View source for होमियोमॉर्फिज़्म

{{Short description|Isomorphism in topology (mathematics)}}
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[[Image:Mug and Torus morph.gif|thumb|upright=1.2|एक कॉफी [[लूट के लिए हमला करना|मग]] और एक डोनट ([[टोरस्र्स|टोरस]]) के बीच एक निरंतर विरूपण यह दर्शाता है कि वे होमियोमॉर्फिक हैं। लेकिन होमोमोर्फिक होने के लिए दो स्थानों के लिए एक [[होमोटॉपी]] होने की आवश्यकता नहीं है - केवल एक निरंतर व्युत्क्रम कार्य के साथ एक निरंतर मानचित्रण।]][[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] के गणितीय क्षेत्र में, एक होमोमोर्फिज्म, संस्थानिक [[समाकृतिकता]], या द्विसतत फलन [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्पेस]] के बीच एक विशेषण और निरंतर कार्य है जिसमें एक निरंतर उलटा कार्य होता है। होमोमोर्फिज्म [[टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी|संस्थानिक स्पेस की श्रेणी]] में समरूपता हैं- अर्थात्, वे  प्रतिचित्रण (गणित) हैं जो किसी दिए गए स्थान के सभी संस्थानिक गुणों को संरक्षित करते हैं। उनके बीच एक होमोमोर्फिज्म वाले दो स्थानों को होमोमोर्फिक कहा जाता है, और एक स्थलीय दृष्टिकोण से वे समान होते हैं। ''होमियोमोर्फिज्म'' शब्द [[ग्रीक भाषा]] के शब्द ''ὅμοιος"'' (''होमियोस'') = समान या समान और "''μορφή"'' (''मोर्फे'')  = आकार या रूप, से लिया गया है। 1895 में हेनरी पोंकारे द्वारा गणित से परिचित कराया गया।<ref>{{cite book |url=http://serge.mehl.free.fr/anx/ana_situs.html |title=साइट विश्लेषण|author-link= Henri Poincaré|last=Poincaré |first=H. |date=1895 |publisher=Gauthier-Villars |series=Journal de l'Ecole polytechnique |oclc=715734142  |access-date=29 April 2018|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20160611022329/http://serge.mehl.free.fr/anx/ana_situs.html|archive-date=11 June 2016}}<br/>{{cite book |last=Poincaré |first=Henri |year=2010 |title=Papers on Topology: साइट विश्लेषणand Its Five Supplements |translator-first=John |translator-last=Stillwell |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-5234-7}}</ref><ref>{{cite book |last1=Gamelin |first1=T. W. |last2=Greene |first2=R. E. |year=1999 |title=टोपोलॉजी का परिचय|publisher=Dover |isbn=978-0-486-40680-0 |edition=2nd |page=67 |url=https://books.google.com/books?id=thAHAGyV2MQC&pg=PA67 }}</ref> 

बहुत मोटे तौर पर बोलना, एक संस्थानिक स्पेस एक ज्यामितीय वस्तु है, और होमोमोर्फिज्म एक नए आकार में वस्तु का लगातार खिंचाव और झुकना है। इस प्रकार, एक वर्ग ([[ज्यामिति]]) और एक [[वृत्त]] एक दूसरे के लिए समरूप हैं, लेकिन एक गोला और एक  वृतज ठोस वलय नहीं हैं। चूँकि, यह विवरण भ्रामक हो सकता है। कुछ निरंतर विकृतियाँ होमोमोर्फिज़्म नहीं हैं, जैसे कि एक रेखा का एक बिंदु में विरूपण। कुछ होमियोमॉर्फिज्म निरंतर विकृतियां नहीं हैं, जैसे  त्रिपर्ण चाप गाँठ और वृत के बीच होमोमोर्फिज्म।

एक बार-बार दोहराया जाने वाला [[गणितीय मजाक]] यह है कि टोपोलॉजिस्ट कॉफी कप और डोनट के बीच अंतर नहीं बता सकते,<ref>{{cite book|title=विभेदक समीकरण: एक गतिशील प्रणाली दृष्टिकोण। भाग II: उच्च-आयामी प्रणालियाँ|first1=John H.|last1=Hubbard|first2=Beverly H.|last2=West|publisher=Springer|series=Texts in Applied Mathematics|volume=18|year=1995|isbn=978-0-387-94377-0|page=204|url=https://books.google.com/books?id=SHBj2oaSALoC&pg=PA204 }}</ref> चूंकि कप के हैंडल में डोनट छेद को संरक्षित करते हुए, पर्याप्त रूप से व्यवहार्य डोनट को एक डिंपल बनाकर और उत्तरोत्तर बढ़ाकर कॉफी कप के रूप में फिर से आकार दिया जा सकता है।

