View source for हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म

{{Short description|Integral transform and linear operator}}
गणित और [[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत प्रक्रमन]] में, हिल्बर्ट रूपांतरण एक विशिष्ट एकल फलन है जो किसी वास्तविक चर का एक फलन, {{math|''u''(''t'')}} लेता है और एक वास्तविक चर {{math|H(''u'')(''t'')}} का अन्य फलन उत्पन्न करता है। हिल्बर्ट रूपांतरण, <math>1/(\pi t)</math> फलन के सापेक्ष [[कनवल्शन|संवलन]] के [[कॉची प्रिंसिपल वैल्यू|कॉची मान सिद्धांत]] द्वारा दिया गया है।  हिल्बर्ट रूपांतरण का [[आवृत्ति डोमेन|आवृत्ति]] क्षेत्र में विशेष रूप से सरल प्रतिनिधित्व है: यह फलन के प्रत्येक आवृत्ति घटक को आवृत्ति के संकेत के आधार पर ±90° (π⁄2 रेडियन) का [[चरण में बदलाव|चरण रूपांतरण]] प्रदान करता है। संकेत प्रक्रमन में हिल्बर्ट रूपांतरण महत्वपूर्ण है, जहाँ यह वास्तविक-मान संकेत के विश्लेषणात्मक संकेत {{math|''u''(''t'')}} का एक घटक है। विश्लेषणात्मक फलनों के लिए रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के एक विशेष स्थिति को हल करने के लिए हिल्बर्ट रूपांतरण को पहली बार [[डेविड हिल्बर्ट]] द्वारा इस समायोजन में प्रस्तुत किया गया था।

== परिभाषा ==
{{mvar|u}} के हिल्बर्ट रूपांतरण को फलन {{math|1=''h''(''t'') = {{sfrac|1| {{pi}} ''t''}}}} ; जिसे [[कॉची कर्नेल]] के रूप में भी जाना जाता है, के साथ U(t) के [[कनवल्शन|संवलन]] के रूप में माना जा सकता है। चूँकि 1⁄t, t = 0 में समाकलनीय नहीं है, संवलन को परिभाषित करने वाला समाकल सदैव अभिसरित नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, हिल्बर्ट रूपांतरण को कॉची प्राथमिक मान का उपयोग करके परिभाषित किया गया है. स्पष्ट रूप से, एक फलन (या संकेत) का हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|''u''(''t'')}} द्वारा दिया जाता है।  <math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{1}{\pi}\, \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{u(\tau)}{t - \tau}\;\mathrm{d}\tau ,</math>
परंतु यह अभिन्न, एक प्रमुख मान के रूप में उपलब्ध होना चाहिए। यह संस्कारित वितरण {{math|p.v. {{sfrac|1|{{pi}} ''t''}}}} के सापेक्ष u का संवलन है।.<ref>due to {{harvnb|Schwartz|1950}}; see {{harvnb|Pandey|1996|loc=Chapter 3}}.</ref> वैकल्पिक रूप से इन्हे , चरों को परिवर्तित करके, प्रमुख मान अभिन्न को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। <ref>{{harvnb|Zygmund|1968|loc=§XVI.1}}</ref> जैसे:

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{2}{\,\pi\,}\,\lim_{\varepsilon \to 0} \, \int_\varepsilon^\infty \frac{\,u(t + \tau) - u(t - \tau)\,}{2\tau} \;\mathrm{d}\tau~ .</math>
जब हिल्बर्ट रूपांतरण को किसी फलन {{mvar|u}} के अनुक्रम में दो बार लागू किया जाता है , तों परिणाम निम्नलिखित होता है:

<math display="block">\operatorname{H}\bigl(\operatorname{H}(u)\bigr)(t) = -u(t) ,</math>
बशर्ते कि दोनों पुनरावृत्तियों को परिभाषित करने वाले अभिन्न, एक उपयुक्त अर्थ में आपस में अभिसरित होते हों। विशेष रूप से, विपरीत रूपांतरण <math>\operatorname{H}^3</math> है जिसे {{math|''u''(''t'')}} के फूरियर रूपांतरण के सापेक्ष हिल्बर्ट रूपांतरण के प्रभाव पर विचार करके इस तथ्य को सबसे सरलता से देखा जा सकता है।

ऊपरी अर्ध तल, किसी [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक फलन]] के सापेक्ष, हिल्बर्ट रूपांतरण सीमा मानों के वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के मध्य संबंध का वर्णन करता है।अर्थात्, यदि {{math|''f''(''z'') }} ऊपरी अर्ध जटिल तल {{math|1={''z'' : Im{''z''} > 0}<nowiki/>}} में विश्लेषणात्मक है, और {{math|1=''u''(''t'') = Re{''f'' (''t'' + 0·''i'')<nowiki>}</nowiki> }}, तो {{math|1= Im{''f'' (''t'' + 0·''i'')} = H(''u'')(''t'')}} योगात्मक स्थिरांक तक विश्लेषणात्मक होगा, बशर्ते इसका हिल्बर्ट रूपांतरण उपलब्ध हो।

=== अंकन ===
संकेत प्रक्रमन में, {{math|''u''(''t'')}} के हिल्बर्ट रूपांतरण को सामान्यतः <math> \hat{u}(t) </math> द्वारा निरूपित किया जाता है। <ref>e.g., {{harvnb|Brandwood|2003|loc=p. 87}}</ref> यद्यपि, गणित में इसका उपयोग, पहले से ही बड़े पैमाने पर फूरियर रूपांतरण {{math|''u''(''t'')}} को निरूपित करने के लिए  किया जाता है।<ref>e.g., {{harvnb|Stein|Weiss|1971}}</ref> कभी-कभी, हिल्बर्ट रूपांतरण को <math> \tilde{u}(t) </math> के द्वारा निरूपित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कई स्रोत हिल्बर्ट रूपांतरण को यहां परिभाषित रूपांतरण के नकारात्मक रूप में परिभाषित करते हैं।<ref>e.g., {{harvnb|Bracewell|2000|loc=p. 359}}</ref>


== इतिहास ==
हिल्बर्ट के 1905 के कार्य में हिल्बर्ट रूपांतरण उत्पन्न हुआ, जिसे रीमैन ने विश्लेषणात्मक फलनों से संबंधित एक समस्या पर कार्य करते हुए प्रदर्शित किया था इसीलिए इसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के रूप में भी जाना जाता है।{{sfn|Kress|1989}}{{sfn|Bitsadze|2001}} हिल्बर्ट का कार्य मुख्य रूप से वृत्त पर परिभाषित फलनों के सापेक्ष हिल्बर्ट रूपांतरण से संबंधित था।{{sfn|Khvedelidze|2001}}{{sfn|Hilbert|1953}} असतत हिल्बर्ट रूपांतरण से संबंधित उनके पहले के कुछ काम गौटिंगेन में उनके द्वारा दिए गए व्याख्यानों से संबंधित हैं। इनके परिणाम बाद में सभीमन वेइल द्वारा अपने शोध प्रबंध में प्रकाशित किए गए थे।{{sfn|Hardy|Littlewood|Pólya|1952|loc=§9.1}} शूर ने असतत हिल्बर्ट रूपांतरण के विषय में हिल्बर्ट के परिणामों में सुधार किया और उन्हें अभिन्न स्तिथियों में विस्तारित किया।{{sfn|Hardy|Littlewood|Pólya|1952|loc=§9.2}} ये परिणाम रिक्त स्थान {{math|''L''<sup>2</sup>}} और {{math|ℓ<sup>2</sup>}} तक ही सीमित थे। 1928 में, [[मार्सेल रिज]] ने साबित किया कि हिल्बर्ट रूपांतरण को u में परिभाषित किया जा सकता है तथा 1 <p < ∞ के लिए हिल्बर्ट रूपांतरण एक [[परिबद्ध संचालिका]] है ।{{sfn|Riesz|1928}} हिल्बर्ट रूपांतरण [[एंटोनी ज़िगमंड]] और अल्बर्टो काल्डेरोन के लिए उनके एकल अभित्र के अध्ययन के समय एक प्रेरक उदाहरण था।{{sfn|Calderón|Zygmund|1952}} उनकी जांच ने आधुनिक संनादी विश्लेषण में मौलिक भूमिका निभाई है। हिल्बर्ट रूपांतरण के विभिन्न सामान्यीकरण, जैसे बिलिनियर और ट्रिलिनियर हिल्बर्ट रूपांतरण आज भी अनुसंधान के सक्रिय क्षेत्र उपयोग किए जाते हैं।

