View source for सिलो प्रमेय

{{short description|Theorems that help decompose a finite group based on prime factors of its order}}
{{Group theory sidebar |Finite}}



गणित में, विशेष रूप से [[परिमित समूह सिद्धांत]] के क्षेत्र में, '''सिलो [[प्रमेय]]''' प्रमेयों का संग्रह है जिसका नाम नॉर्वेजियन गणितज्ञ [[पीटर लुडविग मेजडेल साइलो]] के नाम पर रखा गया है।{{r|Sylow1872}} जो किसी दिए गए [[परिमित समूह]] में सम्मिलित समूह के निश्चित क्रम के [[उपसमूह]] की संख्या के बारे में विस्तृत जानकारी देता है। सिलो प्रमेय परिमित समूह सिद्धांत का मूलभूत भाग है और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में इसका अधिक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

[[अभाज्य संख्या]] के लिए <math>p</math>, समूह का सिलो 𝑝 -उपसमूह (कभी-कभी 𝑝 -सिलो उपसमूह) <math>G</math> अधिकतम है <math>p</math>-उपसमूह <math>G</math>, अर्थात , का उपसमूह <math>G</math> वह 𝑝 -समूह है 𝑝 -समूह (जिसका अर्थ है कि इसकी प्रमुखता [[शक्ति (गणित)|पॉवर <math>p,</math> (गणित)]] है) या समकक्ष, प्रत्येक समूह तत्व के [[समूह तत्व का क्रम]] पॉवर <math>p</math> है ) यह किसी अन्य का उचित उपसमूह नहीं है <math>p</math>-उपसमूह <math>G</math>. सभी सिलो का समुच्चय <math>p</math>-किसी दिए गए प्राइम के लिए उपसमूह <math>p</math> कभी-कभी <math>\text{Syl}_p(G)</math> लिखा जाता है .

सिलो प्रमेय लैग्रेंज के प्रमेय (समूह सिद्धांत)|लैग्रेंज के प्रमेय के आंशिक विपरीत पर जोर देते हैं। लैग्रेंज के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी परिमित समूह के लिए <math>G</math> के प्रत्येक उपसमूह <math>G</math> का क्रम (तत्वों की संख्या)। <math>G</math> के क्रम को विभाजित करता है . सिलो प्रमेय बताता है कि प्रत्येक अभाज्य कारक के लिए <math>p</math> परिमित समूह के क्रम का <math>G</math>, वहाँ सिलो उपस्तिथ है <math>p</math>-उपसमूह <math>G</math> क्रम की <math>p^n</math>, की सर्वोच्च पॉवर <math>p</math> जो के क्रम <math>G</math> को विभाजित करता है . इसके अतिरिक्त , क्रम का प्रत्येक उपसमूह <math>p^n</math> सिलो है <math>p</math>-उपसमूह <math>G</math>, और सिलो <math>p</math>-किसी समूह के उपसमूह (किसी दिए गए अभाज्य <math>p</math> के लिए ) दूसरे से संयुग्मी वर्ग हैं। इसके अतिरिक्त , सिलो की संख्या <math>p</math>-किसी दिए गए अभाज्य के लिए समूह के उपसमूह <math>p</math> 1 के सर्वांगसम (mod <math>p</math>). है

== प्रमेय ==

=== प्रेरणा ===
साइलो प्रमेय सामान्य रूप से समूहों की संरचना के बारे में शक्तिशाली कथन हैं, किन्तु परिमित समूह सिद्धांत के अनुप्रयोगों में भी शक्तिशाली हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि वे परिमित समूह की कार्डिनैलिटी के प्राइम अपघटन का उपयोग करने के लिए विधि देते हैं <math>G</math> अपने उपसमूहों की संरचना के बारे में कथन देने के लिए: अनिवार्य रूप से, यह किसी समूह के बारे में बुनियादी संख्या-सैद्धांतिक जानकारी को उसके समूह संरचना तक पहुंचाने की तकनीक देता है। इस अवलोकन से, परिमित समूहों को वर्गीकृत करना यह पता लगाने का खेल बन जाता है कि समूह के निर्माण के लिए छोटे क्रम के समूहों के कौन से संयोजन/निर्माण को प्रयुक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इन प्रमेयों का विशिष्ट अनुप्रयोग कुछ निश्चित कार्डिनैलिटी के परिमित समूहों के वर्गीकरण में है, जैसे <math>|G| = 60</math> है .{{r|GraciaSaz_WebPDF}}

=== कथन ===
इस प्रकार से उपसमूहों का संग्रह, जिनमें से प्रत्येक किसी न किसी अर्थ में अधिकतम है, समूह सिद्धांत में सामान्य है। यहां आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि के स्तिथि में <math>\operatorname{Syl}_p(G)</math>, सभी सदस्य वास्तव में दूसरे के लिए [[समूह समरूपता]] हैं और उनका सबसे बड़ा संभावित क्रम है: यदि <math>|G|=p^nm</math> साथ <math>n > 0</math> जहाँ {{mvar|p}} विभाजित नहीं होता {{mvar|m}}, फिर हर सिलो {{mvar|p}}-उपसमूह {{mvar|P}} का क्रम <math>|P| = p^n</math> है .अर्थात {{mvar|P}} एक {{mvar|p}}-समूह है और <math>\text{gcd}(|G:P|, p) = 1</math>. {{mvar|G}} की संरचना का और अधिक विश्लेषण करने के लिए इन गुणों का उपयोग किया जा सकता है .

