View source for स्टीन मैनिफोल्ड

गणित में, कई सम्मिश्र चर और सम्मिश्र मैनिफोल्ड के कार्य के सिद्धांत में, '''स्टीन मैनिफोल्ड''' ''n'' [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] आयामों के [[सदिश स्थल|सदिश समिष्ट]] का सम्मिश्र [[सबमैनिफोल्ड|अर्धमैनिफोल्ड]] है। इन्हें {{harvs|txt|authorlink=कार्ल स्टीन|first=Karl |last=Stein|year=1951}} द्वारा प्रस्तुत किया गया और उनके नाम पर रखा गया। स्टीन स्पेस स्टीन मैनिफोल्ड के समान है किंतु इसमें विलक्षणताएं होने की अनुमति है। स्टीन रिक्त समिष्ट बीजगणितीय ज्यामिति में एफ़िन विविधता या एफ़िन योजनाओं के अनुरूप हैं।

== परिभाषा ==
कल्पना कीजिये <math>X</math> सम्मिश्र आयाम का सम्मिश्र विविधता है <math>n</math> और <math>\mathcal O(X)</math> [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] की वलय को <math>X.</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, <math>X</math> द्वारा यदि निम्नलिखित नियम पूर्ण होते हैं तो X स्टीन मैनिफोल्ड है:

* <math>X</math> होलोमोर्फिक रूप से उत्तल है, अर्थात प्रत्येक [[ सघन स्थान |सघन समिष्ट]] उपसमुच्चय के लिए <math>K \subset X</math>, तथाकथित होलोमोर्फिकली उत्तल है,
::<math>\bar K = \left \{z \in X \,\left|\, |f(z)| \leq \sup_{w \in K} |f(w)| \ \forall f \in \mathcal O(X) \right. \right \},</math>
:<math>X</math> का भी सघन उपसमुच्चय हैं।

* <math>X</math> होलोमोर्फिक रूप से भिन्न करने योग्य है, अर्थात यदि <math>x \neq y</math> में दो बिंदु हैं <math>X</math>, तो वहाँ <math>f \in \mathcal O(X)</math> ऐसा है कि <math>f(x) \neq f(y).</math> उपस्तिथ है।

== असम्मिश्र रीमैन सतहें स्टीन मैनिफोल्ड्स हैं ==
मान लीजिए कि X जुड़ा हुआ, असम्मिश्र रीमैन सतह है। [[हेनरिक बेन्के]] और स्टीन (1948) के गहरी प्रमेय का आशय है कि X स्टीन मैनिफोल्ड है।

अन्य परिणाम, जिसका श्रेय [[हंस ग्राउर्ट]] और हेल्मुट रोहरल (1956) को दिया जाता है, यह बताता है कि X पर प्रत्येक [[होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल|होलोमोर्फिक सदिश बंडल]] तुच्छ है। विशेष रूप से, प्रत्येक पंक्ति बंडल तुच्छ है, इसलिए <math>H^1(X, \mathcal O_X^*) =0 </math> [[घातीय शीफ़ अनुक्रम]] निम्नलिखित त्रुटिहीन अनुक्रम की ओर ले जाता है:

: <math>H^1(X, \mathcal O_X) \longrightarrow H^1(X, \mathcal O_X^*) \longrightarrow H^2(X, \Z) \longrightarrow H^2(X, \mathcal O_X) </math>
अब कार्टन का प्रमेय B यह <math>H^1(X,\mathcal{O}_X)= H^2(X,\mathcal{O}_X)=0 </math> इसलिए <math>H^2(X,\Z) =0</math> दर्शाता है , 

यह दूसरी कजिन समस्या के समाधान से संबंधित है।

== स्टीन मैनिफोल्ड के गुण और उदाहरण ==
* मानक सम्मिश्र समिष्ट <math>\Complex^n</math> स्टीन मैनिफोल्ड है।

* होलोमोर्फी के प्रत्येक डोमेन में <math>\Complex^n</math> स्टीन मैनिफोल्ड है।

* यह अधिक सरलता से दिखाया जा सकता है कि स्टीन मैनिफोल्ड का प्रत्येक विवृत सम्मिश्र अर्धमैनिफोल्ड भी स्टीन मैनिफोल्ड है।

* स्टीन मैनिफोल्ड्स के लिए एम्बेडिंग प्रमेय निम्नलिखित बताता है: प्रत्येक स्टीन मैनिफोल्ड सम्मिश्र आयाम का <math>X</math>, <math>n</math> में एम्बेड किया जा सकता है। बायोलोमोर्फिक <math>\Complex^{2 n+1}</math> [[उचित मानचित्र]] द्वारा दिया जाता है।