== फूरियर रूपांतरण के साथ संबंध ==
हिल्बर्ट रूपांतरण एक [[गुणक (फूरियर विश्लेषण)|गुणक फूरियर विश्लेषण]] है।{{sfn|Duoandikoetxea|2000|loc=Chapter 3}} H का गुणक σH(ω) = −i sgn(ω) है, जहाँ sgn [[ साइन समारोह |साइनम फलन]] है। इसलिए:

<math display="block">\mathcal{F}\bigl(\operatorname{H}(u)\bigr)(\omega) = -i \sgn(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega) ,</math>
जहाँ <math>\mathcal{F}</math> [[फूरियर रूपांतरण]] को दर्शाता है। चूंकि {{math|1=sgn(''x'') = sgn(2{{pi}}''x'')}} है यह इस प्रकार है कि यह परिणाम <math> \mathcal{F}</math> के तीन सामान्य परिभाषाओं पर लागू होता है .

यूलर के सूत्र द्वारा,
<math display="block">\sigma_\operatorname{H}(\omega) = \begin{cases}
 ~~i = e^{+\frac{i\pi}{2}}, & \text{for } \omega < 0,\\
 ~~                      0, & \text{for } \omega = 0,\\
  -i = e^{-\frac{i\pi}{2}}, & \text{for } \omega > 0.
\end{cases}</math>
इसलिए, H(u)(t) में u(t) के [[नकारात्मक आवृत्ति|ऋणात्मक आवृत्ति]] घटकों के चरण को +90° (π⁄2 रेडियन) और सकारात्मक आवृत्ति घटकों के चरण को -90° से स्थानांतरित करने का प्रभाव है, और i·H(u)(t) में सकारात्मक आवृत्ति घटकों को पुनर्स्थापित करने का प्रभाव होता है, जबकि नकारात्मक आवृत्ति वाले को एक अतिरिक्त +90° में स्थानांतरित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप उनकी अस्वीकृति होती है।

जब हिल्बर्ट रूपांतरण को दो बार लागू किया जाता है, तो {{math|''u''(''t'')}} के ऋणात्मक और धनात्मक आवृत्ति घटकों के चरण क्रमशः +180 डिग्री और -180 डिग्री से स्थानांतरित हो जाते हैं, जो समान मात्रा में हैं। अर्थात  {{math|1=H(H(''u'')) = −''u''}} के लिए संकेत अस्वीकृत है।

<math display="block">\bigl(\sigma_\operatorname{H}(\omega)\bigr)^2 = e^{\pm i\pi} = -1 \quad \text{for } \omega \neq 0 .</math>


== चयनित हिल्बर्ट रूपांतरणों की तालिका ==
निम्न तालिका में, [[आवृत्ति]] पैरामीटर <math>\omega</math> एक वास्तविक संख्या है।

{| class="wikitable"
|-
! संकेत<br/><math>u(t)</math>
! हिल्बर्ट रूपांतरण <ref group="fn">Some authors (e.g., Bracewell) use our {{math|−H}} as their definition of the forward transform. A consequence is that the right column of this table would be negated.</ref> <br/><math>\operatorname{H}(u)(t)</math>
|-
| align="center"| <math>\sin(\omega t)</math> <ref group="fn" name="ex02">The Hilbert transform of the sin and cos functions can be defined by taking the principal value of the integral at infinity.  This definition agrees with the result of defining the Hilbert transform distributionally.</ref> ||  align="center"|
<math>\begin{array}{lll}
\sin\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right), \quad \omega > 0\\
\sin\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right), \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> \cos(\omega t) </math> <ref group="fn" name="ex02"/> ||  align="center"| 
<math>\begin{array}{lll}
\cos\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right), \quad \omega > 0\\
\cos\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right), \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> e^{i \omega t} </math> || align="center"|
<math>\begin{array}{lll}
e^{i\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega > 0\\
e^{i\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> e^{-i \omega t} </math> || align="center"|
<math>\begin{array}{lll}
e^{-i\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega > 0\\
e^{-i\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> 1 \over t^2 + 1 </math> || align="center"| <math> t \over t^2 + 1 </math>
|-
| align="center"| <math> e^{-t^2} </math> || align="center"| <math> \frac{2}{\sqrt{\pi\,}} F(t) </math><br/>(डॉसन फलन देखें)
|-
| align="center"| '''[[Sinc function|सिंक फलन]]''' <br /> <math> \sin(t) \over t </math> || align="center"| <math> 1 - \cos(t)\over t </math>
|-
| align="center"| '''[[Dirac delta function|डिराक डेल्टा फलन]]''' <br /><math> \delta(t) </math> || align="center"| <math> {1 \over \pi t} </math>
|-
| align="center"| '''[[Indicator function|अभिलक्षणिक फलन]]''' <br /> <math> \chi_{[a,b]}(t) </math> ||  align="center"| <math>{ \frac{1}{\,\pi\,}\ln \left\vert \frac{t - a}{t - b}\right\vert }</math>
|}
टिप्पणियाँ
<references group="fn"/>हिल्बर्ट रूपांतरणों की एक विस्तृत तालिका उपलब्ध है।{{sfn|King|2009b}}
ध्यान दें कि किसी स्थिरांक का हिल्बर्ट रूपांतरण, शून्य है।

== '''परिभाषा का डोमेन''' ==
यह किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है कि हिल्बर्ट रूपांतरण बिल्कुल भी अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि इसे परिभाषित करने वाले अनुचित अभिन्न को उपयुक्त अर्थ में अभिसरित होना चाहिए। यद्यपि, हिल्बर्ट रूपांतरण फलनों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात् उन में <math>L^p(\mathbb{R})</math> के लिए {{math|1 < ''p'' < ∞}}.

अधिक सटीक, यदि {{math|1 < ''p'' < ∞}} के लिए {{mvar|u}}, <math>L^p(\mathbb{R})</math> में है, फिर अनुचित समाकल को परिभाषित करने वाली सीमा

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{2}{\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau}\,d\tau</math>
[[लगभग हर|लगभग सभी]] {{mvar|t}} के लिए उपलब्ध है . सीमा फलन भी <math>L^p(\mathbb{R})</math> के भीतर है  और वास्तव में अनुचित समाकल के माध्य की सीमा भी है। वह,

<math display="block">\frac{2}{\pi} \int_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau}\,\mathrm{d}\tau \to \operatorname{H}(u)(t)</math>है। 
एलपी मानदंड में ε → 0 के रूप में, साथ ही साथ लगभग सभी जगह, टिचमारश प्रमेय द्वारा।, ।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Chapter 5}} 

{{math|1=''p'' = 1}} के संबंध में, हिल्बर्ट रूपांतरण अभी भी लगभग सभी स्थानों पर बिंदुवार अभिसरित होता है, लेकिन स्थानीय स्तर पर भी, स्वयं पूर्णांक होने में विफल हो सकता है। विशेष रूप से, माध्य में अभिसरण सामान्य रूप से इस संबंध में नहीं होता है।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=§5.14}} L1 फलन का हिल्बर्ट रूपांतरण, यद्यपि, L1-मंद में अभिसरण करता है, और हिल्बर्ट रूपांतरण L1 से L1<sub>w</sub>  तक एक परिबद्ध संचालिका है। .{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=Lemma V.2.8}} विशेष रूप से, चूंकि हिल्बर्ट रूपांतरण भी L2 पर एक गुणक संचालिका है, मारसिंकेविच प्रक्षेप और एक द्वैत तर्क एक वैकल्पिक प्रमाण प्रस्तुत करता है कि H, Lp पर परिबद्ध है।

== गुण ==

=== सीमाबद्धता ===
यदि {{math|1 < ''p'' < ∞}}, तो  <math>L^p(\mathbb{R})</math> का हिल्बर्ट रूपांतरण एक परिबद्ध रैखिक संकारक है, जिसका अर्थ है कि एक स्थिरांक {{mvar|C<sub>p</sub>}} उपलब्ध है।  यह ऐसा है कि

