View source for हार्मोनिक निर्देशांक

रीमैनियन ज्यामिति में, गणित की एक शाखा, सुसंगत निर्देशांक एक निर्बाध बहुविध पर एक निश्चित प्रकार के [[समन्वय चार्ट|समन्वय लेखाचित्र]] हैं, जो बहुविध पर [[रिमेंनियन मीट्रिक|रिमेंनियन मात्रिक]] द्वारा निर्धारित होते हैं। वे अपने नियमितता गुणों के कारण [[ज्यामितीय विश्लेषण]] की कई समस्याओं में उपयोगी होते हैं।

दो आयामों में, कुछ सुसंगत निर्देशांक जिन्हें समतापी निर्देशांक के रूप में जाना जाता है, जिसका अध्ययन 1800 के प्रारंभ से किया गया है। उच्च आयामों में सुसंगत निर्देशांक प्रारम्भ में [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] और [[कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस]] द्वारा [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना|लोरेंट्ज़ियन बहुविध]] और [[सामान्य सापेक्षता]] के संदर्भ में विकसित किए गए थे (सुसंगत समन्वय स्थिति देखें)।{{sfnm|1a1=Einstein|1y=1916|2a1=Lanczos|2y=1922}} 1981 में [[डेनिस डे टर्क]] और [[जेरी कज़ से]] के काम के बाद, उन्होंने ज्यामितीय विश्लेषण साहित्य में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभानी प्रारम्भ की, हालांकि इदज़ाद सबितोव और एस.जेड. सेफेल ने पांच साल पहले भी यही खोज की थी।{{sfnm|1a1=DeTurck|1a2=Kazdan|1y=1981|2a1=Sabitov|2a2=Šefel|2y=1976}}

== परिभाषा ==
मान लीजिये {{math|(''M'', ''g'')}} एक रीमानी बहुविध आयाम {{mvar|n}} है। एक का कहना है कि {{mvar|M}} के एक खुले उपसमुच्चय {{mvar|U}} पर परिभाषित एक समन्वय लेखाचित्र {{math|(''x''<sup>1</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>)}}, सुसंगत है यदि प्रत्येक व्यक्ति समन्वय फलन {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} {{mvar|U}} पर एक सुसंगत फलन है अर्थात्, किसी को उसकी आवश्यकता है
:<math>\Delta^g x^i = 0.\,</math>
जहाँ {{math|∆<sup>''g''</sup>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी संचालक है। सामान्यतः, समन्वय प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि, मानचित्र के रूप में {{math|''U'' → ℝ<sup>''n''</sup>}} निर्देशांक एक सुसंगत मानचित्र हैं। लाप्लास-बेल्ट्रामी संचालक की स्थानीय परिभाषा के साथ एक सीधी संगणना से पता चलता है कि {{math|(''x''<sup>1</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>)}} एक सुसंगत समन्वय लेखाचित्र है यदि और केवल यदि
:<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng^{ij}\Gamma_{ij}^k = 0\text{ for all }k=1,\ldots,n,</math>
जिसमें {{math|Γ{{su|b=''ij''|p=''k''}}}} दिए गए लेखाचित्र के क्रिस्टोफेल प्रतीक हैं। {{sfnm|1a1=DeTurck|1a2=Kazdan|1y=1981|1loc=Lemma 1.1}} एक निश्चित "पृष्ठभूमि" समन्वय लेखाचित्र {{math|(''V'', ''y'')}} के सापेक्ष, यूक्लिडियन स्थल के एक खुले उपसमुच्चय पर फलन {{math|''x'' ∘ ''y''<sup>−1</sup>}} के संग्रह के रूप में {{math|(''x''<sup>1</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>)}} देख सकते हैं। {{mvar|x}} के सापेक्ष मीट्रिक मापीय को {{mvar|y}} के सापेक्ष मीट्रिक मापीय से एक स्थानीय गणना द्वारा प्राप्त किया जाता है जो {{math|''x'' ∘ ''y''<sup>−1</sup>}} के पहले व्युत्पादित के साथ होता है, और इसलिए {{mvar|x}} के सापेक्ष क्रिस्टोफेल प्रतीकों की गणना {{math|''x'' ∘ ''y''<sup>−1</sup>}} के दूसरे व्युत्पादित से की जाती है। इसलिए सुसंगत निर्देशांक की दोनों परिभाषाएँ, जैसा कि ऊपर दिया गया है, समन्वय कार्यों के लिए दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरणों के साथ करने का गुणात्मक चरित्र है।