निम्नलिखित प्रमेय पहली बार 1872 में लुडविग साइलो द्वारा प्रस्तावित और सिद्ध किए गए थे, और मैथेमेटिश एनालेन में प्रकाशित हुए थे।

{{math theorem|note=1|प्रत्येक [[प्रमुख कारक]] {{mvar|p}} के लिए [[एक अभाज्य कारक की बहुलता|बहुलता]] {{mvar|n}} एक परिमित समूह के क्रम के {{mvar|G}} के साथ, वहां ''<math>p^n</math>'' क्रम का, {{mvar|G}} का एक सिलो [[p-group|{{mvar|p}}-subgroup]] उपस्तिथ  है।}}

प्रमेय 1 का निम्नलिखित कमजोर संस्करण पहली बार [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] द्वारा सिद्ध किया गया था, और इसे कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

{{math theorem|name=परिणाम|एक परिमित समूह {{mvar|G}} और एक अभाज्य संख्या {{mvar|p}} दिया गया है जो {{mvar|G}} के क्रम को विभाजित करता है, तो वहां एक तत्व उपस्तिथ  है (और इस प्रकार इस तत्व द्वारा उत्पन्न एक चक्रीय उपसमूह) ''{{mvar|G}}'' में {{mvar|p}} क्रम का।{{r|Fraleigh_2004_322}}}}

{{math theorem|note=2|एक परिमित समूह {{mvar|G}} और एक अभाज्य संख्या {{mvar|p}} दिया गया है, सभी सिलो {{mvar|p}}-{{mvar|G}} के उपसमूह एक दूसरे से [[संयुग्म वर्ग|संयुग्म]] हैं. अर्थात्, यदि {{mvar|H}} और {{mvar|K}} सिलो {{mvar|p}} हैं - {{mvar|G}} के उपसमूह, तो वहाँ एक तत्व उपस्तिथ है <math>g \in G</math> के साथ <math>g^{-1}Hg = K</math>.}}

{{math theorem|note=3|मान लीजिए कि {{mvar|p}} एक परिमित समूह {{mvar|G}} के क्रम की बहुलता {{mvar|n}} के साथ एक अभाज्य कारक है, ताकि {{mvar|G}} का क्रम हो सके <math>p^nm</math> के रूप में लिखा जाता है, जहां <math>n > 0</math> और {{mvar|p}}, {{mvar|m}} को विभाजित नहीं करता है। मान लीजिए कि <math>n_p</math> {{mvar|G}} के सिलो {{mvar|p}}-उपसमूहों की संख्या है। फिर निम्नलिखित होल्ड करें:
* <math>n_p</math> {{mvar|m}}<nowiki> को विभाजित करता है, जो कि {{mvar|G} में सिलो </nowiki>{{mvar|p}}-उपसमूह का [[एक उपसमूह का सूचकांक|सूचकांक]] है। }.
* <math>n_p \equiv 1 \bmod p</math>
* <math>n_p = |G:N_G(P)|</math>, जहां {{mvar|P}} {{mvar|G}} और <math का कोई सिलो {{mvar|p}}-उपसमूह है >N_G</math> [[नॉर्मलाइज़र]] को दर्शाता है।
}}

=== परिणाम ===
सिलो प्रमेय का अर्थ है कि एक अभाज्य संख्या <math>p</math> के लिए प्रत्येक सिलो <math>p</math>-उपसमूह समान क्रम <math>p^n</math>का है। इसके विपरीत, यदि किसी उपसमूह का क्रम <math>p^n</math> है तो यह एक सिलो <math>p</math>-उपसमूह है, और इसलिए यह हर दूसरे सिलो <math>p</math>-उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है। अधिकतम स्थिति के कारण, यदि <math>H</math>, <math>G</math> का कोई P उपसमूह है तो <math>H</math>, क्रम <math>p^n</math> के <math>p</math> उपसमूह का एक उपसमूह है. 

प्रमेय 2 का अधिक ही महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि स्थिति <math>n_p = 1</math> यह कहने के समान है कि सिलो <math>p</math>-उपसमूह <math>G</math> [[सामान्य उपसमूह]] है. चूंकि , ऐसे समूह हैं जिनमें सामान्य उपसमूह तो हैं किन्तु कोई सामान्य सिलो उपसमूह नहीं हैं, जैसे <math>S_4</math> है .

=== अनंत समूहों के लिए सिलो प्रमेय ===
अनंत समूहों के लिए सिलो प्रमेय का एनालॉग है। सिलो को परिभाषित करता है {{mvar|p}}- अनंत समूह में उपसमूह 𝑝 -उपसमूह होता है (अर्थात्, इसमें प्रत्येक तत्व होता है {{mvar|p}}-पॉवर क्रम) जो सभी के मध्य समावेशन के लिए अधिकतम है {{mvar|p}}-समूह में उपसमूह। होने देना <math>\operatorname{Cl}(K)</math> किसी उपसमूह <math>K \subset G</math> के संयुग्मों के समुच्चय को निरूपित करें .

{{math theorem|यदि {{mvar|K}}, {{mvar|G}} का एक सिलो {{mvar|p}}-उपसमूह है, और <math>n_p = |\operatorname{Cl}(K)|</math> है परिमित, तो प्रत्येक सिलो {{mvar|p}}-उपसमूह {{mvar|K}} से संयुग्मित होता है, और <math>n_p \equiv 1 \bmod p</math>।}}

== उदाहरण ==
[[File:Labeled Triangle Reflections.svg|thumb|''D''<sub>6</sub> में सभी प्रतिबिंब संयुग्मी होते हैं, क्योंकि प्रतिबिंब सिलो 2-उपसमूहों के अनुरूप होते हैं।]]सिलो उपसमूहों और सिलो प्रमेय का सरल उदाहरण n-gon, ''D''<sub>2''n''</sub>का [[डायहेड्रल समूह]] है. n विषम के लिए, 2 = 2<sup>1</sup>क्रम को विभाजित करने वाले 2 की उच्चतम पॉवर है, और इस प्रकार क्रम 2 के उपसमूह सिलो उपसमूह हैं। ये प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न समूह हैं, जिनमें से n हैं, और वे सभी घूर्णन के तहत संयुग्मित हैं; ज्यामितीय रूप से सममिति के अक्ष शीर्ष और भुजा से होकर गुजरते हैं।

[[File:Hexagon reflections.svg|thumb|left|''D''<sub>12</sub> में प्रतिबिंब अब सिलो 2-उपसमूहों के अनुरूप नहीं हैं, और दो संयुग्मन वर्गों में आते हैं।]]इसके विपरीत, यदि n सम है, तो समूह के क्रम को 4 विभाजित करता है, और क्रम 2 के उपसमूह अब सिलो उपसमूह नहीं हैं, और वास्तव में वे दो संयुग्मन वर्गों में आते हैं, ज्यामितीय रूप से इस पर निर्भर करता है कि वे दो शीर्षों से गुजरते हैं या दो चेहरे के। ये [[बाहरी स्वचालितता]] से संबंधित हैं, जिसे π/n के माध्यम से घूर्णन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो कि डायहेड्रल समूह में न्यूनतम घूर्णन का आधा है।