<math display="block">\left\|\operatorname{H}u\right\|_p \le C_p \left\|u\right\|_p </math>
सभी {{nowrap|<math>u \isin L^p(\mathbb{R})</math>.}} के लिए <ref>This theorem is due to {{harvnb|Riesz|1928|loc=VII}}; see also {{harvnb|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 101}}.</ref>

सबसे सटीक स्थिरांक <math>C_p</math> द्वारा दिया गया है<ref>This result is due to {{harvnb|Pichorides|1972}}; see also {{harvnb|Grafakos|2004|loc=Remark 4.1.8}}.</ref>
<math display="block">C_p = \begin{cases}
  \tan \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 1 < p \leq 2\\ 
  \cot \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 2 < p < \infty
\end{cases}</math>


2 का घातांक होने के कारण '''<math>p</math>''' के लिए सर्वोत्तम '''<math>C_p</math>''' खोजने की एक सरल विधि तथाकथित कोटलर की समीकरण  '''<math> (\operatorname{H}f)^2 =f^2 +2\operatorname{H}(f\operatorname{H}f)</math>''' के माध्यम से '''{{mvar|f}}''' के सभी मानो के लिए सत्य है  नियतकालिक हिल्बर्ट रूपांतरण के लिए समान सर्वोत्तम स्थिरांक हैं।

हिल्बर्ट रूपांतरण की सीमा का तात्पर्य है <math>L^p(\mathbb{R})</math> सममित आंशिक योग संकार्य का अभिसरण
<math display="block">S_R f = \int_{-R}^R \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x\xi} \, \mathrm{d}\xi </math>
{{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>.}}में {{mvar|f}} तक है।  <ref>See for example {{harvnb|Duoandikoetxea|2000|p=59}}.</ref>



===विरोधी आत्म-संबंध===
हिल्बर्ट रूपांतरण एक एंटी-[[ स्वयं संलग्न ]]संकार्य  है, जो द्वैत युग्मन <math>L^p(\mathbb{R})</math> और {{nowrap|<math>L^q(\mathbb{R})</math>,}}के मध्य है। जहाँ {{mvar|p}} और {{mvar|q}} धारक संयुग्म हैं और {{math|1 < ''p'', ''q'' < ∞}}. प्रतीकात्मक रूप से,

<math display="block">\langle \operatorname{H} u, v \rangle = \langle u, -\operatorname{H} v \rangle</math>
के लिए <math>u \isin L^p(\mathbb{R})</math> और {{nowrap|<math>v \isin L^q(\mathbb{R})</math>.}}{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 102}}

=== विपरीत रूपांतरण ===
हिल्बर्ट रूपांतरण एक विरोधी-प्रत्यावर्तन है,{{sfn|Titchmarsh|1948|p=120}} जिसका तात्पर्य यह है की 

<math display="block">\operatorname{H}\bigl(\operatorname{H}\left(u\right)\bigr) = -u</math>
बशर्ते प्रत्येक रूपांतरण सटीक रूप से परिभाषित हो। चूंकि {{math|H}}, {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>,}} में स्थान को सुरक्षित रखता है, इसका तात्पर्य विशेष रूप से है कि हिल्बर्ट रूपांतरण विपरीत है {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>,}} ओर वो

<math display="block">\operatorname{H}^{-1} = -\operatorname{H}</math>


=== जटिल संरचना ===
क्योंकि {{math|1=H<sup>2</sup> = −I}}  ({{math|I}} [[पहचान ऑपरेटर|तत्समक संकार्य]] है) वास्तविक मान फलनों के वास्तविक [[बनच स्थान]]{{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>}} पर हिल्बर्ट रूपांतरण इस बनच स्थान पर एक रेखीय जटिल संरचना को परिभाषित करता है। विशेष रूप से, जब {{math|1=''p'' = 2}} के समान होता है तों हिल्बर्ट रूपांतरण हिल्बर्ट को वास्तविक-मान फलनों का स्थान देता है <math>L^2(\mathbb{R})</math> एक जटिल हिल्बर्ट स्थान की संरचना को संदर्भित करता है।

हिल्बर्ट के [[eigenstate|ऐगेनस्टेट]] हार्डी स्थान H वर्ग में ऊपरी और निचले अर्धरिक्तियों में [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक फलन]] के पाले-वीनर प्रमेय द्वारा अभ्यावेदन को {{math|H<sup>2</sup>}} के रूप में रूपांतरित करते हैं।

=== भेद ===
औपचारिक रूप से, हिल्बर्ट रूपांतरण का व्युत्पन्न, डेरिवेटिव का हिल्बर्ट रूपांतरण है, अर्थात ये दो रैखिक संकार्य निम्नलिखित सूत्रों की गणना करते हैं:

<math display="block">\operatorname{H}\left(\frac{ \mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}\operatorname{H}(u)</math>
इस पहचान को पुनरावर्तित करते हुए,

<math display="block">\operatorname{H}\left(\frac{\mathrm{d}^ku}{\mathrm{d}t^k}\right) = \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}\operatorname{H}(u)</math>
जैसा कि प्रदान किया गया है, यह संपूर्णतः सत्य है {{mvar|u}} और इसका पहला {{mvar|k}} डेरिवेटिव {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>.}} से संबंधित हैं {{sfn|Pandey|1996|loc=§3.3}} इसे आवृत्ती क्षेत्र में सरलता से प्रमाणित किया जा सकता है, जहाँ अवकलन, {{mvar|ω}} से गुणन बन जाता है .

=== संवलन ===
हिल्बर्ट रूपांतरण को औपचारिक रूप से टेम्पर्ड वितरण और फूरियर रूपांतरण के साथ एक संवलन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है{{sfn|Duistermaat|Kolk|2010|p=211}}

<math display="block">h(t) = \operatorname{p.v.} \frac{1}{ \pi \, t }</math>
इस प्रकार औपचारिक रूप से,

<math display="block">\operatorname{H}(u) = h*u</math>
यद्यपि, प्राथमिकता के अनुसार इसे केवल {{mvar|u}} के लिए [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] के वितरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इसके साथ कुछ सीमा तक सख्ती से कार्य करना संभव है क्योंकि कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन {{math|''L<sup>p</sup>''}} [[सघन (टोपोलॉजी)|सघन]] हैं . वैकल्पिक रूप से, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि h(t), {{math|1=log{{!}}''t''{{!}}/''π''}} फलन का [[वितरण व्युत्पन्न]] है ; अर्थात

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{\pi} \left(u*\log\bigl|\cdot\bigr|\right)(t)\right)</math>
अधिकांश परिचालन उद्देश्यों के लिए हिल्बर्ट रूपांतरण को संवलन के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक औपचारिक अर्थ में, संवलन का हिल्बर्ट रूपांतरण, हिल्बर्ट रूपांतरण का संवलन है, जो किसी एक कारक पर लागू होता है:

<math display="block">\operatorname{H}(u*v) = \operatorname{H}(u)*v = u*\operatorname{H}(v)</math>
यह कटु सत्य है यदि {{mvar|u}} और {{mvar|v}} सघन रूप से समर्थित वितरण हैं, क्योंकि उस स्थिति में,

<math display="block"> h*(u*v) = (h*u)*v = u*(h*v)</math>
एक उचित सीमा से गुजरते हुए, यह इस प्रकार भी सत्य है यदि {{math|''u'' ∈ ''L<sup>p</sup>''}} और {{math|''v'' ∈ ''L<sup>q</sup>''}} 

<math display="block"> 1 < \frac{1}{p} + \frac{1}{q} </math>
टीचमार्श के एक प्रमेय के कारण हिलबर्ट रूपांतरण के लिए यह सत्य है।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 104}}

=== निश्चरता ===
हिल्बर्ट रूपांतरण में <math>L^2(\mathbb{R})</math> पर निम्नलिखित निश्चरता गुण हैं .
* यह अनुवाद के साथ यात्रा करता है। अर्थात यह {{math|1=''T''<sub>''a''</sub> ''f''(''x'') = ''f''(''x'' + ''a'')}} संफलनों के साथ आवागमन करता है  जहाँ सभी {{mvar|a}} में <math>\mathbb{R}.</math> सत्य है। 
* यह सकारात्मक प्रसार के साथ आवागमन करता है। अर्थात यह {{math|1=''M<sub>λ</sub> f'' (''x'') = ''f'' (''λ x'')}} संफलनों के साथ आवागमन करता है  जहाँ सभी  {{math|''λ'' > 0}}. है । 
* यह {{math|1=''R f'' (''x'') = ''f'' (−''x'')}} परावर्तन के साथ [[एंटीकम्यूटेटिविटी]] है .