== परिभाषा  ==
एक [[समारोह (गणित)|फलन (गणित)]] <math>f : X \to Y</math> दो संस्थानिक रिक्त स्थान के बीच एक होमोमोर्फिज्म है यदि इसमें निम्न गुण हैं:

* <math>f</math> एक आक्षेप  ([[द्विभाजन]] फ़ंक्शन एक-से-एक और आच्छादक) है,
* <math>f</math> [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] है,
* उलटा कार्य <math>f^{-1}</math> निरंतर है (<math>f</math> एक खुला मानचित्रण है)।

होमियोमोर्फिज्म को कभी-कभी द्विसतत कार्य भी कहा जाता है। यदि ऐसा कोई कार्य उपस्थित है, <math>X</math> तथा <math>Y</math> होमियोमॉर्फिक हैं। स्व-होमियोमोर्फिज़्म एक स्थलीय स्थान से स्वयं पर एक होमियोमॉर्फिज़्म है। होमोमॉर्फिक होना संस्थानिक स्पेस पर एक [[तुल्यता संबंध]] है। इसके [[तुल्यता वर्ग]] को होमोमोर्फिज्म वर्ग कहा जाता है।

== उदाहरण ==
[[Image:Blue Trefoil Knot.png|thumb|upright=1.15|एक ट्रेफिल गाँठ एक ठोस टोरस के लिए होमोमॉर्फिक है, लेकिन R<sup>3 में समस्थानिक नहीं है। विकृतियों के रूप में निरंतर मानचित्रण हमेशा साकार नहीं होते हैं।]]* खुला [[अंतराल (गणित)|अंतराल]]  <math display="inline">(a,b)</math> किसी भी  <math display="inline">a < b</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं के लिए <math display="inline">\mathbf{R}</math> होमियोमॉर्फिक है. (इस स्थिति में,  <math display="inline">f(x) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{b-x} </math> द्वारा एक निरंतर आगे की मैपिंग दी गई है जबकि अन्य मैपिंग tan या arg tanh फलन के स्केल किए गए और अनुवादित संस्करणों द्वारा दी जाती हैं)। 
* इकाई 2-बॉल (गणित) <math display="inline">D^2</math> और [[इकाई वर्ग]] में <math>\mathbf{R}^2</math> होमियोमॉर्फिक हैं; चूंकि इकाई डिस्क को इकाई वर्ग में विकृत किया जा सकता है। वर्ग से डिस्क तक द्विसतत मानचित्रण का एक उदाहरण है, ध्रुवीय निर्देशांकों में, <math>(\rho, \theta) \mapsto \left( \frac{\rho}{ \max(|\cos \theta|, |\sin \theta|)}, \theta\right)</math>.
* एक अलग-अलग फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के डोमेन के लिए होमोमॉर्फिक है
* [[वक्र]] का अवकलनीय [[पैरामीट्रिक समीकरण|प्राचलीकरण समीकरण]] प्राचलीकरण और वक्र के डोमेन के बीच एक होमोमोर्फिज्म है।
* [[विविध]] का एक [[चार्ट (टोपोलॉजी)]] मैनिफोल्ड के खुले उपसमुच्चय और [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के खुले उपसमुच्चय के बीच एक समरूपता है।
* [[त्रिविम प्रक्षेपण]] <math>\mathbf{R}^3</math> इकाई क्षेत्र के बीच एक होमोमोर्फिज्म है जिसमे एक बिंदु को हटा दिया गया है  और सभी  <math>\mathbf{R}^2</math> बिंदुओं का सेट है। (एक द्वि-आयामी [[विमान (गणित)]])।
* यदि <math>G</math> एक सामयिक समूह है, इसका उलटा नक्शा <math>x \mapsto x^{-1}</math> एक होमियोमॉर्फिज्म है। साथ ही किसी के लिए <math>x \in G</math>, बायां अनुवाद <math>y \mapsto xy</math>, दांया अनुवाद <math>y \mapsto yx</math>, और आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म <math>y \mapsto xyx^{-1}</math> होमियोमॉर्फिज्म हैं।

=== गैर-उदाहरण ===
* {{nowrap|1=''m'' &ne; ''n''.}}के लिये  '''R'''<sup>''m''</sup> और  '''R'''<sup>''n''</sup>  होमियोमॉर्फिक नहीं हैं।  
* यूक्लिडियन [[वास्तविक रेखा]] R<sup>2</sup> के उप-स्थान के रूप में इकाई वृत के लिए होमोमोर्फिक नहीं है, चूंकि इकाई वृत यूक्लिडियन 'R<sup>2</sup>' के उप-स्थान के रूप में  [[कॉम्पैक्ट जगह|सघन जगह]] है लेकिन वास्तविक रेखा सघन नहीं है।
* एक आयामी अंतराल <math>[0,1]</math> तथा <math>]0,1[</math> होमियोमॉर्फिक नहीं हैं क्योंकि एक सघन है जबकि दूसरा नहीं है।