एक अन्य उदाहरण ''GL''<sub>2</sub>(''F<sub>q</sub>''), के सिलो ''p''-उपसमूह हैं, जहां p और q प्राइम ≥ 3 और {{math|''p''&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''q'')}} हैं, जो सभी [[एबेलियन समूह]] हैं। ''GL''<sub>2</sub>(''F<sub>q</sub>'') का क्रम (''q''<sup>2</sup> − 1)(''q''<sup>2</sup> − ''q'') = (''q'')(''q'' + 1)(''q'' − 1)<sup>2</sup> है। चूँकि {{math|1=''q''&nbsp;=&nbsp;''p''<sup>''n''</sup>''m''&nbsp;+&nbsp;1}},{{math|1=''GL''<sub>2</sub>(''F''<sub>''q''</sub>) =&nbsp;''p''<sup>2''n''</sup> ''m''&prime;}} का क्रम इस प्रकार प्रमेय 1 के अनुसार, सिलो p-उपसमूह का क्रम ''p''<sup>2''n''</sup> है।


ऐसा ही उपसमूह P, विकर्ण आव्यूहों का समुच्चय है <math>\begin{bmatrix}x^{im} & 0 \\0 & x^{jm} \end{bmatrix}</math>, x, F<sub>''q''</sub> का कोई आदिम मूल है. चूँकि F<sub>''q''</sub> का क्रम है से {{math|1=''q''&nbsp;−&nbsp;1}} है

''q - 1,'' इसकी आदिम जड़ों का क्रम ''q - 1'' है, जिसका अर्थ है कि {{math|1=''x''<sup>(''q''&nbsp;−&nbsp;1)/''p''<sup>''n''</sup></sup>}} या ''x<sup>m</sup>'' और इसकी सभी पॉवर का एक क्रम है जो p की पॉवर है। तो, 𝑝 -उपसमूह है जहां इसके सभी तत्वों के क्रम हैं जो 𝑝 की पॉवर हैं। ''a'' और ''b'' दोनों के लिए ''p<sup>n</sup>'' विकल्प हैं, जिससे ''p<sup>n</sup>'' बनता है{{math|1 = {{!}}''P''{{!}} =&nbsp;''p''<sup>2''n''</sup>}}. इसका मतलब यह है कि 𝑝 एक सिलो 𝑝 -उपसमूह है, जो एबेलियन है, क्योंकि सभी विकर्ण मैट्रिक्स चलते हैं, और क्योंकि प्रमेय 2 में कहा गया है कि सभी सिलो 𝑝 -उपसमूह एक-दूसरे से संयुग्मित हैं, ''GL''<sub>2</sub>(''F<sub>q</sub>'') के सिलो 𝑝 -उपसमूह सभी एबेलियन हैं .

==उदाहरण अनुप्रयोग==
चूंकि सिलो का प्रमेय परिमित समूह के 𝑝 -उपसमूहों के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है, इसलिए प्रधान पॉवर क्रम के समूहों का अधिक ध्यानपूर्वक से अध्ययन करना सार्थक है। अधिकांश उदाहरण यह प्रमाणित करने के लिए सिलो के प्रमेय का उपयोग करते हैं कि किसी विशेष क्रम का समूह [[सरल समूह]] नहीं है। छोटे क्रम के समूहों के लिए, सिलो के प्रमेय की सर्वांगसमता स्थिति अक्सर सामान्य उपसमूह के अस्तित्व को कठिन करने के लिए पर्याप्त होती है।
;उदाहरण-1: क्रम ''pq'', ''p'' और q अभाज्य संख्याओं के समूह जिनमें ''p'' < ''q'' है।।
;उदाहरण-2: क्रम 30 का समूह, क्रम 20 के समूह, क्रम ''p''<sup>2</sup>''q'', के समूह, ''p'' और ''q'' के अलग-अलग अभाज्य कुछ अनुप्रयोग हैं।
;उदाहरण-3: (क्रम 60 के समूह): यदि क्रम |''G''| = 60 और ''G'' के पास एक से अधिक सिलो 5-उपसमूह हैं, तो ''G'' सरल है।

=== चक्रीय समूह क्रम ===
इस प्रकार से कुछ अभाज्य संख्याएँ ''n'' ऐसी हैं कि क्रम ''n'' का प्रत्येक समूह चक्रीय है। सिलो प्रमेय का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि ''n'' = 15 एक ऐसी संख्या है: मान लीजिए ''G'' क्रम ''15 = 3 · 5'' का एक समूह है और ''n<sub>3</sub>'' सिलो ''3-''उपसमूहों की संख्या है। फिर ''n''<sub>3</sub>∣ \मध्य 5 और ''n''<sub>3</sub> ≡ 1 (मॉड 3)। इन बाधाओं को संतुष्ट करने वाला एकमात्र मान 1 है; इसलिए, क्रम 3 का केवल एक उपसमूह है, और यह सामान्य होना चाहिए (क्योंकि इसमें कोई अलग संयुग्म नहीं है)। इसी प्रकार, ''n''<sub>5</sub> को 3 से विभाजित करना होगा, और ''n''<sub>5</sub> को ''1'' (मॉड 5) के समान होना चाहिए; इस प्रकार इसमें क्रम 5 का एक सामान्य उपसमूह भी होना चाहिए। चूँकि 3 और 5 सहअभाज्य होते हैं, इन दो उपसमूहों का प्रतिच्छेदन तुच्छ है, और इसलिए ''G'' को क्रम ''3'' और ''5'' के समूहों का [[आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद]] होना चाहिए, जो कि चक्रीय है क्रम 15 का समूह। इस प्रकार, क्रम 15 (समरूपता तक) का केवल एक समूह है।

=== जटिल लघु समूह ===
अधिक जटिल उदाहरण में सबसे छोटे सरल समूह का क्रम सम्मिलित है जो चक्रीय समूह नहीं है। बर्नसाइड का प्रमेय बर्नसाइड का ''p<sup>a</sup> q<sup>b</sup>'' प्रमेय में कहा गया है कि यदि किसी समूह का क्रम या दो अभाज्य पॉवर यों का उत्पाद है, तो यह [[हल करने योग्य समूह]] है, और इसलिए समूह सरल नहीं है, या अभाज्य क्रम का है और चक्रीय है। यह प्रत्येक समूह को 30 {{nowrap|({{=}} 2 · 3 · 5)}} क्रम तक बाहर कर देता है .