क्रिस्टोफेल प्रतीकों की परिभाषा का उपयोग करते हुए, उपरोक्त सूत्र के बराबर है
:<math>2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng^{ij}\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}.</math>


== अस्तित्व और बुनियादी सिद्धांत ==
सुसंगत निर्देशांक हमेशा (स्थानीय रूप से) उपस्थित होते हैं, एक परिणाम जो [[अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण]]ों के अस्तित्व और समाधान की नियमितता पर मानक परिणामों से आसानी से अनुसरण करता है। {{sfnm|1a1=Besse|1y=2008|1p=143|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Lemma 11.2.5}} विशेष रूप से, समीकरण {{math|∆<sup>''g''</sup>''u''<sup>''j''</sup> {{=}} 0}} के पास किसी दिए गए बिंदु {{mvar|p}} के आसपास कुछ खुले सम्मुच्चय में विलयन है, यह इस प्रकार है कि {{math|''u''(''p'')}} और {{math|''du''<sub>''p''</sub>}} दोनों निर्धारित हैं।

सुसंगत निर्देशांक में मात्रिक से संबंधित बुनियादी नियमितता प्रमेय यह है कि यदि मात्रिक के घटक होल्डर स्थल {{math|''C''<sup>''k'', α</sup>}} में हैं, जब कुछ समन्वय लेखाचित्र में व्यक्त किया जाता है, तो लेखाचित्र की सहजता की परवाह किए बिना, उस समन्वय लेखाचित्र से किसी भी सुसंगत समन्वय लेखाचित्र में परिवर्तन मानचित्र होल्डर स्थल {{math|''C''<sup>''k'' + 1, α</sup>}} में होगा। {{sfnm|1a1=DeTurck|1a2=Kazdan|1y=1981|1loc=Lemma 1.2|2a1=Besse|2y=2008|2loc=Proposition 5.19}} विशेष रूप से इसका तात्पर्य है कि मापीय सुसंगत समन्वय लेखाचित्र के सापेक्ष {{math|''C''<sup>''k'', α</sup>}} में भी होगा। {{sfnm|1a1=DeTurck|1a2=Kazdan|1y=1981|1loc=Theorem 2.1}}

जैसा कि पहली बार 1922 में कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस द्वारा खोजा गया था, एक सुसंगत समन्वय लेखाचित्र के सापेक्ष, रिक्की वक्रता द्वारा दिया गया है
:<math>R_{ij}=-\frac{1}{2}\sum_{a,b=1}^n g^{ab}\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^a\partial x^b}+\partial g\ast\partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.</math>
इस सूत्र का मूलभूत पहलू यह है कि, किसी भी निश्चित {{mvar|i}} और {{mvar|j}} के लिए, दाहिनी ओर का पहला पद एक अण्डाकार संकारक है जो स्थानीय रूप से परिभाषित फलन {{math|''g''<sub>''ij''</sub>}} पर लागू होता है। तो यह [[अण्डाकार नियमितता|दीर्घवृत्तीय नियमितता]] से स्वचालित है, और विशेष रूप से स्कॉडर का अनुमान है कि यदि {{mvar|g}} {{math|''C''<sup>2</sup>}} है और {{math|Ric(g)}} {{math|''C''<sup>''k'', α</sup>}} है फिर एक सुसंगत समन्वय लेखाचित्र के सापेक्ष {{mvar|g}} उसी लेखाचित्र {{math|''C''<sup>''k'' + 2, α</sup>}} के सापेक्ष  है। {{sfnm|1a1=DeTurck|1a2=Kazdan|1y=1981|1loc=Theorem 4.5(b)|2a1=Besse|2y=2008|2loc=Theorem 5.20b}} अधिक सामान्यतः, यदि {{mvar|g}} {{math|''C''<sup>''k'', α</sup>}} है (साथ {{mvar|k}} एक से बड़ा) और {{math|Ric(g)}} {{math|''C''<sup>''l'', α</sup>}} है। कुछ समन्वय लेखाचित्र के सापेक्ष, तो सुसंगत समन्वय लेखाचित्र में पारगमन कार्य {{math|''C''<sup>''k'' + 1, α</sup>}} होगा, इसलिए {{math|Ric(g)}} {{math|''C''<sup>min(''l'', ''k''), α</sup>}} सुसंगत समन्वय लेखाचित्र में होगा। तो, पिछले परिणाम से, {{mvar|g}} सुसंगत समन्वय लेखाचित्र में {{math|''C''<sup>min(''l'', ''k'') + 2, α</sup>}} होगा। {{sfnm|1a1=DeTurck|1a2=Kazdan|1y=1981|1loc=Theorem 4.5(c)}}