गुणनात्मक स्थिरांक तक,  इन गुणों के साथ हिल्बर्ट रूपांतरण {{mvar|L}}<sup>2</sup> एकमात्र सीमांत संकार्य है ।{{sfn|Stein|1970|loc=§III.1}}

वास्तव में संफलनों का एक व्यापक समूह है जो हिल्बर्ट रूपांतरण के साथ आवागमन करता है। समूह <math>\text{SL}(2,\mathbb{R})</math> एकात्मक संफलनों द्वारा कार्य करता है {{math|U<sub>''g''</sub>}} स्थान पर <math>L^2(\mathbb{R})</math> सूत्र द्वारा

<math display="block">\operatorname{U}_{g}^{-1} f(x) = \frac{1}{ c x + d } \, f \left( \frac{ ax + b }{ cx + d } \right) \,,\qquad g = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ~,\qquad \text{ for }~ a d - b c = \pm 1 . </math>
यह [[एकात्मक प्रतिनिधित्व]] एक [[प्रमुख श्रृंखला प्रतिनिधित्व]] <math>~\text{SL}(2,\mathbb{R})~.</math>का एक उदाहरण है  इस मामले में यह कम करने योग्य है, दो अरूपांतरणीय उप-स्थानों, हार्डी स्पेस <math>H^2(\mathbb{R})</math> के ऑर्थोगोनल योग के रूप में विभाजित और इसके संयुग्मी है। ये के रिक्त स्थान हैं {{math|''L''<sup>2</sup>}} ऊपरी और निचले अर्धरिक्तियों पर पूर्णसममितिक फलनों <math>H^2(\mathbb{R})</math> के सीमा मान के समान है। और इसके संयुग्म ठीक उन्हीं से मिलकर बने हैं।  {{math|''L''<sup>2</sup>}} फूरियर के साथ कार्य क्रमशः वास्तविक अक्ष के नकारात्मक और सकारात्मक भागों पर लुप्त हो जाते हैं। चूंकि हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|1=H = −''i'' (2''P'' − I)}} समान है , साथ {{mvar|P}} से ओर्थोगोनल प्रक्षेपण किया जा रहा है <math>L^2(\mathbb{R})</math> पर <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{R}),</math> और {{math|I}} पहचान संकार्य, यह उसका अनुसरण करता है <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{R})</math> और इसके ऑर्थोगोनल पूरक के आइगेनस्पेस हैं {{math|H}} आइगेनमानो के लिए {{math|±''i''}}. दूसरे शब्दों में, {{math|H}} संफलनों के साथ यात्रा करता है {{mvar|U<sub>g</sub>}}. संफलनों के प्रतिबंध {{mvar|U<sub>g</sub>}} को <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{R})</math> और इसके संयुग्मी का अलघुकरणीय निरूपण देते हैं <math>\text{SL}(2,\mathbb{R})</math> - असतत श्रृंखला अभ्यावेदन की तथाकथित सीमा को संदर्भित करता है।<ref>See {{harvnb|Bargmann|1947}}, {{harvnb|Lang|1985}}, and {{harvnb|Sugiura|1990}}.</ref>


== परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार ==

=== वितरण का हिल्बर्ट रूपांतरण ===
वितरण के कुछ स्थानों (गणित) में हिल्बर्ट रूपांतरण को आगे बढ़ाना संभव है।  चूंकि हिल्बर्ट रूपांतरण विभेदीकरण के साथ आवागमन करता है, और यह {{mvar|L<sup>p</sup>}} के साथ एक बंधा हुआ संकार्य है , {{mvar|H}} सओबोलेव रिक्त स्थान की व्युत्क्रम सीमा पर निरंतर रूपांतरण देने के लिए प्रतिबंधित करता है:

<math display="block">\mathcal{D}_{L^p} = \underset{n \to \infty}{\underset{\longleftarrow}{\lim}} W^{n,p}(\mathbb{R})</math>
हिल्बर्ट रूपांतरण को तब के दोसभीे स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathcal{D}_{L^p}</math>, निरूपित <math>\mathcal{D}_{L^p}'</math>, को मिलाकर {{mvar|L<sup>p</sup>}} वितरण। यह द्वैत युग्म द्वारा पूरा किया जाता है:<br/>के लिए {{nowrap|<math> u\in \mathcal{D}'_{L^p} </math>,}} परिभाषित किया जाता है:

<math display="block">\operatorname{H}(u)\in \mathcal{D}'_{L^p} = \langle \operatorname{H}u, v \rangle \ \triangleq \ \langle u, -\operatorname{H}v\rangle,\ \text{for all} \ v\in\mathcal{D}_{L^p} .</math>
[[टेम्पर्ड वितरण]] के स्थान पर हिल्बर्ट रूपांतरण को परिभाषित करना संभव है, साथ ही गेलफैंड और शिलोव के दृष्टिकोण से,{{sfn|Gel'fand|Shilov|1968}} परंतु अभिन्न में विलक्षणता के कारण काफी अधिक देखभाल की आवश्यकता है।

=== बाध्य फलनों का हिल्बर्ट रूपांतरण ===
हिल्बर्ट रूपांतरण को <math>L^\infty (\mathbb{R})</math> फलनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, परंतु इसमें कुछ संशोधनों और चेतावनियों की आवश्यकता है। उचित रूप से समझे जाने पर, <math>L^\infty (\mathbb{R})</math> हिल्बर्ट मानचित्रों को रूपांतरित करता है  सीमांत मीन दोलन (बीएमओ) कक्षाओं के बनच स्थान के लिए।

भोलेपन से व्याख्या की गई, एक बंधे हुए कार्य का हिल्बर्ट रूपांतरण स्पष्ट रूप से खराब परिभाषित है। उदाहरण के लिए, साथ {{math|1=''u'' = sgn(''x'')}}, अभिन्न परिभाषित {{math|H(''u'')}} लगभग सभी जगह विचलन करता है {{math|±∞}}. इस तरह की कठिनाइयों को कम करने के लिए, हिल्बर्ट ने एक का रूपांतरण किया {{math|''L''<sup>∞</sup>}} फलन इसलिए अभिन्न के निम्नलिखित [[नियमितीकरण (भौतिकी)|नियमितीकरण]] रूप द्वारा परिभाषित किया गया है

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty u(\tau)\left\{h(t - \tau)- h_0(-\tau)\right\} \, \mathrm{d}\tau</math>
जहां ऊपर के रूप में {{math|1=''h''(''x'') = {{sfrac|1|''πx''}}}} और

<math display="block">h_0(x) = \begin{cases}
0                  & \text{for} ~ |x| < 1 \\
\frac{1}{\pi \, x} & \text{for} ~ |x| \ge 1
\end{cases}</math>
संशोधित रूपांतरण {{math|H}} कलड़ेरों और जीगमुन्द द्वारा एक सामान्य परिणाम से कॉम्पैक्ट समर्थन के फलनों पर एक योगात्मक स्थिरांक तक मूल रूपांतरण से सहमत हैं।<ref>{{harvnb|Calderón|Zygmund|1952}}; see {{harvnb|Fefferman|1971}}.</ref> इसके अतिरिक्त, परिणामी अभिन्न लगभग सभी जगह, और बीएमओ मानदंड के संबंध में, बंधे हुए माध्य दोलन के कार्य के लिए अभिसरण करता है।

