View source for समान भुजाओं वाला त्रिकोण

{{Short description|Shape with three equal sides}}
{{Infobox polygon
| name      = समान भुजाओं वाला त्रिकोण
| image     = Triangle.Equilateral.svg
| type      = [[Regular polygon]]
| edges     = 3
| schläfli  = {3}
| coxeter   = {{CDD|node_1|3|node}}
| symmetry  = [[dihedral symmetry|D<sub>3</sub>]]
| area      = <math>\tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2</math>
| angle     = 60°}}
[[ज्यामिति]] में, एक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें तीनों भुजाओं की लंबाई समान होती है। सामान्य [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक समबाहु त्रिभुज [[समबाहु बहुभुज|समकोणीय]] भी होता है, अर्थात् तीनों आंतरिक [[कोण]] भी एक-दूसरे के सर्वांगसम होते हैं और प्रत्येक 60° के हैं। यह एक [[नियमित बहुभुज]] भी है, इसलिए इसे एक नियमित त्रिभुज भी कहा जाता है।

== प्रमुख गुण ==
[[File:Equilateral-triangle-heights.svg|300px|thumb|समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ हैं (<math>a = b = c</math>), समान कोण (<math>\alpha = \beta =\gamma</math>) और समान ऊंचाई (<math>h_a = h_b = h_c</math>)]]
<!--Please do not change the formulas, because they are correct. Check your work if you do.-->
समबाहु त्रिभुज की भुजाओं की सामान्य लंबाई को <math>a</math> के रूप में नकारते हुए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि:
*क्षेत्रफल है <math>A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2,</math>
*परिधि है <math>p=3a\,\!</math>
* परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है <math>R = \frac{a}{\sqrt{3}}</math>
*[[त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त|उत्कीर्ण वृत्त]] की त्रिज्या है <math>r=\frac{\sqrt{3}}{6} a</math> या <math> r=\frac{R}{2}</math>
*त्रिभुज का ज्यामितीय केंद्र परिबद्ध और खुदा हुआ चक्रों का केंद्र है
* किसी भी ओर से ऊँचाई (त्रिकोण ऊंचाई) है <math>h=\frac{\sqrt{3}}{2} a</math>
परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या को R के रूप में नकारते हुए [[त्रिकोणमिति]] का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि:
*त्रिभुज का क्षेत्रफल है <math>\mathrm{A}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2
</math>
इनमें से कई मात्रा का विपरीत दिशा से प्रत्येक शीर्ष की ऊँचाई (h) से सरल संबंध है:
*क्षेत्रफल है <math>A=\frac{h^2}{\sqrt{3}}</math>
*हर तरफ से केंद्र की ऊंचाई या अंतः त्रिज्या है <math>\frac{h}{3} </math>
*तीन शीर्षों को घेरने वाले वृत्त की त्रिज्या है <math>R=\frac{2h}{3} </math>
*उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है <math>r=\frac{h}{3}</math>
एक समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब, कोण समद्विभाजक, लंब समद्विभाजक और प्रत्येक भुजा की माध्यिकाएँ संपाती होती हैं।

== लक्षण वर्णन ==
<!--Please do not remove this section, see the Talk page for an explanation of the difference between properties and characterizations-->
एक त्रिभुज <math>ABC</math> जिसकी भुजाएँ हैं <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, अर्धपरिधि <math>s</math>, [[क्षेत्र|क्षेत्रफल]] <math>T</math>, exradii <math>r_{a}</math>, <math>r_{b}</math>, <math>r_{c}</math> (स्पर्शरेखा <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> क्रमशः) जहाँ <math>R</math> और <math>r</math> क्रमशः परिवृत्त और अंतःवृत्त की त्रिज्याएँ समबाहु होती हैं और केवल तभी जब निम्नलिखित नौ श्रेणियों में से कोई एक कथन सत्य हो इस प्रकार ये ऐसे गुण हैं जो समबाहु त्रिभुजों के लिए अद्वितीय हैं और यह जानना कि उनमें से कोई एक सत्य हैं, सामान्य तौर पर यह दर्शाता है कि हमारे पास समबाहु त्रिभुज है।

=== भुजाएँ ===
*<math> a=b=c</math>
*<math> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}</math><ref>{{cite journal |last1=Bencze |first1=Mihály |last2=Wu |first2=Hui-Hua |last3=Wu |first3=Shan-He |date=2008 |title=मौलिक त्रिभुज असमानता और उसके अनुप्रयोगों का एक समतुल्य रूप|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/JIPAM/images/275_08_JIPAM/275_08.pdf |journal=Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics |volume=10 |issue=1 |pages=1–6 (Article No. 16) |issn=1443-5756 |mr=2491926 |s2cid=115305257 |zbl=1163.26316 }}</ref>