लैंक्ज़ोस के सूत्र के एक और अनुप्रयोग के रूप में, यह अनुसरण करता है कि [[आइंस्टीन मीट्रिक|आइंस्टीन मात्रिक]] सुसंगत निर्देशांक में [[विश्लेषणात्मक कार्य]] है। {{sfnm|1a1=DeTurck|1a2=Kazdan|1y=1981|1loc=Theorem 5.2|2a1=Besse|2y=2008|2loc=Theorem 5.26}} विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि किसी भी आइंस्टीन मात्रिक पर सहज बहुविध स्वचालित रूप से सुसंगत समन्वय लेखाचित्र के संग्रह द्वारा दिए गए बहुविध पर एक [[ विश्लेषणात्मक कई गुना | विश्लेषणात्मक बहुविध]] निर्धारित करता है।

उपरोक्त विश्लेषण के कारण, सुसंगत निर्देशांकों पर चर्चा करने में यह रीमैनियन मात्रिक पर विचार करने के लिए मानक है जो कम से कम दो बार-लगातार अलग-अलग हैं। हालांकि, अधिक विदेशी फलन रिक्त स्थान के उपयोग के साथ, सुसंगत निर्देशांक के अस्तित्व और नियमितता पर उपरोक्त परिणाम उन समायोजन तक बढ़ाए जा सकते हैं जहां मात्रिक बहुत शक्तिहीन नियमितता है।{{sfnm|1a1=Taylor|1y=2000|1loc=Sections 3.9 & 3.10}}

== स्पर्शोन्मुख रूप से समतल स्थानों में सुसंगत निर्देशांक ==
सुसंगत निर्देशांकों का उपयोग [[रॉबर्ट बार्टनिक]] द्वारा स्पर्शोन्मुख रूप से समतल स्पेसटाइम के ज्यामितीय गुणों को समझने के लिए किया गया था। {{sfn|Bartnik|1986}} मान लीजिए कि किसी के पास एक पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड {{math|(''M'', ''g'')}} है, और एम के एक सघन उपसमुच्चय के साथ-साथ {{math|''M'' ∖ ''K''}} {{math|ℝ<sup>''n''</sup> ∖ ''B''<sub>''R''</sub>(0)}} तक एक अंतररूपता Φ के साथ है, जैसे कि , सापेक्ष {{math|ℝ<sup>''n''</sup> ∖ ''B''<sub>''R''</sub>(0)}}) पर मानक यूक्लिडियन मेट्रिक δ में आइगेनमान हैं जो समान रूप से सकारात्मक संख्याओं से ऊपर और नीचे बंधे हैं, और ऐसा है कि {{math|(Φ<sup>*</sup>''g'')(''x'')}} कुछ सटीक अर्थों में, δ के रूप में अभिसरित होता है, क्योंकि x अनंत की ओर जाता है। इस तरह के एक भिन्नता को अनंत पर एक संरचना के रूप में जाना जाता है या एसिम्प्टोटिक रूप से समतल निर्देशांक के रूप में जाना जाता है .{{sfnm|1a1=Bartnik|1y=1986|1loc=Definition 2.1|2a1=Lee|2a2=Parker|2y=1987|2p=75-76}}

