत होता है कि लगभग एक शताब्दी के बाद से इस तरह की अवधारणा पर कभी संदेह नहीं किया गया, जैसा कि उदाहरण के लिए, में दिखाया गया है।<ref name="Ren2002">
{{cite journal | last = Ren | first = Shang Yuan |title = Two Types of Electronic States in One-dimensional Crystals of Finite length | year = 2002 | journal = Annals of Physics |volume = 301 | issue = 1 |pages = 22–30 | doi = 10.1006/aphy.2002.6298 | arxiv = cond-mat/0204211 | bibcode = 2002AnPhy.301...22R | s2cid = 14490431 }}</ref><ref name="Ren2006">
{{cite book | last = Ren | first = Shang Yuan |title = Electronic States in Crystals of Finite Size: Quantum Confinement of Bloch Waves | year = 2006 | publisher = New York, Springer | bibcode = 2006escf.book.....R }}</ref><ref name="Ren2017">{{cite book | last = Ren | first = Shang Yuan |title = Electronic States in Crystals of Finite Size: Quantum Confinement of Bloch Waves | edition = 2 | year = 2017 | publisher = Singapore, Springer }}</ref> हालांकि, हाल की एक नई जांच बिल्कुल अलग प्रतिक्रिया देता है।<nowiki>''</nowiki>

जांच आवधिक अंतर समीकरणों के गणितीय सिद्धांत के आधार पर परिमित आकार के आदर्श क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाों को समझने का प्रयास करती है।<ref name="eastham1973">{{cite book | last = Eastham | first = M.S.P. |title = आवधिक विभेदक समीकरणों का वर्णक्रमीय सिद्धांत| year = 1973 | publisher = Edinburgh, Scottish Academic Press}}</ref> यह सिद्धांत उन इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाओं की कुछ मौलिक नई समझ प्रदान करता है, जिसमें सतही अवस्थाएँ भी सम्मिलित हैं।