=== अर्धपरिधि ===
*<math> s = 2R + \left(3\sqrt{3} - 4\right)r</math><ref>{{cite journal |last1=Dospinescu |first1=G. |last2=Lascu |first2=M. |last3=Pohoata |first3=C. |last4=Letiva |first4=M. |title=ब्लंडन की असमानता का एक प्रारंभिक प्रमाण|journal=Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics |date=2008 |volume=9 |issue=4 |url=http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/220_08_JIPAM/220_08_www.pdf |pages=1-3 (Paper No. 100) |issn=1443-5756 |s2cid=123965364 |zbl=1162.51305 }}</ref> (ब्लंडन)
*<math> s^2=3r^2+12Rr</math><ref>{{cite journal |last1=Blundon |first1=W. J. |title=त्रिभुज से जुड़े कुछ बहुपदों पर|journal=[[Mathematics Magazine]] |year=1963 |volume=36 |issue=4 |publisher=[[Taylor & Francis]] |pages=247–248 |doi=10.2307/2687913 |jstor=2687913 |s2cid=124726536 |zbl=0116.12902 }}</ref>
*<math> s^2=3\sqrt{3}T</math><ref name=Alsina>{{cite book |last1=Alsina |first1=Claudi |last2=Nelsen |first2=Roger B. |title=जब कम ज्यादा हो। बुनियादी असमानताओं की कल्पना करना|url=https://www.maa.org/press/maa-reviews/when-less-in-more-visualizing-basic-inequalities |year=2009 |publisher=[[Mathematical Association of America]] |series=Dolciani Mathematical Expositions |volume=36 |location=Washington, D.C. |pages=71, 155 |doi=10.5948/upo9781614442028 |isbn=978-0-88385-342-9 |oclc=775429168 |s2cid=117769827 |mr=2498836 |zbl=1163.00008 }}</ref>
*<math> s=3\sqrt{3}r</math>
*<math> s=\frac{3\sqrt{3}}{2}R</math>


=== कोण ===
*<math> A=B=C=60^\circ</math>
*<math> \cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2}</math>
*<math> \sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}=\frac{1}{8}</math><ref name=Cosmin/>


=== क्षेत्र ===
*<math> T=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}\quad</math> (वीटजेनबॉक की असमानता)
*<math> T=\frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^\frac{2}{3}</math><ref name=Alsina/>


===परित्रिज्या, अंतःत्रिज्या और बाह्यत्रिज्या===
*<math> R=2r</math><ref name=Andreescu/>(चैपल-यूलर)
*<math> 9R^2=a^2+b^2+c^2</math><ref name=Andreescu/>*<math> r=\frac{r_a+r_b+r_c}{9}</math><ref name=Cosmin>{{cite journal |last1=Pohoata |first1=Cosmin |title=यूलर की अन्तःत्रिज्या का एक नया प्रमाण - परित्रिज्या असमानता|journal=Gazeta Matematica Seria B |date=2010 |issue=3 |pages=121–123 |url=http://rms.unibuc.ro/gazeta/gmb/2010/3/articol.pdf |s2cid=124244932 |zbl=}}</ref>
*<math> r_a=r_b=r_c</math>


=== समान [[ cevian |सीवियन]] ===
समबाहु त्रिभुजों के लिए तीन प्रकार के सेवियन मेल खाते हैं और समान हैं:<ref>{{cite book|last1=Owen |first1=Byer |last2=Felix |first2=Lazebnik |last3=Deirdre |first3=Smeltzer |author3-link=Deirdre Smeltzer |title=यूक्लिडियन ज्यामिति के तरीके|series=Classroom Resource Materials |volume=37 |date=2010 |publisher=[[Mathematical Association of America]] |pages=36, 39 |location=Washington, D.C. |url=https://archive.org/details/methodsforeuclid0000byer |url-access=registration |isbn=9780883857632 |oclc=501976971 |doi=10.5860/choice.48-3331 |s2cid=118179744 }}</ref>
*तीनों ऊँचाइयों (त्रिकोण) की लंबाई समान होती है।
*तीन माध्यिकाओं (ज्यामिति) की लंबाई समान होती है।
*तीन समद्विभाजक कोण द्विभाजक की लंबाई समान होती है।