==टिप्पणियाँ==
तीसरी आवश्यकता, <math display="inline">f^{-1}</math> निरंतर, होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए फलन <math display="inline">f : [0,2\pi) \to S^1</math>  पर विचार करें  ( [[unit circle|इकाई वृत]] में <math display="inline">\mathbf{R}^2</math>) द्वारा परिभाषित<math display="inline">f(\phi) = (\cos\phi,\sin\phi)</math>. यह कार्य विशेषणात्मक और निरंतर है, लेकिन होमियोमॉर्फिज़्म नहीं है (<math display="inline">S^1</math>   [[Compact space|सघन]] है लेकिन <math display="inline">[0,2\pi)</math> नहीं है). फलन <math display="inline">f^{-1}</math>बिन्दु <math display="inline">(1,0)</math> पर निरंतर नहीं है, क्योंकि यद्यपि <math display="inline">f^{-1}</math> मानचित्र <math display="inline">(1,0)</math> से <math display="inline">0</math>, इस बिंदु के किसी भी [[Neighbourhood (mathematics)|निकट]] में ऐसे बिंदु भी सम्मिलित हैं जो फलन <math display="inline">2\pi,</math>के करीब मैप करता है लेकिन जिन बिंदुओं के बीच यह संख्याओं को मैप करता है वे निकट के बाहर स्थित होते हैं।<ref>{{cite book |last=Väisälä |first=Jussi |title=Topologia I |publisher=Limes RY |date=1999 |page=63  |isbn=951-745-184-9}}</ref>

होमोमोर्फिज्म [[category of topological spaces|संस्थानिक स्पेस की श्रेणी]] में [[isomorphism|आइसोमोर्फिज्म]] हैं। इस प्रकार, दो होमियोमॉर्फिज़्म का संयोजन भी एक होमियोमॉर्फिज़्म है, और सभी स्व-समरूपताओं का सेट <math display="inline">X \to X</math> एक [[group (mathematics)|समूह]] बनाता है , ''X''  का'''[[homeomorphism group|होमोमोर्फिज्म समूह]] कहा जाता है,'''  जिसे अधिकांश होमियो(X) से प्रदर्शित करते है. इस समूह को एक संस्थानिक दी जा सकती है, जैसे [[compact-open topology|सघन-खुला संस्थानिक]], जो कुछ मान्यताओं के अनुसार इसे एक  [[topological group|संस्थानिक समूह]] बनाती है।.<ref>{{cite journal|last1=Dijkstra|first1=Jan J.|title=On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology|journal=The American Mathematical Monthly|date=1 December 2005|volume=112|issue=10|pages=910–912|doi=10.2307/30037630|jstor=30037630 |url=http://www.cs.vu.nl/~dijkstra/research/papers/2005compactopen.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160916112245/http://www.cs.vu.nl/~dijkstra/research/papers/2005compactopen.pdf|archive-date=16 September 2016}}</ref>

कुछ उद्देश्यों के लिए, होमोमोर्फिज्म समूह बहुत बड़ा होता है, लेकिन [[Homotopy#Isotopy|संस्थानिक]] संबंध के माध्यम से, इस समूह को [[mapping class group|मानचित्रण वर्ग समूह]] में कम कर सकते हैं। 

इसी तरह, श्रेणी सिद्धांत में हमेशा की तरह, दो स्थान दिए गए हैं जो होमोमोर्फिक हैं, उनके बीच होमोमोर्फिज्म का स्थान, होमियो(X,Y) होमोमोर्फिज्म समूहों के लिए एक [[torsor|टॉर्सर]] है होमियो(X) और होमियो(Y), और, X और Y के बीच एक विशिष्ट होमोमोर्फिज़्म दिया गया वाई, सभी तीन सेटों की पहचान की जाती है।



