View source for हॉकी-स्टिक की पहचान

{{Short description|Recurrence relations of binomial coefficients in Pascal's triangle}}
{{Use American English|date = March 2019}}
[[File:HockeyStick.jpg|thumb|right|300px|पास्कल का त्रिभुज, पंक्तियाँ 0 से 7 तक है। हॉकी स्टिक की पहचान पुष्टि करती है, उदाहरण के लिए: n=6, r=2 के लिए: 1+3+6+10+15=35 होता है।]][[साहचर्य|संयुक्त]] गणित में, '''हॉकी-स्टिक की पहचान''',<ref>CH Jones (1996) ''Generalized Hockey Stick Identities and N-Dimensional Block Walking.'' [[Fibonacci Quarterly]] '''34'''(3), 280-288.</ref> '''क्रिसमस स्टॉकिंग पहचान''',<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ChristmasStockingTheorem.html|title=क्रिसमस स्टॉकिंग प्रमेय|last=W.|first=Weisstein, Eric|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2016-11-01}}</ref> '''बूमरैंग की पहचान''', '''फ़र्मेट की पहचान''' अथवा '''चू की प्रमेय'''<ref>{{Cite book |last=Merris |first=Russell |url=https://www.worldcat.org/oclc/53121765 |title=साहचर्य|date=2003 |publisher=Wiley-Interscience |isbn=0-471-45849-X |edition=2nd |location=Hoboken, N.J. |pages=45 |oclc=53121765}}</ref> में कहा गया है कि यदि <math>n \geq r \ge 0</math> पूर्णांक हैं, तो

: <math>\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \binom{r+2}{r} + \cdots + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1}. </math>
नाम पास्कल के त्रिकोण पर पहचान के चित्रमय प्रतिनिधित्व से उत्पन्न होता है: जब योग में दर्शाए गए जोड़ और योग को प्रमुखता से दर्शाया जाता है, तो प्रकट आकार उन वस्तुओं का स्मरण करवाता है ([[ हाँकी स्टिक |हाँकी स्टिक]], [[क्रिसमस मोजा|क्रिसमस स्टॉकिंग]] देखें)।

==सूत्रीकरण==

सिग्मा संकेतन का उपयोग करते हुए, पहचान बताई गई है-

: <math>\sum^n_{i=r}{i\choose r}={n+1\choose r+1} \qquad \text{ for } n,r\in\mathbb{N}, \quad n\geq r</math>
अथवा समकक्ष, प्रतिस्थापन <math>j\to i-r</math> द्वारा दर्पण-छवि है:

: <math>\sum^{n-r}_{j=0}{j+r\choose r}=\sum^{n-r}_{j=0}{j+r\choose j}={n+1\choose n-r} \qquad \text{ for } n,r\in\mathbb{N}, \quad n\geq r.</math>


==प्रमाण==

===फलन प्रमाण उत्पन्न करना===

हमारे निकट है-

:<math>X^r + X^{r+1} + \dots + X^{n} = \frac{X^r-X^{n+1}}{1-X}</math>
मान लीजिए कि <math>X=1+x</math> है और <math>x^r</math> के गुणांकों की तुलना करें।

===आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण===

आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण दोनों पास्कल की पहचान का उपयोग करते हैं:

:<math>{n \choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}.</math>
====आगमनात्मक प्रमाण====

यह पहचान <math>n</math> पर [[गणितीय प्रेरण]] द्वारा सिद्ध की जा सकती है

<u>मूल स्थिति</u>

मान लीजिए कि <math>n=r</math> है 

:<math>\sum^n_{i=r} {i\choose r} = \sum^r_{i=r}{i\choose r}={r\choose r} = 1 = {r+1\choose r+1} = {n+1\choose r+1}. </math>
<u>आगमनात्मक चरण</u>

मान लीजिए, कुछ <math>k\in\mathbb{N}, k \geqslant r</math> के लिए,

:<math>\sum^k_{i=r}{i\choose r}={k+1\choose r+1}</math>
तब

:<math>\sum^{k+1}_{i=r} {i\choose r} = \left(\sum^k_{i=r} {i\choose r} \right) + {k+1\choose r}={k+1\choose r+1}+{k+1\choose r}={k+2\choose r+1}.</math>


====बीजगणितीय प्रमाण====

हम योग की गणना को सरल बनाने के लिए [[टेलीस्कोपिंग श्रृंखला]] तर्क का उपयोग करते हैं:

:<math>
\begin{align}
\sum_{t=\color{blue}0}^n \binom{t}{k} 
=\sum_{t=\color{blue}k}^n\binom tk
&= \sum_{t=k}^n\left[ \binom {t+1}{k+1}-\binom {t}{k+1}\right]\\
&=\sum_{t=\color{green}k}^{\color{green}n}\binom {\color{green}{t+1}}{k+1} - \sum_{t=k}^n \binom t{k+1}\\
&=\sum_{t=\color{green}{k+1}}^{\color{green}{n+1}}\binom {\color{green}{t}}{k+1} - \sum_{t=k}^n \binom t{k+1}\\
&=\binom{n+1}{k+1}-\underbrace{\binom k{k+1}}_0&&\text{by telescoping}\\
&=\binom{n+1}{k+1}.
\end{align}
</math>


===संयुक्त प्रमाण===

====प्रमाण 1====

कल्पना करें कि हम <math>k</math> भिन्न-भिन्न बालकों को <math>n</math> अविभाज्य कैंडी वितरित कर रहे हैं। स्टार्स और बार्स (कॉम्बिनेटरिक्स) विधि के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग द्वारा, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है-

:<math>\binom{n+k-1}{ k-1}</math>
इस प्रकार इसकी कई विधियाँ हैं। वैकल्पिक रूप से, हम सर्वप्रथम सबसे बड़े बालक को <math>0\leqslant i\leqslant n</math> कैंडी दे सकते हैं जिससे कि हम अनिवार्य रूप से <math>k-1</math> बालकों को <math>n-i</math> कैंडी दे सकें और तब, सितारों और बार एवं दोहरी गणना (प्रूफ़ तकनीक) के साथ, हमारे निकट है

:<math>\binom{n+k-1}{ k-1}=\sum_{i=0}^n\binom{n+k-2-i}{k-2},</math>
जो <math>n' = n+k-2</math> और <math>r=k-2</math> लेकर और <math>n'-n = k-2=r</math> को ध्यान में रखते हुए वांछित परिणाम को सरल बनाता है:

:<math>\binom{n'+1}{ r+1}=\sum_{i=0}^n \binom {n'-i}r = \sum_{i=r}^{n'} \binom {i}r .</math>


====प्रमाण 2====

हम निम्नलिखित विधियों से <math>n+1</math> व्यक्तियों के समूह से <math>k+1</math> आकार की समिति बना सकते हैं:

:<math> \binom{n+1}{k+1}</math>
अब हम <math>n+1</math> व्यक्तियों की संख्या <math>1,2,3,\dots,n-k+1</math> से <math>n-k+1</math> तक समर्पित करते हैं। हम इसे <math>n-k+1</math> असंयुक्त स्थितियों में विभाजित कर सकते हैं। सामान्य रूप से <math>x</math> की स्थिति में, <math>1\leqslant x\leqslant n-k+1</math> व्यक्ति <math>x</math> समिति में है और व्यक्ति <math>1,2,3,\dots, x-1</math> समिति में नहीं हैं। यह निम्नलिखित विधि से किया जा सकता है-

:<math>\binom{n-x+1}{k}</math>
अब हम इन <math>n-k+1</math> असंयुक्त स्थितियों के मानों का योग प्राप्त कर सकते हैं-

:<math> \binom{n+1}{k+1} = \binom n k + \binom {n-1} k + \binom{n-2} k + \cdots + \binom{k+1} k+ \binom k k.</math>


==यह भी देखें==
*पास्कल की पहचान
* पास्कल का त्रिकोण
* लाइबनिज़ त्रिकोण
* वेंडरमोंडे की पहचान

==संदर्भ==
{{reflist}}


==बाहरी संबंध==
* [http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Combinatorial_identity#Hockey-Stick_Identity On AOPS]
* [https://math.stackexchange.com/q/1490794 On StackExchange, Mathematics]
* [https://forums.dyalog.com/viewtopic.php?f=30&t=1650 ''Pascal's Ladder'' on the Dyalog Chat Forum]

[[Category:All Wikipedia articles written in American English]]
[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
[[Category:Created On 09/07/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Use American English from March 2019]]
[[Category:कॉम्बिनेटरिक्स में प्रमेय]]
[[Category:गणितीय पहचान]]
[[Category:प्रमाण युक्त लेख]]
[[Category:भाज्य और द्विपद विषय]]