=== संयोग [[त्रिकोण केंद्र]] ===
एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक त्रिभुज केंद्र उसके [[केन्द्रक]] के साथ मेल खाता है, जिसका तात्पर्य है कि समबाहु त्रिभुज एकमात्र त्रिभुज है जिसमें कुछ केंद्रों को जोड़ने वाली कोई यूलर रेखा नहीं है। त्रिभुज केंद्रों के कुछ युग्मों के लिए, तथ्य यह है कि वे मेल खाते हैं यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि त्रिभुज समबाहु है। विशेष रूप से:

*एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि परिकेन्द्र, अंत:केंद्र, केन्द्रक या लम्बकेन्द्र में से कोई भी दो मेल खाते हैं।<ref>{{cite web |last1=Yiu |first1=Paul |title=यूक्लिडियन ज्यामिति पर नोट्स|website=Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences |type=Course Notes |date=1998 |url=http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf }}</ref>{{rp|p.37}}
*यह भी समबाहु है यदि इसका परिकेन्द्र [[नागल बिंदु]] के साथ मेल खाता है, या यदि इसका अंतःकेन्द्र इसके नौ-बिंदु केंद्र के साथ मेल खाता है।<ref name=Andreescu>{{cite book |last1=Andreescu |first1=Titu |last2=Andrica |first2=Dorian |title=A से...Z तक सम्मिश्र संख्याएँ|date=2006 |publisher=[[Birkhäuser]] |edition=1st |location=Boston, MA |pages=70, 113–115 |url=https://archive.org/details/complexnumbersfr0000andr |url-access=registration |isbn=978-0-8176-4449-9 |doi=10.1007/0-8176-4449-0 |oclc=871539199 |s2cid=118951675 }}</ref>


===माध्यकों द्वारा विभाजन करके गठित छह त्रिभुज ===

किसी भी त्रिभुज के लिए तीन माध्यिकाएँ (ज्यामिति) त्रिभुज को छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।
*एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि किन्हीं तीन छोटे त्रिभुजों का परिमाप समान हो या अंतःत्रिज्या समान हो।<ref name=Cerin>{{cite journal|last1=Cerin|first1=Zvonko|title=वर्टेक्स-मिडपॉइंट-सेंट्रोइड त्रिकोण|journal=Forum Geometricorum|date=2004|volume=4|pages=97–109|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200413.pdf}}</ref>
*एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि किन्हीं तीन छोटे त्रिभुजों के परिकेन्द्रों के केन्द्रक से समान दूरी हो।<ref name=Cerin/>

=== सतह में बिंदु ===
*एक त्रिभुज समबाहु है यदि प्रत्येक बिंदु के लिए <math>P</math> सतह में दूरियों के साथ <math>p</math>, <math>q</math>, और <math>r</math> त्रिभुज की भुजाओं और दूरियों के लिए <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z</math> इसके शिखर तक <ref name=Crux/> <math display="block">4\left(p^2 + q^2 + r^2\right) \geq x^2 + y^2 + z^2.</math>


== उल्लेखनीय प्रमेय ==
[[File:Viviani_theorem_visual_proof.svg|thumb|विवियानी के प्रमेय का दृश्य प्रमाण
{{ordered list
| 1 = Nearest distances from point P to sides of equilateral triangle <math>ABC</math> are shown.
| 2 = Lines <math>DE</math>, <math>FG</math>, and <math>HI</math> parallel to <math>AB</math>, <math>BC</math> and <math>CA</math>, respectively, define smaller triangles <math>PHE</math>, <math>PFI</math> and <math>PDG</math>.
| 3 = As these triangles are equilateral, their altitudes can be rotated to be vertical.
| 4 = As <math>PGCH</math> is a parallelogram, triangle <math>PHE</math> can be slid up to show that the altitudes sum to that of triangle <math>ABC</math>.
}}]]मॉर्ले के ट्राइसेक्टर प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी त्रिकोण में, आसन्न [[कोण तिरछा|कोण ट्राइसेक्टर]] के चौराहे के तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

नेपोलियन के प्रमेय में कहा गया है कि यदि समबाहु त्रिभुज किसी भी त्रिभुज की भुजाओं पर या तो पूरी तरह से बाहर की ओर या सभी अंदर की ओर बनाए जाते हैं, तो उन समबाहु त्रिभुजों के केंद्र स्वयं एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता के एक संस्करण में कहा गया है कि दी गई परिधि वाले सभी में सबसे अधिक क्षेत्रफल वाला त्रिभुज समबाहु है।<ref name=Chakerian/>