फ़ेफ़रमैन के कार्य का [[गहरा परिणाम|गसभी परिणाम]]<ref>{{harvnb|Fefferman|1971}}; {{harvnb|Fefferman|Stein|1972}}</ref> यह है कि एक कार्य बंधे हुए दोलन का होता है यदि और केवल यदि उसका रूप {{nowrap|<math> f,g \isin L^\infty (\mathbb{R})</math>.}} के लिए {{nowrap| {{math|''f'' + H(''g'')}} }} हो।   

== संयुग्म कार्य ==
हिल्बर्ट रूपांतरण को {{math|''f''(''x'')}} और {{math|''g''(''x'')}}  फलनों की एक युग्म के रूप में समझा जा सकता है जैसे कि फलन
<math display="block">F(x) = f(x) + i\,g(x)</math>
एक पूर्णसममितिक फलन का सीमा मान {{math|''F''(''z'')}} है  ऊपरी अर्ध स्थान में।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Chapter V}} इन परिस्थितियों में, यदि {{mvar|f}} और {{mvar|g}} पर्याप्त रूप से पूर्णांक हैं, तो एक दूसरे का हिल्बर्ट रूपांतरण है।

लगता है कि <math>f \isin L^p(\mathbb{R}).</math> फिर, प्वासों समाकल के सिद्धांत द्वारा, {{mvar|f}} ऊपरी अर्ध-तल में एक अद्वितीय संनादी विस्तार को स्वीकार करता है, और यह विस्तार इसके द्वारा दिया जाता है

<math display="block">u(x + iy) = u(x, y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(s)\;\frac{y}{(x - s)^2 + y^2} \; \mathrm{d}s</math>
जो [[पोइसन कर्नेल]] के सापेक्ष  {{mvar|f}} का संवलन है  

<math display="block">P(x, y) = \frac{ y }{ \pi\, \left( x^2 + y^2 \right) }</math>
इसके अतिरिक्त, एक अद्वितीय संनादी फलन है {{mvar|v}} ऊपरी आधे स्थान में परिभाषित किया गया है जैसे कि {{math|1=''F''(''z'') = ''u''(''z'') + ''i v''(''z'')}} होलोमॉर्फिक है और
<math display="block">\lim_{y \to \infty} v\,(x + i\,y) = 0</math>
यह संनादी फलन {{mvar|f}} से प्राप्त किया जाता है। संयुग्म पॉइसन कर्नेल के साथ संवलन लेकर

<math display="block">Q(x, y) = \frac{ x }{ \pi\, \left(x^2 + y^2\right) } .</math>
इस प्रकार
<math display="block">v(x, y) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(s)\;\frac{x - s}{\,(x - s)^2 + y^2\,}\;\mathrm{d}s .</math>
वास्तव में , कॉची कर्नेल के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं
<math display="block">\frac{i}{\pi\,z} = P(x, y) + i\,Q(x, y)</math>
ताकि {{math|1=''F'' = ''u'' + ''i v''}} कॉची के अभिन्न सूत्र द्वारा पूर्णसममितिक है।

फलन {{mvar|v}} से प्राप्त {{mvar|u}} इस तरह का [[हार्मोनिक संयुग्म|संनादी संयुग्म]] कहा जाता है।  {{mvar|u}} की सीमा {{math|''v''(''x'',''y'')}} जैसा {{math|''y'' → 0}} का हिल्बर्ट रूपांतरण {{mvar|f}} है। इस प्रकार, संक्षेप में,
<math display="block">\operatorname{H}(f) = \lim_{y \to 0} Q(-, y) \star f</math>


=== टीकमर्श की प्रमेय ===

टीकमर्श की प्रमेय, एडवर्ड चार्ल्स टीकमर्श के नाम पर, जिन्होंने इसे अपने 1937 के काम में सम्मिलित किया था ऊपरी आधे स्थान और हिल्बर्ट रूपांतरण में पूर्णसममितिक फलनों के सीमा मानों के मध्य संबंध को सटीक बनाता है।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 95}} यह एक जटिल-मान वर्ग-समाकलन योग्य फलन {{math|''F''(''x'')}} के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है। वास्तविक रेखा पर हार्डी स्थान में किसी फलन का सीमा मान {{math|H<sup>2</sup>(''U'')}} होना ऊपरी आधे स्थान में पूर्णसममितिक फलन {{mvar|U}} को संदर्भित कर सकता है।

प्रमेय में कहा गया है कि एक जटिल-मान वर्ग-समाकलन योग्य फलन के लिए निम्नलिखित शर्तें <math>F : \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> समतुल्य हैं:

* {{math|''F''(''x'')}} की सीमा है {{math|''z'' → ''x''}} एक होलोमॉर्फिक फलन का {{math|''F''(''z'')}} ऊपरी आधे स्थान में ऐसा है <math display="block"> \int_{-\infty}^\infty |F(x + i\,y)|^2\;\mathrm{d}x < K </math>
* के वास्तविक और काल्पनिक भाग {{math|''F''(''x'')}} एक दूसरे के हिल्बर्ट रूपांतरण हैं।
* फूरियर रूपांतरण <math>\mathcal{F}(F)(x)</math> के लिए लुप्त हो जाता है {{math|''x'' < 0}}.

कक्षा के फलनों के लिए एक कमजोर परिणाम सत्य है {{mvar|[[Lp space|L<sup>p</sup>]]}} के लिए {{math|''p'' > 1}}.{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 103}} विशेष रूप से, यदि {{math|''F''(''z'')}} एक पूर्णसममितिक फलन है जैसे कि

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty |F(x + i\,y)|^p\;\mathrm{d}x < K </math>
सभी के लिए {{mvar|y}}, तो एक जटिल-मान कार्य है {{math|''F''(''x'')}} में <math>L^p(\mathbb{R})</math> ऐसा है कि {{math|''F''(''x'' + ''i y'') → ''F''(''x'')}} में {{mvar|L<sup>p</sup>}} मानक के रूप में {{math|''y'' → 0}} है। आगे,

<math display="block">F(x) = f(x) - i\,g(x)</math>
जहाँ {{mvar|f}} में एक वास्तविक-मान कार्य है तथा <math>L^p(\mathbb{R})</math> और {{mvar|g}} हिल्बर्ट रूपांतरण है 

यह परिप्रेक्ष्य में {{math|1=''p'' = 1}} सही नहीं है। वास्तव में, हिल्बर्ट एक का रूपांतरण {{math|''L''<sup>1</sup>}} फलन {{mvar|f}} को माध्य से दूसरे में अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है {{math|''L''<sup>1</sup>}} फलन। फिर भी,{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 105}} का हिल्बर्ट रूपांतरण {{mvar|f}} लगभग सभी जगह एक परिमित कार्य में अभिसरण करता है {{mvar|g}} ऐसा है कि

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac{ |g(x)|^p }{ 1 + x^2 } \; \mathrm{d}x < \infty</math>
यह परिणाम डिस्क में हार्डी फलनों के लिए [[एंड्री कोलमोगोरोव]] द्वारा सीधे एक के अनुरूप है।{{sfn|Duren|1970|loc=Theorem 4.2}} यद्यपि आम तौर पर टिचमार्श के प्रमेय कहा जाता है, परिणाम हार्डी, पाले और वीनर सहित दूसरों के बहुत काम को जोड़ता है (पेली-वीनर प्रमेय देखें), साथ ही रीज़, हिले और टैमरकिन द्वारा कार्य को देखे। <ref>see {{harvnb|King|2009a|loc=§&nbsp;4.22}}.</ref>


=== रीमैन-हिल्बर्ट समस्या ===
रीमैन-हिल्बर्ट समस्या का एक रूप फलनों के युग्म की पहचान करना चाहता है।  {{math|''F''<sub>+</sub>}} और {{math|''F''<sub>−</sub>}} इस प्रकार है कि {{math|''F''<sub>+</sub>}} ऊपरी आधे स्थान पर पूर्णसममितिक फलन है और {{math|''F''<sub>−</sub>}} निचले आधे तल पर पूर्णसममितिक है, जैसे कि के लिए {{mvar|x}} वास्तविक अक्ष के साथ,
<math display="block">F_{+}(x) - F_{-}(x) = f(x)</math>
जहाँ {{math|''f''(''x'')}} का कुछ दिया गया वास्तविक-मान फलन है {{nowrap|<math>x \isin \mathbb{R}</math>.}} इस समीकरण के बाएँ पक्ष को या तो {{math|''F''<sub>±</sub>}} उपयुक्त आधे स्थानों से सीमाओं के अंतर के रूप में समझा जा सकता है , या [[ hyperfunction | अतिप्रकार्य]] वितरण के रूप में। इस रूप के दो फलन रीमैन-हिल्बर्ट समस्या का समाधान हैं।

