View source for सामान्यीकृत बल

{{short description|Concept in Lagrangian mechanics}}

[[विश्लेषणात्मक यांत्रिकी]] (विशेष रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी) में, सामान्यीकृत बल [[सामान्यीकृत निर्देशांक]] के साथ संयुग्मित होते हैं। वे प्रयुक्त किये गए बल {{math|1='''F'''{{sub|''i''}}, ''i'' = 1, …, ''n''}} से प्राप्त होते हैं, जो ऐसी [[भौतिक प्रणाली|प्रणाली]] पर कार्य करते हैं जिसका विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक के संदर्भ में परिभाषित होता है। [[आभासी कार्य]] के निर्माण में, प्रत्येक सामान्यीकृत बल सामान्यीकृत समन्वय की भिन्नता का गुणांक है।

== वर्चुअल वर्क ==
प्रयुक्त बलों के आभासी कार्य, {{mvar|δW}}, की गणना से सामान्यीकृत बलों को प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="Torby1984">{{cite book |last=Torby |first=Bruce |title=इंजीनियरों के लिए उन्नत गतिशीलता|series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |isbn=0-03-063366-4 |chapter=Energy Methods}}</ref>{{rp|265}}

कणों {{math|1=''P<sub>i</sub>'', ''i'' = 1, ..., ''n''}} पर कार्य करने वाले बलों {{math|'''F'''<sub>''i''</sub>}} का आभासी कार्य, द्वारा दिया गया है:
:<math>\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \delta \mathbf r_i</math>
जहाँ {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} कण {{mvar|P<sub>i</sub>}} का [[आभासी विस्थापन]] है।

=== सामान्यीकृत निर्देशांक ===
मान लें कि प्रत्येक कण की स्थिति सदिश, {{math|'''r'''<sub>''i''</sub>}}, सामान्यीकृत निर्देशांकों का फलन है, {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}}। फिर आभासी विस्थापन {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} द्वारा दिया जाता है:
:<math>\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j,\quad i=1,\ldots, n,</math>
जहाँ {{mvar|δq<sub>j</sub>}} सामान्यीकृत निर्देशांक {{mvar|q<sub>j</sub>}} का आभासी विस्थापन है।

कणों के निकाय के लिए आभासी कार्य हो जाता है:
:<math>\delta W = \mathbf F_1 \cdot \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf r_1} {\partial q_j} \delta q_j +\ldots+ \mathbf F_n \cdot \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf r_n} {\partial q_j} \delta q_j.</math>
{{mvar|δq<sub>j</sub>}} के गुणांक लीजिए जिससे,
:<math>\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_1} \delta q_1 +\ldots+ \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_m} \delta q_m.</math>


=== सामान्यीकृत बल ===
कणों के निकाय के आभासी कार्य को इस रूप में लिखा जा सकता है:
:<math> \delta W = Q_1\delta q_1 + \ldots + Q_m\delta q_m,</math>
जहाँ
:<math>Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_j},\quad j=1,\ldots, m,</math>
सामान्यीकृत निर्देशांक {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}} से जुड़े सामान्यीकृत बल कहलाते हैं।

=== वेग सूत्रीकरण ===
आभासी कार्य के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्रणाली के वेग से आभासी विस्थापन प्राप्त करना अधिकांशतः सुविधाजनक होता है। n कण प्रणाली के लिए, प्रत्येक कण {{mvar|P<sub>i</sub>}} का वेग {{math|'''V'''<sub>''i''</sub>}} होने दें , फिर आभासी विस्थापन {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} के रूप में भी लिखा जा सकता है:<ref>T. R. Kane and D. A. Levinson, [https://www.amazon.com/Dynamics-Theory-Applications-Mechanical-Engineering/dp/0070378460 Dynamics, Theory and Applications], McGraw-Hill, NY, 2005.</ref>
:<math>\delta \mathbf r_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot q_j} \delta q_j,\quad i=1,\ldots, n.</math>
इसका अर्थ है कि सामान्यीकृत बल, {{mvar|Q<sub>j</sub>}}, के रूप में भी निर्धारित किया जा सकता है:
:<math>Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot{q}_j}, \quad j=1,\ldots, m.</math>


== डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत ==
डी'अलेम्बर्ट ने जड़त्व बल (स्पष्ट बल) के साथ प्रयुक्त बलों के संतुलन के रूप में कण की गतिकी तैयार की, जिसे डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत कहा जाता है। {{mvar|m<sub>i</sub>}} द्रव्यमान के कण {{mvar|P<sub>i</sub>}} का जड़त्व बल है:
:<math>\mathbf F_i^*=-m_i\mathbf A_i,\quad i=1,\ldots, n,</math>
जहाँ {{math|'''A'''<sub>''i''</sub>}} कण का त्वरण है।

यदि कण प्रणाली का विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}} पर निर्भर करता है , तो सामान्यीकृत जड़त्व बल द्वारा यह दिया जाता है:
:<math>Q^*_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F^*_{i} \cdot \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot q_j},\quad j=1,\ldots, m.</math>
डी'अलेम्बर्ट के आभासी कार्य के सिद्धांत का रूप यह परिणाम देता है:
:<math> \delta W = (Q_1+Q^*_1)\delta q_1 + \ldots + (Q_m+Q^*_m)\delta q_m.</math>


==संदर्भ==
{{reflist}}


== यह भी देखें ==
* लैग्रैन्जियन यांत्रिकी
* सामान्यीकृत निर्देशांक
*स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन शास्त्र)
*आभासी कार्य

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श्रेणी:लैग्रैंजियन यांत्रिकी

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