विवियनी के प्रमेय में कहा गया है कि, किसी भी आंतरिक बिंदु <math>P</math> के लिए एक समबाहु त्रिभुज में दूरी <math>d</math>, <math>e</math> और <math>f</math> पक्षों और ऊंचाई <math>h</math> <math display="block">d+e+f = h,</math> <math>P</math> के स्थान से स्वतंत्र। <ref name=Posamentier>{{cite book|last1=Posamentier|first1=Alfred S.|last2=Salkind|first2=Charles T.|title=ज्यामिति में चुनौतीपूर्ण समस्याएं|url=https://archive.org/details/challengingprobl0000posa|url-access=registration|date=1996|publisher=Dover Publ.}}</ref>
पोम्पेयू के प्रमेय में कहा गया है कि यदि <math>P</math> एक समबाहु त्रिभुज <math>ABC</math> के तल में एक आरबिर्रटरी बिंदु है लेकिन इसके [[परिवृत्त]] पर नहीं है तो लंबाई की भुजाओं वाला एक त्रिभुज उपस्थित है <math>PA</math>, <math>PB</math> और <math>PC</math> अर्थात् <math>PA</math>, <math>PB</math>और <math>PC</math> त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करते हैं कि उनमें से किन्हीं दो का योग तीसरे से अधिक है। अगर <math>P</math> परिवृत्त पर है तो दो छोटे का योग सबसे लंबे के सामान है और त्रिकोण एक रेखा में पतित हो गया है, इस स्थिति को वैन शूटेन के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

== ज्यामितीय निर्माण ==

[[File:Equilateral triangle construction.svg|200px|thumb|right|परकार और स्ट्रेटईडज से समबाहु त्रिभुज की रचना]][[सीधा किनारा और कम्पास|स्ट्रेटईडज और परकार]] का उपयोग करके एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण आसानी से किया जा सकता है क्योंकि 3 एक [[फर्मेट प्राइम]] है। एक सीधी रेखा खींचें और रेखा के एक छोर पर कम्पास के बिंदु को रखें और उस बिंदु से रेखा खंड के दूसरे बिंदु पर एक चाप घुमाएँ पंक्ति के दूसरी ओर दोहराएं। अंत में उस बिंदु को जोडे़ जहां रेखा खंड के प्रत्येक छोर के साथ दो चाप प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिज्या <math>r</math> के साथ वृत्त खींचना एक वैकल्पिक तरीका है, कम्पास के बिंदु को वृत्त पर रखें और उसी त्रिज्या के साथ एक अन्य वृत्त बनाएं। दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे, वृत्तों के दो केंद्रों और प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से किसी एक को लेकर एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण किया जा सकता है।

दोनों विधियों में एक उप-उत्पाद [[ मछली मूत्राशय | वेसिका पिसिस]] का निर्माण होता है।

प्रमाण है कि परिणामी आकृति एक समबाहु त्रिभुज है, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में पहला प्रस्ताव हैं।

[[File:Equilateral_Triangle_Inscribed_in_a_Circle.gif|center]]

== क्षेत्र सूत्र की व्युत्पत्ति==
क्षेत्र सूत्र <math>A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2</math> पक्ष की लंबाई के संदर्भ में <math>a</math> पाइथागोरस प्रमेय या त्रिकोणमिति का उपयोग करके सीधे प्राप्त किया जा सकता है।

=== पायथागॉरियन प्रमेय का प्रयोग ===
त्रिभुज का क्षेत्रफल <math>a</math> भुजा का आधा होता है <math>h</math> उस तरफ की ऊँचाई है: 
<math display="block">A = \frac{1}{2} ah.</math>

[[File:Equilateral triangle with height square root of 3.svg|alt=|thumb|150x150px|2 भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई है {{math|[[Square root of 3|{{sqrt|3}}]]}}, जैसा कि 60° की ज्या है {{Math|{{sqrt|3}}/2}}.]]समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई से बने किसी भी समकोण त्रिभुज के लेग आधार <math>a</math> के आधे होते हैं और कर्ण समबाहु त्रिभुज की भुजा <math>a</math> होता हैं। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई पाई जा सकती है
<math display="block">\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2</math>
ताकि
<math display="block">h = \frac{\sqrt{3}}{2}a.</math>
<math>h</math> को क्षेत्रफल सूत्र <math>\frac{1}{2}ah</math> में प्रतिस्थापित करने पर समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र मिलता है:
<math display="block">A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.</math>