यदि G सरल है, और |G| = 30, फिर ''n''<sub>3</sub> 10 (= 2 · 5), और ''n''<sub>3</sub> को विभाजित करना होगा 1 (मॉड 3) के समान होना चाहिए। इसलिए, ''n''<sub>3</sub> = 10, चूँकि 10 को न तो 4 और न ही 7 विभाजित करता है, और यदि ''n<sub>3</sub> = 1'' तो, जैसा कि ऊपर बताया गया है, ''G'' के पास क्रम 3 का सामान्य उपसमूह होगा, और यह सरल नहीं हो सकता है। G के पास क्रम 3 के 10 अलग-अलग चक्रीय उपसमूह हैं, जिनमें से प्रत्येक में क्रम 3 के 2 तत्व (पहचान सहित) हैं। इसका मतलब है कि ''G'' में क्रम 3 के कम से कम 20 अलग-अलग तत्व हैं।

साथ ही, ''n''<sub>5</sub> = 6, चूँकि n<sub>5</sub> 6 ( = 2 · 3) और n<sub>5</sub> को विभाजित करना होगा1 (मॉड 5) के समान होना चाहिए। तो G में भी क्रम 5 के 24 अलग-अलग तत्व हैं। किन्तु G का क्रम केवल 30 है, इसलिए क्रम 30 का सरल समूह उपस्तिथ नहीं हो सकता है।

इस प्रकार से , मान लीजिए |''G''| = 42 = 2 · 3 · 7. यहाँ ''n''<sub>7</sub> 6 (=2 · 3) और ''n''<sub>7</sub> को विभाजित करना होगा 1 (मॉड 7) के समान होना चाहिए, इसलिए ''n''<sub>7</sub> = 1. अतः, पहले की तरह, G सरल नहीं हो सकता है ।

दूसरी ओर, |G | के लिए = 60 = 2<sup>2</sup> · 3 · 5, फिर ''n''<sub>3</sub> = 10 और n<sub>5</sub> = 6 बिल्कुल संभव है। और वास्तव में, सबसे छोटा सरल गैर-चक्रीय समूह n<sub>5</sub> है, 5 तत्वों पर [[वैकल्पिक समूह]]। इसमें क्रम 60 है, और क्रम 5 के 24 [[चक्रीय क्रमपरिवर्तन]] हैं, और क्रम 3 के 20 हैं।

=== विल्सन का प्रमेय ===
विल्सन के प्रमेय का भाग यह बताता है

:<math>(p-1)! \equiv -1 \pmod p</math>
प्रत्येक प्राइम ''p'' के लिए। सिलो के तीसरे प्रमेय द्वारा कोई भी इस प्रमेय को सरलता से सिद्ध कर सकता है। वास्तव में, देखें कि सममित समूह ''S<sub>p</sub>'' में सिलो के p-उपसमूहों की संख्या n<sub>p</sub> {{math|(''p''&nbsp;&minus;&nbsp;2)!}} है! दूसरी ओर, {{math|''n''<sub>''p''</sub> ≡ 1 (mod&nbsp;''p'')}}। अत:, {{math|(''p''&nbsp;&minus;&nbsp;2)! ≡ 1 (mod&nbsp;''p'')}}। तो, {{math|(''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1)! ≡ &minus;1 (mod&nbsp;''p'')}}।

=== संलयन परिणाम ===
इस प्रकार से फ्रैटिनी के तर्क से पता चलता है कि एक सामान्य उपसमूह का एक साइलो उपसमूह एक परिमित समूह का गुणनखंडन प्रदान करता है। और बर्नसाइड के संलयन प्रमेय के रूप में ज्ञात एक मामूली सामान्यीकरण में कहा गया है कि यदि ''G'' सिलो ''P'' -उपसमूह ''P'' के साथ एक परिमित समूह है और दो उपसमूह ''A'' और ''B'' ''P'' द्वारा सामान्यीकृत हैं, तो ''A'' और ''B'' ''G'' -संयुग्मित हैं यदि और केवल यदि वे ''N<sub>G</sub>''(''P'')-संयुग्म हैं । इसका प्रमाण सिलो के प्रमेय का एक सरल अनुप्रयोग है: यदि ''B''=''A<sup>g</sup>'', तो B के नॉर्मलाइज़र में न केवल P किन्तु ''P<sup>g</sup>'' भी होता है (चूंकि Pg Ag के नॉर्मलाइज़र में निहित होता है)। सिलो के प्रमेय के अनुसार P और ''P<sup>g</sup>'' न केवल G में संयुग्मित हैं, किन्तु B के सामान्यीकरण में भी संयुग्मित हैं। इसलिए ''gh''<sup>−1</sup> कुछ h के लिए P को सामान्य करता है जोकी B को सामान्य करता है, और फिर ''A<sup>gh</sup>''<sup>−1</sup> = ''B''<sup>h−1</sup> = ''B'', जिससे A और B ''N<sub>G</sub>''(''P'')-संयुग्म हैं। बर्नसाइड के संलयन प्रमेय का उपयोग अधिक शक्तिशाली कारकीकरण देने के लिए किया जा सकता है जिसे अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है: यदि G एक परिमित समूह है जिसका सिलो पी-उपसमूह P इसके सामान्यीकरण के केंद्र में समाहित है, तो G के पास P के सहअभाज्य क्रम का एक सामान्य उपसमूह K है। , ''G'' = ''PK'' और ''P''∩''K'' = {1}, अर्थात, ''G, p-''निलपोटेंट है।

