View source for सदिश माप

गणित में, सदिश माप फलन (गणित) है। जो समुच्चयों के वर्ग पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्पेस मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का सामान्यीकरण है। जो केवल गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] मान लेता है।
== परिभाषाएं और पहला परिणाम ==

समुच्चय के क्षेत्र को देखते हुए <math>(\Omega, \mathcal F)</math> और [[बनच स्थान|बनच स्पेस]] <math>X,</math> परिमित रूप से योज्य सदिश माप (या माप, संक्षेप में) फलन <math>\mu:\mathcal {F} \to X</math> है। ऐसा है कि के लिए <math>\mathcal{F}</math> में कोई भी दो असंयुक्त समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> हैं
<math display="block">\mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B).</math>
<math>\mathcal F</math> में असंयुक्त समुच्चयों के किसी [[अनुक्रम]] <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> के लिए सदिश माप <math>\mu</math> को गणनीय योगात्मक कहा जाता है। जिससे उनका मिलन हो <math>\mathcal F</math> में यह इसे धारण करता है |
<math display="block">\mu{\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)} = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)</math>
बानाच स्पेस के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर [[श्रृंखला (गणित)]] के साथ <math>X.</math> यह सिद्ध किया जा सकता है कि योज्य सदिश माप <math>\mu</math> किसी भी अनुक्रम के लिए यदि और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> है। जैसा ऊपर वाले के पास है।
{{NumBlk||<math display="block">\lim_{n\to\infty} \left\|\mu{\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)}\right\| = 0, </math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}
जहाँ <math>\|\cdot\|</math> [[सिग्मा-बीजगणित]] पर परिभाषित <math>X.</math> गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। <math>[0, \infty),</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

== उदाहरण ==

अंतराल <math>[0, 1]</math> से बने समुच्चय के क्षेत्र पर विचार करें वर्ग के साथ इस अंतराल में सम्मिलित सभी लेबेस्ग औसत दर्जे का समुच्चय <math>\mathcal F</math> के साथ ऐसे किसी भी समुच्चय के लिए <math>A,</math> परिभाषित कीजिए |

जहाँ <math>\chi</math> <math>A.</math> का सूचक कार्य है। जहाँ <math>\mu</math> मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।

* <math>\mu,</math> <math>\mathcal F</math> से <math>L^p</math>-स्पेस <math>L^\infty([0, 1]),</math> फलन के रूप में देखा गया सदिश माप है। जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
* <math>\mu,</math> जिसे <math>\mathcal F</math> तक <math>L^p</math>-स्पेस <math>L^1([0, 1]),</math>तक फलन के रूप में देखा गया गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।

ये दोनों कथन ऊपर बताए गए मानदंड ({{EquationNote|*}}) से अधिक सरलता से अनुसरण करते हैं।

== सदिश माप की भिन्नता ==

सदिश माप दिया गया <math>\mu : \mathcal{F} \to X,</math> भिन्नता <math>|\mu|</math> का <math>\mu</math> परिभाषित किया जाता है।
<math display="block">|\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|</math>
जहां समुच्चय के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है।
<math display="block">A = \bigcup_{i=1}^n A_i</math>
<math>\mathcal{F}.</math> में सभी <math>A</math> के लिए <math>A</math> का असंयुक्त समुच्चय की परिमित संख्या में यहाँ <math>\|\cdot\|</math><math>\mu</math> का परिवर्तन <math>[0, \infty].</math> में मान लेने वाला परिमित रूप से योज्य फलन है। यह मानता है।
<math display="block">\|\mu(A)\| \leq |\mu|(A)</math>
किसी <math>\mathcal{F}.</math> के लिए <math>A</math> में यदि <math>|\mu|(\Omega)</math> परिमित है, <math>\mu</math> परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई प्रमाणित कर सकता है कि यदि <math>\mu</math> परिबद्ध भिन्नता का सदिश माप है, तब <math>\mu</math> गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि <math>|\mu|</math> गणनीय योगात्मक है।