===त्रिकोणमिति का प्रयोग ===
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए किन्हीं दो भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल <math>a</math> और <math>b</math> और उनके बीच एक कोण <math>C</math> होता हैं।
<math display="block">A = \frac{1}{2} ab \sin C.</math>
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है, इसलिए
<math display="block">A = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ.</math>
60° की ज्या <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> है।

इस प्रकार
<math display="block">A = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2</math>
चूँकि समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

== अन्य गुण ==

एक समबाहु त्रिभुज सबसे सममित त्रिभुज होता है, जिसमें [[प्रतिबिंब समरूपता]] की 3 रेखाएँ और इसके केंद्र के बारे में क्रम 3 की [[घूर्णी समरूपता]] होती है, जिसका सममिति समूह क्रम 6 का द्वितल समूह होता है, <math>\mathrm D_{3}</math>. पूर्णांक-पक्षीय समबाहु त्रिभुज पूर्णांक भुजाओं वाला एकमात्र त्रिभुज है और तीन परिमेय कोणों को डिग्री में मापा जाता है।<ref name=CG>Conway, J. H., and Guy, R. K., "The only rational triangle", in ''The Book of Numbers'', 1996, Springer-Verlag, pp. 201 and 228–239.</ref> यह एकमात्र तीव्र त्रिभुज है जो इसके ऑर्थोथिक त्रिकोण के समान है <ref name=BG>Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", ''[[Mathematics Magazine]]'' 46 (1), January 1973, 7–19,</ref>{{rp|p. 19}} और एकमात्र त्रिभुज जिसका [[स्टाइनर इनलिप्स|स्टेनर इनलिप्स]] एक वृत्त है (विशेष रूप से, अंतःवृत्त)। किसी दिए गए वृत्त में अंकित सभी के सबसे बड़े क्षेत्र का त्रिभुज समबाहु होता है और किसी दिए गए वृत्त के चारों ओर परिचालित सभी के सबसे छोटे क्षेत्रफल का त्रिभुज भी समबाहु होता है।<ref>{{cite book|last1=Dörrie|first1=Heinrich|title=प्राथमिक गणित की 100 बड़ी समस्याएं|date=1965|publisher=Dover Publ.|pages=379–380}}</ref> [[वर्ग]] के अलावा यह एकमात्र नियमित बहुभुज है जिसे किसी अन्य नियमित बहुभुज के अंदर [[अंकित किया]] जा सकता है।

यूलर की असमानता के अनुसार समबाहु त्रिभुज में किसी भी त्रिभुज की परिधि <math>R</math> अंतःत्रिज्या <math>r</math> का सबसे छोटा अनुपात होता है <ref>{{cite journal|last1=Svrtan|first1=Dragutin| last2=Veljan|first2=Darko|title=कुछ शास्त्रीय त्रिभुज असमानताओं के गैर-यूक्लिडियन संस्करण|journal=Forum Geometricorum| date=2012|volume=12|pages=197–209|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217.pdf}}</ref>{{rp|p.198}} के साथ।<math display="block">\frac {R}{r} = 2.</math>
एक समबाहु त्रिभुज के आंतरिक भाग में एक बिंदु <math>P</math> दिया गया है, इसके शीर्षों से इसकी दूरियों के योग का अनुपात 2 से अधिक या इसके बराबर होता है, समानता धारण जब <math>P</math> केन्द्रक है। किसी अन्य त्रिकोण में ऐसा कोई बिंदु नहीं है जिसके लिए यह अनुपात 2 जितना छोटा हो।<ref>{{cite journal|last1=Lee|first1=Hojoo|title=Another proof of the Erdős–Mordell Theorem|journal=Forum Geometricorum|date=2001|volume=1|pages=7–8|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200102.pdf}}</ref> यह एर्डोस-मोर्डेल असमानता है; इसका एक मजबूत संस्करण बैरो की असमानता है, जो पार्श्वों की लंबवत दूरियों को <math>P</math> से उन बिन्दुओं तक की दूरी से बदल देता है, जहाँ <math>\angle APB</math> के कोण द्विभाजक होते हैं <math>\angle BPC</math> और <math>\angle CPA</math> किनारों को पार करते हैं<math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math> शीर्ष हैं। त्रिभुज असमानताओं की कई अन्य सूचियाँ हैं जो समानता के साथ हैं यदि त्रिभुज समबाहु है।