चूंकि सिलो प्रमेय के कम तुच्छ अनुप्रयोगों में [[फोकल उपसमूह प्रमेय]] सम्मिलित होते है, जोकी [[व्युत्पन्न उपसमूह]] के सिलो 𝑝 -उपसमूह के पूरे समूह की संरचना पर नियंत्रण का अध्ययन करता है। इस नियंत्रण का उपयोग परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण के कई चरणों में किया जाता है, और इस प्रकार से उदाहरण के लिए, परिमित सरल समूहों को वर्गीकृत करने वाले अल्पेरिन-ब्रुएर-गोरेनस्टीन प्रमेय में उपयोग किए जाने वाले केस डिवीजनों को परिभाषित करता है, जिनका सिलो 2-उपसमूह [[अर्ध-डायहेड्रल समूह]] है। ये संयुग्मन में किस प्रकार के तत्वों का उपयोग किया जाता है, इसे नियंत्रित करने के लिए सिलो के प्रमेय के संयुग्मी भाग को जटिल करने के लिए जे. एल. एल्परिन पर निर्भर करते हैं।

==सिलो प्रमेय का प्रमाण==
सिलो प्रमेय को कई विधियो द्वारा सिद्ध किया गया है, और प्रमाणों का इतिहास स्वयं वॉटरहाउस सहित कई पत्रों का विषय है,{{sfn|Waterhouse|1980}} शारलाउ,{{sfn|Scharlau|1988}} कैसाडियो और ज़प्पा,{{sfn|Casadio|Zappa|1990}} गौ,{{sfn|Gow|1994}} और कुछ सीमा तक मेओ सम्मिलित है ।{{sfn|Meo|2004}}

इस प्रकार से साइलो प्रमेय का प्रमाण विभिन्न रचनात्मक विधियो से समूह क्रिया (गणित) की धारणा का शोषण करता है। समूह {{mvar|G}} स्वयं पर या अपने 𝑝 -उपसमूहों के समुच्चय पर विभिन्न विधियो से कार्य करता है, और इस प्रकार की प्रत्येक क्रिया का उपयोग साइलो प्रमेयों में से को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। निम्नलिखित प्रमाण विलैंड्ट के संयुक्त तर्कों पर आधारित हैं।{{sfn|Wielandt|1959}} निम्नलिखित में, हम <math>a \mid b</math> का उपयोग "a, b को विभाजित करता है" के लिए संकेतन के रूप में और <math>a \nmid b</math> का उपयोग इस कथन के निषेध के लिए करते हैं।. 

{{math theorem|note=1|1=A finite group {{var|G}} whose order <math>|G|</math> is divisible by a prime power ''p<sup>k</sup>'' has a subgroup of order ''p<sup>k</sup>''.}}

{{math proof|1=Let {{math|1={{abs|{{var|G}}}} = ''p<sup>k</sup>m'' = ''p''<sup>''k''+''r''</sup>''u''}} such that <math>p \nmid u</math>, and let Ω denote the set of subsets of {{mvar|G}} of size ''p<sup>k</sup>''. {{mvar|G}} [[Group action (mathematics)|acts]] on Ω by left multiplication: for {{math|1={{var|g}} ∈ {{var|G}}}} and {{math|1={{var|ω}} ∈ Ω}}, {{math|1={{var|g}}⋅{{var|ω}} = {{mset| {{var|g}}{{var|x}} {{pipe}} {{var|x}} ∈ {{var|ω}} }}}}. For a given set {{math|1={{var|ω}} ∈ Ω}}, write {{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub> for its [[Group action (mathematics)#Orbits and stabilizers|stabilizer subgroup]] {{math|1={{mset| {{var|g}} ∈ {{var|G}} {{pipe}} {{var|g}}⋅{{var|ω}} {{=}} {{var|ω}} }}}} and {{var|G}}{{var|ω}} for its [[Group action (mathematics)#Orbits and stabilizers|orbit]] {{math|1={{mset| {{var|g}}⋅{{var|ω}} {{pipe}} {{var|g}} ∈ {{var|G}} }}}} in Ω.

The proof will show the existence of some {{math|1={{var|ω}} ∈ Ω}} for which {{mvar|G}}<sub>{{mvar|ω}}</sub> has ''p<sup>k</sup>'' elements, providing the desired subgroup. This is the maximal possible size of a stabilizer subgroup {{mvar|G}}<sub>{{mvar|ω}}</sub>, since for any fixed element {{math|1={{var|α}} ∈ {{var|ω}} ⊆ {{var|G}}}}, the right coset {{mvar|G}}<sub>{{mvar|ω}}</sub>{{mvar|α}} is contained in {{mvar|ω}}; therefore, {{math|1={{abs|{{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub>}} = {{abs|{{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub>{{mvar|α}}}} ≤ {{abs|{{var|ω}}}} = {{var|p}}<sup>{{var|k}}</sup>}}.

By the [[Group action (mathematics)#Orbits and stabilizers|orbit-stabilizer theorem]] we have {{math|1={{abs|{{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub>}} {{abs|{{var|G}}{{var|ω}}}} = {{abs|{{var|G}}}}}} for each {{math|1={{var|ω}} ∈ Ω}}, and therefore using the [[additive p-adic valuation]] ''ν<sub>p</sub>'', which counts the number of factors ''p'', one has {{math|1=''ν<sub>p</sub>''({{abs|{{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub>}}) + ''ν<sub>p</sub>''({{abs|{{var|G}}{{var|ω}}}}) = ''ν<sub>p</sub>''({{abs|{{var|G}}}}) = ''k'' + ''r''}}. This means that for those {{mvar|ω}} with {{math|1={{abs|{{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub>}} = ''p<sup>k</sup>''}}, the ones we are looking for, one has {{math|1=''ν<sub>p</sub>''({{abs|{{var|G}}{{var|ω}}}}) = ''r''}}, while for any other {{mvar|ω}} one has {{math|1=''ν<sub>p</sub>''({{abs|{{var|G}}{{var|ω}}}}) > ''r''}} (as {{math|1=0 < {{abs|{{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub>}} < ''p<sup>k</sup>''}} implies {{math|1=''ν<sub>p</sub>''({{abs|{{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub>}}) < ''k'')}}. Since {{math|1={{abs|Ω}}}} is the sum of {{math|1={{abs|{{var|G}}{{var|ω}}}}}} over all distinct orbits {{mvar|G}}{{mvar|ω}}, one can show the existence of ω of the former type by showing that {{math|1=''ν<sub>p</sub>''({{abs|Ω}}) = ''r''}} (if none existed, that valuation would exceed ''r''). This is an instance of [[Kummer's theorem]] (since in base ''p'' notation the number {{math|1={{abs|{{var|G}}}}}} ends with precisely ''k'' + ''r'' digits zero, subtracting ''p<sup>k</sup>'' from it involves a carry in ''r'' places), and can also be shown by a simple computation:

:<math>|\Omega | ={p^km \choose p^k} = \prod_{j=0}^{p^k - 1} \frac{p^k m - j}{p^k - j} =  m\prod_{j=1}^{p^{k} - 1} \frac{p^{k - \nu_p(j)} m - j/p^{\nu_p(j)}}{p^{k - \nu_p(j)} - j/p^{\nu_p(j)}} </math>

and no power of ''p'' remains in any of the factors inside the product on the right. Hence {{math|1=''ν<sub>p</sub>''({{abs|Ω}}) = ''ν<sub>p</sub>''(''m'') = ''r''}}, completing the proof.

It may be noted that conversely every subgroup ''H'' of order ''p<sup>k</sup>'' gives rise to sets {{math|1={{var|ω}} ∈ Ω}} for which {{var|G}}<sub>{{var|ω}}</sub> = ''H'', namely any one of the ''m'' distinct cosets ''Hg''.}}

{{math theorem|name=Lemma|1=Let {{mvar|H}} be a finite {{mvar|p}}-group, let Ω be a finite set acted on by {{mvar|H}}, and let Ω<sub>0</sub> denote the set of points of Ω that are fixed under the action of {{mvar|H}}.  Then {{math|1={{abs|Ω}} ≡ {{abs|Ω<sub>0</sub>}} (mod&nbsp;{{var|p}})}}.}}

{{math proof|1=Any element {{math|1={{var|x}} ∈ Ω}} not fixed by {{mvar|H}} will lie in an orbit of order {{math|1={{abs|{{var|H}}}}/{{abs|''H<sub>x</sub>''}}}} (where ''H<sub>x</sub>'' denotes the [[Group action (mathematics)#Orbits and stabilizers|stabilizer]]), which is a multiple of {{mvar|p}} by assumption.  The result follows immediately by writing {{math|1={{abs|Ω}}}} as the sum of {{math|1={{abs|{{var|H}}{{var|x}}}}}} over all distinct orbits {{mvar|H}}{{mvar|x}} and reducing mod {{mvar|p}}.}}

{{math theorem|note=2|1=If ''H'' is a ''p''-subgroup of {{mvar|G}} and ''P'' is a Sylow ''p''-subgroup of {{mvar|G}}, then there exists an element ''g'' in {{mvar|G}} such that ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' ≤ ''P''. In particular, all Sylow ''p''-subgroups of {{mvar|G}} are [[conjugacy class|conjugate]] to each other (and therefore [[isomorphism|isomorphic]]), that is, if ''H'' and ''K'' are Sylow ''p''-subgroups of {{mvar|G}}, then there exists an element ''g'' in {{mvar|G}} with ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' = ''K''.}}

{{math proof|1=Let Ω be the set of left [[coset]]s of ''P'' in {{mvar|G}} and let ''H'' act on Ω by left multiplication. Applying the Lemma to ''H'' on Ω, we see that {{math|1={{abs|Ω<sub>0</sub>}} ≡ {{abs|Ω}} = [{{var|G}} : ''P''] (mod&nbsp;''p'')}}.  Now <math>p \nmid [G:P]</math> by definition so <math>p \nmid |\Omega_0|</math>, hence in particular {{math|1={{abs|Ω<sub>0</sub>}} ≠ 0}} so there exists some {{math|1=''gP'' ∈ Ω<sub>0</sub>}}. With this ''gP'', we have ''hgP'' = ''gP'' for all {{math|1={{var|h}} ∈ {{var|H}}}}, so ''g''<sup>−1</sup>''HgP'' = ''P'' and therefore ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' ≤ ''P''. Furthermore, if ''H'' is a Sylow ''p''-subgroup, then {{math|1={{abs|''g''<sup>−1</sup>''Hg''}} = {{abs|''H''}} = {{abs|''P''}}}} so that ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' = ''P''.}}

{{math theorem|note=3|1=Let ''q'' denote the order of any Sylow ''p''-subgroup ''P'' of a finite group {{var|G}}. Let ''n<sub>p</sub>'' denote the number of Sylow ''p''-subgroups of {{var|G}}.  Then (a) {{math|1=''n<sub>p</sub>'' = [{{var|G}} : ''N<sub>G</sub>''(''P'')]}} (where ''N<sub>G</sub>''(''P'') is the [[normalizer]] of ''P''), (b) {{math|1=''n<sub>p</sub>''}} divides {{math|1={{abs|{{var|G}}}}/''q''}}, and (c) {{math|1=''n<sub>p</sub>'' ≡ 1 (mod&nbsp;''p'')}}.}}

{{math proof|1=Let Ω be the set of all Sylow ''p''-subgroups of {{mvar|G}} and let {{mvar|G}} act on Ω by conjugation. Let {{math|1=''P'' ∈ Ω}} be a Sylow ''p''-subgroup. By Theorem 2, the orbit of ''P'' has size ''n<sub>p</sub>'', so by the orbit-stabilizer theorem {{math|1=''n<sub>p</sub>'' = [{{var|G}} : {{var|G}}<sub>''P''</sub>]}}. For this group action, the stabilizer {{mvar|G}}<sub>''P''</sub> is given by {{math|1={{mset|1= {{var|g}} ∈ {{var|G}} {{pipe}} ''gPg''<sup>−1</sup> = ''P'' }}  = ''N''<sub>G</sub>(''P'')}}, the normalizer of ''P'' in {{var|G}}. Thus, {{math|1=''n<sub>p</sub>'' = [{{var|G}} : ''N<sub>G</sub>''(''P'')]}}, and it follows that this number is a divisor of {{math|1=[{{var|G}} : ''P''] = {{abs|{{var|G}}}}/''q''}}.