== ल्यपुनोव का प्रमेय ==

सदिश माप के सिद्धांत में, [[एलेक्सी लायपुनोव]]<nowiki> का प्रमेय</nowiki> बताता है कि ([[परमाणु (माप सिद्धांत)]] गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] और [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] है।<ref name="KluvanekKnowles">[[Igor Kluvánek|Kluvánek, I.]], Knowles, G., ''Vector Measures and Control Systems'', North-Holland Mathematics Studies&nbsp;'''20''', Amsterdam, 1976.</ref><ref name="DiestelUhl" >{{cite book|last1=Diestel|first1=Joe| last2=Uhl|first2=Jerry&nbsp;J.,&nbsp;Jr.|title=वेक्टर उपाय|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I|year=1977|isbn=0-8218-1515-6}}</ref><ref name="RolewiczControl">{{Cite book|title=Functional analysis and control theory: Linear systems|last=Rolewicz |first=Stefan|year=1987| isbn=90-277-2186-6| publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers|oclc=13064804|edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk|series=Mathematics and its Applications (East European Series)|location=Dordrecht; Warsaw|volume=29|pages=xvi+524|mr=920371}}</ref> वास्तव में, गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल समुच्चय जो [[ज़ोनोटोप]] के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)।<ref name="DiestelUhl"/> इसका उपयोग [[गणितीय अर्थशास्त्र]] में किया जाता है,<ref>{{Cite book | last=Roberts|first=John |author-link=Donald John Roberts|chapter=Large economies|title=''न्यू पालग्रेव'' में योगदान|editor=David M. Kreps|editor1-link=David M. Kreps|editor2=John Roberts|editor2-link=Donald John Roberts|editor3=Robert B. Wilson |editor3-link=Robert B. Wilson|date=July 1986|pages=30–35|url=https://gsbapps.stanford.edu/researchpapers/library/RP892.pdf |access-date=7 February 2011|series=Research paper|volume=892|publisher=Graduate School of Business, Stanford University |location=Palo Alto,&nbsp;CA|id=(Draft of articles for the first edition of ''New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics'')}}</ref><ref name="Aumann" >{{cite journal|author-link=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann|title=व्यापारियों की निरंतरता के साथ बाजारों में प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व|journal=Econometrica|volume=34|number=1|date=January 1966 |pages=1–17 |jstor=1909854|mr=191623|doi=10.2307/1909854|s2cid=155044347 }} This paper builds on two papers by Aumann: <p> {{cite journal <!-- | authorlink=Robert Aumann-->|title=Markets with a continuum of traders |journal=Econometrica |volume=32|number=1–2|date=January–April 1964|pages=39–50|jstor=1913732|mr=172689 |doi=10.2307/1913732 |last1=Aumann |first1=Robert J.}}</p>
<p> {{cite journal <!-- authorlink=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann -->|title=Integrals of set-valued functions |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=12|number=1|date=August 1965|pages=1–12 | doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |mr=185073|last1=Aumann|first1=Robert J.}}</p></ref><ref>{{cite news|last=Vind|first=Karl | date=May 1964|title=कई व्यापारियों के साथ विनिमय अर्थव्यवस्था में एजवर्थ-आवंटन|journal=International Economic Review | volume=5|pages=165–77|number=2|jstor=2525560}} Vind's article was noted by {{harvtxt|Debreu|1991|p=4}} with this comment:
<blockquote>
The concept of a convex&nbsp;set (i.e., a set containing the segment connecting any two of its points) had repeatedly been placed at the center of economic&nbsp;theory before&nbsp;1964. It appeared in a new&nbsp;light with the introduction of integration&nbsp;theory in the study of economic&nbsp;competition: If<!-- original "if" inconsistent with our capitization  --> one associates with every&nbsp;agent of an economy an arbitrary&nbsp;set in the commodity&nbsp;space and ''if one averages those individual&nbsp;sets'' over a collection of insignificant agents, ''then the resulting set is necessarily convex''. [Debreu appends this footnote: "On this direct consequence of a theorem of A.&nbsp;A.&nbsp;Lyapunov, see {{harvtxt|Vind|1964}}."] But explanations of the <!-- three --> ... functions of prices <!-- taken as examples --> ... can be made to rest&nbsp;on the ''convexity of sets derived by that averaging&nbsp;process''. ''Convexity'' in the commodity&nbsp;space ''obtained by aggregation'' over a collection of insignificant&nbsp;agents is an insight that economic&nbsp;theory owes <!-- in its revealing clarity --> ... to integration&nbsp;theory. [''Italics added'']
</blockquote>
{{cite news|title=The Mathematization of economic theory|first=Gérard|last=Debreu|author-link=Gérard Debreu|issue=Presidential address delivered at the&nbsp;103rd meeting of the American Economic Association,&nbsp;29 December&nbsp;1990, Washington,&nbsp;DC | journal=The American Economic Review |volume=81, number 1|date=March 1991|pages=1–7|jstor=2006785}}
</ref> जिसमें (बैंग-बैंग नियंत्रण) [[नियंत्रण सिद्धांत]],<ref name="KluvanekKnowles"/><ref name="RolewiczControl"/><ref>{{cite book|title=कार्यात्मक विश्लेषण और समय इष्टतम नियंत्रण|last1=Hermes|first1=Henry |last2=LaSalle|first2=Joseph&nbsp;P.|series=Mathematics in Science and Engineering|volume=56|publisher=Academic Press|location=New York—London|year=1969|pages=viii+136|mr=420366}}</ref><ref name="Artstein"/> और [[सांख्यिकीय सिद्धांत]] में <ref name="Artstein" >{{cite journal|last=Artstein|first=Zvi|title=Discrete&nbsp;and&nbsp;continuous bang-bang and facial&nbsp;spaces, or: Look for the extreme points|journal=SIAM Review|volume=22|year=1980|number=2|pages=172–185|doi=10.1137/1022026|jstor=2029960|mr=564562}}</ref> लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।<ref>{{cite journal|last=Tardella|first=Fabio|title=A new proof of the Lyapunov convexity&nbsp;theorem|journal=SIAM Journal on Control and Optimization|volume=28|year=1990|number=2| pages=478–481|doi=10.1137/0328026|mr=1040471}}</ref> जिसे असतत असतत गणित के रूप में देखा गया है। लायपुनोव के प्रमेय के निरंतर गणित के असतत अनुरूप है।<ref name="Artstein" /><ref name="Starr08" >{{cite book|last=Starr|first=Ross&nbsp;M.|author-link=Ross Starr|chapter=Shapley–Folkman theorem|title=The New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics|editor-first=Steven&nbsp;N.|editor-last=Durlauf|editor2-first=Lawrence&nbsp;E.,&nbsp;ed.|editor2-last=Blume|publisher=Palgrave Macmillan|year=2008|edition=Second|pages=317–318 (1st&nbsp;ed.)| url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000107|doi=10.1057/9780230226203.1518| isbn=978-0-333-78676-5}}</ref><ref>Page 210: {{cite journal|last=Mas-Colell|first=Andreu|author-link=Andreu Mas-Colell|title=A note on the core&nbsp;equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?|journal=Journal of Mathematical Economics| volume=5| year=1978| number=3| pages=207–215|doi=10.1016/0304-4068(78)90010-1|mr=514468}}</ref>
== यह भी देखें ==