किसी भी बिंदु के लिए <math>P</math> सतह में दूरियों के साथ <math>p</math>, <math>q</math> और <math>t</math> कोने से <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math> क्रमशः <ref>Gardner, Martin, "Elegant Triangles", in the book ''Mathematical Circus'', 1979, p. 65.</ref>
<math display="block"> 3 \left(p^4 + q^4 + t^4 + a^4\right) = \left(p^2 + q^2 + t^2 + a^2\right)^2.</math>
किसी भी बिंदु के लिए <math>P</math> सतह में दूरियों के साथ <math>p</math>, <math>q</math> और <math>t</math> कोने से<ref name=Mamuka >{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2021|title=नियमित बहुभुज दूरी का चक्रीय औसत|journal= International Journal of Geometry |volume=10|pages=58–65|url= https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2020/12/4.-58-65.pdf }}</ref>
<math display="block"> p^2+q^2+t^2 = 3\left(R^2 + L^2\right),</math>
<math display="block"> p^4+q^4+t^4 = 3\left[\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2 R^2 L^2\right],</math>
जहाँ <math>R</math> परिबद्ध त्रिज्या है, <math>L</math> बिंदु के बीच की दूरी हैं और <math>P</math> समबाहु त्रिभुज का केन्द्रक।

किसी भी बिंदु के लिए <math>P</math> दूरियों के साथ एक समबाहु त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त पर <math>p</math>, <math>q</math> और <math>t</math> कोने से <ref name=De>{{cite journal|last1=De|first1=Prithwijit|title=एक समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त और अंतःवृत्त के जिज्ञासु गुण|journal=Mathematical Spectrum|date=2008|volume=41|issue=1|pages=32–35|url=http://www.appliedprobability.org/data/files/MS%20issues/Vol41_No1.pdf}}</ref>
<math display="block"> 4 \left(p^2 + q^2 + t^2\right) = 5a^2,</math>
<math display="block"> 16 \left(p^4 + q^4 + t^4\right) = 11a^4.</math>
किसी भी बिंदु के लिए <math>P</math> लघु चाप पर <math>BC</math> परिवृत्त का दूरियों के साथ <math>p</math>, <math>q</math>और <math>t</math> से <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math> क्रमश<ref name=Posamentier/>
<math display="block"> p = q + t,</math>
<math display="block"> q^2 + qt + t^2=a^2 .</math>
इसके अलावा यदि बिंदु <math>D</math> ओर <math>BC</math> विभाजित <math>PA</math> खंडों में <math>PD</math> और <math>DA</math> के साथ <math>DA</math> लंबाई <math>z</math> और <math>PD</math> लंबाई <math>y</math> है तब<ref name=Posamentier/>{{rp|172}}
<math display="block">z = \frac{t^2 + tq + q^2}{t + q},</math>
जो सामान है <math display="inline">\tfrac{t^3 - q^3}{t^2 - q^2}</math> अगर <math>t \neq q</math> और
<math display="block">\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y} ,</math>
जो [[ऑप्टिक समीकरण]] है।

समबाहु त्रिभुज के लिए:

*इसके क्षेत्रफल का अंतवृत्त के क्षेत्रफल से अनुपात, <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>, किसी भी त्रिभुज में सबसे बड़ा है।<ref>{{cite journal|last1=Minda|first1=D.|last2=Phelps|first2=S.|title=त्रिकोण, दीर्घवृत्त और घन बहुपद|journal=American Mathematical Monthly|date=2008|volume=115|issue=October| pages=679–689| jstor=27642581| doi=10.1080/00029890.2008.11920581|s2cid=15049234 }}</ref>{{rp|Theorem 4.1}}

*इसके क्षेत्रफल का इसके परिमाप के वर्ग से अनुपात, <math>\frac{1}{12\sqrt{3}},</math> किसी भी गैर-समबाहु त्रिभुज से बड़ा है।<ref name=Chakerian>Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref>
*यदि एक खंड एक समबाहु त्रिभुज को समान परिमाप वाले दो क्षेत्रों में विभाजित करता है <math>A_{1}</math> और <math>A_{2}</math> तब<ref name=Crux>{{cite web|title="गणितीय क्रॉस" में प्रस्तावित असमानताएँ|url=http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf}}</ref>{{rp|p.151,#J26}}
<math display="block">\frac{7}{9} \leq \frac{A_1}{A_2} \leq \frac{9}{7}.</math>
यदि एक त्रिकोण जटिल तल में जटिल शीर्षों के साथ रखा गया है <math>z_{1}</math>, <math>z_{2}</math>और <math>z_{3}</math> तो गैर-वास्तविक घनमूल <math>\omega</math> 1 के लिए त्रिभुज समबाहु है <ref>{{cite journal|last1=Dao|first1=Thanh Oai|title=सम्मिश्र संख्याओं में समबाहु त्रिभुज और कीपर पर्सपेक्टर|journal=Forum Geometricorum|date=2015|volume=15|pages=105–114|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509.pdf}}</ref>{{rp|Lemma 2}}
<math display="block">z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0.</math>