औपचारिक रूप से, यदि {{math|''F''<sub>±</sub>}} रीमैन-हिल्बर्ट समस्या को हल करें
<math display="block">f(x) = F_{+}(x) - F_{-}(x)</math>तों हिल्बर्ट का रूपांतरण {{math|''f''(''x'')}} द्वारा दिया जाता है{{sfn|Pandey|1996|loc=Chapter 2}}
<math display="block">H(f)(x) = -i \bigl( F_{+}(x) + F_{-}(x) \bigr) .</math>


== वृत्त पर हिल्बर्ट रूपांतरण ==
{{see also|हार्डी रिक्ति}}

एक आवधिक फलन {{mvar|f}} के लिए वृत्ताकार हिल्बर्ट रूपांतरण निम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है:

<math display="block">\tilde f(x) \triangleq \frac{1}{ 2\pi } \operatorname{p.v.} \int_0^{2\pi} f(t)\,\cot\left(\frac{ x - t }{2}\right)\,\mathrm{d}t</math>
वृत्ताकार हिल्बर्ट रूपांतरण का उपयोग हार्डी रिक्ति के लक्षण वर्णन और फूरियर श्रृंखला में संयुग्म फलन के अध्ययन में किया जाता है।
<math display="block">\cot\left(\frac{ x - t }{2}\right)</math>
हिल्बर्ट कर्नेल के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह मूल रूप से इसी रूप में था जब हिल्बर्ट रूपांतरण का अध्ययन किया गया था।{{sfn|Khvedelidze|2001}}

हिल्बर्ट कर्नेल को परिपत्र हिल्बर्ट रूपांतरण के लिए, कॉची कर्नेल को {{frac|1|{{mvar|x}}}} तथा अधिक सटीक रूप से, {{math|''x'' ≠ 0}} के लिए आवधिक बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। 

<math display="block">\frac{1}{\,2\,}\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{x + 2n\pi} + \frac{1}{\,x - 2n\pi\,} \right)</math>
वृत्ताकार हिल्बर्ट रूपांतरण के विषय में कई परिणाम इस पत्राचार से हिल्बर्ट रूपांतरण के संबंधित परिणामों से प्राप्त किए जा सकते हैं।

केली रूपांतरण द्वारा एक और अधिक सीधा संबंध {{math|1=''C''(''x'') = (''x'' – ''i'') / (''x'' + ''i'')}} प्रदान किया गया है , जो वास्तविक रेखा को वृत्त पर और ऊपरी आधे स्थान को इकाई डिस्क पर ले जाता है। यह  {{math|''L''<sup>2</sup>('''T''')}} का <math>L^2 (\mathbb{R})</math> पर एकात्मक मानचित्र को प्रेरित करता है

<math display="block"> U\,f(x) = \frac{1}{(x + i)\,\sqrt{\pi}} \, f\left(C\left(x\right)\right) </math>
संकार्य {{mvar|U}} हार्डी रिक्ति {{math|''H''<sup>2</sup>('''T''')}} को हार्डी रिक्ति <math>H^2(\mathbb{R})</math> पर प्रतिस्थापित करता है।  .{{sfn|Rosenblum|Rovnyak|1997|p=92}}

== संकेत प्रक्रमन में हिल्बर्ट रूपांतरण ==

=== बेडरोसियन प्रमेय ===
बेड्रोसियन के प्रमेय में कहा गया है कि अनतिव्यापी वर्णक्रम के साथ निम्न-पास और उच्च-पास संकेत के उत्पाद का हिल्बर्ट रूपांतरण निम्न-पास संकेत के उत्पाद और उच्च-पास संकेत के हिल्बर्ट रूपांतरण द्वारा दिया जाता है, या

<math display="block">\operatorname{H}\left(f_\text{LP}(t)\cdot f_\text{HP}(t)\right) = f_\text{LP}(t)\cdot \operatorname{H}\left(f_\text{HP}(t)\right),</math>
जहाँ {{math|''f''<sub>LP</sub>}} और {{math|''f''<sub>HP</sub>}} क्रमशः निम्न और उच्च-पास संकेत हैं।{{sfn|Schreier|Scharf|2010|loc=14}} संचार संकेतों की एक श्रेणी जिस पर यह लागू होता है उसे नैरोबैंड संकेत प्रारूप कहा जाता है। उस श्रेणी का एक सदस्य उच्च आवृत्ति साइनसोइडल वाहक का आयाम प्रतिरुपण है:

<math display="block">u(t) = u_m(t) \cdot \cos(\omega t + \phi),</math>
जहाँ {{math|''u''<sub>''m''</sub>(''t'')}} संकीर्ण बैंडविड्थ संदेश तरंग है, जैसे आवाज या संगीत। पुनः, बेडरोसियन प्रमेय द्वारा:{{sfn|Bedrosian|1962}}

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = u_m(t) \cdot \sin(\omega t + \phi).</math>

से संकेत प्रक्रमन में हिल्बर्ट रूपांतरण को प्रदर्शित किया जाता है। 
=== विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व ===
{{main article|विश्लेषणात्मक संकेत}}

एक विशिष्ट प्रकार का संयुग्म फलन है:

<math display="block">u_a(t) \triangleq u(t) + i\cdot H(u)(t),</math>
जिसे <math>u(t)</math> के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है यूलर के सूत्र के कारण यह नाम इसकी गणितीय सुवाह्यता को दर्शाता है। बेड्रोसियन के प्रमेय को नैरोबैंड प्रारूप पर लागू करना, विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व है:<ref>{{harvnb|Osgood|page=320}}</ref>

{{Equation box 1
|cellpadding= 0 |border= 0 |background colour=white
|indent=: |equation={{NumBlk|| <math>\begin{align}
  u_a(t) & = u_m(t) \cdot \cos(\omega t + \phi) + i\cdot u_m(t) \cdot \sin(\omega t + \phi) \\
         & = u_m(t) \cdot \left[\cos(\omega t + \phi) + i\cdot \sin(\omega t + \phi)\right]\\
         & = u_m(t) \cdot e^{i(\omega t + \phi)}.\,
\end{align}</math>
 | {{EquationRef|Eq.1}}
 }}
}}

फूरियर रूपांतरण गुण इंगित करता है कि यह जटिल [[Heterodyne|समकरण]] संक्रिया सभी नकारात्मक आवृत्ति घटकों {{math|''u''<sub>''m''</sub>(''t'')}} को स्थानांतरित कर सकता है। उस स्थिति में, परिणाम का काल्पनिक भाग वास्तविक भाग का हिल्बर्ट रूपांतरण है। यह हिल्बर्ट रूपांतरण उत्पन्न करने का एक अप्रत्यक्ष तरीका है।

=== कोण (चरण/आवृत्ति) प्रतिरुपण ===
<math display="block">u(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_m(t))</math>रूप को [[कोण मॉडुलन|कोण प्रतिरुपण]] कहा जाता है, जिसमें [[चरण मॉडुलन|चरण प्रतिरुपण]] और आवृत्ति प्रतिरुपण दोनों सम्मिलित हैं। तात्कालिक चरण आवृत्ति <math>\omega + \phi_m^\prime(t).</math> है:<ref>{{harvnb|Osgood|page=320}}</ref>


<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) \approx A \cdot \sin(\omega t + \phi_m(t))</math>
और:
<math display="block">u_a(t) \approx A \cdot e^{i(\omega t + \phi_m(t))}.</math>


=== एकल पार्श्वबैंड प्रतिरुपण ===
{{Main article|एकल पार्श्वबैंड प्रतिरुपण}}

{{math|''u''<sub>''m''</sub>(''t'')}} में {{EquationNote|Eq.1}} भी एक विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व संदेश तरंग का है, जो :

