View source for स्पाइकर केंद्र

{{short description|Center of mass of a triangle’s perimeter}}


[[ज्यामिति]] में, स्पाइकर केंद्र समतल त्रिभुज से जुड़ा एक विशेष बिंदु है। इसे त्रिभुज की परिधि के द्रव्यमान के केंद्र के रूप में परिभाषित किया गया है। त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के आकार में एक समघात तार फ्रेम का स्पाइकर केंद्र है।<ref name=Ross>{{cite book|last=Honsberger|first=Ross|title=उन्नीसवीं और बीसवीं सदी के यूक्लिडियन ज्यामिति में एपिसोड|year=1995|publisher=Mathematical Association of America|pages=3–4}}</ref><ref>{{cite web|last=Kimberling|first=Clark|title=स्पाइकर केंद्र|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/spieker.html|accessdate=5 May 2012}}</ref> इस बिंदु का नाम 19वीं सदी के [[जर्मनी|जर्मन]][[ ज्यामितिशास्त्रीय | ज्यामितिशास्त्रीय]] [[थिओडोर स्पाइकर]] के सम्मान में रखा गया है।<ref>{{cite book|last=Spieker|first=Theodor|title=विमान ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक|year=1888|location=Potsdam, Germany}}</ref> स्पाइकर केंद्र एक त्रिभुज केंद्र है और इसे [[क्लार्क किम्बरलिंग]] के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिंदु X (10) के रूप में सूचीबद्ध किया गया है।

== स्थान ==
[[File:SpiekerCenter.svg|thumb|350px|स्पाइकर केंद्र का निर्माण।
{{legend|#ffe8c4|त्रिभुज {{math|△''ABC''}}}}
{{legend|#c4a487|[[मध्यवर्वी त्रिभुज]] {{math|△''DEF''}} of {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid black|[[कोण द्विभाजक]] का {{math|△''DEF''}} ([[समवर्ती रेखाएँ|समवर्ती]] पर '''स्पाइकर केंद्र''' {{mvar|S}})}}
{{legend-line|solid red|[[अंकित वृत्त]] का {{math|△''DEF''}} ([[स्पाइकर वृत्त]] का {{math|△''ABC''}}; पर {{mvar|S}}) केंद्रित है }}]]किसी भी त्रिभुज के स्पाइकर केंद्र का पता लगाने के लिए निम्नलिखित परिणाम का उपयोग किया जा सकता है।<ref name=Ross/> 

त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के माध्यिका त्रिभुज का अंत:केंद्र है। 

अर्थात्, {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के मध्य त्रिकोण में अँकित हुए वृत्त का केंद्र है। इस वृत्त को स्पाइकर वृत्त के नाम से जाना जाता है।

स्पाइकर केंद्र त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के तीन [[क्लीवर (ज्यामिति)|क्लीवरों]] के प्रतिच्छेद पर भी स्थित है। त्रिभुज का क्लीवर एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के परिधि को द्विभाजित करता है और और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर एक अंत बिंदु होता है। प्रत्येक क्लीवर में {{math|△''ABC''}} की सीमा के द्रव्यमान का केंद्र होता है, इसलिए तीन क्लीवर स्पाइकर केंद्र में मिलते हैं।

यह देखने के लिए कि मध्य त्रिभुज का अंतःकेन्द्र क्लीवर के प्रतिच्छेद बिंदु के अनुरूप होता है, त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के आकार में एक समघात तार फ्रेम पर विचार करें जिसमें लंबाई {{mvar|a, b, c}} वाले रेखा खंडों के रूप में तीन तार सम्मलित हैं। तार के फ्रेम का द्रव्यमान केंद्र वही है जो द्रव्यमान {{mvar|a, b, c}} के तीन कणों की प्रणाली के रूप में भुजाओं {{mvar|{{overline|BC}}, {{overline|CA}}, {{overline|AB}}}} के मध्य बिंदु {{mvar|D, E, F}} पर रखा गया हैं। {{mvar|E}} और {{mvar|F}} पर कणों के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु {{mvar|P}} है जो खंड {{mvar|{{overline|EF}}}} को {{math|''c'' : ''b''}} के अनुपात में विभाजित करता हैं। रेखा {{mvar|DP}}, {{math|∠''D''}} का आंतरिक द्विभाजक हैं। इस प्रकार तीन कण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र {{math|∠''D''}} के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित हैं। इसी तरह के तर्क बताते हैं कि तीन कण प्रणाली का केंद्र द्रव्यमान {{math|∠''E''}} और {{math|∠''F''}} के आंतरिक द्विभाजक पर भी स्थित है। यह इस प्रकार है कि तार फ्रेम के द्रव्यमान का केंद्र त्रिभुज {{math|△''DEF''}} के कोणों के आंतरिक द्विभाजक की सहमति का बिंदु है, जो माध्यिका त्रिभुज {{math|△''DEF''}} का अंतःकेन्द्र हैं।