इन तथ्यों का अर्थ है कि स्टीन मैनिफोल्ड सम्मिश्र समिष्ट का विवृत सम्मिश्र अर्धमैनिफोल्ड है, जिसकी सम्मिश्र संरचना परिवेशीय समिष्ट की है (क्योंकि एम्बेडिंग [[बिहोलोमोर्फिक]] है)।

* (सम्मिश्र) आयाम n के प्रत्येक स्टीन मैनिफोल्ड में n-आयामी CW-सम्मिश्र का होमोटॉपी प्रकार होता है।

* सम्मिश्र आयाम में स्टीन की स्थिति को सरल बनाया जा सकता है: जुड़ा हुआ रीमैन सतह स्टीन मैनिफोल्ड है यदि केवल यह कॉम्पैक्ट नहीं है। बेह्नके और स्टीन के कारण, रीमैन सतहों के लिए रनगे प्रमेय के संस्करण का उपयोग करके इसे सिद्ध किया जा सकता है।

* सभी स्टीन कई गुना <math>X</math> होलोमोर्फिक रूप से विस्तारित योग्य है, अर्थात सभी बिंदु के लिए <math>x \in X</math>, वहाँ हैं <math>n</math> होलोमोर्फिक फलन सभी पर परिभाषित हैं <math>X</math> जो कुछ संवृत निकटम तक सीमित होने पर समिष्टीय समन्वय प्रणाली <math>x</math> बनाते है।

* स्टीन मैनिफोल्ड होना (सम्मिश्र) दृढ़ता से छद्म उत्तल मैनिफोल्ड होने के समान है। उत्तरार्द्ध का तात्पर्य है कि इसमें दृढ़ता से स्यूडोकोनवेक्स (या [[प्लुरिसुबार्मोनिक फ़ंक्शन|प्लुरिसुबार्मोनिक फलन]]) संपूर्ण फलन है, अर्थात सुचारू वास्तविक फलन <math>\psi</math> पर <math>X</math> (जिसे [[मोर्स सिद्धांत]] माना जा सकता है) के साथ <math>i \partial \bar \partial \psi >0</math>, जैसे कि उपसमुच्चय <math>\{z \in X \mid \psi (z)\leq c \}</math> में सघन हैं प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>X</math>, <math>c</math> यह तथाकथित लेवी समस्या का समाधान है,<ref>{{Eom| title = Levi problem | author-last1 = Onishchik| author-first1 = A.L.| oldid = 47620}}</ref> जिसका नाम [[यूजेनियो एलिया लेवी]] (1911) के नाम पर रखा गया। कार्यक्रम <math>\psi</math> 'स्टीन डोमेन' नामक सीमा के साथ कॉम्पैक्ट सम्मिश्र मैनिफोल्ड के संबंधित वर्ग के विचार के लिए स्टीन मैनिफोल्ड के सामान्यीकरण को आमंत्रित करता है। स्टीन डोमेन प्रीइमेज <math>\{z \mid -\infty\leq\psi(z)\leq c\}</math> कुछ लेखक ऐसे मैनिफोल्ड्स को सम्मिश्रता से स्यूडोकॉनवेक्स मैनिफोल्ड्स कहते हैं।

*पूर्व आइटम से संबंधित, सम्मिश्र आयाम 2 में समकक्ष और अधिक टोपोलॉजिकल परिभाषा निम्नलिखित है: स्टीन सतह ऐसी सम्मिश्र सतह X है जिसमें X पर वास्तविक-मूल्यवान मोर्स फलन f के महत्वपूर्ण बिंदुओं से दूर होता है, पूर्वछवि के लिए सम्मिश्र स्पर्शरेखाओं का क्षेत्र <math>X_c=f^{-1}(c)</math> ज्यामिति है जो X<sub>c</sub> पर अभिविन्यास प्रेरित करती है सीमा के रूप में सामान्य अभिविन्यास से सहमत होना <math>f^{-1}(-\infty, c).</math> वह है, <math>f^{-1}(-\infty, c)</math> X<sub>c</sub> की स्टीन [[सिम्पेक्टिक फिलिंग]] हैं।

इस प्रकार के मैनिफोल्ड्स के कई और लक्षण उपस्तिथ हैं, विशेष रूप से सम्मिश्र संख्याओं में मान लेने वाले उनके कई होलोमोर्फिक फलनों के गुण को कैप्चर करना होता है। उदाहरण के लिए [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] से संबंधित कार्टन के प्रमेय A और B देखें। आरंभिक प्रोत्साहन विश्लेषणात्मक फलन से (अधिकतम) [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] की परिभाषा के क्षेत्र के गुणों का वर्णन करना था।