[[File:Tiling 3 simple.svg|150px|thumb|right|समबाहु त्रिभुज टाइलिंग विमान को भरती है।]]विशेष रूप से समबाहु त्रिभुज दो आयामी स्थान को छह त्रिभुजों के साथ एक शीर्ष पर मिलाता है, जिसका दोहरा टेसलेशन [[हेक्सागोनल टाइलिंग]] है। 3.12<sup>2</sup>, 3.4.6.4, (3.6)<sup>2</sup>, 3<sup>2</sup>.4.3.4, और 3<sup>4</sup>.6 समबाहु त्रिभुजों से निर्मित सभी अर्ध-नियमित टेसेलेशन हैं।<ref>{{Cite journal |first1=Branko |last1=Grünbaum |author-link=Branko Grünbaum |first2=Geoffrey |last2=Shepard |author-link2=G.C. Shephard |title=नियमित बहुभुजों द्वारा टाइलिंग|date=November 1977 |url=http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf |journal=[[Mathematics Magazine]] |volume=50 |issue=5 |publisher=Taylor & Francis, Ltd.|page=231–234 |doi=10.2307/2689529 |jstor=2689529 |mr=1567647 |s2cid=123776612 |zbl=0385.51006 }}</ref> 

[[File:Viervlak-frame.jpg|thumb|right|एक नियमित चतुष्फलक चार समबाहु त्रिभुजों से बना होता है।]]तीन आयामों में, समबाहु त्रिभुज नियमित और समान [[ बहुकोणीय आकृति ]] के चेहरे बनाते हैं। पाँच में से तीन [[प्लेटोनिक ठोस]] समबाहु त्रिभुजों से बने होते हैं: टेट्राहेड्रॉन, ऑक्टाहेड्रॉन और आईकोसैहेड्रॉन <ref name="NJohnson">{{Cite book |last=Johnson |first=Norman W. |author-link=Norman Johnson (mathematician) |title=ज्यामिति और परिवर्तन|url=https://www.cambridge.org/core/books/geometries-and-transformations/94D1016D7AC64037B39440729CE815AB |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |edition=1st |year=2018 |pages=xv, 1-438 |doi=10.1017/9781316216477 |isbn=978-1107103405 |s2cid=125948074 |zbl=1396.51001 }}</ref>{{rp|p.238}} विशेष रूप से चतुष्फलक जिसमें फलकों(faces) के लिए चार समबाहु त्रिकोण होते हैं, जिसको त्रिभुज का त्रि-आयामी अनुरूप माना जा सकता है। सभी प्लेटोनिक ठोस टेट्राहेड्रा को अंकित कर सकते हैं, साथ ही टेट्राहेड्रा के अंदर खुदे हुए हो सकते हैं। समबाहु त्रिभुज त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एकसमान प्रतिपक्षी के साथ-साथ एकसमान प्रतिपक्षी स्टार एंटीप्रिज्म भी बनाते हैं। एंटीप्रिज्म के लिए, नियमित बहुभुजों की दो (गैर-प्रतिबिंबित) [[समानांतर (ज्यामिति)]] प्रतियाँ <math>2n</math> समबाहु त्रिभुजों के वैकल्पिक बैंड द्वारा जुड़ी हुई हैं। <ref>{{Cite book |last=Cromwell |first=Peter T. |title=[[Polyhedra (book)|Polyhedra]] |chapter=Chapter 2: The Archimedian solids |chapter-url=https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/84/mode/2up |chapter-url-access=registration |publisher=Cambridge University Press |edition=1st |location=New York |year=1997 |page=85 |isbn=978-0521664059 |oclc=41212721 |mr=1458063 |zbl=0888.52012 }}</ref> विशेष रूप से स्टार एंटीप्रिज्म के लिए, प्रोग्रेड और रेट्रोग्रेड (क्रॉस) समाधान हैं जो प्रतिबिंबित और गैर-प्रतिबिंबित नियमित स्टार बहुभुज में सम्मिलित होते हैं।<ref>{{Cite web |last=Klitzing |first=Richard |title=एन-एंटीप्रिज्म वाइंडिंग नंबर डी के साथ|url=https://bendwavy.org/klitzing/incmats/nd-ap.htm |website=Polytopes & their Incidence Matrices |publisher=bendwavy.org (Anton Sherwood) |access-date=2023-03-09 }}</ref><ref>{{Cite web |last=Webb |first=Robert |title=स्टेला बहुफलकीय शब्दावली|url=https://www.software3d.com/Glossary.php |website=Stella |access-date=2023-03-09 }}</ref> प्लेटोनिक ऑक्टाहेड्रॉन भी एक त्रिकोणीय एंटीप्रिज्म है, जो एंटीप्रिज्म के अनंत परिवार का पहला सच्चा सदस्य है (टेट्राहेड्रॉन, एक डिगोनल एंटीप्रिज्म के रूप में कभी-कभी पहले माना जाता है)।<ref name="NJohnson" />{{rp|p.240}}