Now let ''P'' act on Ω by conjugation, and again let Ω<sub>0</sub> denote the set of fixed points of this action. Let {{math|1=''Q'' ∈ Ω<sub>0</sub>}} and observe that then {{math|1=''Q'' = ''xQx''<sup>−1</sup>}} for all {{math|1=''x'' ∈ ''P''}} so that ''P'' ≤ ''N<sub>G</sub>''(''Q'').  By Theorem 2, ''P'' and ''Q'' are conjugate in ''N<sub>G</sub>''(''Q'') in particular, and ''Q'' is normal in ''N<sub>G</sub>''(''Q''), so then ''P'' = ''Q''.  It follows that Ω<sub>0</sub> = {''P''} so that, by the Lemma, {{math|1={{abs|Ω}} ≡ {{abs|Ω<sub>0</sub>}} = 1 (mod&nbsp;''p'')}}.}}

== एल्गोरिदम ==
इस प्रकार से किसी दिए गए समूह के सिलो उपसमूह को खोजने की समस्या [[कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत]] में महत्वपूर्ण समस्या है।

जिससे सिलो 𝑝 -उपसमूहों के अस्तित्व का प्रमाण रचनात्मक है: यदि ''H'' , ''G'' का 𝑝 -उपसमूह है और सूचकांक [''G'':''H''] पी से विभाज्य है, तो सामान्यीकरणकर्ता ''N'' = ''N<sub>G</sub>''(''H'') में ''H'' का (''G'' ) भी ऐसा है कि [''N'' : ''H''] ''p'' से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, सिलो 𝑝 -उपसमूह की पॉलीसाइक्लिक जनरेटिंग प्रणाली किसी भी 𝑝 -उपसमूह एच (पहचान सहित) से प्रारंभ करके और ''H'' के नॉर्मलाइज़र में निहित 𝑝 -पावर क्रम के तत्वों को लेकर पाई जा सकती है, किन्तु ''G'' में ही नहीं। इसका एल्गोरिथम संस्करण (और कई सुधार) बटलर में पाठ्यपुस्तक के रूप में वर्णित है,{{sfn|Butler|1991|loc=Chapter 16}} जिसमे कैनन में वर्णित एल्गोरिदम भी सम्मिलित है ।{{sfn|Cannon|1971}} ये संस्करण अभी भी [[GAP कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली]] में उपयोग किए जाते हैं।

अतः [[क्रमपरिवर्तन समूह]] में, कांटोर में यह सिद्ध हो चुका है{{sfn|Kantor|1985a}}{{sfn|Kantor|1985b}}{{sfn|Kantor|1990}} और कांटोर और टेलर,{{sfn|Kantor|Taylor|1988}} कि सिलो 𝑝 -उपसमूह और इसका नॉर्मलाइज़र इनपुट के बहुपद समय (समूह की डिग्री जनरेटर की संख्या से गुणा) में पाया जा सकता है। इन एल्गोरिदम को सेरेस में पाठ्यपुस्तक के रूप में वर्णित किया गया है,{{sfn|Seress|2003}} और अब वास्तविक होते जा रहे हैं क्योंकि परिमित सरल समूहों की रचनात्मक पहचान वास्तविकता बन गई है। विशेष रूप से, इस एल्गोरिदम के संस्करणों का उपयोग [[मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली]] में किया जाता है।

== यह भी देखें ==
{{Div col}}
* फ्रैटिनी का तर्क
* [[हॉल उपसमूह]]
* [[अधिकतम उपसमूह]]
* [[पी-समूह]]
{{Div col end}}

== टिप्पणियाँ ==
{{reflist|refs=
<ref name=Sylow1872>{{Cite journal |last=Sylow |first=L. |author-link=Peter Ludwig Mejdell Sylow |date=1872 |title=Théorèmes sur les groupes de substitutions |journal=[[Mathematische Annalen|Math. Ann.]] |volume=5 |issue=4 |pages=584–594 |language=fr |doi=10.1007/BF01442913 |jfm=04.0056.02 |s2cid=121928336 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002242052 }}</ref>

<ref name=GraciaSaz_WebPDF>{{Cite web |last=Gracia–Saz |first=Alfonso |title=Classification of groups of order 60 |website=math.toronto.edu |url-status=live |url=http://www.math.toronto.edu/alfonso/347/Groups60.pdf |access-date=8 May 2021 |archive-date=28 October 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201028175748/http://www.math.toronto.edu/alfonso/347/Groups60.pdf}}</ref>

<ref name=Fraleigh_2004_322>{{cite book |last=Fraleigh |first=John B. |date=2004 |others=with contribution by Victor J. Katz |title=A First Course In Abstract Algebra |publisher=Pearson Education |page=322 |isbn=9788178089973}}</ref>
}}