सिद्धांत में पाया गया कि दो सिरों वाला एक आयामी परिमित क्रिस्टल <math> \tau </math> और <math> N a + \tau </math> सदैव एक और केवल एक अवस्था होती है जिसकी ऊर्जा और गुण है, और <math> \tau </math> लेकिन नहीं <math> N </math> प्रत्येक ऊर्जा-अंतराल के लिए निर्भर करते हैं। यह अवस्था या तो एक ऊर्जा अवधि अवस्था है या ऊर्जा-अंतराल में (देखें, [[एक आयामी जाली में कण|एक आयामी लेटिस में कण]], एक बॉक्स में कण) एक सतह अवस्था है । संख्यात्मक गणनाओं ने ऐसे निष्कर्षों की पुष्टि की है।<ref name="Ren2006"/><ref name="Ren2017"/> इसके अतिरिक्त, इन व्यवहारों को विभिन्न एक-आयामी प्रणालियों में देखा गया है, जैसे कि <ref name="Hladky2005">
{{cite journal | last1= Hladky-Henniona |first1 = Anne-Christine | last2=Allan | first2 = Guy |title = Localized modes in a one-dimensional diatomic chain of coupled spheres| year = 2005 | journal = Journal of Applied of Physics |volume = 98 | issue = 5 |pages = 054909 (1-7) | doi = 10.1063/1.2034082|bibcode = 2005JAP....98e4909H |url = https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00124477/file/Hladky-Hennion_2005_1.2034082.pdf }}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Ren|first1= Shang Yuan|last2=Chang|first2= Yia-Chung| title = परिमित एक आयामी ध्वन्यात्मक क्रिस्टल में परिरोध प्रभाव का सिद्धांत| year = 2007 | journal = Physical Review B |volume = 75 | issue = 21 |pages = 212301(1-4) | doi = 10.1103/PhysRevB.75.212301|bibcode= 2007PhRvB..75u2301R}}</ref><ref name="EL2007">
{{cite journal | last1 = El Boudouti | first1 = E. H. |title = Two types of modes in finite size one-dimensional coaxial photonic crystals: General rules and experimental evidence| year = 2007 | journal = Physical Review E |volume = 76 | issue = 2 |pages = 026607(1-9) | doi = 10.1103/PhysRevE.76.026607| pmid = 17930167 | bibcode = 2007PhRvE..76b6607E | url = https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00283161/file/elboudouti2007.pdf }}</ref><ref name="ELB2007">
{{cite journal | last1= El Boudouti |first1 = E. H.| last2 = El Hassouani | first2 = Y. | last3 = Djafari-Rouhani | first3  = B.| last4 = Aynaou | first4  = H.  |title = Surface and confined acoustic waves in finite size 1D solid-fluid phononic crystals | year = 2007 | journal = Journal of Physics: Conference Series |volume = 92 | issue = 1 |pages = 1–4 | doi = 10.1088/1742-6596/92/1/012113 | bibcode=2007JPhCS..92a2113E | s2cid=250673169 }}</ref><ref name="ELH2008">
{{cite journal | last1 = El Hassouani | first1 = Y.| last2= El Boudouti |first2 = E. H.| last3 = Djafari-Rouhani | first3  = B.|
last4=Rais |first4=R | title = Sagittal acoustic waves in finite solid-fluid superlattices: Band-gap structure, surface and confined modes, and omnidirectional reflection and selective transmission | year = 2008 | 
journal = Physical Review B |volume = 78 | issue = 1 | pages = 174306（1–23） | doi = 10.1103/PhysRevB.78.174306| bibcode = 2008PhRvB..78q4306E| url = https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00357386/file/elhassouani2008.pdf}}</ref><ref name="EL2009">
{{cite journal | last1= El Boudouti |first1 = E. H.| last2 = Djafari-Rouhani | first2 = B. | last3 = Akjouj | first3  = A.| last4 = Dobrzynski | first4  = L. |title = Acoustic waves in solid and fluid layered materials| year = 2009 | journal =Surface Science Reports |volume = 64 | issue = 1 |pages = 471–594 | doi = 10.1016/j.surfrep.2009.07.005 | bibcode=2009SurSR..64..471E }}</ref><ref name="ELH2013">
{{cite book|last1=El Hassouani|first1=Y.|last2=El Boudouti|first2=E.H.|last3=Djafari-Rouhani|first3=B.|editor-last=Deymier|editor-first=P.A.|title=Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals, Springer Series in Solid-State Sciences 173|chapter=One-Dimensional Phononic Crystals|series=Springer Series in Solid-State Sciences | year = 2013 |volume=173 |pages=45–93 | publisher = Berlin, Springer-Verlag |doi = 10.1007/978-3-642-31232-8_3 |isbn=978-3-642-31231-1 }}</ref>

इसलिए:
*सतह अवस्था की मूलभूत गुण यह है कि इसका अस्तित्व और गुण आवधिकता खंडन के स्थान पर निर्भर करते हैं।
* लेटिस की आवधिक विभव का खंडन ऊर्जा-अंतराल में सतह की स्थिति का कारण बन सकता है या नहीं भी हो सकता है।
* परिमित लंबाई का एक आदर्श एक आयामी क्रिस्टल <math> L = N a </math> दो सिरों के साथ, प्रत्येक ऊर्जा-अंतराल में एक सिरे पर अधिकतम, केवल एक सतह स्थिति हो सकती है।

बहु-आयामी स्थितियों तक विस्तारित आगे की जांच में पाया गया कि
* आदर्श सरल त्रि-आयामी परिमित क्रिस्टल में शीर्ष के समान, कोर के समान, सतह-जैसी और विस्तार-जैसी अवस्थाएँ हो सकती हैं।
* सतह की स्थिति सदैव एक ऊर्जा-अंतराल में होती है जो केवल एक आयामी स्थितियों के लिए मान्य होती है।

==संदर्भ==
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