== गुण ==
[[File:CleavanceCenter.svg|thumb|350px|त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र त्रिभुज का क्लीवेंस केंद्र है।
{{legend|#ffe8c4|त्रिभुज {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|dashed #333333|द्विभाजक कोण का {{math|△''ABC''}} (समवर्ती पर [[केंद्र]] {{mvar|I}})}}
{{legend-line|solid blue|[[क्लीवर (geometry)|क्लीवर]] का {{math|△''ABC''}} (समवर्ती पर '''स्पाइकर केंद्र''' {{mvar|S}})}}
{{legend|#c4a487|[[मध्य त्रिभुज]] {{math|△''DEF''}} का {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid red|अंकित वृत्त का {{math|△''DEF''}} (स्पाईकर वृत्त का {{math|△''ABC''}}; {{mvar|S}} पर केंद्रित है) }}]]मान लीजिए {{mvar|S}} त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र है।
* {{mvar|S}} के त्रिरेखीय निर्देशांक हैं
:: <math>bc(b+c) : ca(c+a) : ab(a+b).</math><ref name=Clark>{{cite web|last=Kimberling|first=Clark|title=त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश|url= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html|accessdate=5 May 2012}}</ref>
*{{mvar|S}} के [[बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली (गणित)|बैरीसेंट्रिक निर्देशांक]] हैं
:: <math>b+c : c+a : a+b.</math><ref  name=Clark/>
*{{mvar|S}} तीन बाह्यवृत्तों का [[शक्ति केंद्र (ज्यामिति)|मूल केंद्र]] है।<ref>{{citation|title=Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles|journal=Forum Geometricorum|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf|volume=10|year=2010|pages=35–40|first=Boris|last=Odenhal}}</ref>
*{{mvar|S}} त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का क्लीवर केंद्र है।<ref name="Ross" />
*त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के अंत:केंद्र ({{mvar|I}}), [[केन्द्रक]] ({{mvar|G}}), और [[नागल बिंदु]] ({{mvar|N}}) के साथ {{mvar|S}} संरेख है। इसके अतिरिक्त,<ref>{{cite web|last=Bogomolny|first=A.|authorlink= Alexander Bogomolny |title=इंटरएक्टिव मैथेमैटिक्स विविध और पहेलियाँ से नागल लाइन|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NagelLine.shtml|accessdate=5 May 2012}}</ref>
::<math>IS= SM, \quad IG= 2 \cdot GS, \quad MG= 2\cdot IG.</math>
: इस प्रकार उपयुक्त रूप से मापी गई और स्थित संख्या रेखा पर, {{math|1=''I'' = 0}}, {{math|1=''G'' = 2}}, {{math|1=''S'' = 3}}, और {{math|1=''M'' = 6}} है।.
*{{mvar|S}} [[कीपर्ट शांकव|कीपर्ट अतिपरवलय]] पर स्थित है। {{mvar|S}} रेखाओं {{mvar|AX, BY, CZ}} की सहमति का बिंदु है जहां {{math|△''XBC'', △''YCA'', △''ZAB''}} समान, समद्विबाहु और समान रूप से स्थित त्रिभुज हैं जो त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के आधार पर निर्मित होते हैं, जिनका आधार कोण समान होता है।<ref>{{mathworld|title=Kiepert Hyperbola|urlname=KiepertHyperbola}}</ref>
:: <math>\theta = \tan^{-1}\left[ \tan\left(\frac{A}{2}\right) \tan\left(\frac{B}{2}\right) \tan\left(\frac{C}{2}\right) \right].</math>
==संदर्भ==
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[[Category:त्रिभुज केंद्र]]