==संदर्भ==
=== प्रमाण ===
* {{Cite journal |last1=Casadio |first1=Giuseppina |last2=Zappa |first2=Guido |date=1990 |title=सिलो प्रमेय का इतिहास और इसके प्रमाण|journal=<abbr Title="Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche">Boll. Storia Sci. Mat.</abbr> |volume=10 |issue=1 |pages=29–75 |language=it |issn=0392-4432 |mr=1096350 |zbl=0721.01008
}}
* {{Cite journal |last=Gow |first=Rod |date=1994 |title=सिलो के प्रमेय का सिलो का प्रमाण|journal=<abbr Title="Irish Mathematical Society Bulletin">Irish Math. Soc. Bull.</abbr> |volume=0033 |issue=33 |pages=55–63 |doi=10.33232/BIMS.0033.55.63 |issn=0791-5578 |mr=1313412 |zbl=0829.01011
|doi-access=free }}
* {{Cite journal |last1=Kammüller |first1=Florian |last2=Paulson |first2=Lawrence C. |date=1999 |title=सिलो के प्रमेय का एक औपचारिक प्रमाण। इसाबेल एचओएल के साथ अमूर्त बीजगणित में एक प्रयोग|journal=<abbr Title="Journal of Automated Reasoning">J. Automat. Reason.</abbr> |volume=23 |issue=3 |pages=235–264 |doi=10.1023/A:1006269330992 |issn=0168-7433 |mr=1721912 |zbl=0943.68149 |s2cid=1449341 |archive-date=2006-01-03 |url=http://www.cl.cam.ac.uk/users/lcp/papers/Kammueller/sylow.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20060103223152/http://www.cl.cam.ac.uk/users/lcp/papers/Kammueller/sylow.pdf }}
* {{Cite journal |last=Meo |first=M. |date=2004 |title=कॉची के समूह प्रमेय का गणितीय जीवन|journal=[[Historia Mathematica|Historia Math.]] |volume=31 |issue=2 |pages=196–221 |doi=10.1016/S0315-0860(03)00003-X |issn=0315-0860 |mr=2055642 |zbl=1065.01009 |doi-access=free 
}}
* {{Cite journal |last=Scharlau |first=Winfried |date=1988 |title=सिलो प्रमेय की खोज|journal=[[Historia Mathematica|Historia Math.]] |volume=15 |issue=1 |pages=40–52 |language=de |doi=10.1016/0315-0860(88)90048-1 |issn=0315-0860 |mr=931678 |zbl=0637.01006 |doi-access=free 
}}
* {{Cite journal |last=Waterhouse |first=William C. |author-link=William C. Waterhouse |date=1980 |title=सिलो के प्रमेय के प्रारंभिक प्रमाण|journal=<abbr Title="Archive for History of Exact Sciences">Arch. Hist. Exact Sci.</abbr> |volume=21 |issue=3 |pages=279–290 |doi=10.1007/BF00327877 |issn=0003-9519 |mr=575718 |zbl=0436.01006
|s2cid=123685226 }}
* {{Cite journal |last=Wielandt |first=Helmut |author-link=:de:Helmut Wielandt |date=1959 |title=सिलो समूहों के अस्तित्व का एक प्रमाण|journal=<abbr Title="Archiv der Mathematik">Arch. Math.</abbr> |volume=10 |issue=1 |pages=401–402 |language=de |doi=10.1007/BF01240818 |issn=0003-9268 |mr=0147529 |zbl=0092.02403|s2cid=119816392 }}

=== एल्गोरिदम ===
* {{Cite book |last=Butler |first=G. |date=1991 |title=क्रमपरिवर्तन समूहों के लिए मौलिक एल्गोरिदम|series=[[Lecture Notes in Computer Science]] |volume=559 |location=Berlin, New York City |publisher=[[Springer-Verlag]] |doi=10.1007/3-540-54955-2 |isbn=9783540549550 |mr=1225579 |zbl=0785.20001
|s2cid=395110 }}
* {{Cite book |last=Cannon |first=John J. |date=1971 |chapter=Computing local structure of large finite groups |title=बीजगणित और संख्या सिद्धांत में कंप्यूटर (<abbr title='अनुप्रयुक्त गणित में SIAM-AMS संगोष्ठी की कार्यवाही'>प्रोक. SIAM-AMS संगोष्ठी। अनुप्रयोग गणित।</abbr>, न्यूयॉर्क शहर, 1970)|series=<abbr title="SIAM-AMS Proceedings">SIAM-AMS Proc.</abbr> |volume=4 |location=Providence RI |publisher=[[American Mathematical Society|AMS]] |pages=161–176 |issn=0160-7634 |mr=0367027 |zbl=0253.20027
}}
* {{Cite journal |last=Kantor |first=William M. |date=1985a |title=अभाज्य क्रम और सिलो उपसमूहों के तत्वों को खोजने के लिए बहुपद-समय एल्गोरिदम|journal=<abbr Title="Journal of Algorithms">J. Algorithms</abbr> |volume=6 |issue=4 |pages=478–514 |doi=10.1016/0196-6774(85)90029-X |issn=0196-6774 |mr=813589 |zbl=0604.20001 |citeseerx=10.1.1.74.3690 |url=http://uoregon.edu/~kantor/PAPERS/primeorder.pdf 
}}
* {{Cite journal |last=Kantor |first=William M. |author-link=William Kantor |date=1985b |title=बहुपद समय में सिलो का प्रमेय|journal=<abbr Title="Journal of Computer and System Sciences">J. Comput. Syst. Sci.</abbr> |volume=30 |issue=3 |pages=359–394 |doi=10.1016/0022-0000(85)90052-2 |issn=1090-2724 |mr=805654 |zbl=0573.20022
|doi-access=free }}
* {{Cite journal |last1=Kantor |first1=William M. |last2=Taylor |first2=Donald E. |date=1988 |title=सिलो के प्रमेय के बहुपद-समय संस्करण|journal=<abbr Title="Journal of Algorithms">J. Algorithms</abbr> |volume=9 |issue=1 |pages=1–17 |doi=10.1016/0196-6774(88)90002-8 |issn=0196-6774 |mr=925595 |zbl=0642.20019
}}
* {{Cite journal |last=Kantor |first=William M. |date=1990 |title=बहुपद समय में साइलो नॉर्मलाइज़र ढूँढना|journal=<abbr Title="Journal of Algorithms">J. Algorithms</abbr> |volume=11 |issue=4 |pages=523–563 |doi=10.1016/0196-6774(90)90009-4 |issn=0196-6774 |mr=1079450 |zbl=0731.20005
}}
* {{Cite book |last=Seress |first=Ákos |date=2003 |title=क्रमपरिवर्तन समूह एल्गोरिदम|series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=152 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=9780521661034 |mr=1970241 |zbl=1028.20002}}

== बाहरी संबंध ==
* {{springer|title=Sylow theorems|id=p/s091560}}
* {{Wikibooks-inline|Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems}}
* {{MathWorld |title=Sylow p-Subgroup |id=Sylowp-Subgroup}}
* {{MathWorld |title=Sylow Theorems |id=SylowTheorems}}

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