== गुण ==
* दो होमियोमॉर्फिक स्पेस समान सामयिक गुणों को साझा करते हैं।  उदाहरण के लिए, यदि उनमें से एक सघन स्पेस है, तो दूसरा भी उतना ही है; यदि उनमें से एक जुड़ा हुआ है, तो दूसरा भी जुड़ा हुआ है; यदि उनमें से एक हॉसडॉर्फ है, तो दूसरा भी है; उनके होमोटॉपी और होमोलॉजी समूह मेल खाएंगे। चूंकि ध्यान दें कि यह [[मीट्रिक स्थान]] के माध्यम से परिभाषित गुणों तक विस्तृत नहीं होता है; ऐसे मीट्रिक स्थान हैं जो होमोमोर्फिक हैं, भले ही उनमें से एक [[पूर्णता (टोपोलॉजी)]] है और दूसरा नहीं है।
* होमियोमॉर्फिज़्म एक साथ एक खुली मैपिंग और एक बंद मैपिंग है; यही है, यह खुले सेट को खुले सेट और [[बंद सेट]] को बंद सेट पर मैप करता है।
* <math>S^1</math>में प्रत्येक स्व-होमियोमॉर्फिज़्म को संपूर्ण डिस्क <math>D^2</math>(अलेक्जेंडर की चाल) के एक स्व-होमियोमॉर्फिज़्म तक बढ़ाया जा सकता है।

== अनौपचारिक चर्चा ==
खींचने, झुकने, काटने और वापस एक साथ चिपकाने की सहज कसौटी को सही नियम से लागू करने के लिए एक निश्चित मात्रा में अभ्यास की आवश्यकता होती है - उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए विवरण से यह स्पष्ट नहीं हो सकता है कि एक [[रेखा खंड]] को एक बिंदु तक विकृत करना अभेद्य है। इस प्रकार यह ज्ञात करना महत्वपूर्ण है कि यह ऊपर दी गई औपचारिक परिभाषा है जो अभिप्राय रखती है। इस स्थिति में, उदाहरण के लिए, रेखा खंड में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं, और इसलिए एक सेट के साथ एक आक्षेप में नहीं रखा जा सकता है, जिसमें एक बिंदु सहित केवल एक परिमित संख्या होती है।

होमोमोर्फिज्म का यह लक्षण वर्णन अधिकांश होमोटोपी की अवधारणा के साथ भ्रम पैदा करता है, जिसे वास्तविक में एक निरंतर विरूपण के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन एक स्थान से दूसरे स्थान के अतिरिक्त एक कार्य से दूसरे तक। एक होमियोमॉर्फिज्म की स्थिति में, एक निरंतर विरूपण की कल्पना करना एक मानसिक उपकरण है, जो स्पेस X पर किन बिंदुओं के अनुरूप है, Y पर कौन से बिंदुओं के अनुरूप है- X विकृत के रूप में उनका अनुसरण करता है। होमोटोपी के स्थिति में, एक मानचित्र से दूसरे मानचित्र में निरंतर विरूपण सार का है, और यह कम प्रतिबंधात्मक भी है, क्योंकि इसमें सम्मिलित किसी भी मानचित्र को एक-से-एक या आच्छादित करने की आवश्यकता नहीं है। होमोटॉपी स्पेस पर एक संबंध की ओर ले जाता है: [[होमोटॉपी तुल्यता]]।

होमोमोर्फिज्म की कल्पना में सम्मिलित विकृति के प्रकार का एक नाम है। यह (काटने और फिर से चिपकाने की आवश्यकता को छोड़कर) X पर [[पहचान समारोह|पहचान फलन]] और X से Y तक होमोमोर्फिज्म के बीच एक समस्थानिक है।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|Local homeomorphism}}
* {{annotated link|Diffeomorphism}}
* {{annotated link|Uniform isomorphism}} समान स्थानों के बीच एक समरूपता है
* {{annotated link|Isometric isomorphism}} [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] के बीच एक समरूपता है
* {{annotated link|Homeomorphism group}}
* {{annotated link|Dehn twist}}
* {{annotated link|Homeomorphism (graph theory)}} (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)
* {{annotated link|Homotopy#Isotopy}}
* {{annotated link|Mapping class group}}
* {{annotated link|Poincaré conjecture}}
* {{annotated link|Universal homeomorphism}}


==संदर्भ==
{{reflist}}



==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==

*अंक शास्त्र
*नक्शा (गणित)
*संस्थानिक संपत्ति
*उलटा काम करना
*वर्ग (ज्यामिति)
*घेरा
*तिपतिया गाँठ
*इंजेक्शन समारोह
*ओपन मैपिंग
*गेंद (गणित)
*धुवीय निर्देशांक
*एक समारोह का ग्राफ
*किसी फ़ंक्शन का डोमेन
*खुला उपसमुच्चय
*अलग करने योग्य समारोह
*संस्थानिक समूह
*बंद मानचित्रण
*खुला सेट
*हॉसडॉर्फ स्पेस
*समरूपता समूह
*संयुक्तता
*एकसमान रिक्त स्थान
==बाहरी संबंध==
*{{springer|title=Homeomorphism|id=p/h047600}}

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