<math display="block">u_m(t) = m(t) + i \cdot \widehat{m}(t)</math>है। 
जिसका परिणाम[[ एकल साइडबैंड | एकल पार्श्वबैंड]] प्रतिरुपण है:

<math display="block">u_a(t) = (m(t) + i \cdot \widehat{m}(t)) \cdot e^{i(\omega t + \phi)}</math>
जिसका संचरित घटक <ref>{{harvnb|Franks|1969|p=88}}</ref><ref>{{harvnb|Tretter|1995|p=80 (7.9)}}</ref>

<math display="block">\begin{align}
  u(t) &= \operatorname{Re}\{u_a(t)\}\\
       &= m(t)\cdot \cos(\omega t + \phi) - \widehat{m}(t)\cdot \sin(\omega t + \phi)
\end{align}</math>

है। 
=== कारण कार्य सिद्धांत ===
फलन <math>h(t) = 1/(\pi t)</math> संवलन के रूप में व्यावहारिक कार्यान्वयन के लिए दो चुनौतियाँ प्रस्तुत करता है:
* इसकी अवधि अनंत है। इसके अतिरिक्त एक परिमित लंबाई सन्निकटन का उपयोग किया जाना चाहिए। परंतु [[विंडो फंक्शन|विंडो]] फलन की लंबाई भी रूपांतरण की प्रभावी आवृत्ति सीमा को कम करती है। खिड़की जितनी छोटी होगी, कम और उच्च आवृत्तियों पर हानि उतनी ही अधिक होगी। [[चतुर्भुज फ़िल्टर|चतुर्भुज निस्यंदक]] भी देखें।
* यह एक [[कारण फ़िल्टर|कारण निस्यंदक]] है | नॉन-कॉज़ल निस्यंदक जिसमे एक विलंबित संस्करण, <math>h(t-\tau),</math> की आवश्यकता होती है। इसी निर्गत में बाद में <math>\tau.</math> विलंब होता है  विश्लेषणात्मक संकेत का काल्पनिक भाग निर्मित करते समय, स्रोत के वास्तविक भाग को समतुल्य राशि से विलंबित होना चाहिए।

== असतत हिल्बर्ट रूपांतरण ==

[[File:DFT approximation to Hilbert filter.png|thumb|400px|right|चित्र तीन।]]
[[File:Effect of circular convolution on discrete Hilbert transform.png|thumb|400px|right|चित्र 4. हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|cos(''ωt'')}} है {{math|sin(''ωt'')}}. यह आंकड़ा दिखाता है {{math|sin(ωt)}} और MATLAB लाइब्रेरी फलन द्वारा गणना किए गए दो अनुमानित हिल्बर्ट रूपांतरण, {{mono|hilbert()}}]]
[[File:Discrete Hilbert transforms of a cosine function, using piecewise convolution.svg|thumb|400px|right|चित्र 5. भागों के अनुसार संवलन का उपयोग करते हुए, कोसाइन फलन का असतत हिल्बर्ट रूपांतरण]]असतत फलन {{nowrap|<math>u[n]</math>,}} के लिए,  [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण]]  के साथ, {{nowrap|<math>U(\omega)</math>,}} और असतत हिल्बर्ट रूपांतरण {{nowrap|<math>\hat u[n]</math>,}} का डीटीएफटी <math>\hat u[n]</math> क्षेत्र में {{math|1=−''π'' < ω < ''π''}} द्वारा दिया गया है:

:<math>\operatorname{DTFT} (\hat u) = U(\omega)\cdot (-i\cdot \sgn(\omega)).</math>
विपरीत डीटीएफटी, असतत चर के संवलन प्रमेय का उपयोग करता है:<ref>{{harvnb|Rabiner|1975}}</ref>
:<math>
\begin{align}
\hat u[n] &= {\scriptstyle \mathrm{DTFT}^{-1}} (U(\omega))\ *\ {\scriptstyle \mathrm{DTFT}^{-1}} (-i\cdot \sgn(\omega))\\
&= u[n]\ *\ \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} (-i\cdot \sgn(\omega))\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega\\
&= u[n]\ *\ \underbrace{\frac{1}{2 \pi}\left[\int_{-\pi}^0 i\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega - \int_0^\pi i\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega \right]}_{h[n]},
\end{align}
</math>
जहाँ

:<math>h[n]\ \triangleq \ 
\begin{cases}
             0, & \text{for }n\text{ even}\\
\frac 2 {\pi n} & \text{for }n\text{ odd},
\end{cases}</math>
जो एक अनंत आवेग प्रतिक्रिया है। जब संवलन संख्यात्मक रूप से किया जाता है, तो [[परिमित आवेग प्रतिक्रिया]] सन्निकटन {{math|''h''[''n'']}} को प्रतिस्थापित किया जाता है, जैसा कि चित्र 1 में दर्शाया गया है। प्रतिसममित गुणांक की एक विषम संख्या के साथ एक एफआईआर निस्यंदक को प्रकार III कहा जाता है, जो आवृत्ती 0 और निक्विस्ट पर स्वाभाविक रूप से शून्य परिमाण की प्रतिक्रिया प्रदर्शित करता है, जिसके परिणामस्वरूप यह एक बैंडपास निस्यंदक आकार में होता है। चित्र 2 में एक प्रकार का IV प्रतिरूप जिसमे प्रतिसममित गुणांक की सम संख्या को दर्शाया गया है। चूंकि निक्विस्ट आवृत्ति पर परिमाण प्रतिक्रिया समाप्त नहीं होती है, यह ऑड-टैप निस्यंदक की तुलना में एक आदर्श हिल्बर्ट रूपांतरण का उपयुक्त अनुमान लगाती है। यद्यपि
* एक विशिष्ट  {{math|''u''[''n'']}} अनुक्रम में निक्विस्ट आवृत्ति पर कोई उपयोगी घटक नहीं है।
* प्रकार IV आवेग प्रतिक्रिया में a {{frac|1|2}} प्रतिरूप रूपांतरण में {{math|''h''[''n'']}} अनुक्रम की आवश्यकता होती है। इससे शून्य-मान वाले गुणांक गैर-शून्य हो जाते हैं, जैसा कि चित्र 2 में दर्शाया गया है। इसलिए प्रकार III प्रारूप संभावित रूप से प्रकार IV से दोगुना कुशल है।
* प्रकार III प्रारूप का समूह विलंब प्रारूपों की एक पूर्णांक संख्या है, जो <math>\hat u[n]</math> तथा <math>u[n],</math> के सापेक्ष एक विश्लेषणात्मक संकेत बनाने के लिए संरेखण की सुविधा प्रदान करता है। प्रकार IV का समूह विलंब दो प्रारूपों के मध्य आधा है।

[[MATLAB|मैटलैब]] फलन, {{mono|हिलबर्ट(u,N)}},<ref>{{cite web |author= MathWorks |title= hilbert – Discrete-time analytic signal using Hilbert transform |work= MATLAB Signal Processing Toolbox Documentation |url= http://www.mathworks.com/help/toolbox/signal/ref/hilbert.html |access-date= 2021-05-06 }}</ref> [[आवधिक योग]] के साथ एक u[n] अनुक्रम को हल करता है:{{efn-ua
|see {{slink|Convolution_theorem#Periodic_convolution|nopage=y}}, Eq.4b}}