सामान्यीकरण के रूप में समबाहु त्रिभुज <math>n</math>-सिम्प्लेक्स के अनंत परिवार से संबंधित है, जिसमें <math>n = 2</math>.<ref>{{Cite book |author=H. S. M. Coxeter |author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter |url=https://archive.org/details/regularpolytopes0000hsmc |url-access=registration |title=नियमित पॉलीटोप्स|publisher=[[Methuen Publishing|Methuen & Co. LTD.]] |edition=1 |year=1948 |location=London |pages=120-121 |oclc=4766401 |zbl=0031.06502}}</ref>


== संस्कृति और समाज में ==
मानव निर्मित निर्माणों में समबाहु त्रिभुज अक्सर दिखाई देते हैं:
* आकार आधुनिक वास्तुकला में होता है जैसे कि [[गेटवे आर्क]] का क्रॉस-सेक्शन।<ref>{{cite book|title=Eero Saarinen: Shaping the Future|editor1-first=Eeva-Liisa|editor1-last=Pelkonen|editor2-first=Donald|editor2-last=Albrecht|publisher=Yale University Press|year=2006|isbn=978-0972488129|pages=[https://archive.org/details/eerosaarinenshap0000saar/page/160 160, 224, 226] | url=https://archive.org/details/eerosaarinenshap0000saar/page/160}}</ref>
* झंडों और हेरलड्री में इसके अनुप्रयोगों में [[निकारागुआ का झंडा]] <ref>{{cite book|title=निकारागुआ की संस्कृति और रीति-रिवाज| first1=Steven F.|last1=White|first2=Esthela|last2=Calderón|publisher=Greenwood Press|year=2008|page=[https://archive.org/details/culturecustomsof00stev/page/3 3]|isbn=978-0313339943|url-access=registration|url=https://archive.org/details/culturecustomsof00stev/page/3}}</ref> और [[फिलीपींस का झंडा|फिलीपींस का]] झंडा सम्मिलित हैं।<ref>{{cite book|title=फिलीपींस का ऐतिहासिक शब्दकोश|first=Artemio R.|last=Guillermo|publisher=Scarecrow Press|year=2012|isbn=978-0810872462|page=161| url=https://books.google.com/books?id=wmgX9M_yETIC&pg=PA161}}</ref>
*यह उपज चिह्न सहित विभिन्न प्रकार के यातायात चिह्नों का आकार है।<ref>{{cite journal| last1=Riley| first1=Michael W.| last2=Cochran| first2=David J.| last3=Ballard| first3=John L.| date=December 1982| doi=10.1177/001872088202400610| issue=6|journal=Human Factors: The Journal of the Human Factors and Ergonomics Society| pages=737–742| title=चेतावनी लेबल के लिए पसंदीदा आकृतियों की जांच|volume=24| s2cid=109362577}}</ref>


== यह भी देखें ==
*समबाहु हेरोनियन त्रिभुज
*[[समद्विबाहु त्रिकोण]]
* त्रिगुट प्लॉट
*त्रिरेखीय निर्देशांक

==संदर्भ==
{{Reflist}}


==बाहरी संबंध==
*{{MathWorld|title=Equilateral Triangle|urlname=EquilateralTriangle}}

{{Polygons}}
{{Polytopes}}
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