बार्टनिक का प्राथमिक परिणाम यह है कि स्पर्शोन्मुख रूप से समतल निर्देशांक (यदि कोई खाली नहीं है) के संग्रह में एक सरल स्पर्शोन्मुख संरचना होती है, जिसमें किसी भी दो स्पर्शोन्मुख रूप से समतल निर्देशांक के बीच संक्रमण कार्य अनुमानित रूप से, अनंत के पास, एक परिशोधित परिवर्तन द्वारा होता है।{{sfnm|1a1=Bartnik|1y=1986|1loc=Corollary 3.22|2a1=Lee|2a2=Parker|2y=1987|2loc=Theorem 9.5}} यह स्थापित करने में महत्वपूर्ण है कि एक असम्बद्ध रूप से समतल रिमेंनियन बहुविध की [[एडीएम ऊर्जा]] एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है जो असम्बद्ध रूप से समतल निर्देशांक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है।{{sfnm|1a1=Bartnik|1y=1986|1loc=Theorem 4.2|2a1=Lee|2a2=Parker|2y=1987|2loc=Theorem 9.6}}

इस तथ्य को स्थापित करने में महत्वपूर्ण उपकरण स्वेच्छाचारी स्पर्शोन्मुख समतल निर्देशांक का अनुमान {{math|(''M'', ''g'')}} है स्पर्शोन्मुख रूप से सपाट निर्देशांक द्वारा जो सुसंगत हैं। लाप्लास-बेल्ट्रामी संचालक के लिए फ्रेडहोम के प्रमेय की स्थापना में प्रमुख तकनीकी कार्य है, जब कार्यों के कुछ बनच स्थानों के बीच कार्य करना {{mvar|M}} जो अनंत पर क्षय होता है। {{sfnm|1a1=Bartnik|1y=1986|1loc=Sections 1 & 2|2a1=Lee|2a2=Parker|2y=1987|2loc=Theorem 9.2}} फिर, किसी भी असम्बद्ध रूप से समतल निर्देशांक दिए गए हैं {{math|Φ}}, इस तथ्य से कि
:<math>\Delta^g\Phi^k=-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n g^{ij}\Gamma_{ij}^k,</math>
जो अनंत पर क्षय होता है, यह फ्रेडहोम सिद्धांत से अनुसरण करता है कि कार्य {{math|''z''<sup>''k''</sup>}} होते हैं  जो अनंत पर {{math|Δ<sup>''g''</sup>Φ<sup>''k''</sup> {{=}} Δ<sup>''g''</sup>''z''<sup>''k''</sup>}} इस तरह क्षय होता है, और इसलिए वह {{math|Φ<sup>''k''</sup> − ''z''<sup>''k''</sup>}} सुसंगत हैं। यह वांछित स्पर्शोन्मुख रूप से सपाट सुसंगत निर्देशांक प्रदान करता है। बार्टनिक का प्राथमिक परिणाम इस तथ्य से आता है कि स्पर्शोन्मुख-क्षय सुसंगत कार्यों का सदिश स्थान {{mvar|M}} का आयाम {{math|''n'' + 1}} है, जिसका परिणाम है कि कोई भी दो स्पर्शोन्मुख रूप से समतल सुसंगत समन्वय करता है और {{mvar|M}} सजातीय परिवर्तन से संबंधित हैं। {{sfnm|1a1=Bartnik|1y=1986|1p=678|2a1=Lee|2a2=Parker|2y=1987|2p=78}}