:<math>h_N[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^\infty h[n - mN]</math>{{spaces|3}}{{efn-ua
|1=A closed form version of <math>h_N[n]</math> for even values of <math>N</math> is:<ref>{{harvnb|Johansson|p=24}}</ref>
<math display="block">
h_N[n] = \begin{cases}
  \frac{2}{N} \cot(\pi n/N) & \text{for }n\text{ odd},\\
  0 & \text{for }n\text{ even}.
\end{cases}
</math>
}}{{efn-ua
|A closed form version of <math>h_N[n]</math> for odd values of <math>N</math> is:<ref>{{harvnb|Johansson|p=25}}</ref>
<math display="block">h_N[n] = \frac{1}{N} \left(\cot(\pi n/N) - \frac{\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}\right).</math>
}}
और एक चक्र प्रतिवर्तित करता है। एक जटिल-मान निर्गत अनुक्रम के काल्पनिक भाग में आवधिक परिणाम को संदर्भित करता है। संवलन को आवृत्ती क्षेत्र में <math>{\scriptstyle \mathrm{DFT}} \left(u[n]\right)</math> एरे के उत्पाद के रूप में {{math|−''i'' sgn(''ω'')}} वितरण के प्रतिरूप के रूप में लागू किया जाता है जिसके वास्तविक और काल्पनिक घटक सभी केवल 0 या {{math|±1}} हैं। . , चित्र 3 {{math|''h<sub>N</sub>''[''n'']}} के आधे चक्र की तुलना करता है  {{math|''h''[''n'']}} के समतुल्य लंबाई वाले भाग के साथ करता है।.<math>h[n],</math> के लिए एक प्राथमिकी सन्निकटन <math>\tilde{h}[n],</math> द्वारा चिह्नित <math>{\scriptstyle\mathrm{DFT}} \left(\tilde{h}[n]\right)</math> प्रतिस्थापन  के लिए {{math|−''i'' sgn(''ω'')}} प्रारूप संवलन के एफआईआर संस्करण में परिणत होते हैं।

निर्गत अनुक्रम का वास्तविक भाग मूल निविष्ट अनुक्रम है, जिस से जटिल निर्गत का एक विश्लेषणात्मक संकेत {{math|''u''[''n'']}} हो। जब निविष्ट शुद्ध कोसाइन का एक खंड होता है, तो दो अलग-अलग मानों के लिए परिणामी संवलन {{mvar|N}} को चित्र 4 द्वारा दर्शाया गया है। किनारे के प्रभाव परिणाम को शुद्ध साइन फलन (ग्रीन प्लॉट) होने से प्रतिबंधित करते हैं। तब से {{math|''h''<sub>''N''</sub>[''n'']}} एफआईआर अनुक्रम नहीं है। प्रभावों की सैद्धांतिक सीमा संपूर्ण निर्गत अनुक्रम है। परंतु साइन फलन से अंतर किनारों से दूरी के साथ कम हो जाता है। पैरामीटर {{mvar|N}} निर्गत अनुक्रम लंबाई है। यदि यह निविष्ट अनुक्रम की लंबाई से अधिक है, तो निविष्ट को शून्य-मान तत्वों को युग्मित कर संशोधित किया जाता है। अधिकतर स्तिथियों में, यह मतभेदों की भयावहता को कम करता है। परंतु उनकी अवधि  {{math|''h''[''n'']}} आवेग प्रतिक्रिया के अंतर्निहित उत्थान और पतन के समय का प्रभुत्व है।

किनारे के प्रभाव के लिए संवलन महत्वपूर्ण है जब [[ ओवरलैप-सेव विधि |ओवरलैप-सेव]] नामक विधि का उपयोग लंबे U[n] अनुक्रम पर संवलन करने के लिए किया जाता है। ओवरलैप-सेव का उपयोग {{math|''u''[''n'']}} अनुक्रम लंबे समय तक संवलन करने के लिए किया जाता है। लंबाई के खंड {{mvar|N}} आवधिक कार्य के साथ संलिप्त हैं:

:<math>\tilde{h}_N[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^\infty \tilde{h}[n - mN].</math>
जब <math>\tilde{h}[n]</math> के गैर-शून्य मानों की अवधि <math>M < N,</math> है  आउटपुट अनुक्रम सम्मिलित है {{math| {{mvar|N}} − {{mvar|M}} + 1}} के नमूने <math>\hat u.</math> {{math|{{mvar|M}} − 1}} के प्रत्येक खंड {{mvar|N}} से निर्गत को छोड़ दिया जाता है, और अंतराल को प्रतिबंधित करने के लिए निविष्ट खंडों को उस राशि से अतिव्यापित किया जाता है।

चित्रा 5 आईआईआर हिल्बर्ट (·) फलन और एफआईआर सन्निकटन दोनों का उपयोग करने का एक उदाहरण है। उदाहरण में, एक कोसाइन फलन के असतत हिल्बर्ट रूपांतरण की गणना करके एक साइन फलन बनाया जाता है, जिसे चार अतिव्यापित खंडों में संसाधित किया गया था। जैसा कि एफआईआर परिणाम (नीला) दिखाता है, आईआईआर परिणाम (लाल) में स्पष्ट विकृतियां {{math|''h''[''n'']}} और {{math|''h<sub>N</sub>''[''n'']}} मध्य के अंतर के कारण नहीं होती हैं। तथ्य यह है कि {{math|''h<sub>N</sub>''[''n'']}} संकीर्ण है वास्तव में इस संदर्भ में सहायक है जबकि वास्तविक समस्या यह है कि यह पर्याप्त विंडो नहीं है। प्रभावी रूप से, {{math|1=''M'' = ''N''}}, जबकि ओवरलैप-सेव विधि को {{math|''M'' < ''N''}} की आवश्यकता होती है। .

== संख्या-सैद्धांतिक हिल्बर्ट रूपांतरण ==
संख्या सिद्धांत संबंधी हिल्बर्ट रूपांतरण एक विस्तार है पूर्णांक प्रतिरूपण में एक उपयुक्त अभाज्य संख्या में परिवर्तित हों जाता है। इसमें यह [[असतत फूरियर रूपांतरण]] के सामान्यीकरण को संख्या सैद्धांतिक रूपांतरणों में परिवर्तित कर देता है। संख्या सिद्धांत संबंधी हिल्बर्ट रूपांतरण का उपयोग आयतीय असतत अनुक्रमों के समुच्चय उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।{{sfn|Kak|2014}}

== यह भी देखें ==
* विश्लेषणात्मक संकेत
* संनादी संयुग्म
* [[हिल्बर्ट स्पेक्ट्रोस्कोपी]]
* हिल्बर्ट जटिल स्थान में रूपांतरित होता है
* हिल्बर्ट-हुआंग रूपांतरण
* क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध
* [[रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म]]
* [[सिंगल साइडबैंड]] | सिंगल साइडबैंड संकेत
* [[कनवल्शन टाइप के सिंगुलर इंटीग्रल ऑपरेटर्स|संवलन प्रकार के सिंगुलर अभिन्न संकार्य्स]]

== टिप्पणियाँ ==
{{notelist-ua}}


== पृष्ठ उद्धरण ==
{{reflist|25em}}

== संदर्भ ==
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== अग्रिम पठन ==
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{{Refend}}


== बासभीी संबंध ==
{{Commons category}}
* [https://arxiv.org/abs/0909.1426 Derivation of the boundedness of the Hilbert transform]
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertTransform.html Mathworld Hilbert transform] — Contains a table of transforms
* {{MathWorld |title = Titchmarsh theorem |urlname = TitchmarshTheorem}}
* {{cite web |url = http://www.geol.ucsb.edu/faculty/toshiro/GS256_Lecture3.pdf |title = GS256 Lecture 3: Hilbert Transformation |archive-url = https://web.archive.org/web/20120227061333/http://www.geol.ucsb.edu/faculty/toshiro/GS256_Lecture3.pdf |archive-date = 2012-02-27 }} an entry level introduction to Hilbert transformation.

{{DEFAULTSORT:Hilbert Transform}}

[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Hilbert Transform]]
[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)|Hilbert Transform]]
[[Category:CS1 français-language sources (fr)|Hilbert Transform]]
[[Category:CS1 maint|Hilbert Transform]]
[[Category:Commons category link is the pagename|Hilbert Transform]]
[[Category:Created On 17/03/2023|Hilbert Transform]]
[[Category:Lua-based templates|Hilbert Transform]]
[[Category:Machine Translated Page|Hilbert Transform]]
[[Category:Pages with script errors|Hilbert Transform]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description|Hilbert Transform]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Hilbert Transform]]
[[Category:Templates that add a tracking category|Hilbert Transform]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Hilbert Transform]]
[[Category:Templates using TemplateData|Hilbert Transform]]
[[Category:अभिन्न परिवर्तन|Hilbert Transform]]
[[Category:एकवचन अभिन्न|Hilbert Transform]]
[[Category:श्वार्ट्ज वितरण|Hilbert Transform]]
[[Category:संकेत आगे बढ़ाना|Hilbert Transform]]
[[Category:हार्मोनिक कार्य|Hilbert Transform]]