* {{annotated link|बोचनर मापने योग्य कार्य}}
* {{annotated link|बोचनर अभिन्न}}
* {{annotated link|बॉचनर स्पेस}}
* {{annotated link|जटिल मापदंड}}
* {{annotated link|हस्ताक्षरित परिमाण}}
* {{annotated link|सदिश-मूल्यवान कार्य}}
* {{annotated link|अशक्त परिमाण का कार्य}}

== संदर्भ ==

{{reflist|group=note}}
{{reflist}}


== ग्रन्थसूची ==

* {{cite book|last=Cohn|first=Donald L.|title=Measure theory|place=Boston&ndash;Basel&ndash;Stuttgart|publisher=[[Birkhäuser Verlag]]|orig-year=1980|year=1997|edition=reprint|pages=IX+373|url=https://books.google.com/books?id=vRxV2FwJvoAC&q=Measure+theory+Cohn|zbl=0436.28001|isbn=3-7643-3003-1}}
*{{cite book|last1 =Diestel|first1=Joe|last2 =Uhl|first2=Jerry&nbsp;J.,&nbsp;Jr.|title =Vector measures|series=Mathematical Surveys|volume=15|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I|year=1977|pages=xiii+322|isbn=0-8218-1515-6}}
* [[Igor Kluvánek|Kluvánek, I.]], Knowles, G, ''Vector Measures and Control Systems'', North-Holland Mathematics Studies&nbsp;'''20''', Amsterdam, 1976.
* {{springerEOM|title=Vector measures|id=Vector_measure|first=D. |last=van Dulst}}
* {{cite book|last1=Rudin|first1=W|title=Functional analysis|url=https://archive.org/details/functionalanalys00rudi_320|url-access=limited|date=1973|publisher=McGraw-Hill|location=New York|page=[https://archive.org/details/functionalanalys00rudi_320/page/n123 114]|isbn=9780070542259}}

{{Analysis in topological vector spaces}}
{{Functional analysis}}
{{Measure theory}}
[[Category: नियंत्रण सिद्धांत]] [[Category: कार्यात्मक विश्लेषण]] [[Category: उपाय (माप सिद्धांत)]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 25/05/2023]]