बार्टनिक का काम असम्बद्ध रूप से समतल निर्देशांक के अस्तित्व पर आधारित है। अपने तरीकों के आधार पर, शिगेतोशी बांदो, अत्सुशी कासू, और [[नाकाजिमा खोलें|नाकाजिमा]] ने दिखाया कि एक बिंदु से दूरी के संदर्भ में वक्रता का क्षय, साथ में बड़ी भूगर्भीय गेंदों की मात्रा के बहुपद विकास और आसानी से जुड़े उनके पूरक के रूप में, स्पर्शोन्मुख रूप से सपाट निर्देशांक के अस्तित्व का तात्पर्य है। {{sfnm|1a1=Bando|1a2=Kasue|1a3=Nakajima|1y=1989|1loc=Theorem 1.1 & Remark 1.8(2)}} आवश्यक बिंदु यह है कि उनकी ज्यामितीय धारण पर मानदंड {{mvar|r}} के इष्टतम मूल्य से मेल खाती है {{mvar|Q}} सुसंगत निर्देशांक के लिए जिनके कार्यछेत्र त्रिज्या {{mvar|r}} के भूगर्भीय गेंद हैं। {{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Sections 11.3.1 & 11.3.4}} एंडरसन के काम से पहले और बाद में विभिन्न लेखकों ने ऐसे सुसंगत त्रिज्या अनुमानों के संस्करण पाए हैं। {{sfnm|1a1=Hebey|1y=1999|1loc=Theorem 1.2|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Theorem 11.4.15|3a1=Sakai|3y=1996|3loc=Theorem A6.10}} सुसंगत निर्देशांक लेखाचित्र में रिक्की वक्रता के लिए लैंक्ज़ोस सूत्र के लिए, अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के मानक तरीकों के माध्यम से, प्रमाण का आवश्यक पहलू विश्लेषण है।{{sfnm|1a1=Anderson|1y=1990|1pp=434-435|2a1=Petersen|2y=2016|2pp=427, 429}}

इसलिए, सुसंगत निर्देशांक के उपयोग से पता चलता है कि रीमैनियन बहुविध को समन्वय लेखाचित्र द्वारा समाविष्ट किया जा सकता है जिसमें रीमैनियन बहुविध के स्थानीय प्रतिनिधित्व केवल रीमैनियन बहुविध के गुणात्मक ज्यामितीय व्यवहार द्वारा नियंत्रित होते हैं। 1970 में [[जेफ चीगर]] द्वारा निर्धारित विचारों के बाद, कोई भी रीमैनियन बहुविध के अनुक्रमों पर विचार कर सकता है जो समान रूप से ज्यामितीय रूप से नियंत्रित होते हैं, और निर्देशांक का उपयोग करके, एक सीमा रीमैनियन बहुविध को इकट्ठा कर सकते हैं। {{sfnm|1a1=Anderson|1y=1990|1loc=Lemma 2.1|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Theorem 11.3.6 and Corollaries 11.3.7 & 11.3.8|3a1=Sakai|3y=1996|3p=313}} इस तरह के रिमेंनियन अभिसरण की प्रकृति के कारण, उदाहरण के लिए, यह अनुसरण करता है, कि डिफियोमोर्फिज़्म तक केवल एक दिए गए आयाम के बहुत से सुवाह्य बहुविध होते हैं, जो कि रिकी वक्रता और व्यास पर एक निश्चित सीमा के साथ रिमेंनियन मात्रिक को एक निश्चित सकारात्मक निचले हिस्से के साथ अंतःक्षेप त्रिज्या पर बाध्य {{sfnm|1a1=Anderson|1y=1990|1loc=Theorem 1.1|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Corollary 11.4.4|3a1=Sakai|3y=1996|3loc=Remark A6.12}} स्वीकार करते हैं। 

सुसंगत त्रिज्या पर इस तरह के अनुमानों का उपयोग ज्यामितीय रूप से नियंत्रित कटऑफ कार्यों के निर्माण के लिए भी किया जाता है, और इसलिए [[एकता के विभाजन]] भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से परिभाषित दूसरे आंशिक व्युत्पन्न द्वारा किसी फलन के दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न को नियंत्रित करने के लिए, मात्रिक के स्थानीय प्रतिनिधित्व के पहले व्युत्पन्न को नियंत्रित करना आवश्यक है। इस तरह के निर्माण ग़ैरसघन रिमेंनियन बहुविध्स पर सोबोलिव रिक्त स्थान के बुनियादी पहलुओं का अध्ययन करने में मौलिक हैं।{{sfnm|1a1=Hebey|1y=1999|1loc=Proposition 3.2, Proposition 3.3, Theorem 3.4, Theorem 3.5}}

