View source for स्थानीय रूप से चक्रीय समूह

गणित में, एक स्थानीय रूप से [[चक्रीय समूह]] एक समूह (''जी'', *) होता है जिसमें प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह चक्रीय समूह होता है।

== कुछ तथ्य ==
* प्रत्येक चक्रीय समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है, और प्रत्येक स्थानीय चक्रीय समूह [[एबेलियन समूह]] होता है।{{sfnp|Rose|2012|p=54}}
* प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थानीय रूप से चक्रीय समूह चक्रीय है।
* स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का प्रत्येक [[उपसमूह]] और [[भागफल समूह]] स्थानीय रूप से चक्रीय होता है।
* स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की प्रत्येक [[समरूपता]] छवि स्थानीय रूप से चक्रीय होती है।
* एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है यदि और केवल यदि समूह में तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एक चक्रीय समूह उत्पन्न करती है।
* एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके [[उपसमूहों की जाली]] वितरण {{harv|Ore|1938}} है 
*स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का मरोड़-मुक्त श्रेणी 0 या 1 है।
* स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की [[एंडोमोर्फिज्म रिंग]] [[ क्रमविनिमेय अंगूठी |क्रमविनिमेय]] [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|रिंग]] है।

== स्थानीय रूप से चक्रीय समूहों के उदाहरण जो चक्रीय नहीं हैं ==
{{unordered list
|[[तर्कसंगत संख्या]]s ('''Q''', +) का योज्य समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है - परिमेय संख्याओं का कोई भी युग्म ''a''/''b'' और ''c''/' 'd'' 1/(''bd'') द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है। {{sfnp|Rose|2012|p=52}}|[[डाइडिक परिमेय संख्या]] का योज्य समूह, ''a''/2<sup>''b''</sup> के रूप की परिमेय संख्याएँ, स्थानीय रूप से चक्रीय भी है - डाइएडिक परिमेय का कोई भी जोड़ा संख्याएँ ''a''/2<sup>''b''</sup> और ''c''/2<sup>''d''</sup> 1/ द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है 2<sup>अधिकतम(''b'',''d'')</sup>.|आज्ञा दें ''p'' कोई अभाज्य हो, और दें ''μ''<sub>''p''<sup>∞</sup></sub> सभी के समूह को निरूपित करें ''p''वें शक्ति[[एकता की जड़|एकता की जड़ें]] '''C''' में, i.e.
: <math>\mu_{p^\infty} = \left\{\exp\left(\frac{2\pi im}{p^k}\right) : m, k \in \mathbb{Z}\right\}</math>

फिर ''&mu;''<sub>''p''<sup>&infin;</sup></sub> स्थानीय रूप से चक्रीय है किन्तु चक्रीय नहीं है। यह [[प्रूफर समूह |प्रूफर ''पी''-समूह ]] है। Prüfer 2-समूह डायाडिक परिमेय से निकटता से संबंधित है (इसे डायाडिक परिमेय मोडुलो 1 के रूप में देखा जा सकता है)।
}}

== एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं                                                           ==
* [[वास्तविक संख्या]]ओं का योज्य समूह ('''R''', +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह {{pi}} (''a'' + ''b{{pi}}'' के रूप की सभी संख्याएं सम्मिलित हैं) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए [[समूह समरूपता]] है, जो चक्रीय नहीं है।

==संदर्भ==
{{Reflist}}

{{Refbegin}}
*{{citation
 | last = Hall | first = Marshall, Jr. | author-link = Marshall Hall (mathematician)
 | contribution = 19.2 Locally Cyclic Groups and Distributive Lattices
 | isbn = 978-0-8218-1967-8
 | pages = 340–341
 | publisher = American Mathematical Society
 | title = Theory of Groups
 | year = 1999}}.

*{{citation
 | last = Ore | first = Øystein | author-link = Øystein Ore
 | doi = 10.1215/S0012-7094-38-00419-3
 | mr = 1546048
 | issue = 2
 | journal = Duke Mathematical Journal
 | pages = 247–269
 | title = Structures and group theory. II
 | volume = 4
 | year = 1938| url = http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/100155/CzechMathJ_05-1955-3_8.pdf
 }}.

*{{cite book|title=A Course on Group Theory|last=Rose|first=John S.|date=2012|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-68194-8|orig-year=unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978}}
{{Refend}}

[[Category:Created On 26/04/2023]]
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[[Category:एबेलियन समूह सिद्धांत]]
[[Category:समूहों के गुण]]