उपमाओं के [[GAGA]] सेट में, स्टीन मैनिफोल्ड्स एफ़िन के अनुरूप हैं।

सम्मिश्र विश्लेषण में स्टीन मैनिफोल्ड्स कुछ अर्थों में अण्डाकार मैनिफोल्ड्स से दोहरे होते हैं जो सम्मिश्र संख्याओं से कई होलोमोर्फिक फलनों को स्वयं में स्वीकार करते हैं। यह ज्ञात है कि स्टीन मैनिफोल्ड अण्डाकार है यदि केवल तभी जब यह तथाकथित होलोमोर्फिक होमोटॉपी सिद्धांत के अर्थ में [[रेशेदार वस्तु|फब्रांट]] हो।

== सुचारू मैनिफोल्ड से संबंध ==

आयाम 2n के प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड, जिसमें केवल इंडेक्स ≤n के हैंडल होते हैं, इसमें स्टीन संरचना होती है जो n > 2 प्रदान करती है, और जब n = 2 समान होती है, नियमानुसार 2-हैंडल कुछ फ्रेमिंग (थर्स्टन से कम फ्रेमिंग) के साथ जुड़े हों -बेनेक्विन फ़्रेमिंग)।<ref>[[Yakov Eliashberg]], Topological characterization of Stein manifolds of dimension >&nbsp;2, [[International Journal of Mathematics]] vol. 1, no 1 (1990) 29–46.</ref><ref>[[Robert Gompf]], Handlebody construction of Stein surfaces, [[Annals of Mathematics]] 148, (1998) 619–693.</ref> प्रत्येक विवृत स्मूथ 4-मैनिफोल्ड उनकी सामान्य सीमा के साथ चिपके हुए दो स्टीन 4-मैनिफोल्ड का संघ है।<ref>[[Selman Akbulut]] and Rostislav Matveyev, A convex decomposition for four-manifolds, [[International Mathematics Research Notices]]   (1998), no.7, 371–381. {{MR|1623402}}</ref>


==टिप्पणियाँ==
<references/>


== संदर्भ ==
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*{{citation|last1=Forster | first1=Otto | author1-link= Otto Forster | title=Lectures on Riemann surfaces | publisher=Springer Verlag | location=New-York | series=Graduate Text in Mathematics | isbn=0-387-90617-7 | year=1981 | volume=81}} (including a proof of Behnke-Stein and Grauert–Röhrl theorems)
*{{cite book |doi=10.1007/978-3-642-22250-4|title=Stein Manifolds and Holomorphic Mappings |year=2011 |last1=Forstnerič |first1=Franc |series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics |volume=56 |isbn=978-3-642-22249-8 }}
*{{citation|last1=Hörmander | first1=Lars | author1-link= Lars Hörmander | title=An introduction to complex analysis in several variables | publisher =North-Holland Publishing Co. | location=Amsterdam | series=North-Holland Mathematical Library | isbn=978-0-444-88446-6 | mr=1045639  | year=1990 | volume=7}} (including a proof of the embedding theorem)
*{{citation|last1=Gompf | first1=Robert E. | title=Handlebody construction of Stein surfaces | mr=1668563  | year=1998 | journal=[[Annals of Mathematics]] |series=Second Series | issn=0003-486X | volume=148 | issue=2 | pages=619–693 | doi=10.2307/121005 | jstor=121005 | publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 148, No. 2| arxiv=math/9803019 | s2cid=17709531 }} (definitions and constructions of Stein domains and manifolds in dimension 4)
*{{citation|mr=0580152|last1=Grauert|first1= Hans|last2= Remmert|first2= Reinhold|title=Theory of Stein spaces|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |volume=236|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin-New York|year= 1979|isbn= 3-540-90388-7 }}
*{{cite journal |doi=10.1007/s00208-009-0463-0|title=Locally conformal Kähler manifolds with potential|year=2010|last1=Ornea|first1=Liviu|last2=Verbitsky|first2=Misha|journal=Mathematische Annalen|volume=348|pages=25–33|s2cid=10734808}}
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*{{citation|mr=0043219|last=Stein|first= Karl|title=Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem|language=German|journal=Math. Ann. |volume=123|year=1951|pages=201–222|doi=10.1007/bf02054949|s2cid=122647212 }}
*{{cite journal |arxiv=math/0610886|last1=Zhang|first1=Jing|title=Algebraic Stein Varieties|year=2006|bibcode=2006math.....10886Z}}

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