==संदर्भ==
{{refbegin}}
'''Footnotes'''
{{reflist|30em}}
'''Textbooks'''
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*{{cite book|mr=1390760|last1=Sakai|first1=Takashi|title=Riemannian geometry|series=Translations of Mathematical Monographs|volume=149|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|year=1996|isbn=0-8218-0284-4|doi=10.1090/mmono/149|zbl=0886.53002}}
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'''Articles'''
* {{cite journal|author-link1=Michael T. Anderson|first1=Michael T.|last1=Anderson|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID{{=}}GDZPPN002108003 |title=Convergence and rigidity of manifolds under Ricci curvature bounds|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=102|year=1990|zbl=0711.53038|issue=2|pages=429–445|mr=1074481|doi=10.1007/bf01233434|bibcode=1990InMat.102..429A |s2cid=121062092 }}
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*{{wikicite|ref={{sfnRef|Bartnik|1986}}|reference={{cite journal |last1=Bartnik |author-link1=Robert Bartnik|first1=Robert |zbl=0598.53045|year=1986|title=The mass of an asymptotically flat manifold |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=39 |issue=5 |pages=661–693 |citeseerx=10.1.1.625.6978 |doi=10.1002/cpa.3160390505 |issn=0010-3640|mr=0849427|ref=none}}<br>{{cite encyclopedia|encyclopedia=Selected works of Robert A. Bartnik|pages=661–693|publisher=International Press|location=Somerville, MA|mr=4362675|year=2021|title=The mass of an asymptotically flat manifold|first1=Robert|last1=Bartnik|author-mask=1|isbn=978-1-57146-397-5|editor1-first=Piotr T.|editor1-last=Chruściel|editor2-first=James A.|editor2-last=Isenberg|editor-link2=James Isenberg|editor3-first=Shing-Tung|editor3-last=Yau|editor-link3=Shing-Tung Yau|zbl=1464.53042}}}}
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* {{wikicite|ref={{sfnRef|Einstein|1916}}|reference={{cite journal|jfm=46.1293.02|first1=A.|last1=Einstein|author-link1=Albert Einstein|url=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/get_file?pdfs/SPAW./1916/1916SPAW.......688E.pdf|title=Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation|journal=Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften|year=1916|pages=688–696|doi=10.1002/3527608958.ch7|isbn=9783527406098 |ref=none}}<br>{{cite encyclopedia|first1=A.|last1=Einstein|author-mask=1|url=https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-trans/|title=Approximative integration of the field equations of gravitation|encyclopedia=The collected papers of Albert Einstein. Vol. 6. The Berlin years: writings, 1914–1917|translator-first1=Alfred|translator-last1=Engel|publisher=[[Princeton University Press]]|location=Princeton, NJ|year=1997|isbn=0-691-01734-4|mr=1492181|pages=201–210|zbl=0979.01031}}}}
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*{{cite journal|first1=John M.|last1=Lee|first2=Thomas H.|last2=Parker|title=The Yamabe problem|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|series=New Series|volume=17|year=1987|issue=1|pages=37–91|doi=10.1090/s0273-0979-1987-15514-5|doi-access=free|author-link1=John M. Lee|zbl=0633.53062|mr=0888880}}
*{{cite journal|first1=I. H.|last1=Sabitov|first2=S. Z.|last2=Šefel|title=Connections between the order of smoothness of a surface and that of its metric|journal=[[Siberian Mathematical Journal]]|volume=17|year=1976|issue=4|pages=916–925|doi=10.1007/bf00971679|zbl=0386.53014|mr=0425855|s2